一、直线方程的五种形式

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直线方程的五种形式

2 x 5 y 10 0
五.直线方程的一般式
在平面直角坐标系中 , 对于任何一条直线 , 都有一
个表示这条直线的关于 x, y的二元一次方程形式为证明: 关于x, y的二元一次方程的一般
Ax By C 0( A, B不同时为 0)
A C A 1)当B 0时, 有y x , 这是斜率为 , BC B B 在y轴上的斜距为的直线方程 . B C 2)当B 0时,因A, B不同时为 0, 故A 0, x . A 它表示一条与 y轴平行或重合的直线 .
求这个三角形三边所在的直线方程 .
解: 把A, B代入两点式 ,得
y0 x (5) 3 0 3 (5)
3x 8 y 15 0
把B, C代入两点式 ,得
y 3 x 3 23 03
5x 3 y 6 0
A(5,0), B(3,3), C (0,2) 例3三角形的顶点是
二
名称
直线方程的五种形式
方程说明不包括y轴和平行于y轴的直线不包括y轴和平行于y轴的直线
已知条件
点斜式点P1(x1,y1)和斜率 y-y1=k(x-x1) k 斜截式斜率k和y轴上截距两点式点P1(x1,y1)和点 P2(x2,y2) 截距式在x轴上的截距a 在y轴上的截距b 一般式 A、B不同时为零 y=kx+b
已知直线 l的斜率为 k , 与y轴的交点是 (0, b), 求直线的方程 . 解: 由直线的点斜式,得 y b k ( x 0)
即y kx b
y
l
方程 y kx b叫做直线方程的斜截式 .

空间直线方程的五种形式

空间直线方程的五种形式在空间几何中，直线是最基本的图形之一。

直线的方程是在数学中非常重要的一部分。

空间直线方程的五种形式是基于不同的坐标系和参数化方式，它们各自有其独特的优势和适用范围。

在本文中，我们将探讨这五种形式的具体含义和应用。

1. 点向式方程点向式方程是空间直线方程的最基本形式。

它基于点和向量的概念，可以表示为：$$vec{r}=vec{a}+tvec{b}$$其中，$vec{r}$ 是直线上任意一点的位置向量；$vec{a}$ 是直线上已知的一点的位置向量；$vec{b}$ 是直线的方向向量，它的大小和方向决定了直线的方向；$t$ 是参数，可以取任意实数值。

点向式方程的优势在于它直观地表达了直线的位置和方向。

同时，它也很容易与向量运算相结合，便于进行计算。

但是，它的缺点是不够简洁，需要使用向量的加法和数乘运算，不太方便。

2. 对称式方程对称式方程是空间直线方程的另一种基本形式。

它基于平面和点的概念，可以表示为：$$frac{x-x_0}{a}=frac{y-y_0}{b}=frac{z-z_0}{c}$$ 其中，$(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上已知的一点的坐标；$a,b,c$ 是直线的方向比例系数，它们的比值决定了直线的方向；$x,y,z$ 是直线上任意一点的坐标。

对称式方程的优势在于它简洁明了，易于计算。

同时，它也可以很容易地转化为其他形式的方程。

但是，它的缺点是不够直观，不容易理解直线的位置和方向。

3. 参数式方程参数式方程是空间直线方程的常用形式之一。

它基于参数化的概念，可以表示为：$$begin{cases} x=x_0+at y=y_0+bt z=z_0+ct end{cases}$$ 其中，$(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上已知的一点的坐标；$a,b,c$ 是直线的方向比例系数，它们的比值决定了直线的方向；$t$ 是参数，可以取任意实数值。

参数式方程的优势在于它直观地表达了直线的位置和方向，同时也很容易进行计算和推导。

空间直线方程的五种形式

空间直线方程的五种形式空间直线是三维几何中的基本概念之一，它在建模、计算机图形学、机器人学、计算机视觉等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍空间直线的五种方程形式，分别是点向式、参数式、对称式、标准式和一般式。

一、点向式点向式是一种常用的表示空间直线的方式，它使用一条直线上的一点和该直线的方向向量来描述直线。

设直线上一点为 $P_0$，方向向量为 $vec{v}$，则该直线的点向式方程为：$$vec{OP} = vec{OP_0} + tvec{v}$$其中 $vec{OP}$ 表示直线上任意一点 $P$ 到原点 $O$ 的向量，$t$ 为参数。

点向式方程中的 $vec{v}$ 是直线的方向向量，它的模长为 $|vec{v}|$，方向与直线相同。

点向式方程的优点是简单明了，易于理解和计算。

二、参数式参数式是另一种表示空间直线的方式，它使用一个参数来描述直线上的所有点。

设直线上一点为 $P_0$，方向向量为 $vec{v}$，则该直线的参数式方程为：$$begin{cases}x = x_0 + tv_x y = y_0 + tv_y z = z_0 + tv_z end{cases}$$其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是直线上的一点，$(v_x, v_y,v_z)$ 是直线的方向向量，$t$ 是参数。

