高考数学(文科)常用公式
高考数学公式总结
高考数学常用公式汇总一、函数1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。
注：减一个真子集，减一个空集二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a bx 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac ab 4422， 二、 三角函数3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。
（正负看原来的三角比）函数Bx A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是Tf 1=，相位是ϕω+x ，初相是ϕ； 13、在△ABC 中：-tanC B)+tan(A -cosC B)+cos(A sinC =B)+sin(A ==三、数列1、等差数列的通项公式是d n a a n )1(1-+=， 2)(1n n a a n S +=2、等比数列的通项公式是11-=n n q a a ，前n 项和公式是：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn3、若m 、n 、p 、q ∈N ，且q p n m +=+，那么： 当数列{}n a 是等差数列时，有q p n m a a a a +=+； 当数列{}n a 是等比数列时，有q p n m a a a a ⋅=⋅。
四、 排列组合1、 加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？ 加法分类，类类加；乘法分步，步步乘。
2、排列数公式是：m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -；组合数公式是：m n C =!m A mn 组合数性质：mn C =mn nC - m n C +1-m n C =mn C 1+五、解析几何1、 A B x x AB -=2、 数轴上两点间距离公式：A B x x AB -=3、 直角坐标平面内的两点间距离公式：22122121)()(y y x x P P -+-=4、 若点P 分有向线段21P P 成定比λ，则λ=21PP PP 5、 若点),(),(),(222111y x P y x P y x P ，，，点P 分有向线段21P P 成定比λ，则： =λλ++121x x =λλ++121y y若),(),(),(332211y x C y x B y x A ，，，则△ABC的重心G的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛++++33321321y y y x x x ，。
高考文科数学必考知识点
高考文科数学必考知识点高考文科数学必考知识点主要包括数与代数、函数与方程、几何与空间、统计与概率四个模块，下面将对每个模块的重点内容进行详细介绍。
一、数与代数1. 整式与分式整式是只包含有限个非负整数次幂的代数式，如2x²+3x-1；分式是由多项式除以非零多项式得到的表达式，如(2x²+3x-1)/(x+2)。
必考知识点包括整式的加减乘除运算、分式的约分和等值变形。
2. 方程与不等式方程是含有未知数的等式，如2x+3=7；不等式是含有未知数的不等式，如2x+3>7。
必考知识点包括一元一次方程及其应用、一元二次方程及其应用、一元一次不等式及其应用。
3. 指数与对数指数是用来表示乘法的重复操作，如2³=2×2×2；对数是指数运算的逆运算，如log₂8=3。
必考知识点包括指数与幂、对数的定义和性质。
4. 等比数列与等差数列等差数列是指相邻两项之差相等的数列，如1, 3, 5, 7, ...；等比数列是指相邻两项之比相等的数列，如2, 4, 8, 16, ...。
必考知识点包括等差数列与等比数列的通项公式、求和公式及其应用。
二、函数与方程1. 函数函数是一个映射关系，将一个集合的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素，如y=x ²。
必考知识点包括函数的定义、函数的图像、函数的性质以及常见的基本函数。
2. 二次函数二次函数是一个以x的二次多项式形式表示的函数，如y=ax²+bx+c。
必考知识点包括二次函数的图像、二次函数的最值、零点及其应用。
3. 指数函数与对数函数指数函数是以变量为指数的函数，如y=2ˣ；对数函数是指数函数的逆运算，如y=log₂x。
必考知识点包括指数函数与对数函数的图像、性质和应用。
4. 三角函数三角函数是描述角度与边长之间关系的函数，如y=sin(x)。
必考知识点包括三角函数的图像、周期性、相关性质以及应用。
2023年高考数学(文科)一轮复习——三角恒等变换 第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第3节三角恒等变换考试要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin__αcos__α.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan 2α＝2tan α1－tan2α.3.函数f(α)＝a sin α＋b cos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)(其中tan φ＝ab).1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z ).2.(易错题)已知锐角α，β满足sin α＝1010，cos β＝255，则α＋β＝( ) A.3π4 B.π4 C.π6 D.3π4或π4 答案 B解析 ∵sin α＝1010，cos β＝255， 又α，β为锐角，∴cos α＝31010，sin β＝55，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝31010×255－1010×55＝22.∵0<α＋β<π，∴α＋β＝π4. 3.计算：1＋tan 15°1－tan 15°＝________.答案3解析 1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.4.(易错题)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝________. 答案3解析 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°) ＝tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°， ∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＝3－3tan 10°tan 50°， ∴原式＝3－3tan 10°tan 50°＋3tan10°tan 50°＝ 3. 5.(2020·江苏卷)已知sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝23，则sin 2α的值是________.答案 13解析 因为sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝23， 所以1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α2＝23，即1＋sin 2α2＝23，所以sin 2α＝13.6.函数f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x 的周期为________. 答案 π解析 f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，周期T ＝2π2＝π.第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点一 公式的基本应用1.已知cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.－210 B.210 C.－7210 D.7210 答案 C解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，且cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.2.(2022·贵阳模拟)已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α，β的终边分别与单位圆交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，13，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，23，其中x 1<0<x 2，则cos(2α－β)＝________. 答案 75－8227解析 由题意可知，sin α＝13，sin β＝23， 由x 1<0<x 2可知cos α＝－1－sin 2α＝－223，cos β＝1－sin 2β＝53，所以cos 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2232－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79， sin 2α＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－223×13＝－429， 所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝75－8227.3.已知2tan θ－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝7，则tan 2θ＝________.答案 －43解析 2tan θ－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2tan θ－1＋tan θ1－tan θ＝7，解得tan θ＝2，∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×21－22＝－43. 感悟提升 1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. 2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.考点二 公式的逆用、变形用 角度1 公式的活用例1 (1)tan 22.5°1－tan 222.5°的值为________.(2)若α＋β＝－3π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________. (3)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 答案 (1)12 (2)2 (3)－12 解析 (1)tan 22.5°1－tan 222.5°＝12·2tan 22.5°1－tan 222.5°＝12tan 45°＝12×1＝12. (2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2， 即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.(3)∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.角度2 辅助角公式的运用 例2 化简：(1)sin π12－3cos π12； (2)cos 15°＋sin 15°； (3)1sin 10°－3sin 80°； (4)315sin x ＋35cos x .解 (1)法一 原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12 ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2.法二 原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12 ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝－2sin π4＝－ 2. (2)cos 15°＋sin 15°＝2(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°) ＝2cos(45°－15°) ＝2×32＝62.(3)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10° ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°.＝4sin （30°－10°）sin 20°＝4.(4)315sin x ＋35cos x ＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π6＋cos x sin π6＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.感悟提升 1.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.2.对a sin x ＋b cos x 化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.训练1 (1)下列式子化简正确的是( ) A.cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝12 B.sin 15°sin 30°sin 75°＝14 C.tan 48°＋tan 72°1－tan 48°tan 72°＝ 3D.cos 215°－sin 215°＝32(2)(2022·郑州模拟)函数f (x )＝cos x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6在[0，π]的值域为________.答案 (1)D (2)[－2，1]解析 (1)选项A 中，cos 82°sin 52°－sin 82°·cos 52°＝sin(52°－82°)＝sin(－30°) ＝－sin 30°＝－12，故A 错误；选项B 中，sin 15°sin 30°sin 75°＝12sin 15°cos 15°＝14sin 30°＝18，故B 错误； 选项C 中，tan 48°＋tan 72°1－tan 48°tan 72°＝tan (48°＋72°)＝tan 120°＝－3，故C 错误；选项D 中，cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32，故D 正确.(2)f (x )＝cos x －32sin x －12cos x －32sin x ＋12cos x ＝cos x －3sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.∵0≤x ≤π，∴π3≤x ＋π3≤4π3，则当x ＋π3＝π时，函数取得最小值2cos π＝－2，当x ＋π3＝π3时，函数取得最大值2cos π3＝2×12＝1， 即函数的值域为[－2，1]. 