2021北京中考数学23题解析
北京市2023年九年级中考数学一轮复习——一元一次不等式和一元一次不等式组 练习题(解析版)
北京市2023年九年级中考数学一轮复习——一元一次不等式和一元一次不等式组 练习题一、单选题1．（2022·北京十一学校一分校模拟预测）设m 是非零实数，给出下列四个命题：①若-1<m<0，则1m<m<2m ；②若m>1，则1m <2m <m ；③若m<1m <2m ，则m<0；④2m <m<1m，则0<m<1．其中命题成立的序号是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．③④2．（2022·北京·东直门中学模拟预测）实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（ ）A ．1a >B ．<1a -C ．10a +>D ．11a<- 3．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知1x =是不等式20x b -<的解，b 的值可以是（ ） A ．-4B ．-2C ．2D ．44．（2022·北京·九年级专题练习）实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A ．2a <-B ．a b <C ．a b -<-D ．0ab >5．（2021·北京东城·一模）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）A ．b +c ＞0B ．a -b ＞a -cC ．ac ＞bcD ．ab ＞ac6．（2021·北京海淀·一模）已知1x =是不等式20x b -<的解，b 的值可以是（ ） A ．4B ．2C ．0D ．2-7．（2021·北京丰台·二模）若a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．33a b -<- B ．22a b -<- C ．44a b< D ．22a b <8．（2020·北京·北理工附中一模）不等式组21512x x ①②->⎧⎪⎨+≥⎪⎩中，不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知三个实数a 、b 、c 满足20a b c -+=，20a b c ++<，则：①0b >，②0b <，③240b ac -≤，④20b ac -≥，以上4个结论中正确的是__________(写出正确的序号)．10．（2022·北京·九年级专题练习）不等式组3021x x -<⎧⎨-<⎩的解集是______．11．（2022·北京·九年级专题练习）小琦跟几位同学在某快餐厅吃饭，如下为此快餐厅的菜单、若他们所点的餐食总共为10份盖饭，x 杯饮料，y 份凉拌菜．（1）他们点了______份A 套餐（用含x 或y 的代数式表示）；（2）若6x =，且A 、B 、C 套餐均至少点了1份，则最多有______种点餐方案．12．（2022·北京·九年级专题练习）用一组a 、b 、c 的值说明命题“若a ＞b ，则ac ＞bc ”错误的，这组值可以是a ＝ ，b= ，c ＝ ．13．（2021·北京西城·一模）某商家需要更换店面的瓷砖，商家打算用1500元购买彩色和单色两种地砖进行搭配，并且把1500元全部花完．已知每块彩色地砖25元，每块单色地砖15元，根据需要，购买的单色地砖数要超过彩色地砖数的2倍，并且单色地砖数要少于彩色地砖数的3倍，那么符合要求的一种购买方案是________．14．（2021·北京朝阳·一模）某校初三年级共有8个班级的190名学生需要进行体检，各班学生人数如下表所示：若已经有7个班级的学生完成了体检，且已经完成体检的男生、女生的人数之比为4:3，则还没有体检的班级可能是_____．15．（2021·北京房山·二模）已知a b <，且实数c 满足ac bc >，请你写出一个符合题意的实数c 的值___． 16．（2020·北京密云·二模）已知“若a b >，则ac bc <”是真命题，请写出一个满足条件的c 的值是__________． 17．（2020·北京四中模拟预测）某校初三年级84名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下：则租车一天的最低费用为___________元．三、解答题18．（2022·北京·中考真题）解不等式组：274,4.2x x x x +>-⎧⎪⎨+<⎪⎩19．（2022·北京十一学校一分校模拟预测）解不等式组：4(1)7,32.4x x x x +≥+⎧⎪⎨+>⎪⎩ 20．（2022·北京市第十九中学三模）解不等式组：1251635341x x x x +-⎧>+⎪⎨⎪+≥-⎩，并写出其中的正整数解．21．（2022·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校一模）解不等式组()4126{533x x x x +≤+--<，并写出它的所有非负．．整数解．．．． 22．（2021·北京·中考真题）解不等式组：451342x x x x ->+⎧⎪⎨-<⎪⎩ 23．（2021·北京门头沟·一模）解不等式组：213(1)532x x xx ->-⎧⎪⎨-<+⎪⎩ 24．（2021·北京朝阳·二模）解不等式232(4)x x -≥-，并把它的解集在数轴上表示出来． 25．（2021·北京石景山·二模）解不等式113x x -≤-，并把它的解集在数轴上表示出来．26．（2021·北京顺义·一模）解不等式()3125x x -≥-，并把它的解集在数轴上表示出来．参考答案：1．B【分析】逐个进行一次判断即可，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例． 【详解】解：①若-1＜m ＜0，则1m<m<2m ，成立，是真命题； ②若m ＞1，取m=2时，m 2＝4， m ＜m 2，原命题不成立； ③若m<1m <2m ，取m=-12时，1m =-2，m ＞1m ，原命题不成立； ④2m <m<1m，则0<m<1，成立，是真命题； 成立的有①④， 故选：B ．【点睛】此题考查了命题和不等式，解题的关键是理解不等式的性质． 2．A【分析】直接利用a 在数轴上位置进而通过绝对值的几何意义：绝对值表示一个点与原点的距离，及不等式的性质分别分析得出答案．【详解】解：由数轴上a 与1的位置可知：||1a >，故选项A 正确；因为a ＜-1，不等号两边同时乘以-1，改变不等号方向，得1a -＞，故选项B 错误； 因为a ＜-1，不等号两边同时加1，得10a +<，故选项C 错误；因为a ＜-1，不等号两边同时除以a ，0a ＜，∴改变不等号方向，得11a-＞，不等号两边同时除以-1，改变不等号方向，得11a-＜，故选项D 错误；故选：A ．【点睛】此题主要考查了绝对值的几何意义、不等式的性质，结合数轴分析各选项，掌握不等式的性质是解题关键． 3．D【分析】将x =1代入不等式求出b 的取值范围即可得出答案． 【详解】解：∵x =1是不等式2x -b ＜0的解， ∴2-b ＜0， ∴b ＞2， 故选：D ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．4．D【分析】先根据数轴的性质可得20a b -<<<，再根据绝对值的性质、不等式的性质、有理数乘法法则逐项判断即可得．【详解】解：由数轴的性质得：20a b -<<<． A 、2a >-，此项错误，不符题意； B 、a b >，此项错误，不符题意； C 、a b ->-，此项错误，不符题意； D 、0ab >，此项正确，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了数轴、绝对值、不等式的性质、有理数的乘法法则，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 5．A【分析】先根据数轴的定义可得0a c b <<<，再根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】由数轴的定义得：0a c b <<<， A 、0b c +>，此项正确，符合题意； B 、b c >，b c ∴-<-，a b a c ∴-<-，此项错误，不符题意；C 、,0a b c <>，ac bc ∴<，此项错误，不符题意；D 、,0b c a ><，ab ac ∴<，此项错误，不符题意；故选：A ．【点睛】本题考查了数轴、不等式的基本性质，熟练掌握数轴的定义是解题关键． 6．A【分析】把x 的值代入不等式，求出b 的取值范围即可得解． 【详解】解：∵1x =是不等式20x b -<的解， ∴20b -<， 解得，2b >所以，选项A 符合题意， 故选：A ．【点睛】此题主要考查了不等式的解和解不等式，熟练掌握不等式的解是解答此题的关键． 7．B【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 【详解】解：A 、不等式的两边都减去3，不等号的方向不变，故A 错误； B 、不等式的两边都乘以−2，不等号的方向改变，故B 正确； C 、不等式的两边都除以4，不等号的方向不变，故C 错误； D 、当a ＝1，b ＝-1时，a 2=b 2，故D 错误； 故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 8．B【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：21512x x ①②->⎧⎪⎨+≥⎪⎩ 解不等式①可得x ＜1， 解不等式②得x≥-3，则不等式组的解集为：-3≤x ＜1， 由此可知用数轴表示为：故选B.【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 9．②④##④②【分析】根据条件得出b 的符号，再将2a cb +=代入，根据完全平方式的非负性即可进行判断． 【详解】解：20a bc -+=，2a c b ∴+=， 20a b c ++<，40b ∴<， 0b ∴<，∴①选项不符合题意，②选项符合题意；2a c b +=，2a cb +=∴， 0b <，0a c ∴+<，222()164()424a c a c acb ac ac ++-∴-=-=， ac 的符号不能确定，24b ac ∴-的符号不能确定，∴③选项不确定，222()()024a c a cb ac ac +--=-=≥，∴④选项符合题意，故答案为：②④．【点睛】本题考查了不等式与因式分解的综合，根据条件得出b 的符号以及b 的表达式是解题的关键． 10．13x <<【分析】分别解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”找到解集即可．【详解】解：3021x x -<⎧⎨-<⎩①②，解不等式①可得3x <， 解不等式②可得1x >， ∴不等式组的解集为13x <<， 故答案为：13x <<．【点睛】本题考查解一元 一次不等式组，掌握不等式组的解法是解决本题的关键. 11． （10-y ) 5【分析】（1）由三种套餐中均包含盖饭且只有A 套餐中不含凉拌菜，即可得出他们点了（10-y )份A 套餐； （2）由三种套餐中均包含盖饭且只有B 套餐中不含凉拌菜，即可得出他们点了4份B 套餐.设他们点了m 份A 套餐，则点了(10-4-m )份C 套餐,由A ，C 套餐均至少点了1份，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再结合m 为正整数即可得出点餐方案的个数．【详解】解：（1）∵B，C套餐中均含一份凉拌菜，且A套餐中不含凉拌菜，∴他们点了（10-y)份A套餐.故答案为：（10-y) ．（2）∵A，C套餐均含一杯饮料，且B套餐中不含饮料，∴他们点了4份B套餐.设他们点了m份A套餐，则点了（10-4-m)份C套餐，依题意得：11041 mm≥⎧⎨--≥⎩解得：1≤m≤5.又：m为正整数，∴m可以取1,2,3,4,5,最多有5种点餐方案．故答案为：5．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含y的代数式表示出他们点A套餐的数量；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．12．1；﹣1，0．（答案不唯一）【分析】根据题意选择a、b、c的值即可．【详解】解：当a＝1，b＝﹣1，c＝0时，1＞﹣1，而1×0＝0×（﹣1），∴命题“若a＞b，则ac＞bc”是错误的，故答案为1；﹣1，0．（答案不唯一）【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．13．购买24块彩色地砖，60块单色地砖或购买27块彩色地砖，55块单色地砖【分析】设购买x块彩色地砖，购买单色地砖y块，进而由题意得到2x＜y＜3x，再根据总费用为1500元，且x、y均为正整数，将y用x的代数式表示，然后解一元一次不等式组即可求解．【详解】解：设购买x块彩色地砖，购买单色地砖y块，则2x＜y＜3x，25x+15y=1500，∴1500255100(1)153xy x，又已知有：23x y x，∴510033510023x x x x⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，解得3003001411x， 又x 为正整数，且30021.414，30027.311，∴x =22，23，24，25，26，27； 由(1)式中，x y ，均为正整数， ∴x 必须是3的倍数， ∴24x =或27x =，当24x =时，单色砖的块数为15002425=6015；当27x =时，单色砖的块数为15002725=5515； 故符合要求的购买方案为：购买24块彩色地砖，60块单色地砖 或 购买27块彩色地砖，55块单色地砖． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，本题的关键点是将单色砖的块数用彩色砖的块数的代数式表示，进而解不等式组，注意实际问题考虑解为正整数的情况． 14．1班或5班【分析】设已经完成体检的男生4x 人，女生3x 人，则完成体检的总人数7x 人，没完成体检的总人数（190﹣7x ）人，根据题意和结合表格数据得19≤190﹣7x≤29，解之即可解答．【详解】解：设已经完成体检的男生4x 人，女生3x 人，则完成体检的总人数7x 人，没完成体检的总人数（190﹣7x ）人，由题意，19≤190﹣7x ≤29， 解得：23≤x ≤3247，∵x 为整数， ∴x =23或24，当x =23时，190﹣7x =29， 当x =24时，190﹣7x =22，所以，还没有体检的班级可能是1班或5班， 故答案为：1班或5班．【点睛】本题考查统计表、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出一元一次不等式组是解答的关键． 15．-3【分析】根据不等式的性质解答即可．<，【详解】解：∵a b<，∴当c>0时，ac bc>，当c<0时，ac bc故答案为：-3（答案不唯一）．【点睛】此题考查不等式的性质，熟记不等式的性质是解题的关键．16．1-（答案不唯一，负数即可）【分析】当a b>，要使符号变号，则只需不等式两边同时乘同一个负数c即可．<成立，即不等式两边同时乘一个c符号会变号，则使c是负数即可，则可使【详解】当a b>，要使ac bcc=-．1【点睛】本题考查了真命题和不等式的性质知识点，不等式符号要变号，就使不等式两边同时乘或除同一个负数即可，这一性质是解题的关键．17．3800【分析】将84名师生同时送到目的地，且花费是最少，只有优化租车方案方可达到节约，从同款型和不同车型组合两方面考虑求解．【详解】解：依题意得：租车费用最低的前题条件是将84名师生同时送到目的地，其方案如下：①全部一种车型：小巴车23座最少4辆，其费用为：4×1000＝4000元，中巴车39座最少3辆，其费用为：3×1800＝5400元，大巴车55座最少2辆，其费用为：2×2400＝4800元∵4000＜480＜5400，∴同种车型应选取小巴车4辆费用最少．②搭配车型：2辆23座小巴车和1辆39座中巴车，其费用为：1000×2+1800＝3800元，1辆39座中巴车和1辆55座大巴车，其费用为：1800+2400＝4200元，∵3800＜4200，∴搭配车型中2辆23座小巴车和1辆39座大巴车最少．综合①、②两种情况，费用最少为3800元．故答案为：3800．【点睛】本题考查了不等式的应用，主要考虑方案的可行性，正确分类并通过计算比较大小求解．18．14<<x【分析】分别解两个一元一次不等式，再求交集即可． 【详解】解：27442x x x x +>-⎧⎪⎨+<⎪⎩①② 解不等式①得1x >，解不等式②得4x <，故所给不等式组的解集为：14x <<．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，属于基础题，正确计算是解题的关键．19．12x ≤<【分析】分别求得各不等式的解集，然后求得公共部分即可． 【详解】解：原不等式组为4(1)7,32.4x x x x +≥+⎧⎪⎨+>⎪⎩①② 解不等式①，得1x ．解不等式②，得2x <．∴原不等式组的解集为12x <．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20．543x -≤<；正整数解为1． 【分析】分别求出两个不等式得解集，找出两个解集的公共部分即可得不等式组得解集，再找出解集中得正整数解即可得答案． 【详解】1251635341x x x x +-⎧>+⎪⎨⎪+-⎩ 解不等式125163x x +->+得：53x <， 解不等式5341x x +≥-得：4x ≥-，∴不等式组得解集为543x -≤<， ∴不等式组的正整数解为：1．【点睛】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组得正整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．不等式组的解集为1x ，所有非负整数解为0，1【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x 的所有非负整数解即可．【详解】解：原不等式组为4(1)26,53.3x x x x +≤+⎧⎪⎨--<⎪⎩①②解不等式①，得1x .解不等式②，得2x <．∴原不等式组的解集为1x ．∴原不等式组的所有非负整数解为0，1．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的非负整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．22．24x <<【分析】根据一元一次不等式组的解法可直接进行求解． 【详解】解：451342x x x x ->+⎧⎪⎨-<⎪⎩①② 由①可得：2x >，由②可得：4x <，∴原不等式组的解集为24x <<．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．23．123x -<< ． 【分析】先分别求解两个不等式的解集，再求两个解集的公共部分即得．【详解】解：()2131532x x x x ⎧->-⎪⎨-<+⎪⎩①②， 解不等式①得：2x <，解不等式②得：13x >-， ∴这个不等式的解集为123x -<< ． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组求解，解题关键是根据不等式的性质将不等式去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1．24．2x ≤，数轴见解析【分析】按照解一元一次不等式的一般步骤解答，并把解集规范的表示在数轴上即可.【详解】解：2328x x -≥-．2328.x x --≥--510.x -≥-2.x ≤不等式的解集在数轴上表示如下：【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式，关键是掌握解不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．25．1x ≥，数轴见解析【分析】正确解不等式，后根据大于向右，小于向左，有等号，实心圆，无等号，空心圆表示出来即可．【详解】解：去分母：133x x -≤-．移项，合并同类项：22x ≤．解得，1x ≥．【点睛】本题考查了不等式的解法，规范按照解不等式的基本步骤，扎实求解，理解数轴表示的符号意义是解题的关键．26．x ≥-2，在数轴上表示见解析【分析】去括号，移项，合并同类项，再在数轴上表示出不等式的解集即可．【详解】解：3(x −1)≥2x −5，去括号，得3x -3≥2x -5，移项，得3x -2x ≥-5+3，合并同类项，得x ≥-2，在数轴上表示不等式的解集为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的解集是解此题的关键．。
2022年北京市中考数学真题(解析版)
∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．
6.若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】x≥8
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
x 8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式 是解题的关键．
10.分解因式： ______．
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．
③设绳子的长为L，一边长x，则另一边长为 ，
则矩形的面积为： ，
故③不可以利用该图象表示；
故可以利用该图象表示的有：①②，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．
第二部分非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9.若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
5.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
2021年中考数学真题试卷(13)(解析版)
第1页，共7页2021年中考数学真题试卷考试时间120分钟。
满分120分。
注意事项：1、答题前，考生需在答题卡左侧划线处完整填写自己的信息，并将自己的准考证号填写清楚，在准考证号区域用2B 铅笔填涂考号。
要求粘贴条形码的市、县（区），考生应认真核对条形码上的姓名、准考证号，将条形码粘贴在指定位置上。
2、答题时必须使用黑色中性（签字）笔或黑色墨迹钢笔书写，字迹工整，笔迹清楚。
3、按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损。
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1.下列各式中正确的是（ ）A.a 3·a 2=a 6B. 3ab-2ab=1C.123162+=+a a a D. a(a-3)= a 2-3a 2.小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是（ ）A.中位数是3，众数是2B. 众数是1，平均数是2C.中位数是2，众数是2D. 中位数是3，平均数是2.5人数（人） 4 6 ·· · ·E FA第2页，共7页3.现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ）A.41 B. 21 C. 53 D. 434. 如图摆放的一副学生用直角三角板∠F=30°，∠C=45°，AB 与DE 相交于点G ，当EF ∥BC 时，∠EGB 的度数是（ ）A.135°B. 120°C. 115°D. 105°5.如图，菱形ABCD 的边长为13，对角线AC=24，点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点G ，则EG=（ ）A.13B.10C.12D.56.已知：如图，等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC=2，以点C 为圆心画弧与斜边AB 相切于点D ，则图中阴影部分的面积为（ ）A.41π-B.41-π C.42π- D. 41π+AB GE D CF第5题·DACB第6题图FE第3页，共7页7.如图，函数11+=x y 与函数xy 22=的图象相交于点M （1，m ），N （-2，n ）.若21y y >，则x 的取值范围是（ ）A.x ＜-2或0＜x ＜1B. x ＜-2或x ＞1C.-2＜x ＜0或0＜x ＜1D. -2＜x ＜0或x ＞18.如图2是图1长方体的三视图，若用S 表示面积，S 主=a 2，S 左=a 2+a ，则S 俯=（ ） A. a 2+a B. 2a 2C. a 2+2a+1 D. 2a 2+a 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9.分解因式：3a 2-6a+3=_________. 10.若二次函数k x xy ++-=22的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是________.11.有三张大小、形状完全相同的卡片.卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是_______.12.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小。
北京市2021年中考数学真题试题及答案
【解析】 【分析】根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比较即可． 【详解】解：由题意得：
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
；
故答案为＞． 【点睛】本题主要考查平均数及方差，熟练掌握平均数及方差的计算是解题的关键．
16. 某企业有 两条加工相同原材料的生产线．在一天内， 生产线共加工 吨原材料，加工时间为
故选 B．
【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．
2. 党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．
年，中央财政累计投入“全
面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金 1692 亿元，将 169200000000 用科学记数
法表示应为（ ）
A.
