多项式教案
最新2024人教版七年级数学上册4.1 第2课时 多项式--教案
4.1 整式第 2 课时多项式一、新课导入古希腊的欧几里得在《几何原本》中表述“如果将几个偶数相加，那么它们的和是偶数”，只能用极其冗长繁杂的原始定义加上文字语言来说明.教师：怎样用数学语言简单的描述这句话？师生活动：教师提问，学生思考，教师引出后续探究.二、探究新知知识点一：含字母式子的书写及意义观察：这些式子可以怎么分类？分别填入下面的框中.师生活动：教师提问，先由小组讨论，学生可以畅所欲言，然后请小组代表回答，教师对学生的回答予以恰当的评价与鼓励，并适时加以引导.教师：那像右边框中的数，我们可以统称为什么呢？我们一起来学习.探究：这些式子有什么特点？师生活动：通过色彩变化予以提示，引导学生说出自己的想法，适时更正，最后教师总结：都可以看作几个单项式的和.引出多项式的概念：多项式：几个单项式的和叫做多项式.回顾导入：现在，我们可以用字母来表示这些偶数.如果我们把第一个偶数表示为2a1，第二个偶数表示为2a2，第三个偶数表示为，那么第n个偶数可以表示为_____，它们的和用式子表示就是.师生活动：学生先独立解答，然后同桌交流，学生代表回答，教师指导更正.定义总结1.每个单项式叫做多项式的项.2.不含字母的项叫做常数项.3.每一项次数是几就叫做几次项.4.次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.5.多项式没有系数，但它的每一项有系数，系数也包含符号.师生活动：教师讲述概念，并引导学生回答右边多项式与这个概念如何对应.例题精析例1 用多项式填空，并指出它们的项和次数. (1) 一个长方形相邻两条边的长分别为a，b，则这个长方形的周长为.(2) m 为一个有期数，m 的立方与2 的差为.(3) 某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放a 辆. 为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收b 辆. 第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为.(4) 现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18 个相同的正方形和8 个相同的等边三角形围成. 如果其中正方形和等边三角形的边长都为a，等边三角形的高为b，那么这个印章的表面积答，锻炼由数学的思维与语言分析问题.通过师生合作，一起引出多项式的概念.设计意图：与导入的知识相联系，体验多项式在实际应用中的巧妙与简便，培养学生用数学的语言解析问题的能力.也让学生通过练习巩固刚才所学的知识，并且为本课时后面的知识点讲解做铺垫.设计意图：逐步解析多项式的每一部分的知识点，形成完整的知识体系，结合右边的例子，实现讲练结合，这种直观的方式便于学生理解，也能培养学生的应用能力.为 .问题：你能完成下面的表格吗？师生活动：学生先独立解答，然后同桌交流，学生代表上台板书，教师指导更正.再由教师引导学生进行总结：一个多项式的最高次项可以不唯一.例题精析例2 若多项式x|a|+1y3- (a- 1)x + x2是五次三项式，求a的值.师生活动：学生先独立解答，然后请学生代表上台板书，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知.练一练1.关于x、y的多项式-3kxy + 3y- 8x + 1 (k为常数) 不含二次项，则k =.2. (x + 3) a y b + 12ab2- 5是关于a、b的四次三项式，最高次项的系数为2，则x =，y =.师生活动：学生先独立解答，然后请学生代表上台板书，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知.知识点二：整式定义总结：单项式与多项式统称为整式.三、当堂练习例题精析例3填序号：① 3、① x + y、① -47a3b、①S=12ah、①2x-3y+45、①1a.单项式有：；多项式有：；整式有：.师生活动：学生先独立解答，再让小组讨论，然后由小组代表发言，老师给予适当正向的评价，并适时加以引导与更正.练一练3. 下列式子中，整式有个.①-14x2、②-2x + y、③xy2-12x2、④1y、⑤3x-12、⑥1ab-x、⑦0、⑧2xπ.师生活动：学生先独立思考，然后请学生代表回答，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知.三、当堂练习1. 下列说法正确的是( )A.整式就是多项式B. π 是单项式C. x4 + 2x3是七次二项式D.3x-15是单项式2. 多项式12x|m|- (m- 4)x + 7 是四次三项式，则m的值是( )A. 4B. -2C. -4D. 4 或-43.一个花坛的形状如图所示，其两端是半径相等的半圆，求：(1) 花坛的周长L；(2) 花坛的面积S.设计意图：让学生通过辨别的方式，巩固所学的知识，思考多种情况，检验知识的理解中是否有遗漏，起到查漏补缺的作用.设计意图：让学生通过练习巩固刚才所学的知识.设计意图：通过练习题进一步巩固对多项式与整式的知识的学习与掌握.设计意图：通过练习题将多项式的知识与实际结合，感悟多项式在几何中的应用，加强应用意识.教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.1.注重结合，形成完整的知识体系。
多项式教案
多项式教案一、教学目标：1. 理解什么是多项式，并能根据给定的多项式进行分类。
2. 掌握多项式的加减乘除运算方法。
3. 能应用多项式进行实际问题的求解。
二、教学重点：1. 多项式的定义和分类。
2. 多项式的加减乘除运算方法。
三、教学难点：1. 多项式的加减乘除运算方法。
2. 学生能够应用多项式进行实际问题的求解。
四、教学准备：1. 教学课件。
2. 教学板书工具。
3. 练习题和实例题集。
五、教学过程：Step 1：导入新知1. 引导学生回顾一元多项式和二元多项式的概念和运算方法。
2. 提问：如果一个多项式有多个变量，该怎么表示和计算？Step 2：多项式的定义与分类1. 定义多项式：多项式是由单项式经过加法或减法运算得到的代数式。
2. 引导学生观察一些多项式的例子，讨论多项式的特点和分类。
a. 根据项的次数分类：一次多项式、二次多项式、三次多项式等。
b. 根据项的系数分类：同类项、异类项。
c. 根据变量的个数分类：一元多项式、二元多项式等。
Step 3：多项式的加减运算1. 回顾单项式的加减运算规则。
2. 引导学生观察和总结多项式的加减运算规则。
3. 给出多项式的加减运算的实例，让学生进行计算。
Step 4：多项式的乘法运算1. 回顾单项式的乘法运算规则。
2. 引导学生观察和总结多项式的乘法运算规则。
3. 给出多项式的乘法运算的实例，让学生进行计算。
Step 5：多项式的除法运算1. 引导学生思考如何进行多项式的除法运算。
2. 解释多项式的除法运算规则，并给出实例进行演示。
3. 让学生自己尝试进行多项式的除法运算。
Step 6：应用实际问题1. 设计一些与多项式相关的实际问题，让学生运用所学的知识解决问题。
2. 通过讨论和展示解题过程，加深学生对多项式的理解和应用能力。
六、教学总结：1. 复习多项式的定义和分类。
2. 总结多项式的加减乘除运算规则。
3. 强调多项式的实际应用。
七、作业布置：1. 完成课后习题。
江苏省句容市后白中学七年级数学上册教案：多项式
3.培养学生空间想象力和抽象思维能力：通过多项式的表达，训练学生对数学符号的敏感度，发展空间想象力和抽象思维能力；
4.增强学生问题解决能力：结合实际问题，培养学生运用多项式知识解决生活中问题的能力，提高学以致用的意识；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解多项式的基本概念。多项式是由几个单项式通过加减运算组合而成的表达式。它在数学中具有重要地位，可以帮助我们解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设小华买了3个铅笔和2个橡皮，铅笔每个x元，橡皮每个y元，如何用多项式表示并计算他总共花费了多少钱。
式的次数概念，了解次数对多项式性质的影响。
举例：确定上述多项式的次数为3，指导学生关注次数最高的项。
（3）同类项的识别与合并：掌握同类项的定义，学会合并同类项，为后续整式的加减运算打下基础。
举例：合并多项式中的3x^2和-2x^2，得到x^2。
（4）多项式的加减运算：运用加减法则，进行多项式的加减运算，掌握运算步骤和注意事项。
五、教学反思
在今天这节课中，我们探讨了多项式的概念、性质以及加减运算。回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思。
首先，关于多项式的定义，我注意到有些学生在理解上还存在困难。可能我在讲解时没有足够的具体例子，导致他们难以把握多项式的组成元素和表达方式。在今后的教学中，我需要更多地运用生活中的实例，帮助学生形象地理解抽象的数学概念。
5.培养学生合作交流能力：在小组讨论和练习中，鼓励学生积极参与，学会倾听、表达、合作与交流，提升团队协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）多项式的定义及其表达方式：理解多项式的组成元素，掌握多项式的标准形式和简化形式。
多项式教案华东师范大学
课程名称：数学年级：高中一年级课时：2课时教学目标：1. 知识与技能目标：（1）理解多项式的概念，掌握多项式的次数、项数等基本属性。
（2）掌握多项式的加法、减法、乘法等基本运算。
（3）能够识别和化简多项式。
2. 过程与方法目标：（1）通过观察、比较、归纳等方法，引导学生理解多项式的概念。
（2）通过实例演示、小组合作等方式，让学生掌握多项式的运算方法。
（3）通过实际问题解决，培养学生的数学应用能力。
3. 情感态度与价值观目标：（1）激发学生对数学学习的兴趣，培养学生对数学问题的探究精神。
（2）培养学生的逻辑思维能力和严谨的数学素养。
（3）使学生认识到数学在生活中的广泛应用，增强数学意识。
教学重点：1. 多项式的概念及其基本属性。
2. 多项式的加法、减法、乘法运算。
教学难点：1. 多项式运算的技巧和方法。
2. 多项式化简的技巧。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 多项式相关习题。
3. 学生练习本。
教学过程：第一课时一、导入新课1. 回顾单项式的概念和运算。
2. 提出问题：什么是多项式？多项式有哪些运算？二、新课讲授1. 多项式的概念- 通过观察实例，引导学生理解多项式的概念。
- 引导学生识别多项式的次数、项数等基本属性。
2. 多项式的加法与减法- 通过实例演示，让学生掌握多项式加法、减法的运算方法。
- 强调同类项的概念，以及合并同类项的技巧。
3. 多项式的乘法- 通过实例演示，让学生掌握多项式乘法的运算方法。
- 强调分配律和交换律在多项式乘法中的运用。
三、课堂练习1. 完成多媒体课件中的相关练习题。
2. 学生相互检查，教师巡视指导。
四、小结1. 回顾本节课所学内容。
2. 强调多项式运算的技巧和方法。
第二课时一、复习导入1. 回顾多项式的概念、加法、减法、乘法等运算。
2. 提出问题：如何化简多项式？二、新课讲授1. 多项式的化简- 通过实例演示，让学生掌握多项式化简的方法。
- 强调提取公因式、完全平方公式等技巧在多项式化简中的应用。
《多项式教案》
《多项式教案》word版一、教学目标：1. 让学生理解多项式的概念，掌握多项式的定义及其相关性质。
2. 培养学生运用多项式进行数学运算的能力，提高解决问题的能力。
3. 培养学生团队协作精神，提高学生数学思维能力。
二、教学内容：1. 多项式的定义与相关性质2. 多项式的运算规则3. 多项式在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 重点：多项式的概念、性质及运算规则。
