吉林大学2015级高等数学AIII期末试题(含答案)
高等数学期末试题(含答案)
高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
2015届高三年级期末考试数学(理)含答案
2015届高三年级期末考试 数 学 试 题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．sin(210)-的值为A ．B ．C ．D ．2．设全集U R =，(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤，A B =A ．B ．C ．{}1D ．{}0,13．设x R ∈，则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++”为纯虚数的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201312014a a a -<<-，则必定有 A ．201320140,0S S ><且 B ．201320140,0S S <>且 C ． 201320140,0a a ><且 D ．201320140,0a a <>且 5．若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 A.10 B.20 C.30 D.120 6．函数sin(2)3y x π=-+在区间[0,]π上的单调递增区间为A ．511[,]1212ππ B ．5[0,]12π C ．2[,]63ππ D ．2[,]3ππ 7．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体， 其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何 体的体积是A ．143 B ．4 C ．103D ．38．A 、B 、C 三点不共线，D 为BC 的中点，对于平面ABC内任意一点O 都有11222OP OA OB OC =--，则A.AP AD =B.PA PD =C.DP DA =D.PA AD = 9．将边长为2的等边PAB 沿x 轴正方向滚动，某时刻P 与坐标原点重合(如图)，设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，关于函数()y f x =的有下列说法：①()f x 的值域为[]0,2； ②()f x 是周期函数； ③(4.1)()(2013)f f f π<<； ④69()2f x dx π=⎰. 其中正确的说法个数为A ．0B ．1C ．2D ．310．过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-，则双曲线的离心率为ABCD11．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含个小正方形．则等于正视图 侧视图俯视图A ．761B ．762C ．841D ．84212．若a 、b 是方程lg 4x x +=，104xx +=的解，函数()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，则关于x 的方程()f x x =的解的个数是A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．） 13．下图是某中学甲、乙两名学生2014年篮球比 赛每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两名学生得 分的中位数之和是___________．14．已知平面α截一球面得圆M ,过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为5,圆M 的面积为9π,则圆N 的面积为______________.15．已知{(,)|||1,||1}x y x y Ω=≤≤，A 是曲线2y x =与12y x =围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________． 16．对于四面体，以下命题中，真命题的序号为 （填上所有真命题的序号） ①若AB ＝AC ，BD ＝CD ，E 为BC 中点，则平面AED ⊥平面ABC ； ②若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，则BD ⊥AC ；③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2:1； ④若以A 为端点的三条棱所在直线两两垂直，则A 在平面BCD 内的射影为△BCD 的垂心； ⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面。
吉林师范成人教育《高等数学(A)》期末考试复习题及参考答案
吉林师范成人教育期末考试试卷《高等数学》A 卷年级 专业 姓名 分数一、填空题（每小题3分，本题共18分）1．=∞→xxx sin lim.2．函数1)(2-=x xx f 的间断点是 .3．设x x y 2sin 2=，则=dy . 4．⎰='dx x f )( .5．()⎰-=+ππxdx x xsin 246．()⎰=xdt t x y 032 ,()='x y二、判断题（正确的画“√”，错误的画“⨯”）（每小题3分，本题共15分） 1．若数列{}n x 有界，则数列{}n x 一定收敛. ( )2．若函数)(x f 在0x 处左、右极限存在,则函数)(x f 在0x 处极限存在. ( )3．若函数)(x f 在0x 处可导,则函数)(x f 在0x 处连续. ( )4．函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，则函数)(x f 在区间[]b a ,一定可积. ( )5.函数()x f y =在[]a a ,-上可积且是偶函数，则()()⎰⎰-=a aadxx f dx x f 02（ ）三、计算下列各题（每小题6分，共计60分）1．132lim 221--+→x x x x 2．xxx 3sin 5sin lim 0→3．31sin lim xxx x --→4．xe e xx x sin lim 0-→-5．设3)12(+=x y .求y '6. 求由方程022=-+xy y x 所确定的隐函数的导数y '.7. 求 ⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-+dx x x x 211cos 28. 求 ()⎰-dx x 219.求 ⎰-44sin ππxdx x10.求由曲线1=xy 及直线x y =，2=x ,0=y 围成图形的面积.四、证明不等式a b a b -≤-arctan arctan （7分）吉林师范大学云南函授站考试卷(A 卷)专业 数学与应用数学 08 －09 学年 上 学期《高等数学》参考答案一、填空题1．0； 2．1±； 3．()dx x x x x 2cos 22sin 22+； 4．c x f +)(； 5．0 ； 6．32x ；二、判断题（正确的画“√”，错误的画“╳”）（每小题3分，本题共15分） 1．╳ ；2．╳ ；3．√ 4．√5. √ 三、1．132lim 221--+→x x x x 解：原式＝())1)(1()3(1lim1-++-→x x x xx ()224)1(3lim1==++→x x x 2．xx x 3sin 5sin lim0→解：原式＝33sin 355sin 5lim0x x x →＝33sin 3lim 55sin 5lim 00xxx x →→＝35 或原式＝x xx 3cos 35cos 5lim 0→＝353cos 3lim 5cos 5lim 00=→→x x x x 3．30sin limxxx x -→ 解：原式＝203cos 1lim xx x -→＝x x x 6sin lim 0→＝616cos lim 0=→x x 4．xe e xx x sin lim 0-→-解：原式＝=--→x e e x x x sin lim02111cos lim 0=+=+-→x e e x x x 5．设3)12(+=x y .求y '解：原式＝()='++=12)12(32x x y 22)12(62)12(3+=+x x 6. 求由方程022=-+xy y x 所确定的隐函数的导数y '. 解：方程两边对x 求导： 022='--'+y x y y y x ()x y y x y 22-='- xy xy y --='227. 求 ⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-+dx x x x 211cos 2 解：原式＝C x x x +--arctan sin 28. 求 ()⎰-dx x 21解：原式＝C x x x dx x x ++-=+-⎰32231)21(9.求 ⎰-44sin ππxdx x解：原式＝2⎰40sin πxdx x ＝⎰-40cos 2πx xd ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎰4040cos cos 2ππxdx x x＝242sin 224240+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---πππx 10.求由曲线1=xy 及直线x y =，2=x ,0=y 围成图形的面积.解：211021021ln 211x x dx x xdx S +=+=⎰⎰2ln 21+ 四、证明不等式a b a b -≤-arctan arctan （7分） 证明：函数[]b a x xx f ,arctan )(∈=易见)(x f 在[]b a ,上连续，且满足拉格朗日中值定理，则在[]b a ,存在一点ξ有：a b f a f b f -'=-)(()()(ξ即 )(11arctan arctan 2a b a b -+=-ξa b a b a b -≤-+=-∴211arctan arctan ξ。
吉林大学 2015-2016学年第一学期期末考试《离散数学》大作业
一．R，S是集合A上的两个关系。
