立体图形的投影

AB
2. 圆 锥
圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可看作直线绕与它相 交的轴线旋转而成。
二、圆锥----由圆锥面、底面围成
圆锥面---一直线绕与它相 交的轴线回转而成。
圆锥立体分析:当圆锥的轴 线是铅垂线时,底面为水 平面，圆锥面上的所有 素线都是通过锥顶的直 线。
图3-10 圆锥的形成
1.圆锥的投影
第4章 立体的投影及表面交线
4.1 基本体的投影 4.2 平面与立体相交 4.3 立体与立体相交
第4章 立体的投影
本章教学目标要求:
⑴掌握常见平面体和回转体的投影特征及其作图要领。
⑵掌握在平面体和回转体表面取点的作图方法。
⑶熟悉特殊点的几何意义及其作图要领。
⑷掌握平面与立体相交的分析方法和作图方法。
或转折）
4.1.1 三面投影与三视图
主视图 Z 左视图
O
X 俯视图
YW
YH
三视图的位置关系和投影规律
上
上
左
右高
后
前
下
下
长
宽
后
左
右宽
前
主、俯视图 长对正 主、左视图 高平齐 俯、左视图 宽相等
§4-1 立体及其表面上的点与线
任何机械零件，从几何学角度来分析，它们总可以看作 是由一些简单的几何体组合而成的。所以，我们把这些简单的
截平面 截断面
截交线
图3-19 截交的基本概念
截切： 用平面与立体相交，截去立体的一部分。
截平面 :用以截切物体的平面。 截交线 :截平面与物体表面的交线。
截断面 :因截平面的截切，在物体上形成的平面。
讨论的问题：截交线的分析和作图 。
4.1 平面立体的截切
一、平面立体截切的基本形式
截交线的性质：
转向轮 廓素线
圆柱的投影分析: • 顶面、底面的水平投影重
合为一圆，正面投影和侧 面投影分别重影为两直线； • 圆柱面的水平投影积聚为 一圆，正面投影和侧面投 影分别画出转向轮廓素线 的投影。
图3-8 圆柱的投影
作圆柱投影图
圆柱的投影特性: • 回转轴线用点划线表示； • 水平投影积聚为一圆； • 正面投影和侧面投影均
A X
a
Z
采用平面上取点法
c' S
作图方法1 s"
s'
(n ) m
M
C O
B
m
a" (c")
b"
sc
m
b
(a) 直观图
a' b'
c'
a
n
s
c
m
b
(b) 投影
s"
n m
a"(c") b"
2. 棱锥表面上点的投影
已知棱面SAB上点M的正面投影m'和棱面SAC上点N
的水平投影n。求作M、N两点的其余投影。
3.1.3 曲面立体
圆柱
圆锥
圆球
表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立 体，常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。
曲面可看作由一条母线按一定的规律运动所形成， 运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母线称为素 线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。
§3-2 回转体
回转体-----由回转面或回转面和平面围成的立体
Z
作图方法2
注意： 分清直线所在表面，求
s'
出与所有棱线的交点。
m
c' S
s"
a' b'
s'
s"
m
m
M
m
A X
C a" O (c")
B
b"
a
sc
m
b
(a) 直观图
a' b'
c' a"(c") b"
as
c
m
b
(b) 投影
2. 棱 锥
(1) 棱锥的投影
s
s
b’
a’
c’
a”
b
b”(c”) c
B s
a
S
(d)
作球的投影图
球的投影特性
• 三个投影均为平行于投 影面的最大圆的投影 （转向轮廓线的投影）；
• 圆的直径=球的直径；
• 三个圆均无积聚性。
图3-14 圆球的投影
2.球面上取点 已知球面上点A的正面投影，求水平投影ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ侧面投影。 用辅助纬圆法作图
a'
a"
A
辅助纬圆
a
(a) (b)
图3-15 球面上取点
为矩形。
图3-8 圆柱的投影
2.圆柱面上取点 已知圆柱面上M点和N点的正面投影，求水平投影和侧面
投影。
分析：点在圆柱面上，利 用水平投影积聚性，可以 求出点M和点N的水平投 影。
作图：
(m' )
n'
m" (n")
m
n
图3-9 圆柱面上取点
(1) 圆柱的投影
(2) 圆柱表面上取点 ()
c”
(D) C
转向轮 廓素线
圆锥的投影分析:
• 底面的水平投影反映实形 为一圆，正面投影和侧面 投影分别重影为一直线；
• 圆锥面的水平投影为一圆， 正面投影和侧面投影分别 画出转向轮廓素线的投影。
图3-11 圆锥的投影
作圆锥投影图
