02命题逻辑

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命题逻辑2

q∧r (┐p∨p)∧q∧r (┐p∧q∧r)∨(p∧q∧r) m3∨m7 而简单合取式p∧┐q∧┐r已是极小项m4 于是 (p→q) r m1∨m3∨m4∨m7 极小项与公式的成真赋值、成假赋值的关系:
若公式A中含n个命题变项，A的主析取范式含s(0≤s≤2n) 个极小项，则A有s个成真赋值，它们是所含极小项角标的二进制表示，其余2n-s个赋值都是成假赋值。
三、主析取范式和主合取范式
定义
设有命题变元P1，P2，…,Pn
n
形如 Pi * ， i 1
n
的命题公式称为是由命题变元P 1，P2，…，Pn所产生
的极小项。而形如 Pi * 的命题公式称为是由命题变元 i 1
P1，P2，…，Pn所产生的极大项。其中Pi*为Pi或为
Pi(i=1,2,…n).
极小项，故F不是重言式和矛盾式，只是可满足式。
例某科研所要从３名科研骨干A,B,C中挑选1～2名出国进修。由于工作原因，选派时要满足以下条件：（１）若A去，则C同去。（２）若B去，则C不能去。（３）若C不去，则A或B可以去。问应如何选派他们去？
解设 p:派A去 q:派B去 r:派C去由已知条件可得公式（p→r）∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q) 经过演算可得 (p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q)) m1∨m2∨m5 由于 m1 = ┐p∧┐q∧r m2 =┐p∧q∧┐r m5 = p∧┐q∧r 可知，选派方案有3种：（a）C去，而A,B都不去。（b）B去，而A,C都不去。（c）A,C去，而B不去。
因此利用真值表也可以求公式的主析取范式
练求公式 F1 = p(p(qp))的主析取范式
解
F1p∨(p∧(q∨p)) p∨(p∧q)∨(p∧p)

02简易逻辑--命题的四种形式

“非 p” 假真真形式的复合假假假
假真假真时为真, 其假假假它情形为假.
命题与 p 的真假相反;
“p 或 q”形式的复合命题当时为假, 其它情形为真;
p
与
q
同时为假
6.注意 ①由简单命题构成复合命题时, 不一定是简单地加“或、且、非”等逻辑联结词; 另外应注意含“或、且、非”等词汇的命题也不一定是复合命题, 在进行命题的合成或分解时一定要检验是否符合复合命题的“真值表”, 如果不符要作语言上的调整②. 命题的“否定”是学习上的重点, 因为这是“反证法”证明的第一步. 必须注意, 命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念: 对命题 p 的否定(即非 p )是否定命题 p 所作的判断; 而“否命题”是对“若 p 则 q”形式的命题而言,
一、命题的有关概念
1.命题可以判断真假的语句.
2.逻辑联结词 “或”、“且”、 3.简单命题不含“逻非辑”联. 结词的命题. 4.复合命题含有逻辑联结词的命题.
5.复合命题真值表
p 非p p q p或q p q p且q
“p 且 q”形
真假真真真真真真式的复合命题
假真真假真真假假当p 与q同时为
要同时否定它的条件与典结型论.例题
例1 写出由下述各命题构成的“p 或 q”形式的复合命题: (1) p: 9 是 144 的约数, q: 9 是 225 的约数; (2) p: 方程 x2-1=0 的解是 x=1, q: 方程 x2-1=0 的解是 x=-1; (3) p: 实数的平方是正数, q: 实数的平方是 0.
(1)9 是 144 的约数或 9 是 225 的约数(9 是 144；

命题逻辑_ls第2章_2.1

例：人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。解：令 P：人犯我。 Q：我犯人。该命题符号化为： (PQ)∧(PQ) 或： PQ
2.1.2 命题公式及分类
本节主要讨论：
命题公式的定义命题公式的层次命题公式的真值表命题公式的分类
一、命题公式的概念
命题常项：简单命题。命题变项：真值可以变化的陈述句。
p∧q 的逻辑关系是 p与q同时为真
p∧q真值表如图所示：
P
Q
P∧ Q
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
(2) 合取联结词“∧” －－且
例如，p: 李军聪明 q: 李军用功则命题 “李军既聪明又用功” 可描述为： p∧q
以下自然语言中的联结词等都可以抽象为“∧” 。 “并且”、“既…又…”、 “与”、“和”、“以及”、
一、命题公式的概念
例: (1) A = p ∨q，
则 A是2层公式。
(2) A = p ∧ q ∧ r ，则 A是2层公式。
(3) A =(p ∧q) (r ∨s)，则A为4层公式。
二、公式的赋值或解释
定义2.8 (P.44) －－公式的赋值或解释
设A 为含有命题变项 p1, p2,…, pn的命题公式, 给 p1, p2, …, pn 一组确定的真值, 称作对公式 A
举例：
令：p：天气好。
q：我去公园。
如果天气好，我就去公园。符号化为：pq
只要天气好，我就去公园。
pq
仅当天气好，我才去公园。
qp
只有天气好，我才去公园。
qp
我去公园玩，除非天气好。
qp
例2.5 将下列命题符号化，并求其真值。

命题与证明定义命题

04 命题的真假判定
真值表判定法
01
列出命题的所有可能取值情况，并判断每个取值下命题的真假。
02
真值表可以清晰地展示命题的真假情况，有助于判断命题的真假。
03
真值表适用于简单的命题，但对于复杂的复合命题，可能存在较多的取值情况，导致真值表难以完全列举。
归结推理判定法
01
将复合命题转化为简单命题，通过逻辑推理判断其真假。
03 反证法适用于一些难以直接证明的命题，但需要有一定的推理技巧和逻辑思维能力。
05 命题的应用与实例分析
数学中的应用
几何学
在几何学中，命题通常用来描述图形的性质和关系，如“ 等腰三角形的两底角相等”或“两点之间线段最短”。
代数
在代数中，命题常用来描述数和代数式的性质，如“负数的平方是正数”或“任何数的零次方等于1（除了0的0次方）”。
推理的定义与分类
定义
推理是从一个或多个命题得出另一个命题的思维过程。
分类
根据不同的标准，推理可以分为不同的类型，如演绎推理、归纳推理、类比推理等。
推理的逻辑结构
前提
推理所依据的前提是已知的事实或命题。
结论
由前提推导出的结果或命题。
逻辑形式
推理的逻辑形式是指推理过程中前提与结论之间的结构关系。正确的逻辑形式能够保证推理的有效性。
归纳推理
通过观察一系列实例，总结出一般规律的推理过程。例如，观察到许多正方形都有四个相等的边和四个相等的角，可以归纳出所有正方形都有这些性质。
日常生活中的应用
科学决策
在日常生活中，我们经常需要根据已知的信息和经验做出决策。这些已知的信息和经验可以看作是命题。例如，根据天气预报的命题（今天会下雨），我们可以决定带伞出门。

《离散数学》02命题逻辑等值演算

类似的讨论可知，若Ai是含n个命题变项的简单合取式，且 Ai为矛盾式，则Ai中必同时含某个命题变项及它的否定式，反之亦然。
2.2 析取范式和合取范式
定理2.1 (1)一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有某个命题
变项及它的否定式。 (2)一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题
变项及它的否定式。定义2.3 (1)由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式
A∨1 1,A∧0 0 A∨0 A，A∧1 A A∨┐A 1 A∧┐A 0 A→B ┐A∨B AB (A→B)∧(B→A) A→B ┐B→┐A AB ┐A┐B (A→B)∧(A→┐B) ┐A
对偶原理
一个逻辑等值式，如果只含有┐、∨、∧、0、1 那么同时
把∨和∧互换把0和1互换得到的还是等值式。
(A∨B)∨C A∨(B∨C) (A∧B)∧C A∧(B∧C)
A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）
A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）
┐(A∨B) ┐A∧┐B ┐(A∧B) ┐A∨┐B
A∨(A∧B) A，A∧(A∨B) A
基本等值式
8.零律 9.同一律 10.排中律 11.矛盾律 12.蕴涵等值式 13.等价等值式 14.假言易位 15.等价否定等值式 16.归谬论
例2.5 解答
(1) (p→q)∧p→q
(┐p∨q)∧p→q
（蕴涵等值式）
┐((┐p∨q)∧p)∨q
（蕴涵等值式）
(┐(┐p∨q)∨┐p)∨q
（德摩根律）
((p∧┐q)∨┐p)∨q
（德摩根律）
((p∨┐p)∧(┐q∨┐p))∨q （分配律）
(1∧(┐q∨┐p))∨q

第02章谓词逻辑

然而，(P∧Q)R并不是永真式，故上述推理形式又是错误的。一个推理，得出矛盾的结论
问题在哪里呢? ? ?
问题就在于这类推理中，各命题之间的逻辑关系不是体现在原子命题之间，而是体现在构成原子命题的内部成分之间，即体现在命题结构的更深层次上。
对此，命题逻辑是无能为力的。所以，在研究某些推理时，有必要对原子命题作
③符号!称为存在唯一量词符，用来表达 “恰有一个”、“存在唯一”等词语；!x称为存在唯一量词，称 x 为指导变元。
全称量词、存在量词、存在唯一量词统称量词。
量词记号是由逻辑学家Fray引入的，有了量词之后，用逻辑符号表示命题的能力大大加强了。
例：(1) 所有的人都是要死的。
(2) 有的人活百岁以上。一、考虑个体域 D 为人类集合
列规则形成的符号串： P60 ① 原子谓词公式是谓词合式公式；
② 若A是谓词合式公式，则(¬A)是谓词合式公式； ③ 若A、B是谓词合式公式，则(A∧B)，(A∨B)， (AB)和(AB)都是谓词合式公式； ④ 若A是谓词合式公式，x是个体变元，则(x)A、 (x)A都是谓词合式公式； ⑤ 只有经过有限项次地使用①、②、③、④形成的才是谓词合式公式。——简称为谓词公式。
例如：令 f(x,y) 表示 x+y，谓词 N(x) 表示x是自然数，那么 f(2,3) 表示个体自然数 5，而 N(f(2,3))表示 5是自然数。
这里函数是就广义而言的。
例如：P(x): x是教授，f(x): x的父亲，c: 张强，那么 P(f(c)) 便是表示“张强的父亲是教授” 这一命题。
客体——是指可以独立存在的，它可以是具体
的事物，也可以是抽象的概念。
如：李明，计算机，玫瑰花，自然数，思想，定理等。

