3.3 多维随机变量函数的分布
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多维随机变量函数的分布
i ,k : g ( x i , y j ) = z k
∑
p ij
＝pk ,
(x1,y1) (x1,y2) … p11 p12
(xi,yj) pij g(xi,yj)
…
Z=g(X,Y)
g(x1,y1) g(x1,y2)
例1 设(X,Y)的联合分布列如下所列： 试求(1)Z1=X+Y (2)Z2=X-Y (3)Z3=max{X,Y}的分布列
练习：设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为
X P 0 q 1 p
(1) 求W＝X＋Y的分布律; (2) 求V＝max(X, Y)的分布律； (3) 求U＝min(X, Y)的分布律。 (4)求w与V的联合分布律。
(X,Y) pij
W＝X＋Y
V＝max(X, Y) U＝min(X, Y)
−∞ 或 ∞ −∞
−∞
∫f
X
( z − y ) f Y ( y )dy ＝ ∫ f X ( x) f Y ( z − x)dx.
例2 设X和Y相互独立，并且服从[-1，1]上的均匀分 布，求Z=X+Y的密度函数。
解：
1 f Y ( x) = 2 0
+∞
当 −1 ≤ x ≤ 1 其他
其中α>0，β>0,试分别就以上两 种联结方式写出L的寿命Z的概率 密度．
αe − αx , x > 0, f X ( x) = x ≤ 0, 0,
βe − βy , y > 0, fY ( y ) = y ≤ 0, 0,
其中 α > 0, β > 0 且 α ≠ β . 试分别就以上三种联 接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度 .
高等数学之多维随机变量及其分布
f (x, y)d xd y
YX
G
2e(2 x y) d x d y 0y
G
O
x
1. 3
练习题
1. 设二 维随 机变量( X ,Y ) 具有 概率 密度
f
(
x,
y)
ce
x2
y
,
0,
x 1, y 0, 其 它.
(1) 确 定 常 数c; (2) 求P{ X 2Y 1};
2.设随机变量X和Y的联合分布函数为F (x, y), 而F1(x)和F2 ( y)分别为X和Y的分布函数，则 a,b, P{X a,Y b} B
a
3.设二维随机变量( X ,Y )的概率密度为
ey ,0 x y
f (x, y) 0,
其它
求P{X Y 1}.
解:
P{X Y 1} f (x, y)dxdy
y
y=x
G
1/2 dx 1x eydy 1 2 1
0
x
e1/ 2 e
1
0 1/2 1
x
x+y=1
4.设 二 维 随机 变 量( X ,Y )的 分 布 函数 为
例3 设二 维随 机变 量( X , Y ) 具有 概率 密度
2e (2 x y) , x 0, y 0,
f (x, y) 0,
其 它.
(1) 求分 布函 数F ( x, y); (2) 求概 率 P{Y X }.
解: (1) F ( x, y) y
x
f (u, v)d ud v
yx
F ( x, y)
f (u, v) d ud v
则 称( X ,Y )是 连 续 型 的 二 维 随 机 变量,函 数f ( x, y)
YX
G
2e(2 x y) d x d y 0y
G
O
x
1. 3
练习题
1. 设二 维随 机变量( X ,Y ) 具有 概率 密度
f
(
x,
y)
ce
x2
y
,
0,
x 1, y 0, 其 它.
(1) 确 定 常 数c; (2) 求P{ X 2Y 1};
2.设随机变量X和Y的联合分布函数为F (x, y), 而F1(x)和F2 ( y)分别为X和Y的分布函数，则 a,b, P{X a,Y b} B
a
3.设二维随机变量( X ,Y )的概率密度为
ey ,0 x y
f (x, y) 0,
其它
求P{X Y 1}.
解:
P{X Y 1} f (x, y)dxdy
y
y=x
G
1/2 dx 1x eydy 1 2 1
0
x
e1/ 2 e
1
0 1/2 1
x
x+y=1
4.设 二 维 随机 变 量( X ,Y )的 分 布 函数 为
例3 设二 维随 机变 量( X , Y ) 具有 概率 密度
2e (2 x y) , x 0, y 0,
f (x, y) 0,
其 它.
(1) 求分 布函 数F ( x, y); (2) 求概 率 P{Y X }.
解: (1) F ( x, y) y
x
f (u, v)d ud v
yx
F ( x, y)
f (u, v) d ud v
则 称( X ,Y )是 连 续 型 的 二 维 随 机 变量,函 数f ( x, y)
茆诗松概率论与数理统计教程课件第三章 (3)
i 0
k
i 0
i 1
i!
e 1
2
i k 2
(k i )!
k
e 2
e
1
e k!
k! i k i 1 2 i 0 i! ( k i )!
e ( 1 2 ) k (1 2 ) k!
(1 2 )k ( 1 2 ) e k!
p( x, y )dxdy
| x y| z
dxdy
阴影部分面积
1 1 2 (1 z ) 2 2
2z z 2
所以Z=|X-Y|的密度函数为
pZ ( z ) FZ ' ( z ) 2(1 z ),
0 z 1
对某些常用的简单的函数g, 可利用“分布函数法” 导出pZ(z)和p(x,y)的关系式供我们直接使用.