在地面上沿着杆的影子的方向取一点 ，使 两点间的距离为 10 步（步是古代的一种长度单位），在
点 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点 处的杆的影子的方向取一点 ，使 两点间的距离为 10
步，在点 处立一根杆．取 的中点 ，那么直线 表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线C 【解析】 【分析】根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项． 【详解】解：由题意得：
∴一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是
；
故选 C．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．
7. 已知
．若 为整数且
（）
A. 43
B. 44
【答案】B
【点睛】本题主要考查菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定定理、矩
形的性质及平行四边形的判定是解题的关键． 15. 有甲､乙两组数据，如表所示：
2021年中考数学真题分类汇编：专题15几何图形初步与视图(解析版)
2021年中考数学真题分类汇编：专题15几何图形初步与视图一、单选题1．（2021·北京中考真题）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）A ．长方体B ．圆柱C ．圆锥D ．三棱柱【答案】B【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱；故选B ．【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．2．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若148∠=︒，则2∠的度数为（）A ．42°B ．48°C ．52°D ．60°【答案】A【分析】先通过作辅助线，将∠1转化到∠BAC ，再利用直角三角形两锐角互余即可求出∠2．【详解】解：如图，延长该直角三角形一边，与该矩形纸片一边的交点记为点A ，由矩形对边平行，可得∠1=∠BAC ，∠∠BAC +∠2=90°，∠∠1+∠2=90°，因为∠1=48°，∠∠2=42°；故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质等内容，要求学生能根据题意理解其中的隐含关系，解决本题的关键是对角进行的转化，因此需要牢记并能灵活应用相关性质等．3．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，在//AB CD 中，40AEC ∠=︒，CB 平分DCE ∠，则ABC ∠的度数为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒【答案】B【分析】 根据平行线的性质得到∠ABC =∠BCD ，再根据角平分线的定义得到∠ABC =∠BCD ，再利用三角形外角的性质计算即可．【详解】解：∠AB ∠CD ，∠CB平分∠DCE，∠∠BCE=∠BCD，∠∠BCE=∠ABC，∠∠AEC=∠BCE+∠ABC=40°，∠∠ABC=20°，故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和外角的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．4．（2021·浙江台州市·中考真题）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形两边之和大于第三边D．两点确定一条直线【答案】A【分析】根据线段的性质即可求解．【详解】解：两地距离显示的是两点之间的线段，因为两点之间线段最短，所以导航的实际可选路线都比两地距离要长，故选：A．【点睛】本题考查线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键．5．（2021·江苏南京市·中考真题）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）A．1，1，1B．1，1，8C．1，2，2D．2，2，2【答案】D【分析】若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成．【详解】A、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；B、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误；C、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；D、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的和大于第三边，因而较短的两边的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大于第四条边，因而较短的三条线段的和大于最长的线段即可．6．（2021·浙江中考真题）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】依据长方体的展开图的特征进行判断即可．【详解】解：A、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意；B、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意；C、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意；D、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图的特点是解题的关键．7．（2021·四川自贡市·中考真题）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”字一面的相对面上的字是（）A．百B．党C．年D．喜【答案】B【分析】正方体的表面展开图“一四一”型，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点解答．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方体，“迎”与“党”是相对面，“建”与“百”是相对面，“喜”与“年”是相对面．故答案为：B．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．8．（2021·江苏扬州市·中考真题）把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（）A．五棱锥B．五棱柱C．六棱锥D．六棱柱【答案】A【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形，则该几何体为五棱锥，故选A．【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键．9．（2021·浙江金华市·中考真题）将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能．．．是它的表面展开图的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由直棱柱展开图的特征判断即可．【详解】解：图中棱柱展开后，两个三角形的面不可能位于同一侧，因此D选项中的图不是它的表面展开图；故选D．【点睛】本题考查了常见几何体的展开图，解决本题的关键是牢记三棱柱展开图的特点，即其两个三角形的面不可能位于展开图中侧面长方形的同一侧即可．10．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图所示的圆锥的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】试题分析：主视图是从正面看所得到的图形,圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：,故选A.考点：三视图.11．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，直线//m n ，三角尺的直角顶点在直线m 上，且三角尺的直角被直线m 平分，若160∠=︒，则下列结论错误的是（ ）A ．275∠=︒B ．345∠=︒C ．4105∠=︒D ．5130∠=︒【答案】D【分析】 根据角平分线的定义求出∠6和∠7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出∠3，∠8，∠2的度数，最后利用邻补角互补求出∠4和∠5的度数．【详解】首先根据三角尺的直角被直线m 平分，∠∠6=∠7=45°；A 、∠∠1=60°，∠6=45°，∠∠8=180°-∠1-∠6=180-60°-45°=75°，m∥n ，∠∠2=∠8=75°结论正确，选项不合题意；B 、∠∠7=45°，m ∠n ，∠∠3=∠7=45°，结论正确，选项不合题意；C 、∠∠8=75°，∠∠4=180-∠8=180-75°=105°，结论正确，选项不合题意；D 、∠∠7=45°，∠∠5=180-∠7=180-45°=135°，结论错误，选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和，邻补角互补，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．12．（2021·四川资阳市·中考真题）如图，已知直线//,140,230m n ∠=︒∠=︒，则3∠的度数为（ ）A．80︒B．70︒C．60︒D．50︒【答案】B【分析】如图，由题意易得∠4=∠1=40°，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：如图，m n∠=︒，∠//,140∠∠4=∠1=40°，∠=︒，∠230∠=∠+∠=︒；∠34270故选B．【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．13．（2021·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（）A．五边形的内角和是720︒B．三角形的任意两边之和大于第三边C．内错角相等D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点【答案】B【分析】根据相关概念逐项分析即可．【详解】A 、五边形的内角和是540︒，故原命题为假命题，不符合题意；B 、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；C 、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；D 、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查命题判断，涉及多边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，以及三角形的重心等，熟记基本性质和定理是解题关键．14．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，AB ∥CD ∥EF ，若∥ABC ＝130°，∥BCE ＝55°，则∥CEF 的度数为（ ）A ．95°B ．105°C ．110°D ．115°【答案】B【分析】 由//AB CD 平行的性质可知ABC DCB ∠=∠，再结合//EF CD 即可求解．【详解】解：//AB CD130ABC DCB ∴∠=∠=︒1305575ECD DCB BCE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒//EF CD180ECD CEF ∴∠+∠=︒18075105CEF ∴∠=︒-︒=︒故答案是：B ．【点睛】本题考查平行线的性质和角度求解，难度不大，属于基础题．解题的关键是掌握平行线的性质．15．（2021·安徽中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中90BAC EDF ∠=∠=︒，45E ∠=︒，30C ∠=︒，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD ∠的大小为（ ）A ．60︒B ．67.5︒C ．75︒D ．82.5︒【答案】C【分析】根据//BC EF ，可得45FDB F ∠=∠=︒，再根据三角形内角和即可得出答案．【详解】由图可得6045B F ∠=︒∠=︒，，∠//BC EF ，∠45FDB F ∠=∠=︒，∠180180456075BMD FDB B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键． 16．（2021·浙江金华市·中考真题）某同学的作业如下框，其中∥处填的依据是（ ） 如图，已知直线1234,,,l l l l ．若12∠=∠，则34∠=∠．请完成下面的说理过程．解：已知12∠=∠，根据（内错角相等，两直线平行），得12//l l ．再根据（ ∥ ），得34∠=∠．A ．两直线平行，内错角相等B ．内错角相等，两直线平行C ．两直线平行，同位角相等D ．两直线平行，同旁内角互补【答案】C【分析】首先准确分析题目，已知12//l l ，结论是34∠=∠，所以应用的是平行线的性质定理，从图中得知∠3和∠4是同位角关系，即可选出答案．【详解】解：∠12//l l ，∠34∠=∠（两直线平行，同位角相等）．故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的应用，解题的关键是理解平行线之间内错角的位置，从而准确地选择出平行线的性质定理．17．（2021·湖北随州市·中考真题）如图是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是（ ）A ．主视图和左视图B ．主视图和俯视图C ．左视图和俯视图D ．三个视图均相同【答案】A【分析】画出组合体的三视图，即可得到结论．【详解】解：所给几何体的三视图如下，所以，主视图和左视图完全相同，故选：A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．18．（2021·四川资阳市·中考真题）如图是由6个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据俯视图可确定主视图的列数和小正方形的个数，即可解答．【详解】解：由俯视图可得主视图有2列组成，左边一列由3个小正方形组成，右边一列由1个小正方形组成．故选：C．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，由几何体的俯视图可确定该几何体的主视图和左视图，要熟练掌握．19．（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图是由四个相同的正方体组成的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据俯视图的定义即可得．【详解】解：俯视图是指从上往下看几何体得到的视图．这个几何体的俯视图是由排在一行的三个小正方形组成，观察四个选项可知，只有选项C符合，故选：C．【点睛】本题考查了俯视图，熟记定义是解题关键．20．（2021·四川广安市·中考真题）下列几何体的主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】先判断主视图，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；B、主视图是是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；D、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；故选B．【点睛】本题考查了几何体的三视图，中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．21．（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（）．A．B．C．D．【答案】A【分析】结合题意，根据视图的性质分析，即可得到答案．【详解】由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图如下：故选：A【点睛】本题考查了视图的知识；解题的关键是熟练掌握左视图的性质，从而完成求解．22．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．【详解】解：从上边看第一行是两个小正方形，第二行是一个小正方形并且在第二列，【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上边看得到的图形．23．（2021·安徽中考真题）几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据三视图，该几何体的主视图可确定该几何体的形状，据此求解即可．【详解】解：根据A，B，C，D三个选项的物体的主视图可知，与题图有吻合的只有C选项，故选：C．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，熟练掌握三视图并能灵活运用，是解题的关键．24．（2021·四川乐山市·中考真题）如图是由4个相同的小正方体成的物体，将它在水平面内顺时针旋转90 后，其主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据该几何体它在水平面内顺时针旋转90︒后，旋转后几何体的主视图与该几何体旋转前从右面看到的图形一样，由此即可解答．【详解】把该几何体它在水平面内顺时针旋转90︒后，旋转后的主视图与该几何体旋转前从右面看到的图形一样，∠该几何体的从右面看到的图形为，∠该几何体它在水平面内顺时针旋转90︒后，旋转后几何体的主视图为．故选C．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知把该几何体它在水平面内顺时针旋转90︒后，旋转后几何体的主视图与该几何体旋转前从右面看到的图形一样是解决问题的关键．25．（2021·四川成都市·中考真题）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据简单几何体的三视图中俯视图从上面看得到的图形即可求解．【详解】解：从上面看简单组合体可得两行小正方形，第二行四个小正方形，第一行一个小正方形右侧对齐．故选C．【点睛】此题主要考查三视图的判断，解题的关键是熟知三视图的定义．26．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体搭成，其主视图是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】从正面看：共有2列，从左往右分别有2，1个小正方形；据此可画出图形．【详解】解：如图所示的几何体的主视图是．故选：D．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．27．（2021·四川泸州市·中考真题）下列立体图形中，主视图是圆的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论．【详解】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意；圆柱的主视图是矩形，不符合题意；圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；球体的主视图是圆，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．28．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据主视图是从物体的正面看到的图形解答即可．【详解】解：由于圆柱的主视图是长方形，长方体的主视图是长方形，所以该物体的主视图是：．故选：C．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，属于常考题型，熟知主视图是从物体的正面看到的图形是解题关键．29．（2021·山东泰安市·中考真题）如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】直接从左边观察几何体，确定每列最高的小正方体个数，即对应左视图的每列小正方形的个数，即可确定左视图．【详解】解：如图所示：从左边看几何体，第一列是2个正方体，第二列是4个正方体，第三列是3个正方体；因此得到的左视图的小正方形个数依次应为2,4,3；故选：B．【点睛】本题考查了几何体的三视图，要求学生理解几何体的三种视图并能明白左视图的含义，能确定几何体左视图的形状等，解决本题的关键是牢记三视图定义及其特点，能读懂题意和从题干图形中获取必要信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法，对学生的空间想象能力有一定的要求．30．（2021·浙江温州市·中考真题）直六棱柱如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】直接从上往下看，得到的是一个六边形，即可选出正确选项．【详解】解:从上往下看直六棱柱，看到的是个六边形；故选：C．【点睛】本题考查了三视图的相关内容，要求学生明白俯视图是对几何体进行从上往下看得到的视图，实际上也是从上往下得到的正投影，本题较为基础，考查了学生对三视图概念的理解与应用等．31．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：D．【点睛】本题考查了简答组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．32．（2021·浙江衢州市·中考真题）如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据主视图是从几何体正面看得到的图形即可得到答案.【详解】从正面看可以看到有3列小正方形，从左至右小正方体的数目分别为1、2、1，所以主视图为：，故选B．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．33．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图是由5个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】解：从正面看下面一层是三个正方形，上面一层中间是一个正方形．即：故选：B．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．34．（2021·四川乐山市·中考真题）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示．19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆成的“叶问蹬”图．则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（）A．3B．72C．2D．52【答案】A【分析】根据由边长为4的正方形分割制作的七巧板，可得共5种图形，然后根据阴影部分的构成图形，计算阴影部分面积即可．【详解】解：如下图所示，由边长为4的正方形分割制作的七巧板，共有以下几种图形：∠腰长是22的等腰直角三角形，∠腰长是2的等腰直角三角形，∠腰长是2的等腰直角三角形，∠边长是2的正方形，∠边长分别是2245和135的平行四边形，根据图2可知，图中抬起的“腿”（即阴影部分）是由一个腰长是2的等腰直角三角形，和一个边长分别是2和2，顶角分别是45和135的平行四边形组成，如下图示，根据平行四边形的性质可知，顶角分别是45和135的平行四边形的高是DB，且2DB=，∠21221 2=，顶角分别是45和135222=，∠阴影部分的面积为：123+=，故选：A．【点睛】本题考查了七巧板中的图形的构成和面积计算，熟悉七巧板中图形的分类是解题的关键．二、填空题35．（2021·上海中考真题）70︒的余角是__________．【答案】20︒【分析】根据余角的定义即可求解．【详解】70︒的余角是90°-70︒=20︒故答案为：20︒．此题主要考查余角的求解，解题的关键是熟知余角的定义与性质．36．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A 在北偏东60︒方向上；航行12n mile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30方向上．小岛A到航线BC的距离是__________n mile（3 1.73≈，结果用四舍五入法精确到0.1）．【答案】10.4【分析】过点A作AD∠BC，垂足为D，根据题意，得∠ABC=30°，∠ACD=60°，从而得到AC=BC=12,利用sin60°=AD AC计算AD即可【详解】过点A作AD∠BC，垂足为D，根据题意，得∠ABC=30°，∠ACD=60°，∠∠ABC=∠CAB=30°，∠AC=BC=12,∠sin60°=AD AC，∠AD=AC sin60°=1232⨯3 1.73610.38≈⨯=≈10.4故答案为：10.4.本题考查了方位角，解直角三角形，准确理解方位角的意义，构造高线解直角三角形是解题的关键．37．（2021·山东临沂市·中考真题）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是___（只填写序号）．∥射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；∥车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”；∥学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；∥地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．【答案】∠【分析】根据直线的性质，圆的性质，特殊四边形的性质分别判断即可．【详解】解：∠射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”，故正确；∠车轮做成圆形，应用了“同圆的半径相等”，故错误；∠学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的四边相等”，故错误；∠地板砖可以做成矩形，应用了“矩形的四个角是直角，可以密铺”，故错误；故答案为：∠．【点睛】本题考查了直线的性质，圆的性质，特殊四边形的性质，都属于基本知识，解题的关键是联系实际，掌握相应性质定理．38．（2021·浙江中考真题）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB 的长应是______．【答案】21- 【分析】 根据裁剪和拼接的线段关系可知3CD =，1BD CE ==，在Rt ACD △中应用勾股定理即可求解．【详解】解：∠地毯平均分成了3份，∠每一份的边长为1333=，∠3CD =，在Rt ACD △中，根据勾股定理可得222AD CD AC =-，根据裁剪可知1BD CE ==，∠21AB AD BD =-=，故答案为：21-．【点睛】本题考查勾股定理，根据裁剪找出对应面积和线段的关系是解题的关键．39．（2021·河北中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应___________（填“增加”或“减少”）___________度．【答案】减少 10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF 与∠D 、∠E 、∠DCE 之间的关系，进行计算即可判断．【详解】解：∠∠A +∠B =50°+60°=110°，∠∠ACB =180°-110°=70°，∠∠DCE =70°，如图，连接CF 并延长，∠∠DFM =∠D +∠DCF =20°+∠DCF ，∠EFM =∠E +∠ECF =30°+∠ECF ，∠∠EFD =∠DFM +∠EFM =20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD =110°，则∠EFD 减少了10°，若只调整∠D 的大小，由∠EFD =∠DFM +∠EFM =∠D +∠DCF +∠E +∠ECF =∠D +∠E +∠ECD =∠D +30°+70°=∠ D +100°，因此应将∠D 减少10度；故答案为：∠减少；∠10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．40．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为10cm的正方形，该果罐侧面积为_____2cm．【答案】100π【分析】根据圆柱体的主视图为边长为10cm的正方形，得到圆柱的底面直径和高，从而计算侧面积．【详解】解：∠果罐的主视图是边长为10cm的正方形，为圆柱体，∠圆柱体的底面直径和高为10cm，π⨯=100π，∠侧面积为1010故答案为：100π．【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是根据三视图得到几何体的相关数据．。