试证明下列等式：（1）(R•S)-1= S-1•R-1（2）(R-1)-1= R答：（1）对∀∈(R。
S)^(-1)∈R。
S∈R ∧∈S∈S^(-1)∧∈R^(-1)∈S^(-1)。
R^(-1)（2）对∀∈(R^(-1))^(-1)∈R^(-1)∈R二、R，S是集合A上的两个关系。
试证明下列等式：（1）(R∪S)-1= R-1∪S-1（2）(R∩S)-1= R-1∩S-1（1）证相互包含:任意<x,y>∈（R∪S）^(-1),<y,x>∈（R∪S）,<y,x>∈R或者),<y,x>∈S<x,y>∈R^(-1),或者<x,y>∈S^(-1),<x,y>∈R^(-1)∪S^(-1),（R∪S）^(-1)包含于R^(-1)∪S^(-1),任意<x,y>∈R^(-1)∪S^(-1),<x,y>∈R^(-1),或者<x,y>∈S^(-1),<y,x>∈R或者,<y,x>∈S<y,x>∈（R∪S）,<x,y>∈（R∪S）^(-1),R^(-1)∪S^(-1)包含于（R∪S）^(-1),所以（R∪S）^(-1)=R^(-1)∪S^(-1),（2）任意<x,y>∈（R∩S）^(-1),<y,x>∈（R∩S）,<y,x>∈R并且,<y,x>∈S<x,y>∈R^(-1),并且<x,y>∈S^(-1),<x,y>∈（R^(-1)∩S^(-1),（R∩S）^(-1)包含于R^(-1)∩S^(-1),任意<x,y>∈R^(-1)∩S^(-1),<x,y>∈R^(-1),并且<x,y>∈S^(-1),<y,x>∈R并且,<y,x>∈S<y,x>∈（R∩S）,<x,y>∈（R∩S）^(-1),R^(-1)∩S^(-1)包含于（R∩S）^(-1),所以（R∩S）^(-1)=R^(-1)∩S^(-1),三、设R是非空集合A上的关系，如果1）对任意a∈A，都有a R a ；2）若aRb，aRc，则bRc ；对称性：已知aRa,对任意b,如果aRb,那么根据条件2有bRa.传递性：对任意a,b,c,如果aRb且bRc,那么根据对称性有bRa,再根据条件2就有aRc.四、若集合A上的关系R，S具有对称性，证明：R•S具有对称性的充要条件为R•S= S•R。
吉林大学---高数-A3作业
高等数学作业AⅢ吉林大学公共数学教学与研究中心2013年9月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设L 是圆周222x y a +=，则22()d n L x y s +=⎰( ) ． （A ）2n a π；（B ）12n a π+；（C ）22n a π；（D ）212n a π+．2．设L 是由(0, 0), (2, 0), (1, 1)三点连成的三角形边界曲线，则d L y s =⎰( )．（A（B ）2+（C ）（D ）2+3．设∑是锥面222x y z +=在01z ≤≤的部分，则22()d x y S ∑+=⎰⎰( )． （A ）1300d d r r πθ⎰⎰； （B ）21300d d r r πθ⎰⎰；（C 1300d d r r πθ⎰；（D 21300d d r r πθ⎰．4．设∑为2222(0)x y z a z ++=≥，1∑是∑在第一卦限中的部分，则有( )． （A ）1d 4d x S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（B ）1d 4d y S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（C ）1d 4d z S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（D ）1d 4d xyz S xyz S ∑∑=⎰⎰⎰⎰．二、填空题1．设曲线L 为下半圆y =22()d L x y s +=⎰ ． 2．设L 为曲线||y x =-上从1x =-到1x =的一段，则d L y s =⎰ ．3．设Γ表示曲线弧,,,(02)2t x t y t z t π==≤≤，则222()d xy z s Γ++=⎰ ．4．设∑是柱面222(0)x y a a +=>在0z h ≤≤之间的部分，则2d x S ∑=⎰⎰ ．5．设∑是上半椭球面2221(0)94x y z z ++=≥，已知∑的面积为A ，则222(4936)d x y z xyz S ∑+++=⎰⎰ ．三、计算题1．计算22ed x y L s +⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．2．2d z s Γ⎰，其中2222,:0.x y z a x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩．3．计算曲面积分()d xy yz zx S ∑++⎰⎰,其中曲面:z ∑=被柱面222x y x +=所截得部分。
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线内不要答题XXXX 大学2014/2015学年第一学期《高等数学》期末考试试卷(A 卷)绝密⋆启用前(XXXX 年级)题号一二三总分复核人得分得分评卷人复核人一、选择题(共20小题，每小题3分，共60分)(类型说明：每一道试题下面有A 、B 、C 、D 四个选项，请从中选择一个最佳答案，并在答题卡上将相应题号的字母涂黑，以示正确答案.)1.已知得分评卷人复核人二、填空题(共10小题，每小题3分，共30分)(类型说明：请把答案写在题中横线上，不必写出中间过程.)2.已知得分评卷人复核人三、解答题(共2小题,每小题5分,共10分)(类型说明：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在指定区域作答.)3.已知
《高等数学》试卷共2页第1页
《高等数学》试卷共2页第2页。
2015年数学三真题答案解析
<lz
+xz +x. y
—
3y
= O.
I 将x =O,y = O,z =O代入两式，得d生X
(O,O) =-上 3 '生 dy
CO,Ol
＝
－
—2 3
，则
Idz
=— 』dx — �dy.
(0,0)
3
3
(12) Ze工 十e-2工
解 因 y(x)在X =O处取得极值3'且y(x)可导，则y(O) =3,y'(O) =0. 特征方程为入2 十入-2 =0,解得入I = l,入2 =— 2.
Y相互独立．
( ( 由X �N l,l),可得X — l�N O,l),所以
P{XY-Y<O} = P{(X — l)Y<O}
= P{X-l<O,Y>O}+P{X-l>O,Y<O}
1 1 = P{X- <O} P{Y>O}+P{X — >O} P{Y<O}
＝长』三三 = ½
三、解答题
(1 5)解因为
v(x+心）— v(x)
lim
= u'(x), lim
= v'(x), 且limv(x+L心= v(x).
心-o
公
心-o
企X
6x丑0
从而
u(x + Dx)v(x十6x) — u(x)v(x)
[u(x)v(x)了 = lim
心
6x
= 卢 lim-o[u(x十心DxX)
u (x)
v(x + Dx) -v(x)
由题目中条件，知J(l)=矿(1) — <p(1) =2.
《高等数学AI》期末复习题参考答案
《高等数学AI 》期末复习题一参考答案一、选择题：1. C ；2. C ；3. D ；4. B ；5. D ；二、填空题：1、[ 2，4 ]；2、1；3、x = 1；4、y = x + 1；5、5272x ；6、单调增加；7、( - 1，6 )；8、3；9、y = 1；10、C ln x a a+；1112、π2；13、3。
三、计算下列极限：1、解：原式 = 201cos lim x xx→- 2、解：原式 = 1lim (1)1xx x →∞++ = 22012lim x x x → =1111lim (1)(1)11x x x x +-→∞+⋅+++ =12。
= e 。
四、计算下列导数：1、解：y ′ = 22(1)(2)x x x +-++2、解：y ′ = cos 1sin xx+。
=21(2)x + d y = 21(2)x + d x 。
3、解：方程两边对x 求导：3 y 2 y ′ - 3 y ′ - 6 x 5 = 0，y ′ = 5221x y -。
五、计算下列积分：1、解：dx x x ⎰++2212=dx x x ⎰+++11122=dx x ⎰++)111(2=arctan C x x ++。
2、解：dx x x ⎰+2sin 1cos =)(sin sin 112x d x⎰+=arctan(sin )C x +。
3、解：原式 = ( x 3 – x 2 + x )|10 = 1。
4、解：原式 =111000||11x x x xe e d x e e e e -=-=-+=⎰。
5、解：令t=x = t 2 ，d x = 2 t d t ，原式 = 102cos t t dt ⎰ =11002(sin |sin )t t t dt -⎰102(sin1cos |)2(sin1cos11)t =+=+-。
六解：(1) 函数的定义域为：( - ∞，- 3 ) ∪ ( - 3，+ ∞)。
吉林大学---高数-A3作业
吉林大学---高数-A3作业高等数学作业AⅢ吉林大学公共数学教学与研究中心2013年9月1第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设L 是圆周222x y a +=，则22()d n L x y s +=⎰( ) ．（A ）2n a π； （B ）12n a π+； （C ）22n a π；（D ）212n a π+．2．设L 是由(0, 0), (2, 0), (1, 1)三点连成的三角形边界曲线，则d L y s =⎰( )．（A（B）2 （C） （D）2+3．设∑是锥面222x y z +=在01z ≤≤的部分，则22()d x y S ∑+=⎰⎰( )． （A ）1300d d r rπθ⎰⎰； （B ）21300d d r r πθ⎰⎰； （C1300d d r r πθ⎰； （D21300d d r r πθ⎰． 4．设∑为2222(0)x y z a z ++=≥，1∑是∑在第一卦限中的部分，则有( )．（A ）1d 4d x S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰； （B ）1d 4d y S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（C ）1d 4d z S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰； （D ）1d 4d xyz S xyz S ∑∑=⎰⎰⎰⎰．3．计算曲面积分()d xy yz zx S ∑++⎰⎰,其中曲面:z ∑=222x y x +=所截得部分。