参数式方程中的 $t$ 可以取任意实数，它表示直线上的所有点。

参数式方程的优点是方便计算直线上的任意一点的坐标。

三、对称式对称式是一种表示空间直线的方式，它使用一个点和一个平面来描述直线。

设直线上一点为 $P$，平面的法向量为 $vec{n}$，则该直线的对称式方程为：$$vec{OP} cdot vec{n} = vec{OP_0} cdot vec{n}$$ 其中 $vec{OP}$ 表示直线上任意一点 $P$ 到原点 $O$ 的向量，$vec{n}$ 是平面的法向量，$vec{OP_0}$ 是直线上的一点。

直线方程的五种形式

x x1 显然,点P1的坐标不满足方程(1)
而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1) 表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线的方程．
对于方程y y1 k( x x1 ),直线l上的每一个点P( x, y)都是这个方程的解;反之,以方程的
解为坐标的点都在直线l上.
例3三角形的顶点是A(5,0), B(3,3), C(0,2)
求这个三角形三边所在的直线方程.
解: 把A,C代入两点式,得
y 0 x (5) 2 0 0 (5)
2x 5y 10 0
另解: 由A,C两点的坐标得直线AC在x, y轴
上的截距为a 5, b 2. 由截距式得
x y 1 5 2
y °°°°P°°°1 °°P
直线上任意一点P与这条直线上一个定点P1所确定的斜率都相等。
° °O °
x
⑵当P点与P1重合时，有x=x1，y=y1，此时满足y-y1=k（x -x1），所以直线l上所有点的坐标都满足y-y1=k（x-x1），而不在直线l上的点，显然不满足（y-y1）/（x-x1）=k即不满足y-y1=k（x-x1），因此y-y1=k（x-x1）是直线l的方程。
2
2
2.求与直线3x 2 y 6 0的截距相同, 斜率为 3的直线方程式.
解: 依题意b 3, k 3,
所求直线方程为y 3 x 3
三.直线的两点式
已知直线l经过两点P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ),
且x1 x2 ,求直线的方程.
解: 依题意, k
y2 x2
y
l
y y1 k(x x1)
P2
P1

直线方程几种形式

2.直线的斜截式方程：
练习: 已知直线l的斜率是k，与 y 轴的交点
是 P(0 , b) ，求直线方程。
y.
代入点斜式方程，得l 的直线方程： (0,b)
y b k(x 0) 即 y kx b (2)
O
x
直线l 与 y 轴交点 (0 , b) 的纵坐标 b 叫做直线
l在 y轴上的截距。
方程(2)是由直线的斜率 k与它在 y轴上的截距 b确
P0（x0,y0)
O
x
可化为y y0 kx x0
• 可以验证: 直线l上的每个点（包括点P0）的坐标都是这个方程的解;反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l上
• 由此，这个方程 y y0 kx x0 就是过点P0，
斜率为k的直线l的方程
(1)当直线 l与 x轴平行或重合时
已知直线经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)， (x1 x2 ,y1 y2),如何求出这两个点的直线方程呢？
经过一点, 且已知斜率的直线, 可以写出它的点斜式方程.
可以先求出斜率, 再选择一点, 得到点斜式方程.
根据两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),
斜率 k y2 y1
x a
y b
1
y lB
说明:（1）直线与x轴的交点(a,0)
的横坐标a叫做直线在x轴的截距,
此时直线在y轴的截距是b;
O
A
x
(2)这个方程由直线在x轴和y轴的
截距确定,所以叫做直线方程的截距式方程;
(3)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
例5. 说出下列直线的方程，并画出图形. ⑴倾斜角为450，在轴上的截距为0； ⑵在x轴上的截距为－5，在y轴上的截距为6； ⑶在x轴上截距是－3，与y轴平行； ⑷在y轴上的截距是4，与x轴平行.

