高一数学教案第二章函数概念与基本初等函数第7课时函数的图象

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届数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第7节函数的图象跟踪检测文含解析

第二章函数的概念与基本初等函数(Ⅰ)第七节函数的图象A级·基础过关｜固根基｜1。

(2019届沈阳市质量监测）函数f(x)＝错误!的图象大致为()解析：选C因为y＝x2－1与y＝e｜x|都是偶函数，所以f(x）＝错误!为偶函数，排除A、B；又f（2)＝错误!＜1,排除D，故选C。

2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是()解析:选C小明匀速运动时，所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,排除A；因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除D;后来为了赶时间加快速度行驶，排除B。

3．(一题多解)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是（)A．y＝ln（1－x）B．y＝ln(2－x）C．y＝ln（1＋x) D．y＝ln(2＋x）解析:选B解法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y），则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x,y），由对称性知点(2－x，y）在函数f(x）＝ln x的图象上,所以y＝ln(2－x），故选B.解法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A、C、D，故选B.4．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为（）A．y＝f(｜x|) B．y＝f(－｜x|)C．y＝｜f（x）| D．y＝－f（｜x｜)解析:选B观察函数图象，图②是由图①保留y轴左侧部分图象，并将左侧图象翻折到右侧所得．因此,图②中对应的函数解析式为y＝f(－|x|）．5．函数y＝错误!的图象大致为（)解析：选B函数y＝错误!的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，排除A 项；∵f(－x)＝错误!＝－f(x)，f(x)是奇函数，排除C项;当x＝2时，y＝错误!＞0，排除D项．6．已知函数f（x）＝错误!则函数y＝f（e－x）的大致图象是(）解析：选B令g(x）＝f(e－x)，则g(x）＝错误!化简得g（x)＝错误!因此g(x)在(0，＋∞)，（－∞，0）上都是减函数,A、C、D不成立．7．已知函数f(2x＋1）是奇函数，则函数y＝f(2x）的图象的对称中心为(）A．(1,0) B．(－1，0）C.错误!D.错误!解析：选C f(2x＋1）是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而f（2x)的图象是由f(2x＋1)的图象向右平移12个单位长度得到的,故关于点错误!成中心对称．8．已知函数f(x）＝dax2＋bx＋c(a，b，c,d∈R）的图象如图所示，则（）A．a＞0，b＞0,c＜0，d＜0 B．a＜0，b＞0，c＜0，d＞0 C．a＜0，b＞0，c＞0，d＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0解析：选B由题图可知，x≠1且x≠5，则ax2＋bx＋c＝0的两根为1,5，由根与系数的关系,得－错误!＝6，错误!＝5，∴a，b异号，a，c同号，排除A、C；又∵f(0）＝错误!＜0，∴c，d异号，排除D，只有B项适合．9．(2019届石家庄模拟)在同一平面直角坐标系中,函数y＝g （x）的图象与y＝e x的图象关于直线y＝x对称．而函数y＝f(x)的图象与y＝g(x）的图象关于y轴对称，若f(m）＝－1，则m ＝________．解析:由题意知g（x)＝ln x，则f（x)＝ln(－x），若f（m）＝－1,则ln（－m)＝－1，解得m＝－1 e.答案:－错误! 10。

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第7节：函数的图像(教师版)