考点三 角的变换例3 (1)已知sin α＝255，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6(2)(2022·大庆模拟)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. (3)(2022·兰州模拟)若23sin x ＋2cos x ＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝________.答案 (1)C (2)－45 (3)732解析 (1)因为sin α＝255，sin(β－α)＝－1010，且α，β均为锐角，所以cos α＝55，cos(β－α)＝31010， 所以sin β＝sin [α＋(β－α)] ＝sin α·cos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝255×31010＋55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝25250 ＝22，所以β＝π4.故选C.(2)由题意知，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin(α＋β)＝－35＜0，所以cos(α＋β)＝45，因为β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－725， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－45.(3)由题意可得4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，令x ＋π6＝t ，则sin t ＝14，x ＝t －π6， 所以原式＝sin(π－t )cos 2t ＝sin t (1－2sin 2t )＝732.感悟提升 1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示. (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等.训练2 (1)已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin 2α等于( ) A.5665B.－5665C.1665D.－1635(2)(2021·全国大联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝________.答案 (1)B (2)－45解析 (1)因为π2＜β＜α＜3π4，所以0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜3π2，由cos(α－β)＝1213，得sin(α－β)＝513，由sin(α＋β)＝－35，得cos(α＋β)＝－45， 则sin 2α＝sin [(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－5665.故选B. (2)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝32cos α－12sin α－sin α＝32cos α－32sin α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α－32sin α＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝435，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－45.1.已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α＝( ) A.－31010 B.31010C.－35D.35答案 C解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－13， 所以sin α＝1010，cos α＝－31010，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－35，故选C. 2.已知tan α2＝3，则sin α1－cos α＝( )A.3B.13 C.－3 D.－13答案 B解析 因为tan α2＝3，所以sin α1－cos α＝2sin α2cos α21－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2α2＝cos α2sin α2＝1tan α2＝13，故选B.3.下列选项中，值为14的是( )A.2sin π12sin 5π12B.13－23cos 215°C.1sin 50°＋3cos 50°D.cos 72°·cos 36° 答案 D解析 对于A ，2sin π12sin 5π12＝2sin π12cos π12＝sin π6＝12，故A 错误； 对于B ，13－23cos 215°＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30°＝－36，故B 错误；对于C ，原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 50°＋12cos 50°12sin 100°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4，故C 错误；对于D ，cos 36°·cos 72°＝2sin 36°·cos 36°·cos 72°2sin 36°＝2sin 72°·cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14，故D 正确.4.(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6等于( ) A.12 B.33 C.23 D.22答案 B解析 因为sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＋ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝33. 5.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ＝( ) A.－2425 B.2425 C.－725 D.725答案 D解析 法一 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝35， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.故选D. 法二 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2θ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725. 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＋2θ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ＝725. 6.若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2等于( ) A.33B.－33C.539D.－69答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2. ∵0<α<π2，则π4<π4＋α<3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223. 又－π2<β<0，则π4<π4－β2<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.故选C. 7.sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.答案 sin(α＋γ)解析 sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).8.(2020·浙江卷)已知tan θ＝2，则cos 2θ＝________，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. 答案 －35 13解析 由题意，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2 θcos 2θ＋sin 2 θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35. tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－tan π41＋tan θ·tan π4＝tan θ－11＋tan θ＝2－11＋2＝13.9.tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝________.答案 －1解析 ∵tan 25°－tan 70°＝tan(25°－70°)·(1＋tan 25°tan 70°)＝tan(－45°)(1＋tan 25°tan 70°)＝－1－tan 25°tan 70°，∴tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝－1.10.已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值.解 (1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π2＜α－β＜π2. 又∵tan(α－β)＝－13＜0，∴－π2＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝91050. 11.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜ π2，求cos(α＋β).解 由已知，得π2＜α－β2＜π，0＜α2－β＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527. 则cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝－239729.12.若cos 2 α－cos 2β＝a ，则sin(α＋β)sin(α－β)等于( )A.－a 2B.a 2C.－aD.a答案 C解析 sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)·(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2 β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a .13.已知sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°，则m ＝________.答案 － 3解析 由题意可得m ＝2cos 140°－sin 10°cos 10°＝－2cos 40°－sin 10°cos 10°＝－2cos （30°＋10°）－sin 10°cos 10°＝－3cos 10°cos 10°＝－ 3.14.(2021·合肥质检)已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (α)＝13，求cos 2α.解 (1)∵f (x )＝cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由f (α)＝13，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝13. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，7π6. 又∵0<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝13<12， ∴2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π. ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝－223. ∴cos 2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6·sin π6 ＝1－266.。
高考文科数学总复习知识点
高考文科数学总复习知识点高三文科数学总复集合：集合的元素具有确定性、互异性和无序性特征。
常用的数集包括自然数集（或非负整数集）记为N，正整数集记为N或N+，整数集记为Z，实数集记为R，有理数集记为Q。
集合还有重要的等价关系，即A∩B=A当且仅当A∪B=B当且仅当A是B的子集。
一个由n个元素组成的集合有2个不同的子集，其中有2n-1个非空子集，也有2n-1个真子集。
函数：函数单调性的证明可以通过取值、作差、变形、定号和得出结论等步骤完成。
常用的结论包括：若f(x)为增（减）函数，则-f(x)为减（增）函数；增+增=增，减+减=减；复合函数的单调性是“同增异减”；奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。
函数的奇偶性定义为f(-x)=f(x)时为偶函数，f(-x)=-f(x)时为奇函数。
需要注意的是，函数为奇偶函数的前提是定义域在数轴上关于原点对称；奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0.基本初等函数：指数函数的一般形式为x=a^n，其中n>1且n为自然数。
负数没有偶次方根，任何次方根都是正数，当n是奇数时，a^n=a，当n是偶数时，a^n=|a|。
对数的定义为若a=N，则b=log_a N，其中a为对数的底数，b为以a为底的N的对数，N为真数。
需要注意的是，负数和零没有对数，log_a 1=0且log_a a=1（a>0且a≠1）。
对数的运算法则包括log_a (MN)=log_a M+log_a N，log_a (M/N)=log_a M-log_a N，log_a M^n=nlog_a M，换底公式为log_a b=log_c b/log_c a。
指数函数和对数函数是互逆的，即a^log_a N=N。
b=(a。
a≠1,c。
c≠1,b>)，利用换底公式推导以下结论：logc a = 1n(1) loga bn = loga b (2) loga b = logb am改写为：假设b=(a。
高考数学背的公式与知识点
高考数学背的公式与知识点数学一直以来都是高考科目中的重头戏，无论是理科生还是文科生，都需要通过数学来提高总分和综合能力。
为了应对高考数学，背公式和掌握知识点是必不可少的。
在这篇文章中，我们将探讨高考数学中需要背的公式和重点知识点，并提供一些学习技巧。
一、几何知识在几何学中，面积和周长是最基本的概念。
学生们需要熟练掌握各种图形（如矩形、三角形、圆形等）的面积和周长公式。
例如，矩形的面积公式是面积=长×宽，周长公式是周长=2×（长+宽）。
另外，学生们也需要掌握一些特殊图形的性质和计算方法。
例如，对于正方形，边长等于对角线的一半；对于等边三角形，三条边相等，每个角为60度。
同时，学生们还需要知道正多边形的内角和外角的计算公式。
二、函数和方程函数和方程是高考数学中的重要章节，也是极易出错的地方。
