【精品专题】初中数学最短路径问题总结
八年级数学最短路径题型归纳
八年级数学中的最短路径问题，通常涉及到几何图形中的点、线、面等元素，需要利用一些基本的几何知识和数学原理来求解。
以下是一些常见的最短路径题型及其解题方法：1.两点之间的最短距离：题型描述：在平面上给定两点A和B，求A到B的最短距离。
解题方法：直接连接A和B，线段AB的长度即为最短距离。
2.点到直线的最短距离：题型描述：在平面上给定一点P和一条直线l，求P到l的最短距离。
解题方法：作点P到直线l的垂线，垂足为Q，则PQ的长度即为最短距离。
3.直线到直线的最短距离：题型描述：在平面上给定两条直线l1和l2，求l1到l2的最短距离。
解题方法：如果l1和l2平行，则它们之间的距离即为最短距离；如果l1和l2不平行，则作l1到l2的垂线，垂足所在的线段即为最短4.点到圆的最短距离：题型描述：在平面上给定一点P和一个圆O，求P到圆O的最短距离。
解题方法：如果点P在圆O内，则最短距离为P到圆心的距离减去圆的半径；如果点P在圆O外，则最短距离为P到圆心的距离；如果点P在圆O上，则最短距离为0。
5.圆到圆的最短距离：题型描述：在平面上给定两个圆O1和O2，求O1到O2的最短距离。
解题方法：如果两圆外离，则它们之间的最短距离为两圆的半径之和；如果两圆外切，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差；如果两圆相交或内切，则它们之间的最短距离为0；如果两圆内含，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差减去两圆半径之和的绝对值。
6.多边形内的最短路径：题型描述：在一个多边形内给定两个点A和B，求A到B的最短解题方法：通常需要将多边形划分为多个三角形，然后利用三角形内的最短路径（即连接两点的线段）来求解。
7.立体几何中的最短路径：题型描述：在立体图形中给定两点A和B，求A到B的最短路径。
解题方法：通常需要将立体图形展开为平面图形，然后利用平面几何中的最短路径原理来求解。
在解决最短路径问题时，需要注意以下几点：准确理解题目要求，确定需要求的是哪两点之间的最短距离。
初二数学最短路径问题知识归纳+练习
初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】- 1 -- 2 -】【精品练习1上有ACE在正方形ABCD内，在对角线．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE 是等边三角形，点），使PD+PE的和最小，则这个最小值为（一点P AD62623D．B．C．3 A．PECBCD、AC′AD′分别与BC、A，若将中，∠．如图，在边长为22的菱形ABCDABC＝60°△ACD绕点旋转，当）△E交于点、F，则CEF的周长的最小值为（32 ．B ．A232 ．4．DC- 3 -的周长最小时，AMNM 、N ，使△、＝90°，∠C＝70°，在BCCD上分别找一点3．四边形ABCD中，∠B＝∠D）的度数为（∠AMN+∠ANMAD°．140C．110°D130A．120°B．°NBMCABN分别是AD和BAC的平分线交BC于点D，M4．如图，在锐角△ABC中，AB＝、4，∠BAC＝45°，∠2C．上的动点，则BM+MN的最小值是DMABN边上，点在ABD在BC边上（不与点B、C重合），，中，∠5．如图，Rt△ABCC＝90°，∠B＝30°AB ＝6，点E．AE且ED＝AE，则线段的取值范围是A EBCD上，OB、OA，点＝3P、Q分别在边上，且，点＝30°M、N分别在边OA、OBOM＝1，ON．如图，∠6AOB：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，．（注“勾股定理”_________＋PQ＋QN的最小值是则MP222AB BCAC°，则有）中，∠△ABCC＝90即Rt36 0)(．，轴的正半轴，坐标为，点＝∠△7．如图，三角形ABC中，∠OABAOB＝15°B在xB．MN＋的最小值是______MAOANOCMAOBOC平分∠，点在的延长线上，点为边上的点，则- 4 -8．已知A（2，4）、B（4，2）．C在轴上，D在轴上，则四边形ABCD的周长最小值为，y x ．C此时、D两点的坐标分别为yABxO．2）、B（4，．已知9A（1，1）y点的坐标；的最小值和此时P轴上一动点，求PA+PB（1）P为x B AxOPBPA P点的坐标；轴上一动点，求）P为的值最大时（2x yB AxO（3）CD为轴上一条动线段，D在C点右边且CD＝1，求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；xyBAxODC10．点C为∠AOB内一点．（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周长的最小值和此时∠DCE的度数．ACOB- 5 -CC，A，求证AB交）如图①，1AB和AC均为等边三角形BCPP，求作一，P，AB，均小120）在AB 中，AB30值最小，试求出最小值并说明理由图②BC图①，护城河及两桥＇＇DD、EE处到达．荆州护城河在12CC＇处直角转弯，河宽相等，从AB处，需经过两座桥点路径最短？到B都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A- 6 -。
八年级最短路径问题归纳
八年级最短路径问题归纳最短路径问题是图论中的一个经典问题，也是计算机科学中的重要研究领域之一。
在八年级的学习中，我们也会接触到最短路径问题，并且通过一些简单的算法来解决这个问题。
本文将对八年级最短路径问题进行归纳总结，希望能够帮助大家更好地理解和应用这个问题。
一、最短路径问题的定义最短路径问题是指在一个给定的图中，找出两个顶点之间的最短路径，即路径上的边权之和最小。
