高一数学必修2立体几何概念定理公理整理学习资料

如图：
A∈α A∈β
==>
α∩β=a 且 A∈a
β B
α
A
公理 3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 如图：A,B,C 为不在同一直线上的三点，有且只有一个平面 α，使
A∈α B∈α C∈α
推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 A∈α
如图：B,C∈a，A∈a，有且只有一个平面 α，使 a∈α
已知：直线 a 在平面 α内（a∈α），直线 L 与平面 α交于 B 点（L∩α=B）
在直线 L 上有不同于 B 点的一个 A 点（A≠B）且点 A 在平面 α外（A∈a）
求证：直线 L 与直线 a 异面
证明： 假设直线 L 与直线 a 共面，
A
过 B 点和直线 a 有且只有一个平面 α（推论 1）
已知：有一条直线 a 和直线外一点 A 求证：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 证明： 在直线 a 上取任意不重合两点 B，C 又∵A∈a ∴A，B，C 不在同一直线上 即过 A，B，C 三点有且只有一平面 α（公理 3） ∵B，C∈a，又 B，C∈α，所以 a⊂α(公理 1） 所以经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
==> AC=A’C’ AB=A’B’ ==> △ABC≌△A’B’C’==> ∠CAB=∠C’A’B’ CB=C’B’
推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 ※补:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相反，那么这两个角互补。
异面直线的定义：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。
如图： A∈α B∈α a∈α ==> L 与 a 异面
A，B∈L
※我们把直线 L 与直线 a 所成的锐角（或直角） 叫做异面直线 L，a 所成的角（0°,90°]。 若异面直线 L，a 所成的角是直角，则称异面 直线 L，a 互相垂直，记作 L⊥a（线线垂直）
与点 A 在平面 α外相矛盾
∴原假设错误 ∴直线 L 与直线 a 不共面
例：图中直线 AB 是异面直线
a、b 的公垂线．
∴直线 a 与直线 L 为异面直线（异面直线的定义）
初中有关知识回顾（简略）
平行线判定方法: 1.同位角相等，两直线平行。2.内错角相等，两直线平行。3.同旁内角互补，两直线平行。 4.平行于同一直线的两条直线互相平行。5.同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 6.同一平面内，永不相交的两条直线平行。 平行线的性质： 如图：已知直线 m//n，直线 L 与直线 m，n 分 别 相 交 于 点 A， 点 B 。 1.两直线平行，同位角相等（如图：∠1=∠2） 2.两直线平行，内错角相等（如图：∠2=∠3） 3.两直线平行，同旁内角互补（如图：∠2+∠4=180°）
∴直线 a 和直线 L 都在平面 α内
B
又 A∈L，L⊂α,所以 A∈α
一般异面直线求角度我们通过平移至相交求其 所成的夹角大小。在一个三角形内解决异面直 线所成的角度是一种常用的方法。 两异面直线间距离: 公垂线段 公垂线段：和两条异面直线都垂直相交的直线 叫做这两条异面直线的公垂线.两条异面直 线，有且只有一条公垂 线。
已知：直线 a// b 求证：经过两条平行直线，有且只有一个平面 证明： 根据平行线的定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行 线 ∴a，b 在同一平面内（a，b∈α） 在直线 a 上取一点A（A∈a） 假设经过直线 a，b 有另一平面 β 则 β过点 A 和直线 b 与推论 1 矛盾 ∴原假设错误 ∴经过两条平行直线，有且只有一个平面
（二）空间两条直线的位置关系（平行、相交、异面）
公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。(平行线的传递性）
如图：
a// b b // c
==> a// c
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
如图：
AC// A’C’ AB// A’B’
==>
∠CAB=∠C’A’B’
立体几何的概念、公理、定理、推论整理(1.2)
高一八单 郭祺整理
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（一）平面的三大基本公理和推论： 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即这条直线在这个面内）
如图：
A∈α B∈α
==> AB⊂α
公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。
证明：∠CAB=∠C’A’B’ 分别在∠CAB 和 ∠C’A’B’的两边上截取 AC=A’C’，AB=A’B’ 连结 AA’，CC’，BB’，CB，C’B’
AB//A’B’ AB = A’B’
==> 四边形 ABB’A’是平行四边形
==> AA’// BB’ ==> BB’ // CC’==> 四边形 CBB’C’是平行四边形 同理，AA’// CC’
推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
a∈α 如图：a∩b＝A ，有且只有一个平面 α，使 b∈α
推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
如图:a//b ,有且只有一个平面 α，使
a∈α b∈α
已知：直线 a∩b＝A 求证：经过两条相交直线，有且只有一个平面 证明： 在 a ,b 上分别取不同于点 A 的点 B 和点 C 则过这不在同一直线上的三个点有且只有一个平面 α（公理 3） ∵A ,B∈b,又 A,B∈α；A，C∈a，又 A , C∈α ∴a，b∈α（公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那 么这条直线就在这个平面内） 因此平面 α是过相交直线 a，b 的平面. 假设过直线 a，b 还有一个平面 β 则 A，B，C∈β 则过 A，B，C 有两个平面 α和 面有且只有一个 ∴经过两条相交直线，有且只有一个平面
※“有”表示存在，“只有”表示唯一，“且”表示联立命题， 所以此问题的证明即要证明“存在性”又要证明“唯一性”。
纠正与补充：
※（注意不仅要证明“有”，还要证明“只有一个”，证明“只 有一个”时使用的是反证法）
反证法一般程序：1.假设结论错误 2.据理推出假设矛盾 3. 否定原假设 4.肯定结论为真
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