离散数学 第5章 树及其应用
离散数学中的图的树与生成树的计数
在离散数学中，图是一个由点和边组成的抽象数学模型。
其中，树是一种特殊的图，它是一个无环连通图。
在图论中，树扮演了重要的角色，它具有许多有趣的性质和应用。
而生成树则是树的一个特殊子集，它由给定图中的所有顶点和部分边构成。
本文将介绍图的树的基本概念，并探讨生成树的计数方法。
首先，让我们来看看图的树。
树是一种无环连通图，其中任意两个顶点之间存在唯一一条路径。
它具有以下性质：1.n个顶点的树有n-1条边。
这可以通过归纳法证明：当n=1时，结论成立；假设n=k时成立，那么n=k+1时，只需要添加一个顶点和一条边，即可构成n=k+1个顶点的树。
因此，结论成立。
2.连接树上任意两个顶点的边都是桥。
即如果一条边被删除，那么树就会变成两个或更多个不相连的子树。
3.树是一个高度平衡的结构。
对于一个n个顶点的树，任意两个叶子结点之间的路径长度至多相差1。
4.树的任意两个顶点之间有唯一一条路径，路径长度为顶点之间的边数。
接下来，让我们来讨论生成树的计数方法。
生成树是树的一个特殊子集，它是由给定图中的所有顶点和部分边构成。
生成树的计数在图论中具有重要的意义和应用。
对于一个具有n个顶点的连通图来说，其生成树的个数可以通过Cayley公式计算得到。
Cayley公式是由亚瑟·凯利于1889年提出的，它给出了完全图的生成树数目。
据此，我们可以得到生成树的计数公式为：T = n^(n-2)，其中T表示生成树的个数。
此外，还有一种常见的计数方法是基于度数矩阵和邻接矩阵的矩阵树定理。
矩阵树定理由高斯于1847年提出，它提供了一种计算图的生成树个数的方法。
根据矩阵树定理，一个无向图G的生成树数目等于该图度数矩阵的任意一个(n-1)阶主子式的行列式的值。
其中，度数矩阵是一个对角矩阵，它的对角线上的元素为各个顶点的度数。
邻接矩阵则是一个关于顶点间连接关系的矩阵，其中1表示相邻顶点之间存在边，0表示不存在边。
除了数学方法，还存在一种基于图的遍历的计数方法，称为Kirchhoff矩阵树定理。
离散数学-图论-树
二叉树
• 定义:二元有序树称为二叉树.
– 每个顶点最多有两个子顶点,一般称为左子顶 点和右子顶点. – 类似地,称每个顶点的左子树和右子树. – 每个顶点的出度都是0或2,称为二叉正则树.
二叉树的性质
• 定理:设有二叉树T, (1)第i层最多有2i个顶点; (2)若T高度为h,则T最多有2h11个顶点，最 少有h个顶点; (3)树叶个数出度为2的顶点个数1.
1 2
Huffman树与最优编码
• 若以符号为树叶,符号概率为树叶的权,利 用通过Huffman算法得到的二叉树对符号 编码,则可以保证i pili最小. • 例:对1,1,2,3,5,6,7,8构造Huffman树.
7 3 2 1 1 5 6
8
编码：设 A, B, C, D 的频率（即权值）分别为 17％, 25％, 38％, 20％， 试设计哈夫曼编码（最佳前缀码/最优编码）。
最优编码
• 构成消息的各符号的使用频率是不一样 的,显然常用符号编码短一些,罕用符号编 码长一点,可以使传输的二进制位数最少. • 最优编码问题:给定符号集{a1,a2,...,am}, ai 的出现概率是pi,编码长度为li,要使i pili最 小.
