2017_2018版高中数学第二章解三角形1_2余弦定理学案北师大版必修5
北师大版高中数学必修5《二章 解三角形 1 正弦定理与余弦定理》赛课导学案_2
第七节正弦定理和余弦定理【知识与技能】：1、掌握正弦定理、余弦定理及它们的常见变形形式。
2、能够运用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题。
3、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．【教学重点】正弦定理、余弦定理及它们的常见变形形式。
【教学难点】利用正弦定理、余弦定理解三角形，判断三角形形状，求三角形面积等。
【基本知识梳理】一、正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则：思考：正弦定理，余弦定理解决的问题？二、三角形的面积公式1．S ＝12a ·h a ，(h a 表示a 边上的高)． 2．S ＝12bc sin A ＝ ＝ . 3．S ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 为三角形内切圆半径)． 【本节考点研究】考点一：利用正弦、余弦定理解三角形例1、(1)(2013·抚顺模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为（B ）A.π6 B ．π3 C.π2 D ．3π2解析：由p ∥q 得()()()0a c c a b b a +---=， ∴a 2＋b 2－c 2＝ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12, 又0<C <π， ∴C ＝π3. (2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于（ B ）A ．1B ．2 C.3－1 D ．3思路一：利用正弦定理求解。
思路二：利用余弦定理求解。
【变式训练】(1)若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( D ) A.154 B ．34 C.31516 D ．1116(2) 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝_145_. 考点二：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例2、(1)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且三内角A ，B ，C 成等差数列，三边长a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为（A ）A ．等边三角形B ．非等边的等腰三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C. ①求A 的大小； ②若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：①由已知和正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，∴a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12， 又0<A <π，∴A ＝120°.②由①知，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 即34＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B ，代入上式，(2sin B －1)2＝0， ∴sin B ＝12， ∴sin B ＝sin C ＝12. 又0°<B ，C <90°， ∴B ＝C ， ∴ △ABC 是等腰的钝角三角形【变式训练】(1)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222222c a b ab =++ ，则△ABC 是( A )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2bcos C ，则此三角形一定是( C )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形【本节课堂小结】1、掌握正弦定理、余弦定理及它们的常见变形式。
高中数学 第2章 解三角形 1.2 余弦定理教案 北师大版必修5-北师大版高二必修5数学教案
1.2 余弦定理学 习 目 标核 心 素 养1.了解用向量数量积证明余弦定理的方法，体会向量工具在解决三角形度量问题时的作用．(难点)2．掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(重点)1.通过余弦定理的推导提升逻辑推理素养．2．通过余弦定理在解三角形中的应用提升数学运算素养.1．余弦定理阅读教材P 49～P 50例4以上部分，完成下列问题．语言表述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号表示a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab作用实现三角形边与角的互化.思考：(1)余弦定理和勾股定理有什么关系？[提示] 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． (2)观察余弦定理的符号表示及推论，你认为余弦定理可用来解哪类三角形？ [提示] ①已知两边及其夹角，解三角形； ②已知三边，解三角形．2．余弦定理的推导如图，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c 那么c ＝a －b ． |c |2＝c ·c ＝(a －b )·(a －b ) ＝a ·a ＋b ·b －2a ·b＝a 2＋b 2－2ab cos C 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ． 同理可证：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，1．在△ABC 中，符合余弦定理的是( ) A ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C B ．c 2＝a 2－b 2－2bc cos A C ．b 2＝a 2－c 2－2bc cos A D ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22abA [由余弦定理知选A ．]2．在△ABC 中，若已知a ＝2，b ＝3，c ＝5，则cos A ＝_____________. 53 [cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋5－42×3×5＝53.] 3．在△ABC 中，已知A ＝60°，b ＝2，c ＝1，则a ＝________. 3 [a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a ＝ 3.]已知两边及一角解三角形【例1】 (1)已知△ABC 中，cos A ＝35，a ＝4，b ＝3，则c ＝________.(2)在△ABC 中，已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为________． (1)5 (2)7 [(1)A 为b ，c 的夹角，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得16＝9＋c 2－6×35c ，整理得5c 2－18c －35＝0. 解得c ＝5或c ＝－75(舍去)．(2)在△ABC 中，由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(33)2＋22－2×33×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝49. 所以b ＝7.](1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法①先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况；②用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)已知两边及其夹角解三角形的方法方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． 方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． [提醒] 解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，则用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方便.1．(1)在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则c ＝________. (2)在△ABC 中，已知A ＝120°，a ＝7，b ＋c ＝8，求b ，c ． (1)19 [由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19， 所以c ＝19.] (2)[解] 由余弦定理， 得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )，所以49＝64－2bc ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，即bc ＝15， 由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝8，bc ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝5，c ＝3.已知三边(三边关系)解三角形【例2】 (1)在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，求A ，B ，C ．(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝C,2b ＝3a ，求cos A ．[解] (1)由于a ∶b ∶c ＝1∶3∶2， 可设a ＝x ，b ＝3x ，c ＝2x .由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝3x 2＋4x 2－x22×3x ×2x＝32， 故A ＝30°.同理可求得cos B ＝12，cos C ＝0，所以B ＝60°，C ＝90°.(2)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a ． 所以cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角．2．(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )，则A ＝( )A ．90°B ．60°C ．120°D ．150°(2)在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长． (1)C [由(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )可得a 2－c 2＝b 2＋bc ，即a 2＝c 2＋b 2＋bc ．根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝120°.故选C ．] (2)[解] 由余弦定理的推论得：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，则x ＝7.所以，所求中线长为7.三角形形状的判断1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，能够判定△ABC 为等腰三角形吗？[提示] 能．由正弦定理和sin A ＝sin B 知a ＝b ，故△ABC 是等腰三角形． 2．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ，能够判定△ABC 为等腰三角形吗？[提示] 不能．由sin 2A ＝sin 2B 得2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 是等腰三角形或直角三角形．3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，要判定三角形的形状，是把a cos A ＝b cos B 中的边化为角，还是把角化为边？[提示] 都可以，化角为边：由余弦定理得a ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b ×a 2＋c 2－b 22ac，化简得(a ＋b )(a －b )(c 2－a 2－b 2)＝0，故a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．化边为角：由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，故2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，则A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．4．判断三角形形状的基本思路是什么？ [提示] 思路一：从角的关系判定． 思路二：从边的关系判定． 思路三：从边与角的关系判定．【例3】 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．[解] 法一：由正弦定理得sin C sin B ＝c b ，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b. 又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b ．又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，即b 2＝c 2.所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ．所以△ABC 为等边三角形．法二：因为A ＋B ＋C ＝180°，所以sin C ＝sin(A ＋B )，又因为2cos A sin B ＝sin C ， 所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B ． 又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 得(a ＋b )2－c 2＝3ab ， 所以a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°＜C ＜180°，所以C ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．1．(变条件)把例3的条件换为：b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A ，判断△ABC 的形状． [解] 法一：由条件b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A 得cos A ＝b 2c ＝c2b ，即b ＝c ，把b ＝c 代入b ＝2c cos A 得cos A ＝12，所以A ＝60°，所以△ABC 是等边三角形．法二：由正弦定理知sin B ＝2sin C cos A ，sin C ＝ 2sin B cos A ，即sin(A ＋C )＝2sin C cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 即sin C cos A ＝sin A cos C ，所以sin(A －C )＝0，A ＝C ， 同理可得A ＝B ，所以三角形△ABC 为等边三角形．2．(变条件)把例3的条件换为：cos 2A 2＝b ＋c 2c，试判断△ABC 的形状． [解] 法一：∵cos 2A 2＝1＋cos A 2且cos 2A 2＝b ＋c 2c ，∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，即cos A ＝b c . 由正弦定理，得cos A ＝sin Bsin C ，∴cos A sin C ＝sin(A ＋C )，整理得sin A cos C ＝0.∵sin A ≠0，∴cos C ＝0，∴C ＝π2.故△ABC 为直角三角形．法二：同法一得cos A ＝b c .由余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，整理得a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．(2)若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形，但用正弦定理时要注意不要漏解或多解．2．判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若已知两边和一边所对的角，不能用余弦定理解三角形．( ) (2)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则△ABC 是锐角三角形．( ) (3)在△ABC 中，若已知a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，可以解三角形．( ) [答案] (1)× (2)× (3)×[提示] (1)错误，如已知a ，b 和A ，可利用公式a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 求c ，进而可求角B 和C ．(2)错误，由b 2＋c 2＞a 2和cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc可得cos A ＞0，则A 是锐角，但角B 或C 可能是钝角，△ABC 未必是锐角三角形．(3)错误，已知△ABC 三边的比值，可求其三角，但不能求出三角形的三边，即不能解三角形．2．若△ABC 的三边满足a ∶b ∶c ＝2∶2∶3，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等腰三角形A [设a ＝2k ，b ＝2k ，c ＝3k ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2k 2＋3k 2－4k 22×2k ×3k ＝126＞0，故A是锐角，且A ＞B ＞C ，所以△ABC 是锐角三角形．]3．在△ABC 中，b 2＋a 2＝c 2＋ab ，则角C ＝________. π3 [由b 2＋a 2＝c 2＋ab 得b 2＋a 2－c 22ab ＝12， 即cos C ＝12，又C ∈(0，π)，故C ＝π3.]4．已知△ABC 的边长满足等式a 2－(b －c )2bc ＝1时，求A ．[解] 由a 2－(b －c )2bc ＝1，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0＜A ＜π，所以A ＝π3.。
北师大版高中数学必修5《二章 解三角形 1 正弦定理与余弦定理 1.2余弦定理》赛课导学案_8
《余弦定理》（第一课时）教学设计一、教学内容解析本节内容选自普通高中课程标准实验教科书北师大版《数学》必修5第二章《解三角形》第一节正弦定理和余弦定理。
第一节约4课时，2课时通过探究证明正弦定理，应用正弦定理解三角形；2课时通过探究证明余弦定理，应用余弦定理解三角形。
本节课是余弦定理的第一课时，属于定理教学课。
正余弦定理是定量研究三角形边角关系的基础，它们为解三角形提供了基本方法，为后续解决测量等实际问题提供了理论基础和操作工具。
余弦定理是继正弦定理之后的解三角形又一有力工具，完善了解三角形体系，为解决三角形的边角关系提供了新的方法；是对任意三角形“边、角、边”和“边、边、边”问题进行量化分析的结果，将两种判定三角形全等的定性定理转化为可计算的公式。
纵观余弦定理的发展史，它的雏形出现公元前3世纪。
在欧几里得《几何原本》卷二对钝角三角形和锐角三角形三边关系的阐述中，利用勾股定理将余弦定理的几何形式进行了证明。
1593年，法国数学家韦达首次将欧几里得的几何命题写成了我们今天熟悉的余弦定理的三角形式，直到20世纪，三角形式的余弦定理才一统天下。
“余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，以几何定理的身份出现，直到1951年，美国数学家荷尔莫斯在其《三角学》中才真正采用解析几何的方法证明了余弦定理，至于向量方法的出现，更是晚近的事了。
”从余弦定理的发展史和教材的设置变化来看，欧式几何依据基本的逻辑原理，建立几何关系，论证严谨，但思维量大，需要分类讨论。
而作为沟通代数、几何与三角函数的工具——向量引入后，欧式几何中的平行、相似、垂直都可以转化成向量的加减、数乘、数量积的运量，从而把图形的基本性质转化成向量的运算体系，由此开创了研究几何问题的新方法。
而且在证明之后还提出问题：用坐标方法怎样怎样证明余弦定理？还有其他的方法吗? 希望学生了解可以从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理，另外对向量工具性作用有所体会和认识。
高中数学 第二章《解三角形》教案 北师大版必修5
北师大版高中数学必修5 第二章《解三角形》全部教案一、教学目标1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
3、情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
二、教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。
教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ A 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.探析新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==C a B (图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
高中数学北师大版必修5第二章解三角形余弦定理学案含解析
北师大版高中数学必修5学案含解析：内容标准学科素养1.掌握余弦定理，并会初步运用余弦定理解斜三角形.2.理解用向量法证明余弦定理的过程，逐步学会用向量法解决具体问题.3.通过发现和证明余弦定理的过程，培养观察、分析、归纳、猜想、抽象概括等逻辑思维能力.提升数学运算灵活公式变形严密逻辑推理授课提示：对应学生用书第38页[基础认识]知识点一余弦定理4951，思考并完成以下问题在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.(1)如果C＝90°，如何求AB边的长？提示：利用勾股定理求AB的长，即c2＝a2＋b2.(2)设CB→＝a，CA→＝b，AB→＝c.怎样用向量的线性运算表示AB→？提示：AB→＝CB→－CA→＝a－b.(3)在问题2的前提下，如何用向量的数量积表示AB边的长？提示：|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos C，∴c2＝a2＋b2－2ab cos C.(4)你能用同样的方法表示BC、AC的长吗？请你写出结论．提示：能．结论：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B.文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.符号语言a2＝b2＋c2－2bc cos__A，b2＝a2＋c2－2ac cos__B，c2＝a2＋b2－2ab cos__C.如果已知△ABC的三边长a，b，c，能否分别求出三个内角A、B、C的值？提示：能．用余弦定理变形可得公式．cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab．思考：1.勾股定理和余弦定理有什么联系和区别？提示：当三角形是直角三角形时，余弦定理和勾股定理是统一的，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理指出了直角三角形中三边之间的平方关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．2．△ABC 中，分别指出在下列条件下，角C 是什么角(在直角、锐角、钝角中选择)．(1)a 2＋b 2＝c 2.(2)a 2＋b 2＞c 2.(3)a 2＋b 2＜c 2.提示：(1)由勾股定理的逆定理，可知角C 是直角．(2)由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＞0，所以可得，角C 是锐角． (3)由(2)中的方法，同理可得，角C 是钝角．[自我检测]1．三角形的两边AB 、AC 的长分别为5和3，它们的夹角的余弦值为－35，则三角形的第三边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4解析：由条件可知cos A ＝－35， 则BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝52＋32－2×5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝52， ∴BC ＝213.答案：B2．(2019·郑州高一检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：本题主要考查余弦定理．cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，则B ＝π6.故本题正确答案为A. 答案：A3．(2019·郑州高一检测)在△ABC 中，a ＝2，b ＝5，c ＝6，则cos B ＝________．解析：∵△ABC 中，a ＝2，b ＝5，c ＝6，∴由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋36－252×2×6＝58. 答案：58授课提示：对应学生用书第39页探究一 已知两边及一角解三角形[阅读教材P50例4及解答]如图所示，有两条直线AB 和CD相交成80°角，交点是O ，甲、乙两人同时从点O 分别沿OA 、OC 方向出发，速度分别是4 km/h ，4.5 km/h ，3小时后两人相距多远(结果精确到0.1 km)?题型：已知两边及一角解三角形方法步骤：①计算△OPQ 两边长，OP ＝12，OQ ＝13.5.②利用余弦定理求PQ 的长．[例1] (1)在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝23，A ＝30°，求a ； (2)在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A 、C 和边a . [解题指南] (1)已知两边及其夹角，可直接利用余弦定理求出第三条边；(2)已知两边及一边的对角，可利用余弦定理求解，也可利用正弦定理求解．