必修2立体几何

《必修2—立体几何》自测卷（2）
一、填空题（每小题5分，共50分） 1、给出下列命题：（1）直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行；（2）直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直；（4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面
其中错误命题的个数为 。

解析：（1）（3）（4）错误。

答案：3
2、一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是_________. 解析：利用圆柱和圆锥的侧面积公式计算。

答案：2：1
3、若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 ． 解析：新的多面体一个八面体，由两只正四棱锥构成。

答案：
43
4、半径为a 的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为 ．
解析：此题用特殊法，可转化为球内切于三条侧棱两两垂直的三棱锥进行计算。

答案：a 3
5、关于直线a 、b ，以及平面M 、N ，给出下列命题：
①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ； ②若a ∥M ，b ⊥M ，则a ⊥b ； ③若a ∥b ，b ∥M ，则a ∥M ； ④若a ⊥M ，a ∥N ，则M ⊥N . 其中正确命题是 。

解析：①中a 与b 可以相交或平行或异面，故①错．③中a 可能在平面M 内，故③错． 答案：②④
6、如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于 。

解析：设圆柱高为h ，则底面半径为h
2
.由题意知，S ＝πh 2
，∴h ＝
S
π
， ∴V ＝π(h
2)2
·h ＝S
4
S π
. 答案：
S
4S π
7、正三棱锥的两个侧面所成二面角α大小的取值范围是 . 解析：取正三棱锥的两次极限位置。

A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
答案：60°<α<180°
8、如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M 为AB 中点，PM 垂直于△ABC 所在平面，那么PA 、PB 、PC 的大小关系为 。

解析：∵M 是Rt△ABC 斜边AB 的中点，
∴MA＝MB ＝MC.
又∵PM⊥平面ABC ，∴MA、MB 、MC 分别是PA 、PB 、PC 在平面ABC 上的射影． ∴PA＝PB ＝PC.。

答案：PA ＝PB ＝PC.
9、如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去
AOB ∆，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A （B ）
、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为________； 解析：作出折叠后的三棱锥计算 答案：
3
2
8 10、如图AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上（异于A,B 点）直 线PA 垂直于圆所在的平面，点M 为线段PB 的中点，有以下四 个命题：
(1)PA//平面MOB; (2)MO//平面PAC;
(3)OC ⊥平面PAB; （4）平面PAC ⊥平面PBC ，
其中正确的命题是___________ 解析：PA 在平面MOB 内，（1）错误；OC 不一定垂直于AB ，（3）错误 答案：（2）（4）
二、解答题(本大题共5题，合计50分)
11、(本题8分)在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形. 求证：(1)平面B 1AC //平面DC 1A 1;
(2)平面B 1AC ⊥平面B 1BDD 1.
解析：(1)因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，所以，A 1C 1//AC ，
而A 1C 1⊄平面B 1AC ，AC ⊂平面B 1AC ，所以A 1C 1//平面B 1AC . 同理，A 1D //平面B 1AC . 因为 A 1C 1、A 1D ⊂平面DC 1A 1，A 1C 1
A 1D ＝A 1，所以平面
B 1A
C //平面DC 1A 1.
(2) 因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，所以B 1B ⊥平面ABC
而AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥B 1B ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD . 因为B 1B 、BD ⊂平面B 1BDD 1，B 1B
BD ＝B ，所以AC ⊥平面B 1BDD 1.
P
C
M
A
O B
因为AC ⊂平面B 1AC ，故有平面B 1AC ⊥平面B 1BDD 1.
12、(本题10分)如图是表示以AB=4，BC=3的矩形ABCD 为底面的长方体被一平面斜截所得
的几何体，其中四边形EFGH 为截面．已知AE=5，BF=8，CG=12．
（1）作出截面EFGH 与底面ABCD 的交线l ；
（2）截面四边形EFGH 是否为菱形？并证明你的结论； （3）求DH 的长．
解析：（1）作HE 与DA 的交点P ，作GF 与CB 的交点Q ，连PQ 得直线l ，它便是所求作．
（2）截面EFGH 为菱形．
因平面ABFE ∥平面DCGH ，且平面EFGH 分别截平面ABFE 与平面DCGH 得直线EF 与GH ，故EF ∥GH ．
同理，FG ∥EH ，故四边形EFGH 为平行四边形．
又EF 2=AB 2+(BF-AE)2=25，FG 2=BC 2+(CG-BF)2
=25， 于是EF=FG=5，故四边形EFGH 为菱形． 13、(本题10分)如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体，点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==， （1）求证：1,,,E B F D 四点共面； （2）若点G 在BC 上，2
3
BG =
，点M 在1BB 上， GM BF ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥面11BCC B ；
解析：（1）证明：在DD 1上取一点N 使得DN=1，连接CN ，EN ，
显然四边形CFD 1N 是平行四边形，所以D 1F//CN ，同理四边形DNEA 是平行四边形，所以EN//AD ，且EN=AD ，又
BC//AD ，且AD=BC ，所以EN//BC ，EN=BC ，所以四边形CNEB 是平行四边形，所以 CN//BE ，所以D 1F//BE ，所以1,,,E B F D 四点共面。

（2）因为GM BF ⊥所以BCF ∆∽∆MBG ，所以MB BG BC CF =，即2
3
32
MB =，所以MB=1，
因为AE=1，所以四边形ABME 是矩形，所以EM ⊥BB 1又平面ABB 1A 1⊥平面BCC 1B 1，且EM 在平面ABB 1A 1内，所以EM ⊥面11BCC B
14、（本题10分）如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，
为 上
的点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ；
（2）求三棱锥D －AEC 的体积；
（3）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段
CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE .
1
D
1
A
A
B
C
D
1
C 1
B
M
E
F
H
G
A
B
C
D E
F
G
H
解析：（1）证明： ABE AD 平面⊥，BC AD // ∴ABE BC 平面⊥，则BC AE ⊥
又 ACE BF 平面⊥，则BF AE ⊥
∴BCE AE 平面⊥ 又BCE BE 平面⊂ ∴BE AE ⊥ (2)31=
=--ADC E AEC D V V ×22×3
4
2= （3）在三角形ABE 中过M 点作MG∥AE 交BE 于G 点,在三角形BEC 中过G 点作GN∥BC
交EC 于N 点,连MN,则 由比例关系易得CN ＝CE 3
1
MG∥AE MG ⊄平面ADE, AE ⊂平面ADE, ∴M G∥平面ADE
同理, GN∥平面ADE
∴平面MGN∥平面ADE 又MN ⊂平面MGN ∴MN∥平面ADE ∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点
15、(本题12分) 请您设计一个帐篷。

它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是
侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。

若要求帐篷的体积为163m 3
，试问帐篷的顶点
O 到底面中心1o 的距离为多少？
解析：设OO 1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长
为
=m ）
于是底面正六边形的面积为
2262)x x ==+-（单位：m 2）
帐篷的体积为231()2)(1)112)3V x x x x x x ⎡⎤
=
+--+=+-⎢⎥⎣⎦（m 3） 于是
316)1216(2
3
3=-+x x ∴x 3－12x +16=0可解得x =2 答：OO 1为2m.
O
O 1。