例：如果需传送的电文为 ‘A B A C C D A’，它只用到四种字符， 用两位二进制编码便可分辨。假设 A, B, C, D 的编码分别为 00， 01，10，11，则上述电文便为 ‘00010010101100’（共 14 位）， 译码员按两位进行分组译码，便可恢复原来的电文。 数据的最小冗余编码问题 在编码过程通常要考虑两个问题 译码的惟一性问题
5 1 5 6 6
U 1
1 5 6 1 5 5 4 6 5 4 5 5
2
离散数学中的生成树与生成树计数
离散数学是计算机科学中的重要学科，其中生成树是一个重要的概念。
在图论中，生成树是一棵树，它包含了图中的所有顶点，并且是由图边组成的无环连通子图。
生成树在图论中有着重要的应用，特别是在计算机网络、运筹学和电路设计等领域。
生成树的概念与基础就是组成它的边是有限的，并且连接图中的所有顶点，但没有形成圈回到起点。
生成树通常是用来描述一个系统的最小连接方式。
生成树可以应用于计算机网络的设计中，用于构建最小生成树算法，以便在网络中选择最小的数据传输路径。
此外，在运筹学中，生成树被用于求解最小生成树问题，即为一个加权图找到一棵包含所有顶点的生成树，使得树中边的权重之和最小。
在离散数学中，生成树计数是一个重要的研究分支。
生成树计数是指对给定图，计算其生成树的数目。
生成树计数的问题可以通过使用基于图论和组合数学的算法来解决。
通常，生成树计数的问题与相应图的特性和性质密切相关。
对于一个简单图来说，如果图中任意两点之间至少有一条边，那么该图一定存在生成树。
对于有 n 个顶点的连通图来说，它的生成树数量可以通过Cayley公式计算得到。
Cayley公式表明，一个有 n 个标号的顶点的完全图的生成树数量等于 n^(n-2)。
而对于非完全图，生成树的计数问题则较为困难。
在处理非完全图的生成树计数问题时，可以使用基于递归和动态规划的算法来解决。
一个常见的方法是使用Kirchhoff矩阵树定理，它将生成树计数的问题转化为计算矩阵的行列式的问题。
Kirchhoff矩阵树定理提供了一种计算给定图的生成树数目的有效算法，通过计算图的基尔霍夫矢量的一个特征值，可以得到图的生成树的数目。
另一个常见的方法是使用Prufer编码，它是一个用于描述无环连通图的序列。
通过Prufer编码，我们可以将计算生成树的问题转化为计数树的问题。
通过对无向图进行Prufer编码，我们可以计算出生成树的数目，并且可以根据生成树的数目来确定该无向图的种类和特征。
武汉大学《离散数学》课件-第5章
vi是终点), 则称为通路, v0是通路的起点, vl是通路的终点, l为通路的长度. 又若v0=vl，则称为回路.
(2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为 初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称 作圈.
32
通路与回路(续)
定理 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的通路. 推论 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的初级通路.
定理 在一个n阶图G中，若存在v到自身的回路，则 一定存在v到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在v到自身的简单回 路，则存在v到自身长度小于等于n的初级回路.
D
D[{e1,e3}]
D[{v1,v2}]
26
补图
定义 设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集, 所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集 的图，称为G的补图，记作 G . 若G G , 则称G是自补图.
例 对K4的所有非同构子图, 指出互为补图的每一对 子图, 并指出哪些是自补图.
图论
1
图论部分
第5章 图的基本概念 第6章 特殊的图 第7章 树
2
第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图 5.2 通路, 回路和图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径, 关键路径和着色
3
5.1 无向图及有向图
▪ 无向图与有向图 ▪ 顶点的度数 ▪ 握手定理 ▪ 简单图 ▪ 完全图 ▪ 子图 ▪ 补图
27
5.2 通路、回路、图的连通性
离散数学PPT课件 5树与生成树(ppt文档)
(b)
4.森林:一个无向图的每个连通分支都是树.如(b)
5.与树定义等价的几个命题
定理8-9.1给定图T,以下关于树的定义是等价的.
⑴无回路的连通图.
⑵无回路且e=v-1 其中e是T的边数,v是T的结点数.
⑶连通的且e=v-1.
⑷无回路但添加一条新边则得到一条仅有的回路.
⑸连通的,但删去任一条边,T便不连通.
v2 71
2 3 2
v3 51
v1 8 v8 7 v5 3 v4
4 2 v7 4
34 6 6 v6
Kruskal算法: 设G是有n个结点,m条边(m≥n-1)的连通图. S=Φ i=0 j=1
将所有边按照权升序排序: 43;1
⑹每对结点之间有一条且仅有一条路.
证明:⑴⑵:已知T是连通无回路图,通过不断地增加T中
的结点数,归纳证明.
当 v=2时, T如右图所示,e=1 显然e=v-1.
以后对T在保证连通又无回路的前提下每增加一个结点,
也增加一条边. 设最后T有v个结点e条边, 所以 e=v-1.
