新人教版高中数学《函数的概念》导学案

第6课时函数的概念

1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素.

2.能正确使用区间表示数集.

3.会求一些简单函数的定义域、函数值.

我国著名数学家华罗庚说过这样一句话:从具体到抽象是数学发展的一条重要大道.我们来看三个现象:①清晨,太阳从东方冉冉升起;②随着二氧化碳的大量排放,地球正在逐渐变暖;③中国的国内生产总值在逐年增长.

问题1:在初中,我们学习过函数,函数是刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型,上述三个事例,向我们阐述了一个事实,世界时刻都是变化的,那么变化的本质是什么呢?

从数学的角度看,我们发现在这些变化着的现象中,都存在着两个变量,当一个变量变化时,另一个变量随之发生变化.若当第一个变量确定时,另一个变量也随之确定,则它们之间具有.

问题2:设A、B是非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A 中的数x,在集合B中都有的数y和它对应,那么就称f:A→B 为从集合A到集合B的一个函数.记作.其中x叫作,x的取值集合叫作函数的;与x的值相对应的y值叫作,函数值的集合叫作函数的.

问题3:在研究函数时常会用到区间的概念,区间的表示如何规定?

注:实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”.

问题4:(1)函数f:A→B应该满足什么样的对应关系?一个函数的构成要素有几部分?

(2)两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域相同吗?由此你对函数的三要素有什么新的认识?

(1)应满足:①集合A、B都是;②对于数集A中的每一个元素x,在对应关系f:A→B下,在数集B中都有的元素y与之对应.

一个函数的构成要素:、和,简称为函数的三要素.

(2)如果两个函数的和分别相同,那么它们的值域一定相同.由此可以认识到:只要两个函数的和分别相同,那么这两个函数就相等.

1.下列四个函数:(1)y=x+1;(2)y=x3;(3)y=x2-1;(4)y=.

其中定义域相同的函数有().

A.(1)(2)(3)

B.(1)(2)

C.(2)(3)

D.(2)(3)(4)

2.若[a,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围是().

A.(,+∞)

B.(-,+∞)

C.(,+∞)

D.(-,+∞)

3.已知f(x)=2x+1,则f(5)= .

4.已知函数f(x)=-.

(1)求函数的定义域;

(2)求f(-1),f(12)的值.

对函数概念的考查

(1)设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数y=f(x)的定义域为M,值域为N,对于下列四个图象,不可作为函数y=f(x)的图象的是().

(2)与函数y=x+1相等的函数是().

A.y=(x+1)0

B.y=t+1

C.y=()2

D.y=|x+1|

函数值的求法

已知f(x)=x3+2x+3,求f(1),f(t),f(2a-1)和f[f(-1)]的值.

函数定义域的求法

求下列函数的定义域:

(1)f(x)=;

(2)f(x)=(a为不等于0的常数).

判断下列各组函数是否表示相等函数.

(1)f(x)=与g(x)=;

(2)f(x)=与g(x)=1;

(3)f(x)=x2-x与g(t)=t(t-1);

(4)f(x)=与g(x)=()2.

已知函数f(x)=x2+|x-2|,求f(1)和f(x2+2).

求下列函数的定义域.

(1)y=+;

(2)y=.

1.函数y=的定义域是().

A.R

B.{x≠0}

C.{x|x≠0}

D.{x|x>0}

2.设全集U=R,集合A=[3,7),B=(2,10),则R(A∩B)等于().

A.[3,7)

B.(-∞,3)∪[7,+∞)

C.(-∞,2)∪[10,+∞)

D.?

3.把下列集合用区间表示出来.

(1){x|≥0}= ;

(2){x|-2≤x<8且x≠1}= .

4.已知f(x)=,g(x)=x2+2,求f(2),f(g(2)).

设全集为R,函数f(x)=的定义域为M,则R M为().

