运动路径问题参考答案与试题解析

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初二数学最短路径作业练习及答案分析

初二数学最短路径作业练习及答案分析一、精心选一选1.在平面直角坐标系中有两点，要在轴上找一点，使它到的距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是( )A.B.C.D.考查目的：本题主要考查利用轴对称解决简单的路径问题，体现了转化的思想.答案：D.解析：利用轴对称的性质，把y轴同侧的两点转化为y轴异侧的两点，根据“两点之间，线段最短”，找到点C的位置，故选D.2.如图，在等边△ABC中，边BC的高AD=4，点P是高AD上的一个动点，E是边AC的.中点，在点P运动的过程中，存在PE+PC的最小值，则这个最小值是( )A.4B.5C.6D.8考查目的：本题主要考查等边三角形的性质及利用轴对称解决最短的线段和问题.答案：A.解析：根据等边三角形的性质可知点B是点C关于AD的对称点，PE+PC的最小值就是BE的长，即等边△ABC的高，故选A.3.如图，正方形ABCD的边长为8，△BCE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为( )A.4B.6C.8D.10考查目的：本题主要考查利用轴对称解决简单的路径问题，体现了转化的思想.答案：C.解析：由题意知，点B是点D关于AC的对称点，因此，PD+PE的和可以转化为PB+PE的和.因为PB+PE的和的最小值BE，即为8，故选C.二、细心填一填4.两点的所有连线中，最短.考查目的：本题主要考查“两点之间，线段最短”的基本事实.答案：线段.解析：根据基本事实“两点之间，线段最短”即可得出答案.5.连接直线外一点与直线上各点所有连线中，最短.考查目的：本题主要考查连接直线外一点与直线上各点所有连线中，垂线段最短的基础知识.答案：垂线段.解析：连接直线外一点与直线上各点所有连线中，垂线段最短.6.如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点F，使△AEF周长最小，此时∠AEF+∠AFE的度数为.考查目的：本题主要考查利用轴对称解决较复杂的路径问题.分别作点A关于CD、BC的对称点，画出基本图形是解题的关键.答案：120°.解析：分别作点A关于CD、BC的对称点A1，A2，连接A1A2，分别交CD、BC 于点F，E，即此时△AEF周长最小.由对称可知∠A1=∠DAF，∠A2=∠BAE，因为∠A1+∠A2=180°-∠BAD=60°，所以∠DAF+∠DAF=∠A1+∠A2=60°，所以∠EAF=60°，所以∠AEF+∠AFE=180°-∠EAF=120°.。

-动点问题中的最值、最短路径问题(解析版)

专题01 动点问题中的最值、最短路径问题动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中.其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法.一、基础知识点综述1. 两点之间，线段最短；2. 垂线段最短；3. 若A、B是平面直角坐标系内两定点，P是某直线上一动点，当P、A、B在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB的长（如下图所示）；（1）单动点模型作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P是x轴上一动点，求PA+PB的最小值的作图.P是∠AOB内一点，M、N分别是边OA、OB上动点，求作△PMN周长最小值.作图方法：作已知点P关于动点所在直线OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’与动点所在直、N即为所求.线的交点M5. 二次函数的最大（小）值()2y a x h k=-+，当a>0时，y有最小值k；当a<0时，y有最大值k.二、主要思想方法利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析）三、精品例题解析例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD中，AB=12，AE=3，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为例2. （2019·凉山州）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C 、F 分别是直线x =－5和x 轴上的动点，CF =10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取最小值时，tan ∠BAD =（）A .817 B . 717 C . 49 D . 59例3. （2019·南充）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，AB =24,BC =5,给出结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；②△OAB 的面积的最大值为144；③当OD 最大时，点D 的坐标为)2626125,262625(，其中正确的结论是（填写序号）.例4. （2019·天津）已知抛物线2y x bx c =-+（b 、c 为常数，b >0）经过点A (－1,0)，点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点，若点Q （1,2Q b y +2QM +时，求b 的值.例5. （2019·舟山）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC 和EDF 拼合在个平面上，边AC 与EF 重合，12AC cm =．当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动．当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长为 cm ；连接BD ，则△ABD 的面积最大值为2cm ．例6. （2019·巴中）如图，在菱形ABCD中，连接BD、AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H，以O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M.（1）求证：DC是圆O的切线；（2）若AC=4MC，且AC=8，求图中阴影部分面积；（3）在（2）的前提下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值.B D专题01 动点问题中的最值、最短路径问题（解析）例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD中，AB=12，AE=3，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为【答案】4.【解析】解：∵PQ⊥EP，∴∠EPQ=90°，即∠EPB+∠QPC=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∠EPB+∠BEP=90°，∴∠BEP=∠QPC，∴△BEP∽△CPQ，∴BE BP CP CQ=，∵AB=12，AE=3，∴BE=9，设CQ=y，BP=x，CP=12－x，（0<x<12）∴912xx y=-，即()()21216499x xy x-==--+，∴当x=6时，y有最大值为4，即CQ的最大值为4.【点睛】此题为“一线三直角模型”，解题方法为相似三角形性质求解，综合利用二次函数的性质求解最值问题.例2.（2019·自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C、F分别是直线x=－5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取最小值时，tan∠BAD=（）A.817B.717C.49D.59【答案】B.【解析】解：S△ABE=142BE OA BE ⨯⨯=,当BE取最小值时，△ABE面积为最小值.设x=－5与x轴交于点G，连接DG，因为D为CF中点，△CFG为直角三角形，所以DG=15 2CD=,∴D点的运动轨迹为以G为圆心，以5半径的圆上，如图所示由图可知：当AD与圆G相切时，BE的长度最小，如下图，过点E作EH⊥AB于H，∵OG=5，OA=8，DG=5，在Rt△ADG中，由勾股定理得：AD=12，△AOE∽△ADG，∴AO AD OE DG=,求得：OE=103，由OB=OA=8，得：BE=143，∠B=45°，AB=∴EH=BH=23BE=,AH=AB-BH=3，∴tan ∠BAD=717EH AH ==, 故答案为B .【点睛】此题解题的关键是找到△ABE 面积最小时即是AD 与D 的远动轨迹圆相切的时刻. 进而构造以∠BAD 为内角的直角三角形，利用勾股定理求出边长，代入三角函数定义求解.例3. （2019·南充）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，AB =24,BC =5,给出结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；②△OAB 的面积的最大值为144；③当OD 最大时，点D 的坐标为)2626125,262625(，其中正确的结论是（填写序号）.【答案】②③.【解析】解：根据题意可知：OE =12AB =12, 即E 的轨迹为以O 为圆心以12为半径的四分之一圆（第一象限的部分），根据弧长公式，得点E 的路径长为：9012180π⨯⨯=6π，故①错误；因为AB =24,当斜边AB 上的高取最大值时，△OAB 的面积取最大值，点O 在以AB 为直径的圆上（圆心为E ），当OE ⊥AB 时，斜边AB 上的高最大，所以△OAB 的面积取最大值为：124122⨯⨯=144，故②正确；连接OE 、DE ，得：OD ≤OE +DE ，当O 、E 、D 三点共线时取等号，即OD 的最大值为25，如图，过点D 作DF ⊥y 轴于F ，过点E 作EG ⊥y 轴于G ,可得：25DF OD ==, 即：1225EG DF =， 512AF AD EG AE ==, 即：51125AF EG DF ==, 设DF =x ，在Rt △ADF 中，由勾股定理得：221255x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：x =26，在Rt △ODF 中，由勾股定理得：OF =26即点D 的坐标为)2626125,262625(，故③正确. 综上所述，答案为：②③.例4. （2019·天津）已知抛物线2y x bx c =-+（b 、c 为常数，b >0）经过点A (－1,0)，点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点.若点Q （1,2Q b y +2QM +时，求b 的值.【答案】见解析. 【解析】解：∵2y x bx c =-+经过点A (－1,0)， ∴1+b +c =0，即21y x bx b =--- ∵点Q （1,2Q b y +）在抛物线2y x bx c =-+上， ∴324Q b y =--，即13,224b Q b ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭， ∵b >0，∴Q 点在第四象限，222QM AM QM ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以只要构造出AM QM ⎫+⎪⎝⎭2QM +的最小值取N （1,0），连接AN ，过M 作MG ⊥AN 于G ，连接QM ，如图所示，△AGM 为等腰直角三角形，GM =2AM ，即当G 、M 、Q 三点共线时，GM +MQ 2QM +取最小值，此时△MQH 为等腰直角三角形，∴QM 324b ⎫+⎪⎭，GM =2AM =)12m +()322=2122244b QM AM QM m ⎛⎫⎤⎫+=++++= ⎪⎥⎪⎭⎝⎭⎣⎦① ∵QH =MH ，∴324b +=12b m +-，解得：m =124b - ② 联立①②得：m =74，b =4.2QM +的最小值为4时，b =4.2QM +转化为22AM QM ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而根据两点之间线段最短及等腰三角形性质求解.例5. （2019·舟山）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC 和EDF 拼合在个平面上，边AC 与EF 重合，12AC cm =．当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动．当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长为 cm ；连接BD ，则△ABD 的面积最大值为2cm ．【答案】- 【解析】解：如图1所示，当E 运动至E ’，F 滑动到F ’时，图1过D ’作D ’G ⊥AC 于G ，D ’H ⊥BC 交BC 延长线于点H ，可得∠E ’D ’G =∠F ’D ’H ，D ’E ’=D ’F ’，∴Rt △E ’D ’G ≌Rt △F ’D ’H ，∴D ’G =G ’H ,∴D ’在∠ACH 的角平分线上，即C ，D ，D ’三点共线.通过分析可知，当D ’E ’⊥AC 时，DD ’的长度最大，随后返回初始D 点，如图2所示，D 点的运动路径为D →D ’→D ，行走路线长度为2DD ’；D '图2∵∠BAC =30°，AC =12，DE =CD∴BC=CD =DE=，由图知：四边形E ’CF ’D ’为正方形，CD ’=EF =12，∴DD ’=CD ’-CD=12-,D 点运动路程为2DD ’=24-图3如图3所示，当点D 运动至D ’时，△ABD ’的面积最大，最大面积为：'''''''ABC AE D BD F E CF D S S S S ++-△△△正方形=(((211112222⨯+⨯--⨯⨯=【点睛】准确利用全等、角平分线判定得到D 点的运动轨迹是关键，利用三角函数及勾股定理求解，计算较为繁琐，尤其是利用割补法求解三角形的面积时对学生计算能力要求较高，此题难度较大，新颖不BD'BD'失难度.例6. （2019·巴中）如图，在菱形ABCD 中，连接BD 、AC 交于点O ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，以O 为圆心，OH 为半径的半圆交AC 于点M .（1）求证：DC 是圆O 的切线；（2）若AC =4MC ，且AC =8，求图中阴影部分面积；（3）在（2）的前提下，P 是线段BD 上的一动点，当PD 为何值时，PH +PM 的值最小，并求出最小值.【答案】见解析.【解析】（1）证明：过点O 作ON ⊥CD 于N ， AC 是菱形ABCD 的对角线，∴AC 平分∠BCD ，∵OH ⊥BC ，ON ⊥CD ，∴OH =ON ，又OH 为圆O 的半径，BD∴ON 为圆O 的半径，即CD 是圆O 的切线.（2）由题意知：OC =2MC =4，MC =OM =2，即OH =2，在Rt △OHC 中，OC =2OH ，可得：∠OCH =30°，∠COH =60°，由勾股定理得：CH==23OCH OMHS S S π-=△阴影扇形（3）作点M 关于直线BD 的对称点M ’，连接M ’H 交BD 于点P ，可知：PM =PM ’即PH +PM =PH +PM ’=HM ’，由两点之间线段最短，知此时PH +PM 最小， ∵OM ’=OM =OH ，∠MOH =60°，∴∠MM ’H =30°=∠HCM ，∴HM ’=HC=即PH +PM的最小值为在Rt △M ’PO 及Rt △COD 中，OP =OM ’ tan 30°，OD =OC tan 30°，即PD =OP +OD=B D。

