高中数学-函数的概念(1)导学案

合集下载

高中数学必修一《3 1 函数的概念及其表示》集体备课导学案

【新教材】3.1.1 函数的概念（人教A版）1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。

2.掌握判定函数和函数相等的方法。

3.学会求函数的定义域与函数值。

重点：函数的概念，函数的三要素。

难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。

一、预习导入阅读课本60-65页，填写。

1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的，在集合B中都有和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做，叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3．其它区间的表示1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)区间表示数集，数集一定能用区间表示． ( ) (2)数集{x |x ≥2}可用区间表示为[2，＋∞]． ( )(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.（） (4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应.（） (5)函数的定义域和值域一定是无限集合． ( ) 2．函数y ＝1x ＋1的定义域是 ( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,0)C ．(－1，＋∞)D ．(－1,0) 3．已知f (x )＝x 2＋1，则f ( f (－1))＝ ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．用区间表示下列集合：(1){x |10≤x ≤100}用区间表示为________． (2){x |x ＞1}用区间表示为________．题型一函数的定义例1 下列选项中(横轴表示x 轴,纵轴表示y 轴),表示y 是x 的函数的是( )跟踪训练一1.集合A={x|0≤x ≤4},B={y|0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( )题型二相等函数例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f(x)=(√x )2,g(x)=√x 2;(2)y=x 0与y=1(x ≠0);(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z). 跟踪训练二1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)=x 2-x x,g(x)=x-1;②f(x)=√xx ,g(x)=√x ;③f(x)=√(x +3)2,g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x 0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t ≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 题型三区间例3 已知集合A={x|5-x ≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A ∩B 用区间可表示为 . 跟踪训练三1.集合{x|0<x<1或2≤x ≤11}用区间表示为 .2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a 的取值范围用区间表示为 . 题型四求函数的定义域例4 求下列函数的定义域:(1)y=(x+2)|x |-x ; (2)f(x)=x 2-1x -1−√4-x . 跟踪训练四1.求函数y=√2x +3√2-x1x 的定义域.2.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域. 题型五求函数值（域）例5 (1)已知f(x)＝11+x(x ∈R ，且x ≠－1)，g(x)＝x 2＋2(x ∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________. (2)求下列函数的值域：①y ＝x ＋1； ②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝3x−11+x； ④y ＝2x －√x −1.跟踪训练五1.求下列函数的值域： (1)y ＝ √2x +1 ＋1；(2)y ＝1−x 21+x 2.1．对于集合A ={x |0≤x ≤2}，B ={y |0≤y ≤3}，由下列图形给出的对应f 中，不能构成从A 到B 的函数有（）个A.1个B.2个C.3个D.4个2．函数()2121f x ax x =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围为（）A ．a >1B ．0<a <1C ．a <0D ．a <13．函数f （x ）=√x−1x+3的定义域为 A ．{x|1≤x <3或x >3} B ．{x|x >1} C ．{x|1≤x <2} D ．{x|x ≥1}4．已知函数f (2x +1)的定义域为(−2,0)，则f (x )的定义域为（） A.(−2,0)B.(−4,0)C.(−3,1)D.(−12,1)5．下列各组函数中，()f x 与()g x 相等的是（）A ．()()2,2f x x g x x =-=-B ．()()32,f x x g x ==C ．()()22,2x f x g x x x=+=+D ．()()22,1x x x f x g x x x-==- 6．集合A ={x |x ≤5且x ≠1}用区间表示____________．7．已知函数8()2f x x =-（1）求函数()f x 的定义域；（2）求(2)f -及(6)f 的值． 8．求下列函数的值域：（1）f （x ）=211x x -+；（2）f （x ）=x ．答案小试牛刀1．（1）× （2） × （3）√ （4）× （5 ）× 2．C 3．D4. (1)[10,100] (2)(1，＋∞) 自主探究例1 【答案】D 跟踪训练一【答案】C 例2 【答案】见解析【解析】:(1)因为函数f(x)=(√x )2的定义域为{x|x≥0},而g(x)=√x 2的定义域为{x|x ∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y=x 0要求x ≠0,且当x ≠0时,y=x 0=1,故y=x 0与y=1(x ≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 跟踪训练二【答案】⑤【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数; ②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数. 例3 【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5] 【解析】∵A={x|5-x ≥0},∴A={x|x ≤5}. ∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x ≠±3}. ∴A ∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x ≤5}, 即A ∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]. 跟踪训练三【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b. ∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3, ∴实数a 的取值范围是(-∞,3).例4【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0) (2) (-∞,1)∪(1,4]【解析】(1)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{x +2≠0,|x |-x ≠0,即{x ≠-2,|x |≠x ,解得x<0,且x ≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{4-x ≥0,x -1≠0,即{x ≤4,x ≠1.故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4]. 跟踪训练四【答案】(1) {x |-32≤x <2,且x ≠0} (2) [-1,32]【解析】(1)要使函数有意义,需{2x +3≥0,2-x >0,x ≠0,解得-32≤x<2,且x ≠0,所以函数y=√2x +3−√2-x+1x 的定义域为{x |-32≤x <2,且x ≠0}.(2)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4. 故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4, ∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤32.∴函数f(2x+1)的定义域是[-1,32]. 例5【答案】（1）1317 （2）① R ② [2,6) ③ {y|y ∈R 且y≠3} ④ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞ 【解析】(1) ∵f (x)＝11＋x ，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g (x)＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6， ∴f ( g(2))＝f (6)＝11＋6＝17.(2) ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R.②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y|y ∈R 且y≠3}．④(换元法)设t ＝x －1，则t≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.跟踪训练五【答案】(1) [1，＋∞) (2) (－1,1]【解析】(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1，所以0＜21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1]. 当堂检测1-5．CADCD 6．(,1)(1,5]-∞7．【答案】（1）()f x 的定义域为[3,2)(2,)-⋃+∞；（2）(2)1f -=-；(6)5f = 【解析】（1）依题意，20x -≠，且30x +≥，故3x ≥-，且2x ≠，即函数()f x 的定义域为[)()3,22,-⋃+∞. （2）()8223122f -=+-+=---，()8663562f =+=-. 8. 【答案】（1）（–∞，2）∪（2，+∞）；（2）[–54，+∞）. 【解析】（1）因为f （x ）=()2131x x +-+=2–31x +，所以f （x ）≠2，所以函数f （x ）的值域为（–∞，2）∪（2，+∞）．（21x +（t≥0），则x=t 2–1，所以y=t 2–t –1（t≥0）．因为抛物线y=t 2–t –1开口向上，对称轴为直线t=12∈[0，+∞），所以当t=12时，y取得最小值为–54，无最大值，所以函数f（x）的值域为[–54，+∞）．。

高一数学必修1导学案

试试 4：填∈或：0 N，0 R，3.7 N，3.7 Z， 3 Q， 3 2 R.
探究 5：探究 1 中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的语言表示等例子，都是用自然语言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？新知 5：列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法. 注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a 与{a}不同. 试试 5：试试 2 中，哪些对象组成的集合能用列举法表示出来，试写出其表示.
§1.1.1 集合的含义与表示（1）
学习目标
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
学习过程
一、课前准备（预习教材 P2~ P3，找出疑惑之处）讨论：军训前学校通知：8 月 15 日上午 8 点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体.
集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.
※ 典型例题例 1 用列举法表示下列集合： ① 15 以内质数的集合； ② 方程 x(x2 1) 0 的所有实数根组成的集合； ③ 一次函数 y x 与 y 2x 1的图象的交点组成的集合.