[解析] (1)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋(23)2－2×3×23cos 30°＝3，所以a ＝ 3.(2)法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°，即a 2－9a ＋18＝0，解得a ＝3或a ＝6.当a ＝3时，A ＝30°，C ＝120°；当a ＝6时，由正弦定理，得sin A＝a sin B b ＝6×123＝1，∴A ＝90°， ∴C ＝60°.法二：由b ＜c ，B ＝30°，b ＞c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理，得sin C ＝c sin B b＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理，得a ＝b 2＋c 2＝32＋（33）2＝6；当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∴a ＝3.方法技巧 已知三角形的两边及一角解三角形的方法：已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边)．跟踪探究 1.(1)在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝1，tan B ＝34，则AC ＝________； (2)在△ABC 中，cos A ＝35，a ＝4，b ＝3，则c ＝________． 解析：(1)由tan B ＝34，得cos B ＝45. 由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝52＋12－2×5×1×45＝18，所以AC ＝3 2. (2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即16＝9＋c 2－6×35c ，整理得5c 2－18c －35＝0，解得c ＝5或c ＝－75(舍去)，故c ＝5. 答案：(1)32 (2)5探究二 已知三边解三角形[阅读教材P50例5及解答]图中是公元前400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数2，3，5，…的图形，试计算图中线段BD 的长度及∠DAB 的大小(长度精确到0.1，角度精确到1°)．题型：已知三边解三角形．方法步骤：①在△BCD 中利用余弦定理求BD .②在△ABD 中利用余弦定理求∠DAB .[例2] (1)在△ABC 中，若a 2＋b 2＋ab ＝c 2，则角C ＝________；(2)在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求各内角的度数．[解题指南] (1)根据已知条件结合余弦定理的变形求解；(2)先由三边的比值设出三边的长度，再利用余弦定理的变形求解．[解析] (1)由a 2＋b 2＋ab ＝c 2，得a 2＋b 2－c 2＝－ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab＝－12，故C ＝120°.(2)由a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k (k ＞0)．由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6＋（3＋1）2－42×6×（3＋1）＝22， ∴A ＝45°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋（3＋1）2－62×2×（3＋1）＝12，∴B ＝60°. ∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.[答案] (1)120° (2)见解析延伸探究 本例(2)中，将条件变为“三角形的三条边长分别为2，6，3＋1”，求其最大角与最小角之和．解析：因为3＋1＞6＞2，所以最大角与最小角所对的边分别为3＋1，2.设长为6的边所对的角为θ，由余弦定理，得cos θ＝22＋（3＋1）2－（6）22×2×（3＋1）＝12，所以θ＝60°，故最大角与最小角之和为180°－60°＝120°.方法技巧 已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角；(2)利用余弦定理求出三个角的余弦值进而求出三个角．跟踪探究 2.(2019·桂林高一检测)在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：根据题意，由于△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9＋4－72×3×2＝12，因为0°＜B ＜180°，则可知B 等于60°，选C. 答案：C探究三 判断三角形的形状[例3] 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．[解题指南] 可先把角的关系转化为边的关系，通过边来判断三角形的形状，也可以把边的关系转化为角的关系，通过角来判断三角形的形状．[解析] 法一：利用边的关系来判断： 由正弦定理得sin C sin B ＝c b，由2cos A sin B ＝sin C ， 有cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b. 又由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc， 所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2， 所以a 2＝b 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，又因为a ＝b ，所以4b 2－c 2＝3b 2，从而b 2＝c 2，所以b ＝c .综合以上分析，得a ＝b ＝c ，所以△ABC 为等边三角形．法二：利用角的关系来判断：因为A ＋B ＋C ＝180°，所以sin C ＝sin(A ＋B )，又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin(A －B )＝0，又因为A ，B 都是三角形的内角，所以A ＝B .又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，得(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12， 又0°＜C ＜180°，所以C ＝60°，综上得△ABC 为等边三角形．方法技巧 判断三角形形状的思路(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题．一般有两条思考路线：①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系．②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论：①△ABC 为直角三角形a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2.②△ABC 为锐角三角形a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，且c 2＋a 2＞b 2.③△ABC 为钝角三角形a 2＋b 2＜c 2或b 2＋c 2＜a 2或c 2＋a 2＜b 2.④若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2. 跟踪探究 3.(2019·宝山高一检测)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定解析：由正弦定理知：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， ∴sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R， ∵sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，∴a 2＋b 2＜c 2.由余弦定理可得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，则C 为钝角， 故△ABC 为钝角三角形．故选A.答案：A授课提示：对应学生用书第40页[课后小结](1)利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题①已知两边和夹角，解三角形．②已知三边求三角形的任意一角．(2)余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．①如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角． ②如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角． ③如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．(3)对所给条件进行变形，主要有两种途径：①化边为角．②化角为边，并常用正弦(余弦)定理进行边、角转换．[素养培优]忽视分类讨论及三角形中的隐含条件致误在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，求边c的取值范围．易错分析在三角形中，当解决边和角的范围问题时，首先要考虑到三角形中的隐含条件，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；然后要注意对问题的分类讨论，当三角形是钝角三角形时，其最大内角必为钝角．考查逻辑推理、分类讨论的学科素养．自我纠正因为a＝1，b＝2，所以1＜c＜3.若角B是钝角，则cos B＜0，即12＋c2－222×1·c＜0，解得1＜c＜3；若角C是钝角，则cos C＜0，即12＋22－c22×1×2＜0，解得5＜c＜3.综上，边c的取值范围是(1，3)∪(5，3).。
北师大版高中数学必修5《二章 解三角形 1 正弦定理与余弦定理 1.2余弦定理》赛课导学案_1
《余弦定理》教学设计一、教材分析（一）地位与作用我采用的是北京师范大学出版的普通高中课程标准实验教科书，本节内容位于必修五的第二章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理、平面向量、正弦定理等相关知识，这为本节内容的学习奠定了基础。
本节的主要内容是余弦定理，它是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广。
余弦定理描述了三角形重要的边角关系，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具。
学习了余弦定理之后，对于三角形中任意给定的三个元素（除三个角外），我们都可以解三角形。
余弦定理同时也为在日后学习中判断三角形类型，证明与三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据。
（二）教学重点与难点重点：余弦定理的推导过程与余弦定理的简单应用；难点：余弦定理的证明方法的发现。
（三）教学目标知识与技能：通过对余弦定理及其推论的推导过程的学习，能够掌握余弦定理，并能运用余弦定理解已知“边，角，边”和“边，边，边”两类三角形以及与之有关的实际问题；培养学生运用已有知识分析、解决问题的能力。
过程与方法：通过回顾旧知识，引出问题，从而引起学生好奇，学生通过合作交流，探究用向量法推导余弦定理，提高学生对数形结合、类比等数学思想方法的认识。
情感态度与价值观:在推导余弦定理的过程中，培养学生自主探新、实践创新能力，使学生感受探索的乐趣和成功的体验；通过类比得到余弦定理，使学生获得知识的同时，领会数学的对称美。
二、学情分析知识准备：本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理等有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。
在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。
认知能力：总体上，学生已具有较强的逻辑思维能力，但应用数学知识的意识不够，看待与分析问题不深入，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度；经历余弦定理的推导过程有助于学生形成严谨的逻辑思维能力。
生理和心理特征：高中生的注意力能够较长时间集中，兴趣范围进一步扩大，并具有一定的稳定性，所以在教学中要抓住学生的这一特征，创造条件和机会，让学生发表己见，发挥学生的主体作用，激发学生的数学学习兴趣。
高中数学 第二章 解三角形教案 北师大版必修5