⑵⑶: 已知T是无回路的,且e=v-1.(推出T是连通的) 假设T不是连通的,设T有k个连通分支, T1,T2,...,Tk,(k≥2) 因为它的每个连通分支都是连通无回路的,所以都是树, 设Ti有结点数vi,边数ei, 所以边数 ei =vi-1 设T有v个结点,e条边. 所以
边 e78 e56 e35 e46 e67 e58 e12 e18
权4 4 5 6 6 7 7 8
v2
2 3
7 12
v3 51
v1 8 v8 7 v5 3 v4
离散数学 树(思维导图)
树
1
无向树:连通且不含任何简单回路的无向图称为无向树,简称树。
树中度数为1的顶点称为叶子，度数大于1的顶点称为分枝点
2
树的相关性质
定理1 : 设n(n≥2)阶无向连通图G的边数满足m=n-1,则图G中至少存在两个度数为
1的顶点
定理2 : 设T是(n，m)-无向图，则下述命题相互等价
1.T是树，即T连通且不存在简单回路
2.T的每一对相异顶点之间存在唯一的简单道路
3.T不存在简单回路，但在任何两个不相邻的顶点之间加一条新边后得到的图中存
在简单回路。
(也称作“极大无圈”)
4.T连通，但是删去任何一边后便不再连通，即T 中每一条边都是桥。
(也称作“极
小连通")
5.T是树，即T连通且不存在简单回路
6.T连通且m=n-1
7.T不存在简单回路且m=n-1
定理3 : 无向树都是平面图。
定理4 : 假设无向树T中有aᵢ个度数为i的顶点，aᵢ则T的叶子数为\sum \limits
_{i=3}(i-2) \times a_{i}+2
生成树 : 若连通图G的支撑子图T是一棵树，则称T为G的生成树
或支撑树 一个连通图可以有多个不同的支撑树。
最小生成树 : 给定一个无向连通赋权图，该图所有支撑树中各
边权值之和最小者称为这个图的最小支撑树。
kruskal算法
备注：
1. 根据这个定义，一阶简单图K₁也是树，称作平凡树,它是一个既无叶子又无分枝点的特殊树 由定义可知，树必定是不含重边和自环的，即树一定是简单图。
不含任何简单回路的图称为森林(显然，森林的每个连通分支都是树
2. 无向,连通,m=n-1。
离散数学及其应用课件：树
树
图7-13 二叉树
树
例7.11 计算机中存储的文件目录,目录可以包含子目录
和文件。图7-14用多叉树表示一个文件系统。C表示根目录,
可以表示成根树,内点表示子目录,树叶表示文件或空目录。
树
图7-14 多叉树表示的文件系统
树
2.二叉树的遍历
定义7.10 对于一棵根树的每个结点都访问一次且仅一次
树
图7-16 给定单词二叉搜索树
树
7.2.3 最优二叉树及其应用
1.哈夫曼树
树
例7.14 计算图7-17所示带权二叉树的权值。
图7-17-带权二叉树
树
7.2.1 根树的概念
定义7.6 一个有向图D,如果略去有向边的方向所得的无
向图为一棵无向树,则称D为有向树。换句话说,若有向图的
基图是无向树,那么这个有向图为有向树。入度为0的顶点称
为树根(Root),入度为1且出度为0的顶点称为树叶;入度为1且
出度大于0的顶点称为内点。内点和树根统称为分支点。
有一种特殊结构的有向树叫根树。
图7-2 无向图
树
树
例7.2 设T 是一棵树,它有三个2度结点,两个3度结点,一
个4度结点,求T 的树叶数。
树
7.1.2 生成树的概念与性质
1.生成树的概念
定义7.2 设G=<V,E>是无向连通图,T 是G 的生成子图,并
且T 是树,则称T 是G的生成树(SpanningTree),记为TG 。
树
定理7.1 设G=<V,E>是n 阶无向图,G 中有m 条边,则下面
关于G 是树的命题是等价的:
(1)G 连通而不含回路;
(2)G 的每对顶点之间具有唯一的一条路径;
《离散数学课件》5树讲义
带权图的最小生成树
例 假设有分布在不同建筑物
中的5台计算机C1, C2, C3, C4, C5。计算机连接的可能 方案以及每种连接方式的
成本（单位：元）如右图 所示。
C1 100 C2
900 120
C3
450
370 400
C4 200
C5
C1
C2
C3
C4
C5
左图是成本最低 的安装方案。
19/60
8/60
例2 已知无向树T有5片树叶, 2度与3度顶点各1个, 其 余顶点的度数均为4. 求T的阶数n, 并画出满足要求的 所有非同构的无向树. 解 设T的阶数为n, 则边数为n1, 4度顶点的个数为 n7. 由握手定理得
2m=2(n1)=51+21+31+4(n7) 解出n=8, 4度顶点为1个.