直线方程的几种形式(5种).ppt

y 3 2(x 2)
练习1：
1.已知一直线经过点P(-1,2)，斜率为0，求这条直线的方程。
特殊情况:
(1)当直线的倾斜角为00时斜率k 0,
y
l
直线l的方程为y y1 (如图) P1
O
x
(2)当直线的倾斜角为900时斜率k不存在,
yl
直线l的方程为x x1 (如图)
P1
O
x
例1
求下列直线的方程: (1)直线l1 : 过点(2,1),k 1, (2)直线l2 : 过点(2,1)和点(3,3).
y
A(-1,3) . . B(0,1)
O
分析：先找出特殊的一点B(0,y),根据两点的斜率公式可求出
x B(O,1)
探究新知
问题二：若直线l过点A(-1,3)，斜率为-2，点 P(x,y)在直线l上运动，那么点P的横坐标x和纵坐标y之间满足什么关系？
分析：点P与定点A(-1,3)所确定的直
例3三角形的顶点是A(5,0), B(3,3), C(0,2)
求这个三角形三边所在的直线方程.
解: 把A,C代入两点式,得
y 0 x (5) 2 0 0 (5)
2x 5y 10 0
另解: 由A,C两点的坐标得直线AC在x, y轴
上的截距为a 5, b 2. 由截距式得
x y 1 5 2
求直线的点斜式和一般式方程. 3
解: 点斜式方程式为: y 4 4 ( x 6)
3
化成一般 3 y 6 0化成斜截式, 截距
式,求出它的斜率和它在x, y轴上的截距.
解: 斜截式为y 2 x 2.
3
截距式为 x y 1斜 . 率k 2 .

直线方程的五种形式(包括哪五种)

直线方程的五种形式（包括哪五
种）
大家好，小乐为大家解答以下问题。

很多人不知道线性方程的五种形式，包括哪五种。

现在让我们来看看！
一、直线方程的五种形式
1、1：点斜式：已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，则直线方程为y－y0＝k(x－x0)。

2、2：斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b
3、3：两点式：已知一条直线经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则直线方程为x-x1/x2-x1＝y-y1/y2-y1，但不包括垂直于坐标轴的直线。

4、4：截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为x/a＋y/b＝1
5、5：一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式。

二、五种形式的注意事项
6、一般式为ax+by+c=0，它的优点就是它可以表示平面上的任意一条直线，仅此而已。

其它式都有特例直线不能表示。

比如：
7、1：斜截式y=kx+b，就不能表示垂直x轴的直线x=a.
8、2：点斜式y-y0=k(x-x0)，也不能表示垂直x轴的直线x=a
9、3：两点式(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。

不能表示两点x1=x2或y1=y2时的直线（即垂直或水平直线）
10、4：截距式x/a+y/b=1不能表示截距为0时的直线，比如正比例直线。

本文到此结束，希望对你有所帮助。

直线的五种方程形式

直线的五种方程形式直线是数学的基础概念，它有多种表示方式，其中最常见的形式是直线的方程形式。

它是将定义直线所需的知识组合起来的一种数学表达方式。

本文将重点介绍直线的五种方程形式，以便更好地了解这种概念。

首先，我们介绍标准形式。

标准形式由原点和一条斜率m组成，其中m称为斜率，可以通过求出斜率m的值来确定一条直线的斜率。

当m>0时，直线从原点向右上方延伸；当m<0时，直线从原点向左下方延伸；当m=0时，直线与x轴平行。

标准形式的方程为：y=mx+b，其中m表示斜率，b表示直线上任意一点的y坐标。

其次，我们介绍斜截式。

斜截式由斜率m和直线上任意一点组成，可以用y-y1=m(x-x1)来表示。

其中m表示斜率，(x1,y1)表示直线上任意一点坐标。

第三，我们介绍斜截式第二形式。

斜截式第二形式是直线的一种另类表示形式，其方程为：y-y1=m(x-x1)/(x2-x1)，其中m为斜率，(x1,y1)为直线上某一点，(x2,y2)为直线上另一点。

接下来，我们介绍点斜式。

点斜式也是直线的一种表示形式，其标准点斜式方程为：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)分别为直线上的两点。