新人教版高中数学《函数的概念》导学案

第6课时函数的概念1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值.我国著名数学家华罗庚说过这样一句话:从具体到抽象是数学发展的一条重要大道.我们来看三个现象:①清晨,太阳从东方冉冉升起;②随着二氧化碳的大量排放,地球正在逐渐变暖;③中国的国内生产总值在逐年增长.问题1:在初中,我们学习过函数,函数是刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型,上述三个事例,向我们阐述了一个事实,世界时刻都是变化的,那么变化的本质是什么呢?从数学的角度看,我们发现在这些变化着的现象中,都存在着两个变量,当一个变量变化时,另一个变量随之发生变化.若当第一个变量确定时,另一个变量也随之确定,则它们之间具有.问题2:设A、B是非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A 中的数x,在集合B中都有的数y和它对应,那么就称f:A→B 为从集合A到集合B的一个函数.记作.其中x叫作,x的取值集合叫作函数的;与x的值相对应的y值叫作,函数值的集合叫作函数的.问题3:在研究函数时常会用到区间的概念,区间的表示如何规定?注:实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”.问题4:(1)函数f:A→B应该满足什么样的对应关系?一个函数的构成要素有几部分?(2)两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域相同吗?由此你对函数的三要素有什么新的认识?(1)应满足:①集合A、B都是;②对于数集A中的每一个元素x,在对应关系f:A→B下,在数集B中都有的元素y与之对应.一个函数的构成要素:、和,简称为函数的三要素.(2)如果两个函数的和分别相同,那么它们的值域一定相同.由此可以认识到:只要两个函数的和分别相同,那么这两个函数就相等.1.下列四个函数:(1)y=x+1;(2)y=x3;(3)y=x2-1;(4)y=.其中定义域相同的函数有().A.(1)(2)(3)B.(1)(2)C.(2)(3)D.(2)(3)(4)2.若[a,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围是().A.(,+∞)B.(-,+∞)C.(,+∞)D.(-,+∞)3.已知f(x)=2x+1,则f(5)= .4.已知函数f(x)=-.(1)求函数的定义域;(2)求f(-1),f(12)的值.对函数概念的考查(1)设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数y=f(x)的定义域为M,值域为N,对于下列四个图象,不可作为函数y=f(x)的图象的是().(2)与函数y=x+1相等的函数是().A.y=(x+1)0B.y=t+1C.y=()2D.y=|x+1|函数值的求法已知f(x)=x3+2x+3,求f(1),f(t),f(2a-1)和f[f(-1)]的值.函数定义域的求法求下列函数的定义域:(1)f(x)=;(2)f(x)=(a为不等于0的常数).判断下列各组函数是否表示相等函数.(1)f(x)=与g(x)=;(2)f(x)=与g(x)=1;(3)f(x)=x2-x与g(t)=t(t-1);(4)f(x)=与g(x)=()2.已知函数f(x)=x2+|x-2|,求f(1)和f(x2+2).求下列函数的定义域.(1)y=+;(2)y=.1.函数y=的定义域是().A.RB.{x≠0}C.{x|x≠0}D.{x|x>0}2.设全集U=R,集合A=[3,7),B=(2,10),则R(A∩B)等于().A.[3,7)B.(-∞,3)∪[7,+∞)C.(-∞,2)∪[10,+∞)D.⌀3.把下列集合用区间表示出来.(1){x|≥0}= ;(2){x|-2≤x<8且x≠1}= .4.已知f(x)=,g(x)=x2+2,求f(2),f(g(2)).设全集为R,函数f(x)=的定义域为M,则R M为().A.[-1,1]B.(-1,1)C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)考题变式(我来改编):答案第6课时函数的概念知识体系梳理问题1:函数关系问题2:任意一个唯一确定y=f(x),x∈A 自变量定义域函数值值域问题3:[a,b](a,b)[a,b)(a,b][a,+∞)(a,+∞)(-∞,a](-∞,a)问题4:(1)非空数集唯一确定定义域对应关系值域(2)定义城对应关系定义域对应关系基础学习交流1.A(1)(2)(3)的定义域都是R,(4)的定义域是{x∈R|x≠0}.2.A由题意,得3a-1>a,则a>.3.11f(5)=2×5+1=11.4.解:(1)由题意知,x-1≠0且x+4≥0,即x≥-4且x≠1.即函数的定义域为[-4,1)∪(1,+∞).(2)f(-1)=-=-3-;f(12)=-=-4=-.重点难点探究探究一:【解析】(1)由函数定义可知,任意作一条直线x=a,则与函数的图象至多有一个交点,结合选项可知C中的图象不表示y是x的函数.(2)A、C选项中定义域与y=x+1不同;D项中对应关系不同.对于B,尽管自变量不一样,但定义域、对应关系均相同,二者表示相等函数.【答案】(1)C(2)B【小结】(1)给定图象判断是否为函数关系时,可用垂直于x轴的直线与已知图象的交点个数来判断,若交点多于一个,则不是函数关系;(2)当且仅当定义域和对应关系完全相同时,两个函数才相等.探究二:【解析】f(1)=13+2×1+3=6;f(t)=t3+2t+3;f(2a-1)=(2a-1)3+2(2a-1)+3=8a3-12a2+10a;f[f(-1)]=f[(-1)3+2×(-1)+3]=f(0)=3.【小结】求函数的值只需将自变量的值代入函数的解析式化简即可.探究三:【解析】(1)要使函数有意义,需满足x-2≠0,故函数的定义域为x ≠2.(2)要使函数有意义,需满足ax-3≥0,故函数的定义域为{x|x≥}.[问题]上面两个题目的解答正确吗?[结论](1)中的定义域应用集合来表示;(2)中含有参数,解该不等式时要对参数进行讨论.于是,正确解答如下:(1)要使函数有意义,需满足x-2≠0,即x≠2.故函数的定义域为{x|x≠2}.(2)要使函数有意义,需满足ax-3≥0.当a>0时,函数的定义域为{x|x≥};当a<0时,函数的定义域为{x|x≤}.【小结】在求函数的定义域时,列出使函数有意义的自变量所满足的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.其依据有分式的分母不为0、偶次根式中被开方数不小于0、零次幂的底数不等于零等.当一个函数是由两个或两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使各部分都有意义的公共部分的取值集合.思维拓展应用应用一:(1)f(x)与g(x)不相等;(2)f(x)与g(x)不相等;(3)f(x)与g(t)是相等函数;(4)f(x)与g(x)不相等.应用二:f(1)=12+|1-2|=2.f(x2+2)=(x2+2)2+|x2+2-2|=x4+5x2+4.应用三:(1)为使函数式有意义,则有解得即x>-2,且x ≠3.故所求函数的定义域为(-2,3)∪(3,+∞).(2)要使函数有意义,需满足即解得x<0且x≠-1,故函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,0).基础智能检测1.C要使函数有意义,需满足x≠0,用集合表示为{x|x≠0}.2.B∵A∩B=[3,7),∴R(A∩B)=(-∞,3)∪[7,+∞).3.(1)[2,+∞)(2)[-2,1)∪(1,8)4.解:f(2)==,g(2)=22+2=6,故f(g(2))=f(6)==.全新视角拓展D∵1-x2≥0,即x∈[-1,1],∴f(x)的定义域M=[-1,1],则R M=(-∞,-1)∪(1,+∞).思维导图构建定义域、值域、对应法则定义域对应关系。