其中，图由顶点和边组成，顶点表示路径中的点，边表示路径中的通路或连接。
二、最短路径问题的应用最短路径问题在生活中有着广泛的应用，比如导航系统中的最短路径规划、货物运输中的最短路径选择等等。
通过寻找最短路径，可以帮助我们节省时间和资源，提高效率。
三、最短路径问题的解决方法1. 迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是解决最短路径问题的一种常用算法。
该算法通过不断更新起点到各个顶点的最短路径，直到找到终点的最短路径为止。
迪杰斯特拉算法的具体步骤如下：- 初始化起点到各个顶点的距离为无穷大，起点到自身的距离为0；- 选择一个未访问的顶点，更新起点到其他顶点的距离；- 重复上述步骤，直到找到终点的最短路径或所有顶点都被访问过。
2. 弗洛伊德算法弗洛伊德算法是解决最短路径问题的另一种常用算法。
该算法通过不断更新任意两个顶点之间的最短路径，直到更新完所有顶点对之间的最短路径为止。
弗洛伊德算法的具体步骤如下：- 初始化任意两个顶点之间的距离，如果两个顶点之间有直接的边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大；- 选择一个顶点作为中转点，更新任意两个顶点之间的距离；- 重复上述步骤，直到更新完所有顶点对之间的最短路径。
四、最短路径问题的注意事项在解决最短路径问题时，需要注意以下几点：1. 图的表示方式：可以使用邻接矩阵或邻接表来表示图，根据具体的问题选择合适的表示方式。
2. 边的权值：边的权值可以表示两个顶点之间的距离、时间、花费等等，根据具体的问题选择合适的权值。
精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)
精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)初中数学竞赛专题讲解最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】l 上求一点P ，使值最小．【问题2】“将军饮马” 作法图形原理l 上求一点P ，使值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短．PA +PB 最小值为【问题3】 作法图形原理1l 、2l 上分别求点，使△PMN 的周长最分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．PM +MN +PN 的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．lBAlPB'AB l 1l 2Pl 1l 2NMP''P'P周长最小．【问题5】“造桥选址” 作法图形 原理∥n ，在m 、n ，上分别求点M 、N ，使MN ⊥AM +MN +BN 的值将点A 向下平移MN 的长度单位得A ＇，连A ＇B ，交n 于点N ，过N 作NM ⊥m 于M ．两点之间线段最短．AM +MN +BN 的最小值为A ＇B +MN ．【问题6】 作法图形原理l 上求两点M 、N （M ，使a MN ，并使将点A 向右平移a 个长度单位得A ＇，作A ＇关于l 的对称点A ＇＇， 连A ＇＇B ，交直线l 于点N ，将N 点向左平移a 个单位得M ．两点之间线段最短．AM +MN +BN 的最小值为A ＇＇B +MN ．m nM NA'BA la BM Nm nABM NlA''A'BAM N一、基础过关1.如图所示，是一个圆柱体，底面周长为10,高为6,一只蚂蚁要从外壁的A处到内壁的B处吃一食物,求蚂蚁所走的最短程 .2.如右图是一个长方体木块，已知3,4,2===，假设AB BC CD一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。
八上数学最短路径问题知识点
八上数学最短路径问题知识点八上数学中的最短路径问题是一个经典的问题，它涉及到多种方法和知识点。
以下是该问题的总结：知识点1：线段和角的表示方法解决最短路径问题需要先掌握线段和角的表示方法。
线段用两个端点表示，如线段AB，而角则用顶点表示，如∠AOB。
知识点2：线段和角的基本性质线段的基本性质包括两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边。
角的基本性质包括角平分线上的点到角两边的距离相等和三角形内角和为180度。
这些性质在解决最短路径问题时非常重要。
知识点3：轴对称和镜像对称轴对称和镜像对称是解决最短路径问题的两个重要概念。
通过轴对称或镜像对称，可以将图形转化为更简单的形状，从而更容易找到最短路径。
知识点4：勾股定理勾股定理是一个经典的几何定理，它可以用来解决与直角三角形有关的几何问题。
在最短路径问题中，勾股定理可以用来计算两点之间直线的距离，从而得到最短路径的长度。
知识点5：三角形的稳定性三角形的稳定性是指三角形具有稳定的结构，它可以用来解决一些与固定长度线段有关的最短路径问题。
通过将问题转化为三角形问题，可以更容易地找到最短路径。
知识点6：将军饮马问题将军饮马问题是一个经典的数学问题，它涉及到最短路径和对称性。
在最短路径问题中，将军饮马问题可以用来解决一类特殊的几何最短路径问题。
通过找到两个对称点，可以很容易地找到最短路径。
知识点7：平移、旋转和反射平移、旋转和反射是解决最短路径问题的三种重要变换。
通过这些变换，可以将图形转化为更简单的形状，从而更容易找到最短路径。
知识点8：代数方法求解最短路径除了几何方法外，代数方法也可以用来求解最短路径问题。
例如，通过建立方程来求解两点之间的最短距离。
这种方法通常适用于更复杂的场景，如非线性优化问题。
总之，八上数学中的最短路径问题涉及到多个知识点和方法，需要学生灵活运用各种工具来解决。
通过掌握这些知识点和方法，可以更好地理解和解决最短路径问题。
初二数学最短路径问题知识归纳+练习