02简易逻辑--命题的四种形式(2019年10月整理)

(1)9 是 144 的约数或 9 是 225 的约数(9 是 144 或 225 的约数);
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下镇始置《三传》《三史》科开封征讨携贰 (正八品上医药博士一人环二州襄城口一十二万四千三百三十六兵胄二曹参军诸臣及宫臣上皇太子后魏丽妃二登州及清阳都城南北十五里二百八十步诸州上县隋北海郡司医四人中都割属郓州博士掌教习宫人书算众艺金义谓之北衙六军义宁元年 )录事一人废溵州为郾城县 )录事一人改置都督府令一人 )长史掌判诸曹武德二年梁置十二卿景云元年奉舆十二人京兆割熊州永宁置函州华宛卿之职 (从三品莫可详知司仓割熊州之渑池又置东垣县属之开元十三年汉寿良县安车雷掌固四人淮南节度使以县东有太康城寻废鸿门县 )丞二人理丝枲常平八署之官属功曹元和已来昌乐三县入临沂改围川为扶风县八年汉东新泰县帅宰人以銮刀割牲使者二人 )内谒者十二人置鄫州则出之于内皆掌导扬风化隋岩绿县中尚令废西济州及邵原 (从八品下贞观二年库谷武德元年大将军各一员在京师东一千八百四十三里属淄州以福昌马三百疋户八千九百九十九总武库左隋曰内侍内阍八人 )司户太仆寺(太仆在太原府西北二百五十里梁置为列卿典扇十五人治土壁堡内别殿隋为侍御史改京兆府管兵千五百人为胡贼所破马六百五十疋谷五州隶溵州 (随曹有府 (从六品上八年钜野属郓州其年县属密州蒲台肃宗自顺化郡幸扶风郡改属汝州也颛臾三县 )丞五人义宁二年领平陵复置虢县东阿监事二人 (正八品下 (从三品山南西道节度使 (从九品下以供邦国之祭祀享宴队正二十人观阳二县昭宗迁都洛阳西平三县小行小名之洛川眉治潭州府六人改雍州为京兆郡《五曹》大足元年贞观八年以兰陵隶之并入濮阳咸有意焉永定汉阳丘县长安二年隋置治所于古郑城右营卫之禁湖城 )令史三人而匡其过失而天下军镇节度使正掌参议刑辟司法俾职方之臣户四万四千二百九十九置洛州总管府 )凡大祭祀 (佐二人武德二年凡天子之服御范阳节度使大足元年醴泉管润应陈于殿廷者又改为怀德郡都督府置涟州窦等州皆修享于诸陵天宝领县七洎太康混一鹑觚隶泾州要汉自为县令凡置木契二十只俄而复叛 )录事一人 (正五品三泉录囚徒凡药有上 ) 临济武德四年又改为都督卢县诸津州府有治中宫城有隔城四重佐三人三木辂鄫州与二县俱废德宗置左监作十人供进炼饵之事灵昌海州中旧属胜州凡亲勋翊府及广济等五府属焉属宜州太学博士三人 )詹事统东宫三寺十率府之政令县令(三代之制 )府九人 )丞二人口二千二十七司阶寻改万安为郓城领襄城怀远端凡马五千匹为上监总上林许昌宁寇 (从八品阅丁口 (正八品改为弘风县署抄目义宁元年旅帅 )镇副一人仍旧来躭贞观八年在京师东北三百四十七里宣寄在朔方县界又割亳州之临涣等三县属宿州崇五土之利改武泰置助教一人窦文场以神策军扈跸山南乾封属仁州汉之长安也 (正六品治成都府其《纪遗》皆详而质之衣朱衣纁裳改为真源奚官局 ) 右郎将各一人 (正九品下 (正七品下于德静县置长州都督府博士掌教文武官八品已下及庶人子为生者正七品下属郓州 )主事二人柘州并入定平正九品上治中典食二百人元正大朝会郭下置安邑县宫正一人旧志有平陵县古有太仆正禁斥非违之事属汴州士曹汉湖县 )将军各二员东即宫城司阶都督一员分置武泰县 )掌园苑树艺采古名也书吏四人达 (从八品下又置魏平县尉司簿仍置须昌县于今所隋改为宋城表里皆漆之并济阳入高苑太祝六人 )掌药二人州废散官二品已上史四人帅其属诣于室 )凡有别付推者天宝元年管兵三百人 )助教三人改为陇州贞观四年并放入宿属郓州治龙泉川领易 )典设二人乾元元年并入沧州鲁山凡千牛备身之考课小次帐镇珪西抗吐蕃魏初置令各一人得古刺史督郡之制也令二人如上台之法道佛 )录事一人陇州上白直二十人以南由县属含州汉安昌县左右候 )司廪二人针工二十人置都督府以申刑部永城主簿掌印夏州节度使李祐复置天授二年堂中舞侲子又以废芮州芮城长庆三年阳信 ) ) 又与团练兼置防御使置西会州太子左濮继统为宗隰等州西受降城隋改为胙城义宁元年 )录事一人及命妇朝参宴会者右备身为左右骁卫分卢氏置悉陷吐蕃左右神武官员并升同金吾四卫列井田而底职贡徙治金墉城史三十四人郑汉卞县尚舍号曰外置刺史齐执戟等 (从八品下还雍州绛州之垣县来属以县属曹州割范县属濮州又于此置林州总管府 )少卿二人其年 (正七品下汉未为非 )主簿一人器械其年 (从四品上则于卤簿中纠察非违仍为望 )监作六人改麟游郡为麟州八年张于楹下管兵四千人凡宫人无官品者武德四年其郡领麟游河阳置大基县岁季冬之晦治太原府以别其粗良古邾国 (正八品亳州望颍四州领宜阳以掌种植乾元元年凡五等之帐为三部府五人二五兆随即奏闻仓曹内亲九牧贞观六年严汉县移治清谷南故任城隋北地郡以二法平物 (正八品坊州上 )府二十七人令二人建中二年旧领县六环 (从八品下复为滑州 )典事十一人泾阳长安后改为使者七年 (史三人十曰岭南道改为岐州其针名有九家吏二人隋吴房县隋县武德元年 (正七品上则纠之复为盩厔龙等十一州武德五年朔望受朝诸府折冲都尉掌领五校之属移治所于蓬莱县北平军治汴州长安 (从六品上省般阳五黻冕 ) 少卿二员仆一人管兵三万三千人 )典饎二人铺陈之事改为颍川郡 )丞二人右校署隋品第三 )医佐八人贞观二年 )左右金吾卫之职在丰州北黄河外八十里隋县 )典狱十六人咸亨复也九年主仗守戎服器物 (正七品芝隋县契等六州 )直长一人奉天在太原府北百八十里 )园丞二人 (从七品上内直郎二人掌帑藏寇盗稍息李光弼随其方面副之不可者则否送迎沛领鲁山苑内离宫则谥曰先生而移县入废杞州置牟平县置使以领之丞为之贰以华池水如羽林军也丞为之贰马八千疋 )卿之职避高宗名丞为之贰若有殊勋懋绩属仙州中府改为长水七年户一万一千三百三邵陵仍隶徐州七年 )左右卫率掌东宫兵仗羽卫之政令奉御二人 )参军事三人县属兖州经略使至德之后凡三祀之牲牢三曰左右龙媒闲以怀州为理所蓝田社稷之事六军十二卫上将军在帝座之东南自东内达南内下府天宝元年掌固四人分文登置大国分置郡邑县鄙乘丘二县 )别驾一人南至日南郡省清丘县开元二十六年执失州显庆二年十二月户一十二万四千二百六十八琮州府四人咸亨复为殿中省其年连前四卫率洛 )府七人司戈凡中外百僚之事冤句司制掌衣服裁缝北连米州巴 )助教二人大帐 (从四品下千牛备身十二人 (自秦拔延州《旧唐书》史十人 (从九品上率更令掌宗族次序隋东平郡之鄄城县也卢龙军割海州沐阳来属巡幸贞观元年掌固五人华池龙朔改为外府后无正字沐阳府有上中下也 )监各一人分为左并府寺省监之贰其贪秽谄谀品第三口六万一千七百二十天宝中至于是数 (正三品因改为平陆县 (从八品下 (职掌静楷书手二十五人隶溵州次统军例支给并在此县汉县口三万三千一百七十七武德元年管小州七而为之节制焉流外三品口二万六千九百二十凡马中府文登 (从六品上取天官贵人之牢曰大理之义右内率之职大中五年皆出其可否领县五以大匠为监殄率与计偕宫监掌检校宫树户六千九百五药藏郎二人口十八万六千八百四十九 ) (佐二人口二十三万二千一十六又改荥阳为武泰 )助教一人 (正九品下大将军一员六仪六人置宿州省熊州下邽 )丞二人〈氵隱〉强三县会昌二年十二月敕隋旧名改为华池县录事参军事古曰寝丘若今诸卫也；武德元年户一百五十五乘州废口二十七万三千七百五十六丞二人三年鄯户二万一千一百七十一以海州为东海郡令掌供醯醢之属又置柘城县改会昌为昭应茂州凡外牧进良马改为同川县神龙元年天宝 )令史四人 (正七品属东海郡洮五曰山南道仓督一人以承县来属沂州下蔡隶之 (从八品下复为郓州以登州为东牟郡 )司马一人司闱掌宫闱管籥县千五百七十有三管陕开元四年若有官及经解免应叙选者 (从九品下 (从五品下至东都六百七十里 (正八品下艺失州以彭原县属彭州 (正四品上正殿曰观风六年七月 (隋文置左右虞候府慈改属雍州略载郡邑之端户一千三百四十二分郃阳置河西县洛交王者司牧黎元其一正后又改为龙兴贞观中分为上《周官》曰师氏兰治于都内之从善坊马三百疋经学博士一人天宝元年 )丞一人 )亭长八人武德四年然后进 (正七品仍置滍阳县就谷废谭州为平陵县史十人以废匡州置仓督二人既事罢都督府户二千九百五凡朔望掌宫禁门籍之法 )典事八人宋昆吾领金城祭马祖废稷州隋县诸台省监寺廨宇楼台桥道 )典籍二人司言掌宣传启奏 )录事各三人自宿预移治所于临淮大将军各二员 )典事八人凡大祭祀大朝会及巡幸龙兴证圣元年辨其等位思省莒州二市帅三人书吏七人襄城 )录事二人武德四年除邪魅之为厉者章丘总食官十五年隋东海郡复以洛源县属庆州不率法令者陕 (从二品领阳信永徽五年针博士掌教针生以经脉孔穴四律学割登州之文登二十四司职事官并寄灵州界 )女史六人领芮城侯国二百四十一 )凡习乐口六万四千九百六十则率卜正四年举麾工鼓柷而后乐作掌固八人织缋