中考数学真题试题含解析 试题4 2
2021中考数学试卷创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日〔满分是150分，考试时间是是120分钟〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题3分，满分是24分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
〕 1.〔2021，1，3分〕﹣2的绝对值是〔 〕A . 2B .－2C .21 D .－21【答案】A【解析】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣2|=2．应选A ． 2. 〔2021，2，3分〕如图是某几何体的三视图，那么该几何体是〔 〕〔第2题〕A ．球B ．圆柱C ．圆锥D ．三棱柱【答案】C【解析】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥,应选C.3.〔2021，3，3分〕以下长度的三条线段能组成三角形的是〔 〕A . 1,2,3B .,1，2，3C .3,4,8D .4,5，6【答案】D【解析】解：根据三角形任意两边之和大于第三边，只要两条较短的边的和大于最长边即可。
应选D .4. 〔2021，4，3分〕在平面直角坐标系中，将点P 〔3,2〕向右平移2个单位长度，所得到的点的坐标为〔 〕A.〔1,2〕B.〔3，0〕C.〔3,4〕D.(5,2) 【答案】D【解析】解：根据点的坐标平移规律“左减右加，下减上加〞，可知横坐标应变为5，而纵坐标不变，应选D.5. 〔2021，5，3分〕方程4)1(2x 3=-+x 的解是〔 〕A. 52=x B. 65=x C.2=x D.1=x【答案】C【解析】解：4)1(2x 3=-+x ，去括号得：3x+2-2x=4.移项合并得：2=x 。
应选C. 6. 〔2021，6，3分〕计算()2x 3-的结果是〔 〕A. 2x 6B.2x 6-C.2x 9D.2x 9- 【答案】C【解析】解：根据积的乘方，()2x 3-=()22x 3⋅-=2x 9，应选C.7. 〔2021，7，3分〕某舞蹈队10名队员的年龄如下表所示：那么这10名队员年龄的众数是〔 〕 A. 16 B.14 C 【答案】B【解析】解：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数，14出现的次数最多，应选B. 8. 〔2021，8，3分〕如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=2，点D 在BC 上，∠ADC=2∠B,AD=5,那么BC 的长为〔 〕〔第8题〕A.3-1B.3+1C.5-1D.5+1【答案】D【解析】解：在△ADC 中，∠C=90°，AC=2，所以CD=()1252222=-=-AC AD ,因为∠ADC=2∠B ，∠ADC=∠B+∠BAD,所以∠B=∠BAD,所以BD=AD=5,所以BC=5+1，应选D.二、填空题〔本大题一一共8小题，每一小题3分，满分是24分.〕9.〔2021，9，3分〕比拟大小：3__________ -2(填>、<或者=〕 【答案】>【解析】解：根据一切正数大于负数，故答案为>。
2021年北京市中考数学试卷及答案解析
2021年北京初中学考数学试题解析【解析】【解析】【解析】【解析】【解析】【解析】本题选A。
【解析】【解析】答案为2:3,1/2.第三部分 解答题解答题第17题混合运算【解析】作图题的新花样，创新型试题，和海淀一模的“圭表”试题很相似，有画图，有依据填空。
本题是等腰三角形三线合一的性质。
【解析】【解析】1）平四的判定与证明，两组对边分别平行；2）Rt△BEF三边之比为3:4:5，EF=CE=AD。
这道题中规中矩，虽然是知识点交汇处命题，但是整体难度不大。
【解析】1）函数图象平移，高频考点，y=1/2x-1；解答题第24题圆综合题【解析】真的是比较简单的一道题。
（1）角度相等，垂径定理的应用；（2）OE为△BCG的中位线，△OAF∽△GCF可得线段长。
这道题没有切线的相关考察。
【解析】1）数一数，第13个数字为10.1，故m=10.1；2）p1=12，乙城市平均是11.0，中位数11.5，平均数低于中位数，则一定有p1＜p2；3）采用平均数计算即可，11.0x200=2200（百万元）。
第四部分 压轴题题【解析】短小精悍的一道题。
【解析】（1）很简单的一问，基础题型，但是一个小问题其实是两个问题。
（2）有些难度的问题，虽然也是中点类型。
可以采取不同的思路进行。
方法一：同一法设DE的中点为H，连接AH，连接MH并延长交AB于G。
可证△AMC∽△AHD，△ADC∽△AHM，于是∠AMH=∠ACD，则点∠AMH+∠BAM=90°，于是可得点H在FM上，即点H、N重合，问题得证。
方法二：辅助圆可证∠AMN=∠C=∠AOD，可得辅助圆如图所示，有∠AND=∠AMD=90°，问题得证。
字型造全等【解析】（1）比较简单，如图所示，可得结论。
（2）也可以看做是作图题。
如图，可得点A的纵坐标。
（3）难度最大的一问，需要借助特殊位置进行分析。
先来分析最小值，AC=AC'=2，而圆O的直径为2，于是可作草图，再作圆A，进而确定点B和B'，此时OA最小值为1，且BC长为根号3；再来确定最大值。
2021年全国中考数学真题分类汇编--数与式：实数的运算及比较大小(解析版)
【解答】解：原式＝﹣1+ ﹣4× +2
＝﹣1+2 ﹣2 +2
＝1．
13.（2021•浙江省台州）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．
C.当北京时间是15：00时，莫斯科时间是10:00，符合题意；
D.当北京时间 18：00时，不合题意．
故选：C
5.（2021•山东省泰安市）下列各数：﹣4，﹣2.8，0，|﹣4|，其中比﹣3小的数是（ ）
A．﹣4B．|﹣4|C．0D．﹣2.8
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【答案】C
【解析】
【分析】根据北京与莫斯科的时差为5小时，二人通话时间是9：00~17：00，逐项判断出莫斯科时间，即可求解．
【详解】解：由北京与莫斯科的时差为5小时，二人通话时间是9：00~17：00，
所以A.当北京时间是10：00时，莫斯科时间是5:00，不合题意；
B.当北京时间是12：00时，莫斯科时间是7:00，不合题意；
2021全国中考真题分类汇编（数与式）
----实数的运算及大小比较
一、选择题
1.（2021•湖南省常德市）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即 ，那么称m为广义勾股数．则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（）
2021年北京市中考数学试卷及解析(真题样卷)
2021年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的1．（3分）（2021•北京）截止到2021年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000立方米，将140000用科学记数法表示应为（）A．14×104B．1。
4×105C．1。
4×106D．14×1062．（3分）（2021•北京）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（）A．a B．b C．c D．d3．（3分）（2021•北京）一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（）A．B．C．D．4．（3分）（2021•北京）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）A．B．C．D．5．（3分）（2021•北京）如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（）A．26°B．36°C．46°D．56°6．（3分）（2021•北京）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1。
2km，则M，C两点间的距离为（）A．0。
5km B．0。
6km C．0。
9km D．1。
2km7．（3分）（2021•北京）某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（）A．21，21 B．21，21。
5 C．21，22 D．22，228．（3分）（2021•北京）如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为（0，﹣1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（）A．景仁宫（4，2）B．养心殿（﹣2，3）C．保和殿（1，0）D．武英殿（﹣3。
专题23圆的有关性质(共38题)-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)【解析版】
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题23圆的有关性质（共38题）一．选择题（共17小题）1．（2022•包头）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为（）A．22°B．32°C．34°D．44°2．（2022•宜昌）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝110°，则∠OBD＝（）A．15°B．20°C．25°D．30°3．（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm4．（2022•台湾）如图，AB为圆O的一弦，且C点在AB上．若AC＝6，BC＝2，AB的弦心距为3，则OC 的长度为何？（）A．3B．4C．D．5．（2022•山西）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°6．（2022•广元）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（）A．25°B．35°C．45°D．65°7．（2022•嘉兴）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（）A．55°B．65°C．75°D．130°8．（2022•陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝（）A．44°B．45°C．54°D．67°9．（2022•株洲）如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（）A．115°B．118°C．120°D．125°10．（2022•泰安）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为（）A．2B．3C．2D．11．（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．130°12．（2022•滨州）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为（）A．32°B．42°C．52°D．62°13．（2022•泸州）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，则BC的长是（）A．1B．C．2D．414．（2022•安徽）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若P A＝4，PB＝6，则OP＝（）A．B．4C．D．515．（2022•自贡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（）A．90°B．100°C．110°D．120°16．（2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD 为（）A．70°B．65°C．50°D．45°17．（2022•云南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（）A．B．C．D．二．填空题（共14小题）18．（2022•内江）如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于．19．（2022•吉林）如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则与的长度之和为（结果保留π）．20．（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为．21．（2022•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为．22．（2022•永州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝度．23．（2022•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC＝60°，则∠AOC的度数为．24．（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D ＝°．25．（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．26．（2022•武威）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝°．27．（2022•湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O 于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是．28．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为．29．（2022•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD 为2厘米，则镜面半径为厘米．30．（2021•宁夏）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于．31．（2022•遵义）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的长度．小组成员查阅相关资料，得到如下信息：信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；信息二：如图2，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：π≈3，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为千米．三．解答题（共7小题）32．（2022•宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．（1）直接判断AD与BD的数量关系；（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．33．（2022•武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE 的延长线交⊙O于点D，连接BD．（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．34．（2022•怀化）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：（1）AC＝BD；（2）△ABE∽△DCE．35．（2022•娄底）如图，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），动点A在以BC 为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O．设∠G＝θ．（1）求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值．（2）当θ＝90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由．36．（2022•威海）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．（1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．37．（2022•湖北）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE 交⊙O于点G，连接BG．（1）求证：FB2＝FE•FG；（2）若AB＝6，求FB和EG的长．38．（2022•广东）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；（2）若AB＝，AD＝1，求CD的长度．。
北京市2023年九年级中考数学一轮复习——二次函数和反比例函数 练习题(解析版)
北京市2023年九年级中考数学一轮复习——二次函数和反比例函数 练习题一、单选题1．（2021·北京·中考真题）如图，用绳子围成周长为10m 的矩形，记矩形的一边长为m x ，它的邻边长为m y ，矩形的面积为2m S ．当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，则y 与,x S 与x 满足的函数关系分别是（ ）A ．一次函数关系，二次函数关系B ．反比例函数关系，二次函数关系C ．一次函数关系，反比例函数关系D ．反比例函数关系，一次函数关系2．（2022·北京市燕山教研中心一模）线段5AB =．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段AB 运动至点B ，以线段AP 为边作正方形APCD ，线段PB 长为半径作圆．设点的运动时间为t ，正方形APCD 周长为y ，B 的面积为S ，则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是（ ）A ．正比例函数关系，一次函数关系B ．一次函数关系，正比例函数关系C ．正比例函数关系，二次函数关系D ．反比例函数关系，二次函数关系3．（2022·北京房山·一模）某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm ，把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（ ） A ．正比例函数关系 B ．一次函数关系 C ．反比例函数关系D ．二次函数关系4．（2022·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线224y ax ax =-+（0a >），如果点A （1m -，1y ），B （m ，2y ）和C （2m +，3y ）均在该抛物线上，且总有132y y y >>，结合图象，可知m 的取值范围是（ ） A ．1m <B ．01m <<C ．12m <D ．102m <<5．（2022·北京市第十九中学三模）把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②，所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为cm x ，另一条直角边的长为cm y ，图②中的较小正方形面积为2cm S ．当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，则y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是（ ）A ．反比例函数关系，二次函数关系B ．一次函数关系，二次函数关系C ．一次函数关系，反比例函数关系D ．反比例函数关系，一次函数关系6．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如图，一个边长为8cm 的正方形，把它的边延长cm x 得到一个新的正方形，周长增加了1cm y ，面积增加了22cm y ．当x 在一定范围内变化时，1y 和2y ，都随x 的变化而变化，则1y 与x ，2y 与x 满足的函数关系分别是（ ）A ．一次函数关系，二次函数关系B ．反比例函数关系，二次函数关系C ．一次函数关系，一次函数关系D ．反比例函数关系，一次函数关系7．（2022·北京石景山·一模）已知二次函数y =ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如下表：根据表格中的信息，得到了如下的结论：①二次函数y =ax 2+bx +c 可改写为y =a (x −1) 2−2的形式 ②二次函数y =ax 2+bx +c 的图象开口向下③关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =−1.5的两个根为0或2④若y >0，则x >3其中所有正确的结论为（ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．①③8．（2022·北京门头沟·一模）如图，用一段长为18米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为m x ，另一边的长为m y ，矩形的面积为2m S ．当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，那么y 与x ．S 与x 满足的函数关系分别是（ ）A ．一次函数关系，二次函数关系B ．反比例函数关系，二次函数关系C ．一次函数关系，反比例函数关系D ．反比例函数关系，一次函数关系9．（2022·北京·东直门中学模拟预测）如图，正方形ABCD 的边长是4，E 是AB 上一点，F 是延长线上的一点，且BE ＝DF ，四边形AEGF 是矩形，设BE 的长为x ，AE 的长为y ，矩形AEGF 的面积为S ，则y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是（ ）A ．一次函数关系，二次函数关系B ．反比例函数关系，二次函数关系C ．一次函数关系，反比例函数关系D ．反比例函数关系，一次函数关系二、填空题10．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若点12(2,),(5,)A y B y 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，则1y ______2y （填“>”“=”或“<”）.11．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点()1,2A 和点()1,B m -，则m 的值为______________．12．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与双曲线my x=交于A ，B 两点．若点A ，B 的纵坐标分别为12,y y ，则12y y +的值为_______．13．（2022·北京大兴·二模）请写出一个开口向下，对称轴为y 轴的抛物线的解析式y =__________． 14．（2022·北京西城·二模）将抛物线y =2x 2向下平移b (b >0)个单位长度后，所得新抛物线经过点(1，−4)，则b 的值为______．15．（2022·北京朝阳·模拟预测）将直线y ＝2x 向下平移3个单位长度后，得到的直线经过点（m +2，﹣5），则m 的值为 _____．16．（2022·北京门头沟·二模）已知y 是以x 为自变量的二次函数，且当x=0时，y 的最小值为-1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式_______．17．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A 、C 分别为x 、y 轴上的点，已知矩形OABC 的面积为3，函数(0)ky x x=>与BC 边交于点E ，试写出一个符合条件的k 的值：______．18．（2022·北京房山·二模）已知点()()122,,1,A y B y --在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，且12y y <，则k 的值可以是__________．（只需写出符合条件的一个的值） 19．（2022·北京平谷·二模）若反比例函数()0ky k x=≠经过点()2,3-和点()1,b -，则b =___________． 20．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy 中，点12(3)(5)A y B y ，，，在双曲线3y x=上，则1y ______2y （填“＞”或“＜”）．三、解答题21．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,),(3,)m n 在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设抛物线的对称轴为.x t =(1)当2,c m n ==时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；(2)点00(,)(1)x m x ≠在抛物线上，若,m n c <<求t 的取值范围及0x 的取值范围．22．（2022·北京·中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2()(0)y a x h k a =-+<．某运动员进行了两次训练．(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系()2(0)y a x h k a =-+<； (2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系20.04(9)23.24.y x =--+记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d 1，第二次训练的着陆点的水平距离为2d ，则1d ______2d （填“>”“=”或“<”）．23．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m 和点()3n ,在抛物线()20y ax bx a =+>上．（1）若3,15m n ==，求该抛物线的对称轴；（2）已知点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上．若0mn <，比较123,,y y y 的大小，并说明理由． 24．（2020·北京·中考真题）小云在学习过程中遇到一个函数21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当20x -≤<时，对于函数1||y x =，即1y x =-，当20x -≤<时，1y 随x 的增大而 ，且10y >；对于函数221y x x =-+，当20x -≤<时，2y 随x 的增大而 ，且20y >；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当20x -≤<时，y 随x 的增大而 ． （2）当0x ≥时，对于函数y ，当0x ≥时，y 与x 的几组对应值如下表：综合上表，进一步探究发现，当0x ≥时，y 随x 的增大而增大．在平面直角坐标系xOy 中，画出当0x ≥时的函数y 的图象．（3）过点(0，m)（0m >）作平行于x 轴的直线l ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l 与函数21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-的图象有两个交点，则m 的最大值是 ． 25．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，1122(,),(,)M x y N x y 为抛物线2(0)y ax bx c a =++>上任意两点，其中12x x <．（1）若抛物线的对称轴为1x =，当12,x x 为何值时，12;y y c ==（2）设抛物线的对称轴为x t =．