圆与函数的专题

第二编 备考指导

第九章 圆

四 圆与函数的综合

1. 如图，AB 为半圆的直径，点 P 为 AB 上一动点，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 匀速运动到点 B ，运动时间为 t ，分别以 AP 和 PB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积 S 与时间 t 之间的函数图象大致为 ( )

A. B.

C. D.

2. 设 ⊙O 的半径为 2，圆心 O 到直线 l 的距离 OP =m ，且 m 使得关于 x 的方程 2x 2−2√2x +m −1=0 有实数根，则直线 l 与 ⊙O 的位置关系为 ( ) A. 相离或相切 B. 相切或相交

C. 相离或相交

D. 无法确定

3.如图所示，矩形 ABCD 的长 AB =

4cm ，宽 AD =2cm ，O 是 AB 的中点，以 O 为顶点的抛物线经过点 C ，D ，以 OA ，OB 为直径在矩形内画两个半圆，则图中阴影部分的面积为 ．

4. 如图，经过 B (2,0) 、 C (6,0) 两点的 ⊙H 与 y 轴的负半轴相切于点 A ，双曲线y =k x

经过圆心H ，则 k = ．

5.已知 ⊙P 的半径为 1，圆心 P 在抛物 线 y =x 2−4x +3 上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 ．

考点1：圆与一次函数

【例1】如图所示，⊙O 的半径为 1 ，

圆心在坐标原点，点 A 的坐标为 (−2,0) ，点 B 的坐标为 (0,b )（b >0）． （1）分别求直线 AB 与 ⊙O 相离、相切、相交时 b 的值；

（2）当 AB 与 ⊙O 相切时，求直线 AB 的解析式．

（第1题）

（第3题）

（第4题）

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举一反三：

1．已知如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=√3x−2√3与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1．

（1）判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由；

（2）当⊙P过点B时，求⊙P被

y轴所截得的劣弧的长；

（3）当⊙P与x轴相切时，求出切

点的坐标．

考点2：圆与二次函数

【例2】如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l⊥y轴于点B(0,−2)，A为OB中点，以A为顶点的抛物线y=ax2+ c与x轴交于C，D两点，且CD=4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE=2，求点P的坐标；

（3）判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．

举一反三：

2．如图所示，已知抛物线与坐标轴分别交于A(−2,0)、B(2,0)、C(0,−1)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C，D(0,−2)作平行于x轴的直线l1，l2．（1）求抛物线对应二次函数的解析式；

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（2）求证以ON为直径的圆与直线l1相切；

一、选择题

1. 扇形的面积为10，下列图象中表示这

个扇形的弧长l和半径r之间函数

关系的是 ( )

A. B.

C. D.

2. 如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y=x−√2

与⊙O的位置关系是 ( )

A. 相离

B. 相切

C. 相交

D. 以上三种情况都有可能

3. 已知⊙P的半径为2，圆心在函数

y=−8

x

的图象上运动，当⊙P与坐标轴相切于点D时，则符合条件的点D 的个数为 ( )

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

4. 如图，已知点A(−8,0)、B(2,0)，

点C在直线y=−3

4

x+4上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数

为( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

5. 抛物线过点A(2,0)，B(6,0)，C(1,√3)，

平行于x轴的直线CD交抛物线于

点C，D，以AB为直径的圆交直线

CD于点E，F，则CE+FD的值

是 ( )

A. 2

B. 4

C. 5

D. 6

二、填空题

6. 如图，在直角坐标系中，以坐标原点

为圆心、半径为1的⊙O与x轴

交于A，A，B两点，与y轴交于C，

D两点．E为⊙O上在第一象限的

某一点，直线BF交⊙O于点F，

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且∠ABF=∠AEC，则直线BF对应的函数表达式为．

7. 如图所示，在平面直角坐标系中，⊙I

与x轴、y轴、直线AB分别切于点D，E，C，点I坐标为(−1,−1)，点B坐标为(0,−4)，则直线AB的解析式为．

8. 如图，直线l:y=−1

2

x+1与坐标轴交于A，B两点，点M(m,0)是x 轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，m的值为．

9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，

若动点P在抛物线y=ax2上，⊙P恒过点F(0,n)，且与直线y=−n 始终保持相切，则n=（用含a的代数式表示）．

三、解答题

10. 如图，平面直角坐标系中，以点

C(2,√3)为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．

Ⅰ求A，B两点的坐标；

Ⅱ若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二

次函数的解析式．

11. 如图所示，在平面直角坐标系中，以

点O为圆心，半径为2的圆与y 轴交于点A，点P(4,2)是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O 相切于点B，交x轴于点C．

Ⅰ证明：PA是⊙O的切线；

Ⅱ求点B的坐标；

Ⅲ求直线AB的解析式．