高中数学必修一新教材第3章函数的概念与性质导学案

第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念1．函数的概念对吗？(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y 是自变量的函数，当x 允许取某一具体值时，相应的y 值为与该自变量值对应的函数值．y ＝f (x )仅仅是函数符号，不表示“y 等于f 与x 的乘积”．在研究函数时，除用符号f (x )外，还常用g (x )，F (x )，G (x )等来表示函数．(2)f (x )与f (a )的区别与联系：f (a )表示当x ＝a 时，函数f (x )的值，是一个常量，而f (x )是自变量x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a )是f (x )的一个特殊值，如一次函数f (x )＝3x ＋4，当x ＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念 (1)一般区间的表示设a ，b ∈R ，且a <b ，规定如下：(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． (2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．1．函数y ＝1x ＋1的定义域是( ) A ．[－1，＋∞) B ．[－1,0) C ．(－1，＋∞) D ．(－1,0) 2．若f (x )＝11－x 2，则f (3)＝________. 3．用区间表示下列集合：(1){x |10≤x ≤100}用区间表示为________；(2){x|x>1}用区间表示为________．函数的概念【例1】(1)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．1．下列四个图象中，不是函数图象的是()A B C D2．下列各组函数中是相等函数的是()A ．y ＝x ＋1与y ＝x 2－1x －1 B ．y ＝x 2＋1与s ＝t 2＋1C ．y ＝2x 与y ＝2x (x ≥0)D ．y ＝(x ＋1)2与y ＝x 2 求函数值【例2】设f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝1x ＋2， (1)求f (2)，f (a ＋3)，g (a )＋g (0)(a ≠－2)，g (f (2))． (2)求g (f (x ))．[思路点拨] (1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可； (2)把f (x )直接代入g (x )中便可得到g (f (x ))．函数求值的方法(1)已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值. (2)求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则.3．已知f (x )＝x 3＋2x ＋3，求f (1)，f (t )，f (2a －1)和f (f (－1))的值．求函数的定义域[探究问题]1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f (x )＝x ＋1x 2－1.倘若先化简，则f (x )＝1x －1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y ＝f (x )的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x 的取值范围．函数y ＝f (x )的定义域是x ＋1的范围[2,3]．【例3】求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f(x)＝(x＋1)2x＋1－1－x.[思路点拨]要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．(变结论)在本例求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.1．对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合．这也是求某函数定义域的依据．2．函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．3．函数符号y＝f(x)是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y＝f(x)”为y是x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”.1．思考辨析(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．()(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．()(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．()(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．()(5)函数的定义域和值域一定是无限集合．( ) 2．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝|x |D ．y ＝3x 3 3．将函数y ＝31－1－x的定义域用区间表示为________．4．已知函数f (x )＝x ＋1x ， (1)求f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (2)的值；(3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值．3.1.2 函数的表示法第1课时函数的表示法函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x )＝⎩⎨⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．1．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( )2．二次函数的图象的顶点为(0，－1)，对称轴为y 轴，则二次函数的解析式可以为( )A ．y ＝－14x 2＋1B ．y ＝14x 2－1 C ．y ＝4x 2－16 D ．y ＝－4x 2＋16 3．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其定义域是______．函数的三种表示方法【例1】某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线．1．(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )A B C D(2)由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于()图象的画法及应用【例2】作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y＝－x，x∈{0,1，－2,3}；(2)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2)．描点法作函数图象的三个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象.(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心圈.提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.2．画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．函数解析式的求法[探究问题]已知f(x)的解析式，我们可以用代入法求f(g(x))，反之，若已知f(g(x))，如何求f(x)．提示：若已知f(g(x))的解析式，我们可以用换元法或配凑法求f(x)．【例3】(1)已知f(x＋1)＝x－2x，则f(x)＝________；(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)＝________；(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝________.[思路点拨](1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)用方程组法求解．1．(变条件求函数解析式的四种常用方法(1)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可.(2)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可.(3)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x 代替两边所有的“g(x)”即可.(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性.1．函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式表示函数．2．作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图象有无对称性，并标明特殊点．3．求函数解析式的主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)，注意有的函数要注明定义域.1．思考辨析(1)任何一个函数都可以用解析法表示．()(2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．()2．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝3x－1B．f(x)＝3x＋1 C．f(x)＝3x＋2 D．f(x)＝3x＋43．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．4．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．(1)画出f(x)图象的简图；(2)根据图象写出f(x)的值域．第2课时分段函数分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．1．下列给出的式子是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1.②f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2.③f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1.④f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④ 2．函数y ＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0的值域是________．3．函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1，则f (f (4))＝________.分段函数的求值问题【例1】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．1．分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤： (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．1．函数f (x )＝⎩⎨⎧x －3，x ≥10，f (f (x ＋5))，x <10，则f (7)＝________.分段函数的解析式【例2】如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．[思路点拨] 可按点E 所在的位置分E 在线段AB ，E 在线段AD 及E 在线段CD 三类分别求解．1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养．2．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分段函数的图象及应用[探究问题]1．函数f (x )＝|x －2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？提示：能．f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2.函数f (x )的图象如图所示．2．结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．【例3】已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示f (x )； (2)画出f (x )的图象； (3)写出函数f (x )的值域．[思路点拨] (1)分－2<x <0和0≤x ≤2两种情况讨论，去掉绝对值可把f (x )写成分段函数的形式；(2)利用(1)的结论可画出图象；(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域．把本例条件改为“分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.1．分段函数是一个函数，而不是几个函数．2．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．3．分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．1．思考辨析(1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1是分段函数．( )2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.1393．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其解析式为________．4．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．3.2 函数的基本性质 3.2.1 单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性1．增函数与减函数的定义12提示：定义中的x1，x2有以下3个特征：(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1<x2；(3)属于同一个单调区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．思考2：函数y＝1x在定义域上是减函数吗？提示：不是．y ＝1x 在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．1．函数y ＝f (x )的图象如图所示，其增区间是( ) A ．[－4,4] B ．[－4，－3]∪[1,4] C ．[－3,1] D ．[－3,4]2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝－1x B ．y ＝x C ．y ＝x 2 D ．y ＝1－x 3．函数f (x )＝x 2－2x ＋3的单调减区间是________．求函数的单调区间【例1】求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f (x )＝－1x ；(2)f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1；(3)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3.求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，如本例(3)．提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．1．(1)根据如图所示，写出函数在每一单调区间上函数是增函数还是减函数；(2)写出y ＝|x 2－2x －3|的单调区间．函数单调性的判定与证明【例2】证明函数f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数． [思路点拨] 设元0<x 1<x 2<1―→作差：f (x 1)－f (x 2) ――→变形判号：f (x 1)>f (x 2)――→结论减函数利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号.