学生们需要牢记常见函数的定义和性质，例如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数。
同时，掌握函数图像的基本形状和变换规律也是很重要的。
在方程部分，学生们需要掌握各种类型的方程，例如一元一次方程、一元二次方程和一元高次方程。
背诵各类方程的求解步骤和公式，以及方程的性质和图像，将会加强对方程的理解和应用能力。
三、三角函数三角函数是高考数学中的难点和重点。
学生们首先要熟练掌握三角函数的定义及其周期性质。
背诵正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和特征值，可以帮助我们在解决三角函数问题时更加迅速和准确。
此外，学生们还需要掌握一些常用的三角恒等式。
例如，正弦函数的和差化积公式、余弦函数的和差化积公式和倍角公式等。
通过熟练掌握这些公式，可以简化计算，并在解题过程中节省时间。
四、概率与统计概率与统计是高考数学中的另一重点。
学生们需要背诵一些基本的概率公式，例如事件的概率计算公式和加法定理、乘法定理等。
同时，熟悉一些常见的统计概念和方法也是很重要的。
了解平均数、中位数和众数的计算方法以及它们的应用场景，可以帮助学生们在解决统计问题时更加清晰和高效。
高中数学公式大全 高考文科必背数学公式整理
千里之行，始于足下。
高中数学公式大全高考文科必背数学公式整理高中数学是一门基础科学课程，内容丰富，有很多重要的公式需要记忆和把握。
下面我整理了一些高考文科必背的数学公式，期望对您有所挂念。
1. 二项式定理：(a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + C(n,2)a^(n-2) b^2 + ... + C(n,n-1)a^1 b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n2. 幂的运算：a^m * a^n = a^(m+n)(a^m)^n = a^(mn)a^m / a^n = a^(m-n)3. 对数与指数的关系：a^x = b 等价于 x = loga(b)4. 对数运算：loga(mn) = loga(m) + loga(n)loga(m/n) = loga(m) - loga(n)loga(m^p) = p*loga(m)loga1 = 0 (任何数以自身为底数取对数等于0)logaa = 1 (底数与真数相等时，对数等于1)5. 三角函数和三角恒等式：sin^2x + cos^2x = 11 + tan^2x = sec^2x1 + cot^2x = cosec^2x第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
sin(90° - x) = cosx，cos(90° - x) = sinxtan(90° - x) = cotx，cot(90° - x) = tanxsin2x = 2sinxcosxcos2x = cos^2x - sin^2x = 2cos^2x - 1 = 1 - 2sin^2xtan2x = (2tanx) / (1 - tan^2x)6. 平面坐标和距离公式：点P(x₁, y₁)与点Q(x₂, y₂)之间的距离公式：d = sqrt((x₂-x ₁)^2 + (y₂-y₁)^2)7. 二次函数相关公式：抛物线顶点坐标：(h, k)，其中 h = -b/(2a)，k = f(h) = f(-b/(2a)) 抛物线开口朝上时，对称轴为x = h；开口朝下时，对称轴为 y = k抛物线的焦点坐标：(h, k+p)，其中 p = 1/(4a)焦点到顶点的距离：|p| = 1/(4|a|)抛物线与x轴交点：x₁ = h - |p|，x₂ = h + |p|8. 函数导数和微分公式：(cf(x))' = c(f(x))'，其中c为常数(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)(f(x) * g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x))^2(f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)(f(g(x)))'' = f''(g(x))*(g'(x))^2 + f'(g(x))*g''(x)在x=a处的高阶导数：f(a) = f'(a) = f''(a) = ... = f^n(a)这里只列举了一些高考文科必背的数学公式，还有很多公式和定理没有列出。
冲刺高考文科数学必看题型归纳
冲刺高考文科数学必看题型归纳随着高中阶段的学习即将结束，文科同学们的高考备战也进入冲刺阶段。
作为高考的一大考试科目，数学在文科生的备考中显得尤其重要。
为此，本篇文章将对文科数学的必看题型进行归纳，帮助同学们在时间紧迫、压力巨大的备考过程中更好地掌握知识点，备战高考。
一、函数1. 函数的奇偶性：（1）$f(-x)=-f(x)$，则函数为奇函数；（2）$f(-x)=f(x)$，则函数为偶函数；（3）$f(x)\ne f(-x)$，则函数既不是奇函数也不是偶函数。
2. 函数的周期性：（1）对于任意一个实数$x$，都有$f(x+T)=f(x)$，则函数是以$T$（$T>0$）为周期的周期函数，$T$ 称为函数的周期；（2）当$T$ 为最小正周期时，函数是最简周期函数。
3. 函数的单调性：（1）若对于函数$y=f(x)$，当$x_1<x_2$ 时有$f(x_1)<f(x_2)$，则函数$f(x)$ 在区间$(x_1,x_2)$ 内是严格单调递增的；（2）若对于函数$y=f(x)$，当$x_1<x_2$ 时有$f(x_1)>f(x_2)$，则函数$f(x)$ 在区间$(x_1,x_2)$ 内是严格单调递减的。
4. 函数极值问题：（1）极大值：若存在$x_0\in D_f$，使得$f(x)\le f(x_0)$，则称$f(x_0)$ 为函数$f(x)$ 在定义域$D_f$ 上的极大值；（2）极小值：若存在$x_0\in D_f$，使得$f(x)\ge f(x_0)$，则称$f(x_0)$ 为函数$f(x)$ 在定义域$D_f$ 上的极小值；（3）极值：极大值和极小值统称为极值。
二、解析几何1. 点、向量的基本概念：（1）点：在xoy 坐标系中，设坐标轴OX、OY 的交点为坐标原点O，则任意一点$P(x,y)$ 都可表示为向量$\overrightarrow{OP}(x,y)$。
（2）向量：向量是具有大小和方向的几何量，用向量符号$\overrightarrow{a}$ 表示。
高考文科数学知识点总结
高考文科数学知识点总结集合与简易逻辑在集合理论中，我们需要了解基本概念，如集合、元素、有限集、无限集、空集、全集以及符号的使用。
集合的表示法有列举法、描述法和图形表示法，而集合元素具有确定性、互异性和无序性的特征。
在解决含绝对值不等式和一元二次不等式时，我们可以采用公式法、定义法和几何法。
特别是在解决一元二次不等式时，需要讨论其根的情况，即有两相异实根、有两相等实根和无实根的情况。
除此之外，我们还需要了解简易逻辑，其中命题是可以判断真假的语句。
逻辑联结词包括“或”、“且”、“非”，简单命题是不含有逻辑联结词的命题，而由简单命题和逻辑联结词构成的命题是复合命题。
在四种命题形式中，原命题、逆命题、否命题和逆否命题都需要进行真假判断。
最后，如果已知p可以推出q，那么我们说p是q的充分条件，而q是p的必要条件。
函数知识回顾：一）映射与函数映射是指一个元素通过某种规则对应到另一个元素的过程。
如果对于集合A中的每一个元素a，都能唯一地找到集合B中的一个元素b与之对应，则称这个映射为从A到B的映射，并记作f：A→B。
如果对于A中的不同元素a1和a2，它们所对应的B中的元素不同，即f(a1)≠f(a2)，则称这个映射是一一映射。
函数是一种特殊的映射，它的定义域和值域都是实数集合。
函数的三要素是定义域、对应法则和值域，其中定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数。
二）函数的性质1.函数的单调性定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间[a,b]上的任意两个自变量的值x1,x2，若当x1f(x2)，则说f(x)在这个区间上是减函数。
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
2.函数的奇偶性定义：对于函数f(x)，若对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称函数为偶函数；若对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称函数为奇函数；若既不是偶函数也不是奇函数，则称函数为既非奇函数也非偶函数。
(蓝伟兴)高中文科数学公式汇总
高中文科数学公式汇总 （编者：蓝伟兴）（一）初中公式（高考必考） 1、平方差公式：))((22b a b a b a -+=-, 变形：22))((b a b a b a -=-+ 2、完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++变形：①2222)(b ab a b a ++=+， ②222)(2b a b ab a -=+- ③2222)(b ab a b a +-=-3、一元二次方程求根公式，和）的两根为（设方程21200x x a c bx ax ≠=++ aac b b x 2422,1-±-=则说明：这个公式极端重要。
（二）高中公式 4、集合的运算公式：,★即并集的补集等于补集的交集； 5、集合的运算公式：,★ 即交集的补集等于补集的并集。
6、方根的性质公式：na★可以理解为：当n为奇数时，任何实数的n 次幂的n次方根都等于它本身；当n为偶数时，任何实数的n 次幂的n次方根都等于它的绝对值；7.指数运算基本公式①10=a 8.指数运算基本公式②10=ea a n=为奇数n ， 为偶数n，9、指数幂的运算公式：=nma m a变形：ma n m a =★公式的适用条件：+∈R a ，+∈N n m ,，2≥n 10、指数幂的运算公式:mn m a a 1=-变形：n m ma a -=1 +∈R a ，+∈N n m ,，2≥n★公式的适用条件：+∈R a ，+∈N n m ,，2≥n11、指数幂的运算公式:n m n m a a a +=⋅变形：n m n m a a a ⋅=+★公式的适用条件：0>a12、指数幂的运算公式: m n n m a a =)(变形：m n n m mn a a a )()(==★公式的适用条件：0,0>>b a 13、指数幂的运算公式: n n n b a ab =)( 变形：n n n ab b a )(=★公式的适用条件：0,0>>b a14.对数的基本公式①：01log =a ，01lg =，01ln = 15.对数的基本公式②：1log =a a ，110lg =，1ln =e 16、对数运算的性质：N a M a MN a log log )(log +=★公式的适用条件：1,000≠>>>a a N M，，nn nn17、对数运算的性质公式：N a M a NM a log log )(log -=★公式的适用条件：1,000≠>>>a a N M，， 18、对数运算的性质公式：M n M a n a log log =★公式的适用条件：1,00≠>>a a M，na na =log19、换底公式：a bN b N a log log log =★公式的适用条件：1,0,1,00≠>≠>>b b a a N ，20、换底公式变形：a bb a log 1log =★公式的适用条件：1,0,1,0≠>≠>b b a a21.对数定义式：na na =log22、对数运算的性质公式：b a b mnn malog log =★公式的适用条件：1,0,1,0≠>≠>b b a a23、导数的运算公式：0='）（C ★可以理解为：常数函数的导数等于024、导数的运算公式：1)(-='n n nx x 25、导数的运算公式：x x cos )(sin =' 26、导数的运算公式：x x sin )(cos -=' 27、导数的运算公式：x x e e =')(28、导数的运算公式：a a a x x ln )(=' 29、导数的运算公式：ax x a ln 1)(log =' 30、导数的运算公式：xx 1)(ln =' 31、导数的运算法则公式：)()(])()([x g x f x g x f '+'='+ 32、导数的运算法则公式：)()(])()([x g x f x g x f '-'='- 33、导数的运算法则公式：)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='⋅ 34、导数的运算法则公式：2)]([)()()()(])()([x g x g x f x g x f x g x f '-'=' 35、弧度与角度的换算公式：π= 18036、扇形的弧长公式：R l α= ★其中，)20(πα<< ★理解为:扇形的弧长等于该扇形的圆心角乘以该扇形的半径。
文科高考数学必背公式
文科高考数学必背公式在文科高考中，数学是一个重要的科目。
虽然数学不是文科生的强项，但是通过对一些必背公式的掌握，可以在考试中取得更好的成绩。
以下是文科高考数学必背公式。
1. 一次函数的表达式：y = kx + b。
其中，k为斜率，b为截距。
2. 二次函数的标准形式：y = ax² + bx + c。
其中，a、b、c为常数，且a≠0。
3. 二次函数的顶点坐标：顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = -Δ/4a。
其中，Δ为判别式，Δ = b² - 4ac。
4.一元二次方程的解：解为x=(-b±√Δ)/2a。
5.二次函数的对称轴方程：x=-b/2a。
6. 三角函数的定义：sinθ = 对边/斜边，cosθ = 邻边/斜边，tanθ = 对边/邻边。
7. 三角函数的正负关系：sinθ、tanθ在0~π范围内非负，cosθ在π/2时为0，在0~π/2范围内非负，在π/2~π范围内非正。
8. 三角函数的周期性：sin(θ ± 2πn) = sinθ，cos(θ ± 2πn) = cosθ，tan(θ ± πn) = tanθ。
其中，n为整数。
9. 三角函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB，cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB。
10. 三角函数的倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ，cos2θ =cos²θ - sin²θ，tan2θ = (2tanθ) / (1 - tan²θ)。
11.平面几何中的相似三角形：对应角相等，对应边成比例。
12.平行线的性质：同位角互等、内错角互补、同旁内角互补。
13. 同余式的性质：如果a≡b (mod m)，则a±c≡b±c (mo d m)，ac≡bc (mod m)。
2014文科高考数学常用公式及结论121条