2020年中考数学二轮核心考点讲解第12讲运动路径长度问题解析版

【中考数学二轮核心考点讲解】第12讲运动路径长度问题想要对运动路径长度问题掌握得信手拈来，那么建议你对以下知识点进行提前学习会更好：1.《隐圆模型》2.《共顶点模型》-也可称“手拉手模型”3.《主从联动模型》-也可称“瓜豆原理模型”4.《旋转问题》—本系列的第二讲中所阐述的旋转相似模型此外，还需要明白的动点类型还有：5.线段垂直平分线——到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上6.角平分线——到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上7.三角形中位线——动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半8.平行线分线段成比例——动点到某条线的距离与某平行线段成比例9.两平行线的性质——平行线间的距离，处处相等一、路径为圆弧型解题策略：①作出隐圆，找到圆心②作出半径，求出定长解题关键：通过《隐圆模型》中五种确定隐圆的基本条件作出隐圆，即可轻易得出结论. 二、路径为直线型解题策略：①利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型②确定动点的起点与终点，计算出路径长度即可解题关键：解题过程中常常出现中位线，平行线分线段成比例，相似证动角恒等于顶角等知识点三、路径为往返型解题策略：①通常为《主从联动模型》的衍生版②确定动点的起点与终点，感知运动过程中的变化③找出动点运动的最远点解题关键：解题过程中常常出现相似转线段长、《主从联动模型》中的滑动模型等【例题1】如图，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（）A．B．C．D．【分析】解题标签：《共顶点模型》中的旋转相似、《隐圆模型》中的动点定长模型、《主从联动模型》【解析】如图，连接OP，AQ，设⊙O与AB相切于C，连接OC，则OC⊥AB，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，OB＝，∴AB＝2，OP＝OC＝AB＝，∵△ABO和△QBP均为等腰直角三角形，∴＝，∠ABO＝∠QBP＝45°，∴＝，∠ABQ＝∠OBP，∴△ABQ∽△OBP，∴∠BAQ＝∠BOP，＝，即＝，∴AQ＝，又∵点P在弧MN上由点M运动到点N，∴0°≤∠BOP≤90°，∴0°≤∠BAQ≤90°，∴点Q的运动轨迹为以A为圆心，AQ长为半径，圆心角为90°的扇形的圆弧，∴点Q运动的路径长为＝，故选：D．[本题用《主从联动模型》来接替会更快得到结果]【例题2】已知⊙O，AB是直径，AB＝4，弦CD⊥AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）A．πB．C．πD．2【分析】解题标签：“定边对直角”确定隐圆模型【解析】作DQ⊥AC于Q，如图，当P点在C点时，F点与Q重合；当P点在B点时，F点与E点重合，∵∠AFD＝90°，∴点F在以AD为直径的圆上，∴点F运动的路径为，∵弦CD⊥AB且过OB的中点，∴OE＝OD，CE＝DE＝，AC＝AC＝2，∴∠DOE＝60°，∴∠DAC＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴MQ和ME为中位线，∴MQ＝，∠QME＝60°，∴F运动的路径长度＝＝．故选：A．【例题3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型【解析】连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝1，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，∴△ABC的最大面积为．故答案为：．【例题4】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP 交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A. B. C. 1 D. 2【分析】解题标签：“线段垂直平分线”产生“平行定距型”【解析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC= AB= ，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=22AP=22CQ，QF=22BQ，∴PE+QF=22（CQ+BQ）=22BC=2×22=1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH=12（PE+QF）=12，即点M到AB的距离为12，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=12AB=1，故答案为：C．[或连接OM，CM，点M运动路径为线段OC中垂线]【例题5】已知：如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B在x轴上，且∠BAO＝30°，点D是线段OA上的一点，以BD为边向下作等边△BDE．（1）如图2，当∠ODB＝45°时，求证：OE平分∠BED．（2）如图3，当点E落在y轴上时，求出点E的坐标．（3）利用图1探究并说理：点D在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点E也会在一条直线上滑动；并直接写出点E运动路径的长度．【分析】解题标签：“共顶点模型”、“全等或相似转固定角度法确定动点的直线运动”【解析】（1）∵∠ODB＝45°，∠AOB＝90°，∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∴OD＝OB，∵△BDE是等边三角形，∴DE＝BE，在△DOE和△BOE中，，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠DEO＝∠BEO，即OE平分∠BED；（2）∵△BOE是等边三角形，∴∠EDB＝60°，∵OB⊥DE，设OD＝x，则OE＝x，∵∠BAO＝30°，∠AOB＝90°，∴∠DBO＝∠ABD＝∠BAO＝30°，∴BD＝2OD＝2x，AD＝BD＝2x，∵OA＝AD+OD＝3x＝6，解得，x＝2，∴E（0，﹣2）；（3）如图1，在x轴上取点C，使BC＝BA，连接CE，∵∠ABD+∠OBD＝∠CBE+∠OBD＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BCE＝∠BAO＝30°，∴当D在OA上滑动时，点E总在与x轴夹角为30°的直线CE上滑动，如图可知，点E运动路径的长度为6．【例题6】如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束．在这个运动过程中，点C运动的路径长是8﹣12．【分析】解题标签：“运动路径为来回型”【解析】①当A从O到现在的点A处时，如图2，此时C′A⊥y轴，点C运动的路径长是CC′的长，∴AC′＝OC＝8，∵AC′∥OB，∴∠AC′O＝∠COB，∴cos∠AC′O＝cos∠COB＝＝，∴＝，∴OC′＝4，∴CC′＝4﹣8；②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′，CC′＝OC′﹣BC＝4﹣4，综上所述，点C运动的路径长是：4﹣8+4﹣4＝8﹣12；故答案为：8﹣12．【例题7】如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x＝2，动点P从抛物线的顶点A 出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t杪，连结OP并延长交抛物线于点B，连结OA，AB．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度．【分析】解题标签：“运动路径为来回型”【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，且对称轴是直线x＝2，∴c＝0，﹣＝2，则b＝﹣4、c＝0，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x；（2）设点B（a，a2﹣4a），∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴点A（2，﹣4），则OA2＝22+42＝20、OB2＝a2+（a2﹣4a）2、AB2＝（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，①若OB2＝OA2+AB2，则a2+（a2﹣4a）2＝20+（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，解得a＝2（舍）或a＝，∴B（，﹣），则直线OB解析式为y＝﹣x，当x＝2时，y＝﹣3，即P（2，﹣3），∴t＝（﹣3+4）÷1＝1；②若AB2＝OA2+OB2，则（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2＝20+a2+（a2﹣4a）2，解得a＝0（舍）或a＝，∴B（，），则直线OB解析式为y＝x，当x＝2时，y＝1，即P（2，1），∴t＝[1﹣（﹣4）]÷1＝5；③若OA2＝AB2+OB2，则20＝（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2+a2+（a2﹣4a）2，整理，得：a3﹣8a2+21a﹣18＝0，a3﹣3a2﹣5a2+15a+6a﹣18＝0，a2（a﹣3）﹣5a（a﹣3）+6（a﹣3）＝0，（a﹣3）（a2﹣5a+6）＝0，（a﹣3）2（a﹣2）＝0，则a＝3或a＝2（舍），∴B（3，﹣3），∴直线OB解析式为y＝﹣x，当x＝2时，y＝﹣2，即P（2，﹣2），∴t＝[﹣2﹣（﹣4）]÷1＝2；综上，当△AOB为直角三角形时，t的值为1或2或5．（3）∵⊙M为△AOB的外接圆，∴点M在线段OA的中垂线上，∴当1≤t≤5时，点M的运动路径是在线段OA中垂线上的一条线段，当t＝1时，如图1，由（2）知∠OAB＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OB的中点，∵B（，﹣），∴M（，﹣）；当t＝5时，如图2，由（2）知，∠AOB＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是AB的中点，∵B（，）、A（2，﹣4），∴M（，﹣）；当t＝2时，如图3，由（2）知，∠OBA＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OA的中点，∵A（2，﹣4），∴M（1，﹣2）；则点M经过的路径长度为＝．【例题8】如图，OM⊥ON，A、B分别为射线OM、ON上两个动点，且OA+OB＝5，P为AB的中点．当B由点O向右移动时，点P移动的路径长为（）A．2B．2C．D．5【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】建立如图坐标系．设OB＝t，则OA＝5﹣t，∴B（t，0），A（0，5﹣t），∵AP＝PB，∴P（，），令x＝，y＝，消去t得到，y＝﹣x+（0≤x≤），∴点P的运动轨迹是线段HK，H（0，），K（，0），∴点P的运动路径的长为＝，故选：C．【例题9】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0），在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）．设直线M1M2的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线M1M2的解析式为y=-2x+6．∵点Q（0，2t），P（6-t，0）∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）．把x= 代入y=-2x+6得y=-2×+6=t，∴点M3在直线M1M2上．过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=4，M1N=2．∴M1M2=2∴线段PQ中点M所经过的路径长为2 单位长度．【例题10】（1）如图1，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作等边△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（2）如图2，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以E为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（3）如图3，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（4）如图4，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直顶点的等腰△BDE，且∠BDE=120°，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；【分析】解题标签：“主从联动模型”【解析】22；2；4；26【例题11】如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________．【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型、主从联动模型【解析】如图所示，易得点D的运动轨迹的长为=2 π．1．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．【解析】如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．∵AC＝BC＝，∠ACB＝90°，∴AB＝＝2，∴OP＝AB＝1，∵CM＝MP，CK＝OK，∴MK＝OP＝，∴当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，长为半径的半圆，∴点M运动的路径长＝•2•π•＝，故答案为．2．已知线段AB＝8，C、D是AB上两点，且AC＝2，BD＝4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若∠AEP＝∠BFP，则当点P由点C移动到点D时，点M移动的路径长度为4﹣3．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H．∵△APE和△PBF都是等腰三角形，且∠AEP＝∠BFP∵∠A＝∠FPB，∴AH∥PF，同理，BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵M为EF的中点，∴M为PH中点，即在P的运动过程中，M始终为PH的中点，所以M的运行轨迹为三角形HCD的中位线QN．∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝8﹣6，∴QN＝CD＝4﹣3，即M的移动路径长为4﹣3．故答案是：4﹣3．3．已知线段AB＝10，P是线段AB上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点A移动到点B时，G点移动的路径长度为5．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H，∵∠A＝∠FPB＝60°，∴AH∥PF，∵∠B＝∠EP A＝60°，∴BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵G为EF的中点，∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．∴MN＝AB＝5，即G的移动路径长为5．故答案为：54．如图，AB为⊙O的直径，AB＝3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使AP•AQ＝AB2．若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．【解析】连接BQ，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AP•AQ＝AB2．即＝，而∠BAP＝∠QAB，∴△ABP∽△AQB，∴∠ABQ＝∠APB＝90°，∴BQ为⊙O的切线，点Q运动的路径长为切线长，∵弧AC的度数是60°，∴∠AOC＝60°，∴∠OAC＝60°，当点P在C点时，∠BAQ＝60°，∴BQ＝AB＝3，即点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．故答案为3．5．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE:ED＝1:2．动点P 从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F．设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为________．【答案】4【解析】如图所示：过点M作GH⊥AD.∵AD∥CB，GH⊥AD，∴GH⊥BC.在△EGM和△FHM中，∴△EGM≌△FHM.∴MG=MH.∴点M的轨迹是一条平行于BC的线段当点P与A重合时,BF1=AE=2，当点P与点B重合时,∠F2+∠EBF1=90∘,∠BEF1+∠EBF1=90∘，∴∠F2=∠EBF1.∵∠EF1B=∠EF1F2，∴△EF1B∽△∠EF1F2.∴，即∴F1F2=8，∵M1M2是△EF1F2的中位线，∴M1M2= F1F2=4.故答案为：4.6．等边三角形ABC的边长为2，在AC，BC边上各有一个动点E，F，满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．（1）∠APB的度数；（2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；（3）连结CP，直接写出CP长度的最小值．【解析】（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，又∵AE＝CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF．又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP+∠BAP，∴∠APE＝∠BAP+∠CAF＝60°．∴∠APB＝180°﹣∠APE＝120°．（2）如图1，∵AE＝CF，∴点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP 为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，∴∠AOB＝120°，又∵AB＝2，∴OA＝2，点P的路径是l＝＝＝；（3）如图2，∵AE＝CF，∴点P的路径是一段弧，∴当点E运动到AC的中点时，CP长度的最小，即点P为△ABC的中心，过B作BE′⊥AC于E′，∴PC＝BE′，∵△ABC是等边三角形，∴BE′＝BC＝3，∴PC＝2．∴CP长度的最小值是2．方法二：由图1可知，CP最小值等于CO减OA，OA就是那圆弧的半径，可得PC的最小值为2．7．如图，AB为半圆O的直径，AB=2，C，D为半圆上两个动点（D在C右侧），且满足∠COD=60°，连结AD，BC相交于点P若点C从A出发按顺时针方向运动，当点D与B重合时运动停止，则点P所经过的路径长为________．【答案】【解析】解：点C从点A运动到点D与点B从何时，AD与BC的相点P运动的轨迹是一条弧，C,D两点运动到恰好是半圆的三等分点时，AD与BC的相点P是弧的最高点，作AP,BP的中垂线，两线交于点E，点E是弧APB的圆心；由题意知：AD=BD，∠PAB=∠PBA=30°,连接AE,DE，根据圆的对称性得出A、O、E三点在同一直线上，易证△ADE是一个等边三角形，∠AED=60°,在Rt△ADO中，∠DOA=90°,∠PAB=30°,AO=1,故AD=,∴AE=AD=,弧APB的长度==。