(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.2．试用函数单调性的定义证明：f (x )＝2x x －1在(1，＋∞)上是减函数．函数单调性的应用[探究问题]1．若函数f (x )是其定义域上的增函数，且f (a )>f (b )，则a ，b 满足什么关系．如果函数f (x )是减函数呢？提示：若函数f (x )是其定义域上的增函数，那么当f (a )>f (b )时，a >b ；若函数f (x )是其定义域上的减函数，那么当f (a )>f (b )时，a <b .2．决定二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 单调性的因素有哪些？提示：开口方向和对称轴的位置，即字母a 的符号及－b2a 的大小．【例3】 (1)若函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，则实数x 的取值范围为________．[思路点拨] (1)分析f (x )的对称轴与区间的关系――→数形结合建立关于a 的不等式――→ 求a 的范围(2)f (2x －3)>f (5x －6)――――――――――――――――→f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数建立关于x 的不等式――→ 求x 的范围1．(变条件函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.1．定义单调性时应强调x 1，x 2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．2．证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．3. 已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识，如f (x )在D 上递增，则f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2.二是数形结合意识，如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题.1．思考辨析(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )(2)若函数y ＝f (x )在区间[1,3]上是减函数，则函数y ＝f (x )的单调递减区间是[1,3]．( )(3)函数f (x )为R 上的减函数，则f (－3)>f (3)．( )(4)若函数y ＝f (x )在定义域上有f (1)<f (2)，则函数y ＝f (x )是增函数．( ) (5)若函数f (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．( )2．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，则下列关于函数f (x )的说法错误的是( )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性 3．如果函数f (x )＝x 2－2bx ＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b 的取值范围为( )A ．b ＝3B ．b ≥3C ．b ≤3D ．b ≠3 4．证明：函数y ＝x x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．第2课时函数的最大(小)值函数最大值与最小值提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．1．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．－1,0B．0,2 C．－1,2 D.12，22．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)()A．有最大值B．有最小值C．既有最大值又有最小值D．既无最大值又无最小值3．函数f(x)＝1x，x∈[1,2]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．利用函数的图象求函数的最值(值域)【例1】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．利用图象求函数最值的方法 (1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)观察图象，找出图象的最高点和最低点；(3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x ，x >1，求f (x )的最大值、最小值．利用函数的单调性求最值(值域)【例2】已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1. (1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，则f (x )在区间[a ，b ]上的最小(大)值是f (a )，最大(小)值是f (b )．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，在区间[b ，c ]上是减(增)函数，则f (x )在区间[a ，c ]上的最大(小)值是f (b )，最小(大)值是f (a )与f (c )中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．2．求函数f(x)＝x＋4x在[1,4]上的最值．函数最值的实际应用【例3】一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系.(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式.(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围).(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案.3．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？二次函数的最值问题[探究问题]1．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的对称轴与区间[m ，n ]可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？提示：2．求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在[m ，n ]上的最值，应考虑哪些因素？提示：若求二次函数f (x )在[m ，n ]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x ＝－b2a 与区间[m ，n ]的关系．【例4】已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1，求f (x )在[0,1]上的最大值． [思路点拨] f (x )＝x 2－ax ＋1――→分类讨论分析x ＝a 2与[0，1]的关系――→数形结合求f (x )的最大值1．在题设条件不变的情况下，求f (x )在[0,1]上的最小值．2．在本例条件不变的情况下，若a ＝1，求f (x )在[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值．二次函数在闭区间上的最值设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，则二次函数f (x )在闭区间[m ，n ]上的最大值、最小值有如下的分布情况：1．函数的最大(小)值，包含两层意义：一是存在，二是在给定区间上所有函数值中最大(小)的，反映在函数图象上，函数的图象有最高点或最低点．2．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：(1)图象法，即画出函数的图象，根据图象的最高点或最低点写出最值；(2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；(3)对于二次函数还可以用配方法研究，同时灵活利用数形结合思想和分类讨论思想解题．3．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识．1．思考辨析(1)任何函数都有最大(小)值．()(2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．()(3)函数的最大值一定比最小值大．()2．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为()A．[0,3]B．[－1,0] C．[－1，＋∞)D．[－1,3]3．函数y＝ax＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝______.4．已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])．(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数的最大值和最小值．3.2.2 奇偶性第1课时奇偶性的概念函数的奇偶性提示：定义域关于原点对称．1．下列函数是偶函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝2x 2－3 C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈[0,1]2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )A B C D3．函数y ＝f (x )，x ∈[－1，a ](a >－1)是奇函数，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．无法确定4．若f (x )为R 上的偶函数，且f (2)＝3，则f (－2)＝________. 函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋x ；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1；(4)f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x <0，0，x ＝0，x ＋1，x >0.判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法：(2)图象法：1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号) ①f (x )＝x 3；②f (x )＝|x |＋1；③f (x )＝1x 2； ④f (x )＝x ＋1x ；⑤f (x )＝x 2，x ∈[－1,2]．奇偶函数的图象问题【例2】已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称.(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.2．如图是函数f(x)＝1x2＋1在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．利用函数的奇偶性求值[探究问题]1．对于定义域内的任意x，若f(－x)＋f(x)＝0，则函数f(x)是否具有奇偶性？若f(－x)－f(x)＝0呢？提示：由f(－x)＋f(x)＝0得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．由f(－x)－f(x)＝0得f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)的值可求吗？若f(x)为偶函数呢？提示：若f(x)为奇函数，则f(0)＝0；若f(x)为偶函数，无法求出f(0)的值．【例3】(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.[思路点拨](1)f(x)是偶函数――→定义域关于原点对称求a的值――→图象关于y轴对称求b的值(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx―→判断g(x)的奇偶性―→计算g(－3)―→代入求得f(3)利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解.3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.1．奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数f(x)定义域内的每一个值x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇函数(或偶函数)．2．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．1．思考辨析(1)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．()(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．()(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．()(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．()2．函数f(x)＝|x|＋1是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数3．已知函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则实数a ＝______.4．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示．(1)请补出完整函数y ＝f (x )的图象； (2)根据图象写出函数y ＝f (x )的增区间； (3)根据图象写出使f (x )<0的x 的取值集合．第2课时奇偶性的应用用奇偶性求解析式【例1】 (1)函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，求f (x )的解析式；(2)设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式．[思路点拨] (1)设x <0，则－x >0――→当x >0f (x )＝－x ＋1求f (－x )――→奇函数得x <0时f (x )的解析式――→奇函数的性质f (0)＝0――→分段函数f (x )的解析式(2)f (x )＋g (x )＝1x －1――→用－x 代式中x得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1――→奇偶性得f (x )－g (x )＝－1x ＋1――→解方程组得f (x )，g (x )的解析式把本例(2)利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设. (2)要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f (x )的奇偶性写出－f (x )或f (－x )，从而解出f (x ).提醒：若函数f (x )的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0，但若为偶函数，未必有f (0)＝0.函数单调性和奇偶性的综合问题[探究问题]1．如果奇函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增，那么f (x )在(－b ，－a )上的单调性如何？如果偶函数f (x )在区间(a ，b )上单调递减，那么f (x )在(－b ，－a )上的单调性如何？提示：如果奇函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增，那么f (x )在(－b ，－a )上单调递增；如果偶函数f (x )在区间(a ，b )上单调递减，那么f (x )在(－b ，－a )上单调递增．2．你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．3．若偶函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，那么f (3)和f (－2)的大小关系如何？。