最后，我们介绍参数方程式。

参数方程式是由直线的曲线方程式推导出来的，可以用x=at+b和y=ct+d表示，其中a、c分别表示斜率，b、d分别表示来自原点的偏移量。

参数方程式可以用于表示任意直线，甚至垂直于某一直线的直线也可以用参数方程式表示。

以上就是直线的五种方程形式。

它们的表达形式各不相同，但实质都是一样的，都是表示一条直线的数学形式。

只要了解了它们之间的联系，就可以轻松掌握它们，进一步学习数学知识。

直线方程五种形式之

⑶如直线l过P1且平行于x轴，则它的斜率k=0，由点斜式知方程为y=y0; 如果直线l过P1且平行于Y轴，此时它的倾斜角是900，而它的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，但这时直线上任一点的横坐标x都等于P1的横坐标所以方程为x=x1
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应用：
例1：一条直线经过点P1（-2，3），倾斜角α=450，求这
3
）
（C）y－2= 3 （x＋ ②已知直线方程y3－3= 3
2 ）（D）y－2=3 （x＋2 ）
（x－4），则这条直线经过的已知
点，倾斜角分别是
（A）（4，3）；π/ 3
（B）（－3，－4）；π/ 6
（C）（4，3）；π/ 6
（D）（－4，－3）；π/ 3
③直线方程可表示成点斜式方程的条件是
（A）直线的斜率存在
O
x
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②直线的斜截式方程：
已知直线l的斜率是k，与y轴的交点是P（0，b），求求这条直线的方程。
代入点斜式方程，得l的直线方程：y - b =k （ x - 0）
Байду номын сангаас
即
y = kx + b。
(2)
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例3：斜率是5，在y轴上的截距是4的直线方程。
解：由已知得k =5， b= 4，代入斜截式方程 y= 5x + 4 即5 x - y + 4 = 0
4
第5页/共9页
例5：求过点（1，2）且与两坐标轴组成一等腰直角三角形的直线方程。
解：∵直线与坐标轴组成一等腰直角三角形 ∴k=±1 直线过点（1，2）代入点斜式方程得
y- 2 = x - 1 或y－２＝－（ｘ－１）
即ｘ－ｙ＋１＝0或ｘ＋ｙ－１＝0

直线的方程与性质

直线的方程与性质直线是平面几何中最基础的图形之一，它在实际生活中广泛应用于建筑、车辆导航、通信等各个领域。

了解直线的方程与性质对于理解直线的本质以及解决相关问题非常关键。

本文将介绍直线的一般方程、截距式方程、斜截式方程，并探讨直线的斜率与倾斜角、垂直直线与平行直线等性质。

一、一般方程直线的一般方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数且A和B不同时为0。

直线上的任意一点(x, y)都满足这个方程，而不在直线上的点则不满足。

例如，若一直线的一般方程为2x + 3y - 6 = 0，则点(2, 1)在直线上，而点(4, 5)不在直线上。

二、截距式方程直线的截距式方程形式为x/a + y/b = 1，其中a和b分别表示直线与x轴和y轴的截距。

截距式方程可以简洁地表示直线在坐标系中的位置和倾斜程度。

例如，截距式方程为x/2 + y/3 = 1的直线与x轴的截距为2，与y轴的截距为3。

通过这种方式，我们可以立即了解直线在平面上的位置和倾斜程度。

三、斜截式方程直线的斜截式方程形式为y = mx + c，其中m为斜率，表示直线在x轴上的单位增量对应的y轴上的单位增量；c为截距，表示直线与y轴的交点在y轴上的纵坐标。