第二章解三角形§1正弦定理与余弦定理1．1 正弦定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能通过对任意三角形边长和角度的关系探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的基本问题．2．过程与方法让学生从已有的几何知识出发，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理．3．情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的能力．●重点难点重点：正弦定理的探索的证明及其应用．难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断个数．(教师用书独具)●教学建议已知两边和其中一边的对角解三角形时判断个数，此类问题有两个、一个、零个的情况，需要进行讨论，可做如下处理：在△ABC中，已知a，b和A时三角形解的情况：A为锐角A为钝角或直角图 像关系式 ①a ＝b sin A②a ≥b b sin A<a <b a <b sin Aa >ba ≤b解的个数 一解两解无解一解无解●教学流程创设问题情境，提出了2个问题⇒通过引导学生回答所提问题，理解正弦定理及三角形面积公式⇒通过例1及互动探究，使学生掌握利用正弦定理解三角形问题⇒通过例2及变式训练，使学生掌握三角形面积公式的应用⇒通过例3及变式训练，使学生掌握判断三角形的形状问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第32页)课标解读1.通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，了解其向量证法(难点)．2．掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(重点).正弦定理【问题导思】在Rt △ABC 中，c 为斜边，试问a sin A ，b sin B ，csin C 的值相等吗？为什么？对于一般的三角形而言，a sin A ，b sin B ，csin C的值是否相等？【提示】 在Rt △ABC 中，∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c且C ＝90°， ∴a sin A ＝b sin B ＝csin C.对一般的三角形而言，也相等． 语言表述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等符号表示 asin A ＝bsin B ＝csin C比值的 含义a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R(其中R 为△ABC 的外接圆半径)变形(1)a ＝2R sin__A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C.作用 揭示了三角形边、角之间的数量关系三角形面积公式【问题导思】在Rt △ABC 中，c 为斜边，三角形的面积与12ab sin C ，12bc sin A ，12ac sin B 的值相等吗？猜想一下在一般三角形中是否成立？【提示】 ∵C ＝90°，∴S △ABC ＝12ab ＝12ab sin C ，设边c 上的高为h ， 则sin B ＝ha ，sin A ＝h b，∴S △ABC ＝12hc ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，∴在Rt △ABC 中，c 为斜边，三角形的面积与12ab sin C ，12bc sin A ，12ac sin B 的值相等．猜想在一般三角形中也成立．三角形ABC 的面积：S ＝12ab sin__C＝12bc sin__A ＝12ac sin__B ．(对应学生用书第32页)利用正弦定理解三角形在△ABC 中，(1)若A ＝45°，B ＝30°，a ＝2，求b ，c 与C ； (2)若B ＝30°，b ＝5，c ＝53，求A 、C 与a .【思路探究】 (1)已知A ，B ，如何求C ？在正弦定理中b ，c 分别怎样表示？ (2)已知B ，b ，c 运用正弦定理可先求出哪个量？ 【自主解答】 (1)由三角形内角和定理，得：C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 30°sin 45°＝2×1222＝2，sin 105°＝sin(60°＋45°)＝6＋24， c ＝a sin C sin A ＝2sin 105°sin 45°＝2×6＋2422＝3＋1. (2)∵b ＝5，c ＝53，B ＝30°， ∴c ·si n B <b <c ， ∴△ABC 有两解， 由正弦定理得：sin C ＝c sin B b ＝32， ∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，易得a ＝10； 当C ＝120°时，A ＝30°，此时a ＝b ＝5.1．已知两角与任一边解三角形，可先利用三角形内角和定理求第三个角，再利用正弦定理求出两未知边．2．已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，判断三角形解的个数，有以下两种方法： 法一 作图判断．作出已知角A ，边长b ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，与射线AB 的公共点(除去顶点A )的个数即为三角形解的个数．法二 根据三角函数的性质来判断． 由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ，当b sin A a >1时，无解；当b sin Aa＝1时，有一解；当b sin Aa<1时，如果a ≥b ，即A ≥B ，则B 一定为锐角，有一解；如果a <b ，即A <B ，有两解．本例(2)中，若B ＝60°，b ＝43，a ＝42，如何求解？ 【解】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得 sin A ＝a sin Bb ＝42sin 60°43＝22， 又a ＜b ，∴A ＝45°，C ＝180°－A －B ＝75°.∴c ＝b sin C sin B ＝43sin 75°sin 60°＝43×2＋6432＝2(2＋6)．三角形的面积问题在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．【思路探究】 (1)先寻找角A 、B 间的关系，再求sin A. (2)先由正弦定理求BC ，再代入三角形的面积公式求解． 【自主解答】 (1)由C －A ＝π2和A ＋B ＋C ＝π，得2A ＝π2－B ，0＜A ＜π4.故cos 2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，sin A ＝33.(2)由(1)得cos A ＝63. 又由正弦定理，得BC sin A ＝AC sin B ，BC ＝sin Asin BAC ＝32，又C ＝π2＋A ，∴sin C ＝cos A ＝63.所以S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12AC ·BC ·cos A＝3 2.1．求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所以在解题中要有目的的为具备两边及其夹角的条件作准备．2．三角形面积计算公式(1)S ＝12a ·h a ＝12b ·h b ＝12c ·h c (h a 、h b 、h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．已知△ABC 中，AB →·AC →<0，S △ABC ＝154，|AB →|＝3，|AC →|＝5，则∠BAC ＝( ) A ．30° B ．120° C ．150° D ．30°或150° 【解析】 由S △ABC ＝154，得12×3×5sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12，又由AB →·AC →<0，得∠BAC >90°， ∴∠BAC ＝150°. 【答案】 C判断三角形的形状已知△ABC 中，b sin B ＝c sin C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状．【思路探究】 利用正弦定理的变形(如a ＝2R sin A )，将条件中的角化为边，或将边化为角，从而进行判断．【自主解答】 法一 由b sin B ＝c sin C 得，2R sin 2B ＝2R sin 2C ， 即sin 2B ＝sin 2C. ∵0<B <π，0<C <π， ∴sin B >0，sin C >0. ∴sin B ＝sin C ，∴B ＝C.又sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，A ＝π－(B ＋C )＝π－2B ， ∴sin 22B ＝2sin 2B. 即4sin 2B ·cos 2B ＝2sin 2B. ∴cos 2B ＝12.由A ＝π－2B ∈(0，π)知，0<B <π2.∴cos B ＝22，∴B ＝π4，A ＝π2. 故△ABC 是等腰直角三角形．法二 由b sin B ＝c sin C 得：b ·2R sin B ＝c ·2R sin C ， ∴b 2＝c 2，b ＝c .由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 得，(2R sin A )2＝(2R sin B )2＋(2R sin C )2， ∴a 2＝b 2＋c 2，结合b ＝c 知，△ABC 为等腰直角三角形．1．本题已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理，把关系式中的边化为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式，然后给予判定．2．在正弦定理的推广中，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 是边化角的主要工具．其他变形还有角化边，如sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，借助正弦定理可以进行三角形形状的判断，三角恒等式的证明．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断三角形的形状．【解】 由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A，由正弦定理a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 的外接圆半径)，得 4R 2sin 2A sinB cos B ＝4R 2sin 2B sin Acos A ，sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B. ∴2A ＋2B ＝π或2A ＝2B. ∴A ＋B ＝π2或A －B ＝0.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．(对应学生用书第34页)解三角形时忽视讨论致误在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且b ＝6，a ＝23，A ＝30°，求△ABC 的面积．【错解】 由正弦定理得： sin B ＝b sin A a ＝6×sin 30°23＝32， ∴B ＝60°.故C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°， 在Rt △ABC 中，C ＝90°，a ＝23，b ＝6， 故S △ABC ＝12ab ＝12×23×6＝6 3.【错因分析】 上述解答错误之处在于在利用正弦定理求得sin B ＝32后直接得出B ＝60°，未对解的情况作出判断和讨论，从而导致丢解．【防范措施】 遇到已知两边及其中一边对角解三角形时一定要讨论． 【正解】 由正弦定理得， sin B ＝b sin A a ＝6×sin 30°23＝32. 由b ＝6，a ＝23知，b >a ，∴B >A ＝30°. ∴B ＝60°或120°.(1)当B ＝60°时，C ＝180°－A －B ＝90°. ∴S △ABC ＝12ab ＝12×6×23＝6 3.(2)当B ＝120°时，C ＝180°－A －B ＝30°. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×23×sin 30°＝3 3.综合以上得△ABC 的面积为63或3 3.1．应用正弦定理可解决两类三角形问题：(1)已知三角形两角及一边；(2)已知两边及其中一边的对角． 2．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要注意分类讨论．3．正弦定理揭示了三角形中边、角之间的数量关系，可以借助三角形外接圆的半径，用边表示角或用角表示边，从而在解决有关问题时，可利用其“化边为角”或“化角为边”．(对应学生用书第34页)1．在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin A D ．a cos B ＝b cos A 【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B，∴a sin B ＝b sin A.【答案】 C2．在△ABC 中，A ＝30°，C ＝105°，b ＝8，则a 等于( )A ．4B ．4 2C ．4 3D ．4 5【解析】 由三角形内角和定理知B ＝180°－A －C ＝180°－30°－105°＝45°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin A sin B ＝8·sin 30°sin 45°＝4 2.【答案】 B3．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，则角C ＝________．【解析】 根据正弦定理，a sin A ＝csin C，由3a ＝2c sin A ，得3sin A ＝2sin C sin A ， ∴sin C ＝32，而角C 是锐角，∴C ＝π3. 