若对于123x x +>，都有12y y <，求t 的取值范围．26．（2022·北京市第十九中学三模）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠经过点，()0,1A -，()3,2B ．(1)求这个一次函数的解析式；(2)①当双曲线()0my m x=≠经过点B 时，求m 的值； ②当3x >时，对于x 的每一个值，永远有()10mkx b k x+->≠成立，直接写出m 的取值范围． 27．（2022·北京市三帆中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()40y mx m m =++≠的图象与y 轴交于点C ，与反比例函数()0k y k x=≠的图象交于点()1A n -，，B 两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)当BC AC =时，直接写出关于x 的方程()240mx m x k ++-=的解；(3)当2BC AC ≤时，求m 的取值范围．28．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知抛物线22441y x mx m =-+-． (1)求此抛物线的顶点的坐标；(2)若直线y n =与该抛物线交于点A 、B ，且4AB =，求n 的值；(3)若这条抛物线经过点()121,P m y +，()22,Q m t y -，且12y y <，求t 的取值范围．29．（2022·北京市三帆中学模拟预测）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d 米，与湖面的垂直高度为h 米，下面的表中记录了d 与h 的五组数据：根据上述信息，解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；(2)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m ______；(3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为1.5米，那么公园应将水管露出湖面的高度(喷水头忽略不计)至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由(结果保留一位小数)．参考答案：1．A【分析】由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项． 【详解】解：由题意得：()210x y +=，整理得：()5,05y x x =-+<<，()()255,05S xy x x x x x ==-+=-+<<，∴y 与x 成一次函数的关系，S 与x 成二次函数的关系； 故选A ．【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键． 2．C【分析】根据题意分别列出与，与的函数关系，进而进行判断即可． 【详解】解：依题意：AP=t ，BP =5-t , 故y =4t ，S =（5-t ）2 故选择：C【点睛】本题考查了列函数表达式，正比例函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键． 3．D【分析】设底面边长为x cm ，则正方体的高为(x +50)cm ，设总费用为y 元，则可表示出y 与x 的函数关系，根据关系式即可作出选择．【详解】设底面边长为x cm ，则正方体的高为(x +50)cm ，设总费用为y 元， 由题意得：2216[24(50)]963200y x x x x x =++=+， 这是关于一个二次函数． 故选：D ．【点睛】本题考查了列函数关系并判断函数形式，关键是根据题意列出函数关系式． 4．D【分析】0a >时，抛物线上的点离对称轴水平距离越小，纵坐标越小，先根据题意画出图象，利用数形结合的方法解答即可． 【详解】解：如图，抛物线：()2240y ax ax a =-+>的对称轴为1x =，()11,A m y -，()2,B m y ，()32,C m y +为抛物线上三点，且总有132y y y >>， ∵0a >，∴抛物线上的点离对称轴水平距离越小，纵坐标越小， ∴()12111m m m -<+-<--， 解得102m <<． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标，解题的关键是根据题意画出大致图象，根据抛物线上的点离对称轴水平距离越小，函数值越小的性质解答． 5．B【分析】根据题意和图形，可以分别写出y 与x 的关系和S 与x 的关系，从而可以得到y 与x 满足的函数关系和S 与x 满足的函数关系．【详解】解：由图可知，图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形， 则5y x =-，y 与x 满足一次函数关系，22222(5)21025S x y x x x x =+=+-=-+，S 与x 满足二次函数关系，故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理、一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式． 6．A【分析】根据题意可得：周长增大的部分y 1（cm ）＝新正方形的周长﹣原正方形的周长；面积增大的部分y 2（cm 2）＝新正方形的面积﹣原正方形的面积，根据等量关系列出函数解析式即可． 【详解】解：由题意得：y 1＝4（8+x ）﹣4×8＝4x ，此函数是一次函数；y 2＝（8+x ）2﹣82＝x 2+16x ，此函数是二次函数，故选：A ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列出函数关系式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．7．D【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．【详解】解：由表格可得，∵该函数的图象经过（-1，0），（3，0），∴该函数图象的对称轴是直线x =132-+=1， ∴该函数图象的顶点坐标是（1，-2），有最小值，开口向上，∴二次函数y =ax 2+bx +c 可改写为y =a (x −1) 2−2的形式，故选项①正确，选项②错误；∵该函数的图象经过（0，-1.5），其关于对称轴直线x =1的对称点为（2，-1.5），∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =−1.5的两个根为0或2，故选项③正确；∵该函数的图象经过（-1，0），（3，0），∴若y >0，则x >3或x <-1，故选项④错误；综上，正确的结论为①③，故选：D ．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．8．A【分析】根据题意求得y 与x ．S 与x 之间的函数关系式，然后由函数关系式可直接进行判断．【详解】解：由题意可知，花园是矩形，∴218x y +=， ∴192y x =-，y 与x 满足一次函数关系； 花园面积：211(9)922S xy x x x x ==⋅-=-+，S 与x 满足二次函数关系；故选：A ．【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的简单应用，熟练掌握一次函数和二次函数的应用题中数量关系式（矩形周长=长与宽的和的2倍；矩形面积=长与宽的积）是解决应用题的关键．9．A【分析】根据题意，分别表示出y 与x ，S 与x 之间的关系式，即可判断． 【详解】 正方形ABCD 的边长是44AD AB ∴==设BE 的长为x ，AE 的长为y ，∴ BE ＝DF =xAE AB BE ∴=- ，即4y x =- ，故y 与x 是一次函数关系；4AF AD DF x =+=+∴矩形AEGF 的面积为2(4)(4)16S AE AF x x x =⋅=-+=-+ ，故S 与x 是二次函数关系；故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数的应用及二次函数的应用，理清题目中的数量关系，并能够列出解析式是解题的关键．10．＞【分析】根据反比例函数的性质，k >0，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，进行判断即可．【详解】解：∵k >0，∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，25＜，∴1y >2y ．故答案为：>．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．11．2-【分析】由题意易得2k =，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题．【详解】解：把点()1,2A 代入反比例函数()0k y k x=≠得：2k =， ∴12m -⨯=，解得：2m =-，故答案为-2．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 12．0【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O 对称，∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，∴120y y +=，故答案为：0.【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.13．2y x =-（答案不唯一）【分析】对于二次函数2y ax bx c =++，开口向下，则a<0；对称轴为y 轴，则0b =，写出一个符合上述条件的二次函数即可．【详解】解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++．抛物线的开口向下，对称轴为y 轴，∴a<0，且0b =，∴符合条件的抛物线的解析式可以是2y x =-．故答案为2y x =-（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数各项系数的性质，熟练掌握二次函数2y ax bx c =++中a 、b 、c 的意义是解决此类题的关键．14．6【分析】根据平移规律和待定系数法确定函数关系式，即可求解．【详解】解：∵平移后，设新抛物线的表达式为y =2x 2-b ，∴新抛物线经过点（1，-4），∴将x =1，y =-4代入得：-4=2×12-b ，∴b =6．故答案为：6．【点睛】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．15．-3【分析】由平移的规律可求得平移后的直线解析式，代入点（m ＋2，−5）直接求得答案．【详解】解：直线y ＝2x 向下平移3个单位长度后的函数解析式是y ＝2x ﹣3，把x ＝m +2，y ＝﹣5代入y ＝2x ﹣3，可得：2（m +2）﹣3＝﹣5，解得：m ＝﹣3，故答案为：﹣3．【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．16．y=x 2-1．【分析】直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标为（0，-1），然后写出一个满足题意的二次函数即可．【详解】解：∵y 是以x 为自变量的二次函数，且当x=0时，y 的最小值为-1，∴二次函数对称轴是y 轴，且顶点坐标为：（0，-1），抛物线开口向上，故满足上述条件的二次函数表达式可以为：y=x 2-1．故答案为：y=x 2-1．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出其顶点坐标是解题关键．17．2（答案不唯一）【分析】根据过点B 的反比例函数解析式写出答案即可．【详解】解：如图：当双曲线经过点B 时，3OABC k S ==矩形．∴当双曲线于边BC 相交时，03k <<，不妨取2k =，故答案为：2(答案不唯一)．【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，理解k 的几何意义及k 对双曲线位置的作用是求解本题的关键．18．－1（答案不唯一）【分析】根据反比例函数的增减性解答即可．【详解】解：∵点()()122,,1,A y B y --在反比例函数(0)k y k x=≠的图象上，且12y y <，－2＜－1＜0， ∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，∴k ＜0，故答案为：－1（答案不唯一）【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解答的关键．19．6【分析】根据点在函数图像上的性质吗，直接将点的坐标代入表达式求解即可． 【详解】解：反比例函数()0k y k x=≠经过点()2,3-和点()1,b -， 321k k b ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪=⎪-⎩，即()321b -⨯=⨯-，解得6b =， 故答案为：6．【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握图像经过点就是点的坐标满足表达式是解决问题的关键．20．>【分析】根据反比例函数的性质，k =3>0，y 随x 的增大而减小，进行判断即可．【详解】解：∵k =3>0，∴y 随x 的增大而减小，∵1x <2x ，∴1y >2y ．故答案为：>．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．21．(1)（0，2）；2(2)t 的取值范围为322t <<，0x 的取值范围为023x <<【分析】（1）当x =0时，y =2，可得抛物线与y 轴交点的坐标；再根据题意可得点(1,),(3,)m n 关于对称轴为x t =对称，可得t 的值，即可求解；（2）抛物线与y 轴交点关于对称轴x t =的对称点坐标为（2t ，c ），根据抛物线的图象和性质可得当x t ≤时，y 随x 的增大而减小，当x t >时，y 随x 的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点(1,)m ，点(3,)n ，点（2t ，c ）均在对称轴的右侧时；当点(1,)m 在对称轴的左侧，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时，即可求解．（1）解：当2c =时，22y ax bx =++，∴当x =0时，y =2，∴抛物线与y 轴交点的坐标为（0，2）；∵m n =，∴点(1,),(3,)m n 关于对称轴x t =对称，∴1322t +==； （2）解：当x =0时，y =c ，∴抛物线与y 轴交点坐标为（0，c ），∴抛物线与y 轴交点关于对称轴x t =的对称点坐标为（2t ，c ），∵0a >，∴当x t ≤时，y 随x 的增大而减小，当x t >时，y 随x 的增大而增大，当点(1,)m ，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时， 1t <，∵,m n c <<1＜3，∴2t ＞3，即32t >（不合题意，舍去）， 当点(1,)m 在对称轴的左侧，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时，点0(,)x m 在对称轴的右侧，13t <<， 此时点(3,)n 到对称轴x t =的距离大于点(1,)m 到对称轴x t =的距离，∴13t t -<-，解得：2t <，∵,m n c <<1＜3，∴2t ＞3，即32t >， ∴322t <<， ∵0(,)x m ，(1,)m ，对称轴为x t =， ∴012x t +=， ∴013222x +<<，解得：023x <<， ∴t 的取值范围为322t <<，0x 的取值范围为023x <<． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 22．(1)23.20 m ；()20.05823.20y x =--+(2)＜【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h 、k 的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a 的值，得出函数解析式；（2）着陆点的纵坐标为t ，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t 表示出1d 和2d ，然后进行比较即可．【详解】（1）解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：()8,23.20，∴8h =，23.20k =，即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m ，根据表格中的数据可知，当0x =时，20.00y =，代入()2823.20y a x =-+得： ()220.000823.20a =-+，解得：0.05a =-，∴函数关系关系式为：()20.05823.20y x =--+．（2）设着陆点的纵坐标为t ，则第一次训练时，()20.05823.20t x =--+，解得：8x =8x =∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离18d =第二次训练时，()20.04923.24t x =--+，解得：9x =9x =∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离29d =∵()()2023.202523.24t t --＜，，∴12d d ＜．故答案为：＜．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为t ，用t 表示出1d 和2d 是解题的关键． 23．（1）=1x -；（2）213y y y <<，理由见解析【分析】（1）由题意易得点()1,3和点()3,15，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；（2）由题意可分当0,0m n <>时和当0,0m n ><时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．【详解】解：（1）当3,15m n ==时，则有点()1,3和点()3,15，代入二次函数()20y ax bx a =+>得：39315a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为22y x x =+，∴抛物线的对称轴为12b x a=-=-； （2）由题意得：抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0，则由0mn <可得：①当0,0m n ><时，由抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0可得此时的抛物线开口向下，即a<0，与0a >矛盾；②当0,0m n <>时，∵抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0，∴此时抛物线的对称轴的范围为1322x <<， ∵点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上，∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为()3513571,2,4222222x x x <--<<-<<-<， ∵0a >，开口向上，∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，∴213y y y <<．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．24．（1）减小，减小，减小；（2）见解析；（3）73【分析】（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案；（2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像；（3）根据函数图像和性质，当2x =-时，函数有最大值，代入计算即可得到答案．【详解】解：（1）根据题意，在函数1y x =-中，∵10k =-<,∴函数1y x =-在20x -≤<中，1y 随x 的增大而减小； ∵222131()24y x x x =-+=-+， ∴对称轴为：1x =，∴221y x x =-+在20x -≤<中，2y 随x 的增大而减小；综合上述，21||(1)6y x x x =-+在20x -≤<中，y 随x 的增大而减小； 故答案为：减小，减小，减小；（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：（3）由（2）可知，当0x ≥时，y 随x 的增大而增大，无最大值；由（1）可知21||(1)6y x x x =-+在20x -≤<中，y 随x 的增大而减小； ∴在20x -≤<中，有当2x =-时，73y =， ∴m 的最大值为73； 故答案为：73． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值．25．（1）120,2x x ==；（2）32t ≤ 【分析】（1）根据抛物线解析式得抛物线必过（0，c ），因为12y y c ==，抛物线的对称轴为1x =，可得点M ，N 关于1x =对称，从而得到12,x x 的值；（2）根据题意知，抛物线开口向上，对称轴为x t =，分3种情况讨论，情况1：当12,x x 都位于对称轴右侧时，情况2：当12,x x 都位于对称轴左侧时，情况3：当12,x x 位于对称轴两侧时，分别求出对应的t 值，再进行总结即可．【详解】解：（1）当x=0时，y=c ，即抛物线必过（0，c ），∵12y y c ==，抛物线的对称轴为1x =，∴点M ，N 关于1x =对称，又∵12x x <，∴10x =，22x =；（2）由题意知，a ＞0，∴抛物线开口向上∵抛物线的对称轴为x t =，12x x <∴情况1：当12,x x 都位于对称轴右侧时，即当1x t ≥时，12y y <恒成立情况2：当12,x x 都位于对称轴左侧时，即1x ＜2,t x t ≤时，12y y <恒不成立情况3：当12,x x 位于对称轴两侧时，即当1x <2,t x t >时，要使12y y <，必有12x t x t -<-，即()()2212x t x t -<-解得122x x t +>，∴3≥2t ， ∴32t ≤ 综上所述，32t ≤． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质．解题的关键是学会分类讨论的思想及数形结合思想． 26．(1)1y x =-(2)①6；②3m ≤且0m ≠【分析】（1）待定系数法求解析式；（2）①将点B 坐标代入解析式即可；②解不等式1m kx b x+->，3x =时求出m 的值，即可确定m 的取值范围． （1）解：将点()0,1A -，()3,2B 代入一次函数解析式； 得321k b b +=⎧⎨=-⎩， 解得11k b =⎧⎨=-⎩， ∴一次函数解析式：1y x =-；（2）解：①将点()3,2B 代入反比例函数解析式，得326m =⨯=．②当3x =时，13111y kx b =+-=--=，313m ∴=⨯=，∴满足条件的m 的取值范围是：3m ≤且0m ≠．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键．27．(1)4y x=- (2)11x =，21x =-(3)当2m ≥或20m -≤＜时，2BC AC ≤【分析】（1）将点A 坐标代入直线解析式可求4n =，代入反比例函数解析式可求k ，即可求解； （2）由题意可得点C 为原点，可求4m =-，代入方程可求解；（3）分类讨论求解，分当0m ＜时与当0m ＞两种情况求解，当 2BC AC =时，三角形想似，可求出点B 的坐标，代入一次函数可得2m =±，再利用数形结合思想可得答案，．（1） 解：一次函数()40y mx m m =++≠的图象与y 轴交于点C ，与反比例函数()0k y k x=≠的图象交于点()1A n -，，B 两点．4n m m ∴=-++，4n ∴=，∴点()1,4A -，144k =-⨯=-∴，∴反比例函数的表达式为4y x=-； （2）解：当BC AC =时，则点C 是AB 的中点，∴点C 为原点，04m ∴=+，4m ∴=-，∴方程()240mx m x k ++-=化为：()()244440x x -+---=，11x ∴=，21x =-；（3）解：如图，当0m ＜时，过点A 作AN x ⊥轴，过点B 作BN AN ⊥于N ，过点C 作CM AN ⊥于M ，当2BC AC =时，∵AN x ⊥轴，BN AN ⊥，∴90AMC AMB ∠=∠=︒，CM BN ∥，∴ACM ABM ∠=∠，ACM ABN ∴∽，13AC CM AB BN ∴==， 3BN ，()22B ∴-，，将点()2,2B -代入4y mx m =++，2m ∴=-，根据图象可知，当20m -≤＜时，2BC AC ≤，如图，当0m ＞时，过点A 作AN y ⊥轴于N ，过点B 作BM y ⊥轴当2BC AC =时，AB =AC ，即点A 是BC 的中点，∵AN y ⊥轴，BN y ⊥轴，∴90ANC BMC ∠=∠=︒，∵ACN BCM ∠=∠，ACN BCM ∴∽，12AC AN BC BM ∴== ， 2BM ∴=，()22B ∴-，，将点()2,2B -代入4y mx m =++，2m ∴=，根据图象可知，当2m ≥时，2BC AC ≤，综上，当2m ≥或20m -≤＜时，2BC AC ≤．【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题、函数图象上点的坐标的特征、函数与方程的关系以及相似三角形的判定与性质，找到临界状态时k 的值是解决问题的关键，同时渗透了数形结合的思想． 28．(1)()2,1m -(2)3(3)1t <-或1t >【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解；（2）由二次函数的对称性及4AB =可得点A ，B 坐标，进而求解；（3）由点P 坐标及抛物线对称轴可得点P 关于对称轴的对称点P'的坐标，由抛物线开口向上和点()121,P m y +在抛物线对称轴的右边可分情况求解．（1）解：222441(2)1y x mx m x m =-+-=--，∴抛物线的顶点坐标为()2,1m -；（2） 解：点A ，B 关于抛物线对称轴对称，4AB =，对称轴为直线2x m =，∴抛物线经过()22,m n +，()22,m n -，。
2021年北京四中中考数学段考试卷(4月份)(含解析)