14．求222d Sx y z ∑++⎰⎰，其中∑是介于0z =与4z =之间的柱面224x y +=．2四、应用题1．求底圆半径相等的两个直交圆柱面222x y R +=及222x z R +=所围立体的表面积．2．求面密度1ρ=的均匀半球壳2222(0)++=≥x y z a z 关于z轴的转动惯量．34第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设L 是圆周222(0)xy a a +=>负向一周，则曲线积分3223()d ()d L x x y x xy y y -+-=⎰ ( ) ．（A ）0； （B ）42a π-； （C ）4a π-； （D ）4a π．2．设L 是椭圆2248xy x +=沿逆时针方向，则曲线积分 2e d d y L x x y +=⎰ ( )．（A ）2π； （B ）π； （C ）1；（D ）0．3. 设曲线积分2d ()d L xy x y x y ϕ+⎰与路径无关，其中()x ϕ具有连续的导数，且(0)0ϕ=，则(1,1)2(0,0)d ()d xy x y x y ϕ+⎰等于（ ）（A ）38 （B ）12 （C ）34 （D ）14．已知2()d d ()x ay y y xx y +-+为某函数的全微分，则a = ( )正确．（A ）1-； （B ）0； （C ）2 （D ）1．二、填空题1．设L 为22(1)4x y +-=正向一周，则22d d (1)Lx y y xx y -=+-⎰ ． 2．设L 为封闭折线||||1x x y ++=正向一周，则22d cos()d Lx y x x y y -+=⎰ ．3．设L 为0tan d xy t t =⎰从x=0到4x π=一段弧，将(,)d (,)d L P x y x Q x y y+⎰化为第一型曲线积分为 ．4．设L 为封闭折线||||1x y +=沿顺时针方向，则22dd Lxy x x yx y+=+⎰ ． 三、计算题1．计算2d d Ly x x y -⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点(1,1)A 到(1,1)B -，再沿直线到(0,2)C 的曲线．2．计算2()d (sin )d Lxy x x y y--+⎰，其中L 是圆周y 上从(2,0)A 到(0,0)O 的一段弧．3．设()f x 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ．证明2221[1()]d [()1]d L xI y f xy x y f xy yy y=++-⎰（1）证明曲线积分I 与路径L 无关 （2）当ab cd =时，求I 的值4．设力2y x y -+=i j F ，证明力F 在上半平面内所作的功与路径无关，并求从点(1,2)A 到点(2,1)B 力F 所作的功．5．计算[][]()cos d ()sin d AMBI y x y x y x y ϕπϕπ'=-+-⎰，其中AMB 在连结点(,2)A π与(3,4)B π的线段之下方的任意路线，且该路线与AB 所围成的面积为2，()y ϕ具有连续的导数。
吉林大学历届高数考题及答案
2021~2021学年第一学期?高等数学B Ⅰ?试卷2009年1月12日一、填空题〔共7道小题，每题3分，总分值21分〕1．2lim 1nn n n →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭．2．设2log y =d y = ．3．假设00()()f x x f x +∆-与sin2x ∆为0x ∆→时的等价无穷小，那么0()f x '= ．4．设函数)(x y y =由方程331,x t y t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩所确定，那么1d d t y x == ．5．曲线2610y x x =-+在点(3,1)处的曲率为 ．6．设()d cos f x x x C =+⎰，那么()()d n f x x ⎰= ．7．31211d 1x x x -+=+⎰ ．二、单项选择题〔共7道小题，每题3分，总分值21分〕1．以下表达正确的选项是〔A 〕有界数列一定有极限． 〔B 〕无界数列一定是无穷大量． 〔C 〕无穷大量数列必为无界数列． 〔D 〕无界数列未必发散． [ ]2．设数列(){}0,1,2,n n a a n >=满足1lim 0n n n a a +→∞=，那么 〔A 〕lim 0n n a →∞=．〔B 〕lim 0n n a C →∞=>．〔C 〕lim n n a →∞不存在．〔D 〕{}n a 的收敛性不能确定．[ ]3．设()f x ，()g x 在区间[,]a b 上可导，且()()f x g x ''>，那么在[,]a b 上有 〔A 〕()()0f x g x ->．〔B 〕()()0f x g x -≥．〔C 〕()()()()f x g x f b g b ->-．〔D 〕()()()()f x g x f a g a ->-． [ ]4．设()f x 有三阶连续导数，且满足000()()0,()0f x f x f x ''''''==<,那么以下结论正确的选项是〔A 〕()f x '的极小值为0． 〔B 〕0()f x 是()f x 的极大值．〔C 〕0()f x 是()f x 的极小值． 〔D 〕点00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点．[ ]5．||e d 1k x x +∞-∞=⎰，那么k =〔A 〕0．〔B 〕－2．〔C 〕－１．〔D 〕－0.5． [ ]6．摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩的一拱与x 轴所围的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积x V =〔A 〕2220(1cos )d[(sin )]aa t a t t ππ--⎰． 〔B 〕2220(1cos )d a t t ππ-⎰． 〔C 〕2220(1cos )d aa t t ππ-⎰．〔D 〕2220(1cos )d[(sin )]a t a t t ππ--⎰． [ ]7．设向量,a b 满足||||-=+a b a b ，那么必有〔A 〕-=a b 0． 〔B 〕+=a b 0． 〔C 〕0⋅=a b ． 〔D 〕⨯=a b 0． [ ]三、计算题〔共5道小题，每题8分，总分值40分〕1．设21cos ,0,()0,0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 求()f x '．2．求极限 0lim →x 222010cos d x x t tx-⎰．3．设()f x 的一个原函数为sin x ，求 2()d x f x x ''⎰．4．计算 12x ⎰．5．假设点M 与(2,5,0)N 关于直线4120:2230x y z l x y z --+=⎧⎨+-+=⎩对称，求点M 的坐标．四、应用题〔总分值8分〕设曲线2=->．过点(2,0)(4)(0)y a x a-及(2,0)作曲线的两条法线，求a的值，使得曲线与这两条法线所围成的平面图形面积最小．五、证明题〔共2道小题，每题5分，总分值10分〕1．设()f x 在[0,1]上连续，在()0,1内可导，且(1)0f =．证明在()0,1内至少存在一点ξ，使得 ()()f f ξξξ'=-．2. 设130d 1sin n n tx t t=+⎰，12n n u x x x =+++，证明数列{}n u 收敛．2021~2021学年第一学期?高等数学B Ⅰ?试卷 答案 2009年1月12日一、填空题〔共7道小题，每题3分，总分值21分〕1．2lim 1nn n n →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭3e - ．． 2．设2log y =，那么dy =223(1)ln 2xdx x -- ．． 3．假设00()()f x x f x +∆-与sin2x ∆为0x ∆→时的等价无穷小，那么0()f x '= 2 ．4．设函数)(x y y =由方程331,x t y t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩所确定，那么1t dy dx == 23 ．5．曲线2610y x x =-+在点(3,1)处的曲率为 2 ．6．设()d cos f x x x c =+⎰，那么()()d n f x x ⎰=cos 2n C x π⎛⎫++⎪⎝⎭．7．31211d 1x x x -+=+⎰ 2． 二、单项选择题〔共7道小题，每题3分，总分值21分〕1．以下表达正确的选项是 〔A 〕有界数列一定有极限； 〔B 〕无界数列一定是无穷大量； 〔C 〕无穷大量数列必为无界数列；〔D 〕无界数列未必发散。
吉林省长春市普通高中2015届高三下学期质量监测(三)数学(理)试题 含解析
一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合{11}A x x ≤≤=-，2{20}B x x x ≤=-，则A B =( ）A 。
[1,0]- B. [1,2]- C 。
[0,1] D 。
(,1][2,)-∞+∞【答案】C 。
【解析】试题分析:∵[0,2]B =，∴A B =[0,1],故选C ．考点：集合的运算.2。
设复数1z i =+（i 是虚数单位）,则22z z+=( ） A 。
1i + B. 1i - C 。
1i --D 。
1i -+【答案】A.【解析】试题分析:∵1z i =+，∴i i i i i+=+-=+++121)1(122,故选A ．考点:复数的计算. 3.已知1,2a b ==,且()a a b ⊥-,则向量a 与向量b 的夹角为（ ）A. 6π B 。