斜截式方程更加直观地表达了直线的倾斜和位置。

例如，斜率为2，截距为-3的直线的斜截式方程为y = 2x - 3。

四、直线的斜率与倾斜角直线的斜率是直线上任意两点之间纵坐标的变化量与横坐标的变化量的比值。

对于一般方程Ax + By + C = 0，斜率为-m/A，其中m为B 的系数。

斜率可以量化直线的倾斜程度，正斜率表示向上倾斜，负斜率表示向下倾斜，斜率为0表示水平的直线，无穷大的斜率表示垂直的直线。

直线的倾斜角与斜率相关，可以通过反三角函数求得。

设直线的斜率为m，则倾斜角θ的正切为m，即θ = atan(m)。

倾斜角可以帮助我们分析直线与其他几何形状的相互关系以及问题的解决。

五、垂直直线与平行直线两条直线垂直的充分必要条件是它们的斜率互为倒数，即斜率m1与斜率m2满足m1 * m2 = -1。

直线方程的五种形式

直线方程的五种形式直线方程的五种形式，从不同的侧面反映了直线的几何与数量特性.由于它们有各自不同的适用范畴和隐性约束，因此，我们在根据条件求直线方程时，要特别注意不同形式直线方程的适用性，千万不要漏掉了特殊情形.【直线方程的五种基本形式】①点斜式方程：y-y0=k(x-x0).适用于点P(x0，y0)和斜率k为已知.注意：此种形式不包含垂直于x轴的直线.当斜率不存在时，直线方程应为x=x0.②斜截式方程：y=kx+b.适用于点(0，b)和斜率k为已知.其中b叫做直线l在y轴上的截距.截距不是距离，它可以取任意实数.斜截式是点斜式过点(0，b)时的特例. 此种形式也不包含垂直于x轴的直线.③两点式：y−y1y2−y1=x−x1x2−x1(x1≠x2，y1≠y2).适用于两点(x1，y1)，(x2，y2)的坐标为已知.注意：此种形式不包含垂直于x轴和y轴的直线.③截矩式：xa +yb=1.适用于直线l与x轴、y轴的交点(a，0)和(0，b)为已知.注意：此种形式不包含垂直于x轴和y轴及过原点的直线.③一般式：Ax+By+c=0 (A，B不全为0).例1(1)设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=0，则a、b满足( ).A.a+b=1.B.a-b=1.C.a+b=0.D.a-b=0.(2)已知ab<0，bc<0.则直线ax+by=c通过( ).A.第一，二，三象限.B.第一，二，四象限.C.第一，三，四象限.D.第二，三，四象限.(3)若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线，则实数m满足( ).A.m≠0.B.m≠−32. C. m≠1. D. m≠1且m≠−32.解:(1)③ 直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=0③ k=tanα=-1，又③直线ax+by+c=0的斜率为k= −ab，③ a-b=0. 故应选D.(2)将直线ax+by=c化为截距式y= −ab x+cb，③ ab<0，bc<0，③ 此直线的斜率k>0,在y轴上的截距为负，故应选C.(3)要方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线，则必须满足m2+m-3与m2-m不能同时为0. ③ m≠1. 故应选C.例2.(1)经过点A(1，2)并且在两个坐标轴上截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程.(2)已知直线l在y轴上的截距为-4，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，求l的方程.解:(1)当截距为0时，设y=kx，过点A(1，2)，则得k=2，即y=2x；当截距不为0时，设x+y=a或x-y=a.将点A(1，2)代入所设方程中，得a=3，或a= -1，故这样的直线有3条：y=2x，x+y-3=0，或x-y+1=0.(2)由已知可设直线l的方程为xa +y−4=1.∵直线l与两坐标轴围成的三角形面积为8，③ 12|a ||−4|=8，解得a=±4，故x -y -4=0或x+y+4=0为所求.想一想①：1.过点(1，5)且在两轴上截距相等的直线有几条？分别是怎样的？2.求在x 轴上的截距为1，且倾斜角的正弦为45的直线方程.3.过点A(-5，-4)作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．说明：求满足一定条件的直线方程时，若条件中含有“在两坐标轴上的截距相等、互为相反数、绝对值相等或与两坐标轴围成的三角形面积有关”时，均可将直线方程设为截距式，且不要忽略了特例——过原点的直线y=kx.例3(1)已知两点A(3，0)、B(0，4)，动点P 在线段AB 上运动，求xy 的最大值.(2)过点P(4，3)作直线l 与x 、y 的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为原点，当|OA|+|OB|最小时，求直线l 的方程.解:(1)设线段AB 所对应的直线方程为x a +yb =1，∵ 点A 、B 在其上， ∴ x3+y4=1 (x>0，y>0).由均值不等式可得1≥2√xy 12,⇒xy ≤3.∴ (xy)max =3.(2)设直线l 的方程为xa +yb =1，∵ 直线l 过点P(4，3)，∴ 4a +3b =1. 又∵ (a+b)(4a +3b)=7+4b a+3a b≥7+4√3，∴ (a+b)max =7+4√3.当且仅当{4b a=3ab,4a +3b=1,即{a =4+2√3,b =3+2√3.时|OA|+|OB|最小. 此时直线l 的方程为√3x +2y −6=0.例4.(1)若方程x 2-my 2+2x+2y=0表示两条直线，则m= ． (2)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ).A.两条直线.B.两条射线.C.两条线段.D.一条直线和一条射线. 解:(1)法1.③ 方程x 2-my 2+2x+2y=0表示两条直线，则关于x 的一元二次方程：x 2+2x+(-my 2+2y)=0根的判别式4842+-=∆y my 一定是完全平方式， ③ .1,06482=⇒=-=∆'m m法2.③ 方程x 2-my 2+2x+2y=0表示两条直线，③x 2-my 2+2x+2y ))((b my x a y x +++-≡.即x 2-my 2+2x+2y=x 2-my 2+(m -1)xy+(a+b)x+(am -b)y+ab=0，比较对应项的系数可得，m=1，a=2，b=0.(2)∵ (2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0，∴ {2x +3y −1=0,√x −3有意义,或√x −3−1=0.解得2x+3y -1=0(x≥3)或x=4，故应选D.想一想①：1.过点P(2，1)作直线l 与x 、y 的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为原点，求当|PA||PB|最小时直线l 的方程.2.方程x 2-xy -2y 2+x+y=0表示的两条直线方程分别是 .习题3.2.1.已知集合M={(x ，y)|123+=--a x y }，N={(x ，y)|y -3=(a+1)(x -2)}.则有( ).A.M=N.B.M③N=M.C. M∩N=ND.M ⊆N. 2.若方程x+y -4√x +y +2m=0表示一条直线，则实数m 满足( ) ． A.m=0. B.m=2. C.m=2或m ＜0.D.m≥2.3.直线l 与两直线y=1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M(1，-1)，则直线l 的斜率为( ).A.32. B. 23. C.− 32. D.−23.4.一直线过点M(-3，4)，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是_ .5.已知关于x ，y 的方程x 2-4xy+my 2-x+(3m -10)y -2=0表示两条直线，则m= ．6.当a 为何值时，直线(a -1)x+(3-a)y+a=0在两坐标轴上的截距相等.7.把函数y=f(x)在x=a 及x=b 之间的一段图象近似地看作直线，设a ≤c ≤b ，证明：f(c)≈f (a )+c−ab−a [f (b )−f(a)].8.求经过点A(-2，2) 被两坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程.【参考答案】想一想①：1.两条；5x-y=0，x+y-6=0.2.4x-3y-4=0或4x+3y-4=0.3.2x-5y-10=0或8x-5y+20=0.想一想①：1.x+y-3=0.如图D4.2—1.设∠BAO=θ,θ∈(0,π2).则|PA|=1sinθ,|PB|=2cos θ,⇒|PA||PB|=4sin2θ,当且仅当θ=π4,即k=-1时，|PA||PB|取得最小值4.2.x+y=0或x-2y+1=0.习题3.2.1.D.2.C.令√x+y=t，则问题转换为t2-4t+2m=0的两根相等且非负，或有一正根和一负根.3.A.4.4x-y+16=0或x+3y-9=0.5.3或4.6.若直线过原点，则a=0；直线不过原点，则a=2.7.A，B，C三点共线，∴k AC=k AB, 即y c−f(a)c−a =f(b)−f(a)b−a,∴y c−f(a)=c−ab−a [f(b)−f(a)], 即y c=f(a)+c−ab−a[f(b)−f(a)],∴f(c)≈f(a)+c−ab−a[f(b)−f(a)].8. x+3y-2=0或2x+y+2=0.x yO ABP(2.1)图D3.2—1。