机器人控制中运动轨迹规划算法的使用中常见问题解析

机器人控制中运动轨迹规划算法的使用中常见问题解析机器人运动轨迹规划是指在给定的环境中，通过选择合适的路径和动作，使机器人能够从初始位置移动到目标位置。

运动轨迹规划算法是实现机器人运动控制的核心部分，它的正确使用对于机器人的运动效果和精度有着至关重要的影响。

在机器人控制中，常会遇到一些与运动轨迹规划算法相关的问题。

本文将对这些常见问题进行解析。

问题一：如何选择合适的运动轨迹规划算法？在选择运动轨迹规划算法时，需要考虑以下因素：1. 动态障碍物处理能力：机器人在运动过程中可能会遇到动态障碍物，因此选择的算法应能及时响应并进行适当的避障处理。

2. 运动精度要求：不同的任务对于机器人的运动精度有着不同的要求。

在需要精确控制的任务中，需要选择精度较高的算法。

3. 环境地图和传感器信息：运动轨迹规划算法的性能还与环境地图和传感器信息的质量有关，因此需要根据实际情况选择适合的算法。

问题二：如何解决动态障碍物问题？动态障碍物是指在机器人运动过程中，障碍物的位置和状态可能发生变化。

为了解决动态障碍物问题，可以采取以下措施：1. 实时感知和跟踪：机器人需要通过激光雷达、摄像头等传感器实时感知环境中的动态障碍物，并持续跟踪它们的位置和状态。

2. 即时更新规划：通过不断更新运动轨迹规划算法，根据动态障碍物的变化情况及时调整机器人的路径规划。

可以采用启发式搜索算法或优化算法来解决这个问题。

问题三：如何提高运动轨迹规划算法的计算效率？在实际应用中，机器人通常需要快速生成高效的运动轨迹。

为提高算法的计算效率，可以采取以下方法：1. 优化数据结构：合理选择数据结构能够有效地提高算法的计算效率。

例如，使用KD树或R树可以加速搜索过程。

2. 减少搜索空间：对于大型环境，可以采用分层规划的方法，先对全局路径进行规划，再对局部路径进行细化，从而减小搜索空间。

3. 并行计算：利用多核处理器或分布式计算框架，将算法并行化，以提高计算速度。

专题全等三角形的应用---动点运动问题(30题)(解析版)