例
17/60
实例
例 图中红边为一棵生成树, 求对应它的基本回路系统 与基本割集系统
解 弦e,f,g对应的基本回路分别为 Ce=e b c, Cf=f a b c, Cg=g a b c d, C基={Ce, Cf, Cg}. 树枝a,b,c,d对应的基本割集分别为 Sa={a, f, g}, Sb={b, e, f, g}, Sc={c, e, f g}, Sd={d, g}, S基={Sa, Sb, Sc, Sd}.
6
无向树的性质(续)
定理2 设T 是 n 阶非平凡的无向树，则T中至少 有两片树叶. 证 设T有x片树叶，由握手定理及定理1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x2.
7
例1 已知一棵树有5个4度顶点，3个3度顶点， 3个2度顶点，问有几个一度顶点？
离散数学及其应用-树的关系
离散数学及其应用
例题
A (B C) (A B) (AC)
证明：对于任意有序对(x，y)，
(x, y) A (B C) x A y(B C) x A(yB yC) x A yB (x A yC) (x, y) A B (x, y) AC (x, y) A B AC
离散数学及其应用
空关系、全域关系、恒等关系
1.空关系 AA 2.全域关系 EA= AA ={（x，y）|x A y A} 3.恒等关系 IA={（x，x）|x A }
例如，设A={a，b} A上的全域关系：EA={(a，a)，(a，b)，(b，a)，(b，b)}， A上的恒等关系：IA={(a，a)，(b，b)}
离散数学及其应用
定理
定理4.1.1 设A，B，C为任意集合，则 A(BC)=(A B)(A C) A(BC)=(A B)(A C) (AB)C =(A C)(B C) (AB)C =(A C)(B C)
离散数学及其应用
例题
例4.1.3 设A,B,C为任意集合，证明A(BC)=(AB)(A C) 证明 对于任意有序对(x，y) (x，y) A(BC) x A y (BC) x A (y B y C) (x A y B)(x A y C) (x，y)(A B)(x，y)(A C) (x，y)(A B)(A C) 所以有A(BC)=(AB)(A C)。
A(BC)= {(a, (1, x)), (a, (3, x)), (b, (1, x)), (b, (3, x)), (c, (1, x)), (c, (3, x))}
离散数学及其应用
笛卡儿积
第五章 图的基本概念-离散数学
Co
e4
e7
bo
oc
8
图 论
无向完全图:每对顶点间均有边相连的无向 简单图。N阶无向完全图记作Kn.
o o K2 o K3 o o o o K4
1 2
o o
o o o K5 o o
无向完全图Kn, 有边数
n( n − 1)
竞赛图：在的每条边上任取一个方向的有 向图.
9
图 论
有向完全图:每对顶点间均有一对方向相反 的边相连的有向图。例如：
2
图 论
5.1 图的定义及相关术语 5.2 通路 回路 图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 无向树 5.5 欧拉图和哈密顿图 5.6 平面图
3
图 论
§5.1 图的定义及相关术语
例1. 多用户操作系统中的进程状态变换图:
就绪 r 进程调度 ro 执行 e o w V={r,e,w}
E={<r,e>,<e,w>,<w,r>}
图 论
2
2. 回路:如果一条路的起点和终点是一个顶 点,则称此路是一个回路. ov e e 如右图中的 v o ov e e L1=v0 e1v1 e5v3 e6v2e4v0 e e L2= v0 e1v1 e5v3e2v0
0 1 4 1 2 3 5 6
2
o v3
22
3. 迹与闭迹
图 论
简单通路(迹) 顶点可重复但边不可重复的通路。 简单回路(闭迹) 边不重复的回路。 4. 路径与圈 初级通路(路径) 顶点不可重复的通路。 初级回路(圈) 顶点不可重复的回路。 例如右图中: o v0 L1=v0 e1v1 e5v3 e6v2e4v0 e1 e4 L2= v0 e1v1 e5v3e2v0 o v2 e2 e3 L3=v0 e1v1 e5v3 e2v0 e3v3 e6v2e4v0 v1 o e5 e6 L1和L2是闭迹, 也是圈. o v3 L3是闭迹,而不是圈.