解: 由题知
1 pX ( x ) e 2
x2 2
1 , pY ( y ) e 2
y2 2
,
x, y
所以由卷积公式有
1 pZ ( z ) pX ( x ) pY ( z x )dx e 2
x2 2
e
( z x )2 2
类似地, 我们可以求得n个独立变量的最大值和最小值的分 布函数.
例五. 设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2连接而成,
连接的方式分别为:(1)串联, (2)并联, (3)备用(当系统 L1损坏时, 系统L2开始工作), 如图所示. 设L1和L2的寿 命分别为X,Y, 其概率密度分别为
e x , x 0 pX ( x ) 0, 其 它
2
k
i 0
i 1
i!
e 1
2
i k 2
(k i )!
k
e 2
e
1
e k!
k! i k i 1 2 i 0 i! ( k i )!
e ( 1 2 ) k (1 2 ) k!
(1 2 )k ( 1 2 ) e k!
p( x, y )dxdy
| x y| z
dxdy
阴影部分面积
1 1 2 (1 z ) 2 2
2z z 2
所以Z=|X-Y|的密度函数为
pZ ( z ) FZ ' ( z ) 2(1 z ),
0 z 1
对某些常用的简单的函数g, 可利用“分布函数法” 导出pZ(z)和p(x,y)的关系式供我们直接使用.
解: 由题知
1 pX ( x ) e 2
x2 2
1 , pY ( y ) e 2
y2 2
,
x, y
所以由卷积公式有
1 pZ ( z ) pX ( x ) pY ( z x )dx e 2
x2 2
e
( z x )2 2
类似地, 我们可以求得n个独立变量的最大值和最小值的分 布函数.
例五. 设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2连接而成,
连接的方式分别为:(1)串联, (2)并联, (3)备用(当系统 L1损坏时, 系统L2开始工作), 如图所示. 设L1和L2的寿 命分别为X,Y, 其概率密度分别为
e x , x 0 pX ( x ) 0, 其 它
2
3.3多维随机变量函数的分布x
k
i0
1i
i!
e 1
ki
e 2
2
(k i)!
k
k
e 1
2
(12 )
k!
i0
i
k! !(k
i)!
1 1 2
i
2 1 2
ki
1 2
k!
k
e(1 2 )
1 1 2
2 1 2
k
1 2
k
e(1 2 ) , k 0,1, 2,L .
y x yz
O
x
z
f (u y, y)d y d u.
由此可得概率密度函数为
fZ (z) f (z y, y)d y.
由于 X 与 Y 对称,
fZ (z) f ( x, z x)d x.
当 X, Y 独立时, fZ (z)也可表示为
fZ (z) fX (z y) fY ( y)d y,
2 12
12 2 12 12 12
(X ,Y )
(1,2)
(1,1) (1,0)
1 2
,2
1 2
,1
(3,2)
(3,0)
1
概率 12
1
32
1 22
12 12 12 12 12 12
( X ,Y ) (1,2)
(1,1) (1,0)
1 2
,2
1 2
,1
(3,2)
(3,0)
X Y 3
证 Z X Y的取值为0，1，2，L 非负整数，而事件Z k
是k 1个互不相容事件X i,Y k i, i 0,1,L , k
的并，则对于任意非负整数k，有
k
P(Z k) P( X i)P(Y k i) i0
3.3多维随机变量函数的分布
求Z=X+Y的概率密度.1, 0 1
( ) ,
0,
x
p x
其它( ) ( ) ( )Z X Yp z p x p z x dx
解: 由卷积公式0 1
0 1
x
z x
也即0 1
一维连续型随机变量函数的分布的方法
分布函数法、定理法
本节的主要问题是已知X,Y )的联合分布而( , )
Z g X Y求Z 的分布. §3.3 多维随机变量函数的分布Copyright. Yang ning-guang.2010.
All Rights Reserved.
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9为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
练习设X与Y 的联合概率密度为3 , 0 1, 0 ;
( , ) ,
0,
x x y x
p x y
其它( ) ( , )Zp z p x z x dx
Copyright. Yang ning-guang.2010.
All Rights Reserved.1§3.1多维随机变量及其联合分布
§3.2边际分布与随机变量的独立性
§3.3 多维随机变量函数的分布
§3.4 多维随机变量的特征数
§3.5 条件分布与条件数学期望§3.3 多维随机变量函数的分布Copyright. Yang ning-guang.2010.
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2回顾
(2) 连续型已知X( ),Xp x要求Y=f (X)分布密度( )Yp y要求Y=f (X)分布律
( ) ,
0,
x
p x
其它( ) ( ) ( )Z X Yp z p x p z x dx
解: 由卷积公式0 1
0 1
x
z x
也即0 1
一维连续型随机变量函数的分布的方法
分布函数法、定理法
本节的主要问题是已知X,Y )的联合分布而( , )
Z g X Y求Z 的分布. §3.3 多维随机变量函数的分布Copyright. Yang ning-guang.2010.
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9为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
练习设X与Y 的联合概率密度为3 , 0 1, 0 ;
( , ) ,
0,
x x y x
p x y
其它( ) ( , )Zp z p x z x dx
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All Rights Reserved.1§3.1多维随机变量及其联合分布
§3.2边际分布与随机变量的独立性
§3.3 多维随机变量函数的分布
§3.4 多维随机变量的特征数
§3.5 条件分布与条件数学期望§3.3 多维随机变量函数的分布Copyright. Yang ning-guang.2010.