关于直线的知识点总结

两直线相交时：A1/A2≠B1/B2
(2)点斜式:知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在，
则直线可表示为 y-y0=k(x-x0)
当k不存在时，直线可表示为 x=x0
(3)截距式:不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线
知道直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),
二、直线方程的距离
1、点到直线的距离
点P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0的距离可表示为：
d=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)
2、两平行线间的距离
设两条直线方程为
Ax+By+C1=0
Ax+By+C2=0
两平行直线间距离公式d=｜C1-C2｜/√(A^2+B^2)，
将B（8，2）代入，解得c=-38.
故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
点评解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.
则直线可表示为 x/a+y/b=1
(4)斜截式: Y=KX+B (K≠0)
当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
两直线平行时 K1=K2
两直线垂直时 K1 X K2 = -1
(5)两点式 x1不等于x2 y1不等于y2
五、定比分点问题
1、定比分点定义
直线L上两点P、O，它们的坐标分别为（x1，y1),(x2，y2)，在直线L上一个不同于P， O的任一点M使PM/MO等于已知常数λ。即PM/MO=λ，我们就把M叫做有向线段PO的定比分点。若设M的坐标为(x，y)，

直线方程的五种形式

:
( 1 ) 直线 l 1 : 过点 ( 2 ,1 ), k 1 ,
(2 )直 l2:过线 ( 2 ,1 点 )和 (3 , 3 点 ).
解: ( 1 ) 直 l1 过线 ( 2 ,1 ) 点 k , 1 ,
代入点斜式,得 y11(x2),
整理 l1 的得方 :x 程 y3为 0
(2)直l2的线斜 k3 率 3 ( 2 1)5 4,
解: 依题 ,k意 x y2 2 x y1 1(x1x2).
代入点斜式,得
yy1 xy2 2 xy1 1(xx1) 当y2 y1时,可以得 yy1 xx1
y2 y1 x2 x1
方程yy1 xx1 叫做直线的 y2 y1 x2 x1
练习已知直线经 P1(过 2,1),两 P2(0点 ,3)
则直线的方程为
求这个三角形三边的所直在线方.程
解: 把A,C代入两点,得式
y0 x(5) 20 0(5)
2x5y10 0
另解: 由A,C两点的坐标得 AC直在x线 , y轴
上的截a距 5,为 b2.由截距式得
x y 1 5 2
2x5y10 0
五.直线方程的一般式
在平面直角,坐对标于系任中何一 ,都条有直
x x1 显然,点P1的坐标不满足方程(1)
而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1) 表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线的方程．
对于方 y程 y1 k(xx1),直线 l上的每点P(x,y)都是这个方 ;反程之 ,以的方解程
解为坐标的点 l上都 . 在y直线l
一.直线的点斜式方程
直l线经斜率
公过 kP xy式两 122(x 1xy,11为点 y1 .)(xP 1,2 (x x2 2,)y2)y则 , P直 2 l