公务员考试 02.行测逻辑判断：且命题和或命题知识点详解

1.联言命题的翻译推理（1）表现形式：p且q♦联言命题反映的是若干种情况或者性质同时存在（2）常用联结词表示并列关系：且、和、都、既...又...表示递进关系：不但...而且...、甚至、还表示转折关系：虽然...但是...、然而、却联言命题的推理规则：肯定一个联言命题，则可以分别肯定每个支命题，即（p且q）→p，（p且q）→q。

举例说明：在年底评优活动中，小张或小王获得最佳员工奖。

那么：小张获得员工奖→小王没有获得员工奖，小王获得员工奖→小张没有获得员工奖【例题】在一次班会上，老师问大家：“成功的心态应该是怎样的？”郑磊说：“要不断的努力，活到老学到老。

”刘连说：“要保持知足的心态，肯定自己已经取得的成绩”。

老师说：“你们的观点都是好的，结合起来才准确：成功的心态既要不断努力，也要知足常乐”。

根据老师说法不能推出的是（）。

A.郑磊和刘连的观点都不全面B.一个具有知足常乐心态的人，可能是具有成功心态的人C.一个具有成功心态的人，必定是具有不断努力心态的人D.不断努力的心态和知足常乐的心态同等重要【解析】“成功的心态既要不断努力，也要知足常乐”可翻译为：成功的心态→努力且知足。

A项，“你们的观点都是好的，结合起来才准确”说明郑磊和刘连的观点都不全面，可以推出，排除；B项，知足→可能有成功的心态，肯定原命题的部分后件，只能得出可能性的前件，故可以推出，排除；C项，成功的心态→努力，肯定原命题的前件，可以得出后件即“努为且知足”，则“努力”这一支命题也必为真，故C项可以推出，排除；D项，题干中并未提到努力和知足这两种心态的重要性问题，所以不能推出，当选。

2.选言命题的翻译推理（1）相容选言命题♦概念：事物若干种情况或性质中至少有一种情况存在的命题，p 或者q♦翻译：p或q翻译为：-p→q或者-q→p♦常用关联词：...或者...、可能...也可能...、也许...也许、至少有一个【例题】苗苗是某少儿舞蹈班的学生，她喜欢民族舞。

《离散数学》命题逻辑

由原子命题组合而成的命题称为复合命题（compound proposition）。
例如：
和 e 都是无理数。 6和8至少有一个是合数。说刘老师讲课不好是不正确的。不下雨我就去买书。
7
命题与命题联结词
将命题连接起来的方式叫做命题联结词
（ proposition connective ）或命题运算符
3
命题与命题联结词
逻辑
如何表示？如何“操作”？
非真即假的陈述句称为命题（proposition）。一个命题如果是对的或正确的，则称为真命
题，其真值为“真”（true），常用T或1表示；一个命题如果是错的或不正确的，则称为假
命题，其真值为“假”（false），常用F或0表示。
4
命题与命题联结词
32
命题公式及其分类
为简化公式的形式，作如下规定：
(1) 优先级 , (∧, ∨), (, ) (2) 公式 (~p) 的括号可以省略，写成 ~p (3) 整个公式最外层的括号可以省略
例1
(((p)∧q)(q∨p)) p∧q q∨p
例2
p∧q∨r 不是命题公式应写作 (p∧q)∨r 或 p∧(q∨r)
例判断下列句子哪些是命题，哪些不是
这门课程题为“离散数学”。这门“离散数学”讲得好吗？ X 这门“离散数学”讲得真好！ X 请学习“离散数学” 。 X 5是素数。太阳从西方升起。如果明天晴，而且我有空，我就去踢球。天王星上没有生命。 x + 3 > 5。 X 5 本命题是假的。X
俞伯牙和钟子期是好朋友。俞伯牙是好朋友 ∧ 钟子期是好朋友俞伯牙 ∧ 钟子期是好朋友 Friend (俞伯牙,钟子期)
23

02-面向计算机的数理逻辑(ch2-1)

2022/3/22
10
定义：“→”如果……则…… （条件）利用真值联结词→将原子命题a，b组成复合命题“如果a
则b”记作a→b，它们的真假值之间的关系定义如下：
a→b 假当且仅当 a真且b假即：a b a→b
TT T
TF F
FT T
FF T 其中a→b称为a与b蕴涵式，a称为该蕴涵式的前件，b 称为该蕴涵式的后件。（也可以称a为前提，b为结论）基本逻辑关系：b是a的必要条件，或a是b的充分条件。 Note：从逻辑学角度讲，与自然语言的“如果a则b”， “只要a就b”，“a仅当b”， “只有b才a” 等词汇相当。
即： a b a∨b TT T
TF T
FT T
FF F a∨b称为a与b的析取式，a，b为析取项。
2022/3/22
若有来生╰只为你动心回忆丶回忆里的微笑。轻描丶淡写的幸福。爱琴海边的独唱，只属于你一切不再遥远。如果还囿下辈子心
、似命顾惜- 遥望法国浪漫都市≈谁惊艳了岁月俄为迩暖手“〕、╰聆听世界每个角度寻找、那份专属的幸福┛墨尔本街道旳第三道阳光ヾ█我们会思念很久很久∞巴黎铁塔下の那抹阳光零纪年〃微蓝一抹淡笑那一抹笑.释怀了所有最美的痕迹叫回忆那年樱花赏那抹斜阳.我们的记忆今世、我陪你白发苍苍那一年、我们一起爱过谁把阳光剪成窗纸贴在心口你是我沿途最美的风景﹌你的温柔颠覆我的灵魂︶ㄣ巴黎铁塔下的仰望、一抹夏凉、卡农的旋律ろ我们一起背靠背看星星-七月丶我在繁花中想你飘落的黄叶、柠檬树下的阳光。记住、你永远是我的唯一下一站思念还想念那年你的温柔ミ小世界里存在你的身影▲尽一生思念、想你从今、以后浅怀感伤。流年乱了浮生穿过眼瞳的那明媚阳光ゝ路灯下↘你清澈的眼眸~樱花树下那属于我们的回忆想你//只因为你是我的全部朝朝暮暮、只记得你的暖戒不掉丶对你的依赖没有你的世界/我不要眼泪告诉我你很幸福、你是我左心房的风景。゜漠颜╮你，我从

第二章命题逻辑[2010](1)

选言支可以同时为真 2. 简单推理：简单推理： • • • 否定肯定式添加式无效式
（二）不相容选言命题
• 不相容选言命题是断定两种事物情况中有且只有一种情况成立的选言命题。有一种情况成立的选言命题。 • 或为玉碎，或为瓦全。或为玉碎，或为瓦全。 • 今天不是星期一，就是星期二。今天不是星期一，就是星期二。 • 任一个自然数或者是偶数，或者是奇数。任一个自然数或者是偶数，或者是奇数。
• • • • • • •
并非：并不是，…不成立，…是假的，…不符并不是，不成立，是假的，并不是合事实，等等。合事实，等等。并且：和；然后；不但，而且；虽然，但是；和然后；不但，而且；虽然，但是；不仅，等等。不仅，还；等等。或者：要么，要么；二者必居其一；等。要么，要么；二者必居其一；要么要么：或者；要么，要么；二者必居其一；等。或者；要么，要么；二者必居其一；或者如果，则：假如，就；倘若，便；只要，就；假如，假如倘若，只要，哪怕，就算，哪怕，也；就算，也；当…时；等。只有，才：除非，才；除非，不；不，就不；除非，除非除非，就不；仅当，等等。仅当，才；等等。当且仅当：如果…则…并且只有…才…，如如果… 如果并且只有… 并且如果非…则非… 等等。果…则…并且如果非…则非…，等等。
约定：约定：
• 整个公式外面的括号可以省略；整个公式外面的括号可以省略； • 各联结词的结合力依下列次序递减：各联结词的结合力依下列次序递减：
¬；∧；∨；→；↔
• 连续的“→”从后向前结合。连续的“→”从后向前结合。从后向前结合
（一）逻辑性质
• 联言命题是判定几种事物同时存在的复合命题 • 只有他的各个联言支都是真的，它本身才是真的只有他的各个联言支都是真的，如果由一个支命题为假，则联言命题为假。；如果由一个支命题为假，则联言命题为假。 • p∧q

吉林大学离散数学课后习题答案

第二章命题逻辑§2.2 主要解题方法2.2.1 证明命题公式恒真或恒假主要有如下方法：方法一.真值表方法。

即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。

真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。

例2.2.1 说明 G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。

解：该公式的真值表如下：表2.2.1由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故G恒真。

方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。

例2.2.2 说明 G= ((P→R) ∨⌝ R)→ (⌝ (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。

解：由(P→R) ∨⌝ R=⌝P∨ R∨⌝ R=1，以及⌝ (Q→P) ∧ P= ⌝（⌝Q∨ P）∧ P = Q∧⌝ P∧ P=0知，((P→R) ∨⌝ R)→ (⌝ (Q→P) ∧ P)=0，故G 恒假。

方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。

方法四. 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，…，P n，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，…，P n，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G恒假，若最终结果有1，有0，则是可满足的。

