2020.西安地区八校联考数学(理)
2020届陕西省西安地区八校联考数学理科试题
2020届陕西省西安地区八校联考数学理科试题数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上． 2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持纸面清洁，不折叠，不破损．5．若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}10A x Z x =∈+≥，(){}lg 3B x y x ==-，则A B ⋂=（ ）． A ．{}0,1,2B ．{}13x x -≤<C ．{}0,1,3,1,2-D ．{}1,2,1,0-2．已知复数z 在复平面上对应的点为()1,2-，i 为虚数单位，则zi=（ ）． A ．2i --B ．12i -+C ．2i -D ．12i --3．函数()3234f x x x =+-的零点个数为（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．34．若已知实数,x y 满足()22,20,13,y x x y y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤≤⎩则241z x y =++的最小值为（ ）．A ．2-B ．3-C ．5-D ．05．从6男4女中任选2男2女担任,,,A B C D 四种互不相同的工作，且每人担任其中的一项工作．若女甲不能担任工作C ，则不同的选派方案种数为（ ）． A ．1800B ．1890C ．2160D ．22106．已知()622a a Z a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项是160-，则函数()af x x =是（ ）． A ．定义域为R 的奇函数 B ．在()0,+∞上递减的奇函数 C ．定义域为R 的偶函数D ．在()0,+∞上递增的偶函数7．已知点()2,3A 到抛物线()20y px p =>的准线的距离为5，则抛物线的焦点坐标为（ ）． A ．（2，0）B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．（0，2）D ．10,32⎛⎫⎪⎝⎭8．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，侧棱长为在同一球面上，则该球的表面积为（ ）．A ．20πB ．16πC ．12πD ．9．若x x ≤≤223x x+≤≤”成立的（ ）． A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10．函数()22cos212sin 2f x x x x =+-的单调递增区间为（ ）． A ．(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．(),21223k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C ．(),612k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．(),123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦11．已知双曲线C ：()2210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线被双曲线C e 为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（ ）．A ．3y x =±B ．5y x =±C ．35y x =±D ．5y x =±12．陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱．戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在[40，44]，[45，49]，[50，54]，[55，59]的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30，现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表[40，44]．由此求得爱看人数比y 关于年龄段x 的线性回归方程为0.4188y kx =-．则年龄在[60，64]的10000人中，爱看秦腔的人数约为（ ）． A ．4200B ．3900C ．3700D ．3500第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，把答案填在答题卷中相应的横线上） 13．已知平面向量(),2a m =，()2,b m =，且//a b a -，则m =______．14．在3与156之间插入50个数，使这52个数成等差数列，则插入的50个数的和等于______．15．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______．16．金石文化，是中国悠久文化之一．“金”是指“铜”，“石”是指“石头”，“金石文化”是指在铜器或石头上刻有文字的器件．在一千多年前，有一种凸多面体工艺品，是金石文化的代表作，此工艺品的三视图是三个全等的正八边形（如图），若一个三视图（即一个正八边形）的面积是(()28dm +，则该工艺品共有______个面，表面积是______．三、解答题（本大题共7小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．已知ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()(222a b c bc --=，2sin sin cos 2CA B =，BC 边上的中线AM ． （Ⅰ）求角A 、C 的大小； （Ⅱ）求ABC △的面积．18．已知四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为平行四边形，M 为CD 的中点，N 为PD 上一点，且12DN NP =（如图）．（Ⅰ）证明：//PB 平面AMN ；（Ⅱ）当平面PAB ⊥平面ABCD ，55566PA PB AD AB ====，120BAD ∠=︒时，求二面角B AM N --的余弦值．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设()()22nn n f n a S =-+-．（Ⅰ）若11a =，23a =，且数列(){}f n 为等差数列，求数列(){}f n 的通项公式； （Ⅱ）若()0f n =对任意n N +∈都成立，求当n 为偶数时n S 的表达式． 20．己知函数()()2sin f x mx x m R =+∈．（Ⅰ）若()f x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，求m 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 的图像在原点处的切线也与函数()ln 1g x x x =+的图像相切，求m 的值．21．已知A ，B ，C 顺次是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点、上顶点和下顶点，椭圆E的离心率2e =12AB AC ⋅=． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若斜率为1111k k ⎛-<< ⎝⎭的直线l 过点()()0,4m m k ≠-，直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆经过点A ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xoy 中，直线l经过点()P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线S的参数方程为1x ky ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（k 为参数），曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （Ⅰ）求曲线S 的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围． 23．[选修4—5：不等式选讲] 已知函数()25f x x x x =---． （Ⅰ）求不等式()238f x x ≥-的解集；（Ⅱ）若存在[]00,6x ∈，使()042f x a ≥--成立，求a 的取值范围．。
陕西省西安市八校2020-2021学年高三上学期第一次联考理科数学试题
故恰有一件商品的位置不变的摆放方法有 种，
故答案为：45．
16．
【分析】
由零点存在性定理得出关于 的不等式组，画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.