初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：-①确定起点的最短路径问题即已知起始结点，求最短路径的问题．-②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．-③确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．【问题原型】．“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．】【十二个基本问题】1作法图形【问题原理A A两点之间线段最短．P l．交点即为P连AB，与l l PA+PB 最小值为AB．BB，使上求一点P在直线l值最小．PA+PB【问题2】“将军饮马”作法图形原理A AB＇B关于作B l 的对称点两点之间线段最短．Bl l PA+PB 最小值为 A B P．＇．连A B ＇，与l 交点即为P，使P在直线l 上求一点B'PA+PB 值最小．3】作法图形原理【问题P'l 1l 1分别作点P 关于两直线的两点之间线段最短．M PPM +MN +PN 的最小值为对称点P＇和P＇，连P＇P＇，P ll l 、上2．M，P＇＇＇的长．N与两直线交点即为线段P分别求点在直线l212NM 、N，使△PMN的周长P''最小．4】作法【问题图形原理l 1l1Q'Q关于直线分别作点Q 、P Q两点之间线段最短．MPl 、l P＇Q＇和的对称点21P周长的最小四边形PQMN l2＇，与两直线交点即Q连＇P值为线段P＇P＇＇的长．l 2、l l 上分别求点在直线．，N为M21N，使四边形N 、M PQMN P'的周长最小．【问题5】“造桥选址”作法图形原理范文A A M m将点A 向下平移MN 的长度两点之间线段最短．n A'M n＇B，交单位得A＇，连A N m AM +MN +BN 的最小值为B于m N 作NM ⊥于点N，过n N，n ，在m 、n 直线m ∥A＇B+MN ．．M B MN、N，使上分别求点M 的，且AM+ MN+ BN ⊥m 值最小．【问题6】作法图形原理A A'A将点A 向右平移a 个长度单B B l两点之间线段最短．的对＇，作 A ＇关于位得A l a N l M，交直线称点A＇，连A＇B AM +MN +BN 的最小值为MN l MM（上求两点、N在直线l 点向左平，将于点NNA＇B+ MN．A''MN a 移 a 个单位得M．在左），使，并使的值最小．AM + MN+ NB 】【问题7作法图形原理l l1 1 P'P P l点到直线，垂线段最短．＇，的对称点作点P 关于P 1A ll 于B⊥，交作P＇B22PA+ AB 的最小值为线段P＇l 2于A．l B的长．2l l 上求A上求点在，在21B，使PA+ AB 值最小．点B图形原理】【问题8作法l 1B'NAl 1l的对称点关于 A 作点2l2两点之间线段最短．MB l 的对称A ＇，作点 B 关于N1A AM +MN +NB 的最小值为lll，于B＇交M 为上点B＇，连A＇A 为上一定点，B 212线段A＇B＇的长．l 2BM l l ，一定点，在上求点交M．N 于21A'l 在使，N 点上求1的值最小．AM + MN+ NB图形原理】【问题9作法A A垂直平分上的点到线段两B端点的距离相等．B的中垂线与AB ，作连AB l l．l 直线的交点即为P PA PB ＝0．P PA 上求一点l P，使在直线的值最小．PB【问题10】作法图形原理范文A三角形任意两边之差小于A B作直线AB，与直线l 的交第三边．PA PB ≤AB．l Bl ．点即为P P，使l 上求一点P在直线PA PB 的最大值＝AB．PA PB 的值最大．【问题11】作法图形原理A三角形任意两边之差小于A作B 关于l 的对称点B＇l B'第三边．PA PB ≤AB＇．l交点即l 作直线 A B＇，与B P为P．B PA PB 最大值＝AB＇．，使l 上求一点P在直线PA PB 的值最大．【问题12】“费马点”作法图形原理A所求点为“费马点”，即满D APB＝∠BPC＝∠足∠A两点之间线段最短．E AC°．以AB、APC＝120 C B、ABD 为边向外作等边△PA+ PB+ PC 最小值＝CD ．P△ABC 中每一内角都小于△ACE，连CD 、BE 相交CB于P ，点P 即为所求．，ABC 内求一点P120°，在△值最小．PA+PB+PC 使【精品练习】1 的面积为．如图所示，正方形ABCD12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（）AD62 62 3B．．C．3D A．PEBC2．如图，在边长为2 的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60 °，若将△ACD 绕点 A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD）交于点E、F ，则△CEF 的周长的最小值为（A．2B．2 3C．23D．4范文3．四边形ABCD 中，∠B＝∠D ＝90°，∠C＝70 °，在BC 、CD 上分别找一点M、N，使△AMN 的周长最小时，∠AMN + ∠ANM 的度数为（）AD°110°D．140CA．120°B．130°．N BM4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42 ，∠BAC＝45 °，∠BAC 的平分线交BC 于点D，M、N 分别是AD 和ABC 的最小值是上的动点，则BM +MN ．D MAN B5．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90 °，∠B＝30 °，AB＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上重合），、C （不与点B．