《离散数学课件》5树
W(T)等于所有分支点的权之和
36
实例
例 求带权为1, 1, 2, 3, 4, 5的最优树. 解题过程由下图给出，W(T)=38
7，4，5 4，3，4，5 2，2，3，4，5 7，9
37
小结
树与有序树
（ m=n1）
无向树及生成树
基本回路与基本回路系统 基本割集与基本割集系统 最小生成树
根树及其应用
23/60
例 求最小生成树
5 1 5 3 6 6 5 1 5 3 6 4 6 6 5 2 3 5 6 4 5 5 1 5 2 5 5 2 5
4
24/60
普里姆(Prim)算法
设置一个集合T，开始图上任选一点u0加入T，图顶点数 为n。重复以下工作n-1次:
• 在满足uT,vT的所有边中选边权w最小的 • 将v加入集合T中 • 输出边u ,v及边上的权 w
6
无向树的性质(续)
定理2 设T 是 n 阶非平凡的无向树，则T中至少 有两片树叶. 证 设T有x片树叶，由握手定理及定理1可知，
2(n 1) d (vi ) x 2(n x)
由上式解出x2.
7
例1 已知一棵树有5个4度顶点，3个3度顶点， 3个2度顶点，问有几个一度顶点？
(a)
(b) 只讨论(b)这样的所谓的“根 树”——有一个根的树。
28/53
根树
设T=(V,E)是一棵有向树，若仅有一个顶点的入度为0， 其余的顶点的入度均为1，这样一棵有向树我们称为 根树。 入度为0的顶点称为树根， 出度为0的顶点称为树叶， 出度不为0的顶点称为分枝点。 例
c d e a b d
有序树: 将根树同层上的顶点规定次序 r元树:根树的每个分支点至多有r个儿子 r元正则树: 根树的每个分支点恰有r个儿子 r元有序树: 有序的r元树 r元正则有序树: 有序的r元正则树
离散数学中的图的树与生成树计数算法
离散数学是数学的一个重要分支，它研究的是离散的对象和离散的结构。
图论作为离散数学的分支之一，研究的是图的性质和结构。
在离散数学中，图的树是一种重要的概念，而生成树则是树的一种特殊类型。
本文将介绍图的树以及生成树的计数算法。
在图论中，图是由节点和边组成的集合。
树是一种特殊的图，它是一个无环图，并且其中的任意两个节点都是通过唯一的路径连接在一起的。
树的一个重要性质是它具有n个节点的话，就有n-1条边。
这个性质可以通过归纳法进行证明。
生成树是图的一个特殊类型，它是包含所有节点并且没有环的子图。
图中可能存在多个生成树，而生成树的计数是一个重要的问题。
一个图有多少种不同的生成树取决于图的结构和节点之间的连接关系。
在计算生成树数量时，有一些经典的算法可以使用。
其中，几个著名的算法包括Matrix Tree 定理、Kirchhoff定理和Prufer编码。
Matrix Tree 定理是一个重要的生成树计数定理。
该定理指出，一个图的生成树数量等于其拉普拉斯矩阵中任意一个不连通的块的行列式。
拉普拉斯矩阵是一个图的特殊矩阵，其中的元素是节点之间的连接关系。
通过计算拉普拉斯矩阵的行列式，我们可以得到图的生成树数量。
Kirchhoff定理是图论中的另一个重要定理。
它指出，一个图的所有生成树组成的集合，可以通过这个图的基尔霍夫矩阵的任意一个不连通部分的代数余子式求和得到。
基尔霍夫矩阵是一个与图的边相关的矩阵，通过对基尔霍夫矩阵的计算，我们可以得到图的生成树数量。
Prufer编码是一个用于计算生成树数量的编码技术。
在Prufer编码中，我们将图的生成树转化为一个特殊的序列。
通过对这个序列的计算和转化，我们可以得到图的生成树数量。
Prufer编码是一个相对简单的方法，但它可以应用于不同类型的图，因此是一个实用且灵活的生成树计数方法。
总之，在离散数学中，图的树和生成树是重要的概念。
图的树是一种无环图，而生成树是包含所有节点且没有环的子图。
离散数学中的树与树的应用
离散数学是数学的一个分支，与连续数学相对应，主要研究离散对象和离散结构。
在离散数学中，树是一种重要的数据结构，它不仅在数学中有着广泛的应用，而且在计算机科学、图论等领域也起到了重要的作用。