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第7节函数的图像考试要求1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．1.利用描点法作函数的图像步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图像变换法作函数的图像(1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图像―——————―→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图像；y ＝f (x )的图像――——————→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图像；y ＝f (x )的图像―——————―→关于原点对称y ＝－f (－x )的图像；y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像―——————————―→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像.(3)伸缩变换y ＝f (x )―——————————————————―→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a （a >0）倍y ＝f (ax ).y ＝f (x )―————————————————―→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x ).(4)翻折变换y ＝f (x )的图像―————————————―→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图像；y ＝f (x )的图像―——————————————―→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图像.1.函数图像自身的轴对称(1)f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图像关于y 轴对称；(2)函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )；(3)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a ＋b2对称.2.函数图像自身的中心对称(1)f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图像关于原点对称；(2)函数y ＝f (x )的图像关于点(a ，0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )；(3)函数y ＝f (x )的图像关于点(a ，b )成中心对称⇔f (a ＋x )＝2b －f (a －x )⇔f (x )＝2b －f (2a －x ).3.两个函数图像之间的对称关系(1)函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )的图像关于直线x ＝b －a2对称(由a ＋x ＝b －x 得对称轴方程)；(2)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图像关于直线x ＝a 对称；(3)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (－x )的图像关于点(0，b )对称；(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图像关于点(a，b)对称.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图像相同.()(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图像相同.()(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于原点对称.()(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝1对称.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图像不同，(1)错误.(2)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行横坐标与纵坐标伸缩变换得到，两图像不同，(2)错误.(3)y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于x轴对称，(3)错误.2.下列图像是函数y 2，x<0，－1，x≥0的图像的是()答案C解析其图像是由y＝x2图像中x<0的部分和y＝x－1图像中x≥0的部分组成.3.(2021·昆明质检)已知图①中的图像对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图像对应的函数为()A.y＝f(|x|)B.y＝f(－|x|)C.y＝|f(x)|D.y＝－|f(x)|答案B解析观察函数图像可得，②是由①保留y 轴左侧及y 轴上的图像，然后将y 轴左侧图像翻折到右侧所得，结合函数图像的对称变换可得变换后的函数的解析式为y ＝f (－|x |).4.(2021·天津卷)函数y ＝ln|x |x 2＋2的图像大致为()答案B解析设y ＝f (x )＝ln|x |x 2＋2，则函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，又f (－x )＝ln|－x |（－x ）2＋2＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除A ，C ；当x ∈(0，1)时，ln|x |＜0，x 2＋1＞0，所以f (x )＜0，排除D.5.(易错题)设f (x )＝2－x ，g (x )的图像与f (x )的图像关于直线y ＝x 对称，h (x )的图像由g (x )的图像向右平移1个单位得到，则h (x )＝________.答案－log 2(x －1)解析与f (x )的图像关于y ＝x 对称的图像所对应的函数为g (x )＝－log 2x ，再将其图像右移1个单位得到h (x )＝－log 2(x －1)的图像.6.(2022·西安调研)已知函数f (x )的图像如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________.答案(2，8]解析当f (x )>0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图像知满足f (x )>0时，x ∈(2，8].考点一作函数的图像例1作出下列函数的图像：(1)y ＝2|x |＋1；(2)y ＝|lg(x －1)|；(3)y ＝x 2－|x |－2.解(1)将y ＝2x 的图像关于y 轴作对称图像，取y ≥1的部分得y ＝2|x |的图像，再将所得图像向上平移1个单位长度，得到y ＝2|x |＋1的图像，如图①所示(实线部分).(2)首先作出y ＝lg x 的图像，然后将其向右平移1个单位长度，得到y ＝lg(x －1)的图像，再把所得图像在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图像，如图②所示(实线部分).(3)y ＝x 2－|x |－2x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图像，再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，其图像如图③所示.感悟提升 1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图像的关键点直接作出.2.图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.训练1分别作出下列函数的图像：(1)y ＝|x 2－5x ＋4|；(2)y ＝2x －1x －1.解(1)令y ＝x 2－5x ＋4＝0，解出两根为1，4，得到y ＝x 2－5x ＋4的图像.将x 轴以下的部分关于x 轴作对称图形，得到y ＝|x 2－5x ＋4|的图像，如图①所示(实线部分).(2)y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数的图像可由y ＝1x 的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图②所示.考点二函数图像的辨识1.函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x2在[－π，π]的图像大致为()答案D 解析∵f (－x )＝sin （－x ）－xcos （－x ）＋（－x ）2＝－f (x )，且x ∈[－π，π]，∴f (x )为奇函数，排除A.当x＝π时，f(π)＝π－1＋π2>0，排除B，C，只有D满足.2.已知函数f(x)，x≥0，x<0，g(x)＝－f(－x)，则函数g(x)的图像是()答案D解析法一当x>0时，－x<0，所以g(x)＝－f(－x)＝1 x，当x≤0时，－x≥0，g(x)＝－x2，从而根据函数的取值正负情况可知D正确.法二也可先画出f(x)的图像，再关于原点对称得g(x)的图像.3.已知函数f(x)x，x≤1，13x，x>1，则函数y＝f(1－x)的大致图像是()答案D解析法一先画出函数f(x)x，x≤1，13x，x>1的草图，令函数f(x)的图像关于y轴对称，得函数f(－x)的图像，再把所得的函数f(－x)的图像，向右平移1个单位，得到函数y＝f(1－x)的图像(图略)，故选D.法二由已知函数f(x)的解析式，得y＝f(1－x)1－x，x≥0，log13（1－x），x<0，故该函数过点(0，3)，排除A；过点(1，1)，排除B；在(－∞，0)上单调递增，排除C.4.(2021·浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋14，g(x)＝sin x，则图像如图的函数可能是()A.y＝f(x)＋g(x)－14B.y＝f(x)－g(x)－14C.y＝f(x)g(x)D.y＝g（x）f（x）答案D解析易知函数f(x)＝x2＋14是偶函数，g(x)＝sin x是奇函数，给出的图像对应的函数是奇函数.选项A，y＝f(x)＋g(x)－14＝x2＋sin x为非奇非偶函数，不符合题意，排除A；选项B，y＝f(x)－g(x)－14＝x2－sin x也为非奇非偶函数，不符合题意，排除B；因为当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，且f(x)>0，当x 0，π2g(x)单调递增，且g(x)>0，所以y＝f(x)g(x)0，π2上单调递增，由图像可知所求函数0，π4上不单调，排除C.故选D.感悟提升 1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；(3)从周期性，判断图像的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图像的对称性.2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.考点三函数图像的应用角度1研究函数的性质例2已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A.f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B.f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C.f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1)D.f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)答案C解析将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图像，如图，观察图像可知，函数f (x )的图像关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上是递减的.角度2在不等式中的应用例3(1)若函数f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，则f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c的大小关系为________.(2)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x<0的解集为________.答案(1)f （c ）c >f （b ）b >f （a ）a(2)(－1，0)∪(0，1)解析(1)由题意可得，f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c分别看作函数f (x )＝log 2(x ＋1)图像上的点(a ，f (a ))，(b ，f (b ))，(c ，f (c ))与原点连线的斜率.结合图像可知，当a >b >c >0时，f （a ）a <f （b ）b <f （c ）c .(2)因为f (x )为奇函数，所以不等式f （x ）－f （－x ）x <0可化为f （x ）x<0，即xf (x )<0，f (x )的大致图像如图所示，所以原不等式的解集为(－1，0)∪(0，1).角度3求参数的取值范围例4(1)(2022·洛阳模拟)已知f (x )x |，x ≤1，2＋4x －2，x >1，若关于x 的方程a ＝f (x )恰有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是()[1，2)[1，2)C.(1，2)D.[1，2)(2)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________.答案(1)B(2)(0，1)∪(9，＋∞)解析(1)关于x 的方程a ＝f (x )恰有两个不同的实根，即f (x )的图像与直线y＝a 恰有两个不同的交点，作出f (x )的图像如图所示.由图像可得a[1，2).(2)设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|.在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图像如图所示.由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图像有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以＝－x 2－3x ，＝a （1－x ）(－3<x <0)有两组不同解.消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，该方程有两个不等实根x 1，x 2，＝（3－a ）2－4a >0，3<a －32<0，3）2＋（3－a ）×（－3）＋a >0，2＋（3－a ）×0＋a >0，∴0<a <1.＝x 2＋3x ，＝a （x －1）(x >1)有两组不同解.消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两不等实根x 3，x 4，∴Δ＝a 2－10a ＋9>0，又∵x 3＋x 4＝a －3>2，x 3x 4＝a >1，∴a >9.综上可知，0<a <1或a >9.感悟提升1.利用函数的图像研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图像的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图像研究，但一定要注意性质与图像特征的对应关系.2.利用函数的图像可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图像交点的横坐标；不等式f (x )<g (x )的解集是函数f (x )的图像位于g (x )图像下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想.训练2(1)(2021·唐山模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若f (x )>g (x )恒成立，则实数k 的取值范围是________.(2)已知函数y ＝f (x )的图像是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f (x )>f (－x )－2x 的解集是______.(3)已知f (x )x |，x >0，|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是______.答案(1)－1(2)(－1，0)∪(1，2](3)5解析(1)如图作出函数f (x )的图像，当－1≤k <12时，g (x )的图像恒在f (x )下方.(2)由图像可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )>－x .在同一平面直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图像，由图像可知不等式的解集为(－1，0)∪(1，2].(3)方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图像，由图像知y ＝f (x )与y ＝12有2个交点，y ＝f (x )与y ＝1有3个交点，故零点的个数为5.1.在2h 内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q 随时间t 变化的图像是()答案B解析依题意知，在2h 内血液中药物含量Q 持续增加，停止注射后，Q 呈指数衰减，图像B 适合.2.(2022·河南名校联考)函数f (x )＝x cos x ＋sin x x 2＋1的部分图像大致为()答案A 解析因为f (x )＝x cos x ＋sin xx 2＋1，所以f (－x )＝－x cos （－x ）＋sin （－x ）（－x ）2＋1＝－x cos x＋sin xx2＋1＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除选项C，D；又当x f(x)>0，所以排除B.选A.3.若函数f(x)＝a x－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝log a(|x|－1)的图像可能是()答案D解析由f(x)在R上是减函数，知0<a<1.又y＝log a(|x|－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x>1时，y＝log a(x－1)的图像由y＝log a x的图像向右平移一个单位得到.因此D正确.4.下列函数中，其图像与函数y＝ln x的图像关于直线x＝1对称的是()A.y＝ln(1－x)B.y＝ln(2－x)C.y＝ln(1＋x)D.y＝ln(2＋x)答案B解析法一设所求函数图像上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图像上，所以y＝ln(2－x).法二由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y＝ln x的图像上也在所求函数的图像上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.5.(2021·郑州模拟)已知函数f(x)＝－x＋1＋log2x，则不等式f(x)<0的解集是()A.(0，2)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(1，2)D.(0，1)∪(2，＋∞)答案D解析函数f (x )＝－x ＋1＋log 2x 的定义域为(0，＋∞)，且f (1)＝f (2)＝0，由f (x )<0可得log 2x <x －1，作出函数y ＝log 2x 与函数y ＝x －1的图像如图所示.则函数y ＝log 2x 与函数y ＝x －1图像的两个交点的坐标为(1，0)，(2，1)，由图像可知，不等式log 2x <x －1的解集为(0，1)∪(2，＋∞).故选D.6.(2022·大庆模拟)我们从某公司的商标中抽象出一个图像，如图所示.其对应的函数解析式可能是()A.f (x )＝1x 2－1B.f (x )＝1x 2＋1C.f (x )＝1|x －1|D.f (x )＝1||x |－1|答案D解析由题图可知，f (x )为偶函数，故C 错误；又f (x )>0恒成立，对于A ，f (x )＝1x 2－1>0不恒成立，故A 错误；由图知f (x )在x ＝－1和x ＝1处无定义，故B 错误.故选D.7.已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2.当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )()A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值答案C解析如图，画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图像，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x).综上可知，y＝h(x)的图像是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值.8.若函数y＝f(x)的图像恒过点(2，2)，则函数y＝f(5－x)的图像一定经过点________.答案(3，2)解析∵f(5－x)的图像可以看作y＝f(x)的图像先关于y轴对称，再向右平移5个单位长度得到，点(2，2)关于y轴对称的点(－2，2)，再将此点向右平移5个单位长度为(3，2)，∴y＝f(5－x)的图像一定过点(3，2).9.已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围是________.答案{－1}∪(0，＋∞)解析在同一平面直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图像和直线y＝m，可知当m>0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图像有两个交点，即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点.10.已知函数f(x)在R上单调且其部分图像如图所示，若不等式－2<f(x＋t)<4的解集为(－1，2)，则实数t的值为________.答案1解析由图像可知不等式－2<f(x＋t)<4，即f(3)<f(x＋t)<f(0).又y＝f(x)在R上单调递减，∴0<x＋t<3，不等式解集为(－t，3－t).依题意，得t＝1.11.(2021·兰州质检)设函数y＝f(x)的图像与y＋a的图像关于直线y＝x对称，且f(3)＋4，则实数a＝________.答案－2解析设(x，y)是y＝f(x)图像上任意一点，则(y，x)在函数y＋a的图像上，所以x＋a，则y＝log13x－a.因此f(x)＝log13x－a.由f(3)＋4，得－1＋1－2a＝4，所以a＝－2.12.(2022·哈尔滨模拟)若函数f(x)2＋1，x<1，，x≥1的值域是(a，＋∞)，则a的取值范围是________.答案2 3，解析画出函数f(x)2＋1，x<1，，x≥1的图像，如图所示.f(x)＝x2＋1(x<1)的值域是[1，＋∞)，f(x)＝a(x≥1)，a＋13，要使函数f (x )的值域是(a ，＋∞)，＋13≥1，<1，解得23≤a <1，所以a 的取值范围是23，13.若直角坐标系内A ，B 两点满足：(1)点A ，B 都在f (x )的图像上；(2)点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ，B )是函数f (x )的一个“和谐点对”，(A ，B )与(B ，A )可看作一个“和谐点对”.已知函数f (x )2x （x <0），（x ≥0），则f (x )的“和谐点对”有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案B解析作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图像关于原点对称的图像(如图中的虚线部分)，看它与函数y ＝2e x (x ≥0)的图像的交点个数即可，观察图像可得交点个数为2，即f (x )的“和谐点对”有2个.14.(2021·上海卷)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，下列是f (x )无最大值的充分条件的是()A.f (x )为偶函数且图像关于点(1，1)对称B.f (x )为偶函数且图像关于直线x ＝1对称C.f (x )为奇函数且图像关于点(1，1)对称D.f (x )为奇函数且图像关于直线x ＝1对称答案C解析选项A ，B ，D 的反例如图1，2，3所示，故选项A ，B ，D 错误；对于选项C ，∵f (x )为奇函数且图像关于点(1，1)对称，∴f (x )＋f (－x )＝0，f (2＋x )＋f (－x )＝2，∴f (2＋x )－f (x )＝2，∴f (2k ＋x )＝f (x )＋2k ，k ∈Z ，又f (0)＝0，∴f (2k )＝2k ，k ∈Z ，当k →＋∞时，f (2k )＝2k →＋∞，∴函数f (x )无最大值，故选C.15.已知函数f (x )πx ，0≤x ≤1，2022x ，x >1，若实数a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________.答案(2，2023)解析函数f (x )πx ，0≤x ≤1，2022x ，x >1的图像如图所示，不妨令a <b <c ，由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1，而1<c <2022，所以2<a ＋b ＋c <2023.16.已知函数g (x )－1|，h (x )＝cos πx ，当x ∈(－2，4)时，函数g (x )与h (x )的交点横坐标分别记为x i (i ＝1，2，…，n )，则∑ni ＝1x i 等于________.答案7解析易知g (x )－1|的图像关于直线x ＝1对称，h (x )＝cos πx 的图像关于直线x ＝1对称.作出两个函数的图像，如图所示.根据图像知，两函数有7个交点，其中一个点的横坐标为x ＝1，另外6个交点关于直线x ＝1对称，因此∑7i ＝1x i ＝3×2＋1＝7.。