的取值范围是且ED ＝AE，则线段AEA ECD B6．如图，∠AOB＝30°，点M、N 分别在边OA、OB 上，且OM ＝1，ON＝3，点P、Q 分别在边OB、OA 上，则MP ＋PQ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，222BC AC AB°，则有＝90 C即Rt△ABC 中，∠）7．如图，三角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B 在x轴的正半轴，坐标为B( 63 ，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______．范文y轴上，D 在在x 轴上，则四边形4）、B （4，2）．C 8．已知A（2，ABCD 的周长最小值为，两点的坐标分别为D 此时C、．yABOx．已知9）．，2 1，1）、B（4A（y点的坐标；轴上一动点，求PA+PB 的最小值和此时P （1）P 为xBAOx点的坐标；P 的值最大时x 轴上一动点，求PA PB ）（2 P 为y BAOx（3）CD 为x 轴上一条动线段， D 在 C 点右边且CD ＝1，求当AC+ CD+ DB 的最小值和此时C 点的坐标；yBAOxC D10 ．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点 D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．ACB O范文11．（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE、CE 交于F，连AF，求证：AF +BF +CF ＝CD ；（2）在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB＝6，BC＝8，∠ A ，∠C 均小于120°，求作一点P，使PA+PB+PC 的值最小，试求出最小值并说明理由．DA A EC B F图②C B图①处，需经过两座桥处到达 B A ＇处直角转弯，河宽相等，从12 ．荆州护城河在CC＇，护城河及两桥EE ＇、DD点路径最短？到都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使B A范文。
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八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址” ，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短” ，“三角形三边关系”，“轴对称” ，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理A Al连 AB，与 l 交点即为 P．Pl两点之间线段最短．B PA+PB 最小值为 AB．B在直线 l 上求一点P，使PA+PB 值最小．【问题 2】“将军饮马”作法图形原理A AB 作 B 关于 l 的对称点 B＇ B 两点之间线段最短．l连 A B ＇，与 l 交点即为 P．l PA+PB 最小值为 A B＇．P在直线 l 上求一点P，使B'PA+PB 值最小．【问题3】作法图形原理l 1 P' l1P分别作点 P 关于两直线的M两点之间线段最短．对称点 P＇和 P＇，连 P＇P＇，PM +MN +PN 的最小值为l2 P在直线 l1、 l 2上分别求点与两直线交点即为 M， N．N l2线段 P＇P＇＇的长．M 、 N，使△ PMN 的周长P''最小．【问题4】作法图形原理l 1lQ' 1Q分别作点 Q 、P 关于直线P MQ 两点之间线段最短．l 1、 l 2的对称点Q＇和P＇l2 P 四边形 PQMN 周长的最小连 Q＇P＇，与两直线交点即l 2 值为线段 P＇P＇＇的长．在直线 l1、 l 2上分别求点为 M ， N．NM 、 N ，使四边形PQMN P'的周长最小．【问题 5】“造桥选址”作法图形原理- 1 -AM Nmn将点 A 向下平移MN 的长度单位得A＇，连 A＇B，交 nAA' M 两点之间线段最短．mB直线 m ∥ n ，在 m 、 n ，上分别求点 M 、N，使 MN ⊥m ，且 AM+ MN+ BN 的值最小．【问题 6】ABlM a N在直线 l 上求两点M、N（M 在左），使 MN a ，并使AM + MN+ NB 的值最小．【问题 7】l1Pl 2在l 1上求点A，在 l 2上求点 B，使 PA+ AB 值最小．于点 N，过 N 作 NM ⊥ m 于M．作法将点 A 向右平移 a 个长度单位得 A＇，作 A＇关于l的对称点 A＇，连 A＇B，交直线l 于点N，将N点向左平移a 个单位得 M．作法作点 P 关于l1的对称点P ＇，作 P＇B⊥l2于 B，交l2于A．AM +MN +BN 的最小值为NnA＇B+MN ．B图形原理A A'B两点之间线段最短．lM N AM +MN +BN 的最小值为A＇B+ MN．A''图形原理l1P'P 点到直线，垂线段最短．APA+ AB 的最小值为线段P＇l 2 B的长．B【问题 8】作法l 1NAMl2 作点 A 关于l2的对称点BA ＇，作点B 关于l1的对称A 为l1上一定点，B 为l2上点 B＇，连 A＇B＇交l2于 M，一定点，在 l 2上求点M，交 l 1 于 N．在 l 1 上求点N ，使AM + MN+ NB 的值最小．【问题 9】作法图形原理B'l 1N两点之间线段最短．AAM +MN +NB 的最小值为M B l 2线段 A＇B＇的长．A'图形原理ABl在直线l 上求一点 P，使 PA PB 的值最小．连AB ，作 AB 的中垂线与直线 l 的交点即为 P．A垂直平分上的点到线段两B端点的距离相等．lP PA PB ＝ 0．