首先，我们来了解一下什么是树。
在离散数学中，树是一种无环连通图，它是由若干个节点（或称为顶点）和这些节点之间的边组成。
树有一个特殊的节点，称为树根，它是树中唯一的一个节点，其他节点都可以通过一条边从根节点到达。
树中的节点按照层次关系分为不同的层次，根节点位于第一层，每一个节点的子节点位于它的下一层。
树还可以为空，即不包含任何节点。
树作为一种数据结构，广泛应用于计算机科学中。
一个典型的应用就是构建文件系统。
我们知道，计算机中的文件可以以树的结构进行组织，根目录是树的根节点，每一个文件夹是树的一个节点，文件夹中的文件是该节点的子节点。
通过树的结构，我们可以很方便地查找和管理文件。
另一个重要的应用是在数据库中的索引结构中。
数据库中的索引可以理解为一个树形结构，每一个节点存储了数据的关键字和相应的记录指针。
通过索引树，我们可以快速地查找到数据库中的数据，提高了数据库的查询效率。
此外，在图论中，树也是一个重要的概念。
图论研究的是图的性质和图中的关系，而树是一种特殊的图。
树的概念在图论中被广泛应用，比如最小生成树算法、最短路径算法等。
此外，在离散数学中，树的应用还有很多。
比如在数学中，树的概念可以帮助我们解决一些排列组合、概率等问题。
在逻辑学中，树还可以用来表示一个命题的逻辑结构，帮助我们分析和推理。
总而言之，离散数学中的树是一种重要的数据结构，它不仅在数学中有着广泛的应用，而且在计算机科学、图论等领域也起到了重要的作用。
通过树的结构，我们可以更加高效地组织数据，快速地搜索和查找信息。
树的概念也可以帮助我们解决一些数学和逻辑问题。
因此，掌握离散数学中的树的概念和应用，对于我们理解和应用离散数学领域的知识，具有重要的意义。
离散数学树
例题
小节结束
16.2 生成树
定义16.2 设G为无向图， （1）T为G的树—T是G的子图并且是树。 （2）T为G的生成树—T是G的生成子图并且是树。 （3）e为T的树枝—设T是G的生成树，e∈E(G)，若e∈E(T)。
知，G-e已不是连通图， 所以，e为桥。
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
(2)(3)
如果G中任意两个顶点之间存在唯一的路径，
则G中无回路且m＝n-1。
首先证明 G中无回路。 若G中存在关联某顶点v的环， 则v到v存在长为0和1的两条路经 (注意初级回路是路径的特殊情况)， 这与已知矛盾。 若G中存在长度大于或等于2的圈， 则圈上任何两个顶点之间都存在两条不同的路径， 这也与已知矛盾。
1，1，1，2，2，2，3
由度数列可知，Ti中有一个3度顶点vi，vi的邻域N(vi)中有3个顶 点，这3个顶点的度数列只能为以下三种情况之一：
1,1,2
1,2,2
2,2,2
设它们对应的树分别为T1，T2，T3。此度数列只能产生这三棵 非同构的7阶无向树。
例16.2
例题
例题 已知无向树T中，有1个3度顶点，2个2度顶点，其余 顶点全是树叶，试求树叶数，并画出满足要求的非同构 的无向树。
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例题3： 以下命题为真的是（ D ）。 A）无向完全图都是欧拉图 B）有n个结点n-1 条边的无向图都是树 C）无向完全图都是平面 图 D）树的每条边都是割边 例题4： 无向完全图 K 4 是（ B ）。 A．欧拉图 B. 汉密尔顿图 C. 树 D. 非平面图 例题5： 设无向图G＝<V,E>, 那么图G中V与E满足什 么条件，图G一定是树。 解：图G连通且E＝V－1，那么图G一定是树。
a
3
d
W (T ) 7
3
b
1
c
例题7：所有的边。从最小 11 6 4 边(d,e)开始选取，再选取(d,a)， 9 再选取(e,a)和(b,c)，但(e,a)构成 c d 13 回路，所以应去掉，再选取(c,a)， 这时已连接了所有的结点，最小 a 生成树求出。 6