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2回顾
(2) 连续型已知X( ),Xp x要求Y=f (X)分布密度( )Yp y要求Y=f (X)分布律
第三章 多维随机变量及其分布
i 1 n
则称X 1 , X 2 , , X n相互独立。
3.3
多维随机变量函数的分布
一、多维离散随机变量函数的分布 二、最大值与最小值的分布
三、连续场合的卷积公式
四、变量变换法
一、多维离散随机变量函数的分布
泊松分布的可加性
设X P(1 ), Y P(2 )，且X 与Y 独立，则Z X Y P(1 2 ).
二项分布的可加性
设X b(n, p), Y P(m, p)，且X 与Y 独立，则Z X Y b(n m, p).
二、最大值和最小值的分布
最大值分布
设X1 , X 2 , , X n是相互独立的n个随机变量，若Y max( X1 , X 2 , , X n )， 则Y的分布称为最大值分布。
y y
0
1
U g1 ( X , Y ) V g2 ( X , Y )
则(U ,V )的联合分布函数为 p( , ) p( x( , ), y( , )) | J |
积的公式
设X 与Y 相互独立，其密度函数分别为p X ( x)和pY ( y )。则 U XY的密度函数为 pU ( )
P( X x , Y y ) P( X x ), i 1, 2,
j 1 i j i
被称为X 的边际分布列，类似地，对i求和所得的分布列
P( X x , Y y ) P(Y y ), j 1, 2,
i别地, 当n 2时( X , Y )为二维随机变量。
其联合分布函数为（ F x, y） P （X x, Y y）
若F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数, 则 它表示随机点(X,Y)落在二维区域D内的概率, 其中D 如下图所示:
则称X 1 , X 2 , , X n相互独立。
3.3
多维随机变量函数的分布
一、多维离散随机变量函数的分布 二、最大值与最小值的分布
三、连续场合的卷积公式
四、变量变换法
一、多维离散随机变量函数的分布
泊松分布的可加性
设X P(1 ), Y P(2 )，且X 与Y 独立，则Z X Y P(1 2 ).
二项分布的可加性
设X b(n, p), Y P(m, p)，且X 与Y 独立，则Z X Y b(n m, p).
二、最大值和最小值的分布
最大值分布
设X1 , X 2 , , X n是相互独立的n个随机变量，若Y max( X1 , X 2 , , X n )， 则Y的分布称为最大值分布。
y y
0
1
U g1 ( X , Y ) V g2 ( X , Y )
则(U ,V )的联合分布函数为 p( , ) p( x( , ), y( , )) | J |
积的公式
设X 与Y 相互独立，其密度函数分别为p X ( x)和pY ( y )。则 U XY的密度函数为 pU ( )
P( X x , Y y ) P( X x ), i 1, 2,
j 1 i j i
被称为X 的边际分布列，类似地，对i求和所得的分布列
P( X x , Y y ) P(Y y ), j 1, 2,
i别地, 当n 2时( X , Y )为二维随机变量。
其联合分布函数为（ F x, y） P （X x, Y y）
若F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数, 则 它表示随机点(X,Y)落在二维区域D内的概率, 其中D 如下图所示:
第3.3节随机变量的函数及其分布(new)
−∞ −∞
pη ( y ) = ∫ p1 ( x) p2 ( y − x)dx
+∞
因此我们有如下定理： 定理：若 ξ1，ξ 2 相互独立，且有密度函 数， 则ξ1 + ξ 2也有密度函数，并且其 密度函数为 ξ1 与ξ 2密度函数的卷积。
例 设随机变数 ξ ， η 独立，同服从 λ = 1的 指数分布，求 ξ + η 的密度函数。 解： ξ + η 的密度函数为 pξ+η ( y ) =
Fη ( y ) = P {η < y} = z1 = x1 令 z 2 = x1 + x 2 上式 = = (∫ ,则
2 x1 + x 2 < y
∫∫
p ( x 1 , x 2 ) dx 1 dx
2
∫ ∫
−∞ +∞ −∞
+∞
y −∞
p ( z 1 , z 2 − z 1 ) dz 1 dz
i =0 k
= ∑ P{ξ = i}P{η = k − i} = ∑ C p q C
i =0 i =0 i n i n −i
k
k
k −i m
p q
k −i
m− k +i
=p q
k
n+ m−k
∑C C
i =0 i n
k
k −i m
=C
k n+m
p q
k
n + m−k
, k = 0,L, n + m
则ξ + η ~ B(n + m, p)
故η的密度函数为 1 p( y) = F′( y) = 2 π(1+ y )
例2的解
pη ( y ) = ∫ p1 ( x) p2 ( y − x)dx
+∞
因此我们有如下定理： 定理：若 ξ1，ξ 2 相互独立，且有密度函 数， 则ξ1 + ξ 2也有密度函数，并且其 密度函数为 ξ1 与ξ 2密度函数的卷积。
例 设随机变数 ξ ， η 独立，同服从 λ = 1的 指数分布，求 ξ + η 的密度函数。 解： ξ + η 的密度函数为 pξ+η ( y ) =
Fη ( y ) = P {η < y} = z1 = x1 令 z 2 = x1 + x 2 上式 = = (∫ ,则
2 x1 + x 2 < y
∫∫
p ( x 1 , x 2 ) dx 1 dx
2
∫ ∫
−∞ +∞ −∞
+∞
y −∞
p ( z 1 , z 2 − z 1 ) dz 1 dz
i =0 k
= ∑ P{ξ = i}P{η = k − i} = ∑ C p q C
i =0 i =0 i n i n −i
k
k
k −i m
p q
k −i
m− k +i
=p q
k
n+ m−k
∑C C
i =0 i n
k
k −i m
=C
k n+m
p q
k
n + m−k
, k = 0,L, n + m
则ξ + η ~ B(n + m, p)
故η的密度函数为 1 p( y) = F′( y) = 2 π(1+ y )
例2的解
第3章多维随机变量及其分布
f(x, y)
1
e ,
1 2(12
[ )
(
x1 12
)2
2
(
x1 )(y 12
2
)
(
y
2 22
)2
]
212 1 2
其中，1、2为实数，1>0,2>0, | |<1，则称(X, Y) 服从参数1,2, 1, 2, 的二维正态分布，可记为
元函数f(Dx1,x2,x.1.,...x. nx)n使 :得a对1 任x意的bn1元,...立a方n 体x bn
有
PX1...X n D
...