2021年北京四中中考数学段考试卷（4月份）一、选择题（共8小题）.1．今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为（）A．0.778×105B．7.78×104C．77.8×103D．778×1022．下列各数中，负数是（）A．﹣（﹣2）B．（﹣2）0C．（﹣2）2D．﹣|﹣2|3．下列计算正确的是（）A．x2+x3＝x5B．x2•x3＝x6C．x3÷x2＝x D．（2x2）3＝6x6 4．将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF 等于（）A．75°B．90°C．105°D．115°5．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD6．计算+的结果为（）A．﹣1B．1C．D．7．如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．8．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝OG•OC．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④二、填空题（共8小题）.9．如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是．10．因式分解：x（x﹣3）﹣x+3＝．11．如图，在△ABC中，DE∥BC，且BD＝2AD，若DE＝2，则BC边的长为．12．小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行，他们按设计好的同一条线路同时出发，小华每小时骑行18km，小明每小时骑行12km，完成全部骑行时间小明比小华多半小时，设他们这次骑行路线长为xkm，依题意可列方程．13．如图，一架长为10米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC 的长度约为米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）14．如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC＝，AC＝3．则图中阴影部分的面积是．15．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是．16．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF 中点，连接PB，则PB的最小值是．三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：（）﹣1﹣（π﹣2020）0+|﹣2|﹣3tan30°．18．解不等式组：；19．下面是小安设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如围1，直线l及直线l上一点P，求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图2．①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；②分别以点A，B为圆心，以大于AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小安设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接QA，QB．∵QA＝（），PA＝（），∴PQ⊥l（）（填推理的依据）．20．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个符合条件的m的值，并求出此时方程的根．21．如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）∠ADB的角平分线DE交AB于点E，当AD＝3，tan∠CAB＝时，求AE的长．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝（x＞0）的图象交于点A （1，m），与x轴交于点B．（1）求m，k的值；（2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D．①当n＝2时，求线段CD的长；②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．23．有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．（1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果；（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？24．为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中学，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各有400名学生进入综合素质展开环节，为了了解两所学校这些学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图：（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x ＜100）．b．甲学校学生成绩在80≤x＜90这一组是：80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：平均数中位数众数优秀率83.3847846%根据以上信息，回答下列问题：（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是（填“A”或“B”）；（2）根据上述信息，推断学校综合素质展示的水平更高，理由为（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到分的学生才可以入选．25．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．在同一平面内，△ABC内部一点O到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a的值；（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．①求证：∠BMA＝∠BMN；②求直线MN与图形G的公共点个数．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝﹣x2+2bx+c与直线l：y＝9x+14交于点A，且点A的横坐标为﹣2．（1）请用含b的代数式表示c．（2）点B在直线l上，点B的横坐标为﹣1，点C的坐标为（b，5），①若抛物线M还过点B，求该抛物线的解析式；②若抛物线M与线段BC恰有一个交点，直接写出b的取值范围．27．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，作AB边的垂直平分线交AC边于点D，延长AC，作点D关于直线BC的对称点E，点F为AB边上一点，连接FE，满足FE＝FA，连接FD．（1）依题意补全图形；（2）求证：FB＝FD；（3）设∠A＝α，求线段EB、EF、ED之间的数量关系（用含α的代数式表示）．28．对于平面内的点M和点N，给出如下定义：点P为平面内的一点，若点P使得△PMN 是以∠M为顶角且∠M小于90°的等腰三角形，则称点P是点M关于点N的锐角等腰点．如图①，点P是点M关于点N的锐角等腰点．在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点．（1）已知点A（2，0），在点P1（0，2），P2（1，），P3（﹣1，），P4（，﹣）中，是点O关于点A的锐角等腰点的是；（2）已知点B（3，0），点C在直线y＝2x+b上，若点C是点O关于点B的锐角等腰点，求实数b的取值范围；（3）点D是x轴上的动点，D（t，0），E（t﹣2，0），点F（m，n）是以D为圆心，2为半径的圆上一个动点，且满足n≥0．直线y＝﹣2x+4与x轴和y轴分别交于点H，K，若线段HK上存在点E关于点F的锐角等腰点，请直接写出t的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为（）A．0.778×105B．7.78×104C．77.8×103D．778×102解：77800＝7.78×104，故选：B．2．下列各数中，负数是（）A．﹣（﹣2）B．（﹣2）0C．（﹣2）2D．﹣|﹣2|解：A、原式＝2，2是正数，故此选项不合题意；B、原式＝1，1是正数，故此选项不合题意；C、原式＝4，4是正数，故此选项不符合题意；D、原式＝﹣2，﹣2是负数，故此选项合题意；故选：D．3．下列计算正确的是（）A．x2+x3＝x5B．x2•x3＝x6C．x3÷x2＝x D．（2x2）3＝6x6解：A、x2+x3不能合并，错误；B、x2•x3＝x5，错误；C、x3÷x2＝x，正确；D、（2x2）3＝8x6，错误；故选：C．4．将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF 等于（）A．75°B．90°C．105°D．115°解：∵BA∥EF，∠A＝30°，∴∠FCA＝∠A＝30°．∵∠F＝∠E＝45°，∴∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．故选：A．5．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项A成立；∴AD⊥OC，选项B成立；∴AF＝FD，选项D成立；∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立；故选：C．6．计算+的结果为（）A．﹣1B．1C．D．解：原式＝﹣＝＝＝﹣1．故选：A．7．如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．解：由题意可知，铁块露出水面以前，F拉+F浮＝G，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，故选：D．8．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝OG•OC．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④解：①∵四边形ABCD是正方形，∴OC＝OD，AC⊥BD，∠ODF＝∠OCE＝45°，∵∠MON＝90°，∴∠COM＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；②∵△COE≌△DOF，∴OE＝OF，∵∠MON＝90°，∴∠OEG＝45°＝∠FCG，∵∠OGE＝∠FGC，∴△OGE∽△FGC，故②正确；③∵△COE≌△DOF，∴S△COE＝S△DOF，∴，故③正确；④∵△COE≌△DOF，∴OE＝OF，又∵∠EOF＝90°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°＝∠OCE，∵∠EOG＝∠COE，∴△OEG∽△OCE，∴OE：OC＝OG：OE，∴OG•OC＝OE2，∵OC＝AC，OE＝EF，∴OG•AC＝EF2，∵CE＝DF，BC＝CD，∴BE＝CF，又∵Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2，∴BE2+DF2＝EF2，∴OG•AC＝BE2+DF2，故④错误，故选：B．二、填空题（本大题有8个小题，每小题2分，共16分）9．如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是a≥1．解：根据题意知a﹣1≥0，解得a≥1，故答案为：a≥1．10．因式分解：x（x﹣3）﹣x+3＝（x﹣1）（x﹣3）．解：原式＝x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝（x﹣1）（x﹣3），故答案为：（x﹣1）（x﹣3）11．如图，在△ABC中，DE∥BC，且BD＝2AD，若DE＝2，则BC边的长为6．解：如图，∵DE∥BC，∴，∵BD＝2AD，∴，∴，∴，∵DE＝2，∴BC＝6．故答案为：6．12．小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行，他们按设计好的同一条线路同时出发，小华每小时骑行18km，小明每小时骑行12km，完成全部骑行时间小明比小华多半小时，设他们这次骑行路线长为xkm，依题意可列方程+＝．解：设他们这次骑行线路长为xkm，依题意，可列方程为+＝，故答案为：+＝．13．如图，一架长为10米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC 的长度约为 1.70米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）解：由题意可得：∵∠ABO＝70°，AB＝10m，∴sin70°＝，解得：AO＝9.4（m），∵∠CDO＝50°，DC＝10m，∴sin50°＝≈0.77，解得：CO＝7.7（m），则AC＝9.4﹣7.7＝1.70（m），答：AC的长度约为1.70米．故答案为：1.70．14．如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC＝，AC＝3．则图中阴影部分的面积是．解：在Rt△ABC中，∵BC＝，AC＝3．∴AB＝＝2，∵BC⊥OC，∴BC是圆的切线，∵⊙O与斜边AB相切于点D，∴BD＝BC，∴AD＝AB﹣BD＝2﹣＝；在Rt△ABC中，∵sin A＝＝＝，∴∠A＝30°，∵⊙O与斜边AB相切于点D，∴OD⊥AB，∴∠AOD＝90°﹣∠A＝60°，∵＝tan A＝tan30°，∴＝，∴OD＝1，∴S阴影＝＝．故答案是：．15．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点，观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方，∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集为x＜﹣3或x＞1，即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．故答案为：x＜﹣3或x＞1．16．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF 中点，连接PB，则PB的最小值是2．解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2．∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠DP1P2＝45°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2，∴BP1＝2∴PB的最小值是2．故答案是：2．三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：（）﹣1﹣（π﹣2020）0+|﹣2|﹣3tan30°．解：呀un是＝3﹣1+2﹣﹣3×＝3﹣1+2﹣﹣＝4﹣2．18．解不等式组：；解：，由①得：x＜4，由②得：x＞1，则不等式组的解集为1＜x＜4．19．下面是小安设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如围1，直线l及直线l上一点P，求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图2．①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；②分别以点A，B为圆心，以大于AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小安设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接QA，QB．∵QA＝（QB），PA＝（PB），∴PQ⊥l（三线合一）（填推理的依据）．解：（1）如图2中，直线PQ即为所求作．（2）理由：连接QA，QB．∵QA＝QB，PA＝PB，∴PQ⊥l（三线合一）．故答案为：QB，PB，三线合一．20．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个符合条件的m的值，并求出此时方程的根．解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△＝（m+1）2﹣4×1×m2＞0，解得m＞﹣；（2）取m＝0，此时方程为x2+x＝0，则x（x+1）＝0，∴x＝0或x+1＝0，解得x＝0或x＝﹣1（答案不唯一）．21．如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）∠ADB的角平分线DE交AB于点E，当AD＝3，tan∠CAB＝时，求AE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，BD＝2BO．∵AO＝BO，∴AC＝BD．∴▱ABCD为矩形．（2）解：过点E作EG⊥BD于点G，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴EA⊥AD，∵DE为∠ADB的角平分线，∴EG＝EA．∵AO＝BO，∴∠CAB＝∠ABD．∵AD＝3，tan∠CAB＝，∴tan∠CAB＝tan∠ABD＝＝．∴AB＝4．∴BD＝＝＝5，sin∠CAB＝sin∠ABD＝＝．设AE＝EG＝x，则BE＝4﹣x，在△BEG中，∠BGE＝90°，∴sin∠ABD＝．解得：x＝，∴AE＝．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝（x＞0）的图象交于点A （1，m），与x轴交于点B．（1）求m，k的值；（2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D．①当n＝2时，求线段CD的长；②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．解：（1）∵直线y＝x+3经过点A（1，m），∴m＝1+3＝4，∵反比例函数的图象经过点A（1，4），∴k＝1×4＝4；（2）①当n＝2时，点P的坐标为（0，2），当y＝2时，2＝，解得x＝2，∴点C的坐标为（2，2），当y＝2时，x+3＝2，解得x＝﹣1，∴点D的坐标为（﹣1，2），∴CD＝2﹣（﹣1）＝3；②当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣3，则B（﹣3，0）当y＝n时，n＝，解得x＝，∴点C的坐标为（，n），当y＝n时，x+3＝n，解得x＝n﹣3，∴点D的坐标为（n﹣3，n），当点C在点D的右侧时，若CD＝OB，即﹣（n﹣3）＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），∴当0＜n≤2时，CD≥OB；当点C在点D的左侧时，若CD＝OB，即n﹣3﹣＝3，解得n1＝3+，n2＝3﹣（舍去），∴当n≥3+时，CD≥OB，综上所述，n的取值范围为0＜n≤2或n≥3+．23．有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．（1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果；（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有9种不同结果，即（2，1）（2.3）（2，5）（4，1）（4，3）（4，5）（6，1）（6，3）（6，5）；（2）列出两次得数之和的所有可能的结果如下：共有9种可能出现的结果，其中“和为3的倍数”的有3种，“和为7的倍数”的有3种，∴P（小杰胜）＝＝，P（小玉胜）＝＝，因此游戏是公平的．24．为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中学，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各有400名学生进入综合素质展开环节，为了了解两所学校这些学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图：（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x ＜100）．b．甲学校学生成绩在80≤x＜90这一组是：80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89 c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：平均数中位数众数优秀率83.3847846%根据以上信息，回答下列问题：（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是A（填“A”或“B”）；（2）根据上述信息，推断乙学校综合素质展示的水平更高学校综合素质展示的水平更高，理由为与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到88.5分的学生才可以入选．解：（1）甲学校学生成绩的中位数为＝81.25，乙学校学生成绩的中位数为84，故这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是A，故答案为：A；（2）根据上述信息，推断乙学校综合素质展示的水平更高，理由为：与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多；故答案为：乙学校，与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多（3）×50＝15，故甲学校分数至少达到88.5分的学生才可以入选，故答案为：88.5．25．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．在同一平面内，△ABC内部一点O到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a的值；（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．①求证：∠BMA＝∠BMN；②求直线MN与图形G的公共点个数．解：（1）如图，∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴33+42＝52，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，由题意可知：图形G是以O为圆心，a为半径的圆，AB，AC，BC与圆O相切，设切点分别为F，D，Q，连接OF，OD，OQ，∴OF⊥AB，OD⊥AC，OQ⊥BC，∴四边形AFOD为正方形，∴AF＝AD＝OF＝OD＝a，根据切线长定理可知：BF＝BQ＝3﹣a，CD＝CQ＝4﹣a，∴3﹣a+4﹣a＝5，解得a＝1；（2）①由题意可知：点O是△ABC的内心，∴∠ABM＝∠CBM，∵MA⊥AB，MB⊥BC，∴∠A＝∠BNM＝90°，∴∠BMA＝∠BMN；②如图，作OE⊥MN于点E，∵∠BMA＝∠BMN，∵OD⊥AC，∴OD＝OE，∴OE为圆O的半径，∴MN为圆O的切线，∴直线MN与图形G的公共点个数为1．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝﹣x2+2bx+c与直线l：y＝9x+14交于点A，且点A的横坐标为﹣2．（1）请用含b的代数式表示c．（2）点B在直线l上，点B的横坐标为﹣1，点C的坐标为（b，5），①若抛物线M还过点B，求该抛物线的解析式；②若抛物线M与线段BC恰有一个交点，直接写出b的取值范围．解：（1）把x＝﹣2代入直线l的解析式得y＝﹣2×9+14＝﹣4，∴A（﹣2，﹣4）把A（﹣2，﹣4）代入抛物线的解析式得﹣4﹣4b+c＝﹣4，解得c＝4b；（2）把x＝﹣1代入直线l的解析式得y＝﹣9+14＝5，∴B（﹣1，5），①把B（﹣1，5）代入抛物线的解析式得﹣1﹣2b+4b＝5，解得b＝3，∴c＝12，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x+12；②∵抛物线的解析式是y＝﹣x2+2bx+c，∴抛物线的对称轴为：x＝＝b，当b＞﹣1时，如图1所示，∵抛物线M与线段BC恰有一个交点，∴，∴，∵b＞﹣1，∴1≤b≤3；当b＝﹣1时，B与C重合，抛物线为y═﹣x2﹣2x﹣4，其顶点坐标为（﹣1，﹣3），此时抛物线y＝﹣x2+2bx+c与BC没有交点，不合题意，舍去；当b＜﹣1时，如图2所示，∵抛物线M与线段BC恰有一个交点，∴，∴，∵b＜﹣1，∴b≤﹣5；综上，1≤b≤3或b≤﹣5．27．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，作AB边的垂直平分线交AC边于点D，延长AC，作点D关于直线BC的对称点E，点F为AB边上一点，连接FE，满足FE＝FA，连接FD．（1）依题意补全图形；（2）求证：FB＝FD；（3）设∠A＝α，求线段EB、EF、ED之间的数量关系（用含α的代数式表示）．【解答】（1）解：如图，图形如图所示．（2）证明：连接BD，BE．∵点D在AB的垂直平分线上，∴DA＝DB，∴∠A＝∠DBA，∵CD＝CE，BC⊥DE，∴BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED，∵AF＝EF，∴∠A＝∠AEF，∵∠EDB＝∠A+∠DBA＝2∠A，∴∠AEB＝2∠AEF，∴∠AEF＝∠BEF＝∠A，∴△DAF≌△BEF（SAS），∴FD＝FB．（3）解：结论：BE+ED＝2EF•cosα．理由：由（2）可知，BE＝AD，∴BE+DE＝AD+DE＝AE，∵FE＝FA，∴AE＝2AF•cosα，∴BE+ED＝2EF•cosα．28．对于平面内的点M和点N，给出如下定义：点P为平面内的一点，若点P使得△PMN 是以∠M为顶角且∠M小于90°的等腰三角形，则称点P是点M关于点N的锐角等腰点．如图①，点P是点M关于点N的锐角等腰点．在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点．（1）已知点A（2，0），在点P1（0，2），P2（1，），P3（﹣1，），P4（，﹣）中，是点O关于点A的锐角等腰点的是P2，P4；（2）已知点B（3，0），点C在直线y＝2x+b上，若点C是点O关于点B的锐角等腰点，求实数b的取值范围；（3）点D是x轴上的动点，D（t，0），E（t﹣2，0），点F（m，n）是以D为圆心，2为半径的圆上一个动点，且满足n≥0．直线y＝﹣2x+4与x轴和y轴分别交于点H，K，若线段HK上存在点E关于点F的锐角等腰点，请直接写出t的取值范围．解：（1）如图1中，满足条件的点在半圆上（不包括点A以及y轴上的点），点P2，点P4满足条件．故答案为：P2，P4．（2）如图2中，以O为圆心，3为半径作半圆，交y轴于P（0，3），P′（0，﹣3）当直线y＝2x+b与半圆有交点（不包括P，B，）时，满足条件．当直线y＝2x+b经过P（0，3）时，b＝3．如图3中，当直线y＝2x+b与半圆相切于点G，交x轴于S，交y轴于T．∵OG⊥TS，tan∠OST＝2，OG＝3，∴GS＝，∴OS＝＝＝，∴OT＝3，即b＝﹣3，观察图像可知，满足条件的b的值为：﹣3≤b＜3．（3）根据题意，点E关于点F的锐角等腰点在半圆E上，点P在半圆S上，点Q在半圆T上（将半圆D绕点E旋转），如图3﹣1，半圆扫过的区域为图3﹣2中阴影部分，如图3﹣3中，阴影部分与HK相切于点G，tan∠EHG＝2，EG＝4，则GH＝2，EH＝2，即x E＝t﹣2＝2﹣2，解得t＝4﹣2，如图3﹣4中，阴影部分与HK相切于点G，tan∠GSJ＝tan∠KHO＝2，GS＝2，则GJ＝4，SJ＝2，且SE＝2，则EJ＝2﹣2，即y J＝2﹣2，代入直线y＝﹣2x+b，可得x J＝1+，则x E＝t﹣2＝1+，解得t＝3+，观察图像可知，4﹣2≤t＜3+．。
北京市2023年九年级中考数学一轮复习——解直角三角形 练习题(解析版)