【详解】
二次函数 有两个零点 ，且
则 ，
画出不等式组表示的平面区域，如图阴源自部分，由图可知， ，联立 ，解得 ．
直线 的斜率为 ，
15．将摆放在编号为 五个位置上的 件不同商品重新摆放，则恰有一件商品的位置不变的摆放方法数为_________．（用数字作答）
16．已知函数 有两个零点 且 ，则直线 的斜率的取值范围是_________．
三、解答题
17．已知{an}为等差数列，各项都为正数的等比数列{bn}的前n项和为Sn，且 ， ， ， ．
（1）求 ､ 的通项公式；
（2）求和 ．
18．已知正四面体 分别在棱 上，且 为棱 上任意一点（不 与 重合）．
（Ⅰ）求证：直线 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
19．已知椭圆 ，F1､F2分别为椭圆C的左､右焦点，P为椭圆C上的任一点，且|PF2|的最大值和最小值分别为3和1，过F2的直线为l．
，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】
思路点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
19．（1） ；（2）3．
陕西省西安地区2019-2020高三上学期第一次八校联考理科数学试题(wd无答案)
陕西省西安地区2019-2020高三上学期第一次八校联考理科数学试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则A．B．C．D．(★★) 2. 已知复数在复平面上对应的点为，为虚数单位，则（）．A．B．C．D．(★★) 3. 函数的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3(★★★) 4. 若实数满足，则的最小值为（）A．B．C．D．(★★★) 5. 从6男4女中任选2男2女担任、、、四种互不相同的工作，且每人担任其中的一项工作．若女甲不能担任工作，则不同的选派方案种数为（）．A．1800B．1890C．2160D．2210(★★★) 6. 已知的展开式中第项是，则函数是（）．A．定义域为的奇函数B．在上递减的奇函数C．定义域为的偶函数D．在上递增的偶函数(★★)7. 已知点到抛物线的准线的距离为5，则抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．(★★★) 9. 若为实数，则“ ”是“ ”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 10. 函数的单调递增区间为（）．A．B．C．D．(★★★) 11. 已知双曲线的左焦点为、过且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为（为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．(★★) 12. 陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱．戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在[40，44]，[45，49]，[50，54]，[55，59]的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30，现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表[40，44]．由此求得爱看人数比关于年龄段的线性回归方程为．则年龄在[60，64]的10000人中，爱看秦腔的人数约为（）．A．4200B．3900C．3700D．3500二、填空题(★) 13. 已知平面向量，，且，则______．(★★) 14. 在与之间插入个数，使这个数成等差数列，则插入的个数的和等于__(★★★) 15. 甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______．三、双空题(★★★★) 16. 金石文化，时中国悠久文化之一.“金”是指“铜”,“石”是指“石头”，“金石文化”是指在铜器或石头上刻有文字的器件.在一千多年前，有一种凸多面体工艺品，是金石文化的代表作，此工艺品的三视图是三个全等的正八边形(如图)，若一个三视图(即一个正八边形)的面积是，则该工艺品共有___个面，表面积是_____四、解答题(★★★) 17. 已知的内角、、的对边分别为、、，且，，边上的中线的长为.（1）求角、的大小；（2）求的面积.(★★★) 18. 已知四棱锥中，底面四边形为平行四边形，为的中点，为上一点，且（如图）．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）当平面平面，，时，求二面角的余弦值．(★★) 19. 已知数列的前项和为，设.（1）若，，且数列为等差数列，求数列的通项公式；（2）若对任意都成立，求当为偶函数时的表达式.(★★★) 20. 已知函数在区间上单调递减.（1）求的最大值；（2）若函数的图像在原点处的切线也与函数的图像相切，求的值. (★★★★★) 21. 已知，，顺次是椭圆：的右顶点、上顶点和下顶点，椭圆的离心率，且．（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线过点，直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆经过点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．(★★★) 22. 在直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）若直线与曲线有公共点，求的取值范围.(★★★) 23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使成立，求的取值范围.。
2020年陕西省西安市八校高考(理科)数学联考试卷 (解析版)
2020年陕西省西安市八校高考数学联考试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（2，4）D．（﹣1，3）2．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1+2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1D．1﹣2103．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若复数z＝a+（1﹣a）i的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且z•＝5，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．﹣2+3i4．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④5．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝e|x|•cos x B．f（x）＝ln|x|•cos xC．f（x）＝e|x|+cos x D．f（x）＝ln|x|+cos x6．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．87．（5分）已知p：a＝±1，q：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知圆x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线y2＝2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则r等于（）A．B．C．D．9．（5分）已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos （α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣10．