D
f (x1, x2 ,...xn )dx1...dxn
则称(X1,X2,...Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,...xn) 为(X1,X2,...Xn)的概率密度。
A6
1
(2)F (1,1) 16e(2x3y)dxdy (1 e2 )(1 e3) 0 0
(3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6 内的概率。
解 P{(X ,Y ) D} 6e(2x3y)dxdy
D
3 22x3
dx 6e(2x3y)dy
F ( x,) lim F ( x, y) 0 y
(2)单调不减 对任意y R, 当x1<x2时， F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意x R, 当y1<y2时， F(x, y1) F(x , y2).
(3)右连续 对任意xR, yR,
F(x,
y0
0)
... ... ... ... ... ...
第三章多维随机变量及其分布
第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布在许多随机试验中，需要考虑的指标不⽌⼀个。
例如，考查某地区学龄前⼉童发育情况，对这⼀地区的⼉童进⾏抽样检查，需要同时观察他们的⾝⾼和体重，这样，⼉童的发育就要⽤定义在同⼀个样本空间上的两个随机变量来加以描述。
⼜如，考察礼花升空后的爆炸点，此时要⽤三个定义在同⼀个样本空间上的随机变量来描述该爆炸点。
在这⼀章中，我们将引⼊多维随机变量的概念，并讨论多维随机变量的统计规律性。
1.⼆维随机变量及其分布在这⼀节中.我们主要讨论⼆维随机变量及其概率分布，并把它们推⼴到n维随机变量。
1.⼆维随机变量及其分布函数1.⼆维随机变量定义3.1 设Ω ={ω }为样本空间，X=X(ω )和Y=Y(ω )是定义在Ω上的随机变量，则由它们构成的⼀个⼆维向量(X,Y)称为⼆维随机变量或⼆维随机向量.⼆维向量(X，Y)的性质不仅与X及Y有关，⽽且还依赖于这两个随机变量的相互关系。
因此，逐个讨论X和Y的性质是不够的，需把(X,Y)作为⼀个整体来讨论。
随机变量X常称为⼀维随机变量。
2. ⼆维随机变量的联合分布函数与⼀维的随机变量类似，我们也⽤分布函数来讨论⼆维随机变量的概率分布。
定义3.2 设(X,Y)是⼆维随机变量，x，y为任意实数，事件(X≤x)和(Y≤y)的交事件的概率称为⼆维随机变量(X,Y)的联合分布或分布函数，记作F(x,y)，即若把⼆维随机变量(X,Y)看成平⾯上随机点的坐标，则分布函数F (X,Y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落⼊以(x,y)为定点且位于该点左下⽅的⽆穷矩形区域内的概率（见图3-1）。
⽽随机点(X,Y) 落在矩形区域内的概率可⽤分布函数表⽰（见图3-2）分布函数F (x，y)具有以下的基本性质。
(1) 0≤F (x，y)≤1.对于任意固定的x和y，有(2) F (x，y)是变量x或y的单调不减函数，即对任意固定的y，当x2 ≥x1时,；对任意固定的x，当y2 ≥y1时，。
第三章 多维随机变量的函数的分布
C C C i
ki
n1
n2
k n2 n2
i0
k
所以
C p q C p q C p q i i n1i n1
k i k i n2 k i n2
k
k n1 n2 k
n1 n2
i0
可见，Z～b(n1+n2,p).
这个结果很容易推广至多个的情形:若
Xi~b(ni,p),i=1,2,…,m,且X1,…,Xm独立,则X1+X2+…+Xm～ b(n1+n2+…+nm,p)。
V=3 V=4 V=5
34
5
0.05 0.07 0.09
0.05 0.06 0.08
0.05 0.05 0.06
0.06 0.06 0.05
(2) U=Min(X,Y)的可能取值为：0，1，2，3 P{U=i}=P{X=i,Y≧i}+P{X>i,Y=i},i=0,1,2,3. U的分布律为
V0
1
2
12
0.01 0.03
W=3 W=4 W=5
34
5
0.05 0.07 0.09
1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 W=6
2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 W=7
3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 W=8
例2: 设X和Y独立,分别服从二项分布b(n1,p), 和 b(n2,p)(注意两个二项分布中p是一样的),求Z=X+Y的 分布律.