高中数学第三章函数函数及其表示方法第1课时函数的概念学案新人教B版必修第一册

3.1　函数的概念与性质 3．1.1　函数及其表示方法第1课时　函数的概念课程标准在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一　函数的概念1．函数的概念一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域和值域函数y＝f(x)中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域．状元随笔　对函数概念的3点说明(1)当A , B为非空实数集时，符号“ f ：A→B ”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f ”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．知识点二　同一函数一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．知识点三　常见函数的定义域和值域函数一次函数反比例函数二次函数a<0基础自测1．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )A.A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D.A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积2．函数f(x)＝√x−1x−2的定义域为( )A.(1，＋∞) B．[1，＋∞)C.[1，2) D．[1，2)∪(2，+∞) 3．下列各组函数表示同一函数的是( )A.y＝x2−9x−3与y＝x＋3B.y＝√x2－1与y＝x－1C.y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D.y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z4．若函数f(x)＝√x+6x−1，求f(4)＝________．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1　函数的定义[经典例题]例1　根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；状元随笔　从本题可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．(2)A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应关系如图所示；状元随笔　判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．(3)A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|；(4)A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.方法归纳(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．跟踪训练1　(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个(1)①x∈[0，1]取不到[1，2].③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范围．④可取一个x值，y有2个对应，不符合题意．(2)关键是否符合函数定义．①x→3x，x≠0，x∈R；②x→y，其中y2＝x，x∈R，y∈R.(2)下列对应是否是函数？题型2　求函数的定义域[教材P87例题1]例2　求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1√(2)g(x)＝1x+1x+2.方法归纳求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．跟踪训练2　求下列函数的定义域：(1)f(x)＝6x2−3x+2；(2)f(x)＝0√||(3)f(x)＝√2x+3－√1 x .(1)分母不为0(2){偶次根式被开方数≥0(x+1)0底数不为0分母不为0 (3){偶次根式被开方数≥0分母不为0题型3　同一函数例3　下面各组函数中为相同函数的是( )A ．f (x )＝√(x −1)2，g (x )＝x －1B ．f (x )＝√x 2−1，g (x )＝√x +1·√x−1C ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 0与g (x )＝1x 0方法归纳判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．跟踪训练3　试判断下列函数是否为同一函数．(1)f (x )＝x 2−xx ，g (x )＝x －1；(2)f(x)＝√xx，g(x)√(3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；(4)f(x)＝|x|，g(x)＝√x2.状元随笔　判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．题型4　求函数的值域[经典例题]状元随笔　求函数值域的注意事项①数形结合求值域一定要注意函数的定义域；②值域一定要用集合或区间来表示．例4　求下列函数的值域．(1)y＝3－4x，x∈(－1，3]；(2)f(x)＝1x，x∈[3，5]；(3)y＝2xx+1；(4)y＝x2－4x＋5，x∈{1，2，3}；(5)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；(6)y＝2x－√x−1；(7)f(x)＝1x2+2.状元随笔　(1)用不等式的性质先由x∈(－1，3]求－4x的取值范围，再求3－4x的取值范围即为所求．(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域．(3)将自变量x＝1，2，3代入解析式求值，即可得值域．(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域．方法归纳求函数值域的方法(1)观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域．如函数y＝11+x2的值域为{y|0<y≤1}．(2)配方法：求形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c的函数的值域可用配方法，但要注意f(x)的取值范围．如求函数y＝x－2√x＋3的值域，因为y＝(√x－1)2＋2≥2，故所求值域为{y|y≥2}．对于形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数，尤其要注意在给定区间上二次函数最值的求法．(3)分离常数法：此方法主要是针对分子分母同次的分式，即将分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．(4)换元法：形如y＝ax＋b＋√cx+d的函数常用换元法求值域，即先令t＝√cx+d，求出x，并注明t的取值范围，再代入上式表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域．注意：分离常数法的目的是将分式函数变为反比例函数类，换元法的目的是将函数变为二次函数类．即将函数解析式变为已经熟悉的简单函数类型求值域．(5)反表示法：根据函数解析式反解出x，根据x的取值范围转化为关于y的不等式求解．(6)中间变量法：根据函数解析式确定一个已知范围的中间变量(如x2)，用y表示出该中间变量，根据中间变量的取值范围转化为关于y的不等式求解．跟踪训练4　求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；(2)y＝√x＋1；(3)y＝1−x21+x2；先分离再求值域(4)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；配方法求值域(5)f(x)＝5x+4 x−1.第三章　函数3．1　函数的概念与性质3．1.1　函数及其表示方法第1课时　函数的概念新知初探·自主学习[教材要点]知识点三{x|x≠0}　R　{y|y≤4ac−b24a}[基础自测]1．解析：对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.答案：A2．解析：使函数f(x)＝√x−1x−2有意义，则{x−1≥0，x−2≠0，即x≥1，且x≠2.所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．故选D.答案：D3．解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同．答案：C4．解析：f(4)＝√4+64−1＝2＋2＝4.答案：4课堂探究·素养提升例1　【解析】　(1)(4)对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．跟踪训练1　解析：(1)图号正误原因①×x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性②√同时满足任意性与唯一性③×x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性④×x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性解析：(2)①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的3x与之对应，符合函数定义．②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念．答案：(1)B　(2)①是函数②不是函数例2　【解析】　(1)因为函数有意义当且仅当{x+1≥0，√x+1≠0，解得x＞－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)．(2)因为函数有意义当且仅当{x≠0，x+2≠0，解得x≠0且x≠－2，因此函数的定义域为(－∞，－2)∪(−2，0)∪(0，+∞)．跟踪训练2　解析：(1)要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，即x≠1且x≠2，故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．(2)要使函数有意义，则{x+1≠0，|x|−x>0，解得x<0且x≠－1.所以定义域为(－∞，－1)∪(−1，0)．(3)要使函数有意义，则{2x +3≥0，2−x >0，x≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0.故定义域为[−32，0)∪(0，2)．例3　【解析】　函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A ，f (x )＝|x －1|与g (x )对应关系不同，故排除选项A ，选项B 、C 中两函数的定义域不同，排除选项B 、C ，故选D.【答案】　D跟踪训练3　解析：所以函数y ＝3－4x ，x ∈(－1，3]的值域是[－9，7)．(2)因为f (x )＝1x 在[3，5]上单调递减，所以其值域为[15，13].(3)因为y ＝2x x +1＝2(x +1)−2x +1＝2－2x +1≠2，所以函数y ＝2x x +1的值域为{y |y ∈R 且y ≠2}． (4)函数的定义域为{1，2，3}，当x ＝1时，y ＝12－4×1＋5＝2，当x ＝2时，y ＝22－4×2＋5＝1，当x ＝3时，y ＝32－4×3＋5＝2，所以这个函数的值域为{1，2}，(5)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6)．(6)设t ＝√x −1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2(t －14)2＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[158，＋∞)．【解析】(7)方法一　因为x 2＋2≥2，所以0＜1x 2+2≤12，所以f (x )的值域为(0，12].方法二　设t 是所求值域中的元素，则关于x 的方程1x 2+2＝t 应该有解，即x 2＝1t －2应该有解，所以1t －2≥0，即1−2t t ≥0，解得0＜t ≤12，所以所求值域为(0，12].跟踪训练4　解析：(1)将x ＝1，2，3，4，5分别代入y ＝2x ＋1，计算得函数的值域为{3，5，7，9，11}．(2)因为√x ≥0，所以√x ＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．(3)因为y ＝1−x 21+x 2＝－1＋21+x 2，所以函数的定义域为R ，因为x 2＋1≥1，所以0<21+x2≤2.所以y ∈(－1，1].所以所求函数的值域为(－1，1].(4)y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.因为－5≤x≤－2，所以－4≤x＋1≤－1.所以1≤(x＋1)2≤16.所以－12≤4－(x＋1)2≤3.所以所求函数的值域为[－12，3].解析：(5)函数f(x)＝5x+4x−1＝5(x−1)+9x−1＝5＋9x−1，因为x≠1，所以9x−1≠0，所以f(x)≠5，所以函数f(x)＝5x+4x−1的值域为(－∞，5)∪(5，+∞)．。

高中数学《函数的概念》导学案

第一章集合与函数概集合 1.2.1 函数的概念一、学习目标1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素；2.会判断给出的两个函数是否是同一函数；3.能正确使用区间表示数集，会求函数定义域、值域及函数相等的判断。

【重点、难点】重点：理解函数的概念，用区间符号正确表示数的集合；难点：对函数概念及符号y=f(x)的理解，求函数定义域和值域。

二、学习过程【情景创设】初中的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。

【导入新课】问题1：对教科书中第15页的实例(1)，你能得出炮弹飞行1s,5s,10s,20s 时距地面多高吗？其中t 的取值范围是什么？(点拨：用解析式刻画变量之间的对应关系，关注t 和h 的范围)解:h(1)= ，h(5)= ， h(10)= ， h(20)= 炮弹飞行时间t 的变化范围是数集{026}A x x =≤≤，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集{0845}B h h =≤≤，对应关系21305h t t =- （*）。

从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系（*），在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应。

问题2：对教科书中第15页的实例(2)，你能从图中可以看出哪一年臭氧空洞面积最大？哪些年的臭氧空洞面积大约为2000万平方千米？其中t 的取值范围是什么？(点拨：用图像刻画变量之间的对应关系)。

例子（2）中数集{19792001}A t t =≤≤，{026}B S S =≤≤，并且对于数集A 中的任意一个时间t ，按图中曲线，在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S 和它对应。

