图示步步详解最短路径Disktra算法
gis计算最短路径的Dijkstra算法详细讲解
最短路径之Dijkstra算法详细讲解１最短路径算法在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B 地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。
算法具体的形式包括：（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。
（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。
在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。
最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。
本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。
２Dijkstra算法2.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
2.2 Dijkstra算法思想Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
Dijkstra算法求最短路径
在交通网络中，常常会提出许多这样的问题：两地之间是否有路相通？在有多条通路的情况下，哪一条最近？哪一条花费最少等。
交通网络可以用带权图表示，图中顶点表示域镇，边表示两城之间的道路，边上权值可表示两城镇间的距离，交通费用或途中所需的时间等。
以上提出的问题就是带权图中求最短路径的问题，即求两个顶点间长度最短的路径。
最短路径问题的提法很多。
在这里仅讨论单源最短路径问题：即已知有向图(带权)，我们希望找出从某个源点S∈V到G中其余各顶点的最短路径。
例如：下图(有向图G14)，假定以v1为源点，则其它各顶点的最短路径如下表所示：图G14从有向图可看出，顶点v1到v4的路径有3条：(v1,v2,v4)，(v1,v4)，(v1,v3,v2,v4)，其路径长度分别为：15,20和10。
因此v1到v4的最短路径为(v1,v3,v2,v4 )。
为了叙述方便，我们把路径上的开始点称为源点，路径的最后一个顶点为终点。
那么，如何求得给定有向图的单源最短路径呢？迪杰斯特拉(Dijkstra)提出按路径长度递增产生诸顶点的最短路径算法，称之为迪杰斯特拉算法。
迪杰斯特拉算法求最短路径的实现思想是：设有向图G=(V,E)，其中，V={0,2,…,n-1}，cost是表示G的邻接矩阵，G.arcs [i][j] .adj 表示有向边<i,j>的权。
若不存在有向边<i,j>，则G.arcs [i][j] .adj 的权为无穷大(这里取值为32767)。
设S是一个集合，其中的每个元素表示一个顶点，从源点到这些顶点的最短距离已经求出。
设顶点v0为源点，集合S的初态只包含顶点v0。
数组D记录从源点到其他各顶点当前的最短距离，其初值为D[i]= G.arcs[v0][i].adj ，i=1,…,n-1。
从S之外的顶点集合V-S 中选出一个顶点w，使D[w]的值最小。
于是从源点到达w只通过S 中的顶点，把w加入集合S中调整D中记录的从源点到V-S中每个顶点v的距离：从原来的D[v] 和D[w]+ G.arcs [w][v] .adj中选择较小的值作为新的D[v]。
Dijkstra算法图示
Dijkstra算法学习笔记Dijkstra算法是一种最短路径算法，用于计算一个节点到其它所有节点的最短路径，动态路由协议OSPF中就用到了Dijkstra算法来为路由计算最短路径。
算法本身并不是按照我们的正常思维习惯，我们一般会，从原点遍历所有与之相连的节点，找到最短路径，再从最短路径上的那个点遍历与之相连的所有其它点（原点除外），然后依次类推。
这样做虽然可以算出一个树形，但是在大多数情况下，这种算法会产生很多次优路径，也就是说非最短路径。
Dijkstra算法的大概过程：假设有两个集合或者说两个表，表A和表B表A表示生成路径，表B表示最后确定的路径1.从原点出发，遍历检查所有与之相连的节点，将原点和这些节点存放到表A 中，并记录下两节点之间的代价。
2.将代价最小的代价值和这两节点移动到表B中（其中一个是原点）。
3.把这个节点所连接的子节点找出，放入到表A中，算出子节点到原点的代价4.重复第二步和第三步直到表A为空。
然后根据表B中的数据算出最优树。
维基百科中还有另一种说法，Dijkstra算法的输入包含了一个有权重的有向图G，以及G中的一个来源顶点S。
我们以V表示G中所有顶点的集合。
每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。
(u,v)表示从顶点u到v有路径相连。
我们以E所有边的集合，而边的权重则由权重函数w: E → [0, ∞]定义。
因此，w(u,v)就是从顶点u到顶点v的非负花费值(cost)。
边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。
任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。
已知有V中有顶点s及t，Dijkstra算法可以找到s到t的最低花费路径(i.e. 最短路径)。
这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径。
Dijstra算法的基础操作是边的拓展：如果存在一条从u到v的边，那么从s到u的最短路径可以通过将边(u,v)添加到尾部来拓展一条从s到v的路径。
算法之狄克斯特拉算法--《图解算法》
