02命题逻辑

1.2 命题公式 不包含联结词的命题叫做原子命题,至 少包含一个联结词的命题称为复合命题。 若命题表达式中包含具体命题，或者命题 变元，则称之为命题公式。命题变元称为 命题公式的分量。 并非由命题常元、变元、联结词和括 号组成的字符串都是命题公式。在此给出 一个严谨的定义，在给出定义之前先介绍 递归定义（Inductive definition）的方法。
第一章 命题逻辑
第二讲
回
一、命题
顾
定义1-1 在数理逻辑中，把能惟一判断真假的陈述句 称为命题(proposition)，以命题作为研究对象的逻辑 称为命题逻辑(proposition logic)。 要判断一个句子是否为命题，应首先判断它是否为 陈述句，再判断它是否有惟一的真值；若它是具有 惟一真值的陈述句，则为命题。
（3）设p ：方梅出生于1956年， q ：方梅出生于1957年。 由于方梅可能出生于1956年，也可能出生于 1957年，还可能出生于其它年份，但不可能既出 生于1956年又出生于1957年。所以这是不可兼 或。 ( 该命题应符号化为： p q) (P q) （4）设p:进机房者换拖鞋, q:进机房者穿工作服， r:进机房者被罚款10元。 ( 则该命题应符号化为： p q) r
堂上练习
1. 将下列命题符号化： (1) 3不是偶数。 (2) 小强虽聪明，但不用功。 (3) 派小王或小李出差。 (4) 如果天下雨，他就乘公共汽车上班。 (5) 只有天下雨，他才乘公共汽车上班。 (6) 我既不看电视也不外出，我睡觉。 (7) 我们不能既走路又划船。 (8) 小王现在在宿舍或在图书馆。
命题联结词与日常语言中的联结词类似，例如： “如果…,那么…”、“不但…而且…”、“不”、“并 且”、“或者”等等。但这些联结词没有经过严格定义， 有的在意义上模棱两可，使用起来不很确切。
在数理逻辑中，联结词必须经过严格定义，它们的 含义有时并不完全与日常语言的联结词一致，为了区别， 我们把命题演算中的联结词称为命题联结词或逻辑联结 词。
【说明】析取又称为逻辑“或”。它可分为 可兼或（inclusive or）和不可兼或 （exclusive or）。联结词 “∨”代表 的是可兼或，还有不可兼或。 例如：命题“小李在看书或听音乐”， 这里的“或”显然是“可兼或”；而命题 “小李正在教室看书或正在图书馆上网” 的“或”是“不可兼或”，因为同一个人 不可能同时出现在两个不同的地方。不可 兼或指的是二者不能同时存在。因此，析 取联结词“∨”只表示“可兼或”。
例1-7 设 P: 明天下雨。 Q: 明天下雪。 R: 我去学校。 试把下列命题符号化: 1) 如果明天不是雨夹雪, 我就去学校。 2) 如果明天既不下雨又不下雪, 我就去学校。 3) 明天下雨或者下雪, 我就不去学校。 解： 1) ┐(P∧Q)→R 2) (┐P∧┐Q)→R 3) (P∨Q)→┐R
例1-3将下列命题符号化： （1）小李在看书或听音乐。 （2）小李正在教室看书或正在图书馆上网。 解（1）设p ：小李在看书， Q ：小李在听音乐； 则该命题符号化为：P ∨Q 。 （2）设R ：小李正在教室看书， S ：小李正在图书馆上网；此 命题必须使用多个联结词，命题符号化 为： 。
( R S ) (R S )
4 条件： p q表示如果p则q
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1
pq
1 1 0 1
p q为假当且仅当 为真q为假 p
在真值表中，除了前件为真，后件为假时为 假，其余都为真。
前件为假不是我们考虑的对象，所以不管后件是真 还是假，都有为真。这种情况逻辑学上称为“善意推定”。
正是因为这个“善意推定”，阿基米德才会说：“给 我一个支点，我能把地球撬起来。”，这句话永远是对的， 因为没有谁能给他这样一个支点，前件总为假，不管他能 否把地球撬起来，他都是对的。
5 双条件： p q表示p等价于q（p当且仅当q）
p 0 0 1 q 0 1 0
pq
1 0 0
1
1
1
p q为真当且仅当 和q真值相同 p
1.1.3 逻辑联结词的优先级 为了使命题的符号化变得清晰而简洁，需要 给命题联结词规定优先级次序，5种联结词也称 为逻辑运算符，其优先级次序规定为：“ ¬ ”、 “∧”、“∨”、“→ ”、“↔ ”。其中 “ ¬ ” 的优先级最高，“↔”的优先级最低。 如果有括号，括号最优先。在同一括号层并 列两个以上相同的联结词，则按从左到右的顺序 运算。例如： p∨┐q→r的含义与(p∨ (┐q)) →r 相同， 而与p∨((┐q) →r)或p∨ (┐ (q→r))的含义不同。