圆锥的投影特性:
• 回转轴线用点划线表示；
• 水平投影为一圆（底面轮廓 线），无积聚性；
1. 圆 柱
圆柱由圆柱面、顶面、底面所围成。圆柱面可看作直线 绕与它相平行的轴线旋转而成。
一、圆柱-----由圆柱面、顶面、底面围成
圆柱面---一直线绕与它平行 的轴线回转而成。
圆柱立体分析:当圆柱的轴线 是铅垂线时,圆柱面上的所 有素线都是铅垂线,顶面和 底面为水平面。
图3-7 圆柱的形成
1.圆柱的投影
几何体称为基本形体。
一、平面立体
由平面围成的立体称为平面立体。
1、棱柱及其投影特性 2、棱锥及其投影特性
二、曲面立体
由曲面或曲面和平面共同围成的立体称为曲面立体。
§4-1 平面立体
平面立体——由若干个平面围成的实体。
工程上常用的平面立体是棱柱（主要是直棱柱）和棱锥 （棱台）。
棱柱
棱锥
棱台
图3-1 平面立体
(1) 圆锥的投影
(2) 圆锥表面上取点
辅助素线法 辅助圆法
3. 圆 球
球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线旋 转而成。
三、圆球-----由球面围成
球面---半圆绕其直径为轴 线回转一周而成。
图3-13 圆球的形成
1.球的投影
图3-14 圆球的投影
(a)
(b)
(c) 图3-14 圆球的投影
§4.3 切割体的投影
一、切割体及截交线的概念
切割体——基本体被平面截切后的部分 截平面——截切立体的平面 截断面——立体被截切后的断面 截交线——截平面与立体表面的交线
截交线性质： 1.截交线是截平面与立体表面的共有线。 2.截交线是封闭的线条。 3.截交线的形状取决于: ① 立体表面的几何形状 ② 截平面与立体的相对位置
二、平面立体截交线的画图
• 正面投影和侧面投影为相同的 等腰三角形。
图3-11 圆锥的投影
2.圆锥面上取点
已知圆锥面上点A的正面投影，求水平投影和侧面投影。 作图方法一：辅助纬圆法
辅助纬圆
a'
a"
A
(a)
a
(b) 图3-12 圆锥面上取点
作图方法二：辅助素线法
辅助素线
a'
a"
b'
b"
A
s
ba
(c)
(d)
图3-12 圆锥面上取点
Z s'
作图:
s′
s"
c' S
s"
a' b'
A X
C
a"
O (c")
a′
c′ a"
b′
(c")
b"
a
c
B
b"
s
a
sc
b
(a) 直观图
b
Y
图3-3 正三棱锥的投影
(b) 投影
2. 棱锥表面上点的投影
已知棱面SAB上点M的正面投影m‘和棱面SAC上点N的
水平投影n，求作M、N两点的其余投影。
s'
m
a' b'
4)在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内，两 可见表面相交，其交线为可见。两不可见表面的交 线为不可见。
二、 棱锥
棱锥——底面是多边形，各侧面为若干具有公共顶点 的三角形。 正棱锥——底面为正多边形,各侧面是全等的等腰三角 形的棱锥。
1. 棱锥的投影
S
A
C
B
1. 棱锥的投影
分析:正三棱锥由底面和三个侧棱面组成。正三棱锥的底面为水平面，在 俯视图中反映实形。后侧棱面为侧垂面，在左视图中积聚为一斜线。左 、右侧棱面是一般位置平面，在三个投影面上的投影为类似形。
4.3 平面与立体相交
4.3.1 平面与平面立体相交 4.3.2 平面与曲面立体相交
截交线的概念
截交线
截平面
平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平 面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交 线上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截平面上 又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以 截交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线或者是由曲 线和直线组成的平面图形或多边形。
C A
(2) 棱锥表面上取点
s
s
2 r 1 (3)
2
3 1
b
a c
b(c)
a
br s3
c
1
2
a
3. 棱锥台
棱锥台——由平行于棱底的平面截去锥顶一部分形 成的立体,顶面与底面是相互平行的相似多边形,各侧 面为等腰梯形。
正棱锥台——由正棱锥截得的棱台。
四棱锥台的投影
(a) 直观图
(b) 投影 图3-4 四棱锥台的投影
绘制平面立体的投影，即是绘制平面立体上所有平 面的投影，也就是绘制平面立体上各平面间的交线( 棱线)和各顶点(棱线的交点)的投影。
平面体的投影特征：
⑴体的三面投影图之间保持三等关系，适应整体和每一局部。 ⑵体上各组成平面的投影，一般表现为一个封闭的线框，特殊