4π C 。
3π D 。
23π 【答案】B. 【解析】试题分析：∵()a a b ⊥-，∴2()0a a a aa b ⋅-=-⋅=，∴2a b a⋅=,∵1a =，2b =，∴22cos ,2||||||||a b a a b a b a b ⋅<>===,∴向量a 与向量b 的夹角为4π，故选B ．考点：平面向量数量积。
4。
已知ABC ∆中，内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c ,若222a b c bc =+-,4bc =,则ABC ∆的面积为( ）A. 12B 。
1 C 。
3 D. 2【答案】C 。
考点：正余弦定理解三角形。
5.已知{}2,0,1,3,4a ∈-，{}1,2b ∈,则函数2()(2)f x ax b =-+为增函数的概率是（ )A. 25B 。
35C 。
12D 。
310【答案】B 。
【解析】试题分析：∵2()(2)f x a x b =-+为增函数，∴22a -〉0,又∵{}2,0,1,3,4a ∈-，∴{}2,3,4a ∈-，又{}1,2b ∈,∴函数2()(2)f x ax b =-+为增函数的概率是35,故选B ．考点：1。
2015-2016年吉林省吉林大学附中高二第一学期数学期末试卷(理科)及 解析
6． （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（
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A．8
B．18
C．26
D．80 =
7． （5 分） 设 O 为坐标原点， F 为抛物线 y2=4x 的焦点， A 是抛物线上一点， 若 ﹣4 则点 A 的坐标是（ A． （2，±2 ） C． （1，2） D． （2，2 ）
2． （5 分）已知函数 f（x）=sinx﹣cosx 且 f′（x）=2f（x） ，则 tanx=（ A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣1
3． （5 分）在样本的频率分布直方图中，共有 11 个小长方形，若中间一个长方 形的面积等于其他十个小长方形面积的和的 ，且样本容量是 160，则中间一 组的频数为（ A．32 ） B．0.2 ） C．40 D．0.25
最小值时的唯一最优解是（1，3） ，则实数 a 的取值范围为（ A． （﹣∞，﹣1） B． （0，1） 11． （5 分）已知 F1、F2 分别是双曲线 C．[1，+∞） ﹣
）
D． （1，+∞）
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，
过点 F2 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若 点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ A． （1 ， ） B． （ ，+∞） C． （ ，2） ）
） B． （1，±2）
8． （5 分）已知点 P（1，2）和圆 C：x2+y2+kx+2y+k2=0，过 P 作 C 的切线有两条， 则 k 的取值范围是（ A．k∈R ） C．﹣ ＜k＜0 D．﹣ ＜k＜
B．k＜
9． （5 分）设函数 f（x）在 R 上可导，其导函数为 f′（x） ，且函数 y=（1﹣x）f′ （x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
大学高等数学期末考试试题与答案
大学高等数学期末考试试题与答案下列哪个公式不是牛顿-莱布尼茨公式的应用？B) (4x3 + 5x2 + 6x + 7)′D) (e2x + 3y)′答案：D) (e2x + 3y)′填空题(每题3分，共18分)略解答题(每题10分，共60分)略综合题(每题15分，共30分)略当谈论数学时，大家可能会想到那些复杂的公式和令人头疼的问题。
然而，数学在我们的日常生活中无处不在，它不仅是一门学科，更是一种思维方式。
在吉林大学，高等数学课程一直受到高度重视。
本文将通过学生们的期末试题来展示数学的魅力和应用。
试题是数学学习的重要组成部分。
通过做题，学生不仅可以巩固所学知识，还可以培养解决问题的能力和举一反三的思维方式。
以下是一道吉林大学高等数学的期末试题：求函数 y=x^3-3x^2+2在区间 [0,4]上的最大值和最小值。
这道题目的答案是：最大值为28，最小值为-16。
要解决这个问题，我们需要对函数进行求导，并确定函数的极值点。
然后，我们可以在给定的区间内找到函数的最大值和最小值。
除了在高等数学中学习数学基础知识，我们还可以将这些知识应用到实际生活中。
例如，在经济学的课程中，学生们可以使用数学模型来分析股票市场的波动；在工程学中，可以使用数学方法来设计桥梁和建筑的结构等。
数学是人类文化的重要组成部分，它为我们的日常生活提供了很多帮助。
通过学习高等数学，我们可以更好地理解数学的应用价值，提高我们的思维能力和解决问题的能力。
在未来的学习和工作中，这些能力将是我们不可或缺的竞争优势。
吉林大学高等数学期末试题不仅考察了学生的数学知识，还体现了数学在生活中的应用价值。
通过学习数学，我们可以培养举一反三的思维方式，提高解决问题的能力和竞争力。
让我们一起感受数学的魅力吧！下列哪个选项是高等数学中“极限”的概念？ ( )下列哪个选项是高等数学中“导数”的概念？( )下列哪个选项是高等数学中“积分”的概念？( )积分在高等数学中是一个非常广泛的概念，它涉及到面积、体积、平均值等多个方面，但不能简单地说积分就是求面积或体积或平均值。
吉林省吉林市2015届高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题 含解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1。
设全集*=N U ，集合},,,{98632=，A ，集合}N ,|{*∈3>=x x x B ，则图中阴影部分所表示的集合是（ )A ．}{2B ．}{32，C ．},{321，D ．},{986，【答案】B 【解析】 试题分析:{}6,8,9A B =，所以图中阴影部分所表示的集合是{}2,3,故选B ．考点：1、集合的交集、补集运算；2、韦恩图．2。
已知i 为虚数单位,则=+12ii-( ） A ．25 B ．25 C ．217D ．210 【答案】D 【解析】试题分析：因为()()()()22122213111222i i i i i i i i i i -----+===-++-，所以2221310122i i -⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，故选D ．考点：1、复数的除法运算；2、复数的模．UAB3。
已知α是第四象限角,且43-=αtan ，则=αsin （ ) A ．53- B ．54- C ．53 D ．54【答案】A 【解析】试题分析：因为sin 3tan cos 4ααα==-,所以4cos sin 3αα=-，因为22sincos 1αα+=,所以2216sin sin 19αα+=，即29sin 25α=，因为α是第四象限角，所以93sin 255α=-=-,故选A ．考点：同角三角函数的基本关系．4。
已知实数y x 、满足3330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为（ ）A ．—4B ．1C ．2D ．3 【答案】C考点:线性规划．5。
已知随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2）,若P （ξ〉3)＝0.023，则P （－1≤ξ≤3）等于（ ）A ．0。
977B ．0。
954C ．0。
628D ．0.477 【答案】B 【解析】试题分析:因为随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2)，所以()()130.023ξξP <-=P >=，因为()()()11331ξξξP <-+P -≤≤+P >=,所以()()()1311310.023ξξξP -≤≤=-P <--P >=-0.0230.954-=,故选B ．考点：正态分布． 6.xx x d )(--1⎰102等于（ ）A ．41B ．21 C ．41-π D ．42-π【答案】D 【解析】 试题分析:)1122101112142424x dx xdx x πππ-=-=⨯⨯-=-=⎰⎰⎰，故选D ．考点：定积分． 7。
2015下高等代数A参考答案
2015年秋季学期《高等代数 》课程期末考试试卷（A 卷）参考答案注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟一、单项选择题（共5小题，每小题4分，共20分）1、下列命题为真的是( A ).A. 最大公因式不唯一；B. 有理数域不是最小的数域；C. 若3()()p x f x , 则()p x 是()f x 三重因式；D.若()f x 有重因式, 则()f x有重根.2、已知432()341f x x x x x =+---，32()1g x x x x =+--， 则((),())f x g x =（C ）(A) 21x + ； (B) 1x - ； (C) 1x + ； (D) 以上答案都不对.3、在6级行列式中, 132132465465324314516625;a a a a a a a a a a a a 这两项应带有什么符号 (A ).A. 正，正；B. 正，负；C. 负，正；D. 负，负.4. 设向量组s ααα,,,21Λ的秩为r ，则下列命题为假的是（ C ）.A. 向量组s ααα,,,21Λ中如果存在1r +个不同的向量构成的向量组的话，则必线性相关；B. .r s ≤C. 如果向量组t βββ,,,21Λ的秩为r ，则t βββ,,,21Λ一定与s ααα,,,21Λ等价D. 如果r ααα,,,21Λ为s ααα,,,21Λ的一个极大线性无关组， 则必与s ααα,,,21Λ等价.5、设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛ22112222212*********,, （1），下列结论为假的是（D ）A. 若0,1,2...i b i s ==，则方程组（1）的任意两个解之和还是（1）的解 ；B. 若0,1,2...i b i s ==，则方程组（1）的任意解的倍数还是（1）的解；C. 若存在某个0,i b ≠，则方程组（1）的任意两个解之和不是（1）的解;D. 若存在某个0,i b ≠，则方程组（1）的任意解之差是（1）的解.二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1、已知矩阵方程2122212111X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 则X =111000⎛⎫⎪⎝⎭．． 2. 一个齐次线性方程组中共有s 个线性方程、t 个未知量，其系数矩阵的秩为p ，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数等于t p -．3、排列(1)321n n -L 的逆序数为(1)2n n - 4、1827641491612341111= 12 。