算法之狄克斯特拉算法--《图解算法》2019你好！好好⽣活，好好⼯作！狄克斯特拉算法狄克斯特拉算法(Dijkstra )⽤于计算出不存在⾮负权重的情况下，起点到各个节点的最短距离可⽤于解决2类问题：从A出发是否存在到达B的路径；从A出发到达B的最短路径(时间最少、或者路径最少等)，事实上最后计算完成后，已经得到了A到各个节点的最短路径了；其思路为：(1) 找出“最便宜”的节点，即可在最短时间内到达的节点。
(2) 更新该节点对应的邻居节点的开销，其含义将稍后介绍。
(3) 重复这个过程，直到对图中的每个节点都这样做了。
(4) 计算最终路径。
我们根据书中的例⼦给出相关的具体实现因为个⼈最经常使⽤的是OC语⾔，所以先⽤OC简单实现了⼀下，有不对之处还请告知，谢谢！- (void)installDijkstra{//⽤来记录已经被便利过该节点所有邻居的节点NSMutableArray *processed= [NSMutableArray array];//描述图的NSMutableDictionary *origianldic = [NSMutableDictionary dictionary];[origianldic setObject:@{@"a":@6,@"b":@2} forKey:@"start"];[origianldic setObject:@{@"fin":@1} forKey:@"a"];[origianldic setObject:@{@"a":@3,@"fin":@5} forKey:@"b"];//创建开销NSMutableDictionary *costDic = [NSMutableDictionary dictionary];costDic[@"a"] = @6;costDic[@"b"] = @2;costDic[@"fin"] = @(NSIntegerMax);//记录该节点的⽗节点的NSMutableDictionary *parentDic = [NSMutableDictionary dictionary];parentDic[@"a"] = @"start";parentDic[@"b"] = @"start";parentDic[@"fin"] = @"";NSString *node = [self findLowerCostNode:costDic array:processed];while (![node isEqualToString:@""]) {NSDictionary *tempDic = origianldic[node];for (NSString *key in tempDic.allKeys) {NSInteger newCount = [costDic[node]integerValue] + [tempDic[key]integerValue];if ([costDic[key] integerValue] > newCount) {costDic[key] = @(newCount);parentDic[key] = node;}}[processed addObject:node];node = [self findLowerCostNode:costDic array:processed];}NSLog(@"origianldic = %@,\ncostDic = %@,\nparentDic = %@,\n processed = %@,\n NSIntegerMax = %ld",origianldic,costDic,parentDic,processed,NSIntegerMax); NSLog(@"--end --costDic = %@",costDic);NSLog(@"--end --parentDic = %@",parentDic);}/**找到开销最⼩的节点@param dic dic@param processArray 记录节点@return 为空说明已经查找完毕*/- (NSString *)findLowerCostNode:(NSDictionary *)dic array:(NSMutableArray *)processArray{NSInteger lowerCost = [dic[@"fin"]integerValue];NSString *lowedNode = @"";for (NSString *key in dic.allKeys) {NSInteger costNum = [dic[key]integerValue];if (costNum < lowerCost && (![processArray containsObject:key]) ) {lowerCost = costNum;lowedNode = key;}}return lowedNode;}OC语⾔简单实现2019-01-1321:24:14.382432+0800 HaiFeiTestProject[29763:1130947] --end --costDic = {a = 5;b = 2;fin = 6;}python实现infinity = float('inf')graph = {'start': {'a': 6, 'b': 2}, 'a': {'fin': 1}, 'b': {'a': 3, 'fin': 5}, 'fin': {}}costs = {'a': 6, 'b': 2, 'fin': infinity}parents = {'a': 'start', 'b': 'start', 'fin': None}processed = []def main(graph, costs, parents, processed, infinity):node = find_lowest_cost_node(costs, processed)while node is not None:for n in graph[node].keys():new_cost = costs[node] + graph[node][n]if costs[n] > new_cost:costs[n] = new_costparents[n] = nodeprocessed.append(node)node = find_lowest_cost_node(costs, processed)def find_lowest_cost_node(costs, processed):lowest_cost = float('inf')lowest_cost_node = Nonefor node in costs:if lowest_cost > costs[node] and node not in processed:lowest_cost = costs[node]lowest_cost_node = nodereturn lowest_cost_nodemain(graph, costs, parents, processed, infinity)print(costs)print(parents)Python实现运⾏结果和书中描述基本⼀致，可参考！。
最短路径问题dijkstra求解过程
Dijkstra算法是一种用于求解最短路径问题的常用算法，适用于带权有向图。
以下是Dijkstra 算法的求解过程：
初始化：将起始节点标记为当前节点，并将起始节点到所有其他节点的距离初始化为无穷大（表示暂时未知）。
将起始节点到自身的距离设置为0，表示起始节点到自身的最短路径长度为0。
遍历所有节点：
选择当前节点的邻接节点中，距离最小且尚未被访问的节点。
更新该邻接节点的最短路径长度。
如果经过当前节点到达该邻接节点的路径比当前记录的最短路径更短，则更新最短路径长度。
继续遍历未访问的节点，直到所有节点都被访问。
重复步骤3，直到所有节点都被访问或者没有可达节点。
最终得到起始节点到其他节点的最短路径长度。
在Dijkstra算法的求解过程中，使用一个距离表（distances）来记录起始节点到各个节点的当前最短路径长度，一个访问表（visited）来标记节点是否已被访问。
同时，使用优先队列（例如最小堆）来选取下一个距离最小且尚未被访问的节点。
具体的实现可以使用迭代或递归的方式，根据实际情况来选择合适的数据结构和算法实现。
在实际编程中，可能还需要考虑处理边的权重、处理节点的邻接关系和路径记录等细节。
Dijkstra算法要求图中的边权重非负，且无法处理负权边的情况。
对于含有负权边的图，可以考虑使用其他算法，如Bellman-Ford算法或SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）等。
最短路径（Dijkstra算法）
最短路径（Dijkstra算法）当⽤图结构来表⽰通信、交通等⽹络，权重代表距离或者成本，寻找最短路径就成为了⼀个重要的任务。
给定带权⽹络G=(V;E)，源点s，对于其他所有顶点v，寻找s到v的最短路径，连接成⼀颗最短路径树。
可以证明，最短路径的任⼀前缀也是最短路径。
这⼀性质，可以理解为，对于⼀颗最短路径树，按到起点的距离排序，删除后⾯k个顶点以及关联边后，残存的⼦树T‘依然是最短路径树。
因此，只需要找到⼀个新的距离源点s最近的顶点，即可扩充⼦树，最终成为全图的最短路径树。
考虑优先级搜索的框架，当前顶点尚未发现的邻接顶点，其优先级可以定义为其⽗亲的优先级加上联边的权重，即priority(u)=priority(parent(u))+weight(v,u)。
与Prim算法类似，每次只需要将优先级最⾼的顶点以及联边加⼊⼦树，最终即可得到最短路径树。
1 template<typename Tv, typename Te> struct Dijkstra2 {3virtual void operator()(Graph<Tv, Te>* g, int uk, int v)4 {5if (g->status(v) == UNDISCOVERED)//对于uk每个尚未被发现的邻接顶点v6if (g->priority(v) > g->priority(uk) + g->weight(uk, v))//u到Vk的距离看做u的优先级7 {8 g->priority(v) = g->priority(uk) + g->weight(uk, v);//更新优先级数9 g->parent(v) = uk;//更新⽗节点10 }11 }//每次都是寻找离开始节点s最近的节点，仅当新节点才更新，每个已发现节点的priority都是到s的最短距离12 };与Prim算法不同之处在于，Prim算法仅考虑⼦树到邻接顶点的联边权重；Dijkstra算法需要考虑的是到源点s的最短路径，基于前缀仍然是最短路径这⼀前提，只需要简化为，distance(s,u)=distance(s,v)+distance(v,u)。
dijkstra最短路径算法详解
dijkstra最短路径算法详解
Dijkstra最短路径算法是一种常用的图算法，用于求解带权图中的单源最短路径问题，即从一个固定的源节点到图中的其他节点的最
短路径。
以下是详细的算法步骤：
1. 初始化
一开始，将源节点的距离设为0，其余节点的距离设置为正无穷，在未访问的节点集合中把源节点压入堆中。
2. 确定最短路径
从堆中取出未访问节点集合中距离源节点最近的节点v，标记其
为已访问。
之后，对于v的邻居节点w，计算从源节点到v再到w的距离，如果经过v的路径比已经计算得到的路径短，则更新路径。
更新
后的距离先暂时放入堆中，如果后边有更短的路径，则更新。
3. 重复第2步
重复第2步，直到取出的节点为终点节点，或者堆为空。
4. 算法结束
算法结束后，各节点的距离就是从源节点到它们的最短距离。
Dijkstra算法的复杂度是O(NlogN)，其中N是节点个数。
其优
势在于只需要算一次即可得到所有最短路径，但是要求所有边的权值
必须非负，否则会导致算法不准确。
总之，Dijkstra算法是一种简单有效的最短路径算法，其实现也比较直观。
在处理如飞机和火车等交通路径规划问题中有较好的应用。
一步一步深入理解Dijkstra算法