高中数学必修一导学案：指数函数

活动单18：指数函数（1）【学习目标】1. 了解指数函数的模型的实际背景，理解指数函数的概念与意义；2. 能画出指数函数的图像，探索并理解指数函数的性质；3.体会从特殊到一半再到特殊的研究方法：定义-图像-性质-应用的研究模式；以及数形结合与分类讨论思想的渗透【重点】指数函数的概念，图像和性质的简单应用【难点】指数函数的图像与性质的探讨过程【预习导学】一.预习范围：6466p -----例2二.预习知识1.指数函数的定义2.指数函数的图象和性质：【预习检测】1.在函数13121(1)2,(2),(3),(4),(5)(),(6)2x x y y x y x y x y y x -======中，指数函数有______________2.比较下列各组中两个值大小① 30.8_____30.7 ② 0.75－0.1 ______ 0.750.1 ③ 2.013 _________2.017④ 0.99_____0.994.5 ⑤1.52.5 _____ 1.53.2 ⑥0.5－1.2 _______ 0.5－1.53.(1)已知3x ≥30.5 , 求实数x 的取值范围;(2)已知0.2x <25 , 求实数x 的取值范围.【探究案】探究一：指数函数概念的形成与剖析假设某同学现有水平为1，如果每天在前一天的基础上增长百分之一，那么一天后他的水平为多少？两天后？三天，四天？…….x天后该同学的水平呢？假设某同学现有水平为1，如果每天在前一天的基础上下降百分之一，那么一天后他的水平为多少？两天后？三天，四天？…….x天后该同学的水平呢？（1）根据上述两个函数模型你能举出类似的函数模型么？（2）这些模型在形式上有什么共同的特征？（3）指数函数的概念中为什么要规定a>0且a≠1呢？（4）下列函数是指数函数的为：①(4)xy=-②23xy =③0.5xy=④13xy-=探究二：指数函数的图像与性质在同一坐标系内作出下列函数的图像(在坐标纸中完成)11 2,(),3,23xx x xy y y y ⎛⎫==== ⎪⎝⎭填写下表：探究三：指数函数的图像与性质的运用1．比较下列各题中两个值的大小（1） 2.5 3.21.5,1.5；（2） 1.2 1.50.5,0.5--；（3）0.3 1.21.5,0.8．(4) (31)34 , (－3)32 , (43)212．解不等式（1）28x > ；（2）1327x < ；（3）1()2x>；（4）50.2x <【课堂检测】1.若函数(1)x y a =-在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是2.已知函数x y a =(0,1)a a >≠在区间[1,1]-上的最大值与最小值的差是1，求实数a 的值；3. 解不等式：(1)293x x -> (2)34260x x ⨯-⨯>4.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……依此类推，写出一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与分裂次数x 之间的函数关系式。

3.1.1 函数的概念第一课时-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册导学案

§3．1．1 函数的概念导学目标：1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。

2．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．（预习教材P59~ P66，回答下列问题）回忆：初中学习的函数概念是什么？设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数；其中自变量x的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值叫做函数的值域。

情景：请同学们考虑以下两个问题：①1y=是函数吗？②y x=和2xyx=是同一个函数吗？为了得到函数更准确的定义，我们一起看下面几个函数，回答相应的问题：问题一：某“复兴号”高速列车加速到350km后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t(单位：h）的关系可以表示为350S t=．①思考1：有人说：“根据对应关系350S t=，这趟列车加速到50/km t后，运行1h就前进了350km．”你认为这个说法正确吗?本题中，t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数．第二章一元二次函数、方程和不等式- 2 -问题二：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资。

显然，工人一周的工资w （元）和他一周工作天数d （天）的关系可表示为350w d ．②思考2：问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么?问题三：下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图．如何根据该图确定这一天内任一时刻t 的空气质量指数的值I ？思考3：本题中变量I 是变量t 的函数吗？问题四：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。

高中数学-《函数的概念》教案、教学设计

《函数的概念》教案、教学设计一、教学目标理解函数的概念，掌握用集合与对应的语言刻画函数。

在探究函数概念的过程中，增强观察、思考和解决问题的能力，感知函数在实际生活中的应用，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

二、教学重难点【重点】理解函数概念。

【难点】用集合与对应语言刻画函数。

三、教学方法讲授法、问题情境设置法、组织讨论法四、教学过程环节一：导入新课回顾初中学习的函数概念。

学生回答：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数。

教师继续追问：高中研究的函数概念与初中有何不同。

环节二：新课讲授(一)探究函数概念大屏呈现第一个实例，请学生在导学案中画出的图象，提出问题：1、时间t的变化范围是多少；高度h的变化范围是多少？2、100s所对应的高度是多少？3、如何才能真实反映炮弹的发射过程？请同桌两人相互讨论，得出答案。

教师说明：对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应。

大屏展示实例2、3。

引导学生思考在对应关系呈现上三个实例有什么不同，有什么相同的特征。

请前后四人为以小组进行讨论，时间为5分钟，讨论结束后，请小组代表发言。

学生观察后得出例1是用解析式刻画变量间的对应关系，例2是用图象刻画变量间的对应关系，例3是用表格刻画变量之间的关系。

第二问共同点为：1、都有两个非空数集A、B2、两个数集之间都有一种确定的对应关系。

教师引导学生探究函数能否看作是两个集合之间的一种对应关系，如何重新定义函数。

师生共同归纳总结函数的概念。

强调函数的三要素为定义域、对应关系和值域。

(二)深化函数概念教师提出问题：初中学过哪些函数，它们的定义域、值域，对应法则分别是什么？引导学生画图，结合图象观察。

教师大屏幕展示正确答案，请同桌互相批改订正。

环节三：巩固提升展示四个图象，判断是否为函数。

师生共同总结判断方法，观察自变量x是否有唯一的函数值y与之对应。

高中数学必修一：3.1.2 指数函数(一) 导学案

3.1.2 指数函数(一)一、【学习目标】1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域．二、【自学要点】1 指数函数的定义:______________________________________________________________2 指数函数的图象和性质三、【尝试完成】判断下列各题的正误：1．y＝x x(x>0)是指数函数．( )2．y＝a x＋2(a>0且a≠1)是指数函数．( )3．因为a0＝1(a>0且a≠1)，所以y＝a x恒过点(0,1)．( )4．y＝a x(a>0且a≠1)的最小值为0.( )四、【合作探究】1．已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，求函数f(x)的解析式．2. 求下列函数的定义域、值域．(1)y ＝3x 1＋3x ；(2)y ＝4x －2x ＋1. 3. 求函数y ＝ 32x －1－19的定义域、值域．4. 试画出y ＝2x＋1的图象，指出它与y ＝2x 的图象的关系．5. 若直线y ＝2a 与函数y ＝|2x －1|的图象有两个公共点，求实数a 的取值范围．五、【当堂巩固】1．已知指数函数y ＝(2b －3)a x 经过点(1,2)，求a ，b 的值．2．求下列函数的定义域、值域．(1)y (2)y ＝a x －1a x ＋1(a >0，且a ≠1)．3．求下列函数的定义域、值域．(1)y ＝110.3x -；(2)y ＝4. 已知函数f (x )＝4＋a x ＋1的图象经过定点P ，则点P 的坐标是________．5. 试画出函数y ＝a |x |(a >1)的图象．六、【课堂小结】：七、【教学反思】：。

1.2.1函数的概念导学案

x ，输入“加工器” f （对 x 实行加工程序 f ）后，生产出来产品 y 。 y f x 的
意义是： y 就是 x 在关系 f 下的对应值，而 f 是“对应”得以实现的方法和途径。如 f x 2 x 6, f 表示 2 倍的自变量再加上 6，如 f 3 2 3 6 12 。“定义域”就是一堆待加工的原材料，“对应法则”就是加工的程序（方法）。将每一个原材料 x 经过加工的到相应的产品，将所有的原材料经过加工得到的全部产品收集起来，所形成的集合就是函数的值域，“值域”是产品，是被动生成的。函数的定义域、对应法则、、值域被称为函数的三要素，其实起决定作用的只是函数的定义域和对应法则。对于“原料→加工→产品”的生产流程，显然“原料”是重要的。巧妇难为无米之炊， “米”一定是要有的，即函数的定义域不能是空集。而且有什么样的“米”，有多少“米”，一般都会影响整个加工过程。由此可见，对于函数而言，“米”是重要的。故要研究函数先看“米”，有人甚至说：“定义域是函数的灵魂！” 从产品的角度来看，既要有“米”，还要看加工的流程工艺（方法）。不
，与 x 值相对应的 y 值叫做．
2. y x ( x 0) 是函数吗？
3. y
x - 3 1 x 是函数吗？
1
4. 问题 1：下列给出的四个图形中，是函数图象的是：（
）
A、①
B、①③④
B、①②③
D、③④
5.下列对应是否是 A 到 B 的函数 A：A=Z，B= N ，f：x→y=|x| B：A={0，1，2，4}，B={0，1，4，9，64}，f：x→y=(x-1) C：A=B=R，f：x→y=
【强调】①值域由_________和______________唯一确定；f(x)是函数符号，f 表示对应关系，f(x)表示 x 对应的函数值，绝对不能理解为 f 与 x 的乘积.在不同的函数中 f 的具体含义不同，对应关系可以是解析式、图象、表格等.函数除了可用符号 f(x)表示外，还可用 g(x),F(x)等表示． ②常见函数的定义域与值域. 函数一次函数二次函数解析式定义域值域