2. 难点：多项式在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解多项式的定义、性质及运算规则。
2. 运用案例分析法，分析多项式在实际问题中的应用。
3. 组织小组讨论，培养学生的团队协作精神。
五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实际例子，引导学生思考多项式的概念。
2. 讲解：详细讲解多项式的定义、性质及运算规则。
3. 案例分析：分析多项式在实际问题中的应用。
4. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的解题思路。
5. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点知识点。
6. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 评价学生对多项式概念的理解程度，通过课堂提问和作业批改进行评估。
2. 评价学生多项式运算的熟练程度，通过课堂练习和小测验进行评估。
3. 评价学生在实际问题中应用多项式的能力，通过案例分析和课后项目进行评估。
七、教学资源：1. 教材：《高中数学教材》相关章节。
2. 课件：制作多媒体课件，辅助讲解多项式的定义和性质。
3. 练习题：准备一系列的多项式运算练习题，用于课堂练习和学生自学。
4. 案例分析材料：收集一些实际问题，用于引导学生应用多项式解决问题。
八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍多项式的定义和基本性质。
2. 第二课时：讲解多项式的运算规则。
3. 第三课时：案例分析，展示多项式在实际问题中的应用。
4. 第四课时：小组讨论，学生展示自己的解题过程。
5. 第五课时：总结本单元内容，布置课后作业。
九、课后作业：1. 完成教材后的多项式练习题。
初中数学多项式方程教案
初中数学多项式方程教案教学目标：1. 理解多项式方程的定义及其基本性质；2. 学会解多项式方程的方法；3. 能够应用多项式方程解决实际问题。
教学重点：1. 多项式方程的定义及其基本性质；2. 解多项式方程的方法。
教学难点：1. 理解并应用多项式方程的解法；2. 解决实际问题中的应用。
教学准备：1. 教学课件；2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾一次方程、二次方程的定义及其解法；2. 提问：今天我们要学习一种新的方程——多项式方程，你们知道什么是多项式方程吗？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解多项式方程的定义：含有未知数的多个多项式相等的关系；2. 讲解多项式方程的基本性质：系数、次数、解等；3. 讲解解多项式方程的方法：代入法、消元法、因式分解法等。
三、案例分析（15分钟）1. 给出一个多项式方程案例，让学生尝试解决；2. 分组讨论，引导学生运用所学知识解决案例；3. 讲解案例的解法及思路。
四、练习巩固（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，检测对多项式方程的理解和掌握程度；2. 集体讲解练习题，纠正错误，巩固知识。
五、应用拓展（10分钟）1. 让学生思考如何将多项式方程应用于实际问题中；2. 给出一个实际问题，让学生尝试解决；3. 讲解实际问题的解法及思路。
六、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结多项式方程的定义、性质和解法；2. 强调多项式方程在实际问题中的应用。
教学反思：本节课通过导入、新课讲解、案例分析、练习巩固、应用拓展和课堂小结等环节，让学生掌握了多项式方程的基本知识和解法。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，培养学生的动手能力和思维能力。
同时，结合实际问题，让学生体会多项式方程的应用价值，提高学生的学习兴趣。
在今后的教学中，可以适当增加一些拓展内容，让学生更好地理解和掌握多项式方程。
《2.1 第3课时 多项式》教案、同步练习、导学案(3篇)
《第3课时多项式》教案【教学目标】1．理解多项式的概念；(重点)2．能准确迅速地确定一个多项式的项数和次数；3．能正确区分单项式和多项式．(重点)【教学过程】一、情境导入列代数式：(1)长方形的长与宽分别为a、b，则长方形的周长是________；(2)图中阴影部分的面积为________；(3)某班有男生x人，女生21人，则这个班的学生一共有________人．观察我们所列出的代数式，是我们所学过的单项式吗？若不是，它又是什么代数式？二、合作探究探究点一：多项式的相关概念【类型一】单项式、多项式与整式的识别指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？x2＋y2，－x，a＋b3，10，6xy＋1，1x，17m2n，2x2－x－5，2x2＋x，a7.解析：根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断．解：2x2＋x ，1x的分母中含有字母，既不是单项式，也不是多项式，更不是整式．单项式有：－x，10，17m2n，a7；多项式有：x2＋y2，a＋b3，6xy＋1，2x2－x－5；整式有：x2＋y2，－x，a＋b3，10，6xy＋1，17m2n，2x2－x－5，a7.方法总结：(1)分母中含有字母(π除外)的式子不是整式；(2)单项式和多项式都是整式；(3)单项式不含加、减运算，多项式必含加、减运算．【类型二】确定多项式的项数和次数写出下列各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式．(1)23x2－3x＋5；(2)a＋b＋c－d；(3)－a2＋a2b＋2a2b2.解析：根据多项式的项数是多项式中单项式的个数，多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案．解：(1)23x2－3x＋5的项数为3，次数为2，二次三项式；(2)a＋b＋c－d的项数为4，次数为1，一次四项式；(3)－a2＋a2b＋2a2b2的项数为3，次数为4，四次三项式．方法总结：(1)多项式的项一定包括它的符号；(2)多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，而不是各项次数的和；(3)几次项是指多项式中次数是几的项．【类型三】根据多项式的概念求字母的取值已知－5x m＋104x m－4x m y2是关于x、y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式．解析：根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得m＋2＝6，解得m＝4，进而可得此多项式．解：由题意得m＋2＝6，解得m＝4，此多项式是－5x4＋104x4－4x4y2.方法总结：此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．【类型四】与多项式有关的探究性问题若关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，求m、n的值．解析：多项式不含二次项和一次项，则二次项和一次项系数为0.解：∵关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，∴m＝0，n－1＝0，则m＝0，n＝1.方法总结：多项式不含哪一项，则哪一项的系数为0.探究点二：多项式的应用如图，某居民小区有一块宽为2a米，长为b米的长方形空地，为了美化环境，准备在此空地的四个顶点处各修建一个半径为a米的扇形花台，在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花费用每平方米为100元，种草费用每平方米为50元．那么美化这块空地共需多少元？解析：四个角围成一个半径为a米的圆，阴影部分面积是长方形面积减去一个圆面积．解：花台面积和为πa2平方米，草地面积为(2ab－πa2)平方米．所以需资金为[100πa2＋50(2ab－πa2)]元．方法总结：用式子表示实际问题的数量关系时，首先要分清语言叙述中关键词的含义，理清它们之间的数量关系和运算顺序．三、板书设计多项式：几个单项式的和叫做多项式．多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项．常数项：不含字母的项叫做常数项．多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称整式．【教学反思】这节课的教学内容并不难，如果采用讲授的方式，很快90%以上的学生都可以理解、掌握．虽然单纯地从学生接受知识的角度，讲授法应该效果更好，但同时学生的自主学习的习惯和能力也不知不觉地被忽略了．事实证明，学生没有养成一个良好的自主学习的习惯，不会自己阅读、分析题意，他们今后的学习会受到很大的制约．《第2课时多项式》同步练习能力提升1.下列说法中正确的是( )A.多项式ax2+bx+c是二次多项式B.四次多项式是指多项式中各项均为四次单项式C.-ab2,-x都是单项式,也都是整式D.-4a2b,3ab,5是多项式-4a2b+3ab-5中的项2.如果一个多项式是五次多项式,那么它任何一项的次数( )A.都小于5B.都等于5C.都不小于5D.都不大于53.一组按规律排列的多项式:a+b,a2-b3,a3+b5,a4-b7,…,其中第10个式子是( )A.a10+b19B.a10-b19C.a10-b17D.a10-b21★4.若x n-2+x3+1是五次多项式,则n的值是( )A.3B.5C.7D.05.下列整式:①-x2;②a+bc;③3xy;④0;⑤+1;⑥-5a2+a.其中单项式有,多项式有.(填序号)6.一个关于a的二次三项式,二次项系数为2,常数项和一次项系数都是-3,则这个二次三项式为.7.多项式的二次项系数是.8.老师在课堂上说:“如果一个多项式是五次多项式……”老师的话还没有说完,甲同学抢着说:“这个多项式最多只有六项.”乙同学说:“这个多项式只能有一项的次数是 5.”丙同学说:“这个多项式一定是五次六项式.”丁同学说:“这个多项式最少有两项,并且最高次项的次数是 5.”你认为甲、乙、丙、丁四位同学谁说得对,谁说得不对?你能说出他们说得对或不对的理由吗?9.如果多项式3x m-(n-1)x+1是关于x的二次二项式,试求m,n的值.★10.四人做传数游戏,甲任取一个数传给乙,乙把这个数加1传给丙,丙再把所得的数平方后传给丁,丁把所得的数减1报出答案,设甲任取的一个数为a.(1)请把游戏最后丁所报出的答案用整式的形式描述出来;(2)若甲取的数为19,则丁报出的答案是多少?创新应用★11.如图所示,观察点阵图形和与之对应的等式,探究其中的规律:(1)请在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式:(2)通过猜想,写出与第n个图形相对应的等式.能力提升1.C2.D 多项式的次数指的是次数最高项的次数,故一个五次多项式次数最高项的次数为5.3.B 根据多项式排列的规律,字母a的指数是按1,2,3,…的正整数排列,所以第10个式子应为a10.字母b的指数是按1,3,5,7,…的奇数排列,所以第10个式子应为b19.中间的符号第1个式子是正,第2个式子是负,这样正、负相间,所以第10个式子应为a10-b19.4.C n-2=5,n=7.5.①③④②⑤⑥6.2a2-3a-37.=-,二次项为,所以二次项系数为.8.解:丁同学说得对,甲、乙、丙三位同学说得都不对.理由:因为这个多项式是五次多项式,所以它的最高次项的次数是5,又因为它是多项式,也就是几个单项式的和.