3.3 多维随机变量函数的分布

第三章 多维随机变量及其分布
一、多维随机变量及其联合分布 二、边际分布与随机变量的独立性 三、多维随机变量函数的分布
四、多维随机变量的特征数
五、条件分布与条件期望
§3.2 边际分布与随机变量的独立性
一、边际分布函数 二、离散型随机变量的边际分布列 三、连续型随机变量的边际密度函数 四、随机变量间的独立性
F ( x , y ) P{ X x ,Y y} , F ( x ) P{ X x },
P{X x} P{X x,Y } F ( x, ) 来自百度文库 FX ( x )
( X ,Y )关于X的边缘分布函数.
定义 设 F ( x, y ) 为随机变量 ( X,Y ) 的分布函数 , 称


p( x , y )d y ,
称其为随机变量 ( X , Y ) 关于 X 的边际概率密度.
同理， 随机变量(X,Y)关于Y 的边际分布函数
FY ( y ) F (, y )
y



p( x, y )d x d y,
pY ( y ) p( x , y )d x.
三维随机变量( X , Y , Z )的联合分布函数F ( x , y , z )中， 类似的方法可得下列边际分布函数： FX ( x ) F ( x , , ); FY ( y ) F ( , y , ); FZ ( z ) F ( , , z );
x
因而得
6( x x 2 ), 0 x 1, f X ( x) 其他. 0,
当 0 y 1 时,
1
y y x
(1,1)
fY ( y )
f ( x , y ) d x


y
y
y x2
O

6d x
1
x
6( y y ).
当 y 0 或 y 1时, fY ( y )
FX ( x )是一维指数分布Exp(1), FY ( y )也是一维指数 分布Exp(1).与二维指数分布的参数 >0无关.不同的 参数 对应不同的二维指数分布，但它们的两个边 际分布不变.这说明，二维联合分布不仅含有每个 分量的概率分布，而且还含有两个变量X 与Y间的 关系.
二、离散型随机变量的边际分布列
提出问题：
上面研究了二维联合分布，是二维随机变量的整
体性质，从中还要解决如下三个个体问题： ①关于每个分量的分布，即边际分布. ②两个分量之间的关系、关联程度，即独立性、 协方差和相关系数. ③给定一个分量时，另一个分量的分布，即 条件分布.
一、边际（缘）分布函数
问题: 已知 ( X , Y ) 的分布 , 如何确定 X , Y 的分布 ?
FY(y)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下右图所示区 域内的概率。
y y
y
O
x
x
O
x
例3.2.1
设（X , Y )的联合分布函数为（此分布为二维指数分布） 1 e x e y e x y xy , x 0, y 0; F x, y) （ 0, 其他. 求关于X 及关于Y 的边际分布函数 .
y μ2 x μ1 ( x μ1 )2 ρ ρ2 , 2 σ1 σ1 σ2
于是
f X ( x) 1 2πσ1σ 2 1 2 e
( x μ 1 )2 2 2σ1

1 y μ 2 x μ 1 2 ρ σ1 2(1 ρ2 ) σ2
j 1
即对每一行求和.
关于Y 的边际分布列：P j P Y y j pij , j 1, 2,
i 1



X Y
0

1
12 49
16 0 49 12 1 49
9 49

pi P{ X xi } 4 7 3 7
1
p j P{Y y j }
4 7
i 1

j 1, 2, ,
分别称 pi ( i 1, 2,) 和 p j ( j 1, 2,) 为 ( X , Y ) 关于 X 和关于 Y 的边际分布列.
X
x1 x2 xi
Y
y1
p11
p21

y2
p12
p22




yj
p1 j
p2 j




Pi
p1 p2 pi
pi1
pi 2


pij



p1

p2


p j
P j
1
P{ X xi } pij , i 1, 2,;
j 1
P{Y y j } pij , j 1, 2, .
i 1

因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边际分布函 数分别为
FX ( x ) F ( x , )
(1 p1 )n i 上式右边分别乘以和除以 , 两边对j从0到n i求 ( n i )! p2 和，并记 p2 , 则可得： 1 p1
n! P ( X i ,Y j ) p1i (1 p1 )n i 0 i !( n i )! j＝
n-i