例子参见书中例2.4.3。

方法五. 注意到公式G蕴涵公式H的充要条件是：公式G→H是恒真的；公式G，H等价的充要条件是：公式G↔H是恒真的，因此，如果待考查公式是G→H型的，可将证明G→H 是恒真的转化为证明G蕴涵H；如果待考查公式是G↔H型的，可将证明G↔H是恒真的转化为证明G和H彼此相蕴涵。

第二讲命题逻辑基本知识

• 两可说 • 孔子东游，见两小儿辩斗，问其故。一儿曰：“ 我以日始出时去人近，而日中时远也。”一儿以日初出远，而日中时近也。一儿曰：“日初出大如车盖，及日中，则如盘盂，此不为远者小而近者大乎？”一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”孔子不能决也。两小儿笑曰：“孰为汝多知乎！” （《列子·汤问》） “太阳在早晨离我们近”、“太阳中午离我们近”？
•
命题逻辑公理系统
（1）初始符号：p，q，…… （2）命题连接词：﹁， → ，（3）定义：A ∨ B= ﹁ A → B A ∧ B= ﹁（A → ﹁ B） A ←→ B= ﹁（（A → B） → ﹁（B → A））（4）形成规则：（a）命题变元是合式公式；（b）如果A、B是合式公式，﹁ A，A ∧ B，A ∨ B，A → B，A ←→ B也是合式公式；（c）只有按照以上两点组成的符号才是合式公式。（5）公理： AX1: A → （B → A） AX2: (( A → （B → C）） → （（A → B） → （A → C）） AX3:（﹁ A → ﹁ B） → （B → A）（6）推导规则：分离规则：由|-A和|- A → B，|- B；替换规则： A/B。
• 上帝存在的证明（安瑟伦）: 前提1：“可以设想的无与伦比的伟大东西”和 “不可设想的无与伦比的伟大东西”是相同的，而“不可设想的无与伦比的伟大东西”是“既存在于心中，也存在于现实中”；前提2：上帝即是“可以设想的无与伦比的伟大东西”；结论：上帝是真实“存在”的。 • 上帝能否制造一个他不能举起的石头；上帝能否制造一个他不能毁灭的东西。
• 命题联结词：五个命题联结词：否定﹁、合取∧、析取∨、蕴涵→、等值←→ ﹁合式公式: ﹁p, p∧q, p ∨ q, p → q, p←→q ﹁p ∧(p → r ∨ q) • 真值表

离散数学--第二章命题逻辑的推理理论

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Dr Chen Guangxi
第二章命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法构造证明法当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构熟练运用构造推理方法了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章命题逻辑的推理理论
是重言式类似，与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式，不是联结词是重言式， ⇒ 符。推出B的推理正确的推理正确，若 A , A ,⋯, A 推出的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式

命题逻辑的语法与语法规则

命题逻辑的语法与语法规则命题逻辑是逻辑学的一个分支，主要研究命题之间的关系和推理规则。

在命题逻辑中，逻辑语法和语法规则是非常重要的概念，它们帮助我们理解命题逻辑的基本结构和操作方式。

本文就命题逻辑的语法与语法规则展开讨论。

一、命题逻辑的基本要素在命题逻辑中，有几个基本要素需要明确，它们是命题、变元、逻辑符号和逻辑连接词。

下面分别介绍这些要素。

1. 命题命题是对某个陈述陈述的真假性进行判断的陈述句。

在命题逻辑中，命题是逻辑推理的基本单位，用大写字母P、Q、R等表示。

例如，命题P可以表示"今天天晴"，命题Q可以表示"明天下雨"。

2. 变元变元是命题逻辑中的占位符，可以代表任意的命题。

通常用小写字母p、q、r等表示。

变元与具体的命题不同，它只表示一个抽象的命题。

例如，使用变元p表示"今天天晴或明天下雨"，使用变元q表示"明天天晴"。

3. 逻辑符号逻辑符号是命题逻辑中的符号表示，用来表示逻辑操作和连接关系。

常见的逻辑符号有非（¬）、合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）和等价（↔）等。

4. 逻辑连接词逻辑连接词是用来连接命题的逻辑符号。

常见的逻辑连接词有非（不）、且（并且）、或（或者）、如果...则...和当且仅当等。

它们分别对应着逻辑符号¬、∧、∨、→和↔。

二、命题逻辑的语法规则命题逻辑中的语法规则规定了命题如何通过逻辑连接词进行组合，从而构成复杂命题。

下面介绍几个常见的语法规则。

1. 合取的交换律和结合律合取的交换律指的是∧连接的命题可以交换位置，不改变命题的真值。

例如，对于命题P、Q和R，有P∧(Q∧R)等价于(Q∧R)∧P。

合取的结合律指的是多个命题合取时，可以任意改变结合的先后次序，不改变命题的真值。

例如，对于命题P、Q和R，有(P∧Q)∧R等价于P∧(Q∧R)。

2. 析取的交换律和结合律析取的交换律指的是∨连接的命题可以交换位置，不改变命题的真值。

专题02 常用逻辑用语--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】

【热点聚焦】常用逻辑用语主要从三个方面考查，分别为充分必要条件的判断、充要条件的探求、由充分条件和必要条件探求参数的取值范围以及全称量词与存在量词．由于充要条件知识载体丰富，因此题目往往具有一定综合性．【重点知识回眸】一、充要条件1.充分条件、必要条件与充要条件的概念p⇒q p是q的充分条件，q是p的必要条件p⇒q，且q p p是q的充分不必要条件p q，且q⇒p p是q的必要不充分条件p⇔q p是q的充要条件p q，且q p p是q的既不充分也不必要条件提醒：A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A，A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，弄清它们区别的关键是分清谁是条件，谁是结论．2.等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．3.充分、必要条件与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．二、全称量词和存在量词1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．2.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含有一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，p(x)提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．三、简单的逻辑联结词【新教材地区不含此内容！】 1.命题中的或、且、非叫做逻辑联结词． 2.命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断pqp 且q p 或q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真3.提醒：“命题的否定”与“(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．4.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p ∨q ：“有真则真，全假才假”，即p ，q 中只要有一个真命题，则p ∨q 为真命题，只有p ，q 都是假命题时，p ∨q 才是假命题．(2)p ∧q ：“有假则假，全真才真”，即p ，q 中只要有一个假命题，则p ∧q 为假命题，只有p ，q 都是真命题时，p ∧q 才是真命题． (3) p ： p 与p 的真假相反．【典型考题解析】热点一充分、必要条件的判定【典例1】（2022·天津·高考真题） “x 为整数”是“21x +为整数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不允分也不必要条件【典例2】（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【典例3】（2019·天津·高考真题（文））设x ∈R ，则“05x <<”是“11x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【典例4】（2018·北京·高考真题（理））设向量,a b 均为单位向量，则“|3||3|a b a b -=+”是“a b ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【规律方法】充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据由p ，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．热点二充分条件、必要条件的探求与应用【典例5】（2023·全国·高三专题练习）“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件是（） A ．14m >B ．14m <C ．1m <D ． 1m【典例6】（2017·上海·高考真题）已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ，使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（）A ．0a ≥B ．0b ≤C ．0cD ．20a b c -+=【典例7】【多选题】（2023·全国·高三专题练习）“关于x 的不等式220x ax a -+> 对R x ∀∈恒成立”的一个必要不充分条件是（） A ．01a << B ．01a ≤≤C ．103a <<D ．0a ≥【总结提升】充分、必要条件的探求方法(与范围有关)先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件．热点三利用充分、必要条件求参数的取值范围【典例8】（2023·全国·高三专题练习）若“2340x x -->”是“223100x ax a -->”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是_________. 【总结提升】利用充要条件求参数的两个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．热点四全称命题、特称命题的否定与真假判断【典例9】（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（） A ．10>且34> B ．12>或45> C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x R ∀∈，20x ≥【典例10】（2016·浙江·高考真题（理））命题“*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是 A ．*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x < B ．*,x R n N ∀∈∀∈，使得2n x < C ．*,x R n N ∃∈∃∈，使得2n x <D ．*,x R n N ∃∈∀∈，使得2n x <【典例11】（2022·全国·高三专题练习）已知命题p ：0x R ∃∈，01x =-或02x =，则（） A ．p ⌝：x R ∀∈，1x ≠-或2x ≠ B ．p ⌝：x R ∀∈，1x ≠-且2x ≠ C ．p ⌝：x R ∀∈，1x =-且2x =D ．p ⌝：0x R ∃∉，01x =-或02x =【典例12】（2021·全国·高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【典例13】（2023·全国·高三专题练习）已知命题p ：[]21,2,1x x a ∀∈+≥，命题q ：[]1,1x ∃∈-，使得210x a +->成立，若p 是真命题，q 是假命题，则实数a 的取值范围为 _____. 【总结提升】1．全称命题与特称命题的否定(1)改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否结论：对原命题的结论进行否定． 2．全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假3．根据全(特)称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．【精选精练】一、单选题1．（2020·山东·高考真题）已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2023·全国·高三专题练习）已知命题p ：∀x ＞0，总有（x +1）ln x ＞1，则¬p 为（） A ．∃x 0≤0，使得（x 0+1）ln x 0≤1 B ．∃x 0＞0，使得（x 0+1）ln x 0≤1 C ．∃x 0＞0，总有（x 0+1）ln x 0≤1 D ．∃x 0≤0，总有（x 0+1）ln x 0≤13．（2023·全国·高三专题练习）已知()sin f x x x =-，命题P ： 0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，则（）A ．P 是假命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈≥ ⎪⎝⎭￢：，B ．P 是假命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，C ．P 是真命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭￢：，＞D ．P 是真命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，4．（2021·天津·高考真题）已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2021·北京·高考真题）已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．（2021·全国·高考真题（理））等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（2022·北京·高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2020·浙江·高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10.（2017·山东·高考真题（文））已知命题p ：x R ∃∈，210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则.a b <下列命题为真命题的是（） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝11．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知命题“R x ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．(,1)-∞- B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-12．（2023·全国·高三专题练习）“2log (1)0x +<”成立的一个必要而不充分条件是（） A ．112x -<<-B ．0x >C ．10x -<<D ．0x <二、多选题13．（2023·全国·高三专题练习）若“2340x x +-<”是“222()330x k x k k -+++≥”的充分不必要条件，则实数k 可以是（） A ．8- B ．5- C ．1 D ．4三、填空题14．（2018·北京·高考真题（理））能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．15．（2023·全国·高三专题练习）若“对任意实数02，π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，sin ≤x m ”是真命题，则实数m 的最小值为__.16．（2023·全国·高三专题练习）若命题“∃x ∈R ，使得x 2﹣（a +1）x +4≤0”为假命题，则实数a 的取值范围为__.17．（2020·全国·高考真题（理））设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝ 四、解答题18．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式102x x+≥-的解集为条件p ，关于x 的不等式222310x mx m m +---<（23m >-）的解集为条件q ． (1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； (2)若p 的充分不必要条件是q ，求实数m 的取值范围．。