吉林省吉林市2015届高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集*=N U ，集合},,,{98632=，A ，集合}N ,|{*∈3>=x x xB ，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A ．}{2B ．}{32，C ．},{321，D ．},{986，【答案】B 【解析】试题分析：{}6,8,9A B = ，所以图中阴影部分所表示的集合是{}2,3，故选B ． 考点：1、集合的交集、补集运算；2、韦恩图． 2.已知i 为虚数单位，则=+12ii-（ ） A ．25 B ．25 C ．217 D ．210 【答案】D 【解析】 试题分析：因为()()()()22122213111222i i i i i i i i i i -----+===-++-，所以21i i -==+D ． 考点：1、复数的除法运算；2、复数的模． 3.已知α是第四象限角，且43-=αtan ，则=αsin （ ）A ．53-B ．54-C ．53D ．54 【答案】A 【解析】试题分析：因为sin 3tan cos 4ααα==-，所以4cos sin 3αα=-，因为22sin cos 1αα+=，所以2216sin sin 19αα+=，即29s i n 25α=，因为α是第四象限角，所以3sin 5α==-，故选A ．考点：同角三角函数的基本关系．4.已知实数y x 、满足3330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为（ ）A ．-4B ．1C ．2D ．3【答案】C考点：线性规划．5.已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，若P (ξ>3)＝0.023，则P (－1≤ξ≤3)等于（ ） A ．0.977 B ．0.954 C ．0.628 D ．0.477【答案】B 【解析】试题分析：因为随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，所以()()130.023ξξP <-=P >=，因为()()()11331ξξξP <-+P -≤≤+P >=，所以()()()1311310.023ξξξP -≤≤=-P <--P >=-0.0230.954-=，故选B ．考点：正态分布． 6.x x x d )(--1⎰102等于（ ）A ．41 B ．21C ．41-π D ．42-π【答案】D 【解析】 试题分析:)1122101112142424x dx xdx x πππ-=-=⨯⨯-=-=⎰⎰⎰，故选D ． 考点：定积分．7.现有三个函数：①2+=-xx e e y ，②2-=-x x e e y ，③xx xx e e e e y --+-=的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ） A ．①②③B ．③①②C ．②①③D ．③②①【答案】C 【解析】试题分析：①2x x e e y -+=是偶函数；②2x x e e y --=是奇函数；③x xx x e e y e e ---=+是奇函数，且211x x xxxx x e e e y e e e e-----==-<++．所以从左到右图象对应的函数序号应为②①③，故选C ． 考点：函数的图象．8.已知执行如下左图所示的程序框图，输出的485=S ，则判断框内的条件是（ ）A ．?5<kB ．?7>kC ．?5≤kD ．?6≤k【答案】C 【解析】试题分析：初始条件1S =，1k =；运行第一次，5S =，2k =；运行第二次，17S =，3k =；运行第三次，53S =，4k =；运行第四次，161S =，5k =；运行第五次，485S =，6k =．要输出的485S =，必须条件不满足，停止运行，所以5?k ≤，故选C ． 考点：程序框图．9.一个几何体的三视图如上右图，则其表面积为（ ） A ．20B ．18C ．14+D ．14+【答案】A 【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是一个正方体截去四个三棱锥，如图所示.所以该几何体的表面积是2211242242022+⨯⨯⨯+⨯=，故选A ．考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积．10.边长为4的正方形ABCD 的中心为O ，以O 为圆心，1为半径作圆，点M 是圆O 上的任意一点，点N 是边AB 、BC 、CD 上的任意一点（含端点），则MN DA ⋅的取值范围是（ ）A ．][1818-，B ．][1616-，C ．][1212-，D ．][88-，【答案】C 【解析】试题分析：以O 为坐标原点，x 轴//AB ，y 轴//D A ，建立如图所示的平面直角坐标系：设()cos ,sin ααM ，()D 0,4A =-（1）若N 点在边AB 上，设()0,2x N -（022x -≤≤），则()0cos ,2sin x ααMN =---，所以MN DA 84sin α⋅=+，因为1sin 1α-≤≤，所以484sin 12α≤+≤，即4D 12≤MN⋅A ≤；（2）若N 点在边C B 上，设()02,y N （022y -<≤），则()02cos ,sin y ααMN =--，所以0MN DA 44sin y α⋅=-+，因为022y -<≤，1sin 1α-≤≤，所以0848y -<-≤，44sin 4α-≤≤，所以01244sin 12y α-<-+≤，即12D 12-<MN⋅A ≤；（3）若N 点在边CD 上，设()0,2x N （022x -≤<），则()0cos ,2sin x ααMN =--，所以MN DA 84sin α⋅=-+，因为1sin 1α-≤≤，所以1284sin 4α-≤-+<-，即12D 4-≤MN⋅A <-．综上所述，MN DA ⋅的取值范围是[]12,12-，故选C ．考点：1、向量数量积的坐标运算；2、不等式的性质；3、向量的坐标运算．11.已知边长为1的等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角D AB C --的余弦 值为33，若A 、B 、C 、D 、E 在同一球面上，则此球的体积为（ ） A ．π2 B ．π328 C ．π2D ．π32【答案】D 【解析】 试题分析：连结CD 和C E ，取AB 的中点H ，设点C 在平面C AB E 内的射影为O ，连结C O 、OH 和C H ，因为C C AB =B =A ，所以C H ⊥AB ，因为C O ⊥平面D ABE ，OH 是C H 在平面D AB E 内的射影，所以OH ⊥AB ，所以C ∠OH 是二面角C D -AB -的平面角，即cos C 3∠OH =，在Rt C ∆HA 中，C sin C C H ∠AH =A ，所以C C sin 602H =A =，在Rt C ∆OH 中，cos C C OH ∠HO =H ，所以1C cos C 232OH =H ∠OH ==，所以O 是正方形D AB E 的中心，所以正四棱锥C D -AB E 的外接球的球心在C O 上，记为1O ，连结AO 和1AO ，则11C R O =O A =，1R R OO ==，在Rt ∆OHA 中，2OA ==1Rt ∆O OA 中，222R R 22⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：R 2=，所以此球的体积是3344V R 3323ππ⎛==⨯= ⎝⎭，故选D ． 考点：1、二面角；2、四棱锥的外接球；3、球的体积．12.若存在直线l 与曲线1C 和曲线2C 都相切,则称曲线1C 和曲线2C 为“相关曲线”，有下列四个命 题：①有且只有两条直线l 使得曲线4=+221y x C :和曲线0=4+2+4-+222y x y x C :为“相关曲线”； ②曲线1+21=21x y C :和曲线1-21=22x y C :是“相关曲线”； ③当0>>a b 时，曲线ax y C 4=21:和曲线2222=+a y b x C ）（-:一定不是“相关曲线”； ④必存在正数a 使得曲线：1C x a y ln =和曲线:2C x x y -=2为“相关曲线”. 