苏教版必修1高中数学指数函数(1)导学案

高中数学指数函数（1）导学案苏教版必修1【学习目标】1了解指数函数的概念；2会画指数函数的图象及由图象得出指数函数的性质指数函数图象和性质的分类讨论【课前预习】书P 49通过考古中利用14C 的衰减来测定古生物年代的例子，分析函数关系1、指数函数的定义值域【课堂研讨】例1、比较大小（1）5.25.1与2.35.1 （2）2.15.0与5.15.0 （3）3.05.1与2.18.0例2、（1）已知5.033≥x ，求实数x 的取值范围；（2）已知252.0<x ，求实数x 的取值范围。

例3、下列函数是指数函数的是（填序号）（1）x y 4= （2）4x y = （3）x y )4(-= （4）24x y =。

例4、函数)1,0(12≠>=-a a a y x 的图象必过定点。

例5、若指数函数x a y )12(+=在R 上是增函数，求实数a 的取值范围。

【学后反思】指数函数1检测案班级：姓名：学号：【课堂检测】1、如果指数函数x a x f )1()(-=是R 上的单调减函数，那么a 取值范围是（）A 、2<aB 、2>aC 、21<<aD 、10<<a2、下列关系中，正确的是（）A 、5131)21()21(>B 、2.01.022>C 、2.01.022--> D 、3151)21()21(-->3、比较下列各组数大小：（1）3.25.01.3,1.3 （2）24.03.032,32--⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ （3）1.05.22.0,3.2--4、函数x x f 10)(=在区间[-1，2]上的最大值为，最小值为。

函数x x f 1.0)(=在区间[-1，2]上的最大值为，最小值为。

、回顾反思【课后巩固】1、求满足下列条件的实数x 的范围：（1）82>x （2）2713<x （3）221>⎪⎭⎫ ⎝⎛x （4）2.05<x 2、已知下列不等式，试比较n m ,的大小：（1）n m 22< （2）n m 2.02.0< （3）)10(<<<a a a n m3、下列函数中，在R 上是减函数的是。

人教A版高中数学第一册(必修1)学案1：3.1.1 函数的概念

第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示3.1.1函数的概念课前自主学习知识点1函数的定义及相关概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)相关概念：x叫做，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的. 显然，值域是集合B的.(3)同一个函数：如果两个函数的相同，并且完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．『微思考』(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？(2)什么样的对应可以构成函数关系？知识点2区间及相关概念(1)一般区间的表示设a，b是两个实数，而且，我们规定：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间{x|a<x<b}开区间{x|a≤x<b}半闭半开区间{x|a<x≤b}半开半闭区间(2)实数集R可以用区间表示为，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．(3)特殊区间的表示定义区间数轴表示{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤b}{x|x<b}『微体验』1．下列区间与集合{x|x<－2或x≥0}相对应的是()A．(－2,0)B．(－∞，－2』∪『0，＋∞)C．(－∞，－2)∪『0，＋∞)D．(－∞，－2』∪(0，＋∞)2．下列集合不能用区间的形式表示的个数为()①A＝{0,1,5,10}；②{x|2<x≤10，x∈N}；③∅；④{x|x是等边三角形}；⑤{x|x≤0或x≥3}；⑥{x|x>1，x∈Q}．A．2B．3 C．4D．53．{x|x＞1且x≠2}用区间表示为________．课堂互动探究探究一函数关系的判断例1 下列对应中是A 到B 的函数的个数为( ) (1)A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝『－1,1』，B ＝{0}，f ：x →y ＝0；(4)A ＝{1,2,3}，B ＝{a ，b }，对应关系如下图所示：(5)A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6}，对应关系如下图所示：A ．1B ．2C ．3D ．4『方法总结』判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断 (1)A ，B 必须是非空数集；(2)A 中任何一个元素在B 中必须有元素与其对应； (3)A 中任何一个元素在B 中的对应元素必须唯一．跟踪训练1 对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( )①y 是x 的函数；②对于不同的x 值，y 的值也不同；③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量；④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个探究二求函数定义域问题例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x |x |－3；(3)y ＝ax －3(a 为常数)．变式探究将本例(1)改为y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 2，其定义域如何？『方法总结』求函数定义域的常用依据(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合； (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义； (5)若f (x )是实际问题的『解析』式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．跟踪训练2 (1)设全集为R ，函数f (x )＝2－x 的定义域为M ，则∁R M 为( ) A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，2』D ．『2，＋∞)(2)函数f (x )＝xx －1的定义域为________．探究三求函数值和函数值域问题例3 已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (2))的值； (3)求f (x )，g (x )的值域．『方法总结』求函数值域的原则及常用方法(1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算确定其值域．(2)常用方法：①逐个求法：当定义域为有限集时，常用此法；②观察法：如y＝x2，可观察出y≥0；③配方法：对于求二次函数值域的问题常用此法；④换元法：对于形如y＝ax＋b＋cx＋d的函数，求值域时常用换元法，令t＝cx＋d，将原函数转化为关于t的二次函数；⑤分离常数法：对于形如y＝cx＋dax＋b的函数，常用分离常数法求值域；⑥图象法：对于易作图象的函数，可用此法，如y＝1x－1.跟踪训练3求下列函数的值域：(1)y＝3x－1，x∈{1,3,5,7}；(2)y＝－x2＋2x＋1，x∈R；(3)y＝x＋1－2x.探究四同一个函数的判定例4 下列各组函数是同一个函数的是________．(填序号)①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x0与g(x)＝1x0；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.『方法总结』判断同一个函数的三个步骤和两个注意点(1)判断函数是否相等的三个步骤．(2)两个注意点．①在化简『解析』式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示变量无关．跟踪训练4下列各组中的两个函数是否为同一个函数？(1)y1＝(x＋3)(x－5)x＋3，y2＝x－5；(2)y1＝x＋1·x－1，y2＝(x＋1)(x－1).随堂本课小结1．对函数概念的五点说明(1)对数集的要求：集合A，B为非空数集．(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值．(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可．2．求函数的定义域就是求使函数『解析』式有意义的自变量的取值范围，列不等式(组)是求函数定义域的基本方法．3．求函数的值域常用的方法有：观察法、配方法、换元法、分离常数法、图象法等．——★参*考*答*案★——课前自主学习知识点1函数的定义及相关概念(2)自变量定义域函数值值域子集(3)定义域对应关系『微思考』(1)提示：不一定，两个集合必须是非空的数集.(2)提示：两个非空数集之间是一一对应关系或多对一可构成函数关系．知识点2区间及相关概念(1)a<b『a，b』(a，b) 『a，b) (a，b』(2) (－∞，＋∞)(3) 『a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b』(－∞，b)『微体验』1．C『『解析』』集合{ x|x<－2或x≥0}可表示为(－∞，－2)∪『0，＋∞)．2．D『『解析』』用区间表示的集合必须是连续的实数构成的集合，只有⑤是连续实数构成的集合，因此只有⑤可以用区间表示．3．(1,2)∪(2，＋∞)『『解析』』{x|x＞1且x≠2}用区间表示为(1,2)∪(2，＋∞)．课堂互动探究探究一函数关系的判断例1 B『『解析』』(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；(3)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数；(4)集合B 不是确定的数集，故不是A 到B 的函数；(5)集合A 中的元素3在B 中没有对应元素，且A 中元素2在B 中有两个元素5和6与之对应，故不是A 到B 的函数．跟踪训练1 B『『解析』』①③正确，②是错误的，对于不同的x 值，y 的值可以相同，这符合函数的定义，④是错误的，f (x )表示的是函数，而函数并不是都能用具体的式子表示出来．探究二求函数定义域问题例2 解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1，且x ≠－1，即函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数的定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}．(3)要使函数有意义，必须使ax －3≥0.当a ＞0时，原函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≥3a ；当a ＜0时，原函数的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤3a；当a ＝0时，ax －3≥0的解集为∅，不符合函数的定义，故此时不是函数．变式探究解由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x 2≥0，解得{x |－1＜x ≤1}．跟踪训练2 (1)A『『解析』』由2－x ≥0，解得x ≤2，所以M ＝(－∞，2』，所以∁R M ＝(2，＋∞)． (2){x |x ≥0，且x ≠1}『『解析』』要使xx －1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －1≠0，解得x ≥0，且x ≠1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≥0，且x ≠1}．探究三求函数值和函数值域问题例3 解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6.(2)f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17. (3)f (x )＝11＋x 的定义域为{x |x ≠－1}，∴值域是{y |y ≠0}．g (x )＝x 2＋2的定义域为R ，最小值为2，∴值域是{y |y ≥2}．跟踪训练3 解 (1)(逐个求法)将x ＝1,3,5,7依次代入『解析』式，得y ＝2，8,14,20.∴函数的值域是{2,8,14,20}．(2)(配方法)∵y ＝－x 2＋2x ＋1＝－(x －1)2＋2≤2， ∴函数的值域是(－∞，2』．(3)(换元法或配方法)令1－2x ＝t ，则x ＝1－t 22，且t ≥0，∴原函数化为y ＝1－t 22＋t ＝－12t 2＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1≤1.∴所求函数的值域是(－∞，1』．探究四同一个函数的判定例4 ②③『『解析』』①f (x )＝－x －2x ，g (x )＝x －2x ，对应关系不同，故f (x )与g (x )不是同一个函数；②f (x )＝x 0＝1(x ≠0)，g (x )＝1x 0＝1(x ≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一个函数；③f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1，对应关系和定义域均相同，故是同一个函数．跟踪训练4 解 (1)两函数定义域不同，所以不是同一个函数．(2)y 1＝x ＋1·x －1的定义域为{x |x ≥1}，而y 2＝(x ＋1)(x －1)的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，定义域不同，所以不是同一个函数．。