（5分）对于函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R，下列命题错误的是（）A．函数f（x）的最大值是B．不存在x0∈（，）使得f（x0）＝0C．函数f（x）在[，]上单调递减D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．（0，）D．（0，]二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最小值为．14．（5分）从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，则“log m n＞0”的概率为．15．（5分）已知点A、B、C在球心为O的球面上，若AB＝AC＝5，BC＝6，球心O到截面ABC的距离为1，则该球的表面积为．16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD＝1且（a﹣b）sin A＝（c+b）（sin C﹣sin B），则△ABC面积的最大值是．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P﹣CD﹣B为45°角，AD＝2，CD＝3，求PD与平面PCE所成角的正弦值．18．（12分）已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且a1＝1，S n+12＝S n2+1．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和T n．19．（12分）为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.954520．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）＝ln（1+ax）﹣（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1、x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x+1）≥2的解集．（2）若a＞0，b＞0且a+b＝f（3），求证：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（2，4）D．（﹣1，3）【分析】解不等式得集合A，根据交集的定义写出A∩B．解：集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|x＞2}，故选：C．2．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1+2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1D．1﹣210【分析】通过a n+1+2a n＝0可确定数列{a n}是公比为﹣2的等比数列，进而通过a2＝2可知首项a1＝﹣1，利用等比数列的求和公式计算即得结论．解：∵a n+1+2a n＝0，∴数列{a n}是公比为﹣2的等比数列，∴a2＝（0﹣a4）＝﹣1，故选：B．3．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若复数z＝a+（1﹣a）i的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且z•＝5，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．﹣2+3i【分析】由已知求解a的范围，再由z•＝|z|2＝5列式求解a值．解：z＝a+（1﹣a）i的共轭复数＝a+（a﹣1）i，对应点的坐标为（a，a﹣1），又z•＝|z|2＝a8+（a﹣1）2＝3，解得a＝﹣1（a＜0）．故选：A．4．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④【分析】由线面垂直及线线垂直的几何特征可判断①的真假；由线面垂直的性质定理可判断②的真假；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可判断③的真假；由面面平行的性质及几何特征可判断④的真假，进而得到答案．解：或n⊂α，故①错误；由线面垂直的性质定理可得，故②正确；由面面平行的性质及几何特征可得或m，n异面，故④错误；故选：A．5．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝e|x|•cos x B．f（x）＝ln|x|•cos xC．f（x）＝e|x|+cos x D．f（x）＝ln|x|+cos x【分析】采用排除法排除A，B，C．解：由图可知f（）＞0，故可排除A，B；对于C：f（x）＝e|x|+cos x，当x∈（0，1）时f（x）＞3，故可排除C．故选：D．6．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【分析】利用向量共线定理推出a，b的关系，进而解出的最小值解：∵A，B，C三点共线，∴，共线，可解得，b＝2﹣2a∴＝＝故选：B．7．（5分）已知p：a＝±1，q：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝lna＝0，解得a．即可判断出结论．解：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝ln（﹣x+）+ln（x+）＝lna＝0，∴p是q成立的必要不充分条件．故选：B．8．（5分）已知圆x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线y2＝2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则r等于（）A．B．C．D．【分析】先得C的坐标，根据ABCD为矩形得A的坐标，再代入抛物线可得．解：易得C（﹣，），则A（，），将A点坐标代入y2＝2x得r2﹣＝1，解得r＝，故选：C．9．（5分）已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos（α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】根据根与系数的关系求出sinα+cosα以及sinαcosα的值，结合α的范围联立解得sinα，cosα的值，再用两角和的余弦公式代入计算即可求出值．解：∵sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），∴sinα+cosα＝，sinαcosα＝﹣，∴cos（α+）＝cosα﹣sinα＝（cosα﹣sinα）＝×（﹣﹣）＝﹣．故选：D．10．（5分）对于函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R，下列命题错误的是（）A．函数f（x）的最大值是B．不存在x0∈（，）使得f（x0）＝0C．函数f（x）在[，]上单调递减D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称【分析】化简函数f（x）的解析式得f（x）＝sin（2x+）+，由三角函数的性质逐个加以判断即可得出答案．解：f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R＝cos2x+sin2x+＝sin（2x+）+，所以f（x）的最大值为，故A正确，所以2x+＝+7kπ或2x+＝﹣+2kπ，k∈Z，故不管k为何整数，上式解都不在区间（，）内，C．由2kπ+≤2x+≤+2kπ，k∈Z，即f（x）在[，]上单调递减，D．把f（）＝sin n（2×+）+＝≠0，故选：D．11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2＝120°，利用余弦定理算出c2＝7a2，结合双曲线渐近线方程即可的结论．