A.[-1,1]

B.(-1,1)

C.(-∞,-1]∪[1,+∞)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

考题变式(我来改编):

答案

第6课时函数的概念

知识体系梳理

问题1:函数关系

问题2:任意一个唯一确定y=f(x),x∈A 自变量定义域函数值值域

问题3:[a,b](a,b)[a,b)(a,b][a,+∞)(a,+∞)(-∞,a](-∞,a)

问题4:(1)非空数集唯一确定定义域对应关系值域(2)定义城对应关系定义域对应关系

基础学习交流

1.A(1)(2)(3)的定义域都是R,(4)的定义域是{x∈R|x≠0}.

2.A由题意,得3a-1>a,则a>.

3.11f(5)=2×5+1=11.

4.解:(1)由题意知,x-1≠0且x+4≥0,

即x≥-4且x≠1.

即函数的定义域为[-4,1)∪(1,+∞).

(2)f(-1)=-=-3-;

f(12)=-=-4=-.

重点难点探究

探究一:【解析】(1)由函数定义可知,任意作一条直线x=a,则与函数的图象至多有一个交点,结合选项可知C中的图象不表示y是x的函数.

(2)A、C选项中定义域与y=x+1不同;D项中对应关系不同.对于B,尽管自变量不一样,但定义域、对应关系均相同,二者表示相等函数.

【答案】(1)C(2)B

【小结】(1)给定图象判断是否为函数关系时,可用垂直于x轴的直线与已知图象的交点个数来判断,若交点多于一个,则不是函数关系;(2)当且仅当定义域和对应关系完全相同时,两个函数才相等.

探究二:【解析】f(1)=13+2×1+3=6;

f(t)=t3+2t+3;

f(2a-1)=(2a-1)3+2(2a-1)+3=8a3-12a2+10a;

f[f(-1)]=f[(-1)3+2×(-1)+3]=f(0)=3.

【小结】求函数的值只需将自变量的值代入函数的解析式化简即可.

探究三:【解析】(1)要使函数有意义,需满足x-2≠0,故函数的定义域为x ≠2.

(2)要使函数有意义,需满足ax-3≥0,故函数的定义域为{x|x≥}.

[问题]上面两个题目的解答正确吗?

[结论](1)中的定义域应用集合来表示;(2)中含有参数,解该不等式时要对参数进行讨论.

于是,正确解答如下:

(1)要使函数有意义,需满足x-2≠0,即x≠2.

故函数的定义域为{x|x≠2}.

(2)要使函数有意义,需满足ax-3≥0.

当a>0时,函数的定义域为{x|x≥};

当a<0时,函数的定义域为{x|x≤}.

【小结】在求函数的定义域时,列出使函数有意义的自变量所满足的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.其依据有分式的分母不为0、偶次根式中被开方数不小于0、零次幂的底数不等于零等.当一个函数是由两个或两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使各部分都有意义的公共部分的取值集合.

思维拓展应用

应用一:(1)f(x)与g(x)不相等;(2)f(x)与g(x)不相等;(3)f(x)与g(t)是相等函数;(4)f(x)与g(x)不相等.

应用二:f(1)=12+|1-2|=2.

f(x2+2)=(x2+2)2+|x2+2-2|=x4+5x2+4.

应用三:(1)为使函数式有意义,则有解得即x>-2,且x ≠3.

故所求函数的定义域为(-2,3)∪(3,+∞).

(2)要使函数有意义,需满足即

解得x<0且x≠-1,

故函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,0).

基础智能检测

1.C要使函数有意义,需满足x≠0,用集合表示为{x|x≠0}.

2.B∵A∩B=[3,7),∴R(A∩B)=(-∞,3)∪[7,+∞).

3.(1)[2,+∞)(2)[-2,1)∪(1,8)

4.解:f(2)==,g(2)=22+2=6,

故f(g(2))=f(6)==.

全新视角拓展

D∵1-x2≥0,即x∈[-1,1],∴f(x)的定义域M=[-1,1],则R M=(-∞,-1)∪(1,+∞).

思维导图构建

定义域、值域、对应法则定义域对应关系