届数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第7节函数的图象教学案含解析

第7节函数的图象考试要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.知识梳理1。

利用描点法作函数的图象步骤：(1）确定函数的定义域；(2）化简函数解析式；（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线。

2.利用图象变换法作函数的图象（1)平移变换（2)对称变换y＝f（x)的图象错误!y＝－f（x）的图象;y＝f（x）的图象错误!y＝f（－x)的图象；y＝f（x）的图象错误!y＝－f（－x)的图象；y＝a x（a>0，且a≠1）的图象错误!y＝log a x(a〉0,且a≠1)的图象. (3)伸缩变换y＝f（x)错误!y＝f（ax).y＝f（x)错误!y＝Af(x)。

（4）翻折变换y＝f(x)的图象错误!y＝|f（x)｜的图象；y＝f(x)的图象错误!y＝f（|x|)的图象.[常用结论与微点提醒］1.记住几个重要结论(1）函数y＝f(x）与y＝f（2a－x)的图象关于直线x＝a对称。

（2）函数y＝f(x)与y＝2b－f（2a－x）的图象关于点(a，b）中心对称.（3)若函数y＝f（x）对定义域内任意自变量x满足：f（a＋x）＝f(a－x),则函数y＝f（x)的图象关于直线x＝a对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于．．．x．而言,如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.3。

图象的上下平移仅仅是相对于．．．y．而言的，利用“上减下加”进行。

诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√"或“×”）(1）当x∈（0，＋∞）时，函数y＝｜f(x）｜与y＝f（|x｜)的图象相同.（）（2)函数y＝af(x)与y＝f(ax）（a〉0且a≠1）的图象相同.（）(3)函数y＝f(x)与y＝－f（x)的图象关于原点对称.(）（4)若函数y＝f(x）满足f(1＋x)＝f（1－x)，则函数f（x)的图象关于直线x＝1对称。

高中数学函数图像教案

高中数学函数图像教案目标：通过本课，学生将能够理解并绘制各种函数的图像，同时掌握如何根据函数的公式来分析图像。

教学目标：1. 理解函数的概念和特点。

2. 掌握绘制常见函数的图像方法。

3. 掌握如何根据函数的公式来分析图像。

教学内容：1. 函数的概念和特点。

2. 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的图像。

教学步骤：1. 引入（5分钟）教师简要介绍函数的概念和特点，并说明函数图像在数学中的重要性。

引导学生思考函数与图像之间的关系。

2. 理论讲解（15分钟）教师结合幻灯片或板书，依次介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的基本特点和图像形状，并讲解如何根据函数的公式来绘制图像。

3. 实例分析（20分钟）教师以具体的函数公式为例，引导学生一起分析函数图像的形状和特点，同时让学生尝试使用工具绘制函数图像。

4. 练习与讨论（15分钟）学生进行课堂练习，绘制不同函数的图像，并在小组讨论中互相交流分析。

教师鼓励学生积极思考和提问，引导他们深入理解函数图像的形成过程。

5. 总结（5分钟）教师对本课进行总结，强调函数图像的重要性和应用，并鼓励学生在以后的学习中继续深入探索函数图像的相关知识。

扩展活动：1. 给学生布置相关练习或作业，提醒他们在课后进行巩固和复习。

2. 鼓励学生利用在线数学工具或软件，进一步绘制和分析函数图像。

3. 组织相关竞赛或活动，鼓励学生展示自己的绘图技巧和分析能力。

评估方法：1. 课堂讨论及作业表现。

2. 学生绘制的函数图像准确度和完整程度。

3. 学生对函数图像理解和分析的能力。

反馈与调整：根据学生的学习表现和反馈情况，及时调整教学方法和内容，以达到更好的教学效果。

同时鼓励学生积极参与，提出问题和建议，共同促进教学质量的提升。

高中数学函数图像讲解教案

高中数学函数图像讲解教案教学目标：1. 了解函数的概念和图像表示方法；2. 掌握常见函数的图像特征和性质；3. 能够通过图像分析函数的特点和变化规律。

教学内容：1. 函数的概念和符号表示；2. 常见函数的图像特征和性质，包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等；3. 函数图像的绘制方法和分析技巧。

教学步骤：第一步：引入函数的概念和图像表示方法（10分钟）1. 引导学生回顾函数的定义，并解释函数图像表示的含义；2. 通过例题展示不同函数图像的形状和特征；3. 引导学生思考函数图像与函数性质之间的关系。

第二步：学习常见函数的图像特征和性质（20分钟）1. 分别介绍线性函数、二次函数、指数函数、对数函数的图像特征和性质；2. 通过图像展示和实例分析，让学生理解函数图像的变化规律；3. 引导学生思考函数图像的对称性、趋势和特殊点。

第三步：掌握函数图像的绘制方法和分析技巧（20分钟）1. 讲解函数图像的绘制步骤和注意事项；2. 通过实例演练，指导学生如何根据函数表达式绘制函数图像；3. 强调函数图像对函数性质和变化规律的反映，培养学生分析函数图像的能力。

第四步：综合训练和小结（10分钟）1. 以综合练习形式，让学生综合运用所学知识分析函数图像；2. 总结函数图像讲解的重点和要点，强化学生对函数图像的理解和应用能力；3. 鼓励学生积极思考和提问，促进学习效果的巩固和提升。

教学反馈：1. 教师及时对学生在练习和讨论中的问题进行指导和解答；2. 鼓励学生互相交流和讨论，促进思想碰撞和知识分享；3. 收集学生的反馈意见和建议，及时调整教学方法和内容，提高教学效果。

教学反思：1. 总结本节课的教学过程和效果，查漏补缺，总结经验教训；2. 分析学生学习情况和反馈意见，调整教学计划和方法，改进教学内容和形式；3. 寻求教学改进的建议和思路，不断提升教学水平和教育质量。

高中数学函数的图像教案

高中数学函数的图像教案教学目标：1.了解数学函数的概念和性质2.掌握如何绘制常见函数的图像3.通过图像分析，掌握函数的特点和规律教学过程：一、导入环节（5分钟）：1.引入函数概念：什么是函数？函数的自变量和因变量分别代表什么意义？2.回顾基本函数：线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等常见函数的表达式和特点。

二、拓展练习（15分钟）：1.让学生通过计算绘制简单函数的图像，如y=x，y=x^2，y=2^x等。

2.引导学生观察图像特征，比较不同函数之间的差异和规律。

三、探究与讨论（20分钟）：1.通过交流讨论，探索函数图像的对称性、单调性、最值、零点等特点。

2.引导学生思考函数图像与函数表达式之间的关系，如何通过图像分析函数性质。

四、综合应用（10分钟）：1.设计探究问题：给出一个函数的图像，要求学生根据图像特征写出函数表达式并分析函数性质。

2.让学生在小组内合作讨论，提高分析和解决问题的能力。

五、总结反思（5分钟）：1.总结本节课学习到的函数图像特点和分析方法。

2.帮助学生提出自己的疑惑和思考，引导他们如何进一步深入学习和应用函数知识。

教学反馈：1.检查学生课堂互动情况，了解学生对函数图像的理解和掌握程度。

2.根据学生表现和反馈情况，调整教学策略，针对性地进行知识巩固和强化训练。

拓展延伸：1.引导学生自主探索更多函数的图像，挖掘数学函数的更多奥秘和规律。

2.鼓励学生开展实际问题求解，提高数学应用能力和创新意识。

注：以上教案仅为范本，具体实施时可根据教学实际情况和学生特点进行调整和改进。

高一必修1第二章《函数的概念和图象》教案(1)

第二章函数概念与基本初等函数（Ⅰ）一、知识结构重点：函数及其表示方法；函数的单调性、奇偶性，几类特殊函数的性质及应用；难点：运用函数解决问题：建立数学模型。

第一课时函数的概念和图象（1）学习要求1．理解函数概念；2．了解构成函数的三个要素；3．会求一些简单函数的定义域与值域；4．培养理解抽象概念的能力．自学评价1．函数的定义：设,A B 是两个非空数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，记为(),y f x x A =∈．其中输入值x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域，所有输出值y 的取值集合叫做函数()y f x =的值域。

【精典范例】例1：判断下列对应是否为函数：（1）;,,Z y R x x y y x ∈∈→的最大整数，为不大于其中（2）2,,,x y y x x N y R →=∈∈；（3）x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，{|03}y y y ∈≤≤；（4）16x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，{|03}y y y ∈≤≤．【分析】解本题的关键是抓住函数的定义，在定义的基础上输入一些数字进行验证，当不是函数时，只要列举出一个集合A 中的x 即可．【解】（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）是。

点评:判断一个对应是否是函数，要注意三个关键词：“非空”、“每一个”、“惟一”。

例2：求下列函数的定义域：（1）；24)(++=x x x f （2）131-+--x x ；（3）1()2f x x=-．【解】（1）),2()2,4(+∞--- ；（2）]1,3[-；听课随笔（3）[1,2)(2,)-+∞。