高考数学常用公式及结论【文科专用】1. 元素与集合的关系 Ux A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系A B A A B B =⇔= U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=Φ U C A B R ⇔=4．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.5.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠;(3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 6.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->-⇔11()f x N M N>--. 7.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=； []q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.8.真值表11.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 12.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.13.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.14．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 15.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.15.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(xb f y -= 的图象关于直线2b a x +=对称. 16.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 17.函数()y f x =的图象的对称性函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=. 18.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.19.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.20．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1. 21.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，. 22.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；23.分数指数幂(1)m na=0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.24．根式的性质（1）na =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.25．有理指数幂的运算性质(1)(0,,)rsr s a a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r s rsa a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)rr rab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.26.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>. 27.对数的换底公式 log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 28．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log aa a MM N N =-; (3)log log ()na a M n M n R =∈.29.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.30.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 31.等比数列的通项公式1*11()n n n a a a q q n N q-==⋅∈；其前n 项的和公式为11(1),11,1n na q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a q q q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩. 32．常见三角不等式 （1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.33.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 35.正弦、余弦的诱导公式34.和角与差角公式 sin()sin cos cosαβαβ±=±;)cos cos sin sin βαβαβ= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±= .22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决212(1)sin sin()2(1)s nn n co απα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩定,tan baϕ=). 35.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 36.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 37.正弦定理 2sin sin sin a b cR A B C ===. 40.余弦定理2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.41.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=42.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+.43.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 44.向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 45.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．46．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.47. a 与b 的数量积(或内积)a ·b =|a ||b |cos θ．48. a ·b 的几何意义 数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．49.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 50.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).51.平面两点间的距离公式,A B d=||AB ==(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).52.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.53.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 54.点的平移公式''''x x h x x hy y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ .注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .55.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .56. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.57.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）b a b a b a +≤+≤-. 58.最值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s .59.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<；121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.60.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.61.无理不等式 （1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 62.指数不等式与对数不等式(1)当1a >时,()()()()f x g x aa f x g x >⇔>; ()0log()log ()()0()()aa f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩. (2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a af x f xg x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩63.斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.64.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).65.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=；66．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0A x B y C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0B x A y λ-+=,λ是参变量．67.点到直线的距离d =(点00(,)P xy ,直线l ：0Ax By C ++=).68. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.69. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A xB yC A x By C ++++>或0<所表示的平面区域是：111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分；111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.70. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩. 71. 圆系方程(1)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(2) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．72.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =则d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内. 73.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .其中22B A C Bb Aa d+++=. 74.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ;条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .75.圆的切线方程①过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．②斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;76.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.77.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=. 78．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b ⇔+>. 79. 椭圆的切线方程椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b+=.80.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c =-.81.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b⇔-<. 82.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.83. 双曲线的切线方程双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.84. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.85.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y p y 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中 22y px = . 86.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：顶点坐标为24(,)24b ac b a a--； 87. 抛物线的切线方程抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+. 88.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.89.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =1212||||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.90.圆锥曲线的两类对称问题曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. 91．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.92．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.93．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.94．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 95．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 96．