八年级上册数学《第十二章全等三角形》专题全等三角形的应用---动点运动问题（30题）1．（2023春•虹口区校级期末）如图，AB ＝8，BC ＝10，CD 为射线，∠B ＝∠C ，点P 从点B 出发沿BC 向点C 运动，速度为1个单位/秒，点Q 从点C 出发沿射线CD 运动，速度为x 个单位/秒；若在某时刻，△ABP 能与△CPQ 全等，则x ＝．【分析】设点P 、Q 的速度为ts ，分两种情形构建方程即可解决问题．【解答】解：设点P 、Q 的速度为ts ，分两种情形讨论：①当AB ＝PC ，BP ＝CQ 时，△ABP ≌△PCQ ，即8＝10﹣t ，解得：t ＝2，∴2x ＝2×1，∴x ＝1；②当BP ＝PC ，AB ＝CQ 时，△ABP ≌△QCP ，即t =12×10＝5，∴5x ＝8，x =85，综上所述，x ＝1或85，故答案为：1或85．【点评】本题考查全等三角形的判定、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．2．（2022秋•攸县期末）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ，AB ＝5cm ，AD ＝BC ＝3cm ，点E 在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动．设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为 cm/s．【分析】设点F的运动速度为xcm/s，则AE＝tcm，BE＝（5﹣t）cm，BF＝xtcm，由于∠DAB＝∠ABC，则当AD＝BE，AE＝BF时，根据“SAS”判断△ADE≌△BEF，即5﹣t＝3，t＝xt；当AD＝BF，AE＝BE 时，根据“SAS”判断△ADE≌△BFE，即xt＝3，t＝5﹣t，然后分别解方程求出x即可．【解答】解：设点F的运动速度为xcm/s，则AE＝tcm，BE＝（5﹣t）cm，BF＝xtcm，∵∠DAB＝∠ABC，∴当AD＝BE，AE＝BF时，根据“SAS”判断△ADE≌△BEF，即5﹣t＝3，t＝xt，解得t＝2，x＝1；当AD＝BF，AE＝BE时，根据“SAS”判断△ADE≌△BFE，即xt＝3，t＝5﹣t，解得t＝2.5，x＝1.2，综上所述，点F的运动速度为1或1.2cm/s．故答案为：1或1.2．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．3．（2022春•普宁市期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3：7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为．【分析】设BE＝3t，则BF＝7t，使△AEG与△BEF全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分两种情况：情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，列方程解得t，可得AG；情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，列方程解得t，可得AG．【解答】解：设BE＝3t，则BF＝7t，因为∠A＝∠B＝90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，∵BF＝AE，AB＝60，∴7t＝60﹣3t，解得：t＝6，∴AG＝BE＝3t＝3×6＝18；情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，∵BE＝AE，AB＝60，∴3t＝60﹣3t，解得：t＝10，∴AG＝BF＝7t＝7×10＝70，综上所述，AG＝18或AG＝70．故答案为：18或70．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．4．如图，△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，AD＝BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B 点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以vcm/s的速度由C点向A点运动，那么当△BPD与△CQP 全等时，v＝（）A．3B．4C．2或4D．2或3【分析】表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD 与CQ是对应边两种情况讨论即可．【解答】解：∵AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点，∴BD=12×24＝12cm，设点P、Q的运动时间为t，则BP＝2t，PC＝（16﹣2t）c①当BD＝PC时，16﹣2t＝12，解得：t＝2，则BP＝CQ＝2t＝4，故点Q的运动速度为：4÷2＝2（厘米/秒）；②当BP＝PC时，∵BC＝16cm，∴BP＝PC＝8cm，∴t＝8÷2＝4（秒），故点Q的运动速度为12÷4＝3（厘米/秒）；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．5．如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s 的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若△AEP与△BPQ全等，则点Q的运动速度是（）A．2或83B．6或83C．2或6D．1或23【分析】设Q运动的速度为xcm/s，则根据△AEP与△BQP得出AP＝BP、AE＝BQ或AP＝BQ，AE＝BP，从而可列出方程组，解出即可得出答案．【解答】解：∵长方形ABCD，∴∠A＝∠B＝90°，∵点E为AD的中点，AD＝8cm，∴AE＝4cm，设点Q的运动速度为xcm/s，①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP＝BP，AE＝BQ，2y=6−2y4=8−xy，解得，x=83 y=32，即点Q的运动速度83cm/s时能使两三角形全等．②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP＝BQ，AE＝BP，2y=8−xy4=6−2y，解得：x=6 y=1，即点Q的运动速度6cm/s时能使两三角形全等．综上所述，点Q的运动速度83或6cm/s时能使两三角形全等．故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，涉及了动点的问题使本题的难度加大了，解答此类题目时，要注意将动点的运用时间t和速度的乘积当作线段的长度来看待，这样就能利用几何知识解答代数问题了．6．（2022秋•高邑县期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且l∥AB，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当△CPE与△CQF全等时，t的值不可能是（）A．2B．2.8C．3D．6【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值．【解答】解：当P在AC上，Q在BC上时，如图，过点P，Q，C分别作PE⊥直线l于点E，QF⊥直线l于点F，CD⊥AB于点D，∵∠ACB＝90，∴∠PCE+∠QCF＝90°，∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，∴∠EPC＝∠QCF，∵△PCE≌△CQF，∴PC＝CQ，∴6﹣2t＝8﹣3t，解得t＝2；当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，由题意得，6﹣2t＝3t﹣8，解得t＝2.8；当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，由题意得，2t﹣6＝6，解得t＝6．综上，当△CPE与△CQF全等时，t的值为2或2.8或6．∴t的值不可能是3．故选：C．【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质、作图﹣基本作图、平行线之间的距离、勾股定理，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．7．（2022秋•浠水县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1cm的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．当△ABD≌△ACE时，t的值为（）A．2B．4C．6D．2或6【分析】当点E在射线CM上时，D在CB上，BD＝CE，当点E在CM的反向延长线上时DB＝CE，由全等三角形的性质求出其解即可．【解答】解：∵△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，AB＝AC，BD＝CE．如图，当点E在射线CM上时，D在CB上，BD＝CE，∵CE＝t，BD＝6﹣2t，∴6﹣2t＝t，∴t＝2．如图，当点E在CM的反向延长线上时DB＝CE，∵CE＝t，BD＝2t﹣6，∴t＝2t﹣6，∴t＝6．综上所述，当t＝2或6时，△ABD≌△ACE，故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时分类讨论是重点也是难点．8．（2023春•和平区校级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，满足AC＝7，BC＝12，点P从A 点出发沿A→C→B路径向终点B运动：点Q从B出发沿B→C→A路径向终点A运动；点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P，Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，当以P，E，C为顶点的三角形与以Q，F，C为顶点的三角形全等时，t的值为　（不考虑两三角形重合的情况）．【分析】三角形PEC和三角形QFC要全等，P的对应顶点是C，有两种情况：一种是点P在AC上，点P在BC上时；另一种是点Q到达终点，而P在BC上时，先把各线段的长度表示出来，再让对应边相等，即可构造方程解出t．【解答】解：①当点P在线段AC上，点P在线段BC上时；如图：当△PCE≌CQF时，∠QCF＝∠EPC，∴PC＝CQ．由题意知：AP＝t，PC＝7﹣t，BQ＝3t，CQ＝12﹣3t；∴7﹣t＝12﹣3t，解得t＝2.5．②当P在线段BC上，点Q到达终点时，如图：当△PCE≌CQF时，∠QCF＝∠EPC，∴PC＝CQ．由题意知：AP＝t，PC＝t﹣7，CQ＝7，∴t﹣7＝7，解得t＝14．综上所述，t的值为2.5或14．【点评】本题考查全等三角形的性质，找到全等三角形的对应边是解题的关键．9．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度运动至点G，E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与直线AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0＜t＜2和2＜t＜4时段BF的长度（用含t的代数式表示）（2）当BF＝AE时，求t的值；（3）当△ADE≌△CDF时，直接写出所有满足条件的t值．【分析】（1）根据点F从点B出发、点E从点A出发的速度、结合图形解答；（2）根据题意列出方程，解方程即可；（3）分点E从点A运动至点G、从点G返回两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．【解答】解：（1）当0＜t≤2时，BF＝4t，当2＜t≤4时，BF＝16﹣4t；（2）由题意得，16﹣4t＝2t，解得t=8 3；（3）当0＜t≤2时，△ADE≌△CDF，则AE＝CF，即8﹣4t＝2t，解得t=4 3，当2＜t≤4时，△ADE≌△CDF，则AE＝CF，即4t﹣8＝2t，解得t＝4，则t=43或4时，△ADE≌△CDF．【点评】本题考查的是全等三角形的性质的应用，根据题意求出函数关系式、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且PQ＝AB，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△QPA全等．【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．【解答】解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP=BCPQ=AB∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝BC＝5cm；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP=ACPQ=AB，∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），即AP＝AC＝10cm，∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．综上所述，当P运动到AP＝BC、点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．11．（2023春•吉安县期末）如图，△ABC中，D为AB的中点，AD＝5厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米．（1）若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动，若点Q的速度与点P的速度相等，经1秒钟后，请说明△BPD≌△CQP；（2）若点P以3厘米/秒的速度从点B向点C运动，同时点Q以5厘米/秒的速度从点C向点A运动，它们都依次沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，再加上BP＝CQ＝3，PC＝BD＝5，则可判断△BPD 与△CQP全等；（2）设经过x秒后，点Q第一次追上点P，由题意得5x﹣3x＝2×10，解方程得到点P运动的路程为3×10＝30，得到此时点P在BC边上，于是得到结果．【解答】解：（1）∵BP＝3×1＝3，CQ＝3×1＝3，∴BP＝CQ，∵D为AB的中点，∴BD＝AD＝5，∵CP＝BC﹣BP＝5，∴BD＝CP，在△BPD与△CQP中，BD=CP∠B=∠C，BP=CQ∴△BPD≌△CQP（SAS）；（2）设经过x秒后，点Q第一次追上点P，由题意得5x﹣3x＝2×10，解得：x＝10，∴点P运动的路程为3×10＝30，∵30＝28+2，∴此时点P在BC边上，∴经过10秒，点Q第一次在BC边上追上点P．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，找准对应边是解题的关键．12．如图，∠BAC＝90°，AB＝22，AC＝28．点P从B点出发沿B→A→C路径向终点C运动；点Q从C 点出发沿C→A→B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．问：点P运动多少秒时，△PFA与△QAG全等？【分析】分类讨论：当点P在BA上，点Q在AC上，如图1，则PB＝2t，CQ＝3t，AP＝22﹣2t，AQ＝28﹣3t，利用三角形全等得PA＝AQ，即22﹣2t＝28﹣3t；当点P、Q都在AB上，即P点和Q点重合时，△PFA与△QAG全等，此时2t+3t﹣28＝22，当点P在AC上，点Q在AB上，如图2，则PA＝2t﹣22，AQ＝3t﹣28，由PA＝AQ，即2t﹣22＝3t﹣28；当点Q停在点B处，点P在AC上，由PA＝QA得2t﹣22＝22，然后分别解方程求出t，再根据题意确定t的值．【解答】解：设P、Q点运动的时间为t，（1）当点P在BA上，点Q在AC上，如图1，则PB＝2t，CQ＝3t，AP＝22﹣2t，AQ＝28﹣3t，∵△PFA与△QAG全等，∴PA＝AQ，即22﹣2t＝28﹣3t，解得t＝6，即P运动6秒时，△PFA与△QAG全等；（2）当点P、Q都在AB上，即P点和Q点重合时，△PFA与△QAG全等，此时2t+3t﹣28＝22，解得t＝10，（3）当点P在AC上，点Q在AB上，如图2，则PA＝2t﹣22，AQ＝3t﹣28，∵△PFA与△QAG全等，∴PA＝AQ，即2t﹣22＝3t﹣28，解得t＝6（舍去）；当点Q停在点B处，点P在AC上，由PA＝QA得2t﹣22＝22，解得t＝22，舍去．综上所述：当t等于6秒或10秒时，△PFA与△QAG全等．【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．对于动点问题常利用代数的方法解决．13．（2022秋•苍溪县期末）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，点P从点出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以lcm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．（1）求证：AB∥DE．（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．【分析】（1）证明△ABC≌△EDC（SAS），可得∠A＝∠E，然后根据内错角相等两直线平行即可得出结论；（2）分两种情况讨论：当0≤t≤4时，AP＝2tcm，当4＜t≤8时，BP＝（2t﹣8）cm，可得AP＝8﹣（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm，进而可以解决问题；（3）先证△ACP≌△ECQ（ASA），得AP＝EQ，再分两种情况列方程求解即可．【解答】（1）证明：在△ABC和△EDC中，AC=EC∠ACB=∠ECD，BC=DC∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠A＝∠E，∴AB∥DE；（2）解：当0≤t≤4时，AP＝2tcm，当4＜t≤8时，BP＝（2t﹣8）cm，∴AP＝8﹣（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm，∴线段AP的长为2tcm或（16﹣2t）cm；（3）解：根据题意得DQ ＝tcm ，则EQ ＝（8﹣t ）cm ，由（1）得：∠A ＝∠E ，ED ＝AB ＝8cm ，在△ACP 和△ECQ 中，∠A =∠E AC =EC ∠ACP =∠ECQ，∴△ACP ≌△ECQ （ASA ），∴AP ＝EQ ，当0≤t ≤4时，2t ＝8﹣t ，解得：t =83；当4＜t ≤8时，16﹣2t ＝8﹣t ，解得：t ＝8；综上所述，当线段PQ 经过点C 时，t 的值为83或8．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，列代数式，一元一次方程的应用，解决本题的关键是得到△ACP ≌△ECQ ．14．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝6cm ，BC ＝10cm ，点P 从点B 出发，以2cm /s 的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为ts ．（1）PC ＝ cm ．（用t 的代数式表示）（2）当点P 从点B 开始运动，同时，点Q 从点C 出发，以vcm /s 的速度沿CA 向点A 运动，是否存在这样v 的值，使得△ABP 与△PQC 全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据P 点的运动速度可得BP 的长，再利用BC ﹣BP 即可得到CP 的长；（2）此题主要分两种情况①当BP ＝CQ ，AB ＝PC 时，△ABP ≌△PCQ ；当BA ＝CQ ，PB ＝PC 时，△ABP ≌△QCP ，然后分别计算出t 的值，进而得到v 的值．【解答】解：（1）依题意，得PC＝（10﹣2t）（cm）．故答案为：10﹣2t；（2）①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，∵AB＝6cm，∴PC＝6（cm），∴BP＝10﹣6＝4（cm），2t＝4，解得：t＝2，CQ＝BP＝4（cm），v×2＝4，解得：v＝2；②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，∵PB＝PC，∴BP＝PC=12BC＝5（cm），2t＝5，解得：t＝2.5，CQ＝BP＝6（cm），v×2.5＝6，解得：v＝2.4．综上所述：当v＝2.4或2时△ABP与△PQC全等．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．15．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以1cm/s的运动速度从B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过　秒后，点P与点Q第一次在△ABC上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长，根据SAS判定两个三角形全等．②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个边长．【解答】解：（1）①△BPD≌△CQP，理由如下：∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝1×1＝1cm，∵AB＝6cm，点D为AB的中点，∴BD＝3cm．又∵PC＝BC﹣BP，BC＝4cm，∴PC＝4﹣1＝3cm，∴PC＝BD．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△BPD≌△CQP；②假设△BPD≌△CQP，∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CQP，∠B＝∠C，则BP＝CP＝2，BD＝CQ＝3，∴点P，点Q运动的时间t=BP1=2秒，∴v Q=CQt=32=1.5cm/s；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得 1.5x＝x+2×6，解得x＝24，∴点P共运动了24s×1cm/s＝24cm．∵24×1.5＝36，∴点P、点Q在AC边上相遇，∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．【点评】此题主要是运用了路程＝速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．16．（2022秋•聊城月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．（2）当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等．【分析】（1）经过1秒后，可得BP＝CQ＝3厘米，则PC＝8﹣3＝5厘米，可证明△BPE≌△CQP；（2）由△BPE与△CQP全等可知有△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，全等可得BP＝CP或BP＝CQ，或可求得BP的长，可求得P点运动的时间，由CQ＝BE或CQ＝BP可求得Q点运动的路程，可求得其速度．【解答】解：（1）△BPE与△CQP全等，理由如下：当运动1秒后，则BP＝CQ＝3厘米，∴PC＝BC﹣BP＝8﹣3＝5厘米，∵E为AB中点，且AB＝10厘米∴BE＝5厘米，∴BE＝PC，在△BPE和△CQP中BE=PC∠B=∠CBP=CQ∴△BPE≌△CQP（SAS）；（2）∵△BPE与△CQP全等，∴△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，当△BEP≌△CQP时，则BP＝CP，CQ＝BE＝5厘米，设P点运动的时间为t秒，则3t＝8﹣3t，解得t=4 3，∴Q点的运动的速度＝5÷43=154（厘米/秒），当△BEP≌△CPQ时，由（1）可知t＝1（秒），∴BP＝CQ＝3厘米，∴Q点的运动的速度＝3÷1＝3（厘米/秒），即当Q点每秒运动154厘米或3厘米时△BEP≌△CQP．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P，Q是边AC，BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E，设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿AC，BC向点C匀速运动，运动速度都为每秒1个单位，其中一点到达终点C后，另一点也随之停止运动，在运动过程中△APD和△QBE是否保持全等？判断并说明理由；（2）若点P从点C出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q仍从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当t为何值时，△APD和△QBE全等？【分析】（1）根据∠C＝90°，PD⊥AB，QE⊥AB，于是得到∠A+∠APD＝∠A+∠B＝90°，证得∠APD ＝∠B，∠ADP＝∠QEB＝90°，即可得到结论；（2）分两种情况：①0≤t＜83时，点P从C到A运动，则AP＝AC＝CP＝8﹣3t，BQ＝t，求得t＝2，②t≥83时，点P从A到C运动，则AP＝3t﹣8，BQ＝t，求得t＝4．【解答】解：（1）△ADP≌△QBE，理由：∵∠C＝90°，PD⊥AB，QE⊥AB，∴∠A+∠APD＝∠A+∠B＝90°，∴∠APD＝∠B，∠ADP＝∠QEB＝90°，∵AP＝BQ＝t，在△ADP与△QBE中，∠APD=∠B∠ADP=∠QEB AP=BQ，∴△ADP≌△QBE；（2）①0≤t＜83时，点P从C到A运动，则AP＝AC＝CP＝8﹣3t，BQ＝t，当△ADP≌△QBE时，则AP＝BQ，即8﹣3t＝t，解得：t＝2，②t≥83时，点P从A到C运动，则AP＝3t﹣8，BQ＝t，当△ADP≌△QBE时，则AP＝BQ，即3t﹣8＝t，解得：t＝4，综上所述：当t＝2s或4s时，△ADP≌△QBE．【点评】本题考查了全等三角形的判定，解方程，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．18．如图，在长方形ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动．（注：长方形中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC）（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等：①经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；②设运动时间为t秒时，△PEQ的面积为Scm2，请用t的代数式表示S．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△AEP与△BPQ全等．【分析】（1）①当t＝1时，AP＝BQ，∠A＝∠B，AE＝PB，从而可证明△EAP≌Rt△PBQ；②当t≤4时，AP＝BQ＝t，S＝S梯形AEQB﹣S AEP﹣S PBQ；当4＜t≤6时，点P与点B重合，S＝2t；（2）如图3所示：因为△AEP≌△BQP，所以AP＝PB＝2，AE＝BQ＝3，从而可求得t＝2，点Q运动的速度为＝3÷2＝1.5cm/秒．【解答】解：（1）①当t＝1时，AP＝1，BQ＝1，∴AP＝BQ．∵E是AD的中点，∴AE=12AD＝3．∵PB＝AB＝AP＝4﹣1＝3，∴AE＝PB．在Rt△EAP和Rt△PBQ中，AE=PB ∠A=∠B AP=BQ，∴Rt△EAP≌Rt△PBQ．∴∠APE＝∠BQP，∵∠BQP+∠BPQ＝90°，∴∠APE+∠BPQ＝90°，∴∠EPQ＝90°，∴PE⊥PQ；②如图1所示连接QE．图1Ⅰ、当t≤4时，AP＝BQ＝t，S梯形AEQB =12（AE+BQ）•AB=12×4×（3+t）＝2t+6．S△AEP =12AE•PA=12×3t=32t，S△PBQ=12PB•BQ=12×（4﹣t）t＝2t−12t2．∴S＝2t+6−32t﹣（2t−12t2）．整理得：S=12t2−32t+6，如图2所示：Ⅱ、当4＜t≤6时，点P与点B重合，S=12QB•AB=12×4×t＝2t．∴S与t的函数关系式为S=2−32t+6(0＜t≤4)＜t≤6)；（2）如图3所示：∵△AEP≌△BQP，PA≠BQ，∴AP＝PB＝2，AE＝BQ＝3．∴t＝AP=12AB=12×4＝2．∴点Q运动的速度为＝3÷2＝1.5cm/秒时，△AEP≌△BQP．故答案为：1.5．【点评】此题是四边形综合题，主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、矩形的性质、函数的解析式、一元一次方程的综合应用，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．19．（2023春•碑林区校级期末）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6．（1）求BO的长；（2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．【分析】（1）由AAS证明Rt△BDO≌Rt△ADC，根据对应边相等求得BO的长；（2）分情况讨论点F分别在BC延长线上或在BC之间时△AOP≌△FCQ，根据对应边相等求得t值．【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOE，∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠AOE＝90°，∴∠ACD＝∠AOE，∴∠BOD＝∠ACD．又∵∠BDO＝∠ADC＝90，AD＝BD，∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS），∴BO＝AC＝6．（2）①当点F在BC延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．∵OP＝t，CQ＝6﹣4t，∴t＝6﹣4t，解得t＝1.2．②当点F在BC之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．∵OP＝t，CQ＝4t﹣6，∴t＝4t﹣6，解得t＝2．综上，t＝1.2或2．【点评】本题考查全等三角形的判定．这部分内容是初中几何中非常重要的内容，一定要深刻理解，做到活学活用．20．如图1，长方形ABCD中，AB＝CD＝7cm，AD＝BC＝5cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，与此同时点F在线段BC上由点B向点C运动，设运动的时间均为ts．（1）若点F的运动速度与点E的运动速度相等，当t＝2时：①判断△BEF与△ADE是否全等？并说明理由；②求∠EDF的度数．（2）如图2，将图1中的“长方形ABCD”改为“梯形ABCD”，且∠A＝∠B＝70°，AB＝7cm，AD＝BC＝5cm，其他条件不变．设点F的运动速度为xcm/s．是否存在x的值，使得△BEF与△ADE全等？若存在，直接写出相应的x及t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①根据SAS证明：△BEF≌△ADE；②由①：△BEF≌△ADE得DE＝EF，∠BEF＝∠ADE，证明△DEF是等腰直角三角形可得结论；（2）分两种情况：①如图2，当△DAE≌△EBF时，②如图3，当△ADE≌△BFE时，分别根据AD＝BE，AE＝BF，列方程组可得结论．【解答】解：（1）①△BEF≌△ADE，理由如：当t＝2时，AE＝BF＝2，∴BE＝AB﹣AD＝7﹣2＝5，∵AD＝5，∴BE＝AD，∵∠A＝∠B＝90°，∴△BEF≌△ADE；②由①得DE＝EF，∠BEF＝∠ADE，∵∠A＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∴∠BEF+∠AED＝90°，∴∠DEF＝180°﹣（∠BEF+∠AED）＝90°，∵DE＝EF∴∠EDF＝∠EFD，∵∠EDF+∠EFD＝90°，∴∠EDF＝45°；（说明：用其他方法的，请参照此评分标准给分）（2）存在，①如图2，当△DAE≌△EBF时，∴AD＝BE，AE＝BF，则5=7−t t=xt∴x＝1，t＝2；②如图3，当△ADE≌△BFE时，AE＝BE，AD＝BF，则t=7−t 5=xt，∴x=107，t=72．（说明：每正确写出一对x、t的值，给1分．）【点评】本题考查四边形综合题、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定、三角形全等的性质和判定及动点运动等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D在AC上，且AD＝6cm，过点A作射线AE⊥AC（AE与BC在AC同侧），若动点P从点A出发，沿射线AE匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒．连接PD、BD．（1）如图①，当PD⊥BD时，求证：△PDA≌△DBC；（2）如图②，当PD⊥AB于点F时，求此时t的值．【分析】（1）由PD⊥BD、∠C＝90°可推出∠PDA＝∠CBD，即可根据ASA判定△PDA≌△DBC；（2）由PD⊥AB，AE⊥AC可推出∠APF＝∠CAB，即可根据AAS判定△APD≌△CAB，再由全等三角形的性质即可得解．【解答】（1）证明：如图①，∵PD⊥BD，∴∠PDB＝90°，∴∠BDC+∠PDA＝90°，又∵∠C＝90°，∴∠BDC+∠CBD＝90°，∴∠PDA＝∠CBD，又∵AE⊥AC，∴∠PAD＝90°，∴∠PAD＝∠C＝90°，又∵BC＝6cm，AD＝6cm，∴AD＝BC，在△PAD和△DCB中，∠PAD=∠CAD=CB，∠PDA=∠CBD∴△PDA≌△DBC（ASA）；（2）解：如图②，∵PD⊥AB，∴∠AFD＝∠AFP＝90°，∴∠PAF+∠APF＝90°，又∵AE⊥AC，∴∠PAF+∠CAB＝90°，∴∠APF＝∠CAB，在△APD和△CAB中，∠APD=∠CAB∠PAD=∠C，AD=CB∴△APD≌△CAB（AAS），∴AP＝AC，∵AC＝8cm，∴AP＝8cm，∴t＝8．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据ASA判定△PDA≌△DBC、根据AAS判定△APD≌△CAB是解题的关键．22．在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），AB＝10，如图作∠DBO＝∠ABO，∠CAy＝∠BAO，BD交y轴于点E，直线DO交AC于点C．（1）①求证：△ACO≌△EDO；②求出线段AC、BD的位置关系和数量关系；（2）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1，到B点处停止运动；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A运动，速度为2，到A点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PG⊥CD于点G，QF⊥CD于点F．问两动点运动多长时间时△OPG与△OQF全等？【分析】（1）①根据全等三角形的判定定理ASA证得结论；②利用①中全等三角形的性质得到：AC∥BD，AC＝BD﹣10；（2）设运动的时间为t秒，（i）当点P、Q分别在y轴、x轴上时（ii）当点P、Q都在y轴上时，（iii）当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，当点Q提前停止时，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）①如图，∵∠DBO＝∠ABO，OB⊥AE，∴∠BAO＝∠BEO，∴AB＝BE，∴AO＝OE，∵∠CAy＝∠BAO，∴∠CAy＝∠BEO，∴∠DEO＝∠CAO在△ACO与△EDO中，∠CAO=∠DEO OA=OE∠AOC=∠DOE，∴△ACO≌△EDO（ASA）；②由①知，△ACO≌△EDO，∴∠C＝∠D，AC＝DE，∴AC∥BD，AC＝BD﹣10；（2）设运动的时间为t秒，（i）当点P、Q分别在y轴、x轴上时PO＝QO得：6﹣t＝8﹣2t，解得t＝2（秒），（ii）当点P、Q都在y轴上时PO＝QO得：6﹣t＝2t﹣8，解得t=143（秒），（iii）当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，则PO＝QO得：t﹣6＝2t﹣8，解得t＝2（秒）不合题意；当点Q提前停止时，有t﹣6＝6，解得t＝12（秒），综上所述：当两动点运动时间为2、143、12秒时，△OPE与△OQF全等【点评】本题考查了全等三角形的判定，坐标与图形的性质，正确的理解题意是解题的关键．23．（2023春•渭滨区期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．【分析】（1）分两种情况进行解答，①当点P在BC上时，②当点P在BA上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P移动的距离，从而求出时间即可；（2）由△APQ≌△DEF，可得对应顶点为A与D，P与E，Q与F；于是分两种情况进行解答，①当点P 在AC上，AP＝4，AQ＝5，②当点P在AB上，AP＝4，AQ＝5，分别求出P移动的距离和时间，进而求出Q的移动速度．【解答】解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1，若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP=12BC=92cm，此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+92=332，移动的时间为：332÷3=112秒，②当点P在BA上时，如图①﹣2若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD=12AB，即点P为BA中点，此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+152=572cm，移动的时间为：572÷3=192秒，故答案为：112或192；（2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；①当点P在AC上，如图②﹣1所示：此时，AP＝4，AQ＝5，∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）=154cm/s，②当点P在AB上，如图②﹣2所示：此时，AP＝4，AQ＝5，即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）=9332cm/s，综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，点Q的运动速度为154cm/s或9332cm/s．。