【答案】π34．在△ABC 中，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C. 【证明】 由正弦定理得a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ab ＝a b sin 2B ＋basin 2A＝sin A ·sin 2B sin B ＋sin B ·sin 2Asin A＝2(sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ) ＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，故原式成立．(对应学生用书第97页)一、选择题1．在△ABC 中，下列a 与b sin A 的关系正确的是( ) A ．a >b sin A B ．a ≥b sin A C ．a <b sin A D ．a ≤b sin A 【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B，所以a ＝b sin Asin B，又因为sin B ∈(0，1]， 所以a ≥b sin A. 【答案】 B2．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 【解析】 ∵a sin B ＝102， ∴a sin B <b ＝3<a ＝5， ∴符合条件的三角形有2个． 【答案】 B3．在△ABC 中，若A ＝75°，B ＝45°，c ＝6，则△ABC 的面积为( ) A ．9＋3 3 B.9（6－2）2C.9＋332 D.9（6＋2）2【解析】 ∵A ＝75°，B ＝45°，∴C ＝60°，b ＝c sin Bsin C＝6×2232＝26，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×26×6×6＋24＝9＋3 3.【答案】 A4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形【解析】 ∵a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，故由正弦定理得，sin A cos B ＋sin A cos C ＝sin B ＋sin C ＝sin(A ＋C )＋sin(A ＋B )， 化简得：cos A (sin B ＋sin C )＝0，又sin B ＋sin C ＞0， ∴cos A ＝0，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形． 【答案】 D5．(2012·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725C ．±725 D.2425【解析】 由b sin B ＝csin C ，且8b ＝5c ，C ＝2B ，所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B＝45.所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725. 【答案】 A 二、填空题6．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于________． 【解析】 由三角形内角和定理知：A ＝75°，由边角关系知B 所对的边b 为最小边，由正弦定理b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝1×2232＝63.【答案】637．(2013·济南高二检测)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．【解析】 ∵A ＋B ＋C ＝180°，且A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°. 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝1×sin 60°3＝12， 又a <b ，∴A ＝30°.∴C ＝180°－(30°＋60°)＝90°.即sin C ＝1. 【答案】 18．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 【解析】 由于S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°， ∴3＝12×2·AC ·32，∴AC ＝2，∴△ABC 为正三角形，∴AB ＝2. 【答案】 2 三、解答题9．在△ABC 中，c ＝6，A ＝45°，a ＝2，求b 和B ，C. 【解】 ∵a sin A ＝csin C，∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32. ∵c sin A ＜a ＜c ，∴C ＝60°或C ＝120°. ∴当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1， ∴当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.10．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，且B 为锐角，判断此三角形的形状．【解】 由lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2， 得sin B ＝22，又B 为锐角， ∴B ＝45°，又a c ＝22，∴sin A sin C ＝22， ∴sin C ＝2sin A ＝2sin(135°－C )， ∴sin C ＝sin C ＋cos C ， ∴cos C ＝0，即C ＝90°， 故此三角形是等腰直角三角形．11．在△ABC 中，已知tan B ＝3，cos C ＝13，AC ＝36，求△ABC 的面积．【解】 设△ABC 中AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b . 由tan B ＝3，得B ＝60°， ∴sin B ＝32，cos B ＝12. 又cos C ＝13，∴sin C ＝1－cos 2C ＝223，由正弦定理得c ＝b sin Csin B ＝36×22332＝8.又∵sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝36＋23， ∴三角形面积S △ABC ＝12bc sin A ＝62＋8 3.(教师用书独具)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋12c ＝b ，(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．【思路探究】 (1)本题可考虑把边化为角，通过寻找三角形角与角之间的关系求解； (2)将周长表示为三角形某内角的函数，通过求函数的值域来求周长的取值范围． 【自主解答】 (1)由a cos C ＋12c ＝b 和正弦定理得，sin A cos C ＋12sin C ＝sin B ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由正弦定理得，b ＝a sin B sin A ＝23sin B ， c ＝a sin C sin A ＝23sin C ，则l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )＝1＋23[sin B ＋sin(A ＋B )]＝1＋2(32sin B ＋12cos B )＝1＋2sin(B ＋π6)． ∵A ＝π3，∴B ∈(0，2π3)，∴B ＋π6∈(π6，5π6)，∴sin(B ＋π6)∈(12，1]，∴△ABC 的周长l 的取值范围为(2，3]．利用正弦定理可以实现边、角互化(1)将边转化为角：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)将角转化为边：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R.已知△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1－c 2a ＝sin （B －C ）sin （B ＋C ），求cosA ＋C2的值．【解】 由正弦定理以及sin A ＝sin(B ＋C )，得： 1－sin C 2sin A ＝sin （B －C ）sin A， 整理得2sin A －sin C ＝2sin(B －C )， ∴4cos B sin C ＝sin C ， 又sin C ≠0， ∴cos B ＝14，∴1－2sin 2B 2＝14，sin B 2＝64， ∴cosA ＋C2＝cos π－B 2＝sin B 2＝64. 趣味材料中国南宋末年数学家秦九韶发现三斜求积公式，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积．“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积．”若以大斜记为a ，中斜记为b ，小斜记为c ，秦九韶的方法相当于下面的一般公式：S ＝14[a 2c 2－（a 2＋c 2－b 22）2]，这里a >b >c .1．2 余弦定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能掌握余弦定理的两种表示形式及余弦定理的向量方法；并会用余弦定理解决基本的解三角形问题．2．过程与方法利用向量数量积推出余弦定理并通过实践演算掌握运用余弦定理解决解三角形问题．3．情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辨证统一．●重点难点重点：余弦定理的发现和证明过程及应用．难点：正、余弦定理与三角函数、三角恒等变换的综合问题．(教师用书独具)●教学建议探究和证明余弦定理的过程既是本节课的重点，也是本节课的难点．学生已具备了勾股定理的知识，即当C＝90°时，有c2＝a2＋b2，作为一般的情况，当C≠90°时，三角形的三边满足什么呢？学生一时很难找到思路．最容易想到的思路就是构造直角三角形，尝试用勾股定理去探究三角形的边角关系．用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，原因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合．因此教师在授课时可以适当点拨、启发．鼓励学生大胆的探索．在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明，这样既能开拓学生的视野，加深学生对余弦定理的理解，又能培养学生形成良好的思维习惯，从而突破本节难重点．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答所提问题，结合勾股定理，理解余弦定理⇒通过例1及变式训练，使学生掌握利用余弦定理解三角形问题⇒通过例2及互动探究，使学生掌握、判断三角形形状问题⇒通过例3及变式训练，使学生掌握正、余弦定理的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第35页)课标解读1.了解用向量数量积证明余弦定理的方法，体会向量工具在解决三角形度量问题时的作用(难点)． 2．掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(重点).余弦定理【问题导思】图2－1－1如图2－1－1，在△ABC 中，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，如果C ＝90°，如何求AB 边的长？当C ≠90°，如何用向量的数量积表示AB 边的长？【提示】 利用勾股定理求AB 的边长． |c |2＝c·c ＝(a －b )·(a －b )＝a 2－2a·b ＋b 2＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos C ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C. 余弦定理语言表述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.符号表示a 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C.推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.作用 实现三角形边与角的互化.(对应学生用书第35页)利用余弦定理解三角形(1)在△ABC 中，若a ＝1，b ＝1，C ＝120°求c ；(2)已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 各内角的度数． 【思路探究】 (1)直接利用余弦定理求解． (2)先根据比值设出各边的长，再利用余弦定理求解． 【自主解答】 (1)c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋1－2cos 120°＝3， ∴c ＝ 3.(2)∵a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)， ∴令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6＋（3＋1）2－426（3＋1）＝22，∴A ＝45°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋（3＋1）2－62×2×（3＋1）＝12，∴B ＝60°.∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.1．本题(2)关键是根据已知条件设出三边，为使用余弦定理的推论求角创造条件． 2．余弦定理是刻画三角形两边及其夹角的余弦与第三边关系的定理．在余弦定理的每一个等式中均含有四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的任意三个量，便可求得第四个量．(1)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的三边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π4，b ＝2，S △ABC＝2，求a .(2)在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶3∶13，求△ABC 中最大角的度数．【解】 (1)因为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×22c ＝22c ＝2，所以c ＝2 2.根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋8－2×2×22×22＝4，所以a ＝2. (2)∵a ∶b ∶c ＝2∶3∶13，∴令a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝13k (k ＞0)，由b ＜a ＜c ，知C 为△ABC 最大内角，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋3－132×2×3＝－32，又0°＜C ＜180°∴C ＝150°.判断三角形的形状在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．【思路探究】 可先把角的关系转化为边的关系，通过边来判断三角形的形状，也可把边的关系转化为角的关系，通过角来判断三角形的形状．【自主解答】 法一 由正弦定理得sin C sin B ＝cb ，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b.又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b . 又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，即b 2＝c 2.所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c . 所以△ABC 为等边三角形． 法二 因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin C ＝sin(A ＋B )， 又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B. 又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 得(a ＋b )2－c 2＝3ab ， 所以a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°＜C ＜180°，所以C ＝60°. 所以△ABC 为等边三角形．1．本题解法一利用了边的关系判断，解法二利用了角的关系判断．2．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．若将例题中的条件改为“△ABC 中，b ，c 是角B 、C 的对边，且cos 2A 2＝b ＋c 2c”，试判断△ABC 的形状．【解】 法一 ∵cos 2A 2＝1＋cos A2且cos 2A 2＝b ＋c 2c， ∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，即cos A ＝bc. 由正弦定理，得cos A ＝sin B sin C，∴cos A sin C ＝sin(A ＋C )，整理得sin A cos C ＝0. ∵sin A ≠0，∴cos C ＝0，∴C ＝π2.故△ABC 为直角三角形．法二 同法一得cos A ＝b c.由余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，整理得a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形．正、余弦定理的综合应用在△ABC 中，C ＝2A ，a ＋c ＝10，cos A ＝34，求b .【思路探究】 先根据正弦定理求出a ，c 的值，再利用余弦定理建立b 的方程求b . 【自主解答】 由正弦定理得c a ＝sin C sin A ＝sin 2A sin A ＝2cos A ＝32， 又a ＋c ＝10， ∴a ＝4，c ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得b 2－9b ＋20＝0， 解得b ＝4或b ＝5. 当b ＝4时， ∵a ＝4，∴A ＝B ，又C ＝2A 且A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝45°与cos A ＝34矛盾，舍去，∴b ＝5.1．本题易忽视检验b ＝4的情况导致出错．2．余弦定理和正弦定理都是解三角形的重要工具，都可以实现三角形中的边角转化．在解决三角形中的综合问题时，要有意识地合理选择，一般情况下，如果条件中含有角的余弦或边的二次式，要考虑余弦定理；若条件中含有角的正弦或边的一次式，则考虑正弦定理．学习时应注意归纳总结正、余弦定理的应用技巧，如公式的正用、逆用以及变形用等，同时牢固掌握内角和定理的运用和三角变换的技巧．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且满足(sin A ＋sin B )2－sin 2C ＝3sin A sin B. 求证：A ＋B ＝120°.【证明】 由(sin A ＋sin B )2－sin 2C ＝3sin A sin B 可得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sinB.由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R，∴a 24R 2＋b 24R 2－c 24R 2＝a 2R ·b2R， 即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°， ∴A ＋B ＝120°.(对应学生用书第37页)转化思想在三角形中的应用(12分)在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，试判断△ABC 的形状．【思路点拨】 可以把角转化为边，也可以把边转化为角来处理． 【规范解答】 法一 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 得：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C.代入a cos A ＝b cos B ＝c cos C 中，得：2R sin A cos A ＝2R sin B cos B ＝2R sin C cos C，4分即sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C， ∴tan A ＝tan B ＝tan C ．10分又∵A 、B 、C 是△ABC 的内角，∴A ＝B ＝C. ∴△ABC 是等边三角形.12分 法二 由余弦定理得a ·2bcb 2＋c 2－a 2＝b ·2ac a 2＋c 2－b 2＝c ·2aba 2＋b 2－c 2，6分∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2＝a 2＋b 2－c 2. 得a 2＝b 2＝c 2，即a ＝b ＝c .10分∴△ABC 是等边三角形.12分转化也称化归，它是将未知的，陌生的，复杂的问题转为已知的，熟悉的，简单的问题，从而使问题解决的数学思想．在解三角形时，若已知条件中含边角共存的关系式时，往往可利用正弦定理或余弦定理实现边角间的互化，从而发现各元素间的关系．1．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具，可解决以下两类问题：(1)已知两边及其夹角，求第三边和其他两角； (2)已知三边求三角．2．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，依据已知条件中的边角关系判断时，可利用正弦定理或余弦定理转化为边的关系作代数运算，也可转化角的关系，通过三角变换求解．(对应学生用书第37页)1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝4，C ＝120°，则c 为( ) A.41 B.61 C.41或61 D.21【解析】 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝25＋16＋2×5×4×12＝61.∴c ＝61.【答案】 B2．在△ABC 中，若a ＝3＋1，b ＝3－1，c ＝10，则△ABC 的最大角的度数为( ) A ．60° B ．90° C．120° D ．150° 【解析】 ∵c ＞a ＞b ，∴C 是最大角，由余弦定理得：cos C ＝（3＋1）2＋（3－1）2－（10）22×（3＋1）×（3－1）＝8－104＝－12.∴C ＝120°.【答案】 C3．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【解析】 由正弦定理知a ∶b ∶c ＝5∶11∶13， 设a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k (k >0)，由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（5k ）2＋（11k ）2－（13k ）22×5k ×11k ＝－23110<0，∴C 为钝角．【答案】 C4．已知△ABC 的边长满足等式a 2－（b －c ）2bc ＝1时，求A.【解】 由a 2－（b －c ）2bc ＝1，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0<A <π，所以A ＝π3.(对应学生用书第99页)一、选择题1．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2【解析】 在△ABC 中，易知B ＝30°，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4，∴b ＝2. 【答案】 A2．a 、b 、c 是△ABC 的三边，B ＝60°，那么a 2－ac ＋c 2－b 2的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不确定【解析】 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ， 所以a 2－ac ＋c 2－b 2＝(a 2＋c 2－ac )－b 2＝b 2－b 2＝0. 【答案】 C3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2【解析】 由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， ∴6＝a 2＋2＋2a ，∴a ＝2或－22(舍去)． 【答案】 D4．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定【解】 由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.∵sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，∴a 24R 2＋b 24R 2＜c 24R2，∴a 2＋b 2＜c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形． 【答案】 C5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19【解析】 由余弦定理的推论cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935，又AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos (π－B )＝5×7×(－1935)＝－19.【答案】 D 二、填空题6．在△ABC 中，若(a －c )(a ＋c )＝b (b －c )，则A ＝________. 【解析】 由(a －c )(a ＋c )＝b (b －c )得a 2－c 2＝b 2－bc ， 即b 2＋c 2－a 2＝bc 与余弦定理b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ， 比较知cos A ＝12，∴A ＝60°.【答案】 60°7．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2＜b 2＋c 2，则角A 的取值范围是________． 【解析】 ∵a 是最大边，∴A ＞π3，又a 2＜b 2＋c 2，由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＞0，∴A ＜π2，故π3＜A ＜π2.