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.97.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．98.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.99.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB = ⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD = 且AB CD 、不共线.101.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则(1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++；102.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.103．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r ，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.104.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉.105．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r（其中θ（090θ<≤o o）为异面直线a b ,所成角，,a b r 分别表示异面直线a b ,的方向向量） 106.三余弦定理 设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.107.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅= (12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).108.点B 到平面α的距离 ||||AB n d n ⋅= （n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）.110. 面积射影定理 'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ).111．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．112.球的半径是R ，则其体积343V R π=,其表面积24S R π=． 113.球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.114．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）. 115.回归直线方程y a bx =+，其中()()()1122211nni i i ii i n n i i i i x x y y x ynx yb x x x nx a y bx====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=-⎩∑∑∑∑.115.相关系数()()niix x y y r --=∑()()niix x y y --=∑.|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小. 116.)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）00000()()()limlim x x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆. 117. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 118.几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）. (2) '1()()n n x nxn Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='.(5) x x 1)(ln ='；e a xx a log 1)(log ='.(6) x x e e =')(; a a a xx ln )(='.119.导数的运算法则 （1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v-=≠. 120.复合函数的求导法则设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =⋅，或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.121.常用的近似计算公式（当x 充小时）(1)x x 2111+≈+;x nx n 111+≈+； (2)(1)1()x x R ααα+≈+∈； x x-≈+111；(3)x e x +≈1；(4)x x l n ≈+)1(； (5)x x ≈sin （x 为弧度）； (6)x x ≈tan （x 为弧度）；122.判别)(0x f 是极大（小）值的方法当函数)(x f 在点0x 处连续时，（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值；（2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值. 123.复数的相等,a bi c di a c b d +=+⇔==.（,,,a b c d R ∈） 124.复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +. 125.复数的四则运算法则(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++; (2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-; (3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++; (4)2222()()(0)ac bd bc ada bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++.126.复数的乘法的运算律 对于任何123,,z z z C ∈，有 交换律:1221z z z z ⋅=⋅.结合律:123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅. 分配律:1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅ . 127.实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程20ax bx c ++=，①若240b ac ∆=->,则1,2x =;②若240b ac ∆=-=,则122b x x a==-;③若20，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根240)x b ac =-<.。
2023年高考数学(文科)一轮复习——同角三角函数的基本关系与诱导公式
第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1，sin αcos α＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cos α－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tan αtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名改变，符号看象限函数名改变，符号看象限1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (3)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立.( ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 解析 (1)对任意的角α，sin 2α＋cos 2α＝1. (2)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴上时，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13， 当k 为偶数时，sin α＝－13.2.求值：cos 2 023π6＝________. 答案 －32解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫337π＋π6＝－cos π6＝－32.3.若cos α＝33，则tan α＝________. 答案 ±2解析 因为cos α＝33， 所以sin α＝±1－cos 2 α＝±1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝±63 .故tan α＝sin αcos α＝±2.4.(易错题)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为________.答案 －23解析：∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin θ－cos θ＝－23.5.(2022·昆明诊断)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝15，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________. 答案 15解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝15. 6.(2021·沈阳模拟)已知2sin(π－α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin 2α－12sin 2α－cos 2α＝________. 答案 －113解析 由2sin(π－α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，得2sin α＝3cos α.所以tan α＝32，从而sin 2α－12sin 2α－cos 2α＝ sin 2α－sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan α－1tan 2α＋1＝－113.考点一 诱导公式的应用1.化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2（2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）＝________.答案 －1sin α解析原式＝cos α（－cos α）tan2αsin α（－sin α）（－sin α）＝－1sin α.2.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝13，则sin β＝________.答案1 3解析由已知得α＋β＝π＋2kπ，k∈Z.∵sin α＝1 3，∴sin β＝sin(π＋2kπ－α)＝sin α＝1 3.3.(2022·皖北名校联考)sin 613°＋cos 1 063°＋tan(－30°)的值为________.答案－3 3解析sin 613°＋cos 1 063°－tan 30°＝sin(180°＋73°)＋cos(－17°)－tan 30°＝－sin 73°＋cos(－17°)－tan 30°＝－cos 17°＋cos 17°－33＝－33.感悟提升 1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.考点二同角三角函数基本关系及其应用角度1切弦互化例1 (1)已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于()A.1517B.－1517C.817 D.－817(2)(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则sin θ（1＋sin 2θ）sin θ＋cos θ＝( )A.－65B.－25C.25D.65答案 (1)D (2)C解析 (1)因为tan α＝－815， 所以sin αcos α＝－815，所以cos α＝－158sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝64289， 又α是第四象限角，所以sin α＝－817. (2)因为tan θ＝－2，所以sin θ（1＋sin 2θ）sin θ＋cos θ＝sin θ（sin θ＋cos θ）2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin 2 θ＋sin θcos θsin 2 θ＋cos 2θ＝tan 2 θ＋tan θ1＋tan 2θ＝4－21＋4＝25. 角度2 sin α±cos α与sin αcos α的转化例2 若sin θ－cos θ＝43，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，π，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝( )A.－23B.23C.－43D.43 答案 A解析 由sin θ－cos θ＝43得1－2sin θcos θ＝169，即2sin θcos θ＝－79， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝29. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，π，∴sin θ＋cos θ＜0，∴sin θ＋cos θ＝－23，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝－23，故选A.感悟提升 1.(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化. (2)形如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.训练1 (1)(2022·北京市西城区模拟)已知α∈(0，π)，cos α＝－35，则tan α等于( ) A.34B.－34C.43D.－43(2)(2022·成都联考)在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，则cos A －sin A 的值为( ) A.－32B.－52C.52D.±32(3)(2021·兰州诊断)已知sin α＋cos α＝75，则tan α＝________. 答案 (1)D (2)B (3)43或34解析 (1)因为cos α＝－35且α∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以tan α＝sin αcos α＝－43.