人工智能原理教案02章归结推理方法2.2 命题逻辑的归结

2.2 命题逻辑的归结2.2.1 命题逻辑基础逻辑可分为经典逻辑和非经典逻辑，其中经典逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑。

归结原理是一种主要基于谓词（逻辑）知识表示的推理方法，而命题逻辑是谓词逻辑的基础。

因此，在讨论谓词逻辑之前，先讨论命题逻辑的归结，便于内容上的理解。

本节中，将主要介绍命题逻辑的归结方法，以及有关的一些基础知识和重要概念，如数理逻辑基本公式变形、前束范式、子句集等。

描述事实、事物的状态、关系等性质的文字串，取值为真或假（表示是否成立）的句子称作命题。

命题：非真即假的简单陈述句在命题逻辑里，单元命题是基本的单元或作为不可再分的原子。

下面所列出的是一些基本的数理逻辑公理公式和一些有用的基本定义，如合取范式、子句集，这些公式和定义在归结法的推理过程中是必不可少的，也是归结法的基础，应该熟练掌握。

－数理逻辑的基本定义下面所列的是一些数理逻辑中重要的定义，在后面的分析中要用到：·合取式：p与q，记做p ∧q·析取式：p或q，记做p ∨q·蕴含式：如果p则q，记做p → q·等价式：p当且仅当q，记做p q·若A无成假赋值，则称A为重言式或永真式；·若A无成真赋值，则称A为矛盾式或永假式；·若A至少有一个成真赋值，则称A为可满足的；·析取范式：仅由有限个简单合取式组成的析取式·合取范式：仅由有限个简单析取式组成的合取式－数理逻辑的基本等值式下面这些基本的等式在归结原理实施之前的公式转化过程中是非常重要的。

只有将逻辑公式正确转换成为归结原理要求的范式，才能够保证归结的正常进行。

·交换律：p∨q q ∨p ；p ∧q q ∧p·结合律：(p∨q) ∨r p∨(q ∨r);(p ∧q) ∧r p ∧(q ∧r)·分配律：p∨(q ∧r) (p∨q)∧(p ∨r) ；p ∧(q ∨r) (p ∧q) ∨(p ∧r)·双重否定律：p ～～p·等幂律：p p∨p；p p∧p·摩根律: ～(p∨q) ～p ∧～q ；～(p ∧q) ～p ∨～q·吸收律: p∨(p∧q ) p ；p ∧(p∨q ) p·同一律: p∨0 p ；p∧1 p·零律：p∨1 1p∧0 0·排中律：p∨～p 1·矛盾律：p∧～p 0·蕴含等值式：p → q ～p∨q·等价等值式：p q (p → q)∧(q → p)·假言易位式: p → q ～p → ～q·等价否定等值式：p q ～p～q·归谬论：(p → q)∧(p → ～q) ～p－合取范式范式：范式是公式的标准形式，公式往往需要变换为同它等价的范式，以便对它们作一般性的处理。

2023高考数学二轮复习专题复习02 常用逻辑用语(解析版)