解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF8|＝|AB|，又∵|AF2|﹣|AF1|＝2a，∵△AF1F2中，|AF6|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，即4c2＝4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）＝28a2，由此可得双曲线C的渐近线方程为x＝±y＝±y，故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．（0，）D．（0，]【分析】当x≤0时，函数f（x）是双曲线得到渐近线的斜率k＝﹣3，当x＞0时，求函数过原点的切线，根据直线的夹角公式进行求解即可．解：当x≤0时，由y＝得y2﹣9x2＝1，（x≤8），此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为y＝﹣3x，此时渐近线的斜率k1＝﹣3，当x＞0时，f（x）＝1+xe x﹣1，当过原点的直线和f（x）相切时，设切点为（a，6+ae a﹣1），则切线斜率k2＝f′（a）＝（a+7）e a﹣1，即y＝（1+a）e a﹣1（x﹣a）+1+ae a﹣1，即a2e a﹣1+ae a﹣1＝1+ae a﹣1，则切线和y＝﹣5x的夹角为θ，故∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（0，），故选：A．二、填空题（共4小题）.13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最小值为1．【分析】根据题意画出不等式组表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数z的最小值．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示；设z＝x+y，将直线l：z＝x+y进行平移，∴z最小值＝3﹣2＝1．故答案为：1．14．（5分）从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，则“log m n＞0”的概率为．【分析】基本事件总数N＝6×5＝30，log m n＞0包含的基本事件个数M＝2×1+4×3＝14，由此能求出“log m n＞0”的概率．解：∵从、、2、4、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，基本事件总数N＝6×5＝30，从5，3，5，9中取两个数，则“log m n＞0”的概率为P＝＝．故答案为：．15．（5分）已知点A、B、C在球心为O的球面上，若AB＝AC＝5，BC＝6，球心O到截面ABC的距离为1，则该球的表面积为．【分析】根据球的截面圆性质、截面ABC的距离为1，求解△ABC外接圆的半径r，构造勾股定理即可求解．解：由AB＝AC＝5，BC＝6，可知△ABC是等腰三角形，作BC的高线h，可得h＝4，那么sin B＝；可得△ABC外接圆的半径r＝，那么球的R＝＝故答案为：16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD＝1且（a﹣b）sin A＝（c+b）（sin C﹣sin B），则△ABC面积的最大值是．【分析】利用正弦定理可得：a2+b2﹣c2＝ab，①，cos C＝，sin C＝，利用2＝+可得a2+b2+ab＝4，②，由①②可得ab＝4﹣c2，所以面积S＝（4﹣c2）×，再根据c2＝a2+b2﹣ab≥2ab ﹣＝ab＝（4﹣c2），得c2≥，从而可得S的最大值．解：∵，∴由正弦定理可得：，∴由余弦定理可得：cos C＝＝＝，可得：sin C＝＝，由①②得ab＝4﹣c2，S△ABC＝ab sin C＝（4﹣c2）×，∴S△ABC＝（4﹣c2）×≤（4﹣）×＝．故答案为：．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P﹣CD﹣B为45°角，AD＝2，CD＝3，求PD与平面PCE所成角的正弦值．【分析】（1）作PC的中点G，连结FG，EG，证明四边形AEGF为平行四边形，推出AF∥平面PCE．（2）法一：证明PA⊥CD，CD⊥PD，说明∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，设D 到平面PCE的距离为h，由V P﹣DCE＝V D﹣PCE，求出h，然后求解PD与平面PCE所成角的正弦值．法二：证明PA⊥CD，CD⊥PD，说明∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，以A为原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PCE的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：作PC的中点G，连结FG，EG，△PCD中，FG为中位线，FG ∥CD且，由AE∥CD且得四边形AEGF为平行四边形，AF∥EG，∴AF∥平面PCE……………………………（4分）∴CD⊥PD，∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，∴∠PDA＝45°……………………………………（8分）设D到平面PCE的距离为h，由V P﹣DCE＝V D﹣PCE得：S△PCE•h＝S△BCE•PA，（也可以得出二面角为∠PDA后，借助AF⊥平面PCD得EG⊥平面PCD，法二：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，以A为原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以PD与平面PCE所成角的正弦值为．……………………………………（12分）18．（12分）已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且a1＝1，S n+12＝S n2+1．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由等差数列的定义，以及通项公式可得所求；（2）由数列的递推式求得a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣（n≥2），又a1＝S1＝1，所以a n ＝﹣，b n＝＝＝（﹣1）n（+），分别讨论n为奇数或偶数，由裂项相消求和可得所求和．解：（1）a1＝1，S n+12＝S n2+1，所以{S n2}是首项为5，公差为1的等差数列，因为{a n}各项都为正数，（2）a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣（n≥2），b n＝＝＝（﹣1）n（+），当n为偶数时，T n＝﹣1++1﹣（+）+…﹣（+）+（+）＝．所以{b n}的前n项和T n＝（﹣1）n．19．（12分）为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9545【分析】（Ⅰ）直接由频率分布直方图结合公式求得样本平均数和样本方差s2；（Ⅱ）（i）利用正态分布的对称性即可求得P（0.8＜X≤8.3）；（ii）由（i）知学生假期日平均数学学习时间位于（0.8，8.3）的概率为0.8186，且ξ服从二项分布，由二项分布的期望公式得答案．解：（Ⅰ）这100名学生每周平均锻炼时间的平均数═1×0.05+3×0.2+2×0.30+7×0.25+9×0.15+11×3.05＝5.8；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知X服从正态分布N（5.8，6.16），且σ＝≈2.5，（ii）由（i）知每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.7）的概率为0.8186，∴E（ξ）＝5000×0.8186＝4093．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）假设存在直线l，设方程为y＝kx+m，k≠0，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得AB中点坐标，写出AB的垂直平分线方程，把右焦点坐标代入，结合判别式大于0可得结论．解：（1）由已知可得，，解得a＝2，b＝1，c＝．