初中数学路径问题

初中数学路径问题1. 如图，AB 为⊙O 的直径，AB ＝8，点C 为圆上任意一点，OD ⊥AC 于D ，当点C 在⊙O 上运动一周，点D 运动的路径长为( )A. πB. 2πC. 3πD. 4π第1题图D 【解析】如解图，点D 运动的路径是以AO 中点M 为圆心，AO 一半的长为半径的圆，∵AB 为⊙O 的直径，AB ＝8，∴AO ＝12AB ＝4，∴点D 运动的路径长为：π×4＝4π.第1题解图 2. 如图，正方形OABC 的边长为2，以O 为圆心，EF 为直径的半圆经过点A ，连接AE ，CF 相交于点P ，将正方形OABC 从OA 与OF 重合的位置开始，绕着点O 逆时针旋转90°，则点P 运动的路径长是( )A. 2πB. πC. 2π D ．3π第2题图C 【解析】如解图，点P 运动的路径是以G 为圆心的劣弧EF ︵，在⊙G 上取一点H ，连接EH 、FH ，∵四边形AOCB是正方形，∴∠AOC ＝90°，∵∠CEA ＝12∠COA ＝45°，∴∠AFP ＝45°，∵EF 是⊙O 的直径，∴∠EAF ＝90°，∴∠APF ＝∠AFP ＝45°，∴∠H ＝∠APF ＝45°，∴∠EGF ＝2∠H ＝90°，∵EF ＝4，GE ＝GF ，∴GE ＝GF ＝22，∴EF ︵的长为90π·22180＝2π.第2题解图 3. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A ＝45°，BC ＝4，当点D 在优弧BAC 上由B 点运动到C 点时，弦AD 的中点E 运动的路径长为( )第3题图 A. 322π B. 32π C. 2π D. 22πA 【解析】如解图，当点D 在⊙O 上运动时，点E 在以AO 为直径的圆上，当点D 运动到点C 处时，AE ′＝12AC ；当点D 运动到点B 处时，AE ″＝12AB ，∴E ′E ″为△ABC 的中位线，∴E ′E ″＝12BC ＝2，∵∠A ＝45°，∴弧E ′E ″所对的圆心角为90°，点E 所在圆的半径r ＝2，∵点D 在优弧BAC 上运动，∴点E 运动的路径长为（360－90）2π180＝322π.第3题解图4. 如图，在等腰Rt △ABC 中，BC ＝AB ＝4，点D 在以斜边AC 为直径的圆上，点E 在线段DB 的延长线上，EB ＝12BD ，当点D 在劣弧AB ︵上从点A 运动至点B 时，点E 运动的路径长是( )第4题图A. 22πB. 2πC. πD. 2πA 【解析】如解图，当点D 在⊙O 上运动时，点E 在⊙M 上，点D 运动到D ′处时，D ′、O 、B 、M 共线，此时D ′B为⊙O 的直径，∵BE ＝12BD ，∴BM ＝12BO ，在Rt △ABC 中，∵BC ＝AB ＝4，∴AC ＝42，∴BO ＝AO ＝22，∴BM ＝2，当点D 与点A 重合时，点E 运动到E ″处，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠C ＝45°，∴∠BOA ＝90°，∴∠E ″MB ＝90°，∴当点D 从点A 运动至点B 时，点E 的运动路径长为90×2π180＝22π.第4题解图5. 如图，已知直线l 经过圆O 的圆心O ，P 是半径OM 上一动点，当半径OM 绕点O 旋转时，总有点P 到点O 的距离等于点M 到直线l 的距离，若OM ＝10，则当OM 绕点O 旋转一周时，点P 运动的路程是( )第5题图A. 10πB. 15πC. 20πD. 25πC 【解析】如解图，过点P 作PF ⊥OM ，交直线l 同侧的⊙O 于点F ，连接OF ，记OF 的中点为G ，∵CM ⊥直线l ，∴∠MCO ＝∠OPF ＝90°，在Rt △CMO 和Rt △POF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧MC ＝OP OM ＝OF ，∴Rt △CMO ≌△Rt △POF ，∴∠POF ＝∠CMO ，OF ⊥直线l ，∵点G 是OF 的中点，∴OG ＝GP ＝GF ，∴点P 在以点G 或G ′为圆心OG 或OG ′长为半径的圆上，当点M 运动一周时，点P 的运动路程是⊙G 周长的2倍，OF ＝OM ＝10，∴点P 运动路程为2×10π＝20π.第5题解图6. 如图，在直角坐标系xOy 中，已知点A (0，1)，点P 在线段OA 上，以AP 为半径的⊙P 周长为1，点M 从A 开始沿⊙P 按逆时针方向转动，射线AM 交于x 轴于点N (n ，0)，设点M 转过的路程为m (0＜m ＜1)．(1)当m ＝14时，n ＝________． (2)随着点M 的转动，当m 从13变化到23时，点N 相应移动的路径长为________．第6题图－1，233 【解析】本题以圆和直角坐标系为背景考查了动态直角三角形的解法，(1)如解图①，当m ＝14时，即AM ︵的长为14，∵⊙P 的周长为1，∴∠APM ＝90°，∵AP ＝MP ，∴∠NAO ＝45°，∴ON ＝OA ＝1，∴n ＝－1；(2)如解图②，当m ＝13时，同理可得∠NAO ＝30°，ON ＝OA ×tan30°＝33，当m ＝23时，点N (N ′)到了x 轴的正半轴上，同理得∠N ′AO ＝30°，此时ON ′＝33，∴点N 相应移动的路径长为33－(－33)＝233.。