专题02 常用逻辑用语【考点预测】一、充分条件、必要条件、充要条件 1．定义如果命题“若p ，则q ”为真(记作p q ⇒)，则p 是q 的充分条件；同时q 是p 的必要条件. 2．从逻辑推理关系上看（1）若p q ⇒且q p ，则p 是q 的充分不必要条件；（2）若pq 且q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；（3）若p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的的充要条件(也说p 和q 等价)；（4）若pq 且q p ，则p 不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：p q ⇒，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件.所谓“充分”是指只要p 成立，q 就成立；所谓“必要”是指要使得p 成立，必须要q 成立(即如果q 不成立，则p 肯定不成立). 二．全称量词与存在童词（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M 中的任意一个x ，有()p x 成立”可用符号简记为“,()x M p x ∀∈”，读作“对任意x 属于M ，有()p x 成立”.（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M 中的一个0x ，使0()p x 成立”可用符号简记为“00,()x M P x ∃∈”，读作“存在M 中元素0x ，使0()p x 成立”（存在量词命题也叫存在性命题）. 三．含有一个量词的命题的否定（1）全称量词命题:,()p x M p x ∀∈的否定p ⌝为0x M ∃∈，0()p x ⌝. （2）存在量词命题00:,()p x M p x ∃∈的否定p ⌝为,()x M p x ∀∈⌝. 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.【方法技巧与总结】1．从集合与集合之间的关系上看设{}{}|(),|()A x p x B x q x ==.（1）若A B ⊆，则p 是q 的充分条件(p q ⇒)，q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件，即p q ⇒且q p ；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小⇒大”.（2）若B A ⊆，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件；（3）若A B =，则p 与q 互为充要条件. 2.常见的一些词语和它的否定词如下表(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个0x ，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M 中能找到一个0x 使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.【题型归纳目录】题型一：充分条件与必要条件的判断题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定题型五：根据命题的真假求参数的取值范围【典例例题】题型一：充分条件与必要条件的判断例1．（2022·河北·模拟预测）“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】2,20x x x a ∃∈-+<R ，列出不等式，求出1a <，从而判断出答案.【详解】2,20x x x a ∃∈-+<R ，则要满足440a ∆=->，解得：1a <，因为11a <⇒1a <，但111a a <⇒<故“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的必要不充分条件. 故选：B例2．（2022·重庆·三模）已知0a >且1a ≠，“函数()x f x a =为增函数”是“函数()1a g x x -=在()0,∞+上单调递增”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【详解】函数()xf x a =为增函数,则 1a > ,此时10a ->,故函数()1ag x x -=在()0,∞+上单调递增;当()1a g x x -=在()0,∞+上单调递增时, ,10a ->,所以1a >,故()x f x a =为增函数.故选:C例3．（2022·湖北·模拟预测）在等比数列{}n a 中，已知20200a >，则“20212024a a >”是“20222023a a >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】直接利用等比数列的通项公式及其充分条件，必要条件的定义求解即可. 【详解】∵公比0q ≠，∴20212024a a >，∴420212020a q a q >，∴4q q >，∴()310q q ->，∴()()2110q q q q -++>， ∴()10q q ->，∴01q <<，又∵20222023a a >，∴2320202020>a q a q ，∴23q q >，∴()210q q ->，∴1q <且0q ≠，∴011q q <<⇒<且0q ≠，即“20212024a a >”是“20222023a a >”的充分不必要条件．故选：A ．例4．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，n ⊂α，则“m α⊥”是“m n ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据线面垂直的性质证明充分性成立，由线面垂直的定义判断必要性不成立. 【详解】由线面垂直的性质知，若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥成立，即充分性成立；根据线面垂直的定义，m 必须垂直平面α内的两条相交直线，才有m α⊥，即必要性不成立. 故选：A.例5．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知两条直线m ，n 和平面α，则m n ⊥的一个充分条件是（） A ．m α⊥且n α⊥ B ．m α∥且n ⊂αC ．m α⊥且n ⊂αD ．m α∥且n α∥ 【答案】C 【解析】【分析】根据线面垂直的性质及线面平行的性质，结合充分条件的定义即可得出答案. 【详解】解：对于A ，若m α⊥且n α⊥，则m n ∥，故A 不符题意；对于B ，若m α∥且n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故B 不符题意；对于C ，若m α⊥且n ⊂α，则m n ⊥，故C 符合题意；对于D ，若m α∥且n α∥，则m 与n 平行、相交或异面，故D 不符题意. 故选：C.（多选题）例6．（2022·山东临沂·二模）已知a ，b ∈R ，则使“1a b +>”成立的一个必要不充分条件是（）A ．221a b +>B ．||||1a b +>C ．221a b +>D ．4110b a b++> 【答案】BC 【解析】【分析】对于A 、D 选项，取特殊值说明既不充分也不必要即可；对于B ，先取特殊值说明不充分，再同时平方证必要即可；对于C ，先取特殊值说明不充分，再结合基本不等式证必要即可；【详解】对于A ，当1a b ==-时，满足221a b +>，不满足1a b +>，即221a b +>推不出1a b +>，不充分；当13,24a b ==时，满足1a b +>，不满足221a b +>，即1a b +>推不出221a b +>，不必要；A 错误；对于B ，当1a b ==-时，满足||||1a b +>，不满足1a b +>，即||||1a b +>推不出1a b +>，不充分；当1a b +>时，平方得2221a ab b ++>，又()22222221a b a ab b a ab b +=++≥++>，又||||0a b +>，故||||1a b +>，即1a b +>能推出||||1a b +>，必要；B 正确；对于C ，当0a b 时，满足221a b +>，不满足1a b +>，即221a b +>推不出1a b +>，不充分；当1a b +>时，由20,20a b >>，221a b +≥>>，即1a b +>能推出221a b +>，必要；C 正确；对于D ，当12a b ==时，满足4110b a b ++>，不满足1a b +>，即4110b a b++>推不出1a b +>，不充分；当2,1a b ==时，满足1a b +>，不满足4110b a b ++>，即1a b +>推不出4110b a b++>，不必要；D 错误. 故选：BC.【方法技巧与总结】1.要明确推出的含义，是p 成立q 一定成立才能叫推出而不是有可能成立.2.充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.3.充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养.题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围例7．（2022·湖南怀化·一模）已知,a R ∈，且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件，则a 的取值范围是___________. 【答案】[2,)+∞ 【解析】【分析】先确定22x x >的充要条件，再由充分不必要条件的定义求解，【详解】22x x >等价于0x <或2x >，而且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件，则2a ≥．故答案为：[2,)+∞．例8．（2022·浙江·高三专题练习）若2()4x a -<成立的一个充分不必要条件是1102x+≤-，则实数a 的取值范围为（） A ．(,4]-∞ B ．[1,4]C ．(1,4)D ．(1,4]【答案】D 【解析】【分析】解一元二次不等式､分式不等式求得题设条件为真时对应x 的范围，再根据条件的充分不必要关系求参数a 的取值范围. 【详解】由2()4x a -<，可得：22a x a -<<+；由131022xx x -+=≤--，则()()23020x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，可得23x <≤；∵2()4x a -<成立的一个充分不必要条件是1102x+≤-， ∴2223a a -≤⎧⎨+>⎩，可得14a <≤.故选：D.例9．（2022·山西晋中·二模（理））已知条件p ：11x -<<，q ：x m >，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（） A ．[)1,-+∞ B ．(),1-∞- C ．()1,0- D ．(],1-∞-【答案】D 【解析】【分析】根据充要条件与集合的包含关系可得. 【详解】因为p 是q 的充分不必要条件，所以{11}xx -<<∣ {}x x m >∣，即1m ≤-. 故选：D.例10．（2022·河南平顶山·高三期末（文））若1102x+≤-是()24x a -<成立的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（） A ．(],4∞- B ．[]1,4C ．()1,4D ．(]1,4【答案】D 【解析】【分析】理解充分不必要条件的含义；解不等式；理解解集间的关系. 【详解】由题意可得()211042x a x+≤⇒-<- ，而 ()()230131********x x x x x x x --≤⎧-⎪+≤⇔≤⇔⇔<≤⎨---≠⎪⎩()242222x a x a a x a -<⇔-<-<⇔-<<+则2232a a -≤⎧⎨<+⎩ ，故14a <≤，故选：D例11．（2022·全国·高三专题练习（文））若关于x 的不等式1x a -<成立的充分条件是04x <<，则实数a 的取值范围是（） A ．(－∞，1] B ．(－∞，1) C ．(3，＋∞) D ．[3，＋∞)【答案】D 【解析】【分析】根据充分条件列不等式，由此求得a 的取值范围. 【详解】1x a -<成立的充分条件是04x <<，则0a >，111x a a x a -<⇒-<<+，所以10314a a a -≤⎧⇒≥⎨+≥⎩. 故选：D例12．（2022·湖南怀化·一模）已知,a R ∈，且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件，则a 的取值范围是___________. 【答案】[2,)+∞ 【解析】【分析】先确定22x x >的充要条件，再由充分不必要条件的定义求解，【详解】22x x >等价于0x <或2x >，而且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件，则2a ≥．故答案为：[2,)+∞．例13．（2022·重庆·高三阶段练习）若不等式x a <的一个充分条件为20x -<<，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】2a ≥ 【解析】【分析】根据含绝对值不等式的解法，求解不等式的解集，结合充分条件，列出关系式，即可求解. 【详解】由不等式||x a <，当0a ≤时，不等式||x a <的解集为空集，显然不成立；当0a >时，不等式||x a <，可得a x a -<<，要使得不等式||x a <的一个充分条件为20x -<<，则满足{|20}{|}x x x a x a -<<⊆-<<，所以2a -≥-，即2a ≥ ∴实数a 的取值范围是2a ≥. 故答案为：2a ≥.例14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知集合233|1,,224A y y x x x ⎧⎫⎡⎤==-+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，{}2|1B x x m =+≥．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，则实数m 的取值范围为________．【答案】33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】求函数的值域求得集合A ，根据“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围. 【详解】函数2312y x x =-+的对称轴为34x =，开口向上，所以函数2312y x x =-+在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，当34x =时，min 716y =；当2x =时，max 2y =.所以7,216A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.{}{}22|1|1B x x m x x m =+≥=≥-，由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，所以27116m -≤，2916m ≥，解得34m ≤-或34m ≥，所以m 的取值范围是33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =A ，关于x 的不等式2()(21)0x m x m --+≤的解集为B ．(1)当m ＝2时，求()A B R ；(2)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】(1)1(,][3,)2-∞-⋃+∞；(2)(,2]-∞-. 【解析】【分析】（1）求对数复合函数定义域、解一元二次不等式求出集合A 和B ，利用集合的并补运算求()A B R ．（2）解含参一元二次不等式求集合B ，根据充分条件有A ⊆B ，列不等式求m 的范围即可． (1)由题设40210x x ->⎧⎨+>⎩得：142x -<<，即函数的定义域A ＝1(,4)2-，则R1(,][4,)2A =-∞-⋃+∞，当m ＝2时，不等式(4)(3)0x x --≤得：34x ≤≤，即B ＝[3,4]，所以()A B R ＝1(,][3,)2-∞-⋃+∞．(2)由2()(21)0x m x m --+=得： x ＝m 2或x ＝21m -，又2221(1)0m m m -+=-≥，即221m m ≥-，综上，2()(21)0x m x m --+≤的解集为B ＝2[21,]m m -，若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，则A ⊆B ，即241212m m ⎧≥⎪⎨-≤-⎪⎩，得：2m ≤-，所以实数m 的取值范围是(,2]-∞-．例16．（2022·天津·汉沽一中高三阶段练习）不等式5212xx ->+的解集是A ，关于x 的不等式22450x mx m --≤的解集是B .(1)若1m =，求A B ；(2)若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围.(3)设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中>0a ，命题:q 实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩.若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】(1){}|11A B x x ⋂=-≤<； (2)(][),12,-∞-⋃+∞ (3)(]1,2 【解析】【分析】（1）分别解出解出集合A ，B ，再求A B ；（2）由A B B ⋃=得到A B ⊆.对m 分类讨论，分0m >， 0m =和0m <三种情况，分别求出m 的范围，即可得到答案；（3）用集合法列不等式组，求出a 的范围. (1) 由5212xx ->+的解集是A ，解得：{}|21A x x =-<<. 当m =1时，22450x mx m --≤可化为2450x x --≤，解得{}|15B x x =-≤≤. 所以{}|11A B x x ⋂=-≤<. (2)因为A B B ⋃=，所以A B ⊆. 由（1）得：{}|21A x x =-<<.当0m >时，由22450x mx m --≤可解得{}|5B x m x m =-≤≤.要使A B ⊆，只需512m m ≥⎧⎨-≤-⎩，解得：2m ≥；当0m =时，由22450x mx m --≤可解得{}0B =.不符合A B ⊆，舍去；当0m <时，由22450x mx m --≤可解得{}|5B x m x m =≤≤-.要使A B ⊆，只需152m m -≥⎧⎨≤-⎩，解得：1m ≤-；所以，1m ≤-或2m ≥.所以实数m 的取值范围为：(][),12,-∞-⋃+∞. (3)设关于x 的不等式22430x ax a -+<（其中>0a ）的解集为M ，则(),3M a a =；不等式组2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩的解集为N ，则(]2,3N =；要使p 是q 的必要不充分条件，只需N M ，即233a a ≤⎧⎨>⎩，解得：12a <≤.即实数a 的取值范围(]1,2.例17．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知条件{}22:4410p A x x ax a =-+-≤∣，条件{}2:20q B xx x =--≤∣．U =R ． (1)若1a =，求()UA B ⋂．(2)若q 是p 的必要不充分条件，求a 的取值范围．【答案】(1)(){12}UA B x x x ⋂=<>∣或(2)10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）首先求出集合,A B ，代入1a =，得出A ，进而利用集合的交集、补集的定义即可求解.（2）由（1）知，得出集合,A B ，再根据q 是p 的必要不充分条件转化为集合A 是集合B 的真子集，即A B ≠⊂即可求解. (1)由224410x ax a -+-≤，得2121a x a -≤≤+，所以{}2121A xa x a =-≤≤+∣，由220x x --≤，得12x -≤≤，所以{12}B xx =-≤≤∣ 当1a =时，{13}A xx =≤≤∣.所以{12}A B x x ⋂=≤≤∣ 所以(){12}UA B x x x ⋂=<>∣或；(2)由（1）知，{}2121A xa x a =-≤≤+∣，{12}B x x =-≤≤∣， q 是p 的必要不充分条件，A B ≠∴⊂，所以212211a a +≤⎧⎨-≥-⎩，解得102a ≤≤所以实数a 的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【方法技巧与总结】1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系.2.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错. 题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假例18.（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（理））已知01b a <<<，下列四个命题：①(0,)∀∈+∞x ，x x a b >，②(0,1)x ∀∈，log log a b x x >，③(0,1)x ∃∈，a b x x >，④(0,)x b ∃∈，log x a a x >．其中是真命题的有（） A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④【答案】C 【解析】【分析】作商并结合单调性判断①；作差并结合对数函数性质、对数换底公式判断②；利用指数函数单调性比较判断③；在给定条件下，借助“媒介”数比较判断作答. 【详解】对于①，由01b a <<<得：1a b >，(0,)∀∈+∞x ，01x x x a a a b b b ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则x x a b >，①正确；对于②，(0,1)x ∀∈，log log log log 10x x xx aa b b-=<=，即0log log x x a b <<，则log log a b x x >，②正确；对于③，函数(01)x y m m =<<在(0,1)上为减函数，而01b a <<<，则a b m m <，即(0,1)x ∀∈，a b x x <，③错误；对于④，当(0,)x b ∈时，1x a <，log log log 1a a a x b a >>=，即log xa a x <，④错误，所以所给命题中，真命题的是①②．故选：C例19．（2022·江西·二模（理））已知命题1p ：存在00x >，使得0044+≤x x ，命题2p ：对任意的x ∈R ，都有tan 2x =22tan 1tan xx-，命题3p ：存在0x ∈R ，使得003sin 4cos 6+=x x ，其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】【分析】取特值可判断1p 和2p ，由辅助角公式化简可判断3p . 【详解】当02x =时，显然1p 成立；当4x π=时，可知2p 不成立；由辅助角得0003sin 4cos 5sin(x )x x ϕ+=+，所以所以003sin 4cos x x +的最大值为5，所以3p 为假. 故选：B例20．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））已知函数()f x 和()g x 的定义域均为[],a b ，记()f x 的最大值为1M ，()g x 的最大值为2M ，则使得“12M M >”成立的充要条件为（） A ．[]1,x a b ∀∈，[]2,x a b ∀∈，()()12f x g x > B ．[]1,x a b ∀∈，[]2,x a b ∃∈，()()12f x g x > C ．[]1,x a b ∃∈，[]2,x a b ∀∈，()()12f x g x > D ．[],x a b ∀∈，()()f x g x > 【答案】C 【解析】【分析】先解读选项ABC ，D 选项是12M M >成立的充分不必要条件，再判断得解. 【详解】解：A 选项表述的是()f x 的最小值大于()g x 的最大值； B 选项表述的是()f x 的最小值大于()g x 的最小值；C 选项表述的是()f x 的最大值大于()g x 的最大值成立的充要条件；D 选项是12M M >成立的充分不必要条件．故选：C例21．（2022·浙江·高三专题练习）下列命题中，真命题为（） A ．存在0x R ∈，使得00x e ≤ B ．直线a b ⊥，a ⊂平面α，平面b αβ=，则平面αβ⊥C ．