其中正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】试题分析：①圆心()1C 0,0，半径12r =，圆心()2C 2,1-，半径21r =，12C C ==，因为121212C C r r r r -<<+，所以曲线1C 与曲线2C 有两条公切线，所以①正确；②假设直线l 与曲线1C 和曲线2C 都相切，设直线l 的方程为y kx b =+，由()22410y x y y kx b⎧-=>⎪⎨=+⎪⎩，消去y ，得：()2241kx b x +-=，即()222418410k x kbx b -++-=，由()22410x y y y kx b ⎧-=>⎪⎨=+⎪⎩，消去y ，得：()2241x kx b -+=，即()222148410k x kbx b ----=，因为直线l 与曲线1C 和曲线2C 都相切，所以()()()()()()22222284414108414410kb k b kb k b ⎧---=⎪⎨-----=⎪⎩，即2222441441k b k b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得120k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或120k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以②正确；③由()22224y axx b y a ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，消去y ，得：()224x b ax a -+=，即()222420x a b x b a +-+-=，令()()22242410a b b a --⨯⨯-=得：54b a =，当54b a =时，曲线1C与曲线2C 相切，所以存在直线l 与第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.从5名志愿者中选出4人，分别参加两项公益活动，每项活动2人，则不同安排方案的种数为 .（用数字作答） 【答案】30 【解析】试题分析：第一步：从5名志愿者中选出4人参加活动，有45C 5=种选法，第二步：将选出的4人分成2组，有2242C C32=种分法，第三步：将2组进行全排列，对应两项公益活动，有222A =种情况，所以不同的安排方案的种数是53230⨯⨯=，所以答案应填：30． 考点：排列组合．14.设}{n a 是公比不为1的等比数列，其前n 项和为n S ，若534a a a ，，成等差数列，则=24S S . 【答案】5 【解析】试题分析：因为4a ，3a ，5a 成等差数列，所以3452a a a =+，因为43a a q =，253a a q =，所以23332a a q a q =+，因为30a ≠，所以22q q +=，解得：1q =（舍去）或2q =-，所以()224221q S S S S += ()221125q =+=+-=，所以答案应填：5．考点：1、等比数列的通项公式；2、等差数列的性质；3、等比数列的前n 项和的性质． 15.把函数21-+3=2x x x x f cos cos sin )(的图象上各点向右平移)(0>ϕϕ个单位，得到函数x x g 2=sin )(的图象，则ϕ的最小值为 .【答案】12π 【解析】试题分析：()211111cos cos 2cos 22cos 22222222f x x x x x x x x =+-=++-=+ sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的图象上各点向右平移ϕ（0ϕ>个单位，得到函数()sin 2g x x =的图象，所以()sin 2sin 26x x πϕ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦，即sin 22sin 26x x πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以26k πϕπ-+=，k ∈Z ，解得：212k ππϕ=-+，k ∈Z ，因为0ϕ>，所以当0k =时，min 12πϕ=，所以答案应填：12π． 考点：1、二倍角的正弦公式；2、降幂公式；3、辅助角公式；4、三角函数的图象与性质． 16.已知直线0=1+-y x l :与抛物线y x C 2=2:交于A ，B 两点，点P 为直线l 上一动点，M ，N是抛物线C 上两个动点，若MN //AB ，|MN ||AB|<， 则△PMN 的面积的最大值为 . 【答案】1 【解析】试题分析：由题意知：当直线MN 过原点时，∆PMN 的面积最大，所以直线MN 的方程是0x y -=，点P 到直线MN 的距离2d ==，由202x y x y-=⎧⎨=⎩得：00x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩，所以()0,0N ，()2,2M 所以MN ==∆PMN 的面积的最大值是111222d ⋅MN ⋅=⨯=，所以答案应填：1． 考点：1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、三角形的面积公式；3、两条平行直线间的距离． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，设S 为△ABC 的面积，满足)(222-+43=b c a S . （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若3=b ，设x A =，c a y 2+13=）（-，求函数)(x f y =的解析式和最大值.【答案】(I)3π；（II）4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（203x π<<），【解析】试题分析：（I）先利用三角形的面积公式和余弦定理可得1sin 2cos 2ac ac B =B ，进而可得tan B 的值，再利用角B 的取值范围即可得B 得值；（II ）先利用三角形的内角和可得角A 的取值范围，再利用正弦定理可得a 和c 的值，代入，利用辅助角公式可得()y f x =的解析式，进而利用角A 的取值范围可得()y f x =的最大值． 试题解析：（Ⅰ）由已知及三角形面积公式和余弦定理得B ac B ac cos sin 2⋅43=21 ……2分 ∴3=B tan ，又)(π，0∈B ……4分 所以3=πB……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知3=πB ，△ABC 的内角和π=++C B A ，又0>0>C A ，得32<<0πA ．……6分由正弦定理，知x x A Bba sin sin sinsin sin 2=33==π， ……7分)sin(sin sin x C B b c -322==π……8分 所以c a y 2+13=）（-22sin 4sin()3x x π=+-） x x cos 32sin 32+=2)(0)43x xππ=+<<……10分当2=4+ππx，即4=πx时，y取得最大值62……12分考点：1、余弦定理；2、三角形的面积公式；3、特殊角的三角函数值；4、正弦定理；5、两角差的正弦公式；6、辅助角公式；7、三角函数的图象与性质18.（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了若干名学生的体检表，并得到如下直方图：（Ⅰ）若直方图中前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1~50名和951~1000名的学生进行了调查，得到如下数据：根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系? （Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1~50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.附：4.0 4.2 4.4 4.6 4.85.0 5.2))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=【答案】（I ）31；（II ）1010-；（III ）分布列见解析，1． 【解析】试题分析：（I ）先利用=⨯频率频率组距组距可得第一、二组的频率，由已知条件可得第三、六组的频率，进而可得视力在5.0以下的频率，再利用=⨯频数频率样本容量可得全年级视力在5.0以下的人数；（II ）先算出2K 的值，再与表中的数据比较即可得在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；（III ）先分析确定随机变量X 的所有可能取值，再计算各个取值的概率即可得X 的分布列，进而利用数学期望公式即可得数学期望． 试题解析：（Ⅰ）设各组的频率为),,,,,(654321=i f i ，依题意，前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故030=20⨯150=1...f ，090=20⨯450=2...f ，270==1223.f f f ……1分所以由)..()(090+030-1=24⋅+63f f 得170=6.f ， ……2分所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83， ……3分 故全年级视力在5.0以下的人数约为830=830⨯1000. ……4分（Ⅱ）8413>1104≈73300=27⨯73⨯50⨯509⨯32-18⨯41⨯100=22..)(k ……6分 因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系. ……7分 （Ⅲ）依题意9人中年级名次在1~50名和951~1000名分别有3人和6人， ……8分X 可取0,1,2,38420==0=3936C C X P )(，8445==1=391326C C C X P )(， 8418==2=392316C C C X P )(， 841==3=3933C C X P )( X 的分布列为……11分X 的数学期望1=841⨯3+8418⨯2+8445⨯1+8420⨯0=)(X E ……12分 考点：1、频率分布直方图；2、独立性检验；3、离散型随机变量的分布列与数学期望． 19.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直， 已知CD AD CD AB ⊥，//，1==AD AB ，2=CD . （Ⅰ）求证：⊥BC 平面BDE ；（Ⅱ）求直线MN 与平面BMC 所成的角的正弦值.【答案】（I ）证明见解析；（II ）3． 【解析】试题分析：（I ）取CD 中点H ，连接BH ，先证C D B ⊥B ，再利用平面D F A E ⊥平面CD AB 可证D E ⊥平面CD AB ，进而可证C B ⊥平面D B E ；（II ）先建立空间直角坐标系，再求出平面C BM 的法向量，进而可得直线MN 与平面BMC 所成的角的正弦值．