高中必修第一册数学《3.1 函数的概念及其表示》获奖说课导学案

3.1.1 函数的概念

1.通过丰富的买例进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型;

2.用集合与对应的思想理解函数的概念;

3.理解函数的三要素及函数符号的深刻含义;

4.会求函数的定义域。

1.教学重点：函数的概念，函数的三要素；

2.教学难点：函数的概念及符号()y f x =的理解。

一、函数的概念：设A 、B 是 的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 ，在集合B 中都有 的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：y=f(x) x ∈A ．

x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{ f(x)| x ∈A }叫做函数的 . 二、区间

三、函数的三要素： 、 、 。 四、判断函数相等的方法： 、 。

一、复习回顾，温故知新

1. 初中学习的函数的定义是什么？

定义 名称 符号 数轴表示

{|}x a x b ≤≤ 闭区间 [a,b] {|}x a x b << 开区间 (a,b) {|}x a x b ≤<

半开半闭区间 [a,b)

{|}x a x b <≤ 半开半闭区间 (a,b] {|}x x a ≥ {|}x x a > {|}x x b < {|}x x b ≤

2.回顾初中学过哪些函数？

二、探索新知 探究一 函数的概念

问题1. 某“复兴号”高速列车到350km/h 后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S （单位：km ）与运行时间t （单位：h ）的关系可以表示为 S=350t 。

1.思考：根据对应关系S=350t ，这趟列车加速到350km/h 后，运行1h 就前进了350km ，这个说法正确吗？

问题2 某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w （单位：元）是他工作天数d 的函数吗？

2.思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？

问题3 如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻th 的空气质量指数的值I ？你认为这里的I 是t 的函数吗？

问

题 4 国际上常用恩

格尔系数

）总支出金额

食物支出金额

r r (

反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？

3.思考：上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？

4.函数的概念：设A、B是的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的一个数x，在集合B中都有的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y=f(x) x∈A．

x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f(x)| x∈A }叫做函数的 .

5.对函数符号y=f(x)的理解：

（1）、y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示，仅是一个函数符号， f(x)不是f与x相乘。

例如：y=3x+1可以写成f(x)= 3x+1。

当x=2时y=7可以写成f(2)=7

想一想：f(a)表示什么意思？f(a)与f(x)有什么区别？

6、思考：函数的值域与集合B什么关系？请你说出上述四个问题的值域？

牛刀小试

1.对于函数y=f (x)，以下说法正确的有( )

①y是x的函数

②对于不同的x,y的值也不同

③ f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量

④ f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

练习：一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域：

例 1. 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画同一类事物中的变量关系和规律。

例如，正比例函数)0(≠=k kx y 可以用来刻画匀速运动中的路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等。

试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述。

探究二 区间的概念

设a ，b 是两个实数，而且a

⒈满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ，b] ⒉满足不等式a

⒊满足不等式a ≤x

这里的实数a ，b 叫做相应区间的端点

实数集Ｒ可以用区间表示为(,)-∞+∞，把“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。 注意：

（1）.区间（a,b ）,必须有b>a ； （2）.区间只能表示数集； （3）.区间不能表示单元素集； （4）.区间不能表示不连续的数集； （5）.区间的左端点必须小于右端点； （6）.区间都可以用数轴表示；

（7）.以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号. 牛刀小试

试用区间表示下列实数集合 （1） {x|5 ≤ x<6} （2） {x|x ≥9}

（3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2}

例2 已知函数2

1

3)(++

+=

x x x f