∴椭圆C的方程为；设A（x1，y1），B（x2，y2），∴△＝324k2m2﹣36（1+9k2）（m2﹣1）＞5，即9k2+1＞m2，设AB的中点坐标为M（x0，y0），∴M（﹣，），∵弦AB的垂直平分线过E的右焦点（，0），代入9k2+1＞m2，得，∴不存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点．21．（12分）设函数f（x）＝ln（1+ax）﹣（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1、x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求导得f'（x）＝，易知（1+ax）（x+2）2＞0，于是分0＜a＜1和a≥1两类讨论f'（x）与0的大小关系，即可得f（x）的单调性．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a≥1不符合题意，必有0＜a＜1，且x1、x2是方程ax2+4a﹣4＝0的两个不同实根，由函数的定义域可推出a∈（0，）∪（，1）；将f（x1）+f（x2）化简为ln（2a﹣1）2+﹣2；利用换元法构造新函数g（t）＝lnt2+﹣2，然后分﹣1＜t＜0和0＜t＜1两类讨论g（x）的单调性，并求出相应的最值即可得解．解：（Ⅰ）∵f（x）＝ln（1+ax）﹣，∴f'（x）＝﹣＝．∴（1+ax）（x+2）2＞0，于是f'（x）的正负性由ax2+4a﹣4决定．②当4＜a＜1时，令ax2+4a﹣4＞0，得x＞，∴f'（x）＞8，f（x）单调递增；综上所述，当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（x）存在两个极值点x1、x2，∵函数f（x）的定义域为（，﹣8）∪（﹣2，+∞），f（x1）+f（x2）＝ln（1+ax1）﹣+ln（1+ax2）﹣＝ln（8a﹣1）2﹣＝ln（2a﹣3）2+﹣2．设g（t）＝lnt2+﹣2，①当﹣1＜t＜5时，g（t）＝2ln（﹣t）+﹣2，∴g'（t）＝＝＜0，∴g（t）在（﹣1，0）上单调递减，即当0＜a＜时，f（x1）+f（x2）＜0，不符合题意．②当8＜t＜1时，g（t）＝2lnt+﹣2，∴g'（t）＝＝＜8，∴g（t）在（0，1）上单调递减，即当＜a＜8时，f（x1）+f（x2）＞0，符合题意．a的取值范围为（，1）．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，利用互化公式可得圆C的极坐标方程．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，利用互化公式可得直线l的极坐标方程．（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），由，又|OP|2＝|OR|•|OQ|，即可得出．解：（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，∴圆C的极坐标方程ρ＝3．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，直线l的极坐标方程ρ＝．因为，∴ρ＝．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x+1）≥2的解集．（2）若a＞0，b＞0且a+b＝f（3），求证：．【分析】解法一：（1）去掉绝对值符号，利用分类讨论思想求解不等式的解集即可．（2）要证成立，只需证成立，利用分析法证明求解即可．解法二：（1）作出函数g（x）＝f（2x）﹣f（x+1）利用数形结合转化求解即可．（2）利用综合法转化求解证明成立．【解答】选修4﹣5：不等式选讲，满分（10分）．解法一：（1）因为f（x）＝|x﹣1|，所以，解得x≤﹣1或x∈∅或x≥3，所以不等式的解集为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．……………（4分）所以要证成立，即证，因为a＞0，b＞0，所以根据基本不等式成立，解法二：（3）因为f（x）＝|x﹣1|，作出函数g（x）＝f（2x）﹣f（x+1）的图象（如下图）因为直线y＝2和函数g（x）图象的交点坐标为A（﹣1，4），B（3，2）．……………………………（4分）（2）a+b＝f（3）＝2，……………………………（4分）所以，，……………………………（8分）所以成立．……………………………（10分）。
陕西省西安市八校(陕西师大附中等)2021-2022学年高三上学期联考理科数学试题
西安市教育学会教研信息专业委会员2022届高三卷●启用前机密西安地区陕师大附中西安高级中学西安高新一中西安交大附中西安市83中西安市85中西安市一中西安铁一中西安中学西工大附中八校联考（八校顺序以校名全称按汉语拼音方案字母表顺序排列；再行增减校名时“八校联考”名称不变）2022届高三年级数学（理科）试题命题：特聘教研员文德靖审定：西铁一中广隶审校：朱景峰本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹整洁．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题无效．4．保持纸面清洁，不折叠，不破损．5．若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数据2-，0，1，2，5，6的方差是（）．A ．46B ．233C ．693D ．232．已知全集U N = （N是自然数集），集合{}41,A x x x Z =-<∈，则U A =ð（）．A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}1,2D ．{}0,1,23．已知复数z 满足()()1i 51i z +=+（i 为虚数单位），则z =（）．A ．13i+B ．2i-C ．3i+D ．13i 55+4．如图，在直角AMN △中，90A =︒，B AM ∈，C MN ∈，D AN ∈，2DN =，8BM =．向AMN △中任意投掷一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD 区域内的概率是（）．A ．13B ．49C ．59D ．235．已知双曲线M ：()22108x y a a a -=>+的离心率为2，则双曲线M 的渐近线方程是（）．A ．3y x=±B ．33y x =±C ．3y x =±D ．2y =±6．如图所示算法框图，则输出的z 的值是（）．A ．82-B ．132-C ．212-D ．1327．将函数()sin cos f x x x =+的图像向左平移4π个单位，得函数()y g x =的图像．则34g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）．A ．12B ．1C ．62-D ．1-8．一个空间几何体的三视图如右图所示，三个视图都是外轮廓为边长是4的正方形，则其表面积S =（）．A ．64315+B ．74C ．64103+D ．6486+9．若()523450123452x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a =（）．A ．80-B ．40-C ．40D ．8010．第十四届全国运动会开幕式，于2021年9月15日20点在西安奥体中心隆重开幕．本次盛会的观众席中有1800名是“西安铁一中”师生，这些师生中还有800名学生参加了文艺演出．开幕式之后，在这1800名师生中，按照“参加了演出”和“未参加演出”分层抽样抽取了9名师生，参加“西安电视台”举办的“弘扬十四运精神”座谈会，并且在这9人中随机抽取4人再作问卷，则4人中恰有3人是“参加了演出”的概率是（）．A ．1063B ．2063C ．15126D ．1711．如图，在正方形ABCD A B C D ''''-中，M ，N 分别是A D ''，D C ''的中点，则直线AM 与平面BND 的位置关系是（）．A ．垂直B ．平行C ．相交但不垂直D ．无法确定12．已知函数()247f x x x =-+，()()ln g x ax x a R =-∈，若对()0,x e ∀∈，1x ∃，()()2120,x e x x ∈≠，使得()()()12f x g x g x ==，则a 的取值范围是（）．