设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为
FZ (z) P{Z z} P{X Y z} f ( x, y)dxdy x yz
§3.3 多维随机变量的函数的分布
推广：若X1 , X2 ,L, Xn相互独立，且Xi ~ P(λi )i = 1,2,L, n. 则X1 + X2 +L+ Xn ~ P(λ1 + λ2 +L+ λn ).用卷积写为 P(λ1 ) ∗ P(λ2 ) ∗L∗ P(λn ) = P(λ1 + λ2 +L+ λn ).
特别，λ1 = λ2 = L = λn = λ时，上式为 P (λ ) ∗ P (λ ) ∗ L ∗ P (λ ) = P ( nλ ).
−1
0
−1
3 − 2 5 2
−2
1 − 2 3 2
−1
1
3
3 0
5
−2
故 Z1 = X + Y的分布列为：
X +Y − 3
P
1 12
−2
1 12
−1
3 12
3 − 2
2 12
1 − 2
1 12
1
2 12
3
2 12
Z 2 = X − Y 的分布列为：
X −Y
P
0
1 12
1
4 12
5 2
2 12
3 2
ai X i ~ N ( ∑ ai µi , ∑ ai2σ i2 ). ∑
i =1 i =1 i =1 n n n
例6（伽玛分布的可加性） X ~ Ga(α1 , λ ),Y ~ Ga(α2 , λ ), （ 设
且X与Y相互独立，证明Z = X + Y ~ Ga(α1 + α2 , λ ).
证 Q Z = X + Y 在(0, +∞ )内 取 值 ， ∴ 当 z ≤ 0时 ， pZ ( z ) = 0.
3.3多维随机变量函数的分布
p( x, y)d y,
称其为随机变量 ( X , Y ) 关于 X 的边际概率密度.
同理， 随机变量(X,Y)关于Y 的边际分布函数
y
FY ( y) F (, y)
p( x, y)d x d y,
pY ( y)
p( x, y)d x.
关于Y 的边际概率密度.
例3.2.3 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
上式右边分别乘以和除以 (1 p1 )ni ,两边对j从0到n i求 (n i)!
和，并记
p2
p2 1 p1
,则可得：
n-i
P(X
j＝0
i,Y
j)
n! i !(n i)!
p1i (1
p1 )ni
n-i (n i)!
p2j (1 p1 p2 )ni j
j＝0 j !(n i j)! (1 p1 ) j (1 p1 )ni j
P{Y y j } pij , j 1, 2, . i 1
因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边际分布函
数分别为
FX ( x) F ( x, )
pij ,
xi x j1
FY ( y) F (, y)
pij .
y j y i1
例3.2.2 已知下列分布律求其边缘分布律.
n! i !(n
i)!
p1i (1
p1 )ni [
p2
(1
p2 )]ni
n! i !(n i)!
p1i (1
p1 )ni
Cni
p1i (1
p1 )ni .
即P( X
i)
C
i n
p1i (1
p1 )ni ,
概率论与数理统计教程(茆诗松)第三章多维随机变量及其分布
P(X1=0, X2=1) = P(|Y|≥1, |Y|<2) = P(1≤|Y|<2) = 2[Φ(2) Φ(1)] = 0.2719
P(X1=1, X2=0) = P(|Y|<1, |Y|≥2) = 0
P(X1=1, X2=1) = P(|Y|<1, |Y|<2) = P(|Y|<1) = 0.6826
23 August 2021
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第三章 多维随机变量及其分布
列表为：
X1 X2 0 1
0
0.0455 0
1
0.2719 0.6826
第13页
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第三章 多维随机变量及其分布
课堂练习
第14页
设随机变量 X 在 1，2，3 ， 4 四个整数中等可 能地取值，另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能 地取一整数值。试求（X, Y）的联合分布列.
第三章 多维随机变量及其分布
第1页
第三章 多维随机变量及其分布
§3.1 多维随机变量及其联合分布 §3.2 边际分布与随机变量的独立性 §3.3 多维随机变量函数的分布 §3.4 多维随机变量的特征数 §3.5 条件分布与条件期望
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第三章 多维随机变量及其分布
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第三章 多维随机变量及其分布
3.2.1 边际分布函数
第29页
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，
则 X FX (x) = F(x, +),
Y FY (y) = F(+ , y).
23 August 2021
P(X1=1, X2=0) = P(|Y|<1, |Y|≥2) = 0
P(X1=1, X2=1) = P(|Y|<1, |Y|<2) = P(|Y|<1) = 0.6826
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第三章 多维随机变量及其分布
列表为：
X1 X2 0 1
0
0.0455 0
1
0.2719 0.6826
第13页
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第三章 多维随机变量及其分布
课堂练习
第14页
设随机变量 X 在 1，2，3 ， 4 四个整数中等可 能地取值，另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能 地取一整数值。试求（X, Y）的联合分布列.