【答案】 (π3，π2)8．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.【解析】 在△ABC 中，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＋c ＝7知，b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×(－14)，整理得15b －60＝0.∴b ＝4. 【答案】 4 三、解答题9．已知△ABC 的顶点为A (2，3)，B (3，－2)和C (0，0)，求∠AB C. 【解】 |AB |＝（3－2）2＋（－2－3）2＝26， |BC |＝（0－3）2＋[0－（－2）]2＝13， |CA |＝（2－0）2＋（3－0）2＝13， 由余弦定理得cos ∠ABC ＝（13）2＋（26）2－（13）22×13×26＝22，又∵∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝π4.10．a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sinC －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ； (3)判断△ABC 的形状．【解】 (1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B ·sin C.结合正弦定理得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝85bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0， 可化为x 2－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4. ∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4.由余弦定理知：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a ＝3.(3)由(1)(2)知，a 2＋c 2＝b 2， ∴△ABC 为直角三角形．11．(2013·潍坊高二检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2b ·cosA ＝c ·cos A ＋a ·cos C ，(1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．【解】 (1)根据正弦定理2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ⇒ 2cos A sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，又∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°. (2)由余弦定理得：7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， 代入b ＋c ＝4得bc ＝3，故△ABC 面积为S ＝12bc sin A ＝334.(教师用书独具)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，证明：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sin C.【思路探究】 本题可考虑把边化为角，通过三角变换寻找等式左、右两边的联系． 【自主解答】 由余弦定理可知：a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B则a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc ·cos A ＋2ac ·cos B ， 整理得：a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos A c ， 又a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C， ∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin （A －B ）sin C.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，求b .【解】 法一 ∵sin B ＝4cos A sin C ， 由正弦定理，得b 2R ＝4cos A c2R，∴b ＝4c cos A ，由余弦定理得b ＝4c ·b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＝2(b 2＋c 2－a 2)，∴b 2＝2(b 2－2b )，∴b ＝4. 法二 由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bc cos A ， ∵a 2－c 2＝2b ，b ≠0，∴b ＝2c cos A ＋2，①由正弦定理，得b c ＝sin Bsin C，又由已知得，sin Bsin C ＝4cos A ，∴b ＝4c cos A ．②由①②得b ＝4.§2三角形中的几何计算(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能掌握正、余弦定理解任意三角形的方法，体会正、余弦定理在平面几何计算与推理中的作用．2．过程与方法能过图形的观察、识别、分析、归纳来正确选择正、余弦定理．3．情感、态度与价值观通过本节课的探究，培养学生勇于探索、创新的学习习惯．●重点难点重点：利用正、余弦定理解决三角形中的几何计算．难点：将几何计算转化为解三角形问题．(教师用书独具)●教学建议通过例题的活动探究，要让学生结合图形理解题意，学会分析问题状态，确定合适的求解顺序，明确所用的定理．其次，在教学中还要让学生分析讨论，明确正、余弦定理各自实用的范围．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答所提问题理解三角形中的几何计算——长度、角度、面积等⇒通过例1及变式训练，使学生掌握与长度或角度有关的问题的计算⇒通过例2及变式训练，使学生掌握有关面积问题的处理⇒通过例3及变式训练，使学生进一步掌握正、余弦定理的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第38页)课标解读1.掌握正、余弦定理解任意三角形的方法(重点)．2．提高分析问题解决问题的能力(难点).三角形中的几何计算【问题导思】图2－2－1如图2－2－1，2011年8月，利比亚战争期间，北约为了准确分析战场形势，由位于相距32a的英法两军事基地C和D，测得卡扎菲的两支精锐部队分别位于A、B两处，且∠ADB＝∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°.试问你能根据实例中测量的数据计算卡扎菲这支精锐部队的距离吗？【提示】在△BCD中用正弦定理求出BC，在△ABC中用余弦定理求AB的长．(对应学生用书第38页)与长度或角度有关的问题图2－2－2(2013·中山高二检测)在△ABC 中，已知B ＝30°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，(1)求∠ADC 的大小； (2)求AB 的长．【思路探究】 (1)在△ACD 中已知了AD 、AC 、DC ，可根据余弦定理求∠AD C. (2)在△ABD 中，可用正弦定理求A B.【自主解答】 (1)在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°.(2)由(1)知∠ADB ＝60°，在△ABD 中，AD ＝10，B ＝30°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 30°＝10×3212＝10 3.1．正弦、余弦定理是解三角形常用的两个重要定理，在使用时要根据题设条件，恰当选择定理，使求解更方便、简捷．2．解决此类问题要处理好两个方面：(1)找出已知某边长的三角形，从中筛选出可解三角形；(2)找要求线段所在的三角形，确定所需条件．图2－2－3如图2－2－3所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．【解析】 在△ABC 中，由余弦定理，有cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝（23）22×2×23＝32， 则C ＝30°.在△ACD 中，由正弦定理，有ADsin C＝ACsin ∠ADC，∴AD ＝AC ·sin30°sin 45°＝2×1222＝2，即AD 的长度等于 2. 【答案】 2有关面积问题图2－2－4如图2－2－4所示，在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝4，cos ∠CAD ＝3132且AD ＝BD ，求△ABC的面积．【思路探究】 先由余弦定理建立方程求CD 的长，再在△ACD 中由正弦定理求sin C ，进而可求△ABC 的面积．【自主解答】 设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝5－x . 在△CAD 中，由余弦定理可知 cos ∠CAD ＝（5－x ）2＋42－x 22×4×（5－x ）＝3132，解得x ＝1.在△CAD 中，由正弦定理可知ADsin C＝CDsin ∠CAD，∴sin C ＝AD CD·1－cos 2∠CAD ＝41－（3132）2＝387.∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C＝12×4×5×387＝1547. 即△ABC 的面积为1547.1．本题求三角形面积容易考虑用12×底×高，但高不易求得，应灵活应用三角形面积公式．2．涉及三角形面积问题通常选用S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ，这个公式中含有正弦值，可以和正弦定理建立关系，又由正弦值还可求出余弦值，这就可以与余弦定理建立关系，另外面积公式中有两边的乘积，在余弦定理中也有，所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换，关键是根据题中的条件选择正确的变换方向．图2－2－5如图2－2－5所示，△ABC 中，D 在边BC 上，且BD ＝2，DC ＝1，B ＝60°，∠ADC ＝150°，求AC 的长及△ABC 的面积．【解】 在△ABC 中，∠BAD ＝150°－60°＝90°， ∴AD ＝BD sin 60°＝2×32＝3， 在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC ＝(3)2＋12－2×3×1×cos 150°＝7，∴AC ＝7.又∵AB ＝BD cos 60°＝1，∴S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×3×32＝34 3.正、余弦定理的综合应用。
北师大版高中数学必修5《二章 解三角形 1 正弦定理与余弦定理 1.2余弦定理》赛课导学案_25
课堂教学过程结构设计
教学环节教学内容师生互动设计意图
1.问题引入实际应用问题:隧
道工程设计，经常
需要测算山脚的长
度，工程技术人员
先在地面上选一适
当位置A，量出A到
山脚B，C的距离，
再利用经纬仪（测
角仪）测出A对山
脚BC的张角，最后
通过计算求出山脚
的长度BC。
转化为数学问题：
已知三角形的两边
及它们的夹角，求
第三边。
师：引入实际问题并将
其转化为数学问题.并
通过问题串的方式引导
知道解决长度和角度的
方法有多种.
生：积极的思考要怎么
处理这个问题，有的同
学就会想到用勾股定理
来解决。
通过实际生
活问题，来激发
学生学习的兴
趣，找到学生知
识的冲突点，一
个问题旧知识解
决不了，我们就
寻找新的解决方
案，从而让学生
尽快进入本节课
堂的主题.
（1）在解决以上问
将上式两边同
b.当0
∠A时，已
90
≠。
2017_2018版高中数学第二章解三角形1_2余弦定理(二)学案北师大版必修5
(1)化边为角；
(2)化角为边，并经常使用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
3．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，能够知三求一．
4．利用余弦定理求三角形的边长时容易显现增解，缘故是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需专门注意三角形三边长度所应知足的大体条件．
右边＝
＝ ，
∴等式成立．
方式二 右边＝
＝
＝ ＝ ＝左侧，
∴等式成立．
例3 解 由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc，
∴cosA＝ ＝ ＝ .
∵0<A<π，∴A＝ .
又sinA＝osC.
∴由正弦、余弦定理，
得a＝2b· ＝ ，
2b＝a＋c可转化为2sinB＝sinA＋sinC.
又∵B＝60°，∴A＋C＝120°，
∴C＝120°－A，
∴2sin 60°＝sinA＋sin(120°－A)，A∈(0°，120°)，
整理得sin(A＋30°)＝1，A＋30°∈(30°，150°)，
∴A＋30°＝90°，∴A＝60°，C＝60°.
梳理 证明三角恒等式的关键是借助边角互化减小等式两边的不同．
类型一 利用余弦定明白得已知两边及一边对 角的三角形
引申探讨
例1条件不变，用正弦定理求c.