ABFEDC NM试题解析：（I ）在梯形ABCD 中，取CD 中点H ，连接BH ， 因为AB AD =，CD AD CD AB ⊥，// 所以四边形ADHB 为正方形又2=+=222AB AD BD ，2=+=222HB HC BC 所以222+=BC BD CD 所以BD BC ⊥ ……2分又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD DE AD ⊥=， 所以⊥DE 平面ABCD ……4分 DE BC ⊥，又D DE BD =故⊥BC 平面BDE ……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知⊥CD 平面ABCD ，CD AD ⊥，所以DE ,DA ,DC 两两垂直.以D 为坐标原点建立如图所示直角坐标系xyz D -，则),,(020C ，),,(011B ，),,(100E ，),,(2110M ，),,(02121N ，),,(011-=，),,(21-10=MC ……7分设),,(z y x n =为平面BMC 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧0=⋅0=⋅，即⎪⎩⎪⎨⎧0=21-0=+-z y y x 可取),,(211=n ， ……9分 又)(212121=--，，MN ，所以32-=<cos ……11分 直线MN 与平面BMC 所成的角的正弦值为32……12分考点：1、线面垂直；2、直线与平面所成的角；3、空间向量在立体几何中的应用．20.（本小题满分12分）已知椭圆)(:0>>1=+2222b a by a x C 的左、右焦点分别为)(011，-F 、)(012，F ，过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△2ABF 的周长为24.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点)(04，作与直线l 平行的直线m ，且直线m 与抛物线x y 4=2交于P 、Q 两点，若A 、P 在x 轴上方，直线PA 与直线QB 相交于x 轴上一点M ，求直线l 的方程.【答案】（I ）2212x y +=；（II ）1x =-或10x +=或10x +=． 【解析】试题分析：（I ）由已知条件可得a 和c 的值，利用222a b c =+可得2b 的值，进而可得椭圆C 的方程；（II ）先设A 、B 、P 、Q 的坐标和直线l 、m 的方程，由已知条件可得3124y y y y =，再由⎪⎩⎪⎨⎧1=+21-=22y x ty x 消去x ，化简可得2+4=+1222t t -λλ)(，由⎩⎨⎧4=4+=2x y ty x 消去x ，化简可得22=+1t -λλ)(，进而可得t 的值，即可得直线l 的方程． 试题解析：（Ⅰ）依题意，24=4a ，1=-22b a……2分所以2=a ，1=1-=22a b ……3分故椭圆C 的方程为1=+222y x ……4分 （Ⅱ）设)()()()(44332211y x Q y x P y x B y x A ，，，，，，， 直线l 的方程为：1-=ty x ，直线m 的方程为4+=ty x 依题意得||||||||||||QN BF MN MF PN AF 111== 则||||||||4231=y y y y ，可得4321=y y y y ，令)(0<==4321λλy y y y， ……5分由⎪⎩⎪⎨⎧1=+21-=22y x ty x 消去x ，得0=1-2-2+22ty y t )(， ……6分 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧2+1-=2+2=+221221t y y t t y y ，把21=y y λ代入，整理，得2+4=+1222t t -λλ)(① ……8分由⎩⎨⎧4=4+=2xy ty x 消去x ，得0=16-4-2ty y ， ……9分 则⎩⎨⎧16-=4=+4343y y t y y ，把43=y y λ代入，整理，得22=+1t -λλ)(② ……10分 由①②消去λ，得222=2+4t t t ，解得0=t 或2=t 或2-=t ……11分故直线l 的方程为：1-=x 或0=1+2-y x 或0=1+2+y x ……12分 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系．21.（本小题满分12分）设函数1++1+2=2x x x x f )ln()(.（Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有)(x f ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅲ）已知数列}{n a 中，1=1a ，且1=+1-11+))((n n a a ，若数列}{n a 的前n 项和为n S ，求证：1+1+-2>n nn n a a a S ln . 【答案】（I ）函数)(x f 在)(2+21--，上单调递减，在),(+∞2+2-单调递增；（II ）2；（III ）证明见解析．当2+2-<<1-x 时，0<')(x f ，当2+2->x 时，0>')(x f ……2分 所以函数)(x f 在)(2+21--，上单调递减，在),(+∞2+2-单调递增. ……3分（Ⅱ）设ax x x x x g -+++=1)1ln(2)(2，则 a x a x x x a x x x x g -2+1-1+1-=-1+1-1+2+1+=-1+2+4+='22222)()()()()()( 因为x ≥0，故0≤1-1+1-<1-2)(x ……5分 （ⅰ）当2≥a 时，0≤-2a ，0)(≤'x g ，所以)(x g 在),0[∞+单调递减，而0)0(=g ，所以对所有的x ≥0，)(x g ≤0，即)(x f ≤ax ； （ⅱ）当21<<a 时，1<-2<0a ，若),(1--2+-20∈a aa x ，则0)(>'x g ，)(x g 单调递增，而0)0(=g ，所以当)122,0(--+-∈a aa x 时，0)(>x g ，即ax x f >)(；（ⅲ）当1≤a 时，1≥-2a ，0)(>'x g ，所以)(x g 在),0[∞+单调递增，而0)0(=g ，所以对所有的0>x ，0)(>x g ，即ax x f >)(；综上，a 的最小值为2. ……8分（Ⅲ）由1=+1-11+))((n n a a 得，11++⋅=-n n n n a a a a ，由1=1a 得，0≠n a ， 所以1111=-+n n a a ，数列}1{n a 是以1=11a 为首项，1为公差的等差数列， 故n a n =1，na n 1=，111+=+n a n ……9分 1+1+-2>n nn n a a a S ln ⇔n n n n 131211)1(2)1ln(++++<+++ 由（Ⅱ）知2=a 时，x x x x 21)1ln(22≤+++，0>x ， 即x x x x <+++)1(2)1ln(2，0>x . ……10分 法一：令nx 1=，得n n n n n 1)1(211ln <+++， 即nn n n n 1)111(21ln )1ln(<+-+-+因为)()ln()](ln )[ln(1+2+1+=1+1-121+-1+∑1=n nn k k k k nk ……11分 所以nn n n 131211)1(2)1ln(++++<+++ ……12分故1+1+-2>n nn n a a a S ln ……12分 法二：1+1+-2>n nn n a a a S ln ⇔)()ln(1+2+1+>1++31+21+1n nn n下面用数学归纳法证明．（1）当1=n 时，令1=x 代入x x x x <+++)1(2)1ln(2，即得41+2>1ln ，不等式成立 （2）假设)1,N (≥∈=*k k k n 时，不等式成立，即)()ln(1+2+1+>1++31+21+1k kk k 则1+=k n 时，1+1+1+2+1+>1+1+1++31+21+1k k k k k k )()ln(令11+=k x 代入x x x x <+++)1(2)1ln(2，得))((ln 2+1+21+1+2+>1+1k k k k k))((ln )()ln()()ln(2+1+21+1+2++1+2+1+>1+1+1+2+1+k k k k k k k k k k k)()ln())(()()ln(2+21++2+=2+1+21+2++2+=k k k k k k k k即)()ln(2+22+2+>1+1+1++31+21+1k k k k由（1）（2）可知不等式)()ln(1+2+1+>1++31+21+1n nn n 对任何n *∈N 都成立.故1+1+-2>n nn n a a a S ln ……12分 考点：1利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的最值； 3、数列的通项公式；4、数列的前n 项和；5、不等式的证明．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，在△ABC 中， 90=∠B ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，过点D 作⊙O 的切线交BC于E ，AE 交⊙O 于点F ．（Ⅰ）证明：E 是BC 的中点； （Ⅱ）证明：AF AE AC AD ⋅=⋅.【答案】(I)证明见解析；（II ）证明见解析． 【解析】试题分析：（I ）连接D B ，由AB 是O 的直径得D C B ⊥A ，由90∠B =得D EB =E ，进而可得C D E =E ，即可证E 是C B 的中点；（II ）连接F B ，利用直角三角形的射影定理可得AF AE AB ⋅=2，AC AD AB ⋅=2，进而可证AF AE AC AD ⋅=⋅．