点评: 求函数()y f x =的定义域时通常有以下几种情况：①如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；②如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合； ③如果()f x 为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； ④如果()f x 是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合。

高一数学教案：函数的概念和图象

高一数学教案：函数的概念和图象【】鉴于大伙儿对查字典数学网十分关注，小编在此为大伙儿整理了此文高一数学教案：函数的概念和图象，供大伙儿参考!本文题目：高一数学教案：函数的概念和图象第二章函数概念与差不多初等函数Ⅰ第1课时函数的概念和图象(一)银河学校张西元教学目标：使学生明白得函数的概念，明确决定函数的三个要素，学会求某些函数的定义域，把握判定两个函数是否相同的方法;使学生明白得静与动的辩证关系.教学重点：函数的概念，函数定义域的求法.教学难点：函数概念的明白得.教学过程：Ⅰ.课题导入[师]在初中，我们差不多学习了函数的概念，请同学们回忆一下，它是如何样表述的?(几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启发学生将表述补充完整再条理表述).设在一个变化的过程中有两个变量x和y，假如关于x的每一个值，y 都有惟一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.[师]我们学习了函数的概念，同时具体研究了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，请同学们摸索下面两个问题：问题一：y=1(xR)是函数吗?问题二：y=x与y=x2x 是同一个函数吗?(学生摸索，专门难回答)[师]明显，仅用上述函数概念专门难回答这些问题，因此，需要从新的高度来认识函数概念(板书课题).Ⅱ.讲授新课[师]下面我们先看两个非空集合A、B的元素之间的一些对应关系的例子.在(1)中，对应关系是乘2，即关于集合A中的每一个数n，集合B中都有一个数2n和它对应.在(2)中，对应关系是求平方，即关于集合A中的每一个数m，集合B 中都有一个平方数m2和它对应.在(3)中，对应关系是求倒数，即关于集合A中的每一个数x，集合B 中都有一个数1x 和它对应.请同学们观看3个对应，它们分别是如何样形式的对应呢?[生]一对一、二对一、一对一.[师]这3个对应的共同特点是什么呢?[生甲]关于集合A中的任意一个数，按照某种对应关系，集合B中都有惟一的数和它对应.[师]生甲回答的专门好，不但找到了3个对应的共同特点，还专门强调了对应关系，事实上，一个集合中的数与另一集合中的数的对应是按照一定的关系对应的，这是不能忽略的. 实际上，函数确实是从自变量x的集合到函数值y的集合的一种对应关系.现在我们把函数的概念进一步叙述如下：(板书)设A、B是非空的数集，假如按照某个确定的对应关系f，使关于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f︰AB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，xA其中x叫自变量，x的取值范畴A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y(或f(x))值叫做函数值，函数值的集合{y|y=f(x)，xA}叫函数的值域.一次函数f(x)=ax+b(a0)的定义域是R，值域也是R.关于R中的任意一个数x，在R中都有一个数f(x)=ax+b(a0)和它对应.反比例函数f(x)=kx (k0)的定义域是A={x|x0}，值域是B={f(x)|f(x)0}，关于A中的任意一个实数x，在B中都有一个实数f(x)= kx (k0)和它对应.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的定义域是R，值域是当a0时B={f(x)|f(x) 4ac-b24a };当a0时，B={f(x)|f(x)4ac-b24a }，它使得R中的任意一个数x 与B中的数f(x)=ax2+bx+c(a0)对应.函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就专门容易回答前面所提出的两个问题.y=1(xR)是函数，因为关于实数集R中的任何一个数x，按照对应关系函数值是1，在R中y都有惟一确定的值1与它对应，因此说y是x的函数.Y=x与y=x2x 不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，但y =x的定义域是R，而y=x2x 的定义域是{x|x0}. 因此y=x与y=x2x 不是同一个函数.[师]明白得函数的定义，我们应该注意些什么呢?(教师提出问题，启发、引导学生摸索、讨论，并和学生一起归纳、总结)注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.②符号f:AB表示A到B的一个函数，它有三个要素;定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.③集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性.④f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.⑤f(x)是一个符号，绝对不能明白得为f与x的乘积.[师]在研究函数时，除用符号f(x)表示函数外，还常用g(x) 、F(x)、G(x)等符号来表示Ⅲ.例题分析[例1]求下列函数的定义域.(1)f(x)=1x-2 (2)f(x)=3x+2 (3)f(x)=x+1 +12-x分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.假如只给出解析式y= f(x)，而没有指明它的定义域.那么函数的定义域确实是指能使那个式子有意义的实数x的集合.解：(1)x-20，即x2时，1x-2 有意义那个函数的定义域是{x|x2}(2)3x+20，即x-23 时3x+2 有意义函数y=3x+2 的定义域是[-23 ，+)(3) x+10 x2那个函数的定义域是{x|x{x|x2}=[-1，2)(2，+).注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区间.从上例能够看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情形：(1)假如f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R;(2)假如f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;(3)假如f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合;(4)假如f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集);(5)假如f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.例如：一矩形的宽为x m，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数定义域为x0而不是全体实数.由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定.[师]自变量x在定义域中任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示.例如，函数f(x)=x2+3x+1，当x=2时的函数值是f(2)=22+32+1=1 1注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值.下面我们来看求函数式的值应该如何样进行呢?[生甲]求函数式的值，严格地说是求函数式中自变量x为某一确定的值时函数式的值，因此，求函数式的值，只要把函数式中的x换为相应确定的数(或字母，或式子)进行运算即可.[师]回答正确，只是要准确地求出函数式的值，运算时万万不可粗心大意噢![生乙]判定两个函数是否相同，就看其定义域或对应关系是否完全一致，完全一致时，这两个函数就相同;不完全一致时，这两个函数就不同.[师]生乙的回答完整吗?[生]完整!(课本上确实是如生乙所述那样写的).[师]大伙儿说，判定两个函数是否相同的依据是什么?[生]函数的定义.[师]函数的定义有三个要素：定义域、值域、对应关系，我们判定两个函数是否相同什么缘故只看两个要素：定义域和对应关系，而不看值域呢?(学生窃窃私语：是啊，函数的三个要素不是缺一不可吗?怎不看值域呢?)(无人回答)[师]同学们预习时依旧欠认真，欠摸索!我们做情况，看问题都要多问几个什么缘故!函数的值域是由什么决定的，不确实是由函数的定义域与对应关系决定的吗!关注了函数的定义域与对应关系，三者就全看了!(生豁然爽朗，我们如何就没想到呢?)[例2]求下列函数的值域(1)y=1-2x (xR) (2)y=|x|-1 x{-2，-1，0，1，2}(3)y=x2+4x+3 (-31)分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再依照函数的具体形式及运算确定其值域.关于(1)(2)可用直截了当法依照它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域.关于(3)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即图象法.解：(1)yR(2)y{1，0，-1}(3)画出y=x2+4x+3(-31)的图象，如图所示，当x[-3，1]时，得y[-1，8]Ⅳ.课堂练习课本P24练习17.Ⅴ.课时小结本节课我们学习了函数的定义(包括定义域、值域的概念)、区间的概念及求函数定义域的方法.学习函数定义应注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视.(本小结的内容可由学生自己来归纳)“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。

高一数学教案函数的概念和图象

2.1.1 函数的概念和图象（一）三维目标1．知识与技能（1）能利用集合与对应关系的语言来刻画函数（2）了解函数的定义域及对应法则的含义 2．过程与方法经历函数概念的发生过程，并归纳函数的概念，提高学生解决问题的能力和语言表达能力．3．情感、态度与价值观在探索函数本质的过程中,体会函数是刻画现实世界中的一类运动变化规律的模型,使学生养成运用无限运动、发展、变化的观点认识客观世界的思维习惯．重点难点1．教学重点利用集合与对应关系的语言来刻画函数 2．教学难点对应法则f 的理解教学过程一、创设情境我们生活在这个世界上，每时每刻都在感受其变化．请大家看下面的实例：（1）一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，炮弹距地面高度h （米）随时间t （秒）的变化而变化，其规律是21305h t t =-．（2）近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积随时间变化而变化情况．（3）国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低．从下表中的数据，可以看出“八五”计划以来我们城镇居民的生活质量发生了显著的时间（年） 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 恩格尔系数(%)53.852.850.149.949.948.646.444.541.939.237.9二、讲解新课问题1：在上面的每一个变化过程中，存在哪些变化的量？这些变化过程有什么共同的特点？问题2：在上面的例子中，是否确定了函数关系？为什么？问题3：如何用集合的观点来理解函数的概念？每一个问题均涉及两个非空数集A 、B 的关系．存在某种对应法则f ，对于A 中的某个元素x ，B 中总有一个元素y 与之对应．问题4：如何理解对应法则f问题5．如何用集合的观点来表述函数的概念？给出函数的定义．指出对应法则和定义域是构成一个函数的要素．一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数(f un c tion)，通常记为y＝f (x)，x ∈A．其中，所有的输入值x 组成的集合A叫做函数y＝f (x)的定义域(d om a in)．函数的近代定义：集合语言、对应的观点．在掌握函数时，必须把握以下几点：A→，集合A，B是非空的数的集合．（1）函数是一种特殊的对应f：B（2）对应法则的方向是从A到B．（3）特别注意“非空”、“数集”、“每一个”、“惟一”这几个关键词．例1 判断下列对应是否为集合A到B的函数：（1）A＝｛1，2，3，4，5｝，B＝｛0，2，4，6，8｝，x∈A，f：x→2x；（2）A＝R，B＝R，x∈A，f：x→y，y＝x；（3）A＝[0，＋∞)，B＝R，x∈A，f：x→y，y2＝x．解（1）对于集合A中的元素5，在集合B找不到中所对应的元素10，故这个对应不是从集合A到B的函数；（2）对于任意一个实数x，x被x惟一确定，所以这个对应是从集合A到B的函数，这个函数也可以表示为f (x)＝x；（3）考虑输入值为4，即当x＝4 时输出值y，由y2＝4给出，得y＝2和y＝－2．这里一个输入值与两个输入值对应（不是单值对应），所以，x→y（y2＝x）不是函数．研究函数时，除了符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号表示．例2 已知函数f(x)=3x2-5x+2，求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)．分析求x分别等于3、-2、a、a+1时函数f(x)的值．解f(3)=3×32-5×3+2=14，f(-2)=3×(-2)2-5×(-2)+2=8+52，f(a)=3a2-5a+2，f(a+1)=3(a+1)2-5(a+1)+2=3a2+a．说明：区别符号f(x)和f(a)，f(a)表示x＝a时函数f(x)的值，而f(x)是一个函数．三、课堂小结1．函数的集合观点的概念及其与初中的定义的区别.2．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的抽象的数学表示，f是对应法则，它可以是解析式，也可以是图象、表格．四、课后作业（1）P24练习Ex 5，6；P28习题1，2，5．函数的概念和图象（二）三维目标1．知识与技能（1）进一步加深对函数概念的理解；（2）掌握同一函数的标准；（3）了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域． 2．过程与方法经历求函数定义域及值域的过程，提高学生解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观培养学生勇于探索，善于探究的精神，从而激发学生的主体意识，培养学生良好的数学学习品质。

