导数在经济分析中的应用

导数在经济分析中的应用

一、 边际分析与弹性分析

1、边际分析

例1 某小型机械厂主要生产某种机器配件，其最大生产能力为每日100件，假设日产品的成本C （元）是日产量x （件）的函数

求：（1）日产量为75件时的成本和平均成本；

（2）当日产量由75件提高到90件时，成本的平均增量；

（3）当日产量为75件时的平均成本。

例 2 设某糕点厂生产某种糕点的成本函数和收入函数分别是2()10020.02C x x x =++和2()70.01.R x x x =+ 求边际利润函数和当日产量分别为200公斤、250公斤和300公斤时的边际利润，并说明其经济意义。

2、弹性

例3 某日用消费品的需求量Q （件）与单价p （元）的函数关系为

求：（1）需求的价格弹性函数；

（2）当单价为4元，5元时的需求弹性。

二、函数最值在经济中的应用

1、平均成本最小

例4 某工厂生产产量为x （件）时，生产成本函数（元）为

问该厂生产多少件产品时，平均成本达到最小？并求出最小平均成本和边际成本.

2、最大利润

例5 某商家销售某种商品的价格满足关系70.2(/)p x =-万元吨，且x 为销售量（单位：吨），该商品的成本函数为()31C x x =+（万元）。

（1） 若每销售1吨商品政府要征税t （万元），求该商家获得最大利润时的销售量；

（2） t 为何值时，政府税收总额最大。

3、最佳批量和批数

例6 某厂年需某种零件8000个，需分期分批外购，然后均匀投入使用（此时平均库存量为批量的一半）。若每次订货的手续费为40元，每个零件的库存费为4元。试求最经济的订货批量和进货批数。

4、最佳时间决策

例7 某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在（假定0t =）就出售，售价为0R 元. 如果窖藏起

来待将来按陈酒价格出售（假设不计储藏费），那未来收入就是时间t 的函数0R R =设资金的贴现率为r ，并以连续复利计息，为使收入的现值最大，应在何时出售这批酒？ 习题

1、 设某产品的价格和销售量的关系为105

Q p =-. （1） 求需求量为20和30时的收益R ，平均收益R 和边际收益R '；

（2） 当Q 为多少时，收益最大？

2、 设某商品的需求量Q 对价格p 的函数为250000p Q e

-=。

（1） 求需求弹性；

（2） 当商品的价格10p =元时，再增加1%，求商品需求量的变化情况。

3、 某食品加工厂生产某类食品的成本C （元）是日产量x （公斤）的函数

问该产品每天生产多少公斤时，才能使平均成本达到最小值？

4、 某化肥长生产某类化肥，其成本函数23()1000600.30.001C x x x x =+-+（元），需求函数为208003

x p =-

（吨），问销售量为多少时，可获得最大利润，此时价格为多少？ 5、 某商品每年销售某种商品a 件，每次购进的手续费为b 元，而每件每年库存费为c 元，在该商品均匀销售的情况下（此时商品的平均库存数为批量的一半），问商店分几批购进此种商品，方能使手续费及库存费只和最少？

6、 设生长在某块土地上的木材价值L 是时间t 的函数L =t 以年为单位，L 以万元为

单位，假设在树木成长期间的养护费不计，又资金的年贴现率0.05r =，按连续复利计算，何时伐木销售，可使收益的现值最大？其现值又为多少？