A ．18,e e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．21,e e⎤⎤⎥⎥⎦⎦C ．28,e e⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中相应的横线上）13．已知向量()1,3a =-，(),4b x = ，且a b ∥，则x =________．14．已知等比数列{}n a 中，11a =，22a =．设n T 为数列{}n a 的前n 项乘积，则满足3023n T ≥的正整数n的最小值是________．15．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，过F 且倾斜角为4π的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，则线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离是________．16．已知ln 2a =，ln 22b -=，()lg ln 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是________．三、解答题（本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．（本小题满分12分）设函数()()2sin cos 102f x x x ωωωπ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期为π．（I ）求ω的值；（II ）设ABC △的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若4a =，6b c +=，()32f A =-，求ABC △的面积ABC S △．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a ，定义：“11S a =，当2n ≥时，123n n S a a a a =---⋅⋅⋅-，则()n S n N +∈叫作数列{}n a 的前n 项差”．设23n a n =-．（I ）求数列{}n a 的前n 项差n S ；（Ⅱ）若2nn b =，n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n M ．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是边长为12，60A ∠=︒的菱形，侧面BPC △是90P ∠=︒的等腰直角三角形，M 为PD 的中点，且平面BPC ⊥平面ABCD ．（I ）求线段AM 的长；（Ⅱ）求直线AM 与平面PBD 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆S ：()222210x y a b a b +=>>的离心率22e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，点(2,P 在椭圆S上，过2F 的直线l 交椭圆S 于A ，B 两点．（I ）求椭圆S 标准方程；（Ⅱ）求1ABF △的面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()()()2ln 2f x ax x a R =+-∈．（I ）求()f x 的极值；（Ⅱ）若12x e≤-（e 为自然对数的底数）时()()1422f x a x ≤--恒成立，求a 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．22．[选修4-4极坐标与参数方程]（本小题满分10分）已知极坐标系与直角坐标系的极点与原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合，有相同的单位长度．在直角坐标系中，曲线S 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 过点()3,1P --．（I ）求曲线S 极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线S 交于A 、B 两点，求AB 的最小值及AB 最小值时直线l 的方程．23．[选修4-5不等式选讲]（本小题满分10分）已知()315f x x x x =-+++-．（I ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）求不等式()2f x x ≥的解集．西安地区“八校”2022届高三年级联考●理数试题参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，共60分．题号123456789101112答案BACBACDDBABC提示：12．()()()0,f x x e ∈的值域为[)3,7，()()()10,g x a x e x'=-∈，当1a e≤时，()0g x '<，()g x 在()0,e 上单调递减．当1a e >时，由()0g x '=时得到()10,x e a=∈，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1,x e a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 在1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增．得min 1()1ln g x g a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，又()1g e ea =-，0x +→时，()g x →+∞．由题意，得1ln 3,17,1a ea a e ⎧⎪+<⎪-≥⎨⎪⎪>⎩得28a e e ≤<．选C ．二、填空题：每小题5分，共20分．13．43-；14．9；15．4；16．a b c >>．提示：16．0c <．设ln 2x <，()2xf x a b x -=-=-．∵232e e <<，∴213x <<．又()12ln 20xf x -'=+>．()f x 在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，得()1233224322336f x f --⨯⎛⎫>=-=⎪⎝⎭．∵31334643254⎛⎫=>⨯= ⎪⎝⎭，∴13432>⨯，∴()0f x >，得a b c >>．三、解答题：共70分．17．解：（I ）()()()22sin sin 12sin 1cos 220f x x x x x ωωωωω=--=--=->．∵()f x 的最小正周期是π，∴2ππ2ω=，得1ω=．（II ）由（I ）得()cos 22f x x =-．∴()3cos 222f A A =-=-，得1cos 22A =，又0A <<π，022A <<π．∴π23A =或5π23A =，得π6A =或5π6A =．①当π6A =时，由余弦定理得()2222π342cos 2262b c bc b c bc bc =+-=+--⨯．又6b c +=．∴2246222bc bc =--⨯，得(202bc ==-．∴((111sin 20252222ABC S bc A ==⨯⨯=△．②当5π6A =时，由余弦定理同理得(202bc =+．∴((111sin 20252222ABC S bc A ==⨯+⨯=+△．综上所述，当π6A =时，(52ABC S =-△；当5π6A =时，(52ABC S =+△．18．解：（I ）∵23n a n =-，∴11a =-，11S =-．当2n ≥时，()()()212311231233422122n n n n n n n S a a a a a a a a a -+---=---⋅⋅⋅-=-+++⋅⋅⋅+=⨯--=，满足11S =-．∴2342n n n S --=．（II ）()232nn n n c a b n =⋅=-⋅．()23124272232n n M n =-⨯-⨯-⨯+⋅⋅⋅+-⨯①∴()23412124272232n n M n +=-⨯-⨯-⨯+⋅⋅⋅+-⨯②①-②得()2341232323232232n n n M n +-=--⨯-⨯-⨯+⋅⋅⋅-⨯--⨯()()()111121222321053212n n n n n -++-=----⨯=--⋅-．