第三章 多维随机变量及其分布
第1页
第三章 多维随机变量及其分布
§3.1 多维随机变量及其联合分布 §3.2 边际分布与随机变量的独立性 §3.3 多维随机变量函数的分布 §3.4 多维随机变量的特征数 §3.5 条件分布与条件期望
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第三章 多维随机变量及其分布
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第三章 多维随机变量及其分布
3.2.1 边际分布函数
第29页
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，
则 X FX (x) = F(x, +),
Y FY (y) = F(+ , y).
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二元正态分布定义
8xy, 0 x y,0 y 1 P(x,y)= 其它 0, 问 与是否相互独立？
【解】 4 x 4 x 3 , 0 x 1 P ( x) 其它 0,
4 y 3 , 0 y 1 P (y) 其它 0,
由此可见：当点(x,y)图中阴影部分时，P(x,y) P ( x)P ( y)
即：
～ (a, b) ～ (c, d )
上的二元 【注】1. 均匀分布可推广 到m维区域上的均 匀分布。 2. (a, b; c, d ) 可推广 到n次矩形体上的 多元均匀分布。
附：
当( , )～ (a, b; c, d )时，则不难求出( , )的联合d . f .F ( x, y )： 0, x a或y c ( x a )( y c) , a x b, c y d (b a )(d c) y c , x b, c y d F ( x, y ) d c xa , a x b, y d ba 1, x b, y d
3.3 多维随机变量及其分布
一、多维随机变量及其联合分布函数
定义1：如果 1, 2 , , n 是概率空间(, F , P) 上的n个随机 变量，那么称向量（ 1 , 2 , , n）为n维随机变量或n维随 机向量。 定义2：对 ( x1, x2 , , xn ) Rn ，称
F ( x1, x2 , , xn ) P(1 x1, 2 x2 , , n xn )
y1 · x1
·
x2
·
x
的联合分布函数F(x,y) 定理1：二维随机变量 （，） 具有如下的基本性质： F（x，y）对每个变元是非降的； F（x，y）对每个变元左连续； F（-∞，y）＝0，F（x，-∞）＝0,F(-∞, +∞ ）=1
多维随机变量及其分布
多维随机变量的期望和方差
总结词
期望和方差是多维随机变量的重要统计量，用于描述随机变量的中心趋势和离散程度。
详细描述
期望值是随机变量所有可能取值的加权平均，反映了随机变量的中心趋势。方差则是描 述随机变量取值分散程度的量，即离散程度。在多维随机变量中，期望值是一个向量，
方差是一个矩阵。
多维随机变量的协方差和相关系数
定义
连续型随机变量是在一定范围内 可以取任何值的随机变量，通常 用X表示。
例子
人的身高、体重、时间等。
概率分布
连续型随机变量的概率分布可以 用概率密度函数（PDF）表示， 即f(x)表示随机变量取某个值的概 率密度。
随机变量的期望和方差
期望
期望是随机变量取值的平均值，用E(X)表示。对于离散型随机变量，E(X)=∑xp(x)； 对于连续型随机变量，E(X)=∫xf(x)dx。
复杂度并提高模型的泛化能力。
Part
07
总结与展望
总结多维随机变量及其分布的主要内容
定义与性质
多维随机变量是多个随机变量的组合，具有多维度的特性 。其定义基于概率空间，每个维度都有独立的概率分布。
联合概率分布
多维随机变量的联合概率分布描述了所有维度同时发生的 概率。通过联合概率分布，可以计算各种联合事件的概率 。
总结词
独立性是多维随机变量的一个重要性质，表示多个随机变量之间没有相互依赖关系。
详细描述
在多维随机变量中，如果多个随机变量之间相互独立，那么一个随机变量的取值不会影响到另一个随 机变量的取值。独立性的判断对于概率论和统计学中的许多问题至关重要，如联合概率分布、条件概 率和贝叶斯推断等。
Part
06
边缘概率分布
第3.3节随机变量的函数及其分布(1)
3.3 随机变量的函数及其分布一、博雷尔函数与随机变量的函数二、单个随机变量的函数的分布律三、随机向量的函数的分布律四、随机向量的变换五、随机变量函数的独立性一、博雷尔函数与随机变量的函数1引例在实际应用问题中，有时需要研究多维随机变量的函数的概率分布. 例如，鱼雷在水下运动时，其速度的三个分量都是随机变量，若已知的联合分布，如何计算其动能的分布.,,x y z v v v ,,x y z v v v 2221()2x y z E m v v v =++2 博雷尔函数() y g x R R R B =1111设有是到上的一个映照，若对于一切中的博雷尔点集均义有定 3.3.1{:()}x g x B ∈∈11()R g x σ11其中为上的博雷尔域，则称尔测数是一元博雷（可）函 注所有的连续函数与单调函数都是博雷尔函数(,,,) n n y g x x x R R R B =11211 设有是到上的一个映照，若对于一切中的博雷尔点集均有义定 3.3.2{(,,,):(,,,)}n n nx x x g x x x B ∈∈12121 (,,,)nn n R g x x x n σ12 其中为上的博雷尔域，则称是尔测数元博雷（可）函 3 随机变量的函数(,,)()()(,,)P g x g P ξξΩΩ若是概率空间上的随机变量，而是一元博雷尔函数，则是上的随机变量.