⼀步⼀步深⼊理解Dijkstra算法先简单介绍⼀下最短路径：最短路径是啥？就是⼀个带边值的图中从某⼀个顶点到另外⼀个顶点的最短路径。
官⽅定义：对于内⽹图⽽⾔，最短路径是指两顶点之间经过的边上权值之和最⼩的路径。
并且我们称路径上的第⼀个顶点为源点，最后⼀个顶点为终点。
由于⾮内⽹图没有边上的权值，所谓的最短路径其实是指两顶点之间经过的边数最少的路径。
我们时常会⾯临着对路径选择的决策问题，例如在中国的⼀些⼀线城市如北京、上海、⼴州、深圳等，⼀般从A点到到达B点都要通过⼏次地铁、公交的换乘才可以到达。
有些朋友想⽤最短对的时间，有些朋友想花最少的⾦钱，这就涉及到不同的⽅案，那么如何才能最快的计算出最佳的⽅案呢？最短路径求法在⽹图和⾮⽹图中，最短路径的含义是不同的。
⽹图是两顶点经过的边上权值之和最少的路径。
⾮⽹图是两顶点之间经过的边数最少的路径。
我们把路径起始的第⼀个顶点称为源点，最后⼀个顶点称为终点。
关于最短路径的算法，我们会介绍以下算法：迪杰斯特拉算法（Dijkstra）求V0到V8的最短路径你找到了吗好了，我想你⼤概明⽩了，这个迪杰斯特拉算法是如何⼯作的。
它并不是⼀下⼦就求出了V0到V8的最短路径，⽽是⼀步步求出它们之间顶点的最短路径，过程中都是基于已经求出的最短路径的基础上，求得更远顶点的最短路径，最终得到你要的结果。
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法1. 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法简介迪杰斯特拉（dijkstra）算法是典型的⽤来解决最短路径的算法，也是很多教程中的范例，由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959年提出，⽤来求得从起始点到其他所有点最短路径。
该算法采⽤了贪⼼的思想，每次都查找与该点距离最近的点，也因为这样，它不能⽤来解决存在负权边的图。
解决的问题⼤多是这样的：有⼀个⽆向图G(V,E)，边E[i]的权值为W[i]，找出V[0]到V[i]的最短路径。
2.迪杰斯特拉算法的原理(附上⼩图⼀张)①⾸先，引⼊⼀个辅助向量D，它的每个分量D[i]表⽰当前所找到的 Dijkstra算法运⾏动画过程 Dijkstra算法运⾏动画过程从起始点（即源点）到其它每个顶点的长度。
dijkstra最短路径算法
图解迪杰斯特拉（Dijkstra）最短路径算法目录前言一、最短路径的概念及应用二、Dijkstra迪杰斯特拉1.什么是Dijkstra2.逻辑实现总结前言无论是什么程序都要和数据打交道，一个好的程序员会选择更优的数据结构来更好的解决问题，因此数据结构的重要性不言而喻。
数据结构的学习本质上是让我们能见到很多前辈在解决一些要求时间和空间的难点问题上设计出的一系列解决方法，我们可以在今后借鉴这些方法，也可以根据这些方法在遇到具体的新问题时提出自己的解决方法。
（所以各种定义等字眼就不用过度深究啦，每个人的表达方式不一样而已），在此以下的所有代码都是仅供参考，并不是唯一的答案，只要逻辑上能行的通，写出来的代码能达到相同的结果，并且在复杂度上差不多，就行了。
一、最短路径的概念及应用在介绍最短路径之前我们首先要明白两个概念：什么是源点，什么是终点？在一条路径中，起始的第一个节点叫做源点；终点：在一条路径中，最后一个的节点叫做终点；注意！源点和终点都只是相对于一条路径而言，每一条路径都会有相同或者不相同的源点和终点。
而最短路径这个词不用过多解释，就是其字面意思：在图中，对于非带权无向图而言，从源点到终点边最少的路径（也就是BFS广度优先的方法）；而对于带权图而言，从源点到终点权值之和最少的路径叫最短路径；最短路径应用：道路规划；我们最关心的就是如何用代码去实现寻找最短路径，通过实现最短路径有两种算法：Dijkstra迪杰斯特拉算法和Floyd弗洛伊德算法，接下来我会详细讲解Dijkstra迪杰斯特拉算法；二、Dijkstra迪杰斯特拉1.什么是DijkstraDijkstra迪杰斯特拉是一种处理单源点的最短路径算法，就是说求从某一个节点到其他所有节点的最短路径就是Dijkstra；2.逻辑实现在Dijkstra中，我们需要引入一个辅助变量D（遇到解决不了的问题就加变量[_doge]），这个D我们把它设置为数组，数组里每一个数据表示当前所找到的从源点V开始到每一个节点Vi的最短路径长度，如果V到Vi有弧，那么就是每一个数据存储的就是弧的权值之和，否则就是无穷大；我们还需要两个数组P和Final，它们分别表示：源点到Vi的走过的路径向量，和当前已经求得的从源点到Vi的最短路径（也就是作为一个标记表示该节点已经加入到最短路径中了）；那么对于如下这个带权无向图而言，我们应该如何去找到从V0到V8的最短路径呢；在上文中我们已经描述过了，在从V0到V8的这一条最短路径中，V0自然是源点，而V8自然是终点；于是我根据上文的描述具现化出如下的表格；在辅助向量D中，与源点V0有边的就填入边的权值，没边就是无穷大；构建了D、P和Final，那么我们要开始遍历V0，找V0的所有边中权值最短的的边，把它在D、P、Final中更新；具体是什么意识呢？在上述带权无向图中，我们可以得到与源点有关的边有（V0，V1）和（V0，V2），它们的权值分别是1和5，那么我们要找到的权值最短的的边，就是权值为1 的（V0，V1），所以把Final[1]置1，表示这个边已经加入到最短路径之中了；而原本从V0到V2的距离是5，现在找到了一条更短的从V0 -> V1 -> V2距离为4，所以D[2]更新为4，P[2]更新为1，表示源点到V2经过了V1的中转；继续遍历，找到从V0出发，路径最短并且final的值为0的节点。
最短路径之Dijkstra算法详细讲解(C#)
最短路径之Dijkstra算法详细讲解１最短路径算法在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。
算法具体的形式包括：（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。