北京市2023年九年级中考数学一轮复习——解直角三角形 练习题一、单选题1．（2022·北京石景山·一模）如图，△ABC 中，AC =D ，E 分别为CB ，AB 上的点，1CD =，2AD BD ==，若AE EB =，则DE 的长为（ ）AB ．2CD ．12．（2022·北京市十一学校模拟预测）如图1，在平行四边形ABCD 中，=60B ∠︒，2BC AB =，动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB 运动到点B 停止，同时动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位的速度沿折线B C D --运动到点D 停止．图2是点P 、Q 运动时，BPQ 的面积S 与运动时间t 函数关系的图象，则a 的值是（ ）A ．B ．C ．6D ．123．（2022·北京房山·一模）将宽为2 cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕AB 的长是( )A B ．C ．4cm D 4．（2022·北京·清华附中一模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，如果AC=3，AB=5，那么sinB 等于（ ）A．35B．45C．34D．435．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面半径，已知BC=6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（）A．34B．35C．45D．536．（2020·北京昌平·二模）如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK 与BC垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）A．B． C．D．7．（2020·北京海淀·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα＞cosα，则点M所在的线段可以是（）A．AB和CD B．AB和EF C．CD和GH D．EF和GH8．（2020·北京市第三十五中学模拟预测）把Rt ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的13C．扩大为原来的9倍D．不变9．（2020·北京市第一零一中学温泉校区一模）某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况，如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°．若直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为（）A．200 米B．（C．600 米D．（10．（2020·北京·北外附中模拟预测）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=34，则线段AB的长为（）A B．C．5 D．10二、填空题11．（2022·北京门头沟·一模）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，是市民周末休闲的好去处．如图，如果该摩天轮的直径为88米，最高点A距地面100米，匀速运行一圈所需的时间是18分钟．但受周边建筑物影响，如果乘客与地面距离不低于34米时为最佳观景期，那么在摩天轮运行的一圈中最佳观景的时长为________分钟．12．（2022·北京市第七中学一模）如图，点P 在线段BC 上，AB BC ⊥，DP AP ⊥， CD DP ⊥，如果10BC =，2AB =， 1tan 2C =，那么 DP 的长是 _____ ．13．（2022·北京朝阳·模拟预测）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB 的长为______m ．（结果保留根号）14．（2022·北京一七一中一模）在如图所示的正方形网格中，∠1__∠2．（填“＞”，“＝”，“＜”）15．（2022·北京·清华附中一模）2017年9月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角∠CED 为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD ＝_____（m ）．16．（2021·北京·101中学三模）如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则sin ∠ACB 的值为 __________________．17．（2021·北京朝阳·二模）利用热气球探测建筑物高度（如图所示），热气球与建筑物的水平距离AD =100m ，则这栋建筑物的高度BC 约为_____m 1.7≈≈，结果保留整数）．18．（2021·北京石景山·一模）如图，小石同学在A B ，两点分别测得某建筑物上条幅两端C D ，两点的仰角均为60︒，若点,,O A B 在同一直线上，A B ，两点间距离为3米，则条幅的高CD 为_________米（结果可以保留根号）三、解答题19．（2021·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，90ACB CAD ∠=∠=︒，点E 在BC 上，//,AE DC EF AB ⊥，垂足为F ．（1）求证：四边形AECD 是平行四边形；（2）若AE 平分4,5,cos 5BAC BE B ∠==，求BF 和AD 的长．20．（2021·北京·中考真题）计算：02sin60(5π--．21．（2020·北京·中考真题）计算：11()|2|6sin 453---︒ 22．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如图，菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，过点B 作BE BD ⊥，且BE OC =，连接CE ．(1)求证：四边形OCEB 是矩形；(2)连接DE ，当5AB =，3sin 5CAB ∠=，求tan BDE ∠的值． 23．（2022·北京市第十九中学三模）如图，在四边形ABCD 中，90ACB CAD ∠=∠=︒，AD BC =，点E 在BC 延长线上，AE 与CD 交于点F ．(1)求证：四边形ABCD 是平行四边形；(2)若AE 平分BAD ∠，13AB =，5cos 13B =，求AD 和CF 的长． 24．（2022·北京房山·二模）已知：如图，在四边形ABCD 中，,AB DC AC BD ⊥∥，垂足为M ，过点A 作(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)若48,sin5AC ABD=∠=，求BD的长．25．（2022·北京朝阳·112sin4522-⎛⎫- ⎪⎝⎭．26．（2022·北京平谷·二模）如图，在□ABCD中，连接AC，点E是AB中点，点F是AC的中点，连接EF，过E作EG∥AF，交DA的延长线于点G．(1)求证：四边形AGEF是平行四边形；(2)若3sin5G∠=，10AC=，12BC=，连接GF，求GF的长．27．（2022·北京丰台·二模）计算：(032sin458π--+++28．（2022·北京密云·二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC平分BAD∠，点E为AD边中点，过点E 作AC的垂线交AB于点M，交CB延长线于点F．(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；(2)若2FB=，3sin5F=，求AC的长．29．（2022·北京东城·二模）如图，在平行四边形ABCD中，DB DA=，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)若DC=tan3DCB∠=，求菱形AEBD的边长．参考答案：1．D【分析】先根据ACD ∆三边长判断各角的度数，然后利用等腰三角形“三线合一”求出90AED ∠=︒，再ACD AED ∆∆≌，最后根据全等三角形的性质求出DE 的长．【详解】解：△ABC 中，AC =1CD =，2AD =， ()222312+= ，222AC CD AD ∴+= ，90C ∴∠=︒ ，1sin 2CD CAD AD ∴∠==， 30CAD ∴∠=︒，60ADC ∠=︒，2AD BD ==， AE EB =，,DE AB DAB B ∴⊥∠=∠，90AED C ∴∠=∠=︒260ADC DAB B DAB ∠=∠+∠=∠=︒，30DAB CAD ∴∠=∠=︒，又AD AD =，()ACD AED AAS ∴∆∆≌，1DE CD ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据特殊三角函数值求解度，三角形外角的性质，根据三角形三边确定三角形各角的度数是解本题的关键．2．B 【分析】根据题意计算得6AB =；再结合题意，得当动点Q 在BC 上时，BPQ 的面积S 随运动时间t 变化呈现二次函数关系；当动点Q 在CD 上时，BPQ 的面积S 随运动时间t 变化呈现一次函数关系，从而得a 对应动点Q 和点C 重合；通过计算BPC S △，即可得到答案．【详解】解：∵动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB 运动到点B 停止，一共用6秒钟， ∴AB =1×6=6，∵22612BC AB ==⨯=，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB =CD =6，当动点Q 在BC 上时，BPQ 的面积S 随运动时间t 变化呈现二次函数关系，当动点Q 在CD 上时，BPQ 的面积S 随运动时间t 变化呈现一次函数关系，∴a 对应动点Q 和点C 重合，如图：∵动点Q 以每秒4个单位的速度从点B 出发，∴412t =，∴3t =，∴3AP t ==，∴6-3=3BP AB AP =-=，如图，过点C 作CE AB ⊥，交AB 于点E ，∴sin 12CE BC B =⨯∠==∴11322BPC S BP CE =⨯⨯=⨯⨯=a = 故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形、函数图像，二次函数、一次函数、三角函数,与三角形高有关的计算等知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、三角函数的性质，从而完成求解．3．A【分析】由图中条件可知纸片重叠部分的三角形ABO 是等边三角形，此三角形的高是AM=2，求边长，利用锐角三角函数可求．【详解】解：如图，作AM ⊥OB ，BN ⊥OA ，垂足为M 、N ，∵长方形纸条的宽为2cm ，∴AM=BN=2cm ，∴OB=OA ，∵∠AOB=60°，∴△AOB 是等边三角形，在Rt △ABN 中，AB=sin 60BN =． 故选A ．【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定及解直角三角形的运用．关键是由已知推出等边三角形ABO ，有一定难度．4．A【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinB 的值．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5， ∴sinB=3.5AC AB = 故选A ．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．5．C 【详解】分析：先根据扇形的面积公式S=12L•R 求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可． 详解：设圆锥的母线长为R ，由题意得15π=π×3×R ，解得R=5，∴圆锥的高为4，∴sin ∠ABC=45． 故选C ．点睛：本题考查了圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比．6．A【分析】根据题意可证出DFC △是直角三角形，利用直角三角形的边角关系用x 表示出CF 、DF ，最后利用三角形的面积公式可知y 与x 的函数关系图像是开口向上的二次函数，观察选项图像即可得出答案．【详解】解：由题可知，等边三角形ABC 的边长为2．∵ME ⊥AB ，=60B ∠︒， ∴BED 是直角三角形，90BED ∠=︒，=60B ∠︒，30BDE ∠=︒，∵BE x =，∴2BD x =，22CD x =-．又∵ DK ⊥BC ，∠MDK =∠FDK ，∴30BDE CDF ∠=∠=︒．∵60C ∠=︒，∴90DFC ∠=︒，∴DFC △是直角三角形， ∴122122x CF CD x -===-，∴cos cos30DF CDF DC ==︒=∠∴2)DF DC x ==-=，∴11)(1)22y DF CF x =⨯⨯=-，即2y x =则y 与x 的函数关系图像是开口向上的二次函数，且过点． 故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，从图形的面积公式入手，用自变量表示边的长度，直接代入公式求出因变量与自变量的函数关系是解题的关键．7．D【分析】如图，当点M 在线段AB 上时，连接OM ．根据正弦函数，余弦函数的定义判断sinα，cosα的大小．当点M 在EF 上时，作MJ ⊥OP 于J ．判断sinα，cosα的大小即可解决问题．【详解】如图，当点M 在线段AB 上时，连接OM ．∵sinα=PM OM ，cosα=OP OM，OP ＞PM ， ∴sin α＜cosα，同法可证，点M 在CD 上时，sinα＜cosα，如图，当点M 在EF 上时，作MJ ⊥OP 于J ．∵sinα=MJOM，cosα=OJOH，OJ＜MJ，∴sinα＞cosα，同法可证，点M在GH上时，sinα＞cosα，故选：D．【点睛】考查了正方形的性质和解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8．D【分析】根据相似三角形的性质解答．【详解】三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：D．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．9．B【分析】在Rt△ACD中，由tan∠A＝CDAD，可知200tan tan30CDADA====∠︒，在Rt△BCD中，由∠B＝45°知BD＝CD＝200米，根据AB＝AD+BD可得答案．【详解】解：由题意知，∠A＝30°，∠B＝45°，CD＝200米，在Rt△ACD中，∵tan∠A＝CD AD，∴200tan tan30CDADA====∠︒，在Rt△BCD中，∵∠B＝45°，∴BD＝CD＝200米，∴AB＝AD+BD＝（米），故选：B．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握解直角三角形的应用-仰角俯角问题是解题的关键.10．C【详解】分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．详解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，∴∠AOB=90°，∵BD=8，∴OB=4，∵tan∠ABD=34AOOB =，∴AO=3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：，故选C．点睛：本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．11．12【分析】先计算出圆的底端距离地面的距离为12，从而得到圆的底部到弦的距离为22，从而计算出弦所对的圆心角，用弧长公式计算劣弧的长，周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长，除以运动速度即可．【详解】解：如下图所示，根据题意，得OC =44，CD =AD -AC =100-88=12，ED =34，∴CE =ED -CD =34-12=22，∴OE =OC -CE =44-22=22，在直角三角形OEF 中，sin ∠OFE =OE OF =221442， ∴∠OFE =30°，∴∠FOE =60°，∴∠FOB =120°，∴24041803R R FAB ππ==， ∵圆转动的速度为2189RR ππ， ∴最佳观赏时长为43R π÷9R π=12（分钟）， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了垂径定理，弧长公式，特殊角的三角函数，解题的关键是熟练掌握弧长公式，灵活运用特殊角的三角函数．12 【分析】由已知条件，根据同角的余角相等得APB C ∠=∠，根据1tan 2C =得1tan 2AB APB BP ==∠，求出4BP =，得出6PC =，利用1tan 2C =和勾股定理即可得DP 的长． 【详解】解：∵AB BC ⊥，DP AP ⊥，CD DP ⊥，∴90B APD PDC ∠=∠=∠=︒，90C DPC ∠+∠=︒，90APB DPC ∠+∠︒=，∴APB C ∠=∠， ∵1tan 2C =， ∴1tan tan 2AB APB C BP ===∠， ∵2AB =，10BC =，∴4BP =，6PC =，设DP 的长是x ， ∵1tan 2DP C CD ==， ∴22CD DP x ==，∴222PC DP CD =+，即()22262x x =+，解得x =，【点睛】本题考查三角函数-正切，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．13． 1.6) 【分析】如图（见解析），先在Rt BCF 中，解直角三角形可求出CF 的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得DE 的长，从而可得CE 的长，然后根据线段的和差即可得．【详解】如图，过A 作//AE BF ，交DF 于点E ，则四边形ABFE 是矩形,5,AB EF AE BF m AE EF ∴===⊥由图中数据可知， 3.4CD m =，30CBF ∠=︒，45DAE =︒∠，90F ∠=︒在Rt BCF 中，tan CF CBF BF ∠=，即tan 305CF =︒解得)CF m = ,45AE EF DAE ⊥∠=︒Rt ADE ∴是等腰三角形5DE AE m ∴==5 3.4 1.6()CE DE CD m ∴=-=-=1.6()EF CF CE m ∴=-=则AB 的长为 1.6)m故答案为： 1.6)．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键．14．>【分析】由正切的定义可得出tan∠1=34，tan∠2=23，由34＞23且∠1，∠2均为锐角可得出∠1＞∠2，此题得解．【详解】在Rt△ABE中，tan∠134 BEAE==；在Rt△BCD中，tan∠223 BDBC==．∵3243>，且∠1，∠2均为锐角，∴tan∠1＞tan∠2，∴∠1＞∠2．故答案为：＞．【点睛】本题考查了解直角三角形，由正切的定义找出tan∠1＞tan∠2是解题的关键．15．1154cosα．【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题．【详解】解：由题意可得，BD＝2CE•cosα＝2×577×cosα＝1154cosα，故答案为1154cosα．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．16【分析】作辅助线BD使∠ACB直角三角形BCD中，然后用正弦函数的定义即可．【详解】解：作如图所示的辅助线，则BD⊥AC，∵BCBD =∴sin ∠ACB =，【点睛】本题主要考查正弦的概念，根据题意得出相应边长是解题的关键．17．270【分析】分别在Rt ABD 与Rt ACD 中求得BD 与CD 长度，BC=BD+CD ，即可求出BC 长度．【详解】∵在Rt ABD 中，45BAD ∠=∴BD AD ==100（米）在Rt ACD 中，60DAC ∠=， ∴tan 60CD AD=∴CD AD ==∴100270BC BD CD =+=+（米）故答案为：270【点睛】本题主要考查锐角三角函数在实际应用中求解，能找见不同直角三角形中的等量关系是解题关键． 18．【分析】过点C 作CE ∥AB ，交BD 于点E ，可得四边形ABEC 是平行四边形，在直角DEC 中，利用锐角三角函数的定义，即可求解．【详解】过点C 作CE ∥AB ，交BD 于点E ，∵小石同学在A B ，两点分别测得某建筑物上条幅两端C D ，两点的仰角均为60︒，∴∠CAO =∠DBO =60°，∴AC ∥BD ，∴四边形ABEC 是平行四边形，∴CE =AB =3，∠DEC =60°，∵BO ⊥DO ，∴EC ⊥DO ，∴在直角DEC 中，CD =EC ×tan60°故答案是：【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 19．（1）见详解；（2）4BF =，3AD =【分析】（1）由题意易得AD ∥CE ，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得EF =CE =AD ，然后由45,cos 5BE B ==可进行求解问题． 【详解】（1）证明：∵90ACB CAD ∠=∠=︒，∴AD ∥CE ，∵//AE DC ，∴四边形AECD 是平行四边形；（2）解：由（1）可得四边形AECD 是平行四边形，∴CE AD =，∵EF AB ⊥，AE 平分BAC ∠，90ACB ∠=︒，∴EF CE =，∴EF =CE =AD ， ∵45,cos 5BE B ==， ∴4cos 545BF BE B =⋅=⨯=，∴3EF ==，∴3AD EF ==．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键．20．4【分析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解．【详解】解：原式=2514-=． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算是解题的关键．21．5【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，再合并即可得到答案．【详解】解：原式=3262+-⨯32=+-5.= 【点睛】本题考查的是负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，以及合并同类二次根式，掌握以上的知识是解题的关键．22．(1)见解析 (2)23【分析】（1）证AC BE ，再证四边形OCEB 是平行四边形，然后由90OBE ∠=︒即可得出结论；（2）由锐角三角函数定义得3OB =，则26BD OB ==，再由勾股定理得4OC OA ==，然后由锐角三角函数定义即可得出结论．（1） 证明：四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，90DOC ∴∠=︒， BE BD ⊥，90OBE DOC ∴∠=∠=︒，AC BE ∴∥，BE OC =，∴四边形OCEB 是平行四边形，又90OBE ∠=︒，∴平行四边形OCEB 是矩形；（2）解：如图，四边形ABCD 是菱形，OA OC ∴=，OB OD =，AC BD ⊥，在Rt AOB △中，5AB =，3sin 5OB CAB AB∠==， 3OB ∴=，26BD OB ∴==，4OC OA ∴==，由（1）可知，四边形OCEB 是矩形，90OBE ∴∠=︒，4BE OC ==，42tan 63BE BDE BD ∴∠===． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键．23．(1)见解析(2)5，8【分析】（1）先证AD BC ∥，再由AD BC =，即可得出结论；（2）由锐角三角函数定义得5BC =，再由平行四边形的性质得5AD BC ==，然后证13BE AB ==，则8CE BE BC =-=，进而证CFE BEA ∠=∠，得8CF CE ==．（1）证明：∵90ACB CAD ∠=∠=︒，∴AD BC ∥，∵AD BC =，∴四边形ABCD 是平行四边形；（2）∵90ACB ∠=︒，13AB =，5cos 13B =，∴5cos 13BC B AB ==， ∴5BC =，由（1）可知，四边形ABCD 是平行四边形，∴5AD BC ==，AB CD ∥，AD BC ∥，∴DAE BEA ∠=∠，∵AE 平分BAD ∠，∴DAE BAE ∠=∠，∴BEA BAE ∠=∠，∴13BE AB ==，∴1358CE BE BC =-=-=，∵AB CD ∥，∴∠=∠CFE BAE ，∴CFE BEA ∠=∠，∴8CF CE ==，即5AD =，8=CF ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、锐角三角函数定义、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．24．(1)证明见解析(2)6【分析】（1）先证明AE ∥BD ，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；（2）先根据平行四边形的性质和锐角三角函数求得CE 的长，再利用勾股定理求出AE 的长即可求得BD 的长．（1）解：∵AC ⊥BD ，AC ⊥AE ，∴AE ∥BD ，又AB ∥DC ，∴四边形ABDE 是平行四边形．（2）解：∵四边形ABDE 是平行四边形，∴BD=AE，∠E=∠ABD，∵48,sin5 AC ABD=∠=，∴4sin sin5ACE ABDCE∠=∠==，则CE=10，在Rt△EAC中，6AE===，∴BD=6．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键．25．【分析】分别根据二次根式的性质，45°角的三角函数值，负整数指数幂及绝对值的性质进行化简，最后再由二次根式的运算法则合并即可．【详解】解：原式222=-+=故答案为：【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确掌握二次根式的性质，45°角的三角函数值，负整数指数幂定义及绝对值的性质是解题的关键．26．(1)见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，再由三角形中位线定理可得EF∥BC，从而得到EG∥AF，即可求证；（2）过点E作EM⊥DG于点M，过点F作FN⊥DG于点N，可得EM=FN，再由三角形中位线定理可得EF=6，然后根据四边形AGEF是平行四边形，可得AG=EF=6，GE=AF，GE=AF=5，根据3sin5G∠=，可得FN=EM=3，从而得到AN=4，再由勾股定理，即可求解．(1)解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∵点E是AB中点，点F是AC的中点，∴EF∥BC，∴EF∥AD，即EF∥AG，∵EG∥AF，∴四边形AGEF是平行四边形；(2)如图，过点E作EM⊥DG于点M，过点F作FN⊥DG于点N，∵EF∥AD，∴EM=FN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=12，∵点E是AB中点，点F是AC的中点，∴1112622EF BC==⨯=，∵四边形AGEF是平行四边形，∴AG=EF=6，GE=AF，∵F是AC的中点，10AC=，∴AF=5，∴GE=AF=5，∵EM⊥DG，∴∠EMG=90°，∴sin355EM EMGEG===，∴EM=3，∴FN=EM=3，∵FN⊥DG，∴4AN=，∴GN=AG+AN=10，∴GF=【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．27．4【分析】原式第一项利用绝对值的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项化为最简二次根式，第四项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【详解】解：原式 =2322212=32221=4【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．28．(1)见解析；(2)24 5【分析】（1）根据平行线性质得∠DAC=∠ACB，根据角平分线定义得∠DAC=∠BAC，进而得出∠BCA=∠BAC，推出BA=BC，最后证得结果；（2）连接BD，根据平行四边形的判定证明四边形EFBD是平行四边形，再求得BC及sin OBC∠的值，最后求得AC的长．(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵AC平分BAD∠，∴∠DAC=∠BAC，∴∠BCA=∠BAC，∴BA=BC，∴平行四边形ABCD是菱形；(2)连接BD，∵平行四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，DE ∥BF ，∵AC ⊥EF ，∴EF ∥BD ，∴四边形EFBD 是平行四边形，∠OBC =∠F ，∴DE =BF =2，∵点E 为AD 边中点，∴AD =4，∴BC =AD =4， ∵3sin 5F =，∠OBC =∠F ， ∴3sin 5OBC OC BC ∠==， ∴345OC =， ∴125OC =， ∴2425AC OC ==【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的性质及判定、等腰三角形的判定及性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定及性质．29．(1)见解析；(2)边长为5【分析】由△AFD ≌△BFE ，推出AD =BE ，可知四边形AEBD 是平行四边形，再根据BD =AD 可得结论； （2）根据菱形的性质得出,ADE BDE BDC BCD ∠=∠∠=∠，由各角之间的数量关系得出90BDE BDC ∠+∠=︒，根据题意得出DE =EC 的长，然后根据直角三角形斜边上的中线即可得出结果．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴//AD BC ，∴ADE DEB ∠=∠∵F 是AB 的中点，∴AF BF =∴在AFD ∆与BFE ∆中，ADF BEF AFD BFE AF BF ∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ΔAFD ≅BFE ∆∴AD =BE ，∵//AD BC ，∴四边形AEBD 是平行四边形，∵DB DA =，∴四边形AEBD 是菱形；（2）解：∵四边形AEBD 是菱形，DB DA =∴AD BD BE BC ===，∴,ADE BDE BDC BCD ∠=∠∠=∠∵//AD BC∴180ADE BDE BDC BCD ∠+∠+∠+∠=︒∴90BDE BDC ∠+∠=︒∵DC =tan 3DCB ∠=， ∴3DE DC=，DE =∴10EC =，∴EB =BC =BD =152EC =， 菱形的边长为5．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。
北京市东城区2021年中考数学重点题型及答案(含解析)