(2)∵在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18， ∴A 为钝角，∴cos A －sin A ＜0， ∴cos A －sin A ＝－（cos A －sin A ）2＝－cos 2A ＋sin 2A －2sin A cos A ＝－1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＝－52.(3)将sin α＋cos α＝75两边平方得1＋2sin αcos α＝4925， ∴sin αcos α＝1225， ∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝1225， 整理得12tan 2α－25tan α＋12＝0，解得tan α＝43或tan α＝34. 考点三 同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用例3 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( ) A.53 B.23 C.13 D.59(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________.答案 (1)A (2)0解析 (1)由3cos 2α－8cos α＝5， 得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5， 即3cos 2α－4cos α－4＝0， 解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去). 又因为α∈(0，π)， 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝53.故选A. (2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.感悟提升 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π6－θ与5π6＋θ，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等.训练2 (1)已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________； (2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________.答案 (1)－43 (2)－33解析 (1)由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2 θ， 得6sin θcos θ＝－8cos 2 θ， 又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0， 所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.1.sin 1 050°等于( ) A.12 B.－12C.32D.－32答案 B解析 sin 1 050°＝sin(3×360°－30°) ＝－sin 30°＝－12.2.若角α的终边在第三象限，则cos α1－sin 2 α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A.3 B.－3C.1D.－1答案 B解析 由角α的终边在第三象限，得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3，故选B. 3.已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan(π＋α)等于( ) A.－513 B.513C.－125D.125答案 C解析 因为α是第四象限角，sin α＝－1213， 所以cos α＝1－sin 2 α＝513，故tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－125. 4.已知sin α－cos α＝54，则sin 2α＝( ) A.－916 B.－716 C.716 D.916答案 A解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α，∴sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝－916.5.已知3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( ) A.－π6 B.－π3C.π6D.π3答案 A解析 ∵3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，∴－3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－33，∵|θ|<π2，∴θ＝－π6.6.若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α的值为 ( )A.103B.53C.23D.－2 答案 A解析 由3sin α＋cos α＝0，得tan α＝－13，则1cos 2 α＋2sin αcos α＝sin 2 α＋cos 2 αcos 2 α＋2sin αcos α ＝tan 2α＋11＋2tan α＝19＋11－23＝103. 7.若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则1－2sin （π＋θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( )A.sin θ－cos θB.cos θ－sin θC.±(sin θ－cos θ)D.sin θ＋cos θ答案 A 解析 1－2sin （π＋θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝（sin θ－cos θ）2＝|sin θ－cos θ|， 又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ>0， 所以原式＝sin θ－cos θ.8.(2022·太原调研)已知3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫33π14＋α＝－5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α等于( ) A.－53 B.－35 C.35 D.53 答案 A解析 由3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫33π14＋α＝－5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53. 9.(2022·合肥模拟)已知tan(π－α)＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＝________.答案 13解析 由tan(π－α)＝2，得tan α＝－2，则sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－2＋1－2－1＝13.10.已知k ∈Z ，则sin （k π－α）cos [（k －1）π－α]sin [（k ＋1）π＋α]cos （k π＋α）的值为________. 答案 －1解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin （2n π－α）cos [（2n －1）π－α]sin [（2n ＋1）π＋α]cos （2n π＋α）＝sin （－α）cos （－π－α）sin （π＋α）cos α＝－sin α（－cos α）－sin α cos α＝－1. 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin [（2n ＋1）π－α]cos [（2n ＋1－1）π－α]sin [（2n ＋1＋1）π＋α]cos [（2n ＋1）π＋α]＝sin （π－α）cos αsin αcos （π＋α）＝sin αcos αsin α（－cos α）＝－1. 综上，原式＝－1.11.已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 答案 －74 34解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， ∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α<0.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－74. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34. 12.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________. 答案 1－ 5解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.13.已知角α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( ) A.－32 B.32 C.－12 D.12答案 D解析 终边在直线y ＝x 上的角为k π＋π4(k ∈Z )，因为角α和β的终边关于直线y＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z ).又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋5π6＝12. 14.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝( )A.355B.377C.31010D.13答案 C解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角).15.已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 023)的值为________.答案 －3解析 因为f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，所以f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，所以f (2 023)＝a sin(2 023π＋α)＋b cos(2 023π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a cos α－b cos β＝－3.16.已知2θ是第一象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么tan θ＝________. 答案 22解析 因为sin 4θ＋cos 4θ＝59，所以(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59. 所以sin θcos θ＝23，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝23， 即tan θ1＋tan 2θ＝23，解得tan θ＝2或tan θ＝22. 又因为2θ为第一象限角，所以2k π<2θ<2k π＋π2，k ∈Z .所以k π<θ<π4＋k π，k ∈Z .所以0<tan θ<1.所以tan θ＝22.。
2024高考数学重点必考公式归纳总结
2024高考数学重点必考公式归纳总结2024高考数学重点必考公式归纳(一)数学两角和公式1、sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA2、cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB3、tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)4、ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)(二)数学椭圆公式1、椭圆周长公式：l=2πb+4(a-b)2、椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴，长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差3、椭圆面积公式：s=πab4、椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积(三)数学某些数列前n项和公式1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3高考数学必背公式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b=-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/a X1×X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac0注：方程有两个不等的实根b2-4ac0注：方程没有实根，有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前 n 项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+ … +(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+ …n3=n2(n+1)2/41×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角 B 是边 a 和边 c 的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c×h 斜棱柱侧面积 S=c×h正棱锥侧面积S=1/2c×h 正棱台侧面积 S=1/2(c+c)h圆台侧面积S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi×r2圆柱侧面积S=c×h=2pi×h 圆锥侧面积 S=1/2×c×l=pi×r×l弧长公式l=a×r a 是圆心角的弧度数 r 0 扇形面积公式 s=1/2×l×r 锥体体积公式V=1/3×S×H 圆锥体体积公式 V=1/3×pi×r2h斜棱柱体积V=SL 注：其中,S是直截面面积， L 是侧棱长柱体体积公式V=s×h 圆柱体 V=pi×r2h高中文科数学必背公式总结公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到 2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α及 3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上 k∈Z)高三学数学最有效的方法一轮复习①立足课本，迅速激活已学过的各个知识点。
文科高考数学必背知识点--公式