北师大版高中数学必修一教案第二章函数的概念

第二章函数§2.1函数的概念教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）在上一小节学习的基础上理解用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一．引入课题复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想。

思考: (1) y=1(x ∈R)是函数吗？(2) y=x 与y= 是同一函数吗？几百年来，随着数学的发展，对函数概念的理解不断深入，对函数概念的描述越来越清晰。

现在，我们从集合的观点出发，还可以给出以下的函数定义。

（先认识几个对应）二．新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．注意：○1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，是一个数，而不是f 乘以x ．③ 两个函数相同必须是它们的定义域和对应关系分别完全相同.④有时给出的函数没有明确说明定义域,这时它的定义域就是自变量的允许取值范围.2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；2x x说明：① 对于[]b ,a ，()b ,a ，[)b a ，，(]b ,a 都称数a 和数b 为区间的端点，其中a 为左端点，b 为右端点，称b-a 为区间长度；② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：不等式表示法：3<x<7（一般不用）；集合表示法：{}7x 3x <<；区间表示法：()73，；③ 在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；④ 实数集R 也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足x ≥a, x>a, x ≤b, x<b 的实数x 的集合分别表示为[a,+∞]、（a,+∞）、(-∞,b)、(-∞,b)。

高考数学大一轮复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ第7课函数的奇偶性文

第7课函数的奇偶性(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修1P43练习6改编)函数f (x )=42-1(-1)x x x 是函数.(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”) 【答案】奇【解析】由题知定义域{x|x ∈R ，且x ≠0，x ≠±1}关于原点对称，且f (-x )=-f (x )，所以f (x )为奇函数.2.(必修1P94习题28改编)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，f (x )=2x-3，则f (-2)= . 【答案】-1【解析】f (-2)=-f (2)=-1.3.(必修1P55习题8改编)若函数f (x )=(x+a )(x-4)为偶函数，则实数a= . 【答案】4【解析】因为函数f (x )=(x+a )(x-4)为偶函数，所以f (-x )=f (x )，由f (x )=(x+a )(x-4)=x 2+(a-4)x-4a ，得x 2-(a-4)x-4a=x 2+(a-4)x-4a ，即a-4=0，a=4.4.(必修1P43习题4改编)已知函数f (x )=4x 2+bx+3a+b 是偶函数，其定义域为[a-6，2a ]，则点(a ，b )的坐标为 . 【答案】(2，0)【解析】因为f (x )为偶函数且定义域为[a-6，2a ]，所以0-(-6)2b a a =⎧⎨=⎩，，即02b a =⎧⎨=⎩，，故点(a ，b )的坐标为(2，0).5.(必修1P111复习题17改编)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞)上是增函数，f(1)=2，则不等式f(lg x)>2的解集为.【答案】110⎛⎫⎪⎝⎭，∪(10，+∞)【解析】因为f(x)为偶函数，所以由f(lg x)>2⇔f(|lg x|)>2=f(1)，又因为f(x)在[0，+∞)上是增函数，所以|lg x|>1，所以0<x<110或x>10，故不等式f(lg x)>2的解集为110⎛⎫⎪⎝⎭，∪(10，+∞).1.奇、偶函数的定义对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)+f(x)=0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)(或f(-x)-f(x)=0)，则称f(x)为偶函数.2.奇、偶函数的性质(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0.(4)定义在(-∞，+∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和. 【要点导学】要点导学各个击破函数奇偶性的判定例1 判断下列各函数的奇偶性.(1)f (x )=32--1x x x ；(2)f (x )(3)f (x )=|x+2|-|x-2|；(4)f (x )=220-0.x x x x x x ⎧+<⎨>⎩，，，【思维引导】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，解析式带绝对值符号的，要利用绝对值的意义判断f (-x )与f (x )的关系，分段函数应分情况判断.【解答】(1)定义域是{x|x ≠1}，不关于原点对称，所以f (x )是非奇非偶函数. (2)定义域是{-1，1}，f (x )=0，所以f (x )既是奇函数又是偶函数.(3)定义域是R ，f (-x )=|-x+2|-|-x-2|=-(|x+2|-|x-2|)=-f (x )，所以f (x )是奇函数. (4)当x<0时，-x>0，则f (-x )=(-x )2-(-x )=x 2+x=f (x )；当x>0时，-x<0，则f (-x )=(-x )2+(-x )=x 2-x=f (x ).综上所述，对任意的x ∈(-∞，0)∪(0，+∞)，都有f (-x )=f (x )，所以f (x )为偶函数. 【精要点评】利用定义判断函数奇偶性的步骤： (1)首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称. (2)确定f (-x )与f (x )的关系.(3)作出相应结论：若f (-x )=f (x )或f (-x )-f (x )=0，则f (x )是偶函数；若f (-x )=-f (x )或f (-x )+f (x )=0，则f (x )是奇函数.变式求证：函数f(x)=x112-12x⎛⎫+⎪⎝⎭+a(其中a为常数)为偶函数.【解答】易知此函数的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称.因为f(-x)=-x-112-12x⎛⎫+⎪⎝⎭+a=x212-12xx⎛⎫-⎪⎝⎭+a=x2-111-2-12xx⎛⎫+⎪⎝⎭+a=x112-12x⎛⎫+⎪⎝⎭+a=f(x)，所以f(x)=x112-12x⎛⎫+⎪⎝⎭+a为偶函数.【精要点评】函数奇偶性的证明与函数奇偶性的判断的区别在于我们已经知道函数具有奇偶性，从而有了解决问题的方向，只是在对式子的变形上可能要下一定的功夫，特别是对于抽象函数我们还是要牢牢抓住奇偶性的定义找到解决问题的突破口.函数奇偶性的应用例2(1)已知函数f(x)是定义在(-∞，+∞)上的偶函数.当x∈(-∞，0)时，f(x)=x-x4，则当x∈(0，+∞)时，f(x)= .(2)(2014·湖南卷改编)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，则f(1)= ，g(1)= .【思维引导】(1)要求f(x)在(0，+∞)上的表达式，由于已知f(x)在(-∞，0)上的表达式，因此解答本题可先设x∈(0，+∞)，然后将它转化到已知解析式的区间(-∞，0)上，最后利用函数的奇偶性定义即可得出结论.(2)先利用函数的奇偶性，确定f(x)和g(x)的解析式，然后代值计算.【答案】 (1)-x-x4(2)2-1【解析】(1)当x∈(0，+∞)时，有-x∈(-∞，0)，注意到函数f(x)是定义在(-∞，+∞)上的偶函数，于是有f(x)=f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4.(2)由题意得f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1，因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(x)+g(x)=-x3+x2+1，联结f(x)-g(x)=x3+x2+1，解得f(x)=x2+1，g(x)=-x3，所以f(1)=2，g(1)=-1.【精要点评】(1)解决本题第(1)问的关键是利用偶函数的关系式f(-x)=f(x)成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量x，然后把x转化为-x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当的推导，求出所求区间上的解析式.(2)本题第(2)问也可以直接用赋值法解决，即赋值x=±1，然后利用奇偶性化归为关于f(1)和g(1)的方程组，进行求解.变式(1)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)= .(2)已知f(x)=223pxx q++是奇函数，且f(2)=53，那么p= ，q= .【答案】 (1)-3(2)20【解析】(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=20+2×0+b=0，解得b=-1，故当x≥0时，f(x)=2x+2x-1，所以f(-1)=-f(1)=-(2+2×1-1)=-3.(2)因为f(x)是奇函数，所以f(-x)+f(x)=0，即22-3pxx q+++223pxx q++=0，得q=0.又由f(2)=53，得426p+=53，解得p=2.函数奇偶性与单调性的综合应用微课2● 问题提出奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.抽象函数中的不等式问题，核心是去掉抽象函数中的符号“f”，除了画出草图利用数形结合思想求解外，本质是利用奇偶性和单调性.那么，求解此类问题的解题模板是怎样的?● 典型示例例3 已知函数f (x )是定义在R 上的单调函数，且对任意的实数a ∈R ，f (-a )+f (a )=0恒成立，若f (-3)=2.(1)试判断函数f (x )在R 上的单调性，并说明理由；(2)解关于x 的不等式：f-m x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+f (m )<0，其中m ∈R 且m>0. 【思维导图】【规范解答】(1)函数f (x )为R 上的减函数.理由如下：由题知f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)=0，又因为f (x )是R 上的单调函数，由f (-3)=2，f (0)<f (-3)，知f (x )为R 上的减函数.(2)由f -m x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+f (m )<0，得f-m x x ⎛⎫⎪⎝⎭<-f (m )=f (-m )，结合(1)得-m x x >-m ，整理得(1-)-m x mx <0. 当m>1时，不等式的解集为|01-m x x x m ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或；当m=1时，不等式的解集为{x|x>0}；当0<m<1时，不等式的解集为|01-m x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【精要点评】利用函数的单调性解函数不等式要特别注意必须考虑函数的定义域，进而结合函数单调性去求不等式的解集.● 总结归纳奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性，因此，若函数具有奇偶性，研究单调性、最值或作图象等问题时，只需在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称性可得.● 题组强化1.(2014·江苏压题卷)若奇函数f (x )在(0，+∞)上单调递减，且f (2)=0，则不等式3(-)-2()5f x f x x ≤0的解集为.(第1题)【答案】[-2，0)∪(0，2]【解析】根据已知条件可画出f (x )的草图如图所示.不等式3(-)-2()5f x f x x ≤0⇔()f x x ≥0，即0()0x f x >⎧⎨≥⎩，或0()0.x f x <⎧⎨≤⎩，由图可知不等式的解集为[-2，0)∪(0，2].2.(2015·全国卷)设函数f (x )=ln(1+|x|)-211x +，则使得f (x )>f (2x-1)成立的x 的取值范围是 .【答案】113⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】由f (x )=ln(1+|x|)-211x +可知f (x )是偶函数，且在[0，+∞)是增函数，所以f (x )>f (2x-1)⇔f (|x|)>f (|2x-1|)⇔|x|>|2x-1|⇔13<x<1.3.已知偶函数f (x )在[0，+∞)上是增函数，如果f (ax+1)≤f (x-2)在x ∈112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数a 的取值范围.【解答】由于f (x )为偶函数，且在[0，+∞)上为增函数，则在(-∞，0]上为减函数. 由f (ax+1)≤f (x-2)，知|ax+1|≤|x-2|.又x ∈112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故|x-2|=2-x ，即x-2≤ax+1≤2-x. 故x-3≤ax ≤1-x ，1-3x ≤a ≤1x -1在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立.由于min 1-1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0，max 31-x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-2，故-2≤a ≤0，即实数a 的取值范围为[-2，0].4.