直线方程基础知识小结

直线方程基础知识小结一 .网络结构图：平面直角坐标系中的直线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧简单的线性规划直线的位置关系直线方程的五种形式直线的倾斜角和斜率二．直线的倾斜角和斜率：1.直线方程的概念：（1，这条直线叫做这个方程的直线.2.直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为αx 轴平行重合时，规定直线的倾斜角为0°.3.直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，k 表示.倾斜角是︒90的直线没有斜率4. 三个题型：（1）已知倾斜角求斜率：⎪⎭⎫ ⎝⎛≠<≤=2,0tan παπααK （2）已知斜率求倾斜角：即由K =αtan 求αα＝（3）已知倾斜角的范围求斜率的范围：已知斜率的范围求倾斜角的范围：方法：应用如上正切曲线，数形结合解决问题5.斜率公式：经过两点),(),,(222111y x P y x P )2x ≠（当2121,y y x x ≠=（即直线和x6.直线的方向向量：直线上的向量→21P P 及与它平行的所有非零向量λ→21P P （）且0≠∈λλR 都是该直线的方向向量常用的直线的方向向量有：（1）（2）（3）（4）7.证明三点共线的方法：（1）函数法；（2）定比分点公式（3）共线向量（4）斜率相等（5）线段和五．点到直线的距离公式：（1）P ()00,y x 到直线0:=++C By Ax l 的距离公式：（2）0:;0:2211=++=++C By Ax l C By Ax l 的距离公式：（3）P ()00,y x 到直线a x l =:的距离公式：P ()00,y x 到直线b y l =:的距离公式：六．直线的对称问题：1．点关于点的对称点问题：()()())2,2(),(,,00y b x a y x y x ba ----任意点，坐标原点关于方法依据：中点坐标公式 2. 点关于直线的对称点问题：()()()()()()()()()(),,0,,,,2,,2,,=++=+-=++-=====-=+----------C By Ax c y x c y x xy xy by ax y y x x c x c y c x c y x y x y y b x y x a y x y x 直线直线直线直线直线直线直线直线直线关于说明：01（1）到（4）方法依据是中点坐标公式02（5）到（9）方法依据是：点关于直线对称点的基本解法3点关于直线对称的基本解法：直接法：设所求的对称点坐标是（),00y x 则由题意有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⨯--=++++1)(0220000B A x x y y C y y B xx A ⎩⎨⎧==∴00y x间接法：3.三个典型题：（1）距离和的最小值问题：在定直线l 上取点P ，求P 到两定点A,B 距离和PB PA +的最小值当两定点A,B 在直线l 的两侧时：PB PA +AB ≥，最小值是,AB 此时点P 坐标由方程组⎩⎨⎧=++:0:AB l C By Ax l 决定当两定点A,B 在直线l 的同侧时：先求点B 关于定直线l 的对称点 /B ，则PB PA +＝//AB PB PA ≥+，最小值是/AB此时点P 坐标由方程组 ⎩⎨⎧=++:0:/AB l C By Ax l 决定（2）距离差的最大值问题：在定直线l 上取点P ，求P 到两定点A,B 距离差PB PA -的最大值当两定点A,B 在直线l 的同侧时：PB PA -AB ≥，最大值是,AB 此时点P 坐标由方程组⎩⎨⎧=++:0:AB l C By Ax l 决定当两定点A,B 在直线l 的两侧时：先求点B 关于定直线l 的对称点 /B ，PB PA -＝//AB PB PA ≤- ，最大值是,AB 此时点P 坐标由方程组⎩⎨⎧=++:0:/AB l C By Ax l 决定（3）入射光线和反射光线问题：入射光线上的点关于界面的对称点在反射光线上；反射光线上的点关于界面的对称点在入射光线上；入射光线与界面的交点在反射光线上；反射光线与界面的交点在入射光线上；界面是x 轴（y 轴）时，考虑入射光线与反射光线的斜率互为相反数；界面是直线y=x(y=-x)时，考虑入射光线与反射光线上点的对称例5光线由点)4,1(-A 射出，遇到直线l ：0632=-+y x 后被反射，已知其)1362,3(B ，求反射光线所在直线的方程.七.几组特殊的直线系方程：1.直线系方程的定义：具有某种共同性质(过某点、共斜率等)的所有直线的集合叫做直线系。

直线方程五种形式优秀教师

1．直线的点斜式方程1．点斜式方程设直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，则直线的方程为y －y 0=k (x －x 0)，由于此方程是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程.注意：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）当直线l 的倾斜角α=90°时，斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示，但这时直线l 恰与y 轴平行或重合，这时直线l 上每个点的横坐标都等于x 0，所以此时的方程为x =x 0.（2）当直线l 的倾斜角α=0°时，k =0，此时直线l 的方程为y =y 0，即y －y 0=0.（3）当直线l 的倾斜角不为0°或90°时，可以直接代入方程求解.2．斜截式方程：如果一条直线通过点(0，b )且斜率为k ，则直线的点斜式方程为y =kx + b 其中k 为斜率，b 叫做直线y =kx +b 在y 轴上的截距，简称直线的截距.注意：利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）并非所有直线在y 轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，如直线x =2在y 轴上就没有截距，即只有不与y 轴平行的直线在y 轴上有截距，从而得斜截式方程不能表示与x 轴垂直的直线的方程.（2）直线的斜截式方程y =kx +b 是y 关于x 的函数，当k =0时，该函数为常量函数.x =b ；当k ≠0时，该函数为一次函数，且当k >0时，函数单调递增，当k <0时，函数单调递减.（3）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例。