【问题 10】作法图形原理- 2 -A三角形任意两边之差小于A Bl作直线 AB ，与直线 l 的交第三边． PA PB ≤AB ．B点即为 P ．l在直线 l 上求一点 P ，使PPA PB 的最大值 ＝ AB ．PA PB 的值 最大 ．【问题 11】作法 图形原理AAl 作 B 关于 l 的对称点 B ＇ B'B作直线 A B ＇，与 l 交点即lP为 P ．B在直线 l 上求一点 P ，使PA PB 的值 最大 ．三角形任意两边之差小于第三边． PA PB ≤ AB ＇．PA PB 最大值 ＝ AB ＇．【问题 12】“费马点”作法图形原理ABC所求点为“费马点” ，即满足∠ APB ＝∠ BPC ＝∠APC ＝ 120 °．以 AB 、 ACDAE两点之间线段最短．为边向外作等边△ ABD 、PPA+ PB+ PC 最小值 ＝ CD ．△ ABC 中每一内角都小于120°，在△ ABC 内求一点P ，使 PA+PB+PC 值最小．△ ACE ，连 CD 、 BE 相交于 P ，点 P 即为所求．BC【精品练习 】 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为 12，△ ABE 是等边三角形，点一点 P ，使 PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A ． 23 B ． 2 6C ． 3D ． 62．如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ ABC ＝ 60 °，若将 △ ACD交于点 E 、 F ，则 △ CEF 的周长的最小值为（ ）E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有ADPEB C绕点 A 旋转，当 AC ′、 AD ′分别与 BC 、 CDA ． 2B ． 2 3C ． 2 3D ． 4- 3 -3．四边形 ABCD 中，∠ B＝∠ D ＝ 90 °，∠ C＝ 70 °，在 BC 、 CD 上分别找一点M、 N，使△ AMN 的周长最小时，∠ AMN + ∠ ANM 的度数为（）A DA ． 120°B． 130°C．110 °D． 140 °NBMC 4．如图，在锐角△ ABC 中， AB ＝ 4 2 ，∠ BAC ＝ 45 °，∠ BAC 的平分线交 BC 于点D ， M、 N 分别是 AD 和 AB上的动点，则 BM +MN 的最小值是C．DMAN B5．如图， Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90 °，∠ B＝ 30 °，AB＝ 6，点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边上（不与点B、C 重合），且 ED ＝ AE，则线段AE 的取值范围是．AEC D B 6．如图，∠AOB ＝ 30 °，点 M、 N 分别在边OA、 OB 上，且OM ＝ 1， ON＝ 3，点 P 、 Q 分别在边OB、 OA 上，则 MP ＋ PQ＋ QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即 Rt△ABC 中，∠ C＝ 90°，则有AC 2BC 2AB2）7．如图，三角形△ ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B( 6 3 ， 0)．OC 平分∠ AOB ，点 M 在 OC 的延长线上，点N 为边 OA 上的点，则MA ＋ MN 的最小值是 ______．- 4 -8．已知 A（ 2， 4）、 B （4， 2）． C 在y轴上， D 在 x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为，此时 C、 D 两点的坐标分别为．yABO x 9．已知A（ 1， 1）、 B （4， 2）．y（ 1） P 为 x 轴上一动点，求PA+PB 的最小值和此时P 点的坐标；BAO x（ 2） P 为 x 轴上一动点，求PA PB 的值最大时P 点的坐标；yBAO x（ 3） CD 为 x 轴上一条动线段， D 在 C 点右边且CD ＝ 1，求当AC+ CD+ DB 的最小值和此时 C 点的坐标；yBAO C D x10 ．点 C 为∠ AOB 内一点．（ 1）在 OA 求作点 D ， OB 上求作点 E ，使△ CDE 的周长最小，请画出图形；（ 2）在（ 1）的条件下，若∠AOB ＝ 30°， OC＝ 10，求△ CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．ACO B- 5 -11．（ 1）如图①，△ ABD 和△ ACE 均为等边三角形，BE、 CE 交于 F，连 AF，求证： AF +BF +CF ＝ CD ；（ 2）在△ ABC 中，∠ ABC ＝ 30°， AB＝ 6， BC＝ 8，∠ A ，∠ C 均小于 120°，求作一点 P，使 PA+PB+PC 的值最小，试求出最小值并说明理由．DAAEFB C图①B C图②12 ．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从 A 处到达 B 处，需经过两座桥DD ＇、 EE ＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使 A 到 B 点路径最短？- 6 -。
最新八年级最短路径问题归纳小结