第12讲：运动路径长度问题解析版

第12讲：运动路径长度问题解析版1.《隐圆模型》2.《共顶点模型》-也可称“手拉手模型”3.《主从联动模型》-也可称“瓜豆原理模型”4.《旋转问题》—旋转相似模型5.线段垂直平分线——到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上6.角平分线——到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上7.三角形中位线——动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半8.平行线分线段成比例——动点到某条线的距离与某平行线段成比例9.两平行线的性质——平行线间的距离，处处相等一、路径为圆弧型解题策略：①作出隐圆，找到圆心②作出半径，求出定长二、路径为直线型解题策略：①利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型②确定动点的起点与终点，计算出路径长度即可三、路径为往返型解题策略：①通常为《主从联动模型》的衍生版②确定动点的起点与终点，感知运动过程中的变化③找出动点运动的最远点【例题1】如图，等腰Rt△AOB中，△AOB＝90°，OA＝，△O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（）A．B．C．D．解题标签：《共顶点模型》中的旋转相似、《隐圆模型》中的动点定长模型、《主从联动模型》【解析】如图，连接OP，AQ，设△O与AB相切于C，连接OC，则OC△AB，△OA＝OB，△AOB＝90°，OB＝，△AB＝2，OP＝OC＝AB＝，△△ABO和△QBP均为等腰直角三角形，△＝，△ABO＝△QBP＝45°，△＝，△ABQ＝△OBP，△△ABQ△△OBP，△△BAQ＝△BOP，＝，即＝，△AQ＝，又△点P在弧MN上由点M运动到点N，△0°≤△BOP≤90°，△0°≤△BAQ≤90°，△点Q的运动轨迹为以A为圆心，AQ长为半径，圆心角为90°的扇形的圆弧，△点Q运动的路径长为＝，【例题2】已知△O，AB是直径，AB＝4，弦CD△AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）A．πB．C．πD．2【分析】解题标签：“定边对直角”确定隐圆模型【解析】作DQ△AC于Q，如图，当P点在C点时，F点与Q重合；当P点在B点时，F点与E点重合，△△AFD＝90°，△点F在以AD为直径的圆上，△点F运动的路径为，△弦CD△AB且过OB的中点，△OE＝OD，CE＝DE＝，AC＝AC＝2，△△DOE＝60°，△△DAC＝60°，△△ACD为等边三角形，△MQ和ME为中位线，△MQ＝，△QME＝60°，△F运动的路径长度＝＝．故选：A．【例题3】如图，已知扇形AOB中，OA=3，△AOB=120°，C是在上的动点．以BC 为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________．【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型、主从联动模型【解析】如图所示，易得点D的运动轨迹的长为=2 π．【例题4】等边三角形ABC的边长为2，在AC，BC边上各有一个动点E，F，满足AE ＝CF，连接AF，BE相交于点P．（1）△APB的度数；（2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；（3）连结CP，直接写出CP长度的最小值．【解析】（1）△△ABC为等边三角形，△AB＝AC，△C＝△CAB＝60°，又△AE＝CF，在△ABE和△CAF中，，△△ABE△△CAF（SAS），△AF＝BE，△ABE＝△CAF．又△△APE＝△BPF＝△ABP+△BAP，△△APE＝△BAP+△CAF＝60°．△△APB＝180°﹣△APE＝120°．（2）如图1，△AE＝CF，△点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且△ABP＝△BAP＝30°，△△AOB＝120°，又△AB＝2，△OA＝2，点P的路径是l＝＝＝；（3）如图2，△AE＝CF，△点P的路径是一段弧，△当点E运动到AC的中点时，CP长度的最小，即点P为△ABC的中心，过B作BE′△AC于E′，△PC＝BE′，△△ABC是等边三角形，△BE′＝BC＝3，△PC＝2．△CP长度的最小值是2．方法二：由图1可知，CP最小值等于CO减OA，OA就是那圆弧的半径，可得PC的最小值为2．【例题5】已知线段AB＝8，C、D是AB上两点，且AC＝2，BD＝4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若△AEP＝△BFP，则当点P由点C移动到点D时，点M移动的路径长度为4﹣3．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H．△△APE和△PBF都是等腰三角形，且△AEP＝△BFP△△A＝△FPB，△AH△PF，同理，BH△PE，△四边形EPFH为平行四边形，△EF与HP互相平分．△M为EF的中点，△M为PH中点，即在P的运动过程中，M始终为PH的中点，所以M的运行轨迹为三角形HCD的中位线QN．△CD＝AB﹣AC﹣BD＝8﹣6，△QN＝CD＝4﹣3，即M的移动路径长为4﹣3．故答案是：4﹣3．【例题6】．已知线段AB＝10，P是线段AB上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE 和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点A移动到点B时，G点移动的路径长度为5．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H，△△A＝△FPB＝60°，△AH△PF，△△B＝△EP A＝60°，△BH△PE，△四边形EPFH为平行四边形，△EF与HP互相平分．△G为EF的中点，△G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．△MN＝AB＝5，即G的移动路径长为5．故答案为：5【例题7】如图，AB为△O的直径，AB＝3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使AP•AQ＝AB2．若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．【解析】连接BQ，如图，△AB为△O的直径，△△APB＝90°，△AP•AQ＝AB2．即＝，而△BAP＝△QAB，△△ABP△△AQB，△△ABQ＝△APB＝90°，△BQ为△O的切线，点Q运动的路径长为切线长，△弧AC的度数是60°，△△AOC＝60°，△△OAC＝60°，当点P在C点时，△BAQ＝60°，△BQ＝AB＝3，即点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．故答案为3．【例题8】．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE:ED＝1:2．动点P 从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF△PE交射线BC于点F．设点M 是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为________．【答案】4【解析】如图所示：过点M作GH△AD.△AD△CB，GH△AD，△GH△BC.在△EGM和△FHM中，△△EGM△△FHM.△MG=MH.△点M的轨迹是一条平行于BC的线段当点P与A重合时,BF1=AE=2，当点P与点B重合时,△F2+△EBF1=90△,△BEF1+△EBF1=90△，△△F2=△EBF1.△△EF1B=△EF1F2，△△EF1B△△△EF1F2.△ ，即△F1F2=8，△M1M2是△EF1F2的中位线，△M1M2= F1F2=4.故答案为：4.【例题9】．正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥P A交CD 边于点Q．当点P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（）A．2B．1C．4D．【解析】如图，连接AC，设AC的中点为O′．设BP的长为xcm，CQ的长为ycm．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°∵PQ⊥AP，∴∠APB+∠QPC＝90°∠APB+∠BAP＝90°∴∠BAP＝∠QPC∴△ABP∽△PCQ∴＝，即＝，∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1（0＜x＜4）；∴当x＝2时，y有最大值1cm．易知点M的运动轨迹是M→O→M，CQ最大时，MO＝CQ＝，∴点M的运动轨迹的路径的长为2OM＝1，故选：B．经典练习：1.如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束．在这个运动过程中，点C运动的路径长是8﹣12．【分析】解题标签：“运动路径为来回型”【解析】△当A从O到现在的点A处时，如图2，此时C′A△y轴，点C运动的路径长是CC′的长，△AC′＝OC＝8，△AC′△OB，△△AC′O＝△COB，△cos△AC′O＝cos△COB＝＝，△＝，△OC′＝4，△CC′＝4﹣8；△当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′，CC′＝OC′﹣BC＝4﹣4，综上所述，点C运动的路径长是：4﹣8+4﹣4＝8﹣12；故答案为：8﹣12．2.如图，OM⊥ON，A、B分别为射线OM、ON上两个动点，且OA+OB＝5，P为AB的中点．当B由点O向右移动时，点P移动的路径长为（）A．2B．2C．D．5【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】建立如图坐标系．设OB＝t，则OA＝5﹣t，∴B（t，0），A（0，5﹣t），∵AP＝PB，∴P（，），令x＝，y＝，消去t得到，y＝﹣x+（0≤x≤），∴点P的运动轨迹是线段HK，H（0，），K（，0），∴点P的运动路径的长为＝，故选：C．3.如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．【解析】如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．△AC＝BC＝，△ACB＝90°，△AB＝＝2，△OP＝AB＝1，△CM＝MP，CK＝OK，△MK＝OP＝，△当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，长为半径的半圆，△点M运动的路径长＝•2•π•＝，故答案为．4.如图，AB为半圆O的直径，AB=2，C，D为半圆上两个动点（D在C右侧），且满足△COD=60°，连结AD，BC相交于点P若点C从A出发按顺时针方向运动，当点D与B重合时运动停止，则点P所经过的路径长为________．【答案】解：点C从点A运动到点D与点B从何时，AD与BC的相点P运动的轨迹是一条弧，C,D 两点运动到恰好是半圆的三等分点时，AD与BC的相点P是弧的最高点，作AP,BP的中垂线，两线交于点E，点E是弧APB的圆心；由题意知：AD=BD，△PAB=△PBA=30°,连接AE,DE，根据圆的对称性得出A、O、E三点在同一直线上，易证△ADE是一个等边三角形，△AED=60°,在Rt△ADO中，△DOA=90°,△PAB=30°,AO=1,故AD=,△AE=AD=弧APB的长度==。