所以这个多项式至少有两项,因此,丁同学说得对.因为老师没有限制多项式的项数和可以包含的字母,因此它的项数不确定,可能只有两项,如x5+1,也可能是六项,如x5+x4+x3+x2+x+1,还可能有更多的项,如x5+y4+z5+a3+a2+a+1等,因此甲和丙两位同学说得都不对;另外,这个多项式的最高次项的次数是5,但最高次项不一定只有一项,如x5+y5+x4中就有两项的次数是5,因此,乙同学说得也不对.9.分析:题中多项式是关于x的二次二项式,所以次数最高项的次数为2,系数不为0,另外,-(n-1)x的系数为0.解:由题知m=2,且-(n-1)=0,即m=2,n=1.10.解:(1)由甲传给乙变为a+1;由乙传给丙变为(a+1)2;由丙传给丁变为(a+1)2-1.故丁所报出的答案为(a+1)2-1.(2)由(1)知,代入a=19得399.创新应用11.解:(1)④4×3+1=4×4-3⑤4×4+1=4×5-3(2)4(n-1)+1=4n-3.第二章整式的加减2.1 整式《第3课时多项式》导学案【学习目标】：1.理解多项式、整式的概念.2.会确定一个多项式的项数和次数.【重点】：理解多项式的有关概念.【难点】：会确定一个多项式的项数和次数.【自主学习】一、知识链接1.单项式的有关概念：（1）由_____与_____（或_____与_____）相乘组成的代数式叫做单项式.单独的一个___或一个_____也叫单项式.（2）单项式中的_________叫做这个单项式的系数.单项式中的________________叫做这个单项式的次数.2.337a bxπ-的系数是__________，次数是______________.二、新知预习【自主归纳】1.几个________的和叫做多项式；2.多项式中的每一个________都叫做这个多项式的项，多项式含有几项，这个多项式叫做_________.3.不含________的项叫做常数项.4.多项式里，__________的次数，叫做这个多项式的次数,多项式的次数是几，这个多项式叫做__________.5.______和______统称为整式.三、自学自测1.多项式2-+有_____项，它们分别是______ _.其中常数项是325x x______，它是一个__ _次_____项式.2.多项式a3－a2b＋ab2－b3的项数为_______，次数为_______.3.多项式3n4－2n2＋1的次数为________，常数项为_________.四、我的疑惑_________________________________________________________________ _____________________________________________________________ 【课堂探究】一、要点探究探究点1：多项式的相关概念问题1：列式表示下列数量（1）温度由t℃下降5℃后是______℃.（2）买一个篮球需要x元，买一个排球需要y 元，买一个足球需要z元，买3个篮球、5个排球、2个足球共需要___________元.（3）如图三角尺的面积为___________.（4）如图是一所住宅区的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是___________.问题2：上述几个式子都是单项式吗？这些式子有什么共同特点？与单项式有什么关系？要点归纳：1.几个单项式的和叫做多项式2.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项3.不含字母的项叫做常数项4.多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数5.单项式与多项式统称为整式例1 下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数：4222232341π,,1,,32,,31,2.273－－＋3－m n a b x y x t x y xy x x y +-+-要点归纳：(1)多项式的各项应包括它前面的符号；(2)多项式没有系数的概念，但其每一项均有系数，每一项的系数也包括前面的符号；(3)要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的；(4)一个多项式的最高次项可以不唯一.例2：已知－5x m ＋104x m －4x m y 2是关于x 、y 的六次多项式，求m 的值，并写出该多项式.【归纳总结】 解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数.然后根据题意，列出方程，求出m 的值.探究点2：多项式的应用例3 如图所示，用式子表示圆环的面积．当r=15 cm ，r=10cm 时，求圆环的面积（π取3.14 ）．例4 某公园的门票价格是：成人10元/张；学生5元/张.（1）一个旅游团有成人x 人、学生y 人，那么该旅游团应付多少门票费？（2）如果该旅游团有37个成人、15个学生，那么他们应付多少门票费？针对训练1.将代数式①3，②x 1，③b a -3，④π，⑤π1，⑥21x 2，⑦3a ＋1，⑧712-a ， ⑨－31x 2＋yz ，⑩14+x x 填入适当的空格中（填序号）： 单项式：___________________________________________________； 多项式：___________________________________________________； 整式：_____________________________________________________.2.多项式3m 3-2m-5+m 2的常数项是______，一次项是_____，二次项的系数是_____.3.（1）a ，b 分别表示长方形的长和宽，则长方形的周长l ＝______，面积S ＝___，当a ＝2 cm ，b ＝3 cm 时，l ＝______ cm ，S ＝______cm 2 ；（2）a ，b 分别表示梯形的上底和下底，h 表示梯形的高，则梯形面积S ＝_______，当a ＝2 cm ，b ＝4 cm ， h ＝5 cm 时， S ＝______cm 2 ．4.如果x n －(m －1)x ＋2为三次二项式，求m 2＋n 的值．二、课堂小结4.若)3(3)2(2+---a x x a 是关于x 的一次式,则a =______,若它是关于x 的二次二项式,则a =______.5.多项式521)3(2-++ab b a x y 是关于a 、b 的四次三项式，且最高次项的系数为－2，则x =______,y =______.6.已知多项式:621653222+-+-+x xy y x m 是六次四项式,单项式z y x m n -4332的次数与这个多项式的次数相同,求n 的值.。
第一章多项式(教案)
高等代数 北大三版第一章 多项式教学目的：1．了解多项式的概念，多项式的运算及运算律。
2．会求多项式的最大公因式及各数域上的因式分解。
3．了解多项式与对称多项式的概念。
教学重点与难点：1．整除理论。
2．有理数域上的因式分解。
§1． 数域代数性质：关于数的加减乘除等运算性质 引入：关于数的范围的讨论定义：设P 是一些复数组成的集合，其中包括0和1，如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P 中的数，那么称P 为一个数域。
另一说法： 如果包含0和1 的一个数集P ，对于加减乘除（除数不为0）运算都是封闭的，那么称P 为一个数域。
例： 1．Q R C Z W 2Z （前3个是，后3个不是） 2．R * C + }0{ +C （均不是）3．},|2{1Q b a b a P ∈+=＝)2(Q 是 证明封闭 }|2{2N n n P ∈= 不是4．},,|{, (31)10+++++∈∈=N m n Z a P j n mnn b i b b b a a a ππππ 是 重要结论： 最小数域为有理数域 （任何数域包含有理数域）§2．一元多项式一． 一元多项式的概念定义：设n 是一非负整数，x 是一个符号（文字），形式表达式：01111...a x a x a x a n n n n ++++-- 其中P n i a i ∈=)...0(。
称为系数在数域P 中的一元多项式。
（数域P 上的一元多项式）① 记 )(x f ＝01111...a x a x a x a n n n n ++++--＝i ni i x a ∑=0)(x g ＝01111...b x b x b x b m m m m ++++--＝j mj j x b ∑=0② 其中ini i xa ∑=0称为)(x f 的i 次项 i a 为i 次项系数。
③ 0≠n a ，则n n x a 为)(x f 的首项 n a 为首项系数，n 为)(x f 的次数。
高等代数教案第二章多项式
⾼等代数教案第⼆章多项式第⼆章多项式⼀综述1. 多项式是中学代数的主要内容之⼀.本章从两个不同的⾓度对⼀元多项式进⾏了讨论；⾸先⽤纯代数的观点,从⼀元多项式的⼀般形式⼊⼿,在⼀般数域上讨论了⼀元多项式,围绕着⼀元多项式的因式分解这⼀中⼼内容,分别讨论了⼀元多项式的概念.运算.整除理论.最⼤公因式和重因式等内容,从⽽建⽴了⼀元多项式的⼀般理论；然后⽤代数的观点进⼀步在具体数域（即,,C R Q ）上讨论了⼀元多项式的根与因式分解问题,从⽽在具体数域上发展了多项式的因式分解理论.在学习⼀元多项式的基础上,鉴于多元多项式的复杂性,仅讨论了多元多项式的基本概念与对称多项式基本定理及应⽤.2. 本章内容学⽣部分熟悉,但如此严格地系统讨论⼀元多项式的整除理论及多项式的因式分解和多项式的根的问题还是初次见到,特别是对于准确地刻化概念.严谨地推导论述,学⽣很不习惯,因此在教学中要注意训练学⽣正确掌握概念.学会推理有理有据,做好⽰范.⼆内容、要求1. 内容：⼀元多项式的定义和运算.多项式的整除性（整除、带余除法）.最⼤公因式（概念.性质.辗转相除法.互素）.唯⼀分解定理.重因式.多项式函数与多项式的根.复数.实数.有理数域上的多项式的因式分解.有理数域上的多项式的可约性及有理根.多元多项式.对称多项式（不讲）.2. 要求：掌握数域上的⼀元多项式的概念.运算.次数定理及应⽤；理解多项式的整除概念和性质,理解和掌握带余除法；掌握最⼤公因式的概念.性质.求法,以及多项式互素的概念和性质；理解不可约多项式的概念,掌握多项式的唯⼀分解定理；理解多项式的导数及重因式的概念,掌握多项式有⽆重因式的判别法；掌握多项式函数及多项式的根的概念；掌握复.实数域上的多项式因式分解定理；熟练掌握有理系数多项式的有理根的求法.2.1 ⼀元多项式的定义和运算⼀教学思考1. 本节纯形式地定义了⼀元多项式的概念及有关运算（加.减.乘）.从中注意⼀元多项式的定义与中学数学中多项式的联系与区别,以及多项式相等的概念分析.另外⼀个重要的结论是所谓的“次数定理”,其本⾝证明易于理解,重要的是应⽤它证明有关问题.2. 本节内容较简,注意概念的准确.严密.⼆教学过程1. 基本概念定义1. 数环R 上⼀个⽂字x 的多项式或⼀元多项式指的是形式表达式：2012n n a a x a x a x ++++ （1）其中,(1,2,,)i n N a R i n ∈∈=.定义2. 若数环R 上两个⼀元多项式(),()f x g x 具有完全相同的项,或者仅差⼀些系数为0的项,则称()f x 和()g x 相等.记作()()f x g x =.定义 3. 若2012()n n f x a a x a x a x =++++ (0)n a ≠,n n a x 叫做()f x 的最⾼次项,⾮负整数n 叫做()f x 的次数,记作(())f x ??.（即(()))f x n ??=.定义4. 设2012()n n f x a a x a x a x =++++,2012()m m g x b b x b x b x =++++是数环R 上两个多项式,且m n ≤；（1）()f x 与()g x 的和（记为）()()f x g x +指的是多项式：0011()()()()m n m m n n a b a b x a b x a b x +++++++++,这⾥m n <时,取10m n b b +===.