北京市东城区2021年中考数学重点题型及答案（含解析）一、单选题1、将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．85°【分析】利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和）解题或利用三角形内角和解题皆可．【解答】解：如图：∵∠BCA＝60°，∠DCE＝45°，∴∠2＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∵HF∥BC，∴∠1＝∠2＝75°，故选：C．【点评】主要考查了一副三角板所对应的角度是60°，45°，30°，90°和三角形外角的性质．本题容易，解法很灵活．2、小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米【分析】过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．【解答】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∵tan65°＝，∴OF＝x tan65°，∴BD＝3+x，∵tan35°＝，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x＝0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15，∴OE＝3.15+1.5＝4.65，故选：C．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．3、如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（）A．8 B．10 C．11 D．13【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA＝DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长＝AC+BC．【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴△BDC的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝5+3＝8．故选：A．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．4、如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：＜1，∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故选：C．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．5、一次抽奖活动特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（）A．5×10﹣4B．5×10﹣5C．2×10﹣4D．2×10﹣5【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：＝0.00002＝2×10﹣5．故选：D．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．6、观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（）A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a【分析】由等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2，得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，那么250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249），将规律代入计算即可．【解答】解：∵2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，∴250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+...+2100）﹣（2+22+23+ (249)＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）＝2101﹣250，∵250＝a，∴2101＝（250）2•2＝2a2，∴原式＝2a2﹣a．故选：C．【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2．7、数据3，3，5，8，11的中位数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】先把原数据按从小到大排列，然后根据中位数的定义求解即可．【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，3，5，8，11，故这组数据的中位数是，5．故选：C．【点评】本题考查了中位数的概念：把一组数据按从小到大的顺序排列，最中间那个数或中间两个数的平均数就是这组数据的中位数．8、当m＝﹣1时，代数式2m+3的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】将m＝﹣1代入代数式即可求值；【解答】解：将m＝﹣1代入2m+3＝2×（﹣1）+3＝1；故选：C．【点评】本题考查代数式求值；熟练掌握代入法求代数式的值是解题的关键．9、关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（）A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3可求出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△≥0可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，解得：k＝±2．∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有实数根，∴△＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0，解得：k≥2﹣1或k≤﹣2﹣1，∴k＝2．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，求出k的值是解题的关键．10、根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形外心的定义，三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图格选项进行判断．【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．二、填空题1、命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为如果a，b互为相反数，那么a+b＝0 ．【分析】根据互逆命题的定义写出逆命题即可．【解答】解：命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0；故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0．【点评】本题考查的是命题与定理、互逆命题，掌握逆命题的确定方法是解题的关键．2、问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是2．【分析】（1）在BC上截取BG＝PD，通过三角形求得证得AG＝AP，得出△AGP是等边三角形，得出∠AGC＝60°＝∠APG，即可求得∠APE＝60°，连接EC，延长BC到F，使CF＝PA，连接EF，证得△ACE是等边三角形，得出AE＝EC＝AC，然后通过证得△APE≌△ECF（SAS），得出PE＝PF，即可证得结论；（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，可证△GMO≌△DME，可得GO＝DE，则MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D、E、O、N四点共线时，MO+NO+GO值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO的最小值．【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，∠BAG＝∠DAP，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等边三角形，∴∠AGC＝60°＝∠APG，∴∠APE＝60°，∴∠EPC＝60°，连接EC，延长BC到F，使CF＝PA，连接EF，∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，∴∠EAC＝60°，∠EPC＝60°，∵AE＝AC，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝EC＝AC，∵∠PAE+∠APE+∠AEP＝180°，∠ECF+∠ACE+∠ACB＝180°，∠ACE＝∠APE＝60°，∠AED＝∠ACB，∴∠PAE＝∠ECF，在△APE和△ECF中∴△APE≌△ECF（SAS），∴PE＝PF，∴PA+PC＝PE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵MG＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值为2，故答案为2，【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，构造等边三角形是解答本题的关键．3、命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为如果a，b互为相反数，那么a+b＝0 ．【分析】根据互逆命题的定义写出逆命题即可．【解答】解：命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0；故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0．【点评】本题考查的是命题与定理、互逆命题，掌握逆命题的确定方法是解题的关键．4、计算（）2+1的结果是 4 ．【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：原式＝3+1＝4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．5、用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为4π．【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，从而可以计算面积．【解答】解：扇形的弧长＝＝4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2．∴面积为：4π，故答案为：4π．【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．三、解答题(难度：中等)1、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：PA＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．【分析】（1）利用等式的性质判断出∠PBC＝∠PAB，即可得出结论；（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；（3）先判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出，即h3＝2h2，再由△PAB∽△PBC，判断出，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC又∠APB＝135°，∴∠PAB+∠PBA＝45°∴∠PBC＝∠PAB又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△PAB∽△PBC（2）∵△PAB∽△PBC∴在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∴∴PA＝2PC（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°∴∠APC＝90°，∴∠EAP+∠ACP＝90°，又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°∴∠EAP＝∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴，即，∴h3＝2h2∵△PAB∽△PBC，∴，∴∴．即：h12＝h2•h3．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP＝∠PCD是解本题的关键．2、某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0≤x≤100）．已知草莓的产销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p＝x+1．（1）直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；（2）求该合作社所获利润w（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；（3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社所获利润w′（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？【分析】（1）分0≤x≤30；30≤x≤70；70≤x≤100三段求函数关系式，确定第2段利用待定系数法求解析式；（2）利用w＝yx﹣p和（1）中y与x的关系式得到w与x的关系式；（3）把（2）中各段中的w分别减去0.3x得到w′与x的关系式，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质求解．【解答】解：（1）当0≤x≤30时，y＝2.4；当30≤x≤70时，设y＝kx+b，把（30，2.4），（70，2）代入得，解得，∴y＝﹣0.01x+2.7；当70≤x≤100时，y＝2；（2）当0≤x≤30时，w＝2.4x﹣（x+1）＝1.4x﹣1；当30≤x≤70时，w＝（﹣0.01x+2.7）x﹣（x+1）＝﹣0.01x2+1.7x﹣1；当70≤x≤100时，w＝2x﹣（x+1）＝x﹣1；（3）当0≤x＜30时，w′＝1.4x﹣1﹣0.3x＝1.1x﹣1，当x＝30时，w′的最大值为32，不合题意；当30≤x≤70时，w′＝﹣0.01x2+1.7x﹣1﹣0.3x＝﹣0.01x2+1.4x﹣1＝﹣0.01（x﹣70）2+48，当x＝70时，w′的最大值为48，不合题意；当70≤x≤100时，w′＝x﹣1﹣0.3x＝0.7x﹣1，当x＝100时，w′的最大值为69，此时0.7x﹣1≥55，解得x≥80，所以产量至少要达到80吨．【点评】本题考查了一次函数的应用：学会建立函数模型的方法；确定自变量的范围和利用一次函数的性质是完整解决问题的关键．3、已知P＝﹣（a≠±b）（1）化简P；（2）若点（a，b）在一次函数y＝x﹣的图象上，求P的值．【分析】（1）P＝﹣＝＝＝；（2）将点（a，b）代入y＝x﹣得到a﹣b＝，再将a﹣b＝代入化简后的P，即可求解；【解答】解：（1）P＝﹣＝＝＝；（2）∵点（a，b）在一次函数y＝x﹣的图象上，∴b＝a﹣，∴a﹣b＝，∴P＝；【点评】本题考查分式的化简，一次函数图象上点的特征；熟练掌握分式的化简，理解点与函数解析式的关系是解题的关键．4、如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；（2）分当AB为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；（3）利用S四边形AEBD＝AB（y D﹣y E），即可求解．【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PE＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S四边形AEBD＝AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．5、关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．6、解方程组．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：3x＝9，即x＝3，把x＝3代入①得：y＝﹣2，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．7、国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d．中国的国家创新指数得分为69.5．（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第17 ；（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 2.8 万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是①②．①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．【分析】（1）由国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，即可得出结果；（2）根据中国在虚线l1的上方，中国的创新指数得分为69.5，找出该点即可；（3）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；（4）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断①②的合理性．【解答】解：（1）∵国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，故答案为：17；（2）如图所示：（3）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元；故答案为：2.8；（4）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，①相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理；故答案为：①②．【点评】本题考查了频数分布直方图、统计图、样本估计总体、近似数和有效数字等知识；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．8、良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50整理数据：年级x＜60 60≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100七年级0 10 4 1八年级 1 5 8 1（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）分析数据：年级平均数中位数众数七年级76.8 75 75八年级77.5 80 81得出结论：（1）根据上述数据，将表格补充完整；（2）可以推断出八年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．【分析】（1）由平均数和众数的定义即可得出结果；（2）从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些；（3）由七年级总人数乘以优秀人数所占比例，即可得出结果．【解答】解：（1）七年级的平均数为（74+81+75+76+70+75+75+79+81+70+74+80+91+69+82）＝76.8，八年级的众数为81；故答案为：76.8；81；（2）八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；故答案为：八；（3）若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数＝300×＝20（人）．【点评】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．。
2021年北京市中考数学真题试卷附答案2
2021年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）（2021•北京）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．长方体B．圆柱C．圆锥D．三棱柱【分析】展开图为两个圆，一个长方形，易得是圆柱的展开图．【解答】解：∵圆柱的展开图为两个圆和一个长方形，∴展开图可得此几何体为圆柱．故选：B．【点评】此题主要考查了由展开图得几何体，关键是考查同学们的空间想象能力．2．（2分）（2021•北京）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014﹣2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（）A．0.1692×1012B．1.692×1012C．1.692×1011D．16.92×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：将169200000000用科学记数法表示应为1.692×1011．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（2分）（2021•北京）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD 的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】根据平角的意义求出∠BOC的度数，再根据垂直的意义求出答案．【解答】解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，又∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，故选：A．【点评】本题考查平角及垂直的意义，理解互相垂直的意义是解决问题的关键．4．（2分）（2021•北京）下列多边形中，内角和最大的是（）A．B．C．D．【分析】根据多边形的内角和公式求解即可．【解答】解：A．三角形的内角和为180°；B．四边形的内角和为360°；C．五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°；D．六边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°；故选：D．【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．5．（2分）（2021•北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞﹣2B．|a|＞b C．a+b＞0D．b﹣a＜0【分析】根据图象逐项判断对错．【解答】解：A ．由图象可得点A 在﹣2左侧， ∴a ＜﹣2，A 选项错误，不符合题意． B ．∵a 到0的距离大于b 到0的距离， ∴|a |＞b ，B 选项正确，符合题意． C ．∵|a |＞b ，a ＜0， ∴﹣a ＞b ，∴a +b ＜0，C 选项错误，不符合题意． D ．∵b ＞a ，∴b ﹣a ＞0，D 选项错误，不符合题意． 故选：B ．【点评】本题考查数轴与绝对值，解题关键是掌握数轴上点的意义及绝对值的含义． 6．（2分）（2021•北京）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【分析】画树状图，共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树形图得：由树形图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，∴一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为24=12，故选：C ．【点评】本题考查了求随机事件的概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．7．（2分）（2021•北京）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n 为整数且n ＜√2021＜n +1，则n 的值为（ ） A ．43B ．44C ．45D ．46【分析】先写出2021所在的范围，再写√2021的范围，即可得到n的值．【解答】解：∵1936＜2021＜2025，∴44＜√2021＜45，∴n＝44，故选：B．【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．8．（2分）（2021•北京）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系【分析】矩形的周长为2（x+y）＝10，可用x来表示y，代入S＝xy中，可得S关于x 的函数关系式，代简即可得出答案．【解答】解：由题意得，2（x+y）＝10，∴x+y＝5，∴y＝5﹣x，即y与x是一次函数关系．∵S＝xy＝x（5﹣x）＝﹣x2+5x，∴矩形面积满足的函数关系为S＝﹣x2+5x，即满足二次函数关系，故选：A．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键．二、填空题(共16分，每题2分)9．（2分）（2021•北京）若√x−7在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥7．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式，得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣7≥0，解得：x≥7，故答案为：x≥7．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．10．（2分）（2021•北京）分解因式：5x2﹣5y2＝5（x+y）（x﹣y）．【分析】提公因式后再利用平方差公式即可．【解答】解：原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y），故答案为：5（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．11．（2分）（2021•北京）方程2x+3=1x的解为x＝3．【分析】先将分式化为整数，然后求解并检验．【解答】解：方程两边同时乘以x（x+3）得：2x＝x+3，解得x＝3，检验：x＝3时，x（x+3）≠0，∴方程的解为x＝3．故答案为：x＝3．【点评】本题考查解分式方程，解题关键是先将分式方程化为整式方程求解，然后检验增根情况．12．（2分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），则m的值为﹣2．【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到﹣m＝1×2，然后解关于m的方程即可．【解答】解：∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），∴﹣m＝1×2，解得m＝﹣2，即m的值为﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．13．（2分）（2021•北京）如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝130°．【分析】先根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，然后根据四边形的内角和计算∠AOB的度数．【解答】解：∵P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P＝360°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°．故答案为130°．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．14．（2分）（2021•北京）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是AE＝AF（写出一个即可）．【分析】根据矩形的性质得到AD∥BC，即AF∥CE，推出四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论．【解答】解：这个条件可以是AE＝AF，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，即AF∥CE，∵AF＝EC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AE＝AF，∴四边形AECF是菱形，故答案为：AE＝AF．【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．15．（2分）（2021•北京）有甲、乙两组数据，如下表所示：甲1112131415乙1212131414甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2＞s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．【分析】根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可得出答案．【解答】解：x甲=15×（11+12+13+14+15）＝13，s甲2=15[（11﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（15﹣13）2]＝2，x乙=15×（12+12+13+14+14）＝13，s乙2=15[（12﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（14﹣13）2]＝0.8，∵2＞0.8，∴s 甲2＞s 乙2． 故答案为：＞．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，则方差S 2=1n [（x 1−x ）2+（x 2−x ）2+…+（x n −x ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．16．（2分）（2021•北京）某企业有A ，B 两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A 生产线共加工a 吨原材料，加工时间为（4a +1）小时；在一天内，B 生产线共加工b 吨原材料，加工时间为（2b +3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A ，B 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A 生产线的吨数与分配到B 生产线的吨数的比为 2：3 ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A 生产线分配了m 吨原材料，给B 生产线分配了n 吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则mn的值为12．【分析】设分配到 生产线的吨数为x 吨，则分配到B 生产线的吨数为（5﹣x ）吨，依题意可得4x +1＝2（5﹣x ）+3，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为4（2+m ）+1＝＝2（3+n ）+3，进而求解即可得出答案．【解答】解：设分配到 生产线的吨数为x 吨，则分配到B 生产线的吨数为（5﹣x ）吨，依题意可得： 4x +1＝2（5﹣x ）+3， 解得：x ＝2，∴分配到B 生产线的吨数为5﹣2＝3（吨），∴分配到 生产线的吨数与分配到 生产线的吨数的比为2：3；∴第二天开工时，给 生产线分配了（2+m ）吨原材料，给 生产线分配了（3+n ）吨原材料，∵加工时间相同，∴4（2+m ）+1＝＝2（3+n ）+3， 解得：m =12n ， ∴m n=12，故答案为：2：3；12．【点评】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