文科高考数学必背知识点--公式一、高中数学诱导公式全集：常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαco s(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
高考文科数学微点 (12)
高考微点十二直线与圆牢记概念公式，避免卡壳1.直线方程的五种形式(1)点斜式：y－y0＝k(x－x0).(2)斜截式：y＝kx＋b.(3)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2).(4)截距式：xa＋yb＝1(a≠0，b≠0).(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0).2.三种距离公式(1)两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离|AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.(2)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝|C1－C2| A2＋B2.3.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).活用结论规律，快速抢分1.三种特殊的直线系方程(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C).(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.(3)过直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0).2.若点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过该点的切线方程为x0x＋y0y＝r2.3.直线与圆的位置关系(1)代数方法(将直线与圆方程联立得方程组，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，再判断此方程的解的情况)：Δ>0⇔相交，Δ<0⇔相离，Δ＝0⇔相切.(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则d<r⇔相交，d>r⇔相离，d＝r⇔相切.高效微点训练，完美升级1.若直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋1＝0垂直，则l 的方程为( )A.3x ＋2y －1＝0B.3x ＋2y ＋7＝0C.2x －3y ＋5＝0D.2x －3y ＋8＝02.过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )A.19x －9y ＝0B.9x ＋19y ＝0C.19x －3y ＝0D.3x ＋19y ＝03.若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A.0B.1C.－2D.－14.已知点P (x ，y )在圆(x －2)2＋y 2＝1上运动，则y x 的最大值是( ) A.33 B.－33 C. 3 D.－ 35.已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A (2a ，2)，B (－4，a )，C (2a ＋2，2)，则△ABC 外接圆的方程是( )A.x 2＋(y －3)2＝5B.x 2＋(y ＋3)2＝5C.(x －3)2＋y 2＝5D.(x ＋3)2＋y 2＝56.过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A.2x ＋y －5＝0B.2x ＋y －7＝0C.x －2y －5＝0D.x －2y －7＝07.若直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为23，则m 的值为( )A.1B.－3C.1或－3D.28.已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )A.1031B.921C.1023D.9119.(2019·湖南十四校二联)已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( )A.6或－ 6B.5或－5C. 6D. 510.(2019·衡水中学质检)已知A ，B 为圆C ：(x －m )2＋(y －n )2＝9(m ，n ∈R )上两个不同的点，C 为圆心，且满足|CA→＋CB →|＝25，则|AB |＝( )A.2 5B.4C. 5D.211.(2019·郑州质检)在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( ) A.102 B.10 C.5 D.1012.已知A (－3，0)，B (3，0)，P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，AP→＝PQ →，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，若点M 的横坐标为x ，则|x |的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.(1，＋∞)C.[2，＋∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ 13.若直线l 过点(m ，3)和(3，2)，且在x 轴上的截距是1，则实数m ＝________.14.一只虫子从点(0，0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是________.15.(2019·广州调研)圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程是________.16.已知A (0，2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|P A |＋|PQ |的最小值是________.。
高中数学公式大全 高考文科必背数学公式整理
高考数学爆强秒杀公式与方法一1，适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。
x为分离比，必须大于1。
注上述公式适合一切圆锥曲线。
如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。
2，函数的周期性问题(记忆三个)：1>若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;2>若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;3>若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。
注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。
c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x 相加不是周期函数。
3，关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：1>若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;2>函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;3>若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称4，函数奇偶性：1>对于属于R上的奇函数有f(0)=0;2>对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项3>奇偶性作用不大，一般用于选择填空5，数列爆强定律：1，等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);2等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差3，等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立4，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q6，数列的终极利器特征根方程。
(如果看不懂就算了)。
首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n 为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p²(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。
关于高考文科数学公式大全
关于高考文科数学公式大全1.度量衡与单位转换：（1）1英寸（in）=2.54厘米（cm）（3）1英尺（ft）=30.48厘米（cm）（4）1英寻（ftm）=1.8288米（m）（5）1英亩（ac）=4046.8564平方米（m²）（6）1平方英尺（ft²）=929.0304平方厘米（cm²）（7）1平方英寸（in²）=6.4516平方厘米（cm²）（8）1英磅（lb）=0.4536千克（kg）（9）1盎司（oz）=28.3495克（g）2.代数公式：（1）二次方程求根公式：设ax²+bx+c=0，则 x = (-b ± √(b²-4ac))/2a（2）一次方程：ax+b=0，则 x=-b/a3.平面几何公式：（1）面积：长方形面积=长×宽，正方形面积=边长²，三角形面积=底×高/2，梯形面积=(上底+下底)×高/2，圆面积=πr²（2）周长：长方形周长=2×(长+宽)，正方形周长=4×边长，圆周长=2πr（3）勾股定理：直角三角形任意边的平方等于另外两边的平方和。
c²=a²+b²4.函数与方程：（1）直线斜率：设直线过点(x₁,y₁)和(x₂,y₂)，则斜率k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)（2）一次函数： y = kx + b（3）二次函数顶点坐标：设y=ax²+bx+c，顶点为 (-b/(2a), -Δ/(4a))（4）指数函数与对数函数互为反函数： y = a^x 和 y = loga(x) 是互为反函数的。
5.概率与统计：（1）平均值：已知n个数x₁,x₂,x₃,...,xₙ，则平均值为(x₁+x₂+x₃+...+xₙ)/n（2）方差：已知n个数x₁,x₂,x₃,...,xₙ，则方差为[(x₁-平均数)²+(x₂-平均数)²+...+(xₙ-平均数)²]/n（3）标准差：标准差是方差的平方根，标准差=√方差。
高考文科数学公式汇总(精简版)
高考文科数学公式汇总(精简版)高考文科数学公式汇总(精简版)高考数学是文科生必考的一门科目，其数学公式的掌握对于高考成绩的决定性作用。
以下是高考文科数学公式的精简版汇总。
一、代数公式：1. 幂函数公式：1) $(a^m)^n=a^{mn}$2) $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$3) $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$2. 对数函数公式：1) $a^{\log_a{x}}=x$2) $\log_a{(xy)}=\log_a{x}+\log_a{y}$3) $\log_a{(\frac{x}{y})}=\log_a{x}-\log_a{y}$4) $\log_a{x^n}=n\log_a{x}$3. 三角函数公式：1) $\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$2) $\sin{2x}=2\sin{x}\cdot \cos{x}$3) $\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}$4) $\tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$5) $\sin{(a\pm b)}=\sin{a}\cdot \cos{b}\pm \sin{b}\cdot\cos{a}$6) $\cos{(a\pm b)}=\cos{a}\cdot \cos{b}\mp \sin{a}\cdot\sin{b}$4. 二次函数公式：1) $f(x)=ax^2+bx+c$ 的顶点坐标为 $(\frac{-b}{2a},\frac{-\Delta}{4a})$ ，其中 $\Delta=b^2-4ac$ 为判别式。
2) $y=a(x-h)^2+k$ 是以点 $(h,k)$ 为顶点的二次函数。
二、几何公式：1. 勾股定理：直角三角形的斜边的平方等于两腰的平方和。
$c^2=a^2+b^2$2. 正弦定理：在任意三角形中，边的比与其对应角的正弦值成正比。
$\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}$3. 余弦定理：在任意三角形中，边的平方与其它两边的平方之和的2倍之差与其对应角的余弦成正比。
高考文科数学公式总结
高考文科数学公式总结数学作为高考文科考试中的一门重要科目，公式的掌握和运用对考生来说至关重要。
下面将对高考文科数学中常用的公式进行总结，希望能帮助考生们更好地备战高考。
一、代数部分。
1. 二项式定理。
(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)a b^(n-1) + C(n,n)b^n。
2. 平方差公式。
(a+b)(a-b) = a^2 b^2。
3. 一元二次方程根的判别式。
Δ = b^2 4ac。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实根；当Δ < 0时，方程没有实根。
二、几何部分。
1. 直线的点斜式方程。
y y₁ = k(x x₁)。
2. 三角形面积公式。
S = 1/2 × a × b × sinC。
3. 圆的面积和周长。
圆的面积 S = πr²。
圆的周长 L = 2πr。
三、概率与统计部分。
1. 排列组合公式。
排列，A(n, m) = n!/(n-m)!组合，C(n, m) = n!/(m!(n-m)!)。
2. 期望的计算。
E(X) = Σ(x×P(x))。
3. 正态分布的标准差计算。
P(a < X < b) = Φ(b) Φ(a)。
其中Φ(x)表示标准正态分布曲线下面积为x的部分。
四、导数与微积分部分。
1. 导数的基本公式。
(1) (x^n)' = nx^(n-1)。
(2) (e^x)' = e^x。
(3) (sinx)' = cosx。
(4) (cosx)' = -sinx。
2. 不定积分的基本公式。
(1) ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C。
(2) ∫e^x dx = e^x + C。
(3) ∫sinx dx = -cosx + C。
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f (x)max max f ( p), f (q) ， f (x)min min f ( p), f (q) .