∴()153210n n M n +=-⋅-．19．解：（I ）设BC 的中点为O ，连接PO ，DO ，则由题意，得6PO =，DO =OD ，OC ，OP 两两互相垂直．以O 为原点，直线OC ，OD ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．则()0,0,0O ，()0,0,6P，()D ，()6,0,0B -，()A -．得()M ．∴AM =．∴线段AM 的长为（II ）由（I ）得()12,AM =- ，()6,0,6BP =，()6PD =- ．设平面PBD 的一个法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n BP nPD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即660,60,x z z +=⎧⎪⎨-=⎪⎩即0,0,xz z +=⎧⎪-=取1y =，得z=，x =(n = ．设直线AM 与平面PBD 所成角为θ，则2105sin cos ,35n AMn AMn AMθ⋅==．∴直线AM 与平面PBD 所成角的正弦值为210535．20．解：（I ）设椭圆S 的半焦距为()0c c >，由题意，得(22222222,2,21,c a a b c ab ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解之得2,2,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆S 的标准方程为22184x y +=．（II ）由（I ）得()12,0F -、()22,0F ．设l ：2x my =+，代入22184x y +=，得()222440m y my ++-=设()11,A x y ，()22,B x y ．则12242m y y m +=-+，12242y y m =-+∴1222y y m -===+∴()1121221821211ABF S F F y y m =-=≤=++△．当且仅当211m +=，即0m =时，等号成立，故1ABF △的面积的最大值为21．解：（I ）()f x 的定义域为(),2-∞．()122f x a x'=--（2x <，a R ∈）．当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在(),2-∞上单调递减，()f x 无极值．当0a >时，由()0f x '=，得1122222x a a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，当122x a <-时，()0f x '>，()f x 在1,22a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增．当1222x a -<<时，()0f x '<，()f x 在12,22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．()f x 在122x a =-处取得极大值，()f x 无极小值．()()1241ln 202f x f a a a a ⎛⎫=-=--> ⎪⎝⎭极大值．综上所述，当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极大值，极大值为41ln 2a a --，无极小值．（II ）若12x e≤-（e 为自然对数的底数）时()()1422f x a x ≤--恒成立，即()()12ln 2422ax x a x +-≤--恒成立，就是()()()1122ln 2222a x x x x e ⎛⎫-≥-+≤- ⎪-⎝⎭，即()()2ln 21122222x a x x e x -⎛⎫≥+≤- ⎪-⎝⎭-恒成立．设122x t x e ⎛⎫-=≤-⎪⎝⎭，则2x t =-，1t e ≥．设()2ln 112t g t t t t e ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭．则()2321ln 11111ln t g t t t t t t t e -⎛⎫⎛⎫'=-=--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．令()10g t t e ⎛⎫'=≥⎪⎝⎭，即2111ln 0t t t ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，11ln 0t t --=，显然，1t =是方程的一个解．设()11ln t t tϕ=--，()()2110t t t tϕ'=-+>，由()0t ϕ'=得1t =，当11t e ≤<时，()0t ϕ'>，()t ϕ在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，当1t >时，()0t ϕ'<，()t ϕ在()1,+∞上单调递减．∴()()10t ϕϕ≤=（仅在1t =时等号成立），得()10g t t e ⎛⎫'≤≥⎪⎝⎭．得()g t 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减．∴当1t e =时，()g t 取最大值221ln111212e e g e e e e ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭∴当12x e =-时，()()2ln 21222x x x -+--取最大值22e e -．∴222e a e ≥-，即222424e e e e a -≥-=.得a 的取值范围为22,4e e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．22．解：（I ）将参数方程的参数θ消去，得曲线S 的普通方程为()()22219x y ++-=，即22424x y x y ++-=．将222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上述方程，得曲线S 极坐标方程为24cos 2sin 40ρρθρθ+--=．（II ）由（I ）知在直角坐标系中曲线S 是以()2,1M -为圆心，半径为3的圆，点()3,1P --在M 内．∴当MP AB ⊥时AB 最小．∵MP ==，∴min 4AB ==．∵()11232MP k --==---，112AB MP k k =-=-．∴直线l 方程为()1132y x +=-+，即250x y ++=．∴AB 的最小值为4，AB 最小值时直线l 的方程为250x y ++=．23．解：（I ）方法一：()37,1,9,13,3,35,37, 5.x x x x f x x x x x -+<-⎧⎪-+-≤<⎪=⎨+≤≤⎪⎪->⎩当1x <-时，()10f x >；当13x -≤<时，()610f x <≤；当35x ≤≤时，()68f x ≤≤；当5x >时，()8f x >．∴()6f x ≥（3x =时，()6f x =），即()f x 得最小值是6．方法二：()315315f x x x x x x x =-+++-=-+++-．()f x 的三个零点（即每个绝对值等于零时x 的取值）为3，1-，5，且135-<<．∴当3x =时，()()min 516f x =--=．（II ）由（I ）得不等式()2f x x ≥等价于下面的不等式组①1,372,x x x <-⎧⎨-+≥⎩或②13,92,x x x -≤<⎧⎨-+≥⎩或③35,32,x x x ≤≤⎧⎨+≥⎩或④5,372,x x x >⎧⎨-≥⎩由①得1x <-，由②得13x -≤<，由③得3x =，由④7x ≥．∴不等式()2f x x ≥得解集为{}{}{}{}{}113373,7x x x x x x x x x x x <-⋃-≤<⋃=⋃≥=≤≥或．。
【KS5U解析】陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考理科数学试题(B卷) Word版含解析
13.若函数 为奇函数，则 ______.