（2）()f x 与()g x 的积（记为）()()f x g x 指的是多项式： 2012m n m n c c x c x c x ++++++,其中011110k k k k k c a b a b a b a b --=++++,(0,1,2,,)k m n =+.（3）由多项式运算的定义,数环R 上两个多项式(),()f x g x 的和.差.积的系数可由(),()f x g x 的系数的和.差.积表⽰,由于(),()f x g x的系数属于R ,因⽽它们的和.差.积也属于R ,所以数环R 上两个多项式的和差积仍是数环R 上的多项式,故可类于数环的概念：我们⽤[]R x 表⽰数环R 上⽂字x 的多项式的全体,且把其中如上定义了加法和乘法的[]R x 叫做数环R 上的⼀元多项式环.2. 基本定理多项式的加法和乘法满⾜如下算律：设(),()f x g x ,()h x ∈[]R x ,A ）()()()(),()()()()f x g x g x f x f x g x g x f x +=+=；（交换律）B ）(()())()()(()())f x g x h x f x g x h x ++=++,(()())()()(()())f x g x h x f x g x h x =；（结合律）C ）()(()())()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+；（分配律）TH2.1.1（次数定理）设(),()f x g x ∈[]R x ,且()0f x ≠,()0g x ≠；则（1）当()()0f x g x +≠时,{}000(()())max (()),(())f x g x f x g x ?+≤??；（2）000(()())(())(())f x g x f x g x ?=?+?.Cor2.1.2 ()()0()0,()0f x g x f x g x =?==⾄少有⼀个成⽴.Cor2.1.3 （乘法消去律）若()()()()f x g x f x h x =⽽()0f x ≠,则()()g x h x =.2．2多项式的整除性⼀教学思考1. 在[]R x 内,除法不是永远可以施⾏的,因此关于多项式的整除性的研究,也就是⼀个多项式能否除尽另⼀个多项式的研究,在多项式理论中占有重要地位.本节限于数域F 上讨论多项式的整除性,其与整数的整除性类似,注意对照学习.2. 多项式的整除性是多项式之间的⼀种关系（等价关系）,为加深对此概念的理解,需掌握⼀些特殊多项式（零多项式,零次多项式）间的整除关系及整除的性质.3. 数域F 上任意两个多项式总有带余除法结论成⽴,其证法思想是在中学代数中多项式的长除法的运算表⽰实质的⼀般化,唯⼀性⽤同⼀法.4. 证明()|()f x g x 的思想可从定义.带余除法得到的充要条件以及将()g x 分解成两项之和⽽每⼀项能被()f x 整除,或将()g x 分离出()f x 作为⼀个因⼦来考虑.5. 整除性不随数域扩⼤⽽改变是由带余除法得到的⼀个⾮显⽽易见的结论.⼆内容、重点.要求1. 内容：⼀元多项式整除的定义.性质,带余除法.2. 重点：整除的定义.带余除法定理（它是判断整除.最⼤公因式及多项式的根的基础）.3. 要求：正确理解掌握整除概念.性质,掌握带余除法定理.三.教学过程1. 多项式的整除及性质定义1. 设(),()[],f x g x F x ∈若()[]h x F x ?∈使得 ()()()g x f x h x = （1）则称()f x 整除（除尽）()g x ；⽤符号()|()f x g x 表⽰.⽤符号()|()f x g x 表⽰()f x 不整除()g x ,（即对()[]h x F x ?∈都有()()()g x f x h x ≠）.当()|()f x g x 时,称()f x 是()g x 的⼀个因式,()g x 是()f x 的⼀个倍式.A ）若()|()f x g x .()|()g x h x ,则()|()f x h x ；（传递性）B ）若()|()h x f x .()|()h x g x ,则()|(()())h x f x g x ±；C ）若()|()f x g x ,则对()[]h x F x ?∈有()|()()f x g x h x ；特别2()|()f x f x ,()|(),()n f x f x n N ∈；D ）由B.C 若()|(),(1,2,,)i f x g x i n =,则对 ()[],(1,2,,)i h x F x i n ?∈=,有1()|()()n i i i f x g x h x =∑；E ）零次多项式整除任⼀多项式；F ）对()[]f x F x ∈,有()|(),,0cf x f x c F c ∈≠；特别()|()f x f x ；G ）若()|()f x g x .()|()g x f x ,则()(),,0f x cg x c F c =∈≠.2. 带余除法TH2.2.1（带余除法）设(),()[]f x g x F x ∈,且()0g x ≠,则（1）(),()[]q x r x F x ?∈使得()()()()f x g x q x r x =+；（*）其中()0r x =或00(())(())r x g x ?（2）满⾜（*）式及条件的(),()q x r x 只有⼀对.Cor1.设(),()[]f x g x F x ∈,（1）()0,()|()()0g x g x f x f x =?=；（2）()0,()|()()g x g x f x g x ≠?除()f x 的余式为0.Cor2. 设,F F 是两个数域,且F F ?,若(),()[]f x g x F x ∈,且在[]F x 内()|()g x f x ,则在[]F x 内()|()g x f x .（即多项式的整除性不随数域的扩⼤⽽改变.）2．3 多项式的最⼤公因式⼀教学思考1. 本节讨论了最⼤公因式的概念、性质（包括个数之间关系）及求法,互素的概念及性质.从内容上看与整数的整除性的有关内容是平⾏的,不难理解,但须注意其不同的特征.2. 为理解最⼤公因式,讨论⼀下两个零多项式及零多项式与⼀个⾮零多项式的最⼤公因式的问题、最⼤公因式的存在性.个数定理包含了最⼤公因式理论的所有问题,其中个数及之间关系由定义不难证明,重要的是存在性,其证明过程实质上是⼀种求法——辗转相除法.3. 互素是⽤最⼤公因式（为1）来定义的,此可解释其中的含义（仅有零次公因式）,这有利于验证性质；定义本⾝也包含了证明互素的⽅法（求最⼤公因式）.4. 由于最⼤公因式的求法——辗转相除法,实质是重复实施带余除法,所以由带余除法的特性（唯⼀性）可证多项式的最⼤公因式不随数域的扩⼤⽽改变.⼆内容、重点.要求1. 内容：最⼤公因式的概念、性质（包括个数.之间关系）及求法,互素的概念.性质及判定.2. 重点：最⼤公因式的概念、性质及求法.3. 要求：理解掌握上述有关概念、性质,掌握辗转相除法.三教学过程1. 多项式的最⼤公因式（1）定义1. 设(),(),()[]f x g x h x F x ∈,若()|(),()|()h x f x h x g x ,则称()h x 是()f x 与()g x 的⼀个公因式.定义2. 设(),(),()[]f x g x d x F x ∈,若()d x 满⾜：A ）()|(),()|()d x f x d x g x ；（()d x 是()f x 与()g x 的⼀个公因式）B ）对()[]h x F x ?∈,若()|(),()|()h x f x h x g x ,则有()|()h x d x .则称()d x 是()f x 与()g x 的⼀个最⼤公因式.（2）最⼤公因式的存在性、求法TH2.3.1 []F x 中任意两个多项式()f x 与()g x ⼀定有最⼤公因式.除⼀个零次因式外,不全为0的()f x 与()g x 的最⼤公因式是唯⼀的；即若()d x 是()f x 与()g x 的⼀个最⼤公因式,则对当()f x 与()g x 不全为0时,0,,()c c F cd x ?≠∈也是()f x 与()g x 的最⼤公因式,且只有这样的乘积才是()f x 与()g x 的最⼤公因式.例1. 设43232()2443,()2543[]f x x x x x g x x x x Q x =--+-=--+∈求（()f x ,()g x ）. 解： 322543x x x --+ | 4322443x x x x --+- |2|x - 32615129x x x --+ 43224886x x x x --+- | x3262830x x x -+ 4322543x x x x --+213429x x -+ 32456x x x -+--13 23912627x x -+ 32281012x x x -+-| 1239182195x x -+ 322543x x x --+56168x - 231415x x -+-|3x -3x - 239x x -+515x - | 5515x - ((),()3f x g x x ∴=-. 0（3）性质：1）任意两个多项式的最⼤公因式不因数域的扩⼤⽽改变.2）TH2.3.2. 若()d x 是(),()[]f x g x F x ∈的⼀个最⼤公因式,则在[]F x ⾥可以求得多项式(),()u x v x 使得：()()()()()d x f x u x g x v x =+.例2. 设43232()421659,()254[}f x x x x x g x x x x Q x =--++=--+∈,求((),())f x g x ,且求相应的(),()u x v x .分析：本题不仅求((),())f x g x ,且求相应的(),()u x v x ,⽽由定理2中证知(),()u x v x 不仅与余式有关,且与商式有关,因⽽在辗转相除中不允许系数变化,将所得的等式逐步代回整理即可.（解略）2. 多项式的互素及其性质1）定义. 设(),()[]f x g x F x ∈,若(),()f x g x 在[]F x 内除零次公因式外不再有其它公因式,则称()f x 与()g x 互素.2）互素的充要条件TH2.3.3 ()f x 与()g x 互素((),())1f x g x ?=.TH2.3.3 设(),()[]f x g x F x ∈, ()f x 与()g x 互素(),()[]u x v x F x ??∈使得()()()()1f x u x g x v x +=.3）性质（1）若()f x ,()g x 都与()h x 互素,则()f x ()g x 与()h x 互素.（2）若()h x |()f x ()g x ,⽽()h x 与()g x 互素,则()h x |()g x .（3）若()g x 与()h x 都有：()g x |()f x ,()h x |()f x ,⽽()g x 与()h x 互素,则()g x ()h x |()f x .3. 最⼤公因式及互素概念的推⼴1）(2)n ≥个多项式的最⼤公因式定义. 设()[],(1,2,,),()[]i f x F x i n d x F x ∈=∈,若（1）()|(),(1,2,,)i d x f x i n =；（2）(),()|(),(1,2,,)i h x h x f x i n ?=,有()|()h x d x . 则称()d x 为()(1,2,,)i f x i n =的⼀个最⼤公因式. 2）(2)n ≥个多项式互素定义. 若11(),,()n f x f x -,()n f x 除零次公因式外没有其它公因式,称这⼀组多项式互素.2．4 多项式的分解⼀教学思考1. 多项式的分解是多项式理论的⼀个核⼼问题,在前⼏节的基础上,本节解决了多项式“不能再分”及“分解唯⼀性”等理论问题,这对中学相关内容有直接的指导作⽤.2. 从内容上讲本节内容简洁完整（⼀个概念.