高中数学第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1第1课时函数的概念一学案含解析第一册

第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3。

1.1函数的概念【素养目标】1．通过丰富实例,学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．（数学抽象）2．了解构成函数的三要素．(数学抽象)3．能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．(直观想象）4．理解同一个函数的概念．（数学抽象)5．能判断两个函数是否是同一个函数．（逻辑推理）【学法解读】1．函数概念的引入,学生以熟悉的例子为背景进行抽象，从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等角度整体认识函数的概念．例如，学生可以从已知的、基于变量关系的函数定义入手，通过生活或数学中的问题，构建函数的一般概念，体会用对应关系定义函数的必要性，感悟数学抽象的层次．2．本节重点是理解函数的定义，会求简单函数的定义域，难点是理解y＝f(x）的含义，学生要加深理解．第1课时函数的概念(一）必备知识·探新知基础知识知识点1函数的概念定义设A、B是非空的__实数集__，如果对于集合A中的__任意一个数x__，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__唯一确定__的数y和它对应,那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数,记作y＝f（x）,x ∈A三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域__x__的取值集合值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}.思考1：(1）对应关系f一定是解析式吗？(2)f（x)与f（a）有何区别与联系?提示：（1）不一定．对应关系f可以是解析式、图象、表格,或文字描述等形式．(2)f(x)与f(a）的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f（x）的值,是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量,f（a）是f(x）的一个特殊值．知识点2区间及有关概念(1）一般区间的表示．设a，b∈R，且a〈b，规定如下：定义名称符号数轴表示｛x|a≤x≤b｝闭区间__[a，b］__{x｜a＜x ＜b}开区间__(a,b）__｛x｜a≤x ＜b｝半开半闭区间__［a，b）__{x|a＜x≤b}半开半闭区间__（a，b］__(2）特殊区间的表示．定义R{x｜x≥a｝{x｜x〉a}｛x|x≤a}{x｜x<a}符号__（－∞,＋∞)____[a，＋∞)____(a，＋∞）____(－∞,a］____(－∞，a）__思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？以“－∞"或“＋∞”作为区间一端时这一端可以是中括号吗？提示：（1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．（2)“∞"读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时,这一端必须是小括号．基础自测1．区间［5，8）表示的集合是（C）A．｛x|x≤5或x>8}B．｛x｜5<x≤8}C．{x|5≤x〈8｝D．{x｜5≤x≤8}［解析］区间[5,8）表示的集合是{x|5≤x〈8｝，故选C．2．已知f(x）＝2x＋1,则f(5)＝(C)A．3 B．7C．11 D．25［解析]f(5)＝2×5＋1＝11，故选C．3．（2019·江苏,4)函数y＝7＋6x－x2的定义域是__［－1,7]__.［解析]要使函数y＝错误!有意义，应满足7＋6x－x2≥0，∴x2－6x－7≤0，∴（x－7)（x＋1)≤0，∴－1≤x≤7，∴函数y＝错误!的定义域是［－1，7]．4．已知f(x)＝错误!，g(x)＝－x2＋2。

《函数的概念》教学设计

《函数的概念》教学设计第一篇：《函数的概念》教学设计《函数的概念》教学设计教材分析：函数作为初等数学的核心内容，贯穿于整个初等数学体系之中函数这一章在高中数学中，起着承上启下的作用，它是对初中函数概念的承接与深化。

在初中，只停留在具体的几个简单类型的函数上，把函数看成变量之间的依赖关系，而高中阶段对函数的概念加入“对应”，这一章内容渗透了函数的思想、特殊到一般，数形结合思想，从感性到理性,数学建模的思想等内容，这些内容的学习，无疑对学生今后的学习起着深刻的影响教学目标：知识与技能：（1）理解函数的概念，;（2）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

2过程与方法：通过学生自身对实际问题分析、抽象与概括，培养了抽象、概括、归纳知识以及建模等方面的能力；3情感与价值观：以熟知的生活实例引入，激发了学习数学的兴趣，增强其数学应用意识、创新意识。

相互合作学习，增强其合作意识体会合作学习的重要性。

教法：启发探究为主，讨论法为辅学法：观察分析、自主探究、合作交流教学重点：理解函数的实际背景，用集合与对应的语言来刻画函数教学难点：理解函数的实际背景，用集合与对应的语言来刻画函数教学过程：一、复习引入：．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2．回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和，对于x的每一个值，都有唯一确定的值与之对应，此时是x的函数，x是自变量，是因变量。

表示方法有：解析法、列表法、图象法二、概念情景引入：思考1：（本P1）给出三个实例：A．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为84米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是。

B．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。

（见本P1图）．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。

“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。

【参考教案2】《函数的概念》(数学人教版必修一)

《函数的概念》教材分析函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目标（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重难点【教学重点】理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；【教学难点】符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：我国2003年4月份非典疫情统计：3.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关。

新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）。

记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示。