江西省南昌市第二中学中考数学必考几何模型：中点四大模型

中点四大模型

模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形

②图①

图构造全等

倍长类中线

倍长中线D

C

B

A

F

F A

C

A

B

C

D

C

A

模型分析

如图①，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E 使DE ＝AD ，易证：△ADC ≌△EDB （SAS ）． 如图②，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE ＝FD ，易证：△FDB ≌△EDC （SAS ）

当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．

模型实例

如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AF ＝EF ，求证：AC ＝BE ．

F

E

A

1．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝20，求BC边上中线AD的范围．

B

A

解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD，

在△ADC与△EDB中，

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

∠

=

∠

=

DE

AD

BDE

ADC

CD

BD

，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴EB＝AC＝20，

根据三角形的三边关系定理：20－12＜AE＜20＋12，

∴4＜AD＜16，

故AD的取值范围为4＜AD＜16．

2．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．

求证：AD2＝

4

1

(AB2＋AC2)．

N

M

A

证明：如图，过点B作AC的平行线交ND的延长线于E，连ME．

∵BD＝DC，

∴ED＝DN．

在△BED与△CND中，

∵

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

∠

=

∠

=

DN

ED

CDN

BDE

DC

BD

∴△BED≌△CND（SAS）．

∴BE＝NC．

∵∠MDN＝90°，

∴MD为EN的中垂线．

∴EM＝MN．

∴BM2＋BE2＝BM2＋NC2＝MD2＋DN2＝MN2＝EM2，

∴△BEM为直角三角形，∠MBE＝90°．

∴∠ABC＋∠ACB＝∠ABC＋∠EBC＝90°．

∴∠BAC＝90°．

∴AD2＝(

2

1

BC)2＝

4

1

（AB2＋AC2）．

模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．

A

B C

C

B

模型分析

等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”． 模型实例

如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，求MN 的长度．

N

M C

B A

解答： 连接AM ．

∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 中点， ∴AM ⊥BC ，BM ＝CM ＝2

1

BC ＝3． ∵AB ＝5， ∴AM ＝

4352222=-=-BM AB ．

∵MN ⊥AC ，

∴S △ANC ＝

21MC ·AM ＝21

AC ·MN ． 即：21×3×4＝21×5×MN ．

∴MN ＝5

12

跟踪练习

1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AE ⊥DE ，AF ⊥DF ，且AE ＝AF ，求证：∠EDB ＝∠FDC ．

F

证明：连结

AD ，

∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∠ADB ＝∠ADC ＝90° 在Rt △AED 与Rt △AFD 中，

⎩

⎨

⎧==AD AD AF

AB ， ∴Rt △AED ≌Rt △AFD ．（HL ） ∴∠ADE ＝∠ADF ， ∵∠ADB ＋∠ADC ＝90°， ∴∠EDB ＝∠FDC ．

2．已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．

（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DF ⊥AC 于E 时（如图①），求证：S △DEF ＋S △CEF ＝

2

1

S △ABC ； （2）当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．

③

图②

图①

图A

B

D

E

F

A

C

D

D

C

A

解：（1）连接CD ；如图2所示： ∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点， ∴∠B ＝45°，∠DCE ＝

21∠ACB ＝45°，CD ⊥AB ，CD ＝2

1

AB ＝BD ， ∴∠DCE ＝∠B ，∠CDB ＝90°，