两个结论）,但需注意概念（不可约）与数域有关,其性质与“互素”类似；“唯⼀分解定理”的理论证明是运⽤数学归纳法结合消去律,也不难理解,但需指出的是：3. “唯⼀分解定理”没有给出因式分解的⽅法,因⽽具体对多项式进⾏因式分解需具体问题具体分析,需⽤中学学过的具体⽅法进⾏尝试（没有⼀般⽅法）,同时指出的是由“典型分解式”可得求两个多项式的公因式与最⼤公因式,⽽其前提是当知“典型分解式”时,但分解因式没有⼀般⽅法,所以此不能代替前述的具体⽅法——辗转相除法；⽽其中蕴涵着下节得出的⼀个分解因式的思路——分离重因式法.⼆内容、要求1. 内容：不可约多项式的概念及性质.唯⼀分解定理.2. 要求：掌握不可约多项式的概念及性质,会⽤性质推证某些命题；掌握唯⼀分解定理,它是多项式整除性理论的⼀个重要定理,在许多有关多项式理论的推导中很有作⽤,会⽤其推证有关问题.三教学过程（⼀）概念1. 多项式的平凡因式.⾮平凡因式定义1. 对()[],,0f x F x c F c ?∈?∈≠有|(),()|()c f x cf x f x ；称c 与(),(0)cf x c ≠为()f x 的平凡因式.若()(0)f x ≠除c 与(),(0)cf x c ≠之外还有其它因式,称为()f x 的⾮平凡因式.2. 不可约多项式.可约多项式1）定义2. 设()[]f x F x ∈,且0(())0f x ?>；若()f x 在[]F x 中只有平凡因式,则称()f x 是数域F 上的⼀个不可约多项式；若()f x 除平凡因式外,在[]F x 中还有其它因式,则称()f x 是数域F 上的⼀个可约多项式.结合定义1及注定义2等价为：定义2. 若[]F x 的⼀个(0)n >次多项式()f x 能分解为两个次数都⼩于n 的多项式()g x 与()h x 的乘积：()f x ()g x =()h x （1）则称()f x 在数域F 上可约；若()f x 在[]F x 中的任⼀形如（1）的分解总含有⼀个零次因式,则称()f x 在数域F 上不可约.2）性质设F 为数域（1）若()p x 不可约,则对,0,()c F c cp x ?∈≠也不可约.（2）设()p x 不可约,对()[]f x F x ?∈,则或者((),())1p x f x =,或者()|()p x f x .（3）设()p x 不可约,且()|()()p x f x g x ,则()|()p x f x ,()|()p x g x ⾄少有⼀个成⽴.（⼆）定理1. 两个定理TH2.4.1 []F x 中每⼀个(0)n >次多项式()f x 都能分解为[]F x 的不可约多项式的乘积.TH2.4.2 令0()[],(())0f x F x f x n ∈?=>,且()f x 可分解为 1212()()()()()()()r s f x p x p x p x q x q x q x ==,其中每个()i p x ,()i q x 都是[]F x 中的不可约多项式.则1）r s =；2）适当调整()i q x 的次序后可使()(),(,0,1,2,,)i i i i i q x c p x c F c i r =∈≠=.换句话说：若不计零次因式的差异,多项式分解成不可约因式的乘积的分解式是唯⼀的.2. 多项式的典型分解式（标准分解式）及其应⽤1）典型分解式：在多项式()f x 的分解式中：a ）把每个不可约多项式（因式）的最⾼次项系数提出来,使它们成为⾸项系数为1的多项式；b ）再把分解式中相同的不可约多项式合并在⼀起（写成⽅幂的形式）.则()f x 的分解式可写为：1212()()()()r k k k r f x ap x p x p x =.其中a 是()f x 的⾸项系数,()(1,2,,)i p x i r =是不同的最⾼次项系数为1的不可约多项式,001(1,2,,),(())(())ri i i k i r N f x k p x =∈?=?∑.这种分解式叫做()f x 的典型分解式（标准分解式）. 2）典型分解式的应⽤A ）若()f x 有典型分解式1212()()()()r k k k r f x ap x p x p x = （0(())0f x ?>）,则()g x 是()f x 的因式的充要条件是：()g x 有以下典型分解式1212()()()()r m m m r g x bp x p x p x =,其中b 为()g x 的⾸项系数,0(1,2,,)i i m k i r ≤≤=（注i m 可为0,此时0()1i p x =,即()g x 不⼀定全含()f x 的不可约因式）.B ）求（(),()f x g x ）若121121()()()()()()s r r k k k k k r r s f x ap x p x p x q x q x ++=,112121()()()()()()r tr l l l l l r r t g x bp x p x p x q x q x ++=,其中 (),(1,,)i q x i r s =+与(),(1,,)j q x j r t =+互不相同,令{}min ,,(1,,)i i i m k l i r ==；则（11(),())()()()r m m r f x g x p x p x d x ==.2.5 重因式⼀教学思考1. 本节引⼊重因式的概念,讨论重因式的有关问题.2. 当知道多项式()f x 的典型分解式（建⽴⼀般分解式基础之上的）时,很容易观察到()f x 有那些重因式.且⼏重,以及有⽆重因式.但由于1中所述原因,需另辟道路来解决此问题,为此形式地引⼊了多项式的导数的概念（与分析中定义不同,结果⼀致）,且通过典型分解式,很容易得到()f x 的重因式与()f x '的重因式之间的关系,由此得到()f x 没有重因式的充要条件.3. 本节内容简洁完整,从中注意的是：⼀是()f x 有⽆重因式()f x ?与()f x '是否互素,⽽互素不因数域的扩⼤⽽改变,所以()f x 在[] ([])F x F x ?中⽆重因式,则在[]F x 中也⽆重因式；⼆是判断()f x 有⽆重因式有规范的⽅法；三是通过分析()f x 与()f x '以及((),())f x f x ',还有()f x 除以((),())f x f x '所得商间的关系,可得将()f x 因式分解的⼀种思想——分离重因式法,其中把⽅法步骤规范化（五步）.⼆内容、要求1. 内容：k 重因式.重因式.导数.没有重因式的充要条件.2. 要求：掌握有关概念及定理1-2,以及分离重因式法.四教学过程1. 概念定义 1. 在()[]f x F x ∈的分解式中,若不可约多项式()p x 出现且只出现k 次,则称()p x 为()f x 的⼀个k 重因式.当1k =时,称()p x 为()f x 的单因式；当1k >时,称()p x 为()f x 的重因式；当0k =时,即()p x 在()f x 的分解式中不出现,()p x 不是()f x 的因式,称()p x 为()f x 的零重因式.定义1补. 若不可约多项式()p x 满⾜：()|()k p x f x ,⽽1()|()k p x f x +,则称()p x 为()f x 的⼀个k 重因式（其中k 为⾮负整数）.当1k =时,称()p x 为()f x 的单因式；当1k >时,称()p x 为()f x 的重因式；当0k =时,即()p x 在()f x 的分解式中不出现,()p x 不是()f x 的因式,称()p x 为()f x 的零重因式.定义2. 设01()[]n n f x a a x a x F x =+++∈,称1122n n a a x na x -+++为()f x 的（⼀阶）导数,记为()f x '.即()f x '=1122n n a a x na x -+++. 2. 定理TH2.5.1设()[]p x F x ∈不可约,若()p x 为()f x 的⼀个(1)k ≥重因式,则()p x 为()f x '的⼀个1k -重因式；特别()f x 的单因式不是()f x '的因式.TH2.5.2 (0)n >次多项式()f x 没有重因式()f x '?与()f x 互素.最后：讨论因式分解的⼀种思想⽅法——分离重因式法设0(())0f x ?>,()f x 有典型分解式1212()()()()r k k k r f x ap x p x p x =若((),())1f x f x '≠,有1211112()()()()()r k k k r f x p x p x p x g x ---'=且()|()i p x g x (1,2,,)i r =,从⽽（(),())f x f x '=1211112()()()r k k k r p x p x p x ---,则可令()((),())()f x f x f x q x '=；⽐较上述有关式⼦可知1()()()r q x p x p x =. 上述意思是：若⽤()f x 除以((),())f x f x ',则得商()q x 是⼀个与()f x 具有完全相同的不可约因式⽽没有重因式的多项式.由此得思想：若将()q x 能分解的话,便知()f x 的不可约因式,再确定每个不可约多项式在()f x 中的重数（作带余除法直⾄不能整除）.例：在[]Q x 中分解432()5648f x x x x x =++--解：第⼀步：求()f x ' 32()415124f x x x x '=++-第⼆步：求((),())f x f x ' 2((),())44f x f x x x '=+-第三步：由带余除法得：()f x =22(44)(2)x x x x +-+-第四步：分解()q x ： ()(1)(2)q x x x =-+第五步：确定每个因式的重数：2(1)|(),(1)|()x f x x f x --3()(1)(2)f x x x ∴=-+2.6多项式函数.多项式的根⼀教学思考1. 本节在另⼀观点下——函数观点,重新审视⼀下多项式,且以此重新认识⼀下多项式相等以及引⼊⼀个新的问题——多项式的根（当然多项式的根与多项式整除理论仍密切相关）.事实上,多项式的形式观点与函数观点在中学数学中曾经常⽤到,如在做多项式的加.减.乘运算时,通常运⽤形式观点,有时也理解为函数观点,此⼆者是统⼀的（在⽆限域上）.注意这种认识做到⼼中有数,在教学内容和教学过程中使学⽣逐步建⽴.2. 建⽴多项式的函数观点的关键是引导学⽣真正理解函数的实质——数集间的映射.3. 从内容上看余数定理.多项式的根及因式定理不难理解,其中需要注意的是本节在数环（含1）中讨论,则需要注意余数定理⽤带余除法证之成⽴的条件（除式⾸项系数为1）.根的概念实质与代数⽅程的根没有本质区别,根与（⼀次）因式的关系即与整除密切相关.其中有⼀附带结果——确定满⾜某些条件拉格朗⽇插值公式,只是该⼈给出的⼀种⽅法,可引导学⽣试想其如何⽽来,还有⽆它法.⼆内容、要求1. 内容：多项式函数.余数定理.多项式的根.因式定理.综合除法.拉格朗⽇插值公式,以及将多项式表为()x a -的幂.2. 要求：掌握上述概念与定理.三教学过程注：本节在数环R 中讨论,且设1R ∈,从⽽R Z ?.1. 多项式函数（1）定义. 给定01()[],()n n f x a a x a x R x =+++∈* 对c R ?∈,在()*中以c 代x 便得⼀个确定的数：01n n a a c a c R +++∈.称之为当x c =时()f x 的值,记为()f c .这样就得到R 到R 的⼀个映射,这个映射是由多项式()f x 确定的（:,()f R R c f c →→）,叫做R 上⼀个多项式函数.（2）性质. 由定义求()f c 可⽤c 代替()f x 中的x 直接计算,但有TH2.6.1（余式定理）设()[]f x R x ∈,c R ∈；⽤x c -除()f x 所得的余式等于x c =时()f x 的值()f c .综合除法：设1011(),()n n n n f x a x a x a x a g x x c --=++++=-；⽤()g x 对()f x 作带余除法,可设()()()f x x c q x r =-+ ()*其中120121()n n n n q x b xb x b x b ----=++++；将()f x ,()q x 代⼊()*式,由多项式相等,⽐较同次项系数得： 00110221,1121,,,,n n n n n a b a b cb a b cb a b cb a r cb ----==-=-=-=-得 001012121211,,,,,n n n n n b a b cb a b cb a b cb a r cb a ----==+=+=+=+即欲求k b ,须把前⼀项系数1k b -乘以c 再加上对应系数k a ,r 也可以如此写出.