a
b
T=<{a,b,c,d,e}, {(d,e),(d,a),(c,a),(b,c)}>。
e
6
7
5
4
c
d
5.2
根树的有关定义
一、根树的定义 1。恰有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均 为1的有向图称为根树。 根树中入度为0顶点称为树根，出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的顶点称为内点，树根 和内点统称为分支点。 2。正则树与完全树 ⑴每个分支点的出度最多为m的树称为m叉树， ⑵每个分支点的出度恰为m的树称为m叉正则树， ⑶顶点到树根的长度称为该顶点的层树， ⑷每个树叶的层数都相同的正则树称为完全树， ⑸m=2的二叉正则树简称为二叉树。
计算机数学基础(上)
第2编
第五章
图论
树及其应用
5.1
树的定义及性质
一、树的定义与表示 1。连通且无回路的无向图称为树，用T表示。 T中的1度结点称为树叶，大于1度的结点称为分 支点。 孤点称为平凡树，仅由树组成的无向图称为森林。 2。树的性质 ⑴连通且无回路，⑵|E|=|V|-1，⑶增加任意一条 边必出现回路，⑷删除任意一条边必不连通，⑸每 对结点间仅有一条通路。 3。任何非平凡树中至少有2片树叶。
4。最小生成树 在带权图G中所生成的总权数最小的生成树称为 最小生成树。 5。最小生成树的求法——破圈法 选取权数最大的边所在的回路，去掉其中权数 最大的边，如此做下去，直到求出生成树为止。这 样求出的生成树一定是最小生成树。 还有一种方法称为避圈法。先去掉所有的边，然 后从权数最小的边的开始，从小到大逐步选取，如果 所选取的边和已选取的边构成了回路，则不选取这条 边重新选取，直到连接完所有的结点。这样求出的树 就是最小生成树。
3。根树的有关定理 [定理1] 在m叉正则树中，若树叶数为 t ，分支数 为 i ，则 (m 1)i t 1 ，特别在二叉树中 i t 1 。 在根树中，分支点的长度称为内部通路长度， 树叶的长度称为外部通路长度 [定理2] 若二叉正则树有n个分支点，且内部通路长 度总和为 I ，外部通路长度总和为E ，则 E I 2n 。 例题8： 设T是有8片树叶的二叉树，则T中含有多少条边， 并以此验证定理2。 解： t 8, i t 1 7, v t i 15, e v 1 14 n 7, I 1 2 2 4 10, E 8 3 24, E I 2n
例题1： 设G=<V,E>是有p个结点s条边的连通图，则从G 中删去 条边，才能确定G的一棵生成树。 s 解：设要删去k条边， k p 1, k s 1 p 例题2： 设G是有6个结点的完全图，从G中删去 C 条 边则能得到树。 A) 6 B) 9 C) 10 D) 15 解：∵G是有6个结点的完全图，∴G中共有 6×5/2=15条边，要使G成为树，G中只应留下5条 边，故应删去10条边，选C。
例题6： 1 2 带权图如右，求图的最小生成树 6 5 e 4 解：选取含最大边(c,d)的回路cdec， 3 删去其中权数最大的边(c,d)，然后 b 1 c 再选取含最大边(a,b)的回路abea，删去其中权数最 大的边(a,b)，再选取含最大边(c,e)的回路bceb，删 去其中权数最大的边(c,e)，再选取含最大边(a,d)的 回路adea，删去其中权数最大的边(a,d)，即得最小 a 生成树。 d 1 T=<{a,b,c,d,e},{(c,b),(b,e),(e,a),(e,d)}>。 e 2
二、生成树
1。生成树 若图G的生成子图是一棵树，则称此树是G的生 成树。 2。树的补 图G中不属于生成树T的边的集合称为树T的补。 3。生成树的求法 一般可用破圈法做，即把图G中的回路去掉一 条边，使它不再是回路。如此做下去，直到恰好把 所有的回路都破坏掉，就得到了生成树。 用破圈法一共要去掉 e 1 v 条边。