二次函数在闭区间 上必有最值，求最值 问题用“两看法”： 一看开口方向；二看 对称轴与所给区间 的相对位置关系。
(2) 当 a<0 时，
①若
x
b 2a
p, q，则有
f
( x) min
即函数的值域；
④ D x y log2 x 2 2x 1 中的元素是函数 y log2 x2 2x 1 的定义域， D 即函数
的定义域；
⑤ M x, y y 2x 3 中的元素可看成 是关于 x, y 的方程的解集， 也可看成以方程
y 2x 3 的解为坐标的点， M 为点的集合，是一条直线。
5. 集合{a1, a2 ,, an} 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n –1 个；非空子集有 2n –1 个；非 空的真子集有 2n –2 个.
6. 方程 f (x) 0 在 (k1, k2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k2 ) 0 不等价,前者是后者的
一个必要而不是充分条件.
互 否
逆否命题
“ 若q则p ”
13. 充要条件
（1）若 p q ，则说 p 是 q 的充分条件，同时 q 是 p 的必要条件
（2）充要条件：若 p q ，且 q p ，则 p 是 q 的充要条件.
一个命题 一种形式 两种方法
另外：如果条件最终都可化为数字范围，则可转化为集合的包含关系来刻画，二者逻辑关
至多有 n 个
存在某 x ，不成立 p 或 q
存在某 x ，成立 p 且 q
反设词
一个也没有
至少有两个
至多有（ n 1）个 至少有（ n 1）个 p 且 q
p 或 q
12. 四种命题的相互关系 如右图所示
原命题
“ 若p则q ”
互
为
互
为
否
互
否命题
“ 若p则q ”
互逆 否
逆
逆 否
互逆
逆命题
“ 若q则p ”
特 别 地 , 方 程 ax 2 bx c 0(a 0) 有 且 只 有 一 个 实 根 在 (k1, k2 ) 内 , 等 价 于
f (k1 ) f (k2 ) 0 , 或
f (k1) 0
且
k1
b 2a
k1
2
k2
,或
f (k2 ) 0 且
k1
k2 2
b 2a
k2.
7. 闭区间上的二次函数的最值问题：
则 f (x) 为减函数.
⑶单调性性质：
①增函数+增函数=增函数；②减函数+减函数=减函数；③增函数-减函数=增函数；④减函数-
增函数=减函数；
注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。
15. 复合函数单调性的判断方法：
⑴如果函数 f (x) 和 g(x) 都是减函数（增函数）,则在公共定义域内,和函数 f (x) g(x) 也是
减函数（增函数）;
⑵ 对于复合函数 y f [ g ( x)]的单调性，必须考虑 y f (u)与
u g ( x)的单调性，从而得出 y f [ g ( x)]的单调性。
小结：同增异
y f u
u gx
y f g x
减。研究函数 的单调性，定
增函数 增函数
增函数 减函数
增函数 减函数
义域优先考 虑，且复合函 数的单调区间
高考数学（文科）公式大全 及重要基础知识记忆
1
第一章 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语
1. 集合的基本运算
；
；
2. .集合的包含关系: ； ；
3. 识记重要结论： A B A A B ; A B A A B ;
CU A B CU A CU B ; CU A B CU A CU B
二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0) 在闭区间 p, q 上的最值只能在 x b 处及区间的两
2a
端点处取得，具体如下：
(1) 当 a>0 时，
①若 x b p, q，则有
2a
f
( x) min
f
(
b ), 2a
f
( x) max
max f
( p),
f
(q) ；
②若 x b p, q，则有
10. 真值表
表1
ｐｑ 真真 真假 假真 假假
非ｐ 假 假 真 真
ｐ或ｑ 真 真 真 假
ｐ且ｑ 真 假 假 假
同真为真 同假为假 真假相对
11. 常见结论的否定形式
原结论 是 都是 大于 小于
对所有 x ，成立 对任何 x ，不成立
表2
反设词
原结论
不是
至少有一个
不都是
至多有一个
不大于
至少有 n 个
不小于
min f
( pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,
f
(q) ，
2
②若
x
b 2a
p, q，则有
f
( x) max
max f
( p),
f
(q) ，
f
( x) min
min f
( p),
f
(q) .
8. a f x a f x max ； a f x a f x min
9. 由不．等．导．相．等．的．有．效．方．法．：若 a b 且 a b ，则 a b .
系一目了然。设 A x p x ， B x q x ，①若 AB ，则 p 是 q 的充分不必要条件；
②若 BA ,则 q 是 p 的必要不充分条件；③若 A B ，则 p 是 q 的充要条件。
第二章
函数
14. 函数的单调性
(1)设 x1 x2 a,b, x1 x2 那么
3
(x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) 0
f (x1) f (x2 ) 0 f (x)在a,b上是增函数；
x1 x2
(x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) 0
f (x1) f (x2 ) 0 f (x)在a,b上是减函数.
x1 x2
(2)设函数 y f (x) 在某个区间内可导，如果 f (x) 0 ，则 f (x) 为增函数；如果 f (x) 0 ，
4．对常用集合的元素的认识
① A x x2 3x 4 0 中的元素是方程 x2 3x 4 0 的解， A 即方程的解集；
② B x x2 x 6 0 中的元素是不等式 x2 x 6 0 的解， B 即不等式的解集；
③ C y y x2 2x 1, 0 x 5 中的元素是函数 y x2 2x 1, 0 x 5 的函数值， C