（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。
在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。
最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。
本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。
２Dijkstra算法2.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
2.2 Dijkstra算法思想Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
最短路径之dijkstra算法
} }
for(j=0; j<5; j++) path[i][j] = path[v][j];
path[i][i] = TRUE;
这整个相当于更改已知的顶点0到顶点i的最 短路径经过的顶点
更新后，现在的图如左边所示（因为在之前0→2的距 离为MAXVALUE，而今有0→1→2 = 60，所以在现在 已知的情况我们认为从0→2 的最短距离为60，即 distance[2] = 60;）
10
1
50
0 100
30
Hale Waihona Puke 41060
2
3
20
有了上面的准备后，我们就可以开始求顶点0到其它顶点的最短路径啦~
4、开始主循环
当然顶点0到顶点0的最短距离就不用求啦，直接found[0] = TRUE; 接着求顶点0到其它顶点的最短距离…
建临时的变量min与v，分别记录当前所知离顶点0的最近距离与所对应的顶点。 初始值设为MAXVALUE;
printf("目地点------最短路径------路径长度\n");
for(i=0; i<5; i++) {
count = 0; printf("%-12d", i); for(j=0; j<5; j++) {
if(path[i][j] == TRUE) {
printf("%d ",j); count += 2; } } for(j=0; j<14-count; j++) printf(" ");
int distance[5]; int path[5][5];
Dijkstra算法图解
l (1, v) D (v ) = ∞
若结点 v 与结点1 直接相连 若结点 v 与结点1 不直接相连
在用计算机进行求解时，可以用一个比任何路径长度大得多的数值代替∞。对于上述例子， 可以使 D(v) = 99。 (2) 寻找一个不在 N 中的结点 w，其 D(w)值为最小。把 w 加入到 N 中。然后对所有不 在 N 中的结点 v，用[D(v), D(w) + l(w, v)]中的较小的值去更新原有的 D(v)值，即： D(v)←Min[D(v), D(w) + l(w, v)] (3) 重复步骤(2)，直到所有的网络结点都在 N 中为止。 表 E-1 是对图 E-1 的网络进行求解的详细步骤。可以看出，上述的步骤(2)共执行了 5 次。表中带圆圈的数字是在每一次执行步骤(2)时所寻找的具有最小值的 D(w) 值。当第 5 次执行步骤(2)并得出了结果后，所有网络结点都已包含在 N 之中，整个算法即告结束。
2
图 E-2
用 Dijkstra 算法求出最短路径树的各个步骤和在结点 1 的路由表
最后就得出以结点 1 为根的最短路径树。图 E-2 给出了各步骤执行后的结果。从最短路 径树可清楚地找出从源结点(结点 1)到网内任何一结点的最短路径。图 E-2 还给出了在结点 1 的路由表。 此路由表指出对于发往某个目的结点的分组， 从结点 1 发出后的下一跳结点 （在 算法中常称为“后继结点”）和距离。当然，像这样的路由表，在所有其他各结点中都有一 个。但这就需要分别以这些结点为源结点，重新执行算法，然后才能找出以这个结点为根的 最短路径树和相应的路由表。
表 E-1 步骤 初始化 1 2 3 4 5 N {1} {1, 4} {1, 4, 5} {1, 2, 4, 5} {1, 2, 3, 4, 5} {1, 2, 3, 4, 5, 6} 计算图 E-1 的网络的最短路径 D(2) 2 2 2 ② 2 2 D(3) 5 4 3 3 ③ 3 D(4) 1 ① 1 1 1 1 D(5) ∞ 2 ② 2 2 2 D(6) ∞ ∞ 4 4 4 ④
迪杰斯特拉算法求最短路径图解
迪杰斯特拉算法求最短路径图解
迪杰斯特拉算法是在用运筹学中解决路径搜索问题时候非常有用的一种算法。
它适用于求解从一个点到其他所有点的最短路径。
这种算法主要应用于交通网络，求解旅游问题，处理穿越桥梁或隧道的情况等等。
迪杰斯特拉算法的含义就是“最短路径”。
这种算法比较常见的一种，因为它
可以用于解决上述类型的问题，也能够给出即时的答案。
需要说明的是，运用迪杰斯特拉算法求解最短路径，需要满足一定的条件：必须满足图的邻接关系，并且确定用于求最短路径的起点和终点。
迪杰斯特拉的步骤可以分为四步：
第一步：先从所有节点中选择一个起始节点，找出该节点与其他节点之间的最
短路径；
第二步：选择一个未被访问的节点，计算从起始节点到该节点的最短路径长度；
第三步：在剩余节点中重复步骤二直至起始节点与所有节点均被访问；
第四步：当所有节点都被访问后，根据记录的信息，选择起始节点通往其他节
点的最短路径。
一旦经过这四步完成了最短路径的搜索，就可以使用迪杰斯特拉算法解决最短
路径问题了。
这种算法的特点在于它的有效性，准确性和便捷性，可以找出最短路径的最优解来解决问题，并且很容易实施。
解决最短路径问题时，使用该算法的一大优势在于可以考虑到不同的费用，这也就意味着可以计算具有很高效率的最短路径。
迪杰斯特拉算法详解
迪杰斯特拉算法详解
求从V0到其它各个顶点的最短路径。
1、将以上各顶点分为两部分顶点集合，一部分为已求得最短路径的点的集合Y，一部分为未求得最短路径的点的集合N。