2020年中考数学专题突破二十：连锁轨迹— —动点在直线上产生的动点轨迹问题

专题二十：连锁轨迹——动点在直线上产生的动点轨迹问题【导例引入】导例：如图：A是定点，动点B从O(0,0)运动到C(8,0). 点M为线段AB的中点，①画出线段AB的中点M运动的路径②M运动的路径的长是.分析：求解动点运动问题的关键是把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”．首先要分清运动的轨迹是线段还是弧，然后确定起始点和终止点，再作出相应的草图就能解决问题动点B和M的关系可定义为：B叫做主动点，M叫做从动点.如果：①动点的初始位置②动点的中途位置③动点的终止位置三点在一条直线上，那么可以初步判断动点的运动路径是．【方法指引】注意画图分析：第一步：画出△BDE的初始位置和终止位置第二步：标出①点的初始位置②点的中途位置③点的终止位置第三步：判断动点的运动路径，计算其长度导例答案：(1)线段M1M2即为点M的运动路径；【例题精讲】类型一：动点产生的路径与最值问题例1．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=4，P为AC中点，点D在直线BC上运动，以为边向AD的右侧作正方形ADEF，连接PF，则在点D的运动过程中，线段PF的最小值为．【分析】连接CF，由“SAS”可证△ABD≌△ACF，可得∠ABD=∠ACF=45°，可得CF⊥BC，即点F在过点C且垂直BC的直线上，则当PF⊥CF时，PF的值最小，即可求PF的最小值．类型二：动点产生的路径长问题例2．如图，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，∠BAC=90°，点D在AB边上且BD=4cm，过点D作DE⊥AB交BC于点E．（1）求DE的长；（2）若动点P从点B出发沿BA方向以2cm/s的速度向终点A运动，连结PE，设点P运动的时间为t秒．当S△PDE=6cm2时，求t的值；（3）若动点P从点D出发沿着DA方向向终点A运动，连结PE，以PE为腰，在PE右侧按如图方式作等腰直角△PEF，且∠PEF=90°．当点P从点D运动到点A时，求点F运动的路径长（直接写出答案）．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答；（2）分点P 在线段BD 上和点P 在线段AD 上两种情况，根据三角形的面积公式计算；（3）证明△PDE ≌△EHF ，根据全等三角形的性质、结合图形解答即可．【专题过关】1．如图，在△ABC 中，BC ＝8，M 是边边 BC 上一动点，连接 AM ，取 AM的中点 P ，随着点 M 从点 B 运动到点 C ，求动点 P 的路径长为．2. 已知线段AB ＝6，C 、D 是AB 上两点，且AC ＝DB ＝1，P 是线段CD 上一动点，在AB 同侧分别作等边三角形APE 和等边三角形PBF ，G 为线段EF 的中点，点P 由点C 移动到点D 时，G 点移动的路径长度为_______．3. 如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．连结PQ ，M 为线段PQ 的中点，则在整个运动过程中，M 点所经过的路径长为．4.如图，在Rt ABC ∆中，6,8AC BC ==，90C ∠=︒.点P 是边AB 上一动点，点D 是AC延长线上的一个定点，连接PD ，过点D 作DE PD ⊥，连接PE ，且2tan 5DPE ∠=，当点P 从点A 运动到点B 时，点E 运动的路径长为 .5.如图，矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，点E 在边AD 上，且AE ：ED=1：3．动点P 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．过点E 作EF ⊥PE 交射线BC 于点F ，设M 是线段EF 的中点，则在点P 运动的整个过程中，点M 运动路线的长为．6．如图，已知AB=9，点E 是线段AB 上的动点，分别以AE ，EB 为底边在线段AB 的同侧作等腰直角△AME 和△BNE ，连接MN ，设MN 的中点为F ，当点E 从点A 运动到点B 时，则点F 移动路径的长是7．如图所示，点E 坐标为(﹣1,0)，点B 坐标为(0,2)，等腰直角△BDC 的直角端点D 从D(0,0)运动到D(2,0)时，（1）画出线段EC 的中点M 运动的路径；（2）EC 的中点M 运动的路径的长是多少？8.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点P 是AB 边上的一个动点，连接CP ，过点P 作PC 的垂线交AD 于点E ，以PE 为边作正方形PEFG ，顶点G 在线段PC 上，对角线EG ，PF 相交于点O ．（1）若AP=1，则AE= ；（2）①求证：点O 一定在△APE 的外接圆上；②当点P 从点A 运动到点B 时，点O 也随之运动，求点O 经过的路径长；（3）当点P 运动至AB 中点时，求线段CO 的长．9．正方形ABCD 的边长为2，动点E 在边AB ，AD 上运动，连接CE ，以CE 为边作正方形CEFG （点C 、E ，F ，G 按顺时针方向排列），连接DG ．问题解决：（1）如图（1），当点E 在AB 上运动时，求证：△BEC ≌△DGC ；（2）如图（2），当点E 在AD 上运动时，点M 是FG 的中点，连接CM ．若DG=CM ，则AE 的长为；（3）如图（1），点E 沿边AB 由点B 运动到点A 时，求点F 的运动路径的长．10．如图，平面直角坐标系中，直线AB ：y=－31x+b 交y 轴于点A （0，2），交X 轴于点B ．过点E （2，0）作X 轴的垂线EF 交AB 于点D ，P 是射线DF 上一动点，设P （2，n ）．（1）B点坐标为；（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）以PB为斜边作等腰直角△BPC，且点C始终在第一象限．①若S△AEP=2，求点C的坐标．②若点P从（2，2）运动到（2，4），则点C运动的路径长为11．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，M是AD的中点，动点E在线段AB上，连接EM并延长交射线CD于点F，过点M作EF的垂线交BC于点G，连结EG、FG．（1）求证：△AME≌△DMF；（2）在点E的运动过程中，探究：①△EGF的形状是否发生变化，若不变，请判断△EGF的形状，并说明理由；②线段MG的中点H运动的路程最长为多少（直接写出结果）？（3）设AE=x，△EGF的面积为S，求当S=6时，求x的值．12．如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过点M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG，FG．（1）试判断△EGF的形状，并说明理由；（2）设AE=x，△EGF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）若P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长．13．在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），过点B作直线∥x轴，点P（a，3）是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ＝Rt∠，直线AQ交y轴于点C．（1）当a＝1时，则点Q的坐标为多少；（2）当点P在直线上运动时，点Q也随之运动．当a为多少时，AQ+BQ的值最小，最小值为多少？例题答案：例1．连接CF．∵∠CAB=90°，AB=AC=4，P为AC中点，∴∠ABC=∠ACB=45°，AP=PC=2．∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°．∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，且AB=AC，AD=AF．∴△ABD≌△ACF（SAS）．∴∠ABD=∠ACF=45°．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．∴CF⊥BC．∴点F在过点C且垂直BC的直线上运动．∴当PF⊥CF时，PF的值最小．∴PF的最小值==．例2．（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°．∵DE⊥AB，∴∠B=∠BED=45°．∴DE=BD=4cm；（2）当点P在线段BD上时，S△PDE=×DP×DE=×4×（4-2t）=6，整理得4-2t=3，解得t=0.5．当点P在线段AD上时，S△PDE=×DP×DE=×4×（2t-4）=6，整理得2t-4=3，解得t=3.5．综上所述，t=0.5或3.5；（3）点F运动的路径长为10-4．理由如下：如图，连接AE，过点E作EF1⊥DE，且使EF1=ED，过点E作EF2⊥DE，且使EF2=AE，∴∠DEF1F=90°，∠AEF2=90°∴∠DEA＝∠F1EF2．∴△DEA≌△F1EF2．∴AD=F1F2=10-4．∴当P从点D运动到点A时，点F运动的路径为线段F1F2，该线段的长度=AD=10-4．【专题过关】1.4．2.如图，分别延长AE、BF交于点H．∵∠A=∠FPB=60°，∴AH∥PF．∵∠B=∠EPA=60°，∴BH∥PE．∴四边形EPFH为平行四边形．∴EF与HP互相平分．∵G为EF的中点，∴G为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．∵CD=6-1-1=4，∴MN=2，即G的移动路径长为2．3. 以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，依题意，可知0≤t≤3，当t=0时，点M1的坐标为（4，0）；当t=3时，点M2的坐标为（，3）．设直线M1M2的解析式为y=kx+b，则解得∴直线M1M2的解析式为y=-2x+8．∵点Q（0，2t），P（8-t，0），∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标为（，t）．把x=，代入y=-2x+8，得y=-2×+8=t．∴点M3在M1M2直线上．过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=3，M1N=．∴M1M2=．∴线段PQ中点M所经过的路径长为单位长度．4.分析：点E的运动路径是一条线段，点E运动的路径长就是线段E1E2的长度.于是提出猜想一“在三点图中，从动点的起点，终点，过程点三点共线时，从动点的运动路径为线段”.∵1190E DE PDE ∠+∠=︒，1190PDP PDE ∠+∠=︒， ∴11PDP E DE ∠=∠.又∵1125DE DE DP DP ==， ∴11E DE PDP ∆∆．∴11DEE DPP ∠=∠.同理22E DEP DP ∆∆，可得22DEE DPP ∠=∠. 又∵12180DPP DPP ∠+∠=︒，∴12180DEE DEE ∠+∠=︒.∴点1E ，点E ，点2E 三点共线.∵121290E DE PDE ∠+∠=︒，121290PDP PDE ∠+∠=︒，∴1212PDP E DE ∠=∠.∵121225DE DE DP DP ==，∴1212E DE PDP ∆∆．∴121225E E PP =.∵1210PP =，∴124E E =.5.如图所示：过点M 作GH ⊥AD ．∵AD ∥CB ，GH ⊥AD ，∴GH ⊥BC ．在△EGM 和△FHM 中，∴△EGM ≌△FHM ．∴MG=MH ．∴点M 的轨迹是一条平行于BC 的线段．当点P 与A 重合时，BF 1=AE=2；当点P 与点B 重合时，∠F 2+∠EBF 1=90°，∠BEF 1+∠EBF 1=90°，∴∠F 2=∠EBF 1．∵∠EF 1B=∠EF 1F 2，∴△EF 1B ∽△∠EF 1F 2． ∴21111F F EF EF BF =．∴21662F F =．∴F 1F 2=18．∵M 1M 2是△EF 1F 2的中位线，∴M 1M 2=21F 1F 2=9．6．如图，分别延长AM 、BN 交于点C ．∵∠A=∠BEN=45°，∴AC ∥EN ．同理可得，BC ∥EM ．∴四边形MENC 为平行四边形，∴CE 与MN 互相平分．∵F 为MN 的中点，∴F 为CE 中点．当点E 从点A 运动到点B 时，F 始终为CE 的中点．故F 的运行轨迹为△CAB 的中位线，点F 移动路径的长等于AB 的一半．∴F 的移动路径长为21×9=29．7．设OD=t,作CH ⊥OA 于H,可得△BOD ≌DHC ，∴CH=OD=t ，DH=BO=2。

九年级上专题复习三：运动路径及不规则图形面积的计算(含答案)

专题复习三运动路径及不规则图形面积的计算(1)运动路径一般由弧组成，计算时关键在于确定弧的度数与半径；与旋转变换有关的运动路径找到旋转中心最重要.(2)不规则图形的面积一般用“割”或“补”的方法转化为规则图形计算．1.如图所示的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从点A 到点B ，甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是(C ).A.甲先到点BB.乙先到点BC.甲、乙同时到点BD.无法确定(第1题)(第2题)(第3题)2.如图所示，Rt△AB′C′是Rt△ABC 以点A 为中心逆时针旋转90°而得到的，其中AB=1，BC=2，则旋转过程中的长为(A ). A. 25π B. 25π C.5π D. 5π3.如图所示，已知∠ABC=90°，AB=πr ，AB=2BC ，半径为r 的⊙O 从点A 出发，沿A→B→C 方向滚动到点C 时停止.则在此运动过程中，圆心O 运动的总路程为(A ).A.2πrB.3πrC. 23πrD. 25πr 4.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为22cm ，将正方形ABCD 在直线l 上顺时针连续翻转4次，则点A 所经过的路径长为(B ).A.4πcmB.(2+22)πcmC.22πcmD.(4+22)πcm(第4题) （第5题）5.如图所示，分别以五边形ABCDE 的顶点为圆心、1为半径作圆，则图中阴影部分的面积之和为(C ). A. 23π B.3π C. 27π D.2π 6.如图1所示为以AB 为直径的半圆形纸片，AB=6cm ，沿着垂直于AB 的半径OC 剪开，将扇形AOC 沿AB 方向平移至扇形A′O′C′，如图2所示.其中O′是OB 的中点，O′C′交于点F,则的长为 π cm ．（第6题）7.如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O，⊙O 的半径为2，以圆心O 为顶点作∠MON，使∠MON=90°，OM ，ON 分别与⊙O 交于点E ，F ，与正方形ABCD 的边交于点G ，H ，则阴影部分的面积S= π-2 ．(第7题) (第8题)8.如图所示，正方形ABCD 边长为4，以BC 为直径的半圆O 交BD 于点E.则阴影部分面积为 6-π （结果保留π）．9.如图所示，线段AB 的端点在边长为1的正方形网格的格点上，现将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到线段AC ．(第9题)(1)请你用尺规在所给的网格中画出线段AC 及点B 经过的路径．(2)若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(1，3)，点B 的坐标为(-2，-1)，则点C 的坐标为 (5，0) ．(3)在线段AB 旋转到线段AC 的过程中，线段AB 扫过的区域的面积为425π ．【答案】(1)图略(2)(5，0) (3) 425π（第10题）10.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，E 在AC 上，经过A ，B ，E 三点的⊙O 交BC 于点D ，且.(1)求证：AB 为⊙O 的直径.(2)若AB=8，∠BAC=45°，求阴影部分的面积.（第10题答图）【答案】(1)如答图所示，连结AD.∵，∴∠BAD=∠CAD.又AB=AC ，∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.∴AB 为⊙O 的直径.(2)连结OE.∵∠BAC＝45°，∴∠BOE ＝90°.∴∠AOE＝90°.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°.∴AO＝OE ＝OB ＝21AB ＝4.∴阴影部分的面积为21×4×4+3604902⨯π=8+4π.11.如图所示，在平面直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD ，将正方形ABCD 沿x 轴的正方向无滑动地在x 轴上滚动，当点A 离开原点后第一次落在x 轴上时，点A 运动的路径线与x 轴围成的图形面积为(C ).A. 2π+21B. 2π+1 C.π+1 D.π+21(第11题)(第12题)12.如图所示，△ABC 为等边三角形，⊙O 的周长与等边三角形的边长相等，⊙O 在△ABC 的边上作无滑动滚动，从点P 出发沿顺时针方向滚动，又回到点P ，滚动的圈数是(D ).A.1B.2C.3D.413.如图1所示，有一张矩形纸片ABCD ，其中AD=8cm ，上面有一个以AD 为直径的半圆，正好与对边BC 相切，将它沿DE 折叠，使点A 落在BC 上，如图2所示.这时半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是(B ).A.(π-23)cm 2B.（ 316π-43）cm 2 C.（21π+3）cm 2 D.（32π+3）cm 2(第13题)(第14题) 14.如图所示，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径AE ，CF 交于点G ，半径BE ，CD 交于点H ，且C 是的中点，若扇形的半径为2，则图中阴影部分的面积等于2π-4 ．15.如图所示，在半径为5，圆心角为45°的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ，使点C 在OA 上，点D ，E 在OB 上，点F 在上，则阴影部分的面积为 85π-23 (结果保留π)．(第15题)(第16题)16.已知一个圆心角为270°扇形工件，未搬动前如图所示，A ，B 两点触地放置，搬动时，先将扇形以点B 为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A ，B 两点再次触地时停止.若扇形的半径为3m ，则圆心O 所经过的路线长是 6π m(结果保留π).(第17题)17.如图所示，在一个物体的横截面Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1m.工人师傅先将AB 边放在地面(直线l)上．(1)请直接写出AB ，AC 的长．(2)工人师傅要把此物体搬到墙边，先按顺时针方向绕点B 翻转到△A 1BC 1位置(BC 1在l 上)，最后沿BC 1的方向平移到△A 2B 2C 2的位置，其平移的距离为线段AC 的长度(此时A 2C 2恰好靠在墙边).画出在搬动此物的整个过程中点A 所经过的路径，并求出该路径的长度．(3)若没有墙，像(2)那样翻转，将△ABC 按顺时针方向绕点B 翻转到△A 1BC 1位置为第一次翻转，又将△A 1BC 1按顺时针方向绕点C 1翻转到△A 2B 2C 1(A 2C 1在l 上)为第二次翻转，求两次翻转此物的整个过程中点A 经过路径的长度．【答案】(1)AB=2m ，AC=3m.（第17题答图）(2)如答图所示，点A 经过的路径为.∵∠ABA 1=180°-60°=120°，A 1A 2=AC=3 (m). ∴点A 所经过的路径长为1802120⨯π+3=（34π+3）(m). (3)点A 经过的路径为.=1802120⨯π=34π(m), =180390⨯π=23π(m). ∴点A 经过的路径长度为34π+23π（m ）.18.【兰州】如图所示，⊙O 的半径为2，AB ，CD 是互相垂直的两条直径，点P 是⊙O 上任意一点(P 与点A ，B ，C ，D 不重合)，过点P 作PM⊥AB 于点M ，PN⊥CD 于点N ，Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周转过45°时，点Q 走过的路径长为(A ).A. 4πB. 2πC. 6πD. 3π（第18题）（第19题）（第19题答图）19.【恩施州】如图所示，在Rt△A BC 中，∠BAC=30°，以直角边AB 为直径作半圆交AC 于点D ，以AD 为边作等边三角形ADE ，延长ED 交BC 于点F ，BC=23，则图中阴影部分的面积为 33-23π .(结果不取近似值) 【解析】如答图所示，设半圆的圆心为O ，连结DO ，过点D 作DG⊥AB 于点G ，过点D 作DN⊥CB 于点N.在Rt△ABC 中，∠BAC=30°，∴∠ACB=60°，∠ABC=90°.∵△ADE 是等边三角形，∴∠EAD=∠E＝60°.易知△CDF 是等边三角形.在Rt△ABC 中，∠BAC=30°，BC=23，∴AC=43，AB=6，∠DOG=60°.∴AO ＝BO ＝3.在Rt△DOG 中，∠DOG ＝60°，OD ＝OB ＝3，∴DG=233.∴AD=33.∴DC=AC -AD=3.在Rt△DCN 中，∠C＝60°，DC ＝3,∴CN＝23，DN=32.∴FC ＝3.则S 阴影=S △ABC -S △AOD -S 扇形DOB -S △DCF =21×23×6-21×3×233-3603602⨯π-21×23×3=33-23π.20.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，分别以正方形的四个顶点为圆心，边长为半径，在正方形内画圆弧，求图中阴影部分的面积．(第20题) （第20题答图）【答案】如答图所示，设正方形的各部分不规则图形的面积分别为x ，y ，z.S正方形ABCD =x+4y+4z=1，S 扇形ABC =x+3y+2z=4π，S 曲边三角形BEC =x+2y+z=2S 扇形BEC -S △BCE =2×3601602⨯π-43=3π-43，可解得x=3π+1-3.∴图中阴影部分的面积为3π+1-3.。