已知奇函数f (x )是定义在(-3，3)上的减函数，且满足不等式f (x-3)+f (x 2-3)<0，求x 的取值范围.【解答】由题知2-3-33-3-33x x <<⎧⎨<<⎩，，解得0600x x x <<⎧⎪⎨<<<⎪⎩，或故0<x<因为f (x )是奇函数，所以f (x-3)<-f (x 2-3)=f (3-x 2)，又f (x )在(-3，3)上是减函数，所以x-3>3-x 2，即x 2+x-6>0，解得x>2或x<-3. 综上，2x 的取值范围是{x|2.1.(2015·北京卷改编)已知下列函数：①y=x 2sin x ；②y=x 2cos x ；③y=|ln x|；④y=2-x.其中为偶函数的是 .(填序号) 【答案】②【解析】根据奇偶性的定义知①为奇函数，②为偶函数，③的定义域为(0，+∞)，故③不具有奇偶性，④既不是奇函数，也不是偶函数.2.(2015·南通模拟)已知函数f(x)=·2-221xxa a++(x∈R)是奇函数，那么实数a= .【答案】1【解析】因为f(x)=·2-221xxa a++(x∈R)是奇函数，因此f(0)=0，解得a=1.3.(2016·苏州期中)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=2x-x2，则f(-1)+f(0)+f(3)= .【答案】-2【解析】由题意知，f(0)=0，f(-1)=-f(1)，又因为当x>0时，f(x)=2x-x2，所以f(-1)+f(0)+f(3)=-f(1)+0+f(3)=-21+12+23-32=-2.4.(2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1 (m为实数)为偶函数，记a=f(log0.53)，b=f(log25)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为.【答案】c<a<b【解析】因为函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数，所以m=0，即f(x)=2|x|-1，所以a=f(log0.53)=f21log3⎛⎫⎪⎝⎭=21log32-1=2log32-1=3-1=2，b=f(log25)=2log52-1=4，c=f(2m)=f(0)=20-1=0.所以c<a<b.5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞)上为增函数，若f(1-a)+f(-2a)<0，求实数a的取值范围.【解答】因为f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞)上为增函数，所以f(x)在R上为增函数. 又f(1-a)+f(-2a)<0，所以f(1-a)<-f(-2a)=f(2a).所以1-a<2a，即a>1 3.所以实数a的取值范围为13∞⎛⎫+⎪⎝⎭，.【融会贯通】融会贯通能力提升已知函数f(x)的定义域D={x|x≠0}，且满足对于任意的x1，x2∈D，有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)如果f(4)=1，f(3x+1)+f(2x-6)≤3，且f(x)在(0，+∞)上是增函数，求x的取值范围.【思维引导】【规范解答】(1)令x1=x2=1，得f(1×1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0.……………………………………………………………2分(2)f(x)为偶函数.证明如下：…………………………………………………………………4分令x1=x2=-1，得f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1)，解得f(-1)=0.令x1=-1，x2=x，有f(-x)=f(-1)+f(x)，所以f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数.…………………………7分(3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2，f (16×4)=f (16)+f (4)=3.…………………………………………………………………………9分将f (3x+1)+f (2x-6)≤3，变形为f [(3x+1)(2x-6)]≤f (64).(*) 因为f (x )为偶函数，所以f (-x )=f (x )=f (|x|). 所以不等式(*)等价于f [|(3x+1)(2x-6)|]≤f (64).………………11分又因为f (x )在(0，+∞)上是增函数，所以|(3x+1)(2x-6)|≤64，且(3x+1)(2x-6)≠0，解得-73≤x<-13或-13<x<3或3<x ≤5.所以x 的取值范围是711---335333x x x x ⎧⎫≤<<<<≤⎨⎬⎩⎭或或.………………………………14分【精要点评】抽象函数的奇偶性就是要判断-x 对应的函数值与x 对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y 轴对称.在利用单调性解决抽象不等式时，不仅要注意单调性的应用，还要注意定义域的限制，以保证转化的等价性.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第13~14页.【检测与评估】第7课函数的奇偶性一、填空题1.(2015·湖南卷改编)设函数f (x )=ln(1+x )-ln(1-x )，则f (x )的奇偶性是 .2.(2015·全国卷)若函数f(x)=x ln(x为偶函数，则实数a= .3.(2015·淮安中学)已知函数f(x)=a+x)+bx3+x2，其中a，b为常数，f(1)=3，则f(-1)= .4.已知a为常数，函数f(x)=x2-4x+3.若f(x+a)为偶函数，则a= .5.(2014·福建三明)设f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数，且f(1)>1，f(2 015)=2-31aa+，则实数a的取值范围是.6.已知g(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)=-ln(1-x)，函数f(x)=30()0. x xg x x⎧≤⎨>⎩，，，若f(2-x2)>f(x)，则实数x的取值范围是.7.(2015·启东联考)若函数f(x)同时满足：(1)对于定义域上的任意x，恒有f(x)+f(-x)=0；(2)对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有1212()-()-f x f xx x<0，则称函数f(x)为“理想函数”.给出下列四个函数中：①f(x)=1x；②f(x)=x2；③f(x)=2-121xx+；④f(x)=22-0x xx x⎧≥⎨<⎩，，，，能被称为“理想函数”的有.(填序号)8.(2014·南京、盐城一模)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增.如果实数t满足f(ln t)+f1lnt⎛⎫⎪⎝⎭≤2f(1)，那么t的取值范围是.二、解答题9.已知函数f (x )=x 2+a x (x ≠0，常数a ∈R ).(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，+∞)上为增函数，求实数a 的取值范围.10.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(-∞，0)时，f (x )=-x lg(2-x )，求函数f (x )的解析式.11.设函数f (x )的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意的x ∈M(M ⊆D)，有x +l ∈D ，且f (x +l )≥f (x )，则称f (x )为M 上的l 高调函数.(1)如果定义域为[-1，+∞)的函数f (x )=x 2为[-1，+∞)上的m 高调函数，求实数m 的取值范围； (2)如果定义域为R 的函数f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )=|x -a 2|-a 2，且f (x )为R 上的4高调函数，求实数a 的取值范围.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知定义域为R 的函数f (x )=1-222x x b +++是奇函数.(1)求实数b 的值；(2)判断函数f (x )的单调性；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立，求实数k 的取值范围.【检测与评估答案】第7课函数的奇偶性1.奇函数【解析】显然，f (x )的定义域为(-1，1)，关于原点对称.又因为f (-x )=ln(1-x )-ln(1+x )=-f (x )，所以f (x )为奇函数.2.1 【解析】由题知y=ln(是奇函数，所以ln(+ln(-=ln(a+x 2-x 2)=ln a=0，解得a=1.3.-1 【解析】已知函数f (x )=a+x )+bx 3+x 2，所以f (x )+f (-x )=2x 2，由f (1)=3，得f (-1)=-1.4. 2 【解析】f (x+a )=(x+a )2-4(x+a )+3=x 2+(2a-4)x+a 2-4a+3.因为f (x+a )为偶函数，所以a=2.5.2-13⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】因为f (2 015)=f (2)=f (-1)=-f (1)<-1，所以2-31a a +<-1，解得-1<a<23.6. (-2，1) 【解析】设x>0，则-x<0.因为当x<0时，g (x )=-ln(1-x )，所以g (-x )=-ln(1+x ).又因为g (x )是奇函数，所以g (x )=ln(1+x )(x>0)，所以f (x )=30ln(1)0x x x x ⎧≤⎨+>⎩，，，，其图象如图所示.由图象知，函数f (x )在R 上是增函数.因为f (2-x 2)>f (x )，所以2-x 2>x ，即-2<x<1.(第6题)7.④ 【解析】依题意，性质(1)反映函数f (x )在定义域上为奇函数，性质(2)反映函数f (x )在定义域上为单调减函数.①f (x )=1x 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，其单调减区间为(-∞，0)，(0，+∞)，故排除①；②f (x )=x 2为定义域上的偶函数，排除②；③f (x )=2-121x x +，定义域为R ，由于y=2x+1在R 上为增函数，故函数f (x )为R 上的增函数，排除③；④根据f (x )=22-00x x x x ⎧≥⎨<⎩，，，的图象，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故④为理想函数.8.1ee⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】f(ln t)+f1lnt⎛⎫⎪⎝⎭=f(ln t)+f(-ln t)=2f(ln t)，于是f(lnt)+f1lnt⎛⎫⎪⎝⎭≤2f(1)⇔f(ln t)≤f(1)⇔|ln t|≤1⇔-1≤ln t≤1⇔1e≤t≤e.9.(1) 当a=0时，f(x)=x2，对任意x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，所以f(x)为偶函数.当a≠0时，f(x)=x2+ax(x≠0，常数a∈R)，若x=±1，则f(-1)+f(1)=2≠0，所以f(-1)≠-f(1)，f(-1)≠f(1).所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 综上所述，当a=0时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数.(2) 设2≤x1<x2，f(x1)-f(x2)=21x+1ax-22x-2ax=1212-x xx x[x1x2(x1+x2)-a]，要使函数f(x)在x∈[2，+∞)上为增函数，必须f(x1)-f(x2)<0恒成立.因为x1-x2<0，x1x2>4，即a<x1x2(x1+x2)恒成立.又因为x1+x2>4，所以x1x2(x1+x2)>16，所以实数a的取值范围是(-∞，16].10.因为f(x)是R上的奇函数，可得f(0)=-f(0)，所以f(0)=0.当x>0时，-x<0，由已知得f(-x)=x lg(2+x)，所以-f(x)=x lg(2+x)，即f(x)=-x lg(2+x)(x>0).所以f(x)=-lg(2-)0 -lg(2)0. x x xx x x<⎧⎨+≥⎩，，，即f(x)=-x lg(2+|x|)(x∈R).11. (1) f(x)=x2(x≥-1)的图象如图(1)所示，图(1)图(2) (第11题)要使f (-1+m )≥f (-1)，只要m ≥2，此时恒有f (x+m )≥f (x )，所以实数m 的取值范围为[2，+∞).(2) 由f (x )为奇函数及x ≥0时的解析式知f (x )的图象如图(2)所示. 因为f (3a 2)=a 2=f (-a 2)，由f (-a 2+4)≥f (-a 2)=a 2=f (3a 2)，得-a 2+4≥3a 2，从而a 2≤1. 又当a 2≤1时，恒有f (x+4)≥f (x ). 所以实数a 的取值范围为[-1，1].12.(1) 因为f (x )是奇函数，所以f (0)=0，即-122b +=0，解得b=1.(2) 由(1)知f (x )=11-222x x ++=-12+121x+，设x 1<x 2，则f (x 1)-f (x 2)=1121x +-2121x +=21122-2(21)(21)x x x x++.因为函数y=2x在R 上是增函数，且x 1<x 2，所以22x -12x >0，又(12x +1)(22x +1)>0，所以f (x 1)-f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2). 所以f (x )在定义域R 上为减函数.(3) 因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0等价于f (t 2-2t )<-f (2t 2-k )=f (k-2t 2).由(2)知f (x )为减函数，所以t 2-2t>k-2t 2，即对一切t ∈R 有3t 2-2t-k>0，从而判别式Δ=4+12k<0，解得k<-13，所以实数k 的取值范围是1-.-3∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