此算法可由下表写出：c | 0a 1a 2a1n a - n a + 0cb 1cb2n cb - 1n cb - 0b 1b 2b1n b - r 例：⽤3x +除42()49f x x x x =++-,求商式和余式.（解略）2. 多项式的根多项式的研究与⽅程的研究有密切的关系,如中学代数中⼀元⼆次⽅程的根与⼆次多项式的因式分解是⼀回事.（1）定义. 设()[],f x R X c R ∈∈,若当x c =时()f x 的值()0f c =,则称c 为()f x 在数环R 中的⼀个根.（2）性质：TH2.6.2(因式定理) 数c 为()f x 的根|()x c f x ?-.TH2.6.3 设()[]f x R X ∈,0(())0f x n ?=≥,则()f x 在R 中⾄多有n 个根（重根按重数计）. TH2.6.4设(),()[]f x g x R X ∈,且0((),())f x g x n ?≤,若以R 中1n +个不同的数来代替x ,每次所得的()f x 与()g x 的值都相等,则()f x =()g x .TH2.6.5 (),()[]f x g x R X ∈,()f x =()g x ?它们定义的R 上的多项式函数相等.2.7 复数域.实数域上的多项式⼀教学思考1. 本节在常⽤的三个数域上将某些结论进⼀步具体化,主要研究在这三个数域上进⼀步明确⼀元多项式的根的情况及因式分解即不可约多项式的形式.2. 在复数域上,所有的结论（不可约多项式的形式.根的情况）是建⽴在代数基本定理的基础上,由此结合上节定理3便得有关结论.代数基本定理证法很多,但鉴于⽬前知识所限暂不作证明.在复数域上另外的结论是根与系数的关系及根号解介绍,其中由根与系数的关系可得的引深问题（⽅程及其变换）可作附注处理.3. 在实数域上的结论是建⽴在其⾮实复根是成对出现这⼀性质之上的,有关结论简洁明了,只须补充⼀些例⼦和说明⼀些结论.⼆内容、要求1. 内容：代数基本定理,复数域上不可约多项式及典型分解式,根与系数的关系；实数域上的多项式的根的性质及不可约多项式的形式.2. 要求：掌握有关定理和结论.三教学过程1.复数域上的多项式（1）TH2.7.1（代数基本定理）设0()[],(())0f x C x f x n ∈?=>,则()f x 在C 内⾄少有⼀个根. TH2.7.2 设0()[],(())0f x C x f x n ∈? =>,则()f x 在C 内有n 个根（重根按重数计）.（2）根与系数的关系（Vieta 定理）⾸先设111()[]n n n n f x x a x a x a C x --=++++∈,令12,,,n ααα为()f x 的n 个复根；则()f x 12()()()n x x x ααα=---. 由多项式相等得：根与系数的关系为：112()n a ααα=-+++ 212131231n n n a αααααααααα-=++++++31231241223421(n n n n a ααααααααααααααα--=-++++++）……12321(1)()k k k n k n n n a αααααααα---=-++…… 123(1)n n n a αααα=-.⼀般地：设1011()[]n n n n f x a x a x a x a C x --=++++∈,令12,,,n ααα为()f x 的n 个复根,则()f x 012()()()n a x x x ααα=---,同理⽐较系数得：1120()n a a ααα=-+++ 2121312310n n n a a αααααααααα-=++++++312312412234210(n n n n a a ααααααααααααααα--=-++++++）(123210)(1)()k k k n k n n n a a αααααααα---=-++(1230)(1)n n n a a αααα=-.2.实数域上的多项式 TH2.7.3设0()[],(())0f x R x f x n ∈?=>;若C α∈是()f x 的⼀个⾮实的复数根,则α的共轭α也是()f x 的根,且α与α有同⼀重数.（即实系数多项式的⾮实复根是以共轭的形式成对出现的.）TH2.7.4实数域上不可约多项式除⼀次多项式外,只有含⾮实共轭复根的⼆次多项式,即22(40)ax bx c b ac ++-<.TH2.7.5设0()[],(())0f x R x f x n ∈?=>,则()f x 的典型分解式为: 12122121122()()()()()()s r l k k k l r f x a x x x x p x q x p x q ααα=---++++其中a 是()f x 的⾸项系数,,i j k l N ∈,40(1,,)i i p q i s -<=,112r si j i j k l n ==+=∑∑.另外：实数域上的多项式的根（实根）的情况⽐较复杂（可有可⽆）,但是,1）实系数奇次多项式⾄少有⼀个实根；2）实系数⾮零多项式的实根个数与多项式的次数有相同的奇偶性.例：1）设6()1f x x =-,求()f x 在[]C x .[]R x 的典型分解式.2）求有单根1-及⼆重根1的次数最低的复系数及实系数多项式.2.8 有理数域上的多项式⼀教学思考1. 本节进⼀步在有理数域上讨论多项式的可约性及有理根的求法.关于这两个问题是转化为整系数多项式在整数环上的可约性及整系数多项式的有理根的求法⽽解决的.对于第⼀个问题,结论是有理数域上存在任意次的不可约多项式,且给出了⼀个判断不可约的充分条件（Eisenstein 判别法）,对于第⼆个问题给出了⼀个较规范的求整系数多项式的有理根的⽅法.2. 关于有理数域上多项式的可约性等价于整系数多项式在整数环上的可约性,体现了（等价）转化思想,为实现这种转化,引⼊了本原多项式的概念和Gauss 引理,其中化法很规范；有了此,只须讨论整系数多项式在整数环上的可约性问题,结果由苛朗奈克给出有⼀般⽅法,鉴于较繁不作介绍,实⽤中给出了⼀个判断整系数多项式在有理数域（整数环）上不可约的充分条件——Eisenstein 判别法.但需注意条件是充分⾮必要的,且有时不能直接使⽤,需对原多项式进⾏变形.3. 关于有理根的求法是在分析了整系数多项式的有理根的性质的基础上⾃然得到的.⼆内容、要求1. 内容：本原多项式.Gauss 引理.Eisenstein 判别法.整系数多项式的有理根的性质与求法2. 要求：掌握Gauss 引理,Eisenstein 判别法.有理根的求法三教学过程（⼀）有理数域上多项式的可约性1.有理系数多项式在有理数域上的可约性与整系数多项式在整数环上的可约性设()[]f x Q x ∈,若()f x 的系数不为整数,则以()f x 的系数的公分母的⼀个整数倍k 乘以()f x 得()[]kf x Z x ∈；显然()f x 与()kf x 在有理数域上具有相同的可约性.这样讨论有理数域上多项式的可约性只须讨论整系数多项式在有理数域上的可约性.问题：能否转化为讨论整系数多项式在整数环上的可约性？此问题的⼀⾯是成⽴的,即整系数多项式在整数环上可约,则其在有理数域上也⼀定可约.关键是问题的另⼀⾯,即整系数多项式在有理数域上可约,则其在整数环上是否也⼀定可约？为此,引⼊：（1）本原多项式及其性质A ）定义. 设()[]f x Z x ∈,若()f x 的系数互素,则称()f x 为⼀个本原多项式.B ）性质：Gauss 引理：两个本原多项式的积仍是⼀个本原多项式.（2）整系数多项式在有理数域上的可约性与在整数环上的可约性的⼀致性TH2.8.2设()[]f x Z x ∈,0(())0f x n ?=>,若()f x 在[]Q x 上可约,则()f x 在[]Z x 上也可约.2.整系数多项式在有理数域上不可约的⼀个充分条件——Eisenstein 判别法TH2.8.3设2012()[]n n f x a a x a x a x Z x =++++∈,若存在⼀个素数p 使得：1）|n p a ；2）|(0,1,,1)i p a i n =-；3）20|p a .则()f x 在有理数域上不可约.例：证明542()2631215f x x x x x =++-+在[]Q x 上不可约.（⼆）有理系数多项式的有理根TH2.8.4设101()[]n n n f x a x a x a Z x -=++++∈,0(())0f x n ?=>,若有理数u v是()f x 的⼀个根（这⾥,,(,)1u v Z u v ∈=）.则1）0|v a ,|n u a ；2）()()(),()[]u f x x g x g x Z x v =-∈.。
多项式的认识课程设计教案
多项式的认识课程设计教案课程设计教案，以多项式的认识。
一、教学目标。
1. 知识目标，学生能够掌握多项式的定义、性质和运算法则。
2. 能力目标，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学分析和解决问题的能力。
3. 情感目标，激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学学习兴趣和学习习惯。
二、教学重点与难点。
1. 教学重点，多项式的定义、性质和运算法则。
2. 教学难点，多项式的运算法则和应用。
三、教学内容。
1. 多项式的定义。
1.1 一元多项式和多元多项式的定义。
1.2 多项式的次数和项数的概念。
1.3 多项式的系数和常数项的概念。
2. 多项式的性质。
2.1 多项式的加法性质。
2.2 多项式的减法性质。
2.3 多项式的乘法性质。
2.4 多项式的除法性质。
3. 多项式的运算法则。
3.1 多项式的加减法运算。
3.2 多项式的乘法运算。
3.3 多项式的除法运算。
3.4 多项式的因式分解。
4. 多项式的应用。
4.1 多项式在代数运算中的应用。
4.2 多项式在数学建模中的应用。
4.3 多项式在实际问题中的应用。
四、教学方法与手段。
1. 教学方法。
1.1 讲授法，通过教师讲解多项式的定义、性质和运算法则，引导学生理解和掌握知识点。
1.2 实例法，通过实际例子和问题，引导学生运用多项式的知识解决实际问题。
1.3 合作学习法，组织学生进行小组合作学习，促进学生之间的交流和合作，提高学生的学习效果。
2. 教学手段。
2.1 教学课件，利用多媒体教学课件，辅助教师讲解和展示多项式的相关知识点。
2.2 教学实验，组织学生进行多项式的实际操作和实验，加深学生对多项式知识的理解和掌握。
2.3 教学工具，提供多项式的相关教学工具和教学设备，如代数板、数学模型等。
五、教学过程。
1. 导入新课。
通过举例引导学生了解多项式的基本概念，引发学生对多项式的兴趣。
2. 讲解多项式的定义和性质。
通过教师讲解和课件展示，引导学生理解多项式的定义和性质，掌握多项式的基本概念。
多项式优秀教案市公开课一等奖教案省赛课金奖教案
多项式优秀教案一、教案概述本教案旨在通过多种教学活动和方法，帮助学生在多项式的学习过程中掌握其基本概念、性质和运算方法，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
通过多项式优秀教案的设计，旨在培养学生对多项式及其运算的兴趣，使他们能够有效地运用多项式来解决实际问题。
二、教学目标知识目标：1. 了解多项式的基本概念和性质；2. 掌握多项式的分类及其运算规则；3. 能够利用多项式解决实际问题。
能力目标：1. 培养学生的数学思维能力，提高分析和解决问题的能力；2. 培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。
情感目标：1. 培养学生对数学的兴趣，增强学习的自觉性和主动性；2. 培养学生的合作意识和创新意识。