则有：
Y={V0}
N={V1,V2,V3,V4}
2、给N中各顶点分别赋予当前最短路径，当前最短路径指的是N中各顶点分别与Y中顶点V0的距离。
注意，当前最短路径并不是最终需要求得的最短路径，它会一直刷新。
如下：
V1 V2 V3 V4
1 4 & 5
&符号表示没有直接路径。
即无穷大。
3、找出N中当前路径最小的顶点，将其加入到已求得最短路径顶点的集合。
然后，将N中剩下的各个顶点重新以Y中的顶点为中间节点，更新自己的当前最短路径。
则有：
Y={V0, V1}
0 1
N={V2, V3, V4}
3 & 4
V2本来的值是4，即V0---V2的值，但现在Y中加入了V1，而V0---V1---V2=1+2=3，小于4，所以更新V2的值，同理更新V4的值。
4、重复步骤3，得到：
Y={V0, V1，V2}
0 1 3
N={V3, V4}
5 4
以为Y中有了V2,所以V3就导通了。
5、重复步骤3，得到：
Y={V0, V1，V2，V4}
0 1 3 4
N={V3}
5
6、重复步骤3，得到：
Y={V0, V1，V2，V4，V3}
0 1 3 4 5
这样就求出了各个顶点到V0的最短路径。
注意：N中顶点的路径值必须是以Y中顶点为中间结点而求出的。
贪心算法-图的最短路径算法Dijkstra之证明
贪⼼算法-图的最短路径算法Dijkstra之证明
⼀、问题：图的最短路径
定义图G=(V,E),⽽且每条边上的权值⾮负，求顶点s 到图中任意⼀点的最短距离。
图中任意两点之间的距离定义为：路径上所有边的权值的和。
⼆、算法：Dijkstra算法
设S是探查的顶点的集合，对每个,我们存储⼀个距离d(u)
初始S={s},d(s)=0
While S != V
选择⼀个顶点使得从S到v⾄少有⼀条边并且
把v加⼊到S并且定义
End
三、证明算法的正确性：
只需证明，在算法执⾏中任意⼀点的集合S，对每个，路径是最短的s-u路径。
⽤数学归纳法证明算法的正确性：
1. |S|=1 时， S={s},d(s)=0 显然成⽴
2. 假设|S|=k时，命题成⽴
既对每个，路径P u是最短的s-u路径
3. |S|=k+1
假设此时引⼊的顶点是v，令(u,v)是s-v路径上最后的⼀条边。
现在我们证明是s-v的所有路径中最短的路径。
s要到达v，必须⾸先离开S，然后到达y,最后y到达v
该距离:
⽽从Dijkstra算法知，
⼜因为，图中所有边的权值⾮负，
所以有：
故⽽P v是s-v的所有路径中最短的路径。
图示步步详解最短路径Disktra算法
7 选入C，此时S={A,B,E,G,F,H,C}， 此 时 最 短 路 径 A->A=0,A->B=2,A>B->E=4, A->B->E->G=5,A->B->E>F=6, A->B->E->F->H=8,A->B->C=9 ， 以 C 为中间点，从C开始找
U={D}， A->B->E->F->H->D=10， A->B->C->D=12(A->B->E->F-C->D=12), 发现A->B->E->F->H->D=10距离最短
U中集合已空，查找完毕 8 选入D，此时S={A,B,E,G,F,H,C,D}， 此 时 最 短 路 径 A->A=0,A->B=2,A>B->E=4, A->B->E->G=5,A->B->E>F=6, A->B->E->F->H=8, A->B->E->F->H>D=10，以D为中间点，从D开始 找
4 选入G，此时S={A,B,E,G}，此时 最短路径A->A=0,A->B=2, A->B>E=4, A->B->E->G=5,以G为中间 点，从G开始找
U={C,D,F,H}， A->B->E->G->H=9, A->B->C=9, A->B->E->F=6, A->U中其他顶点=∞ 发现A->B->E->F=6距离最短
步 S集合中 U集合中 骤 1 选入A，此时S={A}，此 U={B,C,D,E,F,G,H}， 时最短路 径 A->A=0, 以 A A->B=2, 为中间点，从A开始找 A->G=6, A->U中其他顶点=∞ 发现A->B=2距离最短 2 选 入 B ， 此 时 S={A,B} ， U={C,D,E,F,G,H}， 此时最短路径A->A=0,A- A->B->E=4, >B=2,以B为中间点，从B A->G=6, 开始找 A->B->C=9 A->U中其他顶点=∞ 发现A->B->E=4距离最短 3 选入E，此时S={A,B,E}， U={C,D,F,G,H}， 此时最短路径A->A=0,A- A->B->E->G=5(比上面第一步中A>B=2, A->B->E=4,以E为中 >G=6要短)，此时到G的距离为A间点，从E开始找 >B->E->G=5, A->B->C=9, A->B->E->F=6, A->U中其他顶点=∞ 发现A->B->E->G=5距离最短
Dijkstra算法的流程图
Dijkstra算法的流程图需求和规格说明：Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
算法本身并不是按照我们的思维习惯——求解从原点到第一个点的最短路径，再到第二个点的最短路径，直至最后求解完成到第n个点的最短路径，而是求解从原点出发的各有向路径的从小到大的排列，但是算法最终确实得到了从原点到图中其余各点的最短路径，可以说这是个副产品，对于算法的终结条件也应该以求得了原点到图中其余各点的最短路径为宜。
清楚了算法的这种巧妙构思后，理解算法本身就不是难题了。
实现注释：想要实现的功能：Dijkstra算法是用来求任意两个顶点之间的最短路径。
在该实验中，我们用邻接矩阵来存储图。
在该程序中设置一个二维数组来存储任意两个顶点之间的边的权值。
用户可以将任意一个图的信息通过键盘输入，让后在输入要查找的两个顶点，程序可以自动求出这两个顶点之间的最短路径。
已经实现的功能：在该实验中，我们用邻接矩阵来存储图。
在该程序中设置一个全局变量的二维数组，用它来存储任意两个顶点之间的边的权值。