问题g =()?如何根据已知的随机变量的分布求得随机变量的分布ξηξ4 离散型随机变量的函数的分布=2.设的分布律为求的分布律ξηξξp2101-41414141例一维离散型随机变量的函数的分布g =,().如果是离散型随机变量其函数也是离散型随机变量若的分布律为ξηξξξkpkx x x 21kp p p 21g =()则的分布律为ηξk k g x p (),.若中有值相同的应将相应的合并g =()ηξkp k g x g x g x 12()()()k p p p 21二维离散型随机变量函数的分布ξη12--1-21312312112101211221220122(,)设随机变量的分布律为ξη例+-(1),(2).求的分布律ηξξη结论的联合分布律为若二维离散型随机变量i j ij P x y p i j ===={,},,1,2,ξη g =(,)则随机变量函数的分布律为ψξηk k P z P g z ==={}{(,)}ψξη k i j ij z g x y p k ===∑()1,2,.例设相互独立的两个随机变量x与h具有同一分布律,且x的分布律为ξP1 05.0 5.0=:max(,).试求的分布律ζξη卷积公式k k a b =+{}{}, 设与是相互独立的随机变量，它们非负整数值，其概率分别为与，则的分布律为ξηζξηζr r r r c P r P r P r P r a b a b a b -=====+==-++===+++0110{}{0,}{1,1}{,0} ζξηξηξη称此计算公式为离散卷积公式例设且相互独立，求的分布律。
第五讲多维随机变量函数的分布
第五讲多维随机变量函数的分布3. 随机变量函数的概率分布常见多维随机变量函数的分布：二维线性和函数，多维的Max ,Min 函数。
1）ηξζb a +=（0≠b ）的分布若),(ηξ的密度为),(y x ?，则ζ的密度为dx by x z bax z y 1|),()(?=-=∞+∞-ζ ，当ηξ,独立时，则有 dx by x z bax z y 1|)()()(?=-=∞+∞-?ηξζ（卷积公式）注意几点：a ）ξ，η，ζ分别与z y x ,, 对应。
b ）积分式中baxz y -=与ηξζb a += 相对应。
利用已有的一些结论。
如：独立正态和仍为正态。
例9．设)1,0(~N ξ ，)1,1(~N η ，且相互独立，求}1{≤+ηξP 。
解：由题意可知，ηξ+ 服从正态分布，且其第一个参数等于ηξηξE E E +=+)(=１。
利用密度函数关于 1=x 对称，即知5.0}1{=≤+ηξP例10．设随机变量ξ，η 独立，~ξ)1,0(U ，η 的密度为202110,,,02)(><≤<≤≤??-=y y y y y y y 或η?，求ηξζ+= 的分布密度。
分析：应先在xoy 平面上用阴影标出（ξ，η）联合分布密度函数不等于0的部分，同时画出直线常数==+z y x ，根据与阴影部分相交的不同情况分为有关不同z 的5种情况，然后进行计算。
解法一：（用二重积分先求分布再求密度方法）：利用公式 dxdy y x z P z P z F z y x ),()()()()(??≤+=≤+=≤=ξηζ?ηξζ因为ξ，η独立，故其它21,1010,10,,,02),(≤<≤≤≤≤≤≤??-=y x y x y y y x ξη?当0z （相当于图中直线(5)）时，)(z F ζ=1 ;而相应于图中直线(2)时，)1,0[∈z ，此时)(z F ζ=6)(3z dy y z y ydx dy yz zz ?-=-= 。
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x
因而得
6( x x 2 ), 0 x 1, f X ( x) 其他. 0,
当 0 y 1 时,
1
y y x
(1,1)
fY ( y )
f ( x , y ) d x
y
y
y x2
O
6d x
1
x
6( y y ).
当 y 0 或 y 1时, fY ( y )
e
dy,
1 y μ2 x μ1 , 令 t ρ 2 σ1 1 ρ σ2
则有
1 f X ( x) e 2 πσ 1 f X ( x) 1 e 2 πσ1
( x μ1 )2 2 2 σ1
t2 2
e
d t,
即
( x μ1 )2 2 2 σ1
三维随机变量( X , Y , Z )的联合分布函数F ( x , y , z )中， 类似的方法可得下列边际分布函数： FX ( x ) F ( x , , ); FY ( y ) F ( , y , ); FZ ( z ) F ( , , z );
提出问题：
上面研究了二维联合分布，是二维随机变量的整
体性质，从中还要解决如下三个个体问题： ①关于每个分量的分布，即边际分布. ②两个分量之间的关系、关联程度，即独立性、 协方差和相关系数. ③给定一个分量时，另一个分量的分布，即 条件分布.
一、边际（缘）分布函数
问题: 已知 ( X , Y ) 的分布 , 如何确定 X , Y 的分布 ?
3 7
注意
联合分布
边缘分布
三、连续型随机变量的边际密度函数
定义 对于连续型随机变量 ( X , Y ), 设它的联合概率
密度为 p( x , y ), 由于 FX ( x ) F ( x , ) [
x
p( x , y )d y ]d x ,
记
pX ( x )
（2）P(X<1/2) 及P(Y>1/2).
例3.2.5
多项分布的一维边际分布仍是二项分布.
解 仅就三项分布的边际分布为二项分布给予证明.