E试题解析：（Ⅰ）证明：连接BD因为AB 为⊙O 的直径所以AC BD ⊥又 90=∠B所以CB 切⊙O 于点B ，且ED 切于⊙O 于点E因此ED EB = ……2分EDB EBD ∠=∠，C EBD EDB CDE ∠+∠==∠+∠ 90所以C CDE ∠=∠得ED EC =因此EC EB =，即E 是BC 的中点 ……5分（Ⅱ）证明：连接BF ，可知BF 是Rt △ABE 斜边上的高，可得△ABE ∽△AFB 于是有ABAE AF AB =，即AF AE AB ⋅=2， ……8分 同理可证AC AD AB ⋅=2所以AF AE AC AD ⋅=⋅ ……10分 考点：1、直径所对的圆周角；2、切线长；3、直角三角形的射影定理．23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为0=-2θθρcos sin ，点)(21π，M . 以极点O 为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为1-的直线l 过点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点. （Ⅰ）求出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（Ⅱ）求点M 到A ，B 两点的距离之积.【答案】(I)2y x =，212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）；（II ）2．【解析】试题分析：（I ）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线C 的方程可得曲线C 的直角坐标方程，点M 的极坐标化为直角坐标，算直线l 的倾斜角，即可得直线l 的参数方程；（II ）先将直线l的参数方程代入曲线C的方程可得220t ++=，再利用参数的几何意义可得点M 到A ，B 两点的距离之积．试题解析：（Ⅰ）θρcos =x ，θρsin =y ，由0=-2θθρcos sin 得θρθρcos sin 22=． 所以x y =2，即为曲线C 的直角坐标方程； ……2分点M 的直角坐标为)10(，， ……3分 直线l 的倾斜角为43π故直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+==43sin 143cos ππt y t x （t 为参数） 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22122（t 为参数） ……5分（Ⅱ）把直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22122（t 为参数）代入曲线C 的方程得 t t 22)221(2-=+，即02232=++t t ， ……7分 01024)23(2>=⨯-=∆，设A 、B 对应的参数分别为21t t 、，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+2232121t t t t ……8分 又直线l 经过点M ，故由t 的几何意义得点M 到A ，B 两点的距离之积2||||||||||2121=⋅==⋅t t t t MB MA ……12分 考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、参数方程；3、参数的几何意义．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧1<<011≥=x xx x x f ,)(，，||)()(2--=x x af x g ，R ∈a . （Ⅰ）当0=a 时，若b x x g +1-≤||)(对任意)(∞+0∈，x 恒成立，求实数b 的取值范围； （Ⅱ）当1=a 时，求函数)(x g y =的最小值.【答案】(I)[)1,-+∞；（II ）0．。
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n n =0 ∞
x 3
3
= y 3 x − 3 x 由 A ( 0， 1 2. L 为 0 ) 到 B (1, 0 ) 对应的一段曲线，则 xdy − ydx =
2
∫
L
2 = 3．若 x
∑ an cos nx ( −π ≤ x < π ) ，则 x 2 的 Fourier 系数 a2 =
= a 2. L 为平面曲线 x + y
2 2
2
2 ( a > 0 ) ,计算曲线积分 ∫ L ( x + y )ds
解：
∫
L
2 ( x + y 2 )ds = ∫ y ds = ∫ L
1 2 ( x + y 2 )ds =πa 3 L 2
3．解微分方程 xy′+y = 1 .
y C 解： =
∫∫ ( x
Σ
2
y + 2 x − z ) cos α + ( y +z 2 ) cos β − 2 xyz cos γ dS =
∞ n ∞ n n
2π
1 幂级数 ∑ an ( x − 1) 在 x = 4 条件收敛，则 ∑ ( −1) (1 + 2 ) an
n =1 n =1
(
)A
（A）绝对收敛 2 以下正确的是 (
1 +1 x
4 1 1 1 4 ． 将 函 数 f ( x) = 2 展 为 x 的 幂 级 数 . 解 ： f ( x) = = − − x + 2x − 3 1− x 3 1+ x 3
∞ ∞ n ∞ n 1 n +1 1 n 1 x x = − − − = − 1 x n ( ) ∑ ∑ ( −1) ∑ n +1 n +1 3 3 n 0 = = n 0= n 0
且 e − x 不是该方程 , 3 x 为 n 阶常系数微分方程 y (n) + a1 y (n −1) + + an −1 y '+ an y = 0 的三个解，
的解，则下列结论中成立的是 (
)B
5, a1 = 3, a2 = 0, a3 = − 4, a4 = a5 = 0 (B) n =
(D)
为 球 面D7.源自2 空 间 曲 面 Σ 的 方 程 为 z 2 − 2 xz − x 2 − y= 0 ( 0 ≤ z ≤ 2x +1 ) ， 计 算 曲 面 积 分
I = ∫∫
Σ
(z
2
− x2 − y 2 − 2z ) z − x z 2 x2 + y 2 + 2 z 2
dS 1+z x '2 +z y '2 dxdy = ∫∫ 2 ( x − 1) dxdy = 0
L
L OA BO
1
2
y + 2 xf ( y )] dy ≥ π + 1
I 证： =
∫
−
BO
∫
− ∫=
OA
∫∫ 2 xy + 2 f ( y ) − f ( x ) + f ( x ) dxdy
D
1
1 1 1 4 + + xy f x f y π +1 = + + ( ) ( ) dxdy ≥ 2 ∫∫ ( xy + 1)dxdy = ∫∫ 2 D f ( x) f ( y) D
D
解： I =
∫∫
Σ
(z
2
− x2 − y 2 − 2z ) z − x z 2x + y + 2z
2 2 2
8. L 为圆周 x +y = 2 位于第一象限的一段且为逆时针方向， f ( x ) 为 上的正值连续函数， 证明：
2 2
I =
∫ y [ f ( x ) − f ( x ) ] dx + [ x
∞ ∞
(B) 发散
(C) 条件收敛
(D) 不确定
)C
∞ n =1 n =1
（A） ∑ an 收敛且 ∑ bn 收敛，则 ∑ an bn 收敛 (B)
n =1 ∞ ∞ ∞
∑ an 收敛且 ∑ bn 发散，则 ∑ anbn 发散
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
(C)
∑ an 收敛且 ∑ bn 绝对收敛，则 ∑ anbn 绝对收敛
n =0
∞
1
4. r = xi + y j + zk ， r = r =
x 2 + y 2 + z 2 ，函数 f (r ) 满足 div[ f (r )r ] = 0 ， f (r ) =
C r3
5 ． 曲 面 Σ 为 z=
1 − x 2 − y 2 ， cos α , cos β , cos γ 为 Σ 上 侧 法 向 量 的 方 向 余 弦 ， 则
) .D
(A) C1 y1 + C2 y2 + y3 + y1 是解，其中 C1 +C2 = 1
(B) C1 y1 + C2 y2 − (C1 + C2 ) y3 是通解
(C) C1 y1 + C2 y2 + (1 − C1 − C2 ) y3 是通解. 4 已知 e , xe
x −2 x
(D) C1 y1 + C2 y2 + y3 − y1 是解，其中 C1 +C2 = 1
3 4 （A） )B ∫ x y ds L
分值不为 0 的是 (
(B)
∫x
L
3
y 4 dy
(C)
∫∫ x
Σ
3
y 4 dS
(D)
∫∫ x
Σ
3
y 4 dxdy
1-4(10 分), 5-6(9 分), 7-8(6 分)
1. 判级数
∑
n ln n 的敛散性。 解：比值或根值或比较，收敛。 n n=2 2
∞
6, a1 = 4, a2 = 3, a3 = a4 = −4, a5 = a6 = 0 （A） n = n 4, = a1 1, = a2 -3, a3 = = a4 0 (C) =
5．曲面 Σ 为 z
n= 3, a1 = −1, a2 = a3 = 0
= x 2 + y 2 ( 0 ≤ z ≤ 1) 的上侧，曲线 L 为 y = x 2 由 A ( −1, 0 ) 到 B (1, 0 ) 对应的曲线，则下列积
n =1 n =1 n =1
(D)
则 ∑ an bn 条 ∑ an 条件收敛且 ∑ bn 绝对收敛，
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
件收敛 3 .函数 y1 ( x), y2 ( x), y3 ( x) 是非齐次方程 y′′ + p ( x) y′ + q ( x) y = f ( x) 的三个不同的解，C1 , C2 是任意常数， 则(
x <1
2x
5．求微分方程 y ''' 4 y ' 24e 的通解。 解：y C1 C2 e
2x
C3e2 x 3xe 2 x
6.
x 2 y 2 z 2 a 2 z 0, x 2 y 2 ax ，a 0 的 上 侧 ， 计 算 曲 面 积 分 z I= ∫∫ 2 zdydz + x 2 zdzdx + 3adxdy n Σ y x y 解：I= 2 z dydz x 2 z dzdx 3a 1dxdy 2 x x 2 y 3a dxdy z z D D O x 3 2 x 3a dxdy a