然后通过最短路径的计算，输入从任意两个顶点之间的最短路径的大小。
用户手册：对于改程序，不需要客户进行什么复杂的输入，关键是用来存放图的任意两个顶点之间的边的权值的二维数组的初始化，即将要通过Dijkstra算法求最短路径的图各条边的权值放入二维数组中。
这样程序就可以自动的计算出任意两个顶点之间的最短路径并且进行输出。
设计思想：s为源，w[u，v] 为点u 和v 之间的边的长度，结果保存在dist[]初始化：源的距离dist[s]设为0，其他的点距离设为无穷大，同时把所有的点状态设为没有扩展过。
循环n-1次：1. 在没有扩展过的点中取一距离最小的点u，并将其状态设为已扩展。
最短路径dijkstra算法
最短路径dijkstra算法一、介绍Dijkstra算法是一种用于解决带有非负边权的加权图中单源最短路径问题的算法。
它被广泛应用于路由算法和其他网络应用中。
二、算法原理1. 算法流程Dijkstra算法的基本思想是从起点开始，逐步扩展到距离它最近的节点，然后再逐步扩展到距离起点第二近的节点，以此类推，直到扩展到终点为止。
具体实现过程如下：（1）初始化：将起点s加入集合S，其他节点加入集合U，并赋初值dist数组表示从起点s到其他节点的距离，初始值为无穷大。
（2）找到当前距离起点最短的节点v，并将其加入集合S中。
（3）更新dist数组：对于所有与v相邻接的未被访问过的节点w，如果通过v可以使得从s到w的距离更短，则更新dist[w]为新的更短距离，并记录前驱节点prev[w]=v。
（4）重复执行步骤（2）和（3），直至终点t被加入集合S中或者所有可达节点都已经被访问过。
2. 算法优化Dijkstra算法可以通过以下两种方式进行优化：（1）使用优先队列：每次从未访问节点中选择距离起点最近的节点时，可以使用优先队列来维护未访问节点的距离，这样可以避免每次都要遍历整个dist数组来找到最小值。
（2）使用堆优化的Dijkstra算法：在稠密图中，使用堆优化的Dijkstra算法可以进一步减少时间复杂度。
三、算法应用Dijkstra算法被广泛应用于路由算法和其他网络应用中。
例如，在互联网中，路由器需要根据网络拓扑和链路质量等信息计算出最短路径，以便将数据包传输到目标地址。
四、算法复杂度Dijkstra算法的时间复杂度取决于实现方式和图的结构。
在稠密图中，堆优化的Dijkstra算法的时间复杂度为O(|V|^2)，其中|V|表示节点数；在稀疏图中，使用优先队列实现Dijkstra算法的时间复杂度为O((|E|+|V|)log|V|)，其中|E|表示边数。
五、总结Dijkstra算法是一种经典的单源最短路径算法，在网络应用和其他领域有广泛应用。
图的最短路径_dijkstra算法
u是新加入S的顶点, 计算u的所有相邻 顶点的特殊距离。 若比原距离小，则 用新距离代替，并 让u做为最短路径 上的点
If Dist[u]+c[u,j]<dist[j] then begin dist[j]=dist[u]+c[u,j] prev[j]=u End;
10
2
4 3
2
1
5
4
1
3
Ex: run the algorithm
单源最短路径 Single-Source Shortest Path
Dijkstra的时间复杂度是O (N2)，它不能处理存在负边权的情况。 算法描述： 设起点为s，dis[v]表示从s到v的最短路径，pre[v]为v的前驱节点，用来输出路径。 a)初始化：dis[v]=∞(v≠s); dis[s]=0; pre[s]=0; b)For (i = 1; i <= n ; i++) 1.在没有被访问过的点中找一个顶点u使得dis[u]是最小的。 2.u标记为已确定最短路径 3.For 与u相连的每个未确定最短路径的顶点v if (dis[u]+w[u][v] < dis[v]) { dis[v] = dis[u] + w[u][v]; pre[v] = u; } c)算法结束：dis[v]为s到v的最短距离；pre[v]为v的前驱节点，用来输出路径。
权非负的单源最短路径算法（Dijkstra）
若顶点序列{V0,V1,…,Vn} 是从V0到Vn的最 短路，则序列 {V0,V1,…,Vn-1} 必为从V0到 Vn-1的最短路。
贪心算法
2 12 1 3 5 2 2 3 7 5 3 8 6 4
《算法图解》之狄克斯特拉算法
《算法图解》之狄克斯特拉算法前言在学习广度优先搜索的时候，你找出了从A点到B点的路径。
这是最短路径，因为段数最少——只有三段，但不一定是最快路径。
如果给这些路段加上时间，你将发现有更快的路径。
如果你要找出最快的路径，该如何办呢？为此，可使用另一种算法——狄克斯特拉算法（Dijkstra’s algorithm）。
使用狄克斯特拉算法下面来看看如何对下面的图使用这种算法。
其中每个数字表示的都是时间，单位分钟。
为找出从起点到终点耗时最短的路径，你将使用狄克斯特拉算法。
如果你使用广度优先搜索，将得到下面这条段数最少的路径。
这条路径耗时7分钟。
下面来看看能否找到耗时更短的路径！狄克斯特拉算法包含4个步骤。
•(1) 找出“最便宜”的节点，即可在最短时间内到达的节点。
•(2) 更新该节点的邻居的开销，其含义将稍后介绍。
•(3) 重复这个过程，直到对图中的每个节点都这样做了。
•(4) 计算最终路径。
第一步：找出最便宜的节点。
你站在起点，不知道该前往节点A还是前往节点B。
前往这两个节点都要多长时间呢？前往节点A需要6分钟，而前往节点B需要2分钟。
至于前往其他节点，你还不知道需要多长时间。
由于你还不知道前往终点需要多长时间，因此你假设为无穷大（这样做的原因你马上就会明白）。
节点B是最近的——2分钟就能达到。
第二步：计算经节点B前往其各个邻居所需的时间。
你刚找到了一条前往节点A的更短路径！直接前往节点A需要6分钟。
但经由节点B前往节点A只需5分钟！对于节点B的邻居，如果找到前往它的更短路径，就更新其开销。
在这里，你找到了：•前往节点A的更短路径（时间从6分钟缩短到5分钟）；•前往终点的更短路径（时间从无穷大缩短到7分钟）。