已知（X , Y ) ~ M (n, p1 , p2 , p3 )，证明X ~ b(n, p1 ), Y ~ b(n, p2 ).
n! P ( X i ,Y j ) p1i p2j (1 p1 p2 )n i j , i ! j !( n i j )!
F ( x, ) 为随机变量 ( X,Y ) 关于X的边际分布函数.
记为 FX ( x ) F ( x , ).
事实上，令 y , 由于 y 为必然事件，故可得
y ＋
lim F ( x, y ) F ( x, ) P ( X x , Y ) P ( X x ) ＝ ＝
定义设二维离散型随机变量( X , Y )的联合分布
律为 记 P { X xi , Y y j } pij , i , j 1, 2, . pi pij P { X xi }, i 1, 2, ,
j 1
p j pij P {Y y j },
第三章 多维随机变量及其分布
一、多维随机变量及其联合分布 二、边际分布与随机变量的独立性 三、多维随机变量函数的分布
四、多维随机变量的特征数
五、条件分布与条件期望
§3.2 边际分布与随机变量的独立性
一、边际分布函数 二、离散型随机变量的边际分布列 三、连续型随机变量的边际密度函数 四、随机变量间的独立性
n-i
j＝0
p2j (1 p1 p2 )n i j ( n i )! j !( n i j ) ! (1 p1 ) j (1 p1 )n i j
n-i p2 j p2 n i j n! ( n i )! i n i p1 (1 p1 ) ( ) (1 ) i !( n i )! 1 p1 j＝0 j !( n i j )! 1 p1
当 0 x 1 时,
f X ( x)
f ( x , y ) d y
y x2
O
1
x
2
x
x
6d y
2
6( x x ).
当 x 0 或 x 1时,
f X ( x)
y y x
(1,1)
f ( x , y ) d y 0.
O
y x2
1
F ( x , y ) P{ X x ,Y y} , F ( x ) P{ X x },
P{X x} P{X x,Y } F ( x, ) FX ( x )
( X ,Y )关于X的边缘分布函数.
定义 设 F ( x, y ) 为随机变量 ( X,Y ) 的分布函数 , 称
关于Y 的边际概率密度.
例3.2.3 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
6, x 2 y x , f ( x, y) 0, 其他. 求边缘概率密度 f X ( x ), fY ( y ) .
解
f X ( x)
f ( x, y)d y
y y x
(1,1)
解 FX ( x ) lim F ( x , y )
y
lim (1 e x e y e x y xy ) 1 e x , x 0; y 0, x 0.
同样有
1 e y , y 0， FY ( y ) 其他. 0,
y μ2 x μ1 ( x μ1 )2 ρ ρ2 , 2 σ1 σ1 σ2
于是
f X ( x) 1 2πσ1σ 2 1 2 e
( x μ 1 )2 2 2σ1
1 y μ 2 x μ 1 2 ρ σ1 2(1 ρ2 ) σ2
pi1
pi 2
pij
p1
p2
p j
P j
1
P{ X xi } pij , i 1, 2,;
j 1
P{Y y j } pij , j 1, 2, .
i 1
因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边际分布函 数分别为
FX ( x ) F ( x , )
f ( x , y ) d x 0.
6( y y ), 0 y 1, 得 fY ( y ) 0, 其他.
例3.2.4 设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为
1, p( x, y ) 0,
0 x 1, y x; 其他.
试求： （1）边际密度函数pX(x)和pY(y);
FX ,Y ( x , y ) F ( x , y , ); FX , Z ( x , z ) F ( x , , z ); Fy , Z ( y , z ) F ( , y , z ).
边缘分布的几何意义
FX(x)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下左图所示区 域内的概率；
n-i p2 j p2 n i j n! i n i j p1 (1 p1 ) C n i ( ) (1 ) i !( n i )! 1 p1 1 p1 j＝0
n! i p1 (1 p1 )n i [ p2 (1 p2 )]n i i !( n i )! n! p1i (1 p1 )n i C i p i (1 p )n i . n 1 1 i !( n i )!
p( x , y )d y ,
称其为随机变量 ( X , Y ) 关于 X 的边际概率密度.
同理， 随机变量(X,Y)关于Y 的边际分布函数
FY ( y ) F (, y ) y,
pY ( y ) p( x , y )d x.
j 1
即对每一行求和.
关于Y 的边际分布列：P j P Y y j pij , j 1, 2,
i 1
X Y
0
1
12 49
16 0 49 12 1 49
9 49
pi P{ X xi } 4 7 3 7
1
p j P{Y y j }
4 7
i 1
j 1, 2, ,
分别称 pi ( i 1, 2,) 和 p j ( j 1, 2,) 为 ( X , Y ) 关于 X 和关于 Y 的边际分布列.
X
x1 x2 xi
Y
y1
p11
p21
y2
p12
p22
yj
p1 j
p2 j
Pi
p1 p2 pi
, x .
同理可得
fY ( y ) 1 e 2 πσ 2
( x μ2 ) 2 2 2σ2
即 FX ( x ) P{ X x} P{ X x , Y } F ( x, ) .
类似地，令
x ,
x
FY ( y ) F ( , y ) lim F ( x , y ) P{ X , Y y } P{Y y }
为随机变量( X , Y )关于变量Y的边际分布函数.
x , y ,
其中 μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ 都是常数, 且 σ1 0, σ 2 0, 1 ρ 1.