（2）P(X<1/2) 及P(Y>1/2).
例3.2.5
多项分布的一维边际分布仍是二项分布.
解 仅就三项分布的边际分布为二项分布给予证明.
已知（X , Y ) ~ M (n, p1 , p2 , p3 )，证明X ~ b(n, p1 ), Y ~ b(n, p2 ).
n! P ( X i ,Y j ) p1i p2j (1 p1 p2 )n i j , i ! j !( n i j )!
f ( x , y ) d x 0.
6( y y ), 0 y 1, 得 fY ( y ) 0, 其他.
例3.2.4 设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为
1, p( x, y ) 0,
0 x 1, y x; 其他.
试求： （1）边际密度函数pX(x)和pY(y);
即P ( X i ) C p (1 p1 )
i n i 1
n i
, X ~ b( n, p1 );
同理可证Y ~ b( n, p2 ).
例3.2.6
设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
1 2σ1σ 2 1 ρ2
f ( x, y)
1 ( x μ1 )2 ( x μ1 )( y μ2 ) ( y μ2 )2 exp 2ρ 2 2 2 σ1 σ 2 σ2 2(1 ρ ) σ1
3 7
注意
联合分布
边缘分布
三、连续型随机变量的边际密度函数
定义 对于连续型随机变量 ( X , Y ), 设它的联合概率
密度为 p( x , y ), 由于 FX ( x ) F ( x , ) [
x
p( x , y )d y ]d x ,
记
pX ( x )
xi x j 1
p


ij
,
FY ( y ) F ( , y )
y j y i 1
p
ij
.
例3.2.2 已知下列分布律求其边缘分布律.
X
Y
0 1
0
16 49 12 49
1
12 49 9 49

解 关于X的边际分布率：Pi P X xi pij , i 1, 2,

e
dy,
1 y μ2 x μ1 , 令 t ρ 2 σ1 1 ρ σ2
则有
1 f X ( x) e 2 πσ 1 f X ( x) 1 e 2 πσ1
( x μ1 )2 2 2 σ1

t2 2
e
d t,
即
( x μ1 )2 2 2 σ1
解 FX ( x ) lim F ( x , y )
y
lim (1 e x e y e x y xy ) 1 e x , x 0; y 0, x 0.
同样有
1 e y , y 0， FY ( y ) 其他. 0,
n-i p2 j p2 n i j n! i n i j p1 (1 p1 ) C n i ( ) (1 ) i !( n i )! 1 p1 1 p1 j＝0

n! i p1 (1 p1 )n i [ p2 (1 p2 )]n i i !( n i )! n! p1i (1 p1 )n i C i p i (1 p )n i . n 1 1 i !( n i )!
定义设二维离散型随机变量( X , Y )的联合分布
律为 记 P { X xi , Y y j } pij , i , j 1, 2, . pi pij P { X xi }, i 1, 2, ,
j 1
p j pij P {Y y j },


关于Y 的边际概率密度.
例3.2.3 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
6, x 2 y x , f ( x, y) 0, 其他. 求边缘概率密度 f X ( x ), fY ( y ) .
解
f X ( x)


f ( x, y)d y
y y x
(1,1)
n-i
j＝0
p2j (1 p1 p2 )n i j ( n i )! j !( n i j ) ! (1 p1 ) j (1 p1 )n i j
n-i p2 j p2 n i j n! ( n i )! i n i p1 (1 p1 ) ( ) (1 ) i !( n i )! 1 p1 j＝0 j !( n i j )! 1 p1
F ( x, ) 为随机变量 ( X,Y ) 关于X的边际分布函数.
记为 FX ( x ) F ( x , ).
事实上，令 y , 由于 y 为必然事件，故可得
y ＋
lim F ( x, y ) F ( x, ) P ( X x , Y ) P ( X x ) ＝ ＝
, x .
同理可得
fY ( y ) 1 e 2 πσ 2
( x μ2 ) 2 2 2σ2
即 FX ( x ) P{ X x} P{ X x , Y } F ( x, ) .
类似地，令
x ,
x
FY ( y ) F ( , y ) lim F ( x , y ) P{ X , Y y } P{Y y }
为随机变量( X , Y )关于变量Y的边际分布函数.
FX ,Y ( x , y ) F ( x , y , ); FX , Z ( x , z ) F ( x , , z ); Fy , Z ( y , z ) F ( , y , z ).
边缘分布的几何意义
FX(x)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下左图所示区 域内的概率；
x , y ,
其中 μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ 都是常数, 且 σ1 0, σ 2 0, 1 ρ 1.
试求二维正态随机变量 的边缘概率密度.
解
f X ( x)
f ( x , y ) d y ,
2

由于
( y μ2 )2 ( x μ1 )( y μ2 ) 2ρ 2 σ2 σ1 σ 2
当 0 x 1 时,
f X ( x)
f ( x , y ) d y

y x2
O
1


x
2
x
x
6d y
2
6( x x ).
当 x 0 或 x 1时,
f X ( x)
y y x
(1,1)
f ( x , y ) d y 0.
O

y x2
1