三、教学重点和难点教学重点：1. 多项式的定义和性质；2. 多项式的分类及其运算规则。
教学难点：1. 多项式的运算规则的灵活应用；2. 运用多项式解决实际问题。
四、教学过程设计一、导入（5分钟）通过复习上节课所学的代数基础知识，如字母代数式、一元一次方程等，引出多项式的概念。
二、概念讲解（10分钟）1. 介绍多项式的定义和性质，引导学生理解多项式的含义和特点。
2. 通过示例和图示，讲解多项式中各术语的含义，如项、次数、系数等。
三、分类及运算规则（20分钟）1. 分类讲解：介绍一元多项式和多元多项式的概念，并举例说明。
2. 讲解多项式的加法和减法运算规则，通过具体例子引导学生理解运算规则的应用。
3. 引导学生探讨多项式的乘法运算规则，提供多个乘法运算的实例进行讲解。
四、练习与巩固（15分钟）1. 分组讨论：将学生分成小组，通过设计一些练习题，让学生运用所学的多项式运算规则进行解答。
2. 师生互动：教师引导学生讨论解题过程，澄清疑惑，并给予必要的指导。
3. 教师讲解并纠正：由教师对学生的解题过程进行指导和评价，纠正他们可能存在的错误。
五、应用拓展（20分钟）1. 引导学生观察和分析一些实际问题，如物体运动、商业应用等，通过建立多项式模型来解决问题。
数学《多项式的概念》教案
数学《多项式的概念》教案一、教学目标：1. 掌握多项式的概念。
2. 理解多项式的系数与次数的含义。
3. 学习多项式的加减、乘法和除法运算。
4. 应用多项式解决实际问题。
二、教学重难点：1. 掌握多项式的系数、项、次数、单项式、多项式等概念。
2. 理解多项式的加减、乘法和除法运算。
3. 能够应用多项式解决实际问题。
三、教学方法：1. 教师讲解与学生自主探究相结合的方法。
2. 实验模拟与案例分析的方法。
3. 课堂演示与学生互动的方法。
四、教学内容：1. 多项式的概念。
多项式是指含有一个或多个未知量的项的加减式，其中每个项都是形如ax^n的代数式，其中a称之为系数，n称之为次数。
例如：4x^3+3x^2-2x+1是一个四次多项式，其中4、3、-2、1分别是它的各项系数，3、2、1、0是它的各项次数。
2. 多项式的基本运算（1）加减运算若P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0，Q(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1x+b_0是两个多项式，其中n≥m，则有 P(x)±Q(x)=(a_n±b_n)x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{n-m}x^{n-m}+...+a_1x+a_0±b_mx^m±b_{m-1}x^{m-1}±...±b_1x±b_0。
（2）乘法运算若P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0，Q(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1x+b_0是两个多项式，则它们的乘积为：P(x)·Q(x)=\sum_{k=0}^{n+m} c_kx^k。
其中，c_k=a_0b_k+a_1b_{k-1}+...+a_{k-1}b_1+a_kb_0，k=0,1,2,...,n+m；3. 多项式的除法运算当P(x)是一个n次多项式（n≥1），Q(x)是一个m次多项式（m≥1），且n≥m，将P(x)除以Q(x)，将得到一对多项式：商式S(x)和余式R(x)。
七年级多项式教案过程与方法
七年级多项式教案过程与方法
一、教学目标：
1. 理解因式分解的意义及其重要性。
2. 学习如何对多项式进行因式分解，掌握基本的分解方法。
3. 培养观察、思考、探究的能力，提高数学素养。
二、教学重点：
掌握多项式的因式分解方法。
三、教学难点：
1. 理解因式分解与整式之间的联系与区别。
2. 探究新的分解方法，解决实际问题。
四、教学步骤：
1. 引入：通过展示一些多项式的例子，引导学生观察并思考这些多项式有什么特点。
引导学生总结出因式分解的概念。
2. 讲解：讲解如何对多项式进行因式分解，常用的方法有提取公因式法和公式法等。
通过实例讲解，让学生了解这些方法的应用。
3. 练习：让学生练习因式分解的题目，教师进行指导。
通过练习，让学生掌握因式分解的方法和技巧。
4. 探究：探究新的分解方法，如十字相乘法等。
通过探究，让学生了解这些方法的应用，并解决一
些实际问题。
5. 总结：总结本节课的内容，强调因式分解的意义
和方法，让学生了解因式分解在数学中的重要性和应用。
6. 作业：布置一些因式分解的作业，让学生回家练习，巩固本节课的知识。
五、教学反思：
回顾本节课的教学过程，检查学生的掌握情况，了解学生对因式分解的理解和应用情况，及时调整教学方法，提高教学效果。
多项式教案
多项式教案主题：多项式的概念与运算目标：引导学生了解多项式的概念，掌握多项式的加、减、乘运算方法，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
一、知识点讲解及例题演练（200字）1. 多项式的概念：多项式是由若干项组成的代数式，每一项由常数与一个或多个变量的乘积构成，并且每一项的指数必须是非负整数。
2. 多项式的加减运算：a. 同类项的相加减：将相同次数的项的系数相加减，指数保持不变。
例题：将多项式p(x) = 3x² + 4x + 5与q(x) = 2x² - 6x + 3相加，求和式的最简形式。
b. 不同次数的项相加减：无法合并的项保持原样不变。
例题：将多项式p(x) = 2x³ + 3x² + x + 4与q(x) = 5x² - 6x + 3相减，求差式的最简形式。
3. 多项式的乘法运算：将每一项的系数相乘，指数相加。
例题：将多项式p(x) = (3x-2)(2x+3)进行乘法运算，将结果展开成多项式的标准形式。
二、小组讨论与问题解决（150字）1. 分组讨论：将学生分组进行问题讨论，每个小组选择一个多项式运算问题，并用合适的方法解决和展示。
2. 问题解决：每个小组选择一个问题进行解答，如多项式的乘法运算应用于生活中的实际情境，例如：房屋价格的计算、旅行费用的计算等等。
三、课堂练习与作业布置（150字）1. 课堂练习：a. 练习加减法：完成练习册中关于多项式加减法的习题。
b. 练习乘法运算：完成练习册中关于多项式乘法的习题。
c. 实际问题解决：完成练习册中关于多项式运算应用的习题。
2. 作业布置：a. 完成练习册中剩余习题。
b. 阅读课本相关内容，复习多项式概念及运算方法。
c. 准备小组讨论的结果，准备展示。
四、复习与总结（100字）1. 复习：回顾课堂讲解的知识点和例题，复习多项式的概念、加减乘法运算方法以及相关的应用。
2. 总结：总结多项式的基本概念和运算方法，并强调学生在实践和解题中培养逻辑思维和问题解决能力的重要性。
多项式教案
多项式教案一、教学目标：1. 理解多项式的概念及相关术语。
2. 能够进行多项式的加减乘除运算。
3. 能够应用多项式解决实际问题。
二、教学重点：1. 多项式的基本概念及相关术语。
2. 多项式的加减乘除运算。
三、教学难点：多项式的加减乘除运算。
四、教学准备：课件、多项式的实例题、练习题。
五、教学过程：Step 1 引入1. 分享一个实际问题：小明在花园里建了一个长方形花坛，其中一条边长是x米，另一条边长是(x+3)米。
问花坛的面积是多少？2. 引导学生思考，如何表示和计算花坛的面积。
Step 2 探究1. 讲解多项式的概念：多项式是由常数项、一次项、二次项等以加法或减法连接而成的代数式。
2. 引导学生观察实例题中的多项式，找出其中的常数项、一次项和二次项，解释其含义。
3. 引导学生观察多项式中的系数和指数的特点，解释其含义。
4. 引导学生观察多项式的运算规律，例如同类项相加得到新的多项式，多项式相减得到新的多项式，多项式相乘得到新的多项式。
Step 3 实践1. 将学生分成小组，进行多项式的加减乘除实践演练。
2. 提供一些实际问题，让学生应用多项式解决，例如：小明和小华一起去商场购物，小明花费了3元购买了一盒饼干，小华花费了2元购买了一瓶果汁，他们一共花费了多少钱？3. 引导学生将实际问题转化为多项式运算，解决问题。
Step 4 系统总结1. 总结多项式的基本概念及相关术语。
2. 总结多项式的加减乘除运算规律。
3. 引导学生将所学知识进行归纳、总结。
六、课堂练习：1. 计算以下多项式的和：(2x^2 + 3x + 4) + (3x^2 + 2x + 1)2. 计算以下多项式的差：(5x^2 + 7x + 9) - (2x^2 + 3x + 4)3. 计算以下多项式的积：(5x^2 + 3x + 2) * (2x + 4)4. 计算以下多项式的商：(6x^2 + 12x + 8) ÷ (2x + 4)七、作业布置：1. 完成课堂上的练习题。
多项式的教案
多项式的教案教案概述：本教案主要介绍多项式的概念、性质和操作方法。
通过课件、示例和练习等方式，帮助学生理解和掌握多项式的基本概念和运算规则，培养学生分析和解决多项式问题的能力。
教学目标：1. 理解多项式的概念，掌握多项式的术语和符号；2. 掌握多项式的加减、乘法运算规则；3. 能够进行多项式的因式分解和提取公因式；4. 能够应用多项式进行实际问题的求解。
教学重点：1. 多项式的定义和术语；2. 多项式的加减和乘法运算；3. 多项式的因式分解和提取公因式。
教学难点：1. 多项式乘法的应用；2. 多项式因式分解和提取公因式的应用。
教学准备：1. 多项式定义和术语的课件；2. 多项式加减乘法运算示例的课件；3. 多项式因式分解和提取公因式的课件；4. 多项式练习题和答案。
教学过程：Step 1：导入新知通过展示多项式的定义和术语，引导学生了解多项式的概念和表示方式，并与学生共同规定多项式的标志和符号。
Step 2：多项式的加减运算1. 展示多项式加减运算的基本规则，通过示例和类比，解释多项式加减运算的具体步骤。
2. 给学生练习题，巩固多项式的加减运算规则。
Step 3：多项式的乘法运算1. 展示多项式乘法运算的基本规则，通过示例和类比，解释多项式乘法运算的具体步骤。
2. 给学生练习题，巩固多项式的乘法运算规则。
Step 4：多项式的因式分解和提取公因式1. 展示多项式因式分解和提取公因式的基本规则，通过示例和类比，解释多项式因式分解和提取公因式的具体步骤。
2. 给学生练习题，巩固多项式因式分解和提取公因式的方法。
Step 5：应用实例引导学生通过实际问题解决多项式的运算和因式分解问题，培养学生应用多项式解决实际问题的能力。
Step 6：总结和拓展总结多项式的定义和运算规则，巩固学生对多项式的理解和掌握程度。
根据学生水平和进度，可以拓展多项式的其他应用和相关知识。
Step 7：课堂小结对本节课进行小结，梳理重点和难点内容，解答学生的疑问。
七年级上册数学教案《多项式》
七年级上册数学教案《多项式》教学目标1、理解多项式的相关概念，会确定一个多项式的次数，会命名多项式。
2、会应用多项式。
教学重点多项式以及相关概念。
教学难点确定多项式的次数和项。
教学过程一、复习导入单项式：都是数或字母的积的式子。
单项式的系数：单项式中的数字因数。
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和。
师：这节课我们一起来学习多项式。
二、学习新知v+2.5，v-2.5，3x+5y+2z，1/2ab-Πr²,x²+2x+18,这些式子有什么特点？这些式子都可以看作几个单项式的和。
例如，v-2.5可以看作单项式v与-2.5的和；x²+2x+18可以看作单项式x²，2x与18的和。
1、多项式：几个单项式的和。
2、项：每个单项式。
3、常数项：不含字母的项。
例如v-2.5的项是v与2.5。
其中-2.5是常数项；x²+2x+18的项是x²，2x与18，其中18是常数项。
4、多项式的项数：有几个单项式，就是几项。
5、多项式的次数：次数最高项的次数。
例如，v-2.5中次数最高项是一次项v，这个多项式的次数是1；多项式x²+2x+18中次数最高项是二次项x²，这个多项式的次数是2。