八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【问题10】 作法图形 原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ．PB PA -的最大值＝AB ．【问题11】 作法图形 原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点” 作法图形 原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求．两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A ．3B ．26C ．3D 62．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2B ．32C ．32+D ．4lBAlPABl ABlBPAB'ABCPEDCBAADEPB C3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合）， 且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______． DEABCD CMABMN8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为 ，此时 C 、D 两点的坐标分别为 ．9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．图①12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？什么是主语、谓语、宾语、宾补、状语、定语?主语是一个句子中所要表达,描述的人或物，是句子叙述的主体。
初中最短路径问题总结
初中最短路径问题总结初中最短路径问题是指在一个带权重的图中，寻找两个顶点之间的最短路径。
这个问题在实际生活中有着广泛的应用，比如在交通运输领域中寻找最短路径可以帮助我们规划最优的行车路线，提高交通效率。
在通信网络中，最短路径算法也可以帮助我们找到数据传输的最佳路径，提高网络的传输速度。
因此，了解和掌握最短路径算法对于初中生来说是非常重要的。
首先，我们来介绍最短路径算法中的两种经典算法，Dijkstra算法和Floyd算法。
Dijkstra算法是一种用于解决带权重图中单源最短路径问题的算法。
它的基本思想是从起始顶点开始，逐步扩展到所有顶点，每次选择当前距离起始顶点最近的顶点进行扩展，直到扩展到目标顶点为止。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数。
Floyd算法是一种用于解决带权重图中多源最短路径问题的算法。
它的基本思想是利用动态规划的思想，逐步更新顶点之间的最短路径长度，直到得到所有顶点之间的最短路径。
Floyd算法的时间复杂度为O(V^3)。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题场景来选择合适的最短路径算法。
如果是单源最短路径问题，可以选择Dijkstra算法；如果是多源最短路径问题，可以选择Floyd算法。
除了Dijkstra算法和Floyd算法，还有一些其他的最短路径算法，比如Bellman-Ford算法、SPFA算法等。
这些算法在不同的场景下都有着各自的优势和局限性，需要根据具体的问题来选择合适的算法。
在解决最短路径问题时，我们需要注意一些常见的问题，比如负权边、负权环等。
负权边指的是图中存在权重为负数的边，而负权环指的是图中存在环路，使得环路上的边权重之和为负数。
这些情况会对最短路径算法造成影响，需要特殊处理。
总的来说，初中最短路径问题是一个重要且实用的数学问题，对于初中生来说，掌握最短路径算法有助于培养他们的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
通过学习最短路径算法，可以帮助他们更好地理解数学知识在实际生活中的应用，培养他们的创新意识和实践能力。
(完整版)初二数学最短路径问题知识归纳+练习
初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ．PB PA -的最大值＝AB ．【问题11】 作法图形 原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点” 作法图形 原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求．两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A ．3B ．26C ．3D 62．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2B ．32C ．32+D ．4lBAlPABl ABlBPAB'ABCPEDCBAADEPB C3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合）， 且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______． DEABCD MABMN8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为 ，此时 C 、D 两点的坐标分别为 ．9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．图①12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？。
初中数学八年级上册最短路径基本问题整理汇总(共12个-考试必考)
八年级数学上册最短路径基本问题汇总
经典例子解析
例一、在解决最短路径问题时, 我们通常利用_____、_____等变换把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选择。
例二、已知，如图,在直线l的同侧有两点A、 B
例三图例四图
(1)在图1的直线上找一点P使PA+PB最短；(2)在图2的直线上找一点P,使PA-PB最长