高一数学第二章(函数)复习课-函数的图象的教学安排和设计

高一数学第二章（函数）复习课函数的图象（教学安排与设计）一、教材分析1.地位和作用：函数的图象是函数关系的直观表达式，它形象地显示了函数的性质。

对于给定的函数，能从图象的分布、变化趋势等特征研究函数的性质。

通常函数图象是通过列表、描点、连线来作出的，而大量函数都可通过基本初等函数的图象进行变换来实现，从而形象地显示了函数的性质，研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，是“数形结合”的数学思想的重要体现。

由此可见，研究函数的图象变换是多么重要。

2.教学重点、难点：函数的图象变换及其应用是这节课的重点。

由于学生已掌握基本初等函数的图象，积累了感性认识的基础，能揭示不同函数图象变换的共性，从而促使学生对规律表述的严密性进行探索，自然地得出结论。

利用基本初等函数的图象，通过步骤分解，进行变换，研究一般函数性质是这节课的难点。

为突破难点，强化其应用，通过示例，步步设问，师生互动，层层深入，通过这些例题让学生深刻体会，体现数形结合的思想。

二、教学目标根据教学大纲的要求以及本教材的地位和作用，结合学生的认知特点确定教学目标如下：知识目标：复习初等函数变换的一般规律，进而分析、判断、归纳结论。

强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

能力目标：能运用规律解决实际问题，从中体会转化化归和数形结合的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。

情感目标：通过经典考题的回顾，激发学生学习热情和求知欲望，通过练习考题的解决，培养学生发现问题，及时解决问题的良好习惯。

通过问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

三、学情分析根据我校重点高中学生的特点，以及学生已有的知识结构，现在进一步复习研究函数图象变换及应用，是由知识上升到能力的过程，对学生有一定的难度。

学生在学习时问题是难于用抽象的规律解决实际问题，体现“数形结合”的数学思想。

四、教法分析新课程教育强调教师要调整自己的角色，改变传统的教育方式，教师要由传统意义上的知识的传授者和学生的管理者，转变为学生发展的促进者和帮助者，简单的教书匠转变为实践的研究者，或研究的实践者，在教育方式上，也要体现出以人为本，以学生为中心，让学生真正成为学习的主人而不是知识的奴隶，基于此，本节课重点采用了问题探究和启发式相结合的教学方法。