6、命名：几次几项式。
7、整式：单项式与多项式统称整式。
例如单项式100t，0.8p，mn，a²h，-n，以及多项式v+2.5，v-2.5，3x+5y+2z，1/2ab-Πr²，x²+2x+18等都是整式。
三、巩固练习1、如图，用式子表示圆环的面积。
当R=15cm，r=10cm时，求圆环的面积（Π取3.14）。
解：外圆的面积减去内圆的面积就是圆环的面积，所以圆环的面积是ΠR² - Πr²。
当R=15cm，r=10cm时，圆环的面积（单位：cm²）是ΠR² - Πr² = 3.14 × 15² - 3.14×10²= 392.5这个圆环的面积是392.5cm²。
初中多项式教案
初中多项式教案教学目标：1. 理解多项式的定义和基本概念；2. 学会多项式的加减法和乘法运算；3. 能够应用多项式解决实际问题。
教学重点：1. 多项式的定义和基本概念；2. 多项式的加减法和乘法运算；3. 应用多项式解决实际问题。
教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 练习题和答案。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入多项式的概念，通过生活中的实例来说明多项式的应用；2. 引导学生思考多项式与单项式的关系。
二、多项式的定义和基本概念（10分钟）1. 讲解多项式的定义，即几个单项式的和叫做多项式；2. 介绍多项式的项、系数、次数等基本概念；3. 举例说明多项式的不同形式。
三、多项式的加减法（15分钟）1. 讲解多项式加减法的规则，即同类项相加减，保留相同的项，改变系数；2. 进行示例运算，引导学生跟蹤解题步骤；3. 让学生进行练习，并提供解答。
四、多项式的乘法（15分钟）1. 讲解多项式乘法的规则，即使用分配律进行乘法运算；2. 进行示例运算，引导学生跟蹤解题步骤；3. 让学生进行练习，并提供解答。
五、应用多项式解决实际问题（10分钟）1. 提供一些实际问题，让学生运用多项式进行解决；2. 引导学生思考多项式在实际问题中的应用和意义；3. 让学生进行练习，并提供解答。
六、总结和复习（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，强调多项式的定义和基本概念；2. 提醒学生掌握多项式的加减法和乘法运算规则；3. 鼓励学生在日常生活中发现和应用多项式。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够理解多项式的定义和基本概念，学会多项式的加减法和乘法运算，并能够应用多项式解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生思考和理解多项式的概念，通过示例和练习让学生熟练掌握多项式的运算规则。
同时，要注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，使他们能够灵活运用多项式知识。
2.1.3多项式(教案)
在今天的教学过程中，我发现学生们对于多项式的定义和运算掌握得还算不错，但在合并同类项这个环节上，确实存在一些困难。我意识到，这可能是因为他们在处理具体问题时，对于如何准确识别同类项还不够熟练。在今后的教学中，我需要在这个环节上多下一些功夫，设计更多的实例和练习，帮助学生更好地掌握这个技能。
另外，我发现在小组讨论环节，学生们表现得非常积极，大家都能主动参与到讨论中，提出自己的观点。这让我感到很欣慰，因为这说明学生们已经开始学会合作、交流，这种能力对他们来说非常重要。
然而，我也注意到，在讨论过程中，部分学生对于多项式在实际生活中的应用还不够了解。这可能是因为他们在日常生活中没有注意到这些数学知识的应用。为了改善这个问题，我打算在接下来的课程中，引入更多与生活相关的例子，让学生们能够更好地理解数学知识在实际生活中的重要性。
2.思维与发展：通过多项式的运算和性质教学，激发学生的数学思维能力，发展他们的逻辑思维和批判性思维，提高分析和解决问题的能力。
3.价值观与态度：培养学生正确的数学价值观和积极的学习态度，使他们认识到数学知识在实际生活中的重要性，激发对数学学科的兴趣和热情。
本节课将紧扣新教材要求，注重培养学生的核心素养，为学生的终身发展奠定基础。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了多项式的定义、运算和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对多项式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
《多项式教案》
《多项式教案》word版第一章：多项式的概念与基本性质1.1 多项式的定义解释多项式的概念，引导学生理解多项式是由常数、变量及它们的运算符组成的代数表达式。
举例说明多项式的不同形式，如ax^2 + bx + c。
1.2 多项式的项解释多项式中的项是指由常数与变量的乘积组成的代数表达式。
强调项中的系数、变量和指数的概念，并提供相关例题进行讲解。
1.3 多项式的度数介绍多项式的度数是指多项式中最高次项的次数。
举例说明如何确定一个多项式的度数，并强调度数与多项式长度之间的关系。
1.4 多项式的系数解释多项式中各项的系数是指变量的系数，即变量前的常数。
提供例题讲解如何计算和理解多项式中各项的系数。
第二章：多项式的运算2.1 多项式的加法解释多项式加法是指将两个多项式相加得到一个新的多项式。
演示如何进行多项式的加法运算，并提供练习题让学生进行实践。
2.2 多项式的减法解释多项式减法是指将一个多项式减去另一个多项式得到一个新的多项式。
演示如何进行多项式的减法运算，并提供练习题让学生进行实践。
2.3 多项式的乘法解释多项式乘法是指将两个多项式相乘得到一个新的多项式。
演示如何进行多项式的乘法运算，并提供练习题让学生进行实践。
2.4 多项式的除法解释多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式得到一个新的多项式。
演示如何进行多项式的除法运算，并提供练习题让学生进行实践。
第三章：多项式的因式分解3.1 因式分解的概念解释因式分解是指将一个多项式分解成两个或多个因式的乘积的形式。
强调因式分解的重要性，并展示因式分解的应用示例。
3.2 提取公因式解释提取公因式是指从多项式中提取出一个共同的因式，简化多项式的形式。
演示如何提取公因式，并提供练习题让学生进行实践。
3.3 因式分解的常用方法介绍因式分解的常用方法，如分组分解法、交叉相乘法等。
演示如何应用这些方法进行因式分解，并提供练习题让学生进行实践。
3.4 因式分解的应用解释因式分解在解决代数方程、不等式等问题中的应用。
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2.1 整式---多项式
教学内容：
教科书第56—59页，2.1整式：2．多项式。
教学目标和要求：
1．通过本节课的学习，使学生掌握整式多项式的项及其次数、常数项的概念。
2．通过小组讨论、合作交流，让学生经历新知的形成过程，培养比较、分析、归纳的能力。
由单项式与多项式归纳出整式，这样更有利于学生把握概念的内涵与外延，有利于学生知识的迁移和知识结构体系的更新。
3．初步体会类比和逆向思维的数学思想。
教学重点和难点：
重点：掌握整式及多项式的有关概念，掌握多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念。
难点：多项式的次数。
教学方法：
分层次教学，讲授、练习相结合。
教学过程：
一、旧知复习
1、 练习巩固
2、 复习提问：什么是单项式、系数、次数？
二、讲授新课：
创设情境：1、小明房间的窗户如图所示，其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成（它们的半径相同）（1）装饰物所占的面积是多少？（2）窗户能射进阳光部分的面积是多少？（让学生讨论）
2、填空
（1）一个数比数x 的2 倍小3，则这个数为____ ;
（2）如图1，三角板的面积为_ _ _ _；
(3)买一个篮球需要x 元，买一个排球需要y 元买一 个足球需要40元，买3个篮球、5个排球、2个足球共需要 元；
得出结果让学生观察 (由学生小组派代表回答，教师应肯定每一位学生说出的特点，培养学生观察、比较、归纳的能力，同时又锻炼他们的口表能力。
通过特征的讲述，由学生自己归纳出多项式的定义，教室可给予适当的提示及补充。
)
3多项式：
板书由学生自己归纳得出的多项式概念。
上面这些代数式都是由几个单项式相加而成3540x y ++23x -2
12
ab r π-216ab b π-
的。
像这样，几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项其中，不含字母的项，叫做常数项
一个多项式含有几项，就叫几项式。
多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
注意：
(1)多项式的次数不是所有项的次数之和；
(2)多项式的每一项都包括它前面的符号。
(教师介绍多项式的项和次数、以及常数项等概念，并让学生比较多项式的次数与单项式的次数的区别与联系，渗透类比的数学思想。
)
2．例题：
例1：判断：
①多项式a 3－a 2ｂ＋a b 2－b 3的项为a 3、a 2ｂ、a b 2、b 3，次数为12；
②多项式3n 4－2n 2＋1的次数为4，常数项为1。
(这两个判断能使学生清楚的理解多项式中项和次数的概念，第(1)题中第二、四项应为 －a 2b 、－b 3，而往往很多同学都认为是a 2b 和b 3，不把符号包括在项中。
另外也有同学认为该多项式的次数为12，应注意：多项式的次数为最高次项的次数。
)
例2：指出下列多项式的项和次数：
(1)3x －1＋3x 2； (2)4x 3＋2x －2y 2。
解：略。
例3：指出下列多项式是几次几项式。
(1)x 3－x ＋1； (2)x 3－2x 2y 2＋3y 2。
解：略。
例4：已知代数式3x n －(m －1)x ＋1是关于x 的三次二项式，求m 、n 的条件。
解：略。
(让学生口答例2、例3，老师在黑板上规范书写格式。
讲述例2时应特别提醒学生注意， 多项式的项包括前面的符号，多项式的次数应为最高次项的次数。
在例3讲完后插入整式的定义：
单项式与多项式统称整式(integr a l expression)。
例4分析时要紧扣多项式的定义，培养学生的逆向思维，使学生透彻理解多项式的有关概念，培养他们应用新知识解决问题的能力。
)
通过其中的反例练习及例题，强调应注意以下几点：
6．课堂练习：课本p59：1，2。
①填空：－45a 2b －3
4a b ＋1是 次 项式，其中三次项系数是 ，二次项为 ，常数项为 ，写出所有的项 。
②已知代数式2x 2－mnx 2＋y 2是关于字母x 、y 的三次三项式，求m 、n 的条件。
三、课堂小结：
①理解多项式的定义，能说出一个多项式是几次几项式，最高次数是几，分别由哪几项组成，各项的系数分别为多少，常数项为几。
②这堂课学习了多项式，与前一节所学单项式合起来统称为整式，使知识形成了系统。
(让学生小结，师生进行补充。
)
四、课堂作业：课本p60：3
教学后记：
从学生已掌握的列代数式入手，既复习了所学知识，又巧妙的引入了新知，介绍多项式的项、次数以及常数项的概念后，引导学生循序渐进，一步一步的接近本节课学习的重点、难点。
掌握了所有的概念后由学生自己举一些多项式的例子，这样更能反映出学生掌握知识的程度，同时也体现了学生学习的主体性。
最后列举几个例子，与学生一起完成。
教学中一方面教师要示范严格的书写格式，另一方面也可使学生顺着教师的思路，体验一下老师是如何想的，如何来考虑问题的，然后由学生完成当堂课的练习，也可让一两位同学上黑板完成。
要了解学生是否真正掌握本节课的内容，可由学生自己进行课堂小结，接着布置作业进一步巩固本课所学知识。