要注意它们之间的区别和联系及其相互转化.直线点斜式方程的理解1．由于点斜式方程是由斜率公式00y y k x x -=-推出的，因此00y y k x x -=- 表示的直线上缺少一个点P (x 0，y 0)，y －y 0=k (x －x 0)才是整条直线；2．经过点P 0(x 0，y 0)的直线有无数条，这无数条直线可以分为两类：①斜率存在时，直线方程y －y 0=k (x －x 0)；②斜率不存在时，直线方程为x =x 0.3．直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式；4．从函数的角度来看，当斜率k 存在时，直线方程可以看作是函数解析式，当斜率k 不存在时，直线方程为x =x 0，它不是函数解析式。

直线方程的写法

直线方程有多种形式，以下是几种常见的写法：
一般式：适用于所有直线Ax + By + C = 0 (其中A、B不同时为0)。

点斜式：知道直线上一点(a,b)并且存在直线的斜率k，则直线可表示y - b= k(x - a)。

斜截式：在y轴上截距为b，且存在斜率k，则直线可表示y = kx + b。

两点式：知道直线上的两个点(x1,y1)和(x2,y2)，则直线可表示为(y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)，注意当x1 = x2时，斜率不存在，此时直线方程为x = x1。

截距式：知道在x轴截距为a，在y轴截距为b，则直线可表示为x/a + y/b = 1。

法线式：Xcosθ+ysinθ-p=0，其中p是原点到直线的距离，θ是法线与X轴正向的夹角。

点向式：(x-x0)/u=(y-y0)/v (u≠0,v≠0)，其中(x0,y0)是直线上一点，[u, v]是直线的方向向量。

法向式：a(x-x0)+b(y-y0)=0，其中，a,b不全为零，(x0,y0)是直线上一点，[a,b]是与该直线垂直的向量的数量积。

对称式：(x-x0)/l=(y-y0)/m (l≠0,m≠0)，其中(x0,y0)是直线上一点，l、m分别是该直线对x,y轴的斜率。

以上是直线方程的多种表示形式，可以根据具体的问题和条件选择适合的形式来表示直线方程。

直线方程公式

直线方程公式直线方程是一种表达直线位置的方式，根据直线的特征不同，可以求出各种形式的直线方程。

本文将介绍直线方程的一些公式和推导过程。

一、一般式直线方程一般式直线方程是一条直线在平面直角坐标系中的一般表达式，形式为Ax+By+c=0 （其中A、B、C为实数，且A和B不同时为零），是求解直线方程的一种基本形式。

公式推导过程：设过点（x1，y1）和（x2，y2）的直线方程为 Ax+By+C=0由于点（x1，y1）在直线上，所以有：Ax1+By1+C=0同理，另一个点（x2，y2）也在直线上，所以有：Ax2+By2+C=0将上面两个式子联立，得到：Ax1+By1+C=Ax2+By2+C移项可得：Ax1+By1-Ax2-By2=0即 A(x1-x2)+B(y1-y2)=0这个式子可以进一步化简，得到一般式直线方程：Ax+By+C=0其中，A=(y2-y1)，B=(x1-x2)，C=(x2y1-x1y2)二、点斜式直线方程点斜式是直线方程的一种简单表达形式，针对一条直线上已知一点和该点处直线的斜率，我们可以使用点斜式求解直线方程。

公式推导过程：设过（x1，y1）的直线斜率为k，则该直线方程可以表示为：y-y1=k(x-x1)将等式两边展开并整理，可得点斜式直线方程：y-kx+(kx1-y1)=0化简得y=kx+(y1-kx1)三、截距式直线方程截距式是直线方程的另一种常见形式，它以直线在x和y轴上的截距为基础来进行表达。

公式推导过程：假设一条直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b，斜率为k，那么它的一般式方程可以表示为：y=kx+b当x=0时，y=b，故截距b为该直线在y轴上的截距；当y=0时，x=-b/k，故截距a为该直线在x轴上的截距。

所以，截距式直线方程可以表示为：y=kx+b （或 x=a/b*y-a，y=b/a*x-b）其中a和b为x轴和y轴上直线截距。

四、斜截式直线方程针对一条直线已知斜率k和截距b的情况，我们可以使用斜截式公式快速求解直线方程。