例三、如上图所示,P为∠AOB内一点,P1，P2分别是P关于OA，OB 的对称点,P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=8 cm,则△PMN的周长是( )
A.7 cm
B.5 cm
C.8 cm
D.10 cm
例四、如图,在等腰Rt△ABC中,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,要使EC+ED最小,请找点E的位置例五、如图,村庄A，B位于一条小河的两侧,若河岸a，b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近？
参考答案
例一：轴对称平移
例二：(1)作点B关于直线l的对称点C,连接AC交直线l于点P,连接BP；点P即为所求(2)连接AB并延长,交直线l于点P
例三：C
例四：作点C关于AB的对称点C′,连接C′D与AB的交点为E点
例五：①过点A作AP⊥a,并在AP上向下截取AA′,使AA′=河的宽度；②连接A′B交b于点D；③过点D 作DE∥AA′交a于点C；④连接AC.则CD即为桥的位置。
最短路径问题归纳总结
最短路径问题归纳总结本文介绍了数学中的最短路径问题，该问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图中两结点之间的最短路径。
具体的算法形式包括确定起点的最短路径问题、确定终点的最短路径问题、确定起点终点的最短路径问题和全局最短路径问题。
其中，“将军饮马”、“造桥选址”和“费马点”是该问题的原型。
解决该问题需要涉及知识包括“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“三角形三边关系”、“轴对称”和“平移”等。
在解题思路方面，可以通过找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
本文还列举了十二个基本问题，包括确定起点的最短路径问题、确定终点的最短路径问题、确定起点终点的最短路径问题、全局最短路径问题、将军饮马、造桥选址等。
对于每个问题，本文都给出了详细的作法和图形原理，以及需要用到的知识原理。
问题6】给定直线m和直线n，求在它们上面的两个点M和N，使得XXX的值最小。
根据垂线段最短的原理，将点A向右平移a个长度得到A'，作A'关于直线m的对称点A''，连A''B，交直线MN于点M，直线NB于点N，使得MN⊥m且MN=a。
则AM+MN+BN的最小值为A''B+MN。
在直线l上求两点M、N（M在左），使MN=a，并使AM+MN+NB的值最小。
将N点向左平移a个单位得到M。
问题7】给定两条直线l1和l2，求在它们上面的两个点A和B，使得PA+AB的值最小。
根据垂线段最短的原理，作点P关于l1的对称点P'，作P'B⊥l2于B，交l2于A。
则PA+AB的最小值为线段P'B的长。
在l1上求点A，在l2上求点B，使PA+AB值最小。
问题8】给定两条直线l1和l2，求在它们上面的两个点A和B，使得AM+MN+NB的值最小。
根据两点之间线段最短的原理，作点A关于l2的对称点A'，作点B关于l1的对称点B'，连A'B'交l2于M，交l1于N。
初中数学最短路径问题(经典版)分析
初中数学最短路径问题(经典版)分析
初中数学最短路径问题的分析
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图中两结点之间的最短路径。
该问题可以分为四种形式：确定起点的最短路径问题、确定终点的最短路径问题、确定起点终点的最短路径问题和全局最短路径问题。
将军饮马”、“造桥选址”和“费马点”是最短路径问题的原型。
解决该问题需要涉及一些数学知识，如“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“三角形三边关系”、“轴对称”和“平移”。
该问题通常涉及角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴和抛物线等。
解题思路可以通过找对称点实现“折”转“直”，或者通过“三折线”转“直”等变式问题进行考查。
总之，初中数学最短路径问题是一个需要一定数学基础和思维能力的经典问题。
掌握解题思路和相关知识可以帮助学生更好地理解数学概念和培养数学思维。
初中数学最短路径问题(经典版)分析
最短路径问题（经典版）
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题- 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题- 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
③确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．
④全局最短路径问题- 求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
【十二个基本问题】。
中考数学：最短路径问题(珍藏版)
10．点 C 为∠AOB 内一点． （1）在 OA 求作点 D，OB 上求作点 E，使△CDE 的周长最小，请画出图形； （2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．
11．（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE、CE 交于 F，连 AF，求证：AF+BF+CF＝CD； -5-
，
此时 C、D 两点的坐标分别为
．
9．已知 A（1，1）、B（4，2）． （1）P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值和此时 P 点的坐标；