第三步：重复！重复第一步：找出可在最短时间内前往的节点。
你对节点B执行了第二步，除节点B外，可在最短时间内前往的节点是节点A。
重复第二步：更新节点A的所有邻居的开销。
你发现前往终点的时间为6分钟！你对每个节点都运行了狄克斯特拉算法（无需对终点这样做）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
步 S集合中 U集合中 骤 1 选入A，此时S={A}，此 U={B,C,D,E,F,G,H}， 时最短路 径 A->A=0, 以 A A->B=2, 为中间点，从A开始找 A->G=6, A->U中其他顶点=∞ 发现A->B=2距离最短 2 选 入 B ， 此 时 S={A,B} ， U={C,D,E,F,G,H}， 此时最短路径A->A=0,A- A->B->E=4, >B=2,以B为中间点，从B A->G=6, 开始找 A->B->C=9 A->U中其他顶点=∞ 发现A->B->E=4距离最短 3 选入E，此时S={A,B,E}， U={C,D,F,G,H}， 此时最短路径A->A=0,A- A->B->E->G=5(比上面第一步中A>B=2, A->B->E=4,以E为中 >G=6要短)，此时到G的距离为A间点，从E开始找 >B->E->G=5, A->B->C=9, A->B->E->F=6, A->U中其他顶点=∞ 发现A->B->E->G=5距离最短
5 选入F，此时S={A,B,E,G,F}，此 时最短路径A->A=0,A->B=2,A->B>E=4, A->B->E->G=5,A->B->E>F=6,以F为中间点，从F开始找
U={C,D,H}， A->B->E->F->H=8( 比上面第四步中A->B->E->G->H=9 要短)，此时到H的距离为A->B->E->F->H=8， A->B->E->F->C=9 (与上面第2步A->B->C=9相等), A->U中其他顶点=∞ 发现A->B->E->F->H=8距离最短 6 选入H，此时S={A,B,E,G,F,H}， U={C,D}， 此时最短路径A->A=0,A->B=2,A- A->B->E->F->H->D=10， >B->E=4, A->B->E->G=5,A->B->E- A->B->E->F->C=9 (与上面第2步A->B->C=9相等), A->U中其他顶点=∞ >F=6, A->B->E->F->H=8，以H为中间点， 发现A->B->C=8距离最短 从H开始找
求最短路径步骤
算法步骤如下： 1. 初使时令 S={V0},U={其余顶点}，U中顶点对应 的距离值 若存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为<V0,Vi>弧上的权值 若不存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为∝ 2. 从U中选取一个其距离值为最小的顶点W且不 在S中，加入S，并把该点W从U中剔除。 3. 对U中顶点的距离值进行修改：若加进W作中 间顶点，从V0到Vi的 距离值比不加W的路径要短， 则修改此距离值 重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即 U=空为止
7 选入C，此时S={A,B,E,G,F,H,C}， 此 时 最 短 路 径 A->A=0,A->B=2,A>B->E=4, A->B->E->G=5,A->B->E>F=6, A->B->E->F->H=8,A->B->C=9 ， 以 C 为中间点，从C开始找
U={D}， A->B->E->F->H->D=10， A->B->C->D=12(A->B->E->F-C->D=12), 发现A->B->E->F->H->D=10距离最短
U中集合已空，查找完毕 8 选入D，此时S={A,B,E,G,F,H,C,D}， 此 时 最 短 路 径 A->A=0,A->B=2,A>B->E=4, A->B->E->G=5,A->B->E>F=6, A->B->E->F->H=8, A->B->E->F->H>D=10，以D为中间点，从D开始 找
2
6
7
2 2 3 3
1
4
2
H
2
在上面无向图，要求从点A到点D的最短路径， 每 相邻2点之间距离已标注在路径之间ห้องสมุดไป่ตู้如点A、 B之间距离为2。 解决上面的问题，这里我们采用基于贪心算法的 Dijstra算法，当然也有其他的算法可以解决，如动 态规划等。
(Dijkstra)算法思想
按路径长度递增次序产生最短路径算法： 把V分成两组： （1）S：已求出最短路径的顶点的集合 （2）V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合 将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中 保证：1）从源点V0到S中各顶点的最短路径长度都 不大于 从V0到T中任何顶点的最短路径长度 2）每个顶点对应一个距离值 S中顶点：从V0到此顶点的最短路径长度 T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中 间 顶点的最短路径长度 依据：可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径，或是 从V0到Vk的 直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk 的路径权值之和
4 选入G，此时S={A,B,E,G}，此时 最短路径A->A=0,A->B=2, A->B>E=4, A->B->E->G=5,以G为中间 点，从G开始找
U={C,D,F,H}， A->B->E->G->H=9, A->B->C=9, A->B->E->F=6, A->U中其他顶点=∞ 发现A->B->E->F=6距离最短