1．2．1 命题公式 命题公式也称命题演算的合式公式(Well form formula,简写为wff)。 定义1-6 命题公式的递归定义如下： (1)单个的命题常元或命题变元是命题公式； (2)如果A是一个命题公式，则 (┐A)也是命题公式； (3)如果A和B都是命题公式，则(A∧B)、(A∨B)、 (A→B)、(A↔B)也是命题公式； (4)当且仅当有限次地应用（1）、(2)、（3）所得 到的符号串是命题公式。
递归定义一般用于定义集合的元素，整个过程 分为三步： （1）基础：确定某个对象在集合中。 （2）递归：确定构造集合元素的方法。 （3）界限：确定集合元素的范围。 例如：定义一个非负偶数集合E。 解：（1）基础：0 E （2）递归：如果n E,则(n 2) E。 （3）界限：除非有限次地应用基础和递归步 造成的数是偶数外，其余均不是偶数。
Βιβλιοθήκη Baidu 2.设P:天下雨。 Q：我将进城。 R：我有时间。 试将下列命题形式化或翻译成自然语言命题。
①天没下雨，我也没有进城。 ②如果我有时间，我将进城。 ③如果天不下雨而且我又有时间，我将进城。 ④ ¬（R∨Q） ⑤Q↔（R∧¬P） ⑥（Q→R）∧（R→Q）
课后作业
P40 习题一 2.(1)(5)(7)
二、把符号命题翻译成自然语言命题 这种翻译比较简单，只要求用词准确，力求保 持原命题的意思。 例 设 A: 今天下雨。 B: 今天下雪。 C: 今天天晴。试把下列形式语言翻译成自然 语言: 1) ┐(A∧B) 2) C↔ (┐A∧┐B) 3) A∨B→┐C 解 :1) 说今天下雨且下雪是不对的。 2) 今天天晴当且仅当今天既不下雨又不下雪。 3) 如果今天下雨或者下雪, 今天就不是晴天。
例如下列不是命题公式: pq、p ¬ q、(p∨q)) →r、∧B 、（A↔∧B）。 (( 而 (( A B) C ) 、 P Q) (Q R)) 、P (Q R)) 是 ( 命题公式。 根据逻辑联结词的优先级别可省略一些圆括 号，如上述命题公式可写 成：A B C 、 Q Q R、 (Q R)。 P P 【说明】在命题公式的定义中，引进了A、B等符 号，它们代表任意的公式，本书以后出现的A、B 等符号除特别说明外，均表示公式。
例1-6将下列命题符号化 （1）8能被2整除，但不能被6整除。 （2）林强学过英语或法语。 （3）方梅出生于1956年或1957年。 （4）凡进机房者必须换拖鞋、穿工作服，否则 罚款10元。 解（1）设p ：8能被2整除， q ：8能被6整除； p 则该命题符号化为： q （2）设p ：林强学过英语， q ：林强学过法语。 由于林强既可能学过其中一种语言，也可同 时学这两种语言，所以这是可兼或。 则该命题符号化为：p q
二、命题的分类 定义1-2 凡不能再分解的命题称为原子命题 (atomic proposition)。由原子命题和联结词 联结而成的命题称为复合命题(compound pr oposition)。 原子命题是命题逻辑的基本单位，是一个不可 再分的个体，其真假性独立于其他命题。
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三、命题常元与命题变元
1．2．2 命题公式的翻译 一、把自然语言描述的命题抽象为形式命题(即 形式化) 形式化时应注意联结词的选择，确定联结词时 除根据自然语言的联结词外，还要考虑语句的实 际含义。 例如：大家要取得好成绩，除非努力学习。 其中“除非”是“只有”，除此之外没有其它 条件。因此努力学习是取得好成绩的必要条件。 设 P：大家要取得好成绩； Q：大家要努力学习。 P 则命题形式化为： Q
定义1-3 如果一个命题标识符代表任意未知命题， 则称该命题标识符为命题变元。如果一个命 题标识符代表一个确定的命题，则称之为命 题常元。
命题变元类似代数中的变量，命题常元 类似常量，但两者有着本质的区别。命题变 元或常元代表的是命题元素，而变量和常量 代表的是一个数值。
四、命题联结词
1.1.2 命题联结词
1 否定：
P 0 ¬P 1
1
0
2 合取： p q表示p且q
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1
pq
0 0 0 1
p q为真当且仅当 和q同时为真 p
3 析取： p q表示p或q
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1
p q
0 1 1 1
p q为假当且仅当 和q同时为假 p