苏教版高中数学必修1教案第二章函数概念与基本初等函数

对称变换对称变换都有哪些内容？【答】对称变换主要有①y =f (－x )与y =f (x )的图象关于y 轴对称;若f (－x )=f (x ),则函数自身的图象关于y 轴对称.②y =－f (x )与y =f (x )的图象关于x 轴对称.③y =－f (－x )与y =f (x )的图象关于原点对称;若f (－x )=－f (x ),则函数自身的图象关于原点对称.④y =f －1(x )与y =f (x )的图象关于直线y =x 对称.⑤y =－f －1(－x )与y =f (x )的图象关于直线y =－x 对称.⑥y =f (2a －x )与y =f (x )的图象关于直线x =a 对称；若f (x )=f (2a －x )(或f (a ＋x )=f (a －x ))则函数自身的图象关于直线x =a 对称.⑦y =2b －f (x )与y =f (x )的图象关于直线y =b 对称.⑧y =2b －f (2a －x )与y =f (x )的图象关于点(a ,b )对称.［案例1］证明函数y =11--ax x (a ≠1)的图象关于直线y =x 对称. 本题考查对函数图象本身关于直线对称的理解.【分析】利用函数解析式与它的反函数的解析式若为同一个函数，则函数图象关于直线y =x 对称，也可利用函数图象上任意点关于直线的对称点也在已知函数的图象上，则函数图象关于直线y =x 对称.【证法一】 ∵a ≠1,y =a 1 (1＋ax a a11--) ∴y a 1≠ 由y =11--ax x 得x (ay －1)=y －1,x =11--ay y ∴y =11--ax x (a ≠1)的反函数是y =11--ax x ∴y =11--ax x 的图象关于直线y =x 对称. 【证法二】设点P (x ′,y ′)是这个函数图象上任一点，则x ′≠a 1且y ′=11-'-'x a x ① 易知点P 关于直线y =x 的对称点P ′的坐标为(y ′,x ′)由①得y ′(ax ′－1)=x ′－1② 即x ′(ay ′－1)=y ′－1如果ay ′－1=0,则y ′=a 1,代入①得a 1=11-'-'x a x . 解得a =1,与已知矛盾.于是ay ′－1≠0,∴由②得x ′=11-'-'y a y 这说明点P ′(y ′,x ′)也在已知函数的图象上.因此，这个函数的图象关于直线y =x 成对称图形.【评注】要分清函数本身关于直线y =x 对称与两个函数关于直线y =x 对称的区别.1.已知函数y =f (x )的图象如图2—3，则下列函数所对应的图象中，不正确的是( )A.y =|f (x )|B.y =f (|x |)C.y =f (－x )D.y =－f (x )【解析】 y =f (|x |)是偶函数，图象关于y 轴对称. 【答案】 B8.设函数y =2x 的图象为C ，某函数的图象C ′与C 关于直线x =2对称，那么这个函数是( )A.y =2－xB.y =22－xC.y =24－xD.y =2x －4【解析】 ∵y =f (x )的图象与y =f (4－x )的图象关于直线x =2对称，设f (x )=2x ,则f (4－x )=24－x .【答案】 C10.设函数y =f (x )的定义域是R ，且f (x －1)=f (1－x ),那么f (x )的图象有对称轴( )A.直线x =0B.直线x =1C.直线y =0D.直线y =1【解析】设x －1=t ,则f (t )=f (－t )，函数为偶函数，关于y 轴对称. 【答案】 A12.已知函数f (x )=21-+x x (x ≠2),那么函数f (x ＋1)的图象关于直线y =x 成对称图形的函数是( )A.y =13-x x (x ≠1)B.y =12-+x x (x ≠1) 图2—3C.y =112-+x x (x ≠1)D.y =xx 32+(x ≠0) 【解析】 ∵f (x ＋1)=y =12-+x x =1＋13-x (x ≠1) ∴x =1＋13-y ,即上式的反函数是y =12-+x x (x ≠1). 【答案】 B 13.函数y =12--x x 的图象关于点_____对称. 【解析】 y =12--x x =－1＋11-x ,y =12--x x 的图象是由y =x 1的图象先右移1个单位，再下移1个单位而得到，故对称点为(1，－1). 【答案】 (1，－1)16.定义在R 上的函数y =f (x )、y =f (－x )、y =－f (x )、y =－f (－x )的图象重合，它们的值域为_____.【解析】函数y =f (x )与y =f (－x )的图象重合，说明函数y =f (x )的图象关于y 轴对称；y =f (x )与y =－f (x )图象重合，说明y =f (x )的图象关于x 轴对称；y =f (x )与y =－f (－x )的图象重合，说明y =f (x )的图象关于原点对称.即若y =f (x )上任一点(x ,y ),则也有点(－x ,y )、(x ,－y )、(－x ,－y );根据函数的定义，对于任一x ∈R ,只能有惟一的y 与之对应，从而y =－y ,即y =0，故函数的值域为{0}.①y =f (x )为偶函数，则y =f (x ＋2)的图象关于y 轴对称.②y =f (x ＋2)为偶函数，则y =f (x )关于直线x =2对称.③若f (x －2)=f (2－x ),则y =f (x )关于直线x =2对称.④y =f (x －2)和y =f (2－x )的图象关于x =2对称.【解析】 ①y =f (x )是偶函数，而f (x ＋2)是将f (x )的图象向左平移2个单位得到的，则对称轴左移2个单位为x =－2,所以f (x ＋2)图象关于直线x =－2对称.②y =f (x ＋2)为偶函数，则f (x ＋2)=f (2－x ),所以y =f (x )图象关于直线x =2对称.③令x －2=t ,则2－x =－t ,得f (t )=f (－t ),y =f (x )的图象关于y 轴对称.④f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，将f (x )与f (－x )的图象分别向右平移2个单位，分别得到f (x －2)与f (2－x )的图象，对称轴右移2个单位为直线x =2. 【答案】 ②④18.若函数y =f (x )=bx ax -+212的图象关于直线y =x 对称，求a ,b 应满足的条件. 【解】由y =f (x )= b x ax -+212(x ≠2b ),得2xy －by =2ax ＋1 ∴2(y －a )x =by ＋1,∴x =ay by 221-+ ∴y =f (x )的反函数是f －1(x )= a x bx 221-+ (x ≠a ) ∵y =f (x )的图象关于直线y =x 对称，则函数y =f (x )反函数就是它本身. ∴b x ax -+212=ax bx 221-+，比较系数得b =2a .即为a ,b 所满足的条件.20.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)=－f (x ),又当－1≤x ≤1时，f (x )=x 3.(1)证明直线x =1是函数f (x )的图象的一条对称轴；(2)当x ∈［1,5］时，求f (x )的解析式.【解】 (1)设(x 0,y 0)是f (x )的图象上任意一点，它关于x =1对称的点为(x 1,y 1),则y 0=y 1,x 0=2－x 1,∴y 1=f (2－x 1)=－f (－x 1)=f (x 1)(2)∵f (x )的图象关于x =1对称，故当1≤x ≤3时，f (x )=(2－x )3又当3<x ≤5时，－1<x －4≤1,此时f (x )=(x －4)3∴f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-)53(,)4()31(,)2(33x x x x。

高一数学教案：苏教版高一数学函数的图象

第7课时函数的图象教学目标：使学生掌握作函数图象的一般步骤，会运用平移变换和翻折变换作图教学重点：用平移变换和翻折变换作图.教学难点：用平移变换和翻折变换作图.教学过程：(1) 作函数图象的一般步骤：① 确定函数的定义域(决定图象的左、右位置)和值域(决定图象的上、下位置).② 化简函数的表达式(如含绝对值的函数应化为分段函数 ).③ 讨论函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性等图象特征及图象上特殊点的位置). ④ 利用基本函数图象作出所需函数的图象 .(2) 描绘函数图象的基本方法有① 描点法：通过列表、描点、连线三步，画出函数的图象② 图象变换法：一个函数图象经过适当的变换，得到另一个与之有关的函数图象问题1 :平移变换都有哪些内容？【答】平移变换主要有① 水平平移y = f(x ± a)(a>0)的图象，可由尸f(x)的图象向左或右平移a 个单位得到. ② 竖直平移y = f(x)± b(b>0)的图象，可由y = f(x)的图象向上或向下平移b 个单位而得到. 问题2 :翻折变换都有哪些内容？【答】翻折变换主要有① y = f(|x|)的图象在y 轴右侧(x>0)的部分与y = f(x)的图象相同，在y 轴左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称.② y =f(x)|的图象在x 轴上方部分与y=f(x)的图象相同，其他部分图象为y = f(x)图象下方部分关于x 轴的对称图形.［例3］作函数y =| x 2— 2x | + 2的图象.x + 1 1［例1］作函数y = 2 （ 5-x ） 4 — x x < 11 v x < 3的图象.x > 3［例2］作函数y = x 2— 2 | x | —2的图象.［例4］如何由函数y= x2的图像变换得到函数y=( x—1) 2+ 2的图象?1［例5］作函数y= ----- —3的图象.x—1总结：图像平移1［例6］作函数y= x + -的图象.xb扩展：y= ax + - (a>0, b>0)的图像.—练习题：1•如图为函数f(x)的图象，那么f(x )是()A.f(x)= x2—2冈+ 1B.f(x) = x2—2x|+ 1C.f(x)=贰—1|D.f(x) = \/x2+ 2x+ 1【解析】■/ A:f(x)=||x|—1|;B:f(x)=(|x|— 1)2;D:f(x)=|x+ 1|•••可以看出B、C对应的图象应是曲线，不符合要求，而D在x=1时，不符合要求. 【答案】A2.若把函数f(x)的图象作平移变换，使图象上的点P(1 , 0)变换成点的图象经此变换后所得图象的函数解析式为( )【答案】AA.y= f(x —1) —1 C.y = f( ——1) +1B.y= f(x+ 1) —1 D.y = f(x+ 1) + 1。

高一数学第二章教案---函数图象

第六教时（若时间不够，可将部分内容延至第七教时）教材：函数图象；《教学与测试》第19课目的：要求学生根据函数解析式作出它们的图象，并且能根据图象分析函数的性质；同时了解图象的简单变换（平移变换和对称变换）。

过程：一、复习：函数有哪三种表示方法？今天主要研究函数的图象。

二、例一、画出下列函数的图象。

（《教学与测试》P 39） 1。

x y )1(-= {}3,2,1,0∈x 2。

x x y --=1解：解：⎩⎨⎧-=--=1211x x x y )1()1(<≥x x 注意：由于定义域从而导致函数图象只是若干个孤立点。

3。

xx x y -+=)21(注意：先写成分段函数再作图。

解：定义域为 ⎪⎩⎪⎨⎧≠--≠021x x x 0<⇒x 且x ≠21-强调：定义域十分重要。

三、例二、根据所给定义域，画出函数222+-=x x y 的图象。

1。

R x ∈ 2。

]2,1(-∈x 3。

]2,1(-∈x 且x ∈Z四、关于分段函数的图象例三、已知⎪⎩⎪⎨⎧--=123)(2πx x f()0()0(=>x x x 画出它的图象，并求f (1),f (-2)。

解：f (1)=3×12-2=1f (-2)=-1五、关于函数图象的变换1．平移变换研究函数y =f (x )与y =f (x +a )+b 的图象之间的关系例四、函数2)1(+=x y -2和1)21(2+-=x y 的图象分别是由2x y =函数的图象经过如何变化得到的。

1）将2x y =的图象沿 x 轴向左平移1个单位再沿y轴向下平移2个单位得2)1(+=x y -2的图象；2）将2x y =的图象沿x 轴向右平移21个单位再沿y 轴向上平移1个单位得函数1)21(2+-=x y 的图象。

|k |个单位（k >0向左,k <0向右）得y =f (x +k )图象； 2．将函数y =f (x )的图象向上（或向下）平移|k |个单位（k >0向上,k <0向下）得y =f (x )+k 图象。