【答案】1.
【解析】
【分析】
依据函数 为奇函数，由 为偶函数求解.
【详解】∵函数 为奇函数，
∴函数 为偶函数，
∴ .
故答案为：1
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，属于基础题.
14.设 为单位向量，且 ，若以向量 为邻边的三角形的面积为 ，则 的值为__________．
7.我国南宋有名数学家秦九韶发觉了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝ .若a2sinC＝4sinA，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为( )
A. B.2C.3D.
【答案】A
【解析】
考点：1、分布计数乘法原理；2、分类计数加法原理.
【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，肯定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理争辩时，既不能重复交叉争辩又不能遗漏，这样才能提高精确率.
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ， ，三棱锥 的体积为 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）分别证明 和 即可；
（2）建立空间坐标系，利用向量法求解.
【详解】（1）∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ 平面 ；
（2）设 ，棱台的高为 ，以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
【精准解析】陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考理科数学试题
【详解】对于
A,B
两个选项，
f
π 2
0
，不符合图像，排除
A,B
选项.对于
C
选项，
f 1 e cos1 1，不符合图像，排除 C 选项，故选 D.
【点睛】本小题主要考查根据函数图像选择相应的解析式，考查利用特殊值法解选择题，属
于基础题.
6. 设 e1, e2 是平面内两个不共线的向量， AB (a 1)e1 e2, AC be1 2e2 （a＞0，b＞0），
A. 1 2i
【答案】A
B. 1 2i
C. 2 i
D. 2 3i
【解析】
【分析】
由题意可得 a2 1 a2 5 ，解得 a 1或 a 2 ，据此可知 z 1 2i 或 z 2 i ，结合
共轭复数的特征确定 z 的值即可.
【详解】由 z z 5 可得 a2 1 a2 5 ，解得 a 1或 a 2 ，
3 2
sin
2x
sin
2x
6
1 2
，
f (x) 的最大值是 3 ，A 正确． 2
x0
5 6
,
4 3
时，
2x
6
11 6
, 17 6
，
sin
2
x
6
1 2
，
f
(x)
0
无解，B
正确；
-7-
x [ 6
,
2
] 时，
2x
6
2
，7 6
，
f
(x)
递减，C
正确；
f
5 12
sin
1 2
2
2
2 2
5 5
2
【KS5U解析】陕西省西安地区八校联考2020届高三下学期高考押题卷理科数学试题 Word版含解析
A. 100，8B. 80，20C. 100，20D. 80，8
【答案】A
【解析】
由题设中供应的直方图与扇形统计图可知样本容量是 ，其中对四居室满足的人数为 ，应选答案A．
（1）求该选手被淘汰的概率；
（2）该选手在被考核中回答问题的个数记为 ，求 的分布列和数学期望.
【答案】（1） ；（2）分布列见解析；期望为 .
【解析】
【分析】
（1）设“该选手能正确回答第 轮问题”为大事 ，则“该选手被淘汰”为大事 ，再利用互斥大事、相互独立大事概率计算公式和题中所给数据，即可求出该同学被淘汰的概率．；
【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，直线与抛物线的综合应用，属于中档题.
21.已知函数 ， ，其中 是 的导函数.
（1）求函数 （ 为常数）的单调区间；
（2）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先对函数 求导，再对 分类争辩推断函数的单调性即可得出结论；（2）由题意转化已知条件令 ，求导，再对 分类争辩推断函数的单调性求最值即可求出实数 的取值范围.
12.设向量 ， ， .则函数 的最大值是（）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
依据向量的数量积公式、二倍角公式和辅角公式化简，可得 ，再依据 和三角函数的性质，即可求出结果.
【详解】由题意可知，
又 ，
所以当 时，即 时， 取最大值，