积聚为一直线。 ⑶投影图上各线框的分界线，表示物体表面发生变化（凹、凸
• 平面立体的截交线是一个由直线组成的平面封闭多边 形，其形状取决于平面立体的形状及截平面在平面立 体上的截切位置。 • 截交线的每条边都是截平面与棱面的交线(共有性)。
求截交线的实质是求两平面的交线
3.2.1 平面与平面立体相交
由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面多边形， 多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的问题 可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线与平 面交点的问题。
(b) 投影图
2. 棱柱表面上点的投影
由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取 点与在平面上取点的方法相同。
A
B
M
D
C
(a) 直观图
已知六棱柱ABCD侧表面上点M的V面投影m″， 求该点的H面投影m和W面投影m″。
a′ b′
m
m
d′
c′
A
B
M
D
C
(a) 直观图
a(d) m b(c)
(b) 投影图
⑸掌握立体与立体相交的分析方法和作图方法。
本章重点难点：
⑴截交线的形状特征分析和投影作图。
⑵辅助平面法作图的原理及方法。
⑶相贯线的形状特征分析和投影作图。
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4.1 基本体的投影
4.1.1 三面投影与三视图 4.1.2 平面立体 4.1.3 曲面立体
按照一定规则形成的简单立体称为基本体，基 本体分为平面立体和曲面立体两类。
用辅助正平圆作图
a"
a'
A
辅助纬圆
a
(c)
(d)
图3-15 球面上取点
(1) 圆球的投影
(2) 圆球表面上取点
四、不完整曲面立体的投影
图3-16 不完整曲面立体的投影
图3-10 开槽半圆球 (a) 开槽半圆球；(b) 画槽的底面投影；(c) 画槽的侧面投影
图3-10 开槽半圆球 (a) 开槽半圆球；(b) 画槽的底面投影；(c) 画槽的侧面投影
点的可见性判别： 若点所在平面的投
影可见，点的投影可 见；若平面的投影积 聚成直线，点的投影 也可见。
平面立体投影可见性的判别规律
1)在平面立体的每一投影中，其外形轮廓线都是 可见的。
2)在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内的直 线的可见性，相交时可利用交叉两直线的重影点来 判别。
3)在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内，若 多条棱线交于一点，且交点可见，则这些棱线均可 见，否则均不可见。
a
(a)
(b)
b
b a
一、 棱柱
直棱柱——顶面和底面是两个全等且相互平行的多边 形（特征面），各侧面为矩形。 正棱柱——顶面和底面为正多边形的直棱柱。
1. 棱柱的投影
1. 棱柱的投影 分析:正六棱柱由顶面、底面和六个侧棱面组成。正六棱
柱的顶面、底面为水平面，在俯视图中反映实形。
作图:
(a) 直观图 图3-2 正六棱柱的投影
母线
(a)
(b)
图3-5 回转体和回转面的形成
轴线
•一动线绕一定线回转一周后形成的曲面称为回转面。
•形成回转面的定线称为轴线,动线称为母线,母线在 回转面上任意位置称为素线。
工程上常见的回转体有圆柱、圆锥、球、圆环等。
(a) 圆柱
(b) 圆锥
(c) 圆球
图3-6 常见的回转体
(d) 圆环
绘制回转体的投影，即是绘制回转体的回转面和 平面的投影，也就是绘制回转体的轮廓线、尖顶 的投影以及转向轮廓线。
小结
1.平面立体投影的作图可归结为绘制平面（立 体表面）和（棱）线投影的作图。
2.在立体表面上取点、取线的方法与在平 面上取点、取线的方法相同。
——如果点或直线在特殊位置平面内，则作图 时，可充分利用平面投影有积聚性的特点，由 一个投影求出其另外两个投影；
——如果点或直线在一般位置平面内，则需过 已知点的一个投影作辅助线，求出其它投影。
•平面立体侧表面的交线称为棱线。 •若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱。 •若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥。
3.1.2 平面立体
棱柱
棱锥
表面均为平面构成的立体称为平面立体，平面 立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平面立 体有棱柱、棱锥和棱台等。
1. 棱 柱
(1) 棱柱的投影
(2) 棱柱表面上取点