（2）P 为 x 轴上一动点，求 PA PB 的值最大时 P 点的坐标；
（3）CD 为 x 轴上一条动线段，D 在 C 点右边且 CD＝1，求当 AC+CD+DB 的最小值和此时 C 点的坐标；
7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点 B 在 x 轴的正半轴，坐标为 B( 6 3 ，0)． OC 平分∠AOB，点 M 在 OC 的延长线上，点 N 为边 OA 上的点，则 MA＋MN 的最小值是______．
-4-
8．已知 A（2，4）、B（4，2）．C 在 y 轴上，D 在 x 轴上，则四边形 ABCD 的周长最小值为
初中数学最短路径问题精华版
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结
点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
【问题 7】
将点 A 向右平移 a 个长度 单位得 A＇，作 A＇关于 l 的对称点 A＇＇，连 A＇＇B，交 直线 l 于点 N，将 N 点向 左平移 a 个单位得 M．
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专题训练之最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．
④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．
【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
【十二个基本问题】
【问题10】 作法
图形 原理
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．
作直线AB ，与直线l 的交
点即为P ．
三角形任意两边之差小于
第三边．PB PA -≤AB ．
PB PA -的最大值＝AB ．
【问题11】 作法
图形 原理
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．
作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即
为P ．
三角形任意两边之差小于
第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇．
【问题12】“费马点” 作法
图形 原理
△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小．
所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠
APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求．
两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ．
【精品练习】
1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有
一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）
A ．3
B ．26
C ．3
D 6
2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2
B ．32
C ．32+
D ．4
l
B
A
l
P
A
B
l A
B
l
B
P
A
B'
A
B
C
P
E
D
C
B
A
A
D
E
P
B C
3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）
A ．120°
B ．130°
C ．110°
D ．140°
4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．
5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合）， 且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ．
6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）
7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．
OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______． D
E
A
B
C
D M
A
B
M
N
8．已知A （2，4）、B （4，2
）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为 ，
此时 C 、D 两点的坐标分别为 ．
9．已知A （1，1）、B （4，2）．
（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；
（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标；
（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；
10．点C 为∠AOB 内一点．
（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；
（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．
图①
12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？。