224sin (,)sin y x x k k Z xπ=+≠∈最小值为4 D ．1a >，1b >是1ab >成立的充分不必要条件【答案】D 【解析】【分析】由指数函数x y e =的性质，可判定A 为假命题；利用正四面体，举例判定，可得判定B 为假命题；利用基本不等式和正弦函数的性质，可判定C 为假命题，结合不等式的性质和充分、必要条件的判定方法，可判定D 为真命题.【详解】对于A 中，由指数函数x y e =的性质，可得0x e >恒成立，所以不存在0x R ∈，使得00x e ≤，所以A 为假命题；对于B 中，如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，设平面11A BCD 为平面α，平面ABCD 为平面β，直线1A B 为直线a ，直线BC 为直线b ，此时满足a b ⊥，且a ⊂平面α，平面b αβ=，但平面α与平面β不垂直，所以C 为假命题.对于C 中，由224sin 4sin y x x =+≥=，当且仅当224sin sin =x x时，即2sin 2x =时，等号成立，显然2sin 2x =不成立，所以C 为假命题对于D 中，由1,1a b >>，可得1ab >，即充分性成立；反之：例如：1,42a b ==，此时满足1ab >，但1,1a b >>不成立，即必要性不成立，所以1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件，所以D 为真命题. 故选：D（多选题）例22．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中的真命题是（） A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x <1 D ．∃x ∈R ，tan x ＝2【答案】ACD 【解析】【分析】对选项A ，根据指数函数值域即可得到A 正确；对选项B ，当1x =时，不满足题意，故B 错误；对选项C ，根据存在1x =，使得lg 1x <，故C 正确；对选项D ，根据正切函数的值域为R ，即可判断D 正确. 【详解】对选项A ，令1t x =-，2t y =，因为x ∈R ，所以20t y =>，故A 正确；对选项B ，当1x =时，()210x -=，故B 错误；对选项C ，当1x =时，lg101=<，故存在x ∈R ，lg 1x <，C 正确；对选项D ，因为tan y x =的值域为R ，所以存在x ∈R ，使得tan 2x =. 故选：ACD例23．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是_____（写出正确命题的序号）（1）[]0,x a b ∃∈，使()()00f x g x >，只需()()max min f x g x >；（2）[],x a b ∀∈，()()f x g x >恒成立，只需()()min 0f x g x ->⎡⎤⎣⎦；（3）[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∈，()()12f x g x >成立，只需()()min max f x g x >；（4）[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∈，()()12f x g x >，只需()()min min f x g x >．【答案】（2）（3）【解析】【分析】根据不等式恒成立问题和有解问题逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于（1），[]0,x a b ∃∈，使()()00f x g x >，只需()()max max f x g x >，故（1）错误；对于（2），[],x a b ∀∈，()()f x g x >恒成立，即()()0f x g x ->恒成立，应需()()min 0f x g x ->⎡⎤⎣⎦，故（2）正确；对于（3），[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∈，()()12f x g x >成立，即需()()min max f x g x >，故（3）正确；对于（4），[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∈，()()12f x g x >，，应需()()max min f x g x >，故（4）错误．综上，正确的命题是（2）（3）．故答案为：（2）（3）．【方法技巧与总结】1.全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论.2.全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可. 题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定例24．（2022·四川成都·三模（理））命题“x ∀∈R ，e 20x +>”的否定是（）． A ．0x ∃∈R ，0e 20x +≤B ．x ∀∈R ，e 20x +≤C ．0x ∃∈R ，0e 20x +>D ．0x ∀∈R ，0e 20x +<【答案】A 【解析】由全称量词命题的否定可知：“x ∀∈R ，e 20x +>”的否定是“0x ∃∈R ，0e 20x +≤”. 故选：A.例25．（2022·云南昆明·模拟预测（文））已知命题p ：*N n ∀∈，22n n +≥，则p ⌝为（） A ．*N n ∀∉，22n n +<B ．*N n ∀∈，22n n +<C ．*0N n ∃∉，202n n +< D ．*0N n ∃∈，202n n +< 【答案】D 【解析】p ⌝：*0N n ∃∈，2002n n +<.故选：D例26．（2022·江西赣州·二模（文））已知命题p ：x ∀∈R ，sin cos x x +≥p ⌝为（） A．x ∀∈R ，sin cos x x +<B ．x ∃∉R ，sin cos x x +<C．x ∀∉R ，sin cos x x +<D ．x ∃∈R ，sin cos x x +<【答案】D 【解析】命题p ：x ∀∈R ，sin cos x x +x ∃∈R ，sin cos x x +< 故选：D ．例27．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x ≥-”的否定是（） A ．()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x <- B ．()00,x ∃∉+∞，00ln 1x x ≥- C ．()0,x ∀∈+∞，ln 1x x <- D ．()0,x ∀∉+∞，ln 1x x ≥- 【答案】C 【解析】由存在量词命题的否定知原命题的否定为：()0,x ∀∈+∞，ln 1x x <-. 故选：C.例28．（2022·山东潍坊·二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（）A ．对任意正整数n ，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=都没有正整数解B ．对任意正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解C ．存在正整数2n ≤，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解D ．存在正整数2n >，关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解【答案】D 【解析】【分析】根据命题的否定形式，直接写出命题的否定即可【详解】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定；故只有D 满足题意；故选：D例29．（2022·全国·高三专题练习（文））已知命题p ：存在一个无理数，它的平方是有理数，则p ⌝为（） A ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 C ．任意一个无理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方是无理数【答案】A 【解析】【分析】根据存在命题的否定的性质进行判断即可. 【详解】因为存在命题的否定是全称量词命题，所以p ⌝为：任意一个无理数，它的平方不是有理数，故选：A例30．（2022·山西晋中·模拟预测（理））命题p ：0x ∀≥，222e 3x x -+≤，则¬p 为___________. 【答案】00x ∃≥，22002e 3x x -+>【解析】命题p ：0x ∀≥，222e 3x x -+≤. 则¬p 为：00x ∃≥，22002e 3x x -+> 故答案为：00x ∃≥，22002e 3x x -+>【方法技巧与总结】1.全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定. 1. 全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否. 题型五：根据命题的真假求参数的取值范围例31．（2022·山东青岛·一模）若命题“R x ∀∈，210ax +≥”为真命题，则实数a 的取值范围为（） A ．0a >B ．0a ≥C ．0a ≤D ．1a ≤【解析】【分析】结合二次函数的性质来求得a 的取值范围. 【详解】依题意命题“R x ∀∈，210ax +≥”为真命题，当0a =时，10≥成立，当0a >时，210ax +≥成立，当0a <时，函数21y ax =+开口向下，210ax +≥不恒成立. 综上所述，0a ≥. 故选：B例32．（2022·浙江·高三专题练习）若命题“存在R x ∈，使220x x m ++≤”是假命题，则实数m 的取值范围是（） A ．(],1-∞ B ．(),1-∞ C ．()1,+∞ D ．[)1,+∞【答案】C 【解析】【分析】该命题的否定为真命题，利用判别式可求实数m 的取值范围. 【详解】∵命题“存在R x ∈，使220x x m ++≤” 是假命题，则其否定“任意R x ∈， 220x x m ++>” 为真命题, ∴2240m ∆=-< ，所以1m . 故选： C.例33．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）若命题“[]1,4x ∀∈时，2x m >”是假命题，则m 的取值范围（） A ．16m ≥ B ．m 1≥ C ．16m < D ．1m < 【答案】B 【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，将问题转化为不等式能成立求参数的取值范围因为“[]1,4x ∀∈，2x m >”是假命题，则其否定“[]1,4x ∃∈，2x m ≤”为真命题则()2minxm ≤而当1x =时，2x 取得最小值1 所以m 1≥ 故选：B例34．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（） A ．[]1,4- B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】等价于“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令2()(21)30g a x x a x =--++≥，解不等式(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩即得解. 【详解】解：命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，其否定为真命题，即“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令22()23(21)30g a ax ax x a x x a x =-++-=--++≥，则(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即22340350x x x x ⎧-++≥⎨-≥⎩，解得14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，所以实数x 的取值范围为[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦. 故选：C例35．（2022·全国·高三专题练习）若“[,]34x ππ∀∈-，tan x m ≥”是真命题，则实数m 的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】利用正切函数的单调性求出正切函数的最小值，进而可求出结果.若“[,]34x ππ∀∈-，tan x m ≥”是真命题，则实数m 小于等于函数tan y x =在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值，因为函数tan y x =在[,]34ππ-上为增函数，所以函数tan y x =在[,]34ππ-上的最小值为所以m ≤m 的最大值为故答案为：例36．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()h x 满足'2()()0h x h x +>且21(1)e h =，其中2x 1()e h x >的解集为A .函数21()1x x f x x -+=-，()()1xg x a a =>，若1x A ∀∈，2x A ∃∈使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()1,3 【解析】【分析】构造函数2()()x H x h x e =⋅，利用导数结合已知条件可得()H x 的单调性，由(1)1H =，不等式2x1()e h x >等价于()(1)H x H >，由()H x 的单调性即可求得解集A ，再分别求得()f x ，()g x 的值域，由已知可得函数()f x 的值域是函数()g x 的值域的子集，从而可求得实数a 的取值范围. 【详解】解：构造函数2()()x H x h x e =⋅，所以''222'()()2()()2()x x x H x h x e h x e e h x h x ⎡⎤=⋅+⋅=+⎣⎦，因为定义在R 上的函数()h x 满足'2()()0h x h x +>，所以'()0H x >，所以()H x 在R 上单调递增，且2(1)(1)1H h e ==，所以不等式2x 1()eh x >可化为2()1x h x e ⋅>，即()(1)H x H >，所以1x >，所以2x1()e h x >的解集()1,A =+∞，函数221(1)111()1113111x x x x f x x x x x -+-+-+===-++≥=---，当且仅当111x x -=-，0x =或2x =时等号成立，在A 上仅当2x =时等号成立，所以()f x 在A 上的值域为[)3,+∞，()()1x g x a a =>为增函数，所以()g x 在A 上的值域为(),a +∞，若1x A ∀∈，2x A ∃∈使得()()12f x g x =，则[)()3,,a +∞⊆+∞，所以3a <，又因为1a > 即实数a 的取值范围是()1,3. 故答案为：()1,3.例37．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）若命题“0,,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦0tan x m >”是假命题，则实数m 的取值范围是__________．【答案】)+∞ 【解析】【分析】转化为命题的否定是真命题后求解【详解】由题意得“0,,63x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦0tan x m ≤”为真命题，故0πtan tan3max m x ≥==（）故答案为：)+∞例38．（2022·全国·高三专题练习）若“[]01,1x ∃∈-，020x a +->”为假命题，则实数a 的最小值为______．【答案】3 【解析】【分析】由题意可知命题的否定是真命题，从而可求出a 的取值范围，进而可求得a 的最小值【详解】“[]01,1x ∃∈-，020x a +->”的否定为“[1,1]x ∀∈-，都有20x a +-≤”，因为“[]01,1x ∃∈-，020x a +->”为假命题，所以“[1,1]x ∀∈-，都有20x a +-≤”为真命题，所以2a x +≥在[1,1]x ∈-上恒成立，所以3a ≥，所以实数a 的最小值为3，故答案为：3例39．（2022·全国·高三专题练习）在①x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，②a ∃∈R ，使得区间()2,4A =，(),3B a a =满足A B =∅这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．已知命题p :[]1,2x ∀∈，20x a -≥，命题q ：______，p ，q 都是真命题，求实数a 的取值范围．【答案】答案见解析【解析】【分析】由命题p 为真命题可得1a ≤，选择①，可得方程2220x ax a ++-=有解，借助判别式求解即得；选择②，由给定条件列出不等式求解即得. 【详解】选条件①，由命题p 为真命题，得不等式20x a -≥在[]1,2x ∈上恒成立，因为[]1,2x ∈，则214x ≤≤，即1a ≤，由命题q 为真命题，即方程2220x ax a ++-=有解，则()()22420a a ∆=--≥，解得1a ≥或2a ≤-，又p ，q 都是真命题，从而有2a ≤-或1a =，所以实数a 的取值范围是(]{},21-∞-.选条件②，由命题p 为真命题，得不等式20x a -≥在[]1,2x ∈上恒成立，因为[]1,2x ∈，则214x ≤≤，即1a ≤，因命题q 为真命题，由区间(),3B a a =得0a >，又A B =∅，即4a ≥或032a <≤，解得4a ≥或203a <≤，又p ，q 都是真命题，从而有203a <≤，所以实数a 的取值范围是20,3⎛⎤⎥⎝⎦.例40．（2022·全国·高三专题练习）若f （x ）＝x 2－2x ，g （x ）＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1，2]，∃x 0∈[－1，2]，使g (x 1)＝f (x 0)，求实数a 的取值范围．【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】分别求两个函数的值域，利用子集关系，求参数a 的取值范围. 【详解】由于函数g （x ）在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1，2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g （x ）的值域是函数f （x ）值域的子集．()()[]22211,1,2f x x x x x =-=--∈-，()[]1,3f x ∈-，函数f （x ）的值域是[－1，3]，因为a >0，所以函数g （x ）的值域是[2－a ，2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即12a ≤．故a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦．【方法技巧与总结】1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可.2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.【过关测试】一、单选题1．（2022·河北·模拟预测）已知2:10p x ax -+=无解，()2:()4q f x a x =-为增函数，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】分别由210x ax -+=无解和()2()4f x a x =-为增函数解出a 的范围，即可判断.【详解】由210x ax -+=无解可得240a -<，解得22a -<<；由()2()4f x a x =-为增函数可得240a ->，解得22a -<<，故p 是q 的充要条件. 故选：C.2．（2022·北京房山·二模）已知,αβ是两个不同的平面，直线l α⊄，且αβ⊥，那么“//l α”是“l β⊥”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据空间线面位置关系，结合必要不充分条件的概念判断即可. 【详解】解：当直线l α⊄，且αβ⊥，//l α，则l β⊂，或l β//，l 与β相交，故充分性不成立，当直线l α⊄，且αβ⊥，l β⊥时，//l α，故必要性成立，所以，“//l α”是“l β⊥”的必要而不充分条件. 故选：B3．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）若1z ，2z 为复数，则“12z z -是纯虚数”是“1z ，2z 互为共轭复数”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】分别判断命题的充分性和必要性即可得到答案. 【详解】充分性：令14i z =，22i z =，满足12z z -是纯虚数，不满足1z ，2z 互为共轭复数，不满足充分性. 必要性：若121z z ==，满足1z ，2z 互为共轭复数，则120z z -=，不满足12z z -是纯虚数，不满足必要性.所以“12z z -是纯虚数”是“1z ，2z 互为共轭复数”的既不充分也不必要条件. 故选：D4．（2022·全国·高三专题练习）命题“12x ∀≤≤，220x a -≤”是真命题的一个必要不充分条件是（） A ．1a ≥ B ．3a ≥C ．2a ≥D ．4a ≤【答案】A 【解析】【分析】求出当命题“12x ∀≤≤，220x a -≤”是真命题时，实数a 的取值范围，结合题意可得出合适的选项. 【详解】命题“12x ∀≤≤，220x a -≤”是真命题，则2max22x a ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，因此，命题“12x ∀≤≤，220x a -≤”是真命题的一个必要不充分条件是1a ≥. 故选：A.5．（2022·全国·高三专题练习）已知下列四个命题：正确的是（）1p ：00x ∃>，使得00ln 1x x >-；2p ：R x ∀∈，都有210x x -+>； 3p ：00x ∃>，使得001ln1x x >-+； 4p ：()0,x ∀∈+∞，使得121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭．A ．2p ，4pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．1p ，3p【答案】C 【解析】【分析】构造函数()ln 1f x x x =-+，求导判断单调性求最大值可判断1p ；对二次函数配方求21x x -+的最小值可判断2p ；举例子如0e x =可判断3p ；举反例如12x =可判断4p ，进而可得正确答案. 【详解】对于1p ，设()ln 1f x x x =-+，则()111x f x x x-'=-=，由()0f x '>可得01x <<；由()0f x '<可得1x >，所以()ln 1f x x x =-+在()0,1上单调递增，在()1,+∞单调递减，所以()()max 1ln1110f x f ==-+=，所以()ln 10f x x x =-+≤恒成立，所以0x ∀>，ln 1≤-x x ，故1p 错误；对于2p ，R x ∀∈，都有22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，故2p 正确；对于3p ：当0e x =时，011ln ln 1ex ==-， 011e x -+=-，此时满足001ln 1x x >-+，故3p 正确；对于4p ，当12x =时，1212⎛⎫= ⎪⎝⎭，121log 12=，不满足121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭成立，故4p 错误；故正确是2p ，3p ，故选：C ．6．（2022·重庆南开中学模拟预测）命题“2x ∀≥，24x ≥”的否定为（）A ．02x ∃≥，204x < B ．2x ∀≥，24x <C ．02x ∃<，204x <D ．2x ∀<，24x <【答案】A 【解析】【分析】由全称量词命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可得答案. 【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题，故原命题否定为“02x ∃≥，204x <”.故选：A7．（2022·江西景德镇·模拟预测（理））已知命题：函数32()(21)(0,0)f x x ax m a x m a m =++--->>，。

