2017_2018版高中数学第二章解三角形1_2余弦定理学案北师大版必修5

1.2 余弦定理(一)

学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

知识点一 余弦定理的推导

思考1 根据勾股定理，若△ABC 中，∠C ＝90°，则c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋b 2

－2ab cos C ．① 试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？

思考2 在c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 中，ab cos C 能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？

梳理 余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要．因为两边及其夹角恰好是平面向量一组基底的条件，所以能把第三边用基底表示进而求出模．

另外，也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理．

知识点二 余弦定理的呈现形式

1．a 2＝__________________，b 2＝____________________，c 2＝____________. 2．cos ____＝b 2＋c 2－a 2

2bc

； cos ____＝c 2＋a 2－b 2

2ca

； cos ____＝a 2＋b 2－c 2

2ab

. 知识点三 适宜用余弦定理解决的两类基本的解

三角形问题

思考1 观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？

思考2 观察知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？

梳理 余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形．

类型一 余弦定理的证明

例1 已知△ABC ，BC ＝a ，AC ＝b 和角C ，求解c .

反思与感悟 所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁．桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要考察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方． 跟踪训练1 例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？ 类型二 用余弦定理解三角形 命题角度1 已知两边及其夹角

例2 在△ABC 中，已知b ＝60 cm ，c ＝34 cm ，A ＝41°，解三角形．(角度精确到1°，边长精确到1 cm)

反思与感悟 已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角．

跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A .

命题角度2 已知三边

例3 在△ABC 中，已知a ＝134.6 cm ，b ＝87.8 cm ，c ＝161.7 cm ，解三角形(角度精确到1′)．

反思与感悟 已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2

2ac

，cos C ＝b 2＋a 2－c 2

2ba

求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理． 跟踪训练3 在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5，判断三角形的形状．

1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35

，则三角形的另一边长为( ) A ．52 B ．213 C ．16 D ．4

2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )

A.π3

B.π6

C.π4

D.π12

3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )

A.518

B.34

C.32

D.78

4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC

的面积为32

，那么b 等于( ) A.1＋32 B ．1＋ 3 C.2＋32

D ．2＋ 3

1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：

(1)已知两边和夹角，解三角形．

(2)已知三边求三角形的任意一角．

2．余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．

(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．

(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．

(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1 当a ＝b ＝c 时，∠C ＝60°，

a 2＋

b 2－2ab cos C ＝

c 2＋c 2－2c ·c cos 60°＝c 2，

即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC ，都有c 2＝a 2＋b 2

－2ab cos C . 思考2 ab cos C ＝|C B →|·|C A →|cos CB →，CA →＝CB →·CA →.

∴a 2＋b 2

－2ab cos C

＝CB →2＋CA →2－2CB →·CA →

＝(CB →－CA →)2＝AB →2

＝c 2.

猜想得证．

知识点二

1．b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C

2．A B C

知识点三

思考1 每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角．故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形．

思考2 每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形．

题型探究

例1 解

如图，设C B →＝a ，C A →

＝b ， A B →＝c ，

由A B →＝C B →－C A →

，知c ＝a －b ，

则|c |2＝c ·c ＝(a －b )·(a －b )

＝a ·a ＋b ·b －2a ·b ＝a 2＋b 2－