例1 已知在△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c.
反思与感悟 相关于用正弦定明白得此类题，用余弦定理没必要考虑三角形解的个数，解出几个是几个．
跟踪训练3 在△ABC中，假设B＝60°，2b＝a＋c，试判定△ABC的形状．
北师大版高中数学必修5《二章 解三角形 1 正弦定理与余弦定理 1.2余弦定理》赛课导学案_19
过程与方法
电子白板
（特效交互功能）
教师演示
教师制作
课堂练习
知识与技能
过程与方法
电子白板（特效交互功能、钢笔）
学生操作
教师制作
师生活动
设计意图
批注
教
学
活
动
设
计
复习：
1.正弦定理
2.正弦定理使用类型
问题提出
在三角形中,已知两边及其夹角,怎么求出此角的对边?
已知三条边,怎么求出它的三个角呢?
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
教学重难点
教学重点余弦定理的发现和证明过程及基本运用
教学难点余弦定理的探索及证明
教法
与
学法
类比法、探究法、讲练结合
信息技术应用分析
知识点
学习目标
媒体内容与形式
使用方式
媒体来源
课程导入
情感、态度与价值观
PPT
教师播放
Байду номын сангаас制作
创设情境，揭示课题
知识与技能
过程与方法
电子白板
（时钟计时器）
教师演示
教师制作
归纳出公式
小结
（1）余弦定理的内容．
（2）余弦定理的证明
（3）余弦定理的应用
复习正弦定理并指出其使用范围为本节课的学习做铺垫
引导学生通过向量的数量积来证明出余弦定理.
通过余弦定理的表达形式总结出余弦定理的定义.
指出余弦定理的使用条件
例题展示，让学生练习余弦定理，掌握其用法.
当堂检测
有效练习
1.在ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.
理一：同上
2017_2018版高中数学第二章解三角形1_2余弦定理学案北师大版必修5
由正弦定理得，sinC＝ ≈ ≈0.544 0.
因为c不是三角形中最大的边，因此C为锐角，利用计算器可得C≈33°，
因此B＝180°－(A＋C)≈180°－(41°＋33°)＝106°.
跟踪训练2 解 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8－4 ，
因此c＝ － .
由正弦定理，得sinA＝ ＝ ，
问题导学
知识点一
试探1 当a＝b＝c时，∠C＝60°，
a2＋b2－2abcosC＝c2＋c2－2c·ccos 60°＝c2，
即①式仍成立，据此猜想，对一样△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcosC.
试探2abcosC＝|C |·|C |cos ， ＝ · .
∴a2＋b2－2abcosC
＝ 2＋ 2－2 ·
1.2 余弦定理(一)
学习目标 1.把握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方式.2.会运用余弦定明白得决两类大体的解三角形问题．
知识点一 余弦定理的推导
试探1 依照勾股定理，假设△ABC中，∠C＝90°，那么c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcosC．①
实验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？
试探2 观看知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你以为可用来解哪类三角形？
梳理 余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形．
类型一 余弦定理的证明
例1 已知△ABC，BC＝a，AC＝b和角C，求解c.
反思与感悟 所谓证明，确实是在新旧知识间架起一座桥梁．桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要考察公式两边的结构特点，联系已经学过的知识，看有无相似的地址．
知识点二 余弦定理的呈现形式
第二章解三角形之余弦定理教案北师大版必修5
第二课时 §2.1.2余弦定理一、教学目标1、知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2、过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题3、情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
二、教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程Ⅰ.课题导入 C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B(图1．1-4)Ⅱ.探析新课[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()222 2 2c c c a b a ba ab b a b a b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B 从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5)同理可证 2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即 2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ （由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc ；222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
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1.2 余弦定理(一)
学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
知识点一 余弦定理的推导
思考1 根据勾股定理，若△ABC 中，∠C ＝90°，则c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋b 2
－2ab cos C ．① 试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？
思考2 在c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 中，ab cos C 能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？
梳理 余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要．因为两边及其夹角恰好是平面向量一组基底的条件，所以能把第三边用基底表示进而求出模．
另外，也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理．
知识点二 余弦定理的呈现形式
1．a 2＝__________________，b 2＝____________________，c 2＝____________. 2．cos ____＝b 2＋c 2－a 2
2bc
； cos ____＝c 2＋a 2－b 2
2ca
； cos ____＝a 2＋b 2－c 2
2ab
. 知识点三 适宜用余弦定理解决的两类基本的解
三角形问题
思考1 观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？
思考2 观察知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？
梳理 余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形．
类型一 余弦定理的证明
例1 已知△ABC ，BC ＝a ，AC ＝b 和角C ，求解c .
反思与感悟 所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁．桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要考察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方． 跟踪训练1 例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？ 类型二 用余弦定理解三角形 命题角度1 已知两边及其夹角
例2 在△ABC 中，已知b ＝60 cm ，c ＝34 cm ，A ＝41°，解三角形．(角度精确到1°，边长精确到1 cm)
反思与感悟 已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角．
跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A .
命题角度2 已知三边
例3 在△ABC 中，已知a ＝134.6 cm ，b ＝87.8 cm ，c ＝161.7 cm ，解三角形(角度精确到1′)．
反思与感悟 已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac
，cos C ＝b 2＋a 2－c 2
2ba
求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理． 跟踪训练3 在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5，判断三角形的形状．
1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35
，则三角形的另一边长为( ) A ．52 B ．213 C ．16 D ．4
2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )
A.π3
B.π6
C.π4
D.π12
3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A.518
B.34
C.32
D.78
4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC
的面积为32
，那么b 等于( ) A.1＋32 B ．1＋ 3 C.2＋32
D ．2＋ 3
1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两边和夹角，解三角形．
(2)已知三边求三角形的任意一角．
2．余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．
(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．
(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 当a ＝b ＝c 时，∠C ＝60°，
a 2＋
b 2－2ab cos C ＝
c 2＋c 2－2c ·c cos 60°＝c 2，
即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC ，都有c 2＝a 2＋b 2
－2ab cos C . 思考2 ab cos C ＝|C B →|·|C A →|cos CB →，CA →＝CB →·CA →.
∴a 2＋b 2
－2ab cos C
＝CB →2＋CA →2－2CB →·CA →
＝(CB →－CA →)2＝AB →2
＝c 2.
猜想得证．
知识点二
1．b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C
2．A B C
知识点三
思考1 每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角．故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形．
思考2 每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形．
题型探究
例1 解
如图，设C B →＝a ，C A →
＝b ， A B →＝c ，
由A B →＝C B →－C A →
，知c ＝a －b ，
则|c |2＝c ·c ＝(a －b )·(a －b )
＝a ·a ＋b ·b －2a ·b ＝a 2＋b 2－
2|a ||b |cos C .
所以c 2＝a 2＋b 2
－2ab cos C .
跟踪训练1 解
如图，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A (0,0)，B (c,0)，
C (b cos A ，b sin A )，
∴BC 2＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2
A ，
即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .
同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
例 2 解 根据余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝602＋342－2×60×34×cos 41°≈1 676.78，
所以a ≈41(cm)．
由正弦定理得，sin C ＝c sin A a ≈34×sin 41°41
≈0.544 0. 因为c 不是三角形中最大的边，所以C 为锐角，利用计算器可得C ≈33°，
所以B ＝180°－(A ＋C )≈180°－(41°＋33°)＝106°.
跟踪训练2 解 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8－43，
所以c ＝6－ 2.
由正弦定理，得sin A ＝a sin C c ＝12
， 因为b >a ，所以B >A ，所以A 为锐角，
所以A ＝30°.
例3 解 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝87.82＋161.72－134.622×87.8×161.7
≈0.554 3，
∴A ≈56°20′.
∵cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac
＝134.62＋161.72－87.82
2×134.6×161.7
≈0.839 8，
∴B≈32°53′.
∴C＝180°－(A＋B)≈180°－(56°20′＋32°53′)＝90°47′.跟踪训练3 解因为a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0)．
c最大，cos C＝2k2＋4k2－5k2
2×2k×4k
<0，
所以C为钝角，从而三角形为钝角三角形．当堂训练
1．B 2.B 3.D 4.B。