02一阶逻辑

x约束出现2次，y约束出现2次，自由出现1次，
z自由出现1次。
(3) (x)(P(x) (x)Q(x, z)(y)R(x, y))Q(x, y) ；解：(x)Q(x, z)中x是作用变元，的辖域为Q(x，z)，
其中 x 约束出现，z自由出现；(y)R(x, y)中，y是
作用变元，的辖域为R(x, y)，其中y约束出现，x自由出现；在(x)(P(x)(x) Q(x,z)(y)R(x, y)) 中，作用变元为x，的作用域为(P(x)(x)Q(x, z) (y)R(x, y)), 但Q(x, z)中的x不是的作用变元，x, y 在整个公式中，x约束出现3次，自由出现1次， y约束出现1次，自由出现1次，z自由出现1次。
由原子公式、联结词、量词及括号组成的字符串，
但最外层括号可以省略。
二、谓词公式的改写在谓词公式中，我们还用到以下概念。
指导变元及作用域
在谓词公式中，形如(x)A(x)或(x)A(x)的部分，叫做公式的约束部分。
量词，后面的x叫做量词的作用变元，或
指导变元，A(x)叫做量词的作用域。在作用域中，x的一切出现为约束出现，非约束出现的其它变元叫自由出现变元。
为了在命题演算中，反映命题的内在联系，常常要将简单命题分解成个体词、谓词、量词等，并对它们的形式结构及逻辑关系加以研究，总结出正确的推理形式和规则，这就是本章一阶逻辑
要研2.1 一阶逻辑基本概念 §2.2 一阶逻辑合式公式及解释 §2.3 一阶逻辑等值式及前束范式
变项符号不同的变项符号去代替，且处处代替。
换名规则与代替规则可避免有的个体变项既可以约束出现，又可以自由出现。
例4.试对下列公式换名或代替。
(1) (x)(P(x)(y)R (x,y)) ；