北京市2021年中考数学试题(含答案)
2021年北京市高级中等学校招生考试数学试卷姓名 准考证号 考场号 座位号考生须知1. 本试卷共8页，共三道大题，28道小题。
满分100分。
考试时间120分钟。
2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。
3. 试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5. 考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。
1. 下列几何体中，是圆柱的为2. 实数a ,b ,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ）＞4a （B ）＞0b c - （C ）＞0ac （D ）＞0c a +3. 方程式⎩⎨⎧=-=-14833y x y x 的解为（A ）⎩⎨⎧=-=21y x （B ）⎩⎨⎧-==21y x （C ）⎩⎨⎧=-=12y x （D ）⎩⎨⎧-==12y x 4. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积。
已知每个标准足球场的面积为7140m 2，则FAST 的反射面总面积约为 （A ）231014.7m ⨯ （B ）241014.7m ⨯ （C ）25105.2m ⨯ （D ）26105.2m ⨯ 5. 若正多边形的一个外角是o60，则该正多边形的内角和为（A ）o360 （B ）o540 （C ）o720 （D ）o9006. 如果32=-b a ，那么代数式b a ab a b a -⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+222的值为（A ）3 （B ）32 （C ）33 （D ）34 7. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()02≠=+=a c bx ax y 。
2014-2023北京中考真题数学汇编：几何综合
2014-2023北京中考真题数学汇编几何综合 一、解答题1．（2023·北京·统考中考真题）在ABC 中、()045B C αα∠=∠=°<<°，AM BC ⊥于点M ，D 是线段MC 上的动点（不与点M ，C 重合），将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．(1)如图1，当点E 在线段AC 上时，求证：D 是MC 的中点；(2)如图2，若在线段BM 上存在点F （不与点B ，M 重合）满足DF DC =，连接AE ，EF ，直接写出AEF ∠的大小，并证明．2．（2022·北京·统考中考真题）在ABC 中，90ACB ∠= ，D 为ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得.CE DC =(1)如图1，延长BC 到点F ，使得CF BC =，连接AF ，EF ，若AF EF ⊥，求证：BD AF ⊥；(2)连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2，若222AB AE BD =+，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．3．（2021·北京·统考中考真题）如图，在ABC 中，,,AB AC BAC M α=∠=为BC 的中点，点D 在MC 上，以点A 为中心，将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE ，连接,BE DE ．（1）比较BAE ∠与CAD ∠的大小；用等式表示线段,,BE BM MD 之间的数量关系，并证明； （2）过点M 作AB 的垂线，交DE 于点N ，用等式表示线段NE 与ND 的数量关系，并证明． 4．（2020·北京·统考中考真题）在ABC 中，∠C=90°，AC ＞BC ，D 是AB 的中点．E 为直线上一动点，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE ，交直线BC 于点F ，连接EF ．7．（2017·北京·中考真题）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.（1）若∠P AC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）.（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.8．（2016·北京·中考真题）在等边△ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有P A=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明P A=PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明P A=PM，只需证△ANP≌△PCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证P A=PM，只需证P A=CK，PM=CK．请你参考上面的想法，帮助小茹证明P A=PM（一种方法即可）．9．（2015·北京·统考中考真题）在正方形ABCD中，BD是一条对角线.点P在射线CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH、PH.（1）若点P在线CD上，如图1，①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路.（可以不写出计算结果）参考答案1．(1)见解析(2)90AEF ∠=°，证明见解析 【分析】（1）由旋转的性质得DM DE =，2MDE α∠=，利用三角形外角的性质求出C DEC α∠=∠=，可得DE DC =，等量代换得到DM DC =即可；（2）延长FE 到H 使FE EH =，连接CH ，AH ，可得DE 是FCH V 的中位线，然后求出B ACH ∠∠=，设DMDE m ==，CD n =，求出2BF m CH ==，证明()SAS ABF ACH ≅ ，得到AF AH =，再根据等腰三角形三线合一证明AE FH ⊥即可．【详解】（1）证明：由旋转的性质得：DM DE =，2MDE α∠=， ∵C α∠=， ∴D DEC M E C α∠−∠∠==， ∴C DEC ∠=∠， ∴DE DC =，∴DM DC =，即D 是MC 的中点；（2）90AEF ∠=°； 证明：如图2，延长FE 到H 使FE EH =，连接CH ，AH ，∵DF DC =，∴DE 是FCH V 的中位线，∴DE CH ∥，2CH DE =，由旋转的性质得：DM DE =，2MDE α∠=， ∴2FCH α∠=， ∵B C α∠=∠=， ∴ACH α∠=，ABC 是等腰三角形， ∴B ACH ∠∠=，AB AC =，设DMDE m ==，CD n =，则2CH m =，CM m n =+， ∴DFCD n ==， ∴FM DF DM n m =−=−， ∵AM BC ⊥，∴BM CM m n ==+，∴()2BF BM FM m n n m m =−=+−−=，∴CH BF =，在ABF △和ACH 中，AB AC B ACH BF CH = ∠=∠ =，∴()SAS ABF ACH ≅ ，∴AF AH=，∵FE EH =，∴AE FH ⊥，即90AEF ∠=°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．2．(1)见解析(2)CD CH =；证明见解析【分析】（1）先利用已知条件证明()SAS FCE BCD ≅ ，得出CFE CBD ??，推出EF BD ∥，再由AF EF ⊥即可证明BD AF ⊥；（2）延长BC 到点M ，使CM ＝CB ，连接EM ，AM ，先证()SAS MEC BDC ≅ ，推出ME BD =，通过等量代换得到222AM AE ME =+，利用平行线的性质得出90BHE AEM ???，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到CD CH =．【详解】（1）证明：在FCE △和BCD △中，CE CD FCE BCD CF CB = ∠=∠ =， ∴ ()SAS FCE BCD ≅ ，∴ CFE CBD ??，∴ EF BD ∥，∵AF EF ⊥，∴BD AF ⊥．（2）解：补全后的图形如图所示，CD CH =，证明如下：延长BC 到点M ，使CM ＝CB ，连接EM ，AM ，∵90ACB ∠= ，CM ＝CB ，【点睛】本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．5．（1）如图所示见解析；（2）见解析；（3）OP=2.证明见解析.【分析】（1）根据题意画出图形即可．（2）由旋转可得∠MPN=150°，故∠OPN=150°-∠OPM；由∠AOB=30°和三角形内角和180°可得∠OMP=180°-30°-∠OPM=150°-∠OPM，得证．（3）根据题意画出图形，以ON=QP为已知条件反推OP的长度．由（2）的结论∠OMP=∠OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM=PN，已具备一边一角相等，过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得PD=NC，DM=CP．此时加上ON=QP，则易证得△OCN ≌△QDP，所以OC=QD．再设DM=CP=x，所以OC=OP+PC=2+x，MH=MD+DH=x+1，由于点M、Q关于点H对称，得出DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x，得出OC=DQ，再利用SAS得出△OCN≌△QDP即可【详解】解：（1）如图1所示为所求．（2）设∠OPM=α，∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN∴∠MPN=150°，PM=PN∴∠OPN=∠MPN-∠OPM=150°-α∵∠AOB=30°∴∠OMP=180°-∠AOB-∠OPM=180°-30°-α=150°-α∴∠OMP=∠OPN8．（1）80°；（2）①补图见解析；②证明见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠APQ考点：全等三角形的判定；解直角三角形；正方形的性质；四点共圆。
2014-2023北京中考真题数学汇编：二次函数的图像和性质
2014-2023北京中考真题数学汇编二次函数的图像和性质（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．7．（2017北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2-4x+3与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线BC 的表达式；（2）垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点()()1122P ,,,x y Q x y ，与直线BC 交于点()33N ,x y ，若x 1<x 2<x 3，结合函数的图象，求x 1+x 2+x 3的取值范围.8．（2016北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx 2－2mx ＋m －1（m ＞0）与x 轴的交点为A ，B ．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB 上整点的个数；②若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m 的取值范围．9．（2015北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，过点（0，2）且平行于x 轴的直线，与直线y ＝x －1交于点A ，点A 关于直线x ＝1的对称点为B ，抛物线C 1：y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A ，B ．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.（3）过点(0，m)（0m >）作平行于x 21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-的图象有两个交点，则抛物线的表达式为对称轴的取值范围是∵经过点代入得：∴抛物线的表达式为对称轴二次函数的最小值为的解析式为时，的取值范围是251034a a a --=，解得13a =．②当抛物线过点B 时．34a -=，解得43a =-．③当抛物线顶点在BC 上时．此时顶点为（1，4）∴234a a a --=，解得1a =-．∴综上所述43a <-或13a ≥或1a =-点睛：属于二次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题，注意分类讨论思想在解题中的应用7．（1）y=-x+3;(2)7<x 1+x 2+x 3<8.【详解】试题分析：（1）先求A 、B【点睛】本题考查二次函数与形正确地求解是关键.8．（1）顶点坐标（1，－【详解】试题分析：（1）将抛物线表达式变为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）①m=1时，抛物线表达式为②抛物线顶点为（1，-1）0，所以即要求AB线段上（含到A、B两点坐标分别为（得到123m≤<，即可得到结论．试题解析：（1）将抛物线表达式变为顶点式（2）①m=1时，抛物线表达式为的整点有（0，0），（1，0②抛物线顶点为（1，-1）。
2021年北京市中考数学试题及答案解析2021年北京市中考数学试题及答案
2021年北京市高级中等学校招生考试数 学 试 卷 录入 by iC 2021.06.25一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题无有四个选项，其中只有一个符合题意的． 1．9-的相反数是( )A ．19-B ．19C ．9-D ．92．首届中国(北京)国际服务贸易交易会(京交会)于2021年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元，将60 110 000 000用科学记数法表示应为( )A ．96.01110⨯B ．960.1110⨯C ．106.01110⨯D ．110.601110⨯3．正十边形的每个外角等于( ) A ．18︒B ．36︒C ．45︒D ．60︒4．右图是某个几何体的三视图，该几何体是( ) A ．长方体 B ．正方体 C ．圆柱 D ．三棱柱5．班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学．这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票．小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是( ) A ．16B ．13C ．12D ．236．如图，直线AB ，CD 交于点O ．射线OM 平分AOC ∠，若76BOD ∠=︒， 则BOM ∠等于( ) A ．38︒ B ．104︒ C ．142︒D ．144︒7．某课外小组的同学们实践活动中调查了20户家庭某月用电量，如下表所示:俯视图 左视图主视图MDOCBA则这户家庭用电量的众数和中位数分别是( ) A ．180，160 B ．160，180 C ．160，160D ．180，1808．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示的方向经过B 跑到 点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翊跑步的时间为t (单位:秒)，他与教练距离为y (单位:米)，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2，刚这个固定位置可能是图1的( ) A ．点M B ．点N C ．点P D ．Q图1 图2 二、填空题(本题共16分，每小题4分)9．分解因式:269m mn n m ++=_________________．10．若关于x 的方程220x x m --=有两个相等的实数根，则m 的值是______．11．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边40DE cm =，20EF cm =，测得边DF 离地图的高度 1.5AC m =，8CD m =，则树高AB =_____m ．12．在平面直角坐标系xOy 中，我们把横纵坐标都是整数点的叫做整点．已知点A (0，4)，QNMPC B AO30 t / 秒/米1 2 3 4 13 12 11 10 9 87654 321AOy x点B 是x 正半轴上的整点，记△AOB 内部(不包括边界)的整数点个数为m ，当3m =时，点B 的横坐标的所有可能值是_______；当点B 的横坐标为4n (n 为正整数)时，m =____________．(用含n 的代数式表示)．三、解答题(本题共30分，每小题5分)13．计算:011(2sin 45()8-π-3)︒-．14．解不等式组:43421x xx x ->⎧⎨+<-⎩．15．已知023a b =≠，求代数式22452(2)b a b a b a ⋅---的值．16．已知:如图，点E ，A ，C 在同一直线上，AB CD ，AB CE =，AC CD =．求证:BC ED =．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数4(0)y x x=>的图象与一次函数y kx k =-的图象交点为A (m ，2).(1)求一次函数的解析式；(2)设一次函数y kx k =-的图象与y 轴交于点B ，若P 是x 轴上一点，且满足△PAB 的面积是4，直接写出P 的坐标．EDCBA18．列方程或方程组解应用题:据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年平均滞尘量比一片国槐树中一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1 000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．四、解答题(本题共20分，每小题5分)19．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点E ，90BAC ∠=︒，45CED ∠=︒，30DCE ∠=︒，DEBE =．求CD 的长和边形ABCD的面积．20．已知:如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD BC ⊥于点D ，过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE ． (1)求证:BE 与⊙O 相切； E DCB AOEDCBA(2)连结AD并延长交BE于点F，若9OB=，2sin3ABC∠=，求BF的长．21．近年来，北京市大力发展轨道交通，轨道运营里程大幅增加，2021年北京市又调整修订了2010至2021年轨道交通线网的发展规划．以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图的一部分．请根据以上信息解答下列部问题:(1)补全条形图并在图中标明相应数据；(2)按照2021年规划方案，预计2021年北京市轨道交通运营总里程将达到多少千米？(3)要按时完成截至2021年的轨道交通规划任务，从2021到2021年这4年中，平均每年需新增运营里程多少千米？亦庄线 23昌平线 21 15号线 20 北京市轨道交通已开通线路 相关数据统计表(截至2021年底)()总里程千米年份22．(1)对数轴上的点P 进行如下操作:先把点P 表示的数乘以13，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P 的对应点'P ．点A ，B 在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段''A B ，其中点A ，B 的对应点分别为'A ，'B ．如图1，若点A 表示的数是3-，则点'A 表示的数是_______；若点'B 表示的数是2，则点B 表示的数是______；已知线段AB 上的点E 经过上术操作后得到的对应点'E 与点E 重合，则点E 表示的数是______；图1(2)如图2，在平面直角坐标系中，对正方形ABCD 及其内部的第个点进行如下操作:把每个点的横、纵坐标乘以同一个实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位(0m >，0n >)，得到正方形''''A B C D 及其内部的点，其中点A ，B 的对应点分别为'A ，'B ．已知正方形ABCD 内部的一点F 经过上述操作后得到的对应点'F 与点F 重合，求点F 的坐标．4321-1-2-3-4图2五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)23．已知二次函数22(3(1)22)t y t x x =++++在0x =与2x =的函数值相等．(1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点A (3-，m )，求m 与k 的值； (3)设二次函数的图象与x 轴交于点B ，C (点B 在点C 的左侧 )，将二次函数的图象B ，C 间的部分(含点B 和点C )向左平移n (0n >)个单位后得到的图象记为G ，同时将(2)中得到的直线y kx b =+向上平移n 个单位．请结合图象回答:平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围．24．在△ABC 中，BA BC =，BAC α∠=，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．(1)若60α=︒且点P 与点M 重合(如图1)，线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数；M (P )QCBA。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021年北京中考数学23题解析
在2021年的北京中考数学试卷中，第23题是一道比较有挑战性的题目，它考察了考生对于实际问题的建模和解决能力。
这道题目考查的不仅是数学知识的运用，更是对学生综合运用知识、分析问题和解决问题的能力。
下面我们将深入解析这道题目，并探讨其中的数学原理和解题思路。
题目内容是这样的：甲地和乙地相距120公里，两地之间有一条直线公路。
某天，一辆从甲地出发的汽车和一辆从乙地出发的汽车同时开向对方，并在6小时后在距离甲地60公里的一点相遇。
已知甲地汽车的速度是乙地汽车速度的1.5倍，求甲地汽车的速度。
首先我们可以用甲乙两地之间的距离表示这个问题，假设甲地汽车的速度为v，乙地汽车的速度为1.5v。
根据题目中的描述，我们可以列出两车相遇时的距离与时间的关系式：60=6v+6*1.5v。
解方程得到v=10，因此甲地汽车的速度为10公里/小时，乙地汽车的速度为15公里/小时。
接下来，我们可以分析一下这道题目所涉及的数学原理。
这道题目主要涉及了速度、时间、距离的关系，通过建立方程式来解决问题。
这是典型的数学建模题目，考察了考生对于实际问题的抽象和数学表达能力。
另外，通过解这道题目，考生还能够深入理解速度、时间、距
离之间的数学关系，从而提高数学问题的解决能力。
对于这个题目，我们还可以从另一个角度来探讨。
这道题目实际上是
典型的相遇问题，考察了两个物体相向而行的情况。
通过解决这类题目，不仅能够加深对于速度和距离之间关系的理解，还能够培养考生
的逻辑思维和解决实际问题的能力。
这道题目具有很高的教育和实践
意义。
这道题目不仅考察了考生的数学知识水平，更是考察了考生的综合运
用能力和解决实际问题的能力。
通过解决这类题目，考生能够提高对
数学知识的理解和应用能力，培养逻辑思维和解决问题的能力。
希望
同学们能够在备考中多加练习这类问题，提高自己的数学水平。
这道
题目所涉及到的是相遇问题，这在日常生活中也经常会遇到。
比如两
辆列车相向而行相遇的问题，或者两位运动员在操场上同时开始跑步，然后相遇的问题。
这类问题的解决需要考生对于速度、距离、时间的
关系有深入的理解，以及对于建立方程、解方程的能力。
在解决这类问题时，首先要对问题进行建模，将实际情况转化为数学
问题。
然后根据问题的描述，建立数学关系式，进行方程的求解。
通
过对方程的分析和解决，最终得出问题的解答。
相遇问题是数学中的一个重要应用题型，其解决方法的灵活性和多样
性能够帮助考生培养对于数学问题的思维能力和解决问题的能力。
通
过解决这类问题，考生能够不断提高对于数学知识的掌握和应用，提
高对于数学问题的解决能力。
除了纯粹的数学知识和解题能力，这道题目还考察了考生的实际问题
建模和抽象能力。
通过将日常生活中的实际问题转化为数学问题，考
生能够培养自己对于实际问题的分析和解决能力。
这对于考生未来的
学习和工作都具有重要意义。
另外，这道题目的解答过程还能够帮助考生加深对于速度、时间、距
离之间的数学关系的理解。
这对于今后学习更加复杂的数学问题和实
际问题都具有重要的意义。
这道题目不仅有助于考生应试，更能够在
更广泛的范围内培养考生的综合能力。
这道题目不仅考察了考生对于数学知识的掌握和应用能力，更考察了
考生的实际问题解决能力、建模能力和抽象能力。
通过解决这类问题，考生能够不断提高自己对于数学知识的理解和应用能力，并培养自己
的综合能力。
希望考生在备考中能够认真对待这类问题，并多加练习，提高自己的数学水平和解决问题的能力。