九年级数学几何路径长问题(二)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：解决路径长问题的思路为：①分析_______、________，寻找__________；②确定运动路径；通过“________、__________、________”猜测运动路径，并结合_______进行验证，在做的过程中要大胆猜测，小心验证．③设计方案，求出路径长．几何路径长问题（二）一、单选题(共6道，每道16分)1.如图，在以O为圆心，2为半径的圆上任取一点A，过点A作AM⊥y轴于点M，AN⊥x 轴于点N，点P为MN的中点，当点A沿着圆圈在第一象限内顺时针方向走完45°弧长时，点P走过的路径长( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：路径长问题2.如图，已知AB=8，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP，BP为边在同侧作正方形APDC 与正方形PBFE．若点M，N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G，H分别是边CD，EF 的中点.则在点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径长为( )A. B.C.3D.5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：路径长问题3.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记点Q的位置为B，则当点P从(-2，0)运动到(2，0)时，点Q运动的路径长为( )（提示：等边三角形共用一个顶点，出现等线段共端点）A.2B.2πC.4D.4π答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：路径长问题4.如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，，当点P在劣弧BC上由B点运动到C点时，弦AP的中点E运动的路径长为( )（提示：圆中遇弦AP的中点，考虑垂径定理）A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边上中线5.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)，点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P 周长为1．点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N(n，0)，设点M转过的路程为m（0<m<1），当m=时，n=( )A.1B.-1C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数6.（接第5题）随着点M的转动，当m从变化到时，点N相应移动的路径长为( )A. B.1C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数第11页共11页。

圆中动点路径类问题解析版

考点08 圆中动点路径类问题1.（2020•河北模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（）A．πB．2πC．4πD．0.5π【解答】解：设⊙O于正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，连接OE，OF，则四边形OECF是正方形，∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠EOM＝∠FON，∴△OEM≌△OFN（ASA），∴EM＝NF，∴CM+CN＝CE+CF＝4，∴OE＝2，∴⊙O的面积为4π，故选：C．【知识点】正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系、切线长定理2.（2020•武汉模拟）如图，BC为⊙O直径，弦AC＝2，弦AB＝4，D为⊙O上一点，I为AD上一点，且DC＝DB＝Dl，AI长为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，连接IC，作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，IG⊥BC于G．∵DB＝DC，∴＝，∠DBC＝∠DCB，∴∠BAD＝∠CAD，∵DI＝DC，∴∠DIC＝∠DCI，∵∠DIC＝∠DAC+∠ACI，∠DCI＝∠DCB+∠ICB，∠DBC＝∠DAC，∴∠ICA＝∠ICB，∴点I为△ABC内心，∴IE＝IF＝IG，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝2，∵S△ABC＝•AB•AC＝•IE•（AB+AC+BC），∴IE＝3﹣，∵∠IAE＝∠AIE＝45°，∴AI＝IE＝3﹣，故选：D．【知识点】圆周角定理3.（2020•高邮市期末）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为（）A．5B．1C．2D．3【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠PBC＝∠PCD，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠BPC＝90°，∴点P在以BC为直径的⊙O上，连接OD交⊙O于P′，连接OP、PD，如图，∵PD≥OD﹣OP（当且仅当O、P、D共线时，取等号），即P点运动到P′位置时，PD的值最小，最小值为DP′，在Rt△OCD中，OC＝BC＝4，CD＝AB＝3，∴OD＝＝5，∴DP′＝OD﹣OP′＝5﹣4＝1，∴线段PD的最小值为1．故选：B．【知识点】矩形的性质、圆周角定理4.（2020•朝阳区校级月考）如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（）A．8B．6C．4D．2【解答】解：如图，连接OC．∵四边形OBCD是矩形，∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝10，∴OB＝＝＝6，∴AB＝OA﹣OB＝4，故选：C．【知识点】圆的认识、矩形的性质、勾股定理5.（2020•镇海区期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PBC＝∠PCA，则线段AP长的最小值为（）A．0.5B．﹣1C．2﹣D．【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，即∠PCB+∠PCA＝45°，∵∠PBC＝∠PCA，∴∠PBC+∠PCB＝45°，∴∠BPC＝135°，∴点P在以BC为弦的⊙O上，如图，连接OA交于P′，作所对的圆周角∠BQC，则∠BCQ＝180°﹣∠BPC＝45°，∴∠BOC＝2∠BQC＝90°，∴△OBC为等腰直角三角形，∴四边形ABOC为正方形，∴OA＝BC＝2，∴OB＝BC＝，∵AP≥OA﹣OP（当且仅当A、P、O共线时取等号，即P点在P′位置），∴AP的最小值为2﹣．故选：C．【知识点】旋转的性质、勾股定理、三角形三边关系、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、圆周角定理6.（2020•海珠区期末）已知：AB是⊙O的直径，AD，BC是⊙O的切线，P是⊙O上一动点，若AD＝10，OA＝4，BC＝16，则△PCD的面积的最小值是（）A．36B．32C．24D．10.4【解答】解：∵CD是定值，所以当P到CD的距离最小时△PCD的面积最小，过P作EF∥CD，交AD于点E，交BC于点F，当EF与⊙O相切时，P到CD的距离最短，连接OP并延长交CD于点Q，过O作OH∥BC，交EF于点G，交CD于点H，则可知OH为梯形ABCD的中位线，OG为梯形ABFE的中位线，∴OH＝（AD+BC）＝13，过D作DM⊥BC于点M，则DM＝AB＝8，MC＝BC﹣AD＝6，∴CD＝EF＝10，由切线长定理可知AE＝EP，BF＝PF，∴AE+BF＝EF＝10，∴OG＝（AE+BF）＝5，∴GH＝OH﹣OG＝8，又∵OP＝4，且＝，∴＝，∴PQ＝，∴S△PCD＝PQ•CD＝××10＝32．故选：B．【知识点】切线的性质7.（2020•黄埔区期末）如图，⊙O的半径为2，点C是圆上的一个动点，CA⊥x轴，CB⊥y轴，垂足分别为A、B，D是B的中点，如果点C在圆上运动一周，那么点D运动过的路程长为（）A．B．C．πD．2π【解答】解：如图，连接OC，∵CA⊥x轴，CB⊥y轴，∴四边形OACB是矩形，∵D为AB中点，∴点D在AC上，且OD＝OC，∵⊙O的半径为2，∴如果点C在圆上运动一周，那么点D运动轨迹是一个半径为1圆，∴点D运动过的路程长为2π•1＝2π，故选：D．【知识点】轨迹、坐标与图形性质、圆周角定理8.（2020•江阴市期末）如图，⊙O的半径为2，弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，∠P AC＝60°，交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）A．B．1C．2D．【解答】解：连接OA、OB，如图1，∵OA＝OB＝2，AB＝2，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵∠P AC＝60°∴∠ACP＝90°∵AB＝2，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，作△ABC的外接圆D，如图2，连接CD，∵∠ACB＝90°，点C在⊙D上，AB是⊙D的直径，当点C半圆的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC等腰直角三角形，∴CD⊥AB，CD＝1，∴S△ABC＝＝＝1，∴△ABC的最大面积为1．故选：B．【知识点】圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理9.（2020•海曙区期末）如图，三角形纸片ABC的周长为22cm，BC＝6cm，⊙O是△ABC的内切圆，玲玲用剪刀在⊙O的左侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一个△AMN，则△AMN的周长是（）A．10cm B．12cmC．14cm D．根据MN位置不同而变化【解答】解：设E，F，G，H分别是直线AC，AB，MN，BC与⊙O的切点．由切线长定理可知：CE＝CH，BH＝BF．ME＝MG，NG＝NF，∵AC+AB+BC＝22cm，BC＝6cm，∴AC+AB＝16cm，AE+AF＝10cm，∴△AMN的周长＝AM+AN+MG+NF＝AM+ME+AN+NF＝AE+AF＝10cm，故选：A．【知识点】三角形的内切圆与内心10.（2020•铁锋区期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为．【解答】解：作出D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′．又∵点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为的中点，∴∠BAD′＝∠CAB＝15°．∴∠CAD′＝45°．∴∠COD′＝90°．则△COD′是等腰直角三角形．∵OC＝OD′＝AB＝3，∴CD′＝3，故答案为3．【知识点】圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、轴对称-最短路线问题11.（2020•潜山市期末）如图，AB是圆O的弦，AB＝40，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是．【解答】解：连接OA、OB，如图，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴OA＝AB＝×40＝40．∵点M、N分别是AB、BC的中点，∴MN＝AC，当AC为直径时，AC的值最大，∴MN的最大值为40．故答案为40．【知识点】圆周角定理、三角形中位线定理12.（2020•潮南区一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角线坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝2OA＝2OB＝AC＝2，∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处，∴BA′＝AB，∴BA′＝2OB，∴∠OA′B＝30°，∴∠A′BA＝60°，即旋转角为60°，S阴影＝S扇形ABA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′＝S扇形ABA′﹣S扇形CBC′＝﹣＝π﹣π＝π．故答案为π．【知识点】坐标与图形性质、扇形面积的计算、旋转的性质13.（2020•伊通县期末）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，∴BD＝AC＝＝5，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，∵以点B为圆心作圆，⊙B与边CD有唯一公共点，∴⊙B的半径r的取值范围是：3≤r≤5；故答案为：3≤r≤5【知识点】矩形的性质、直线与圆的位置关系14.（2020•西城区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边BC的中点，点P在边AD上，设DP＝x，若以点D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点，则所有满足条件的x的取值范围是．【解答】解：如图，当⊙D与AE相切时，设切点为G，连接DG，∵PD＝DG＝x，∴AP＝6﹣x，∵∠DAG＝∠AEB，∠AGD＝∠B＝90°，∴△AGD∽△EBA，∴＝，∴＝，x＝，当⊙D过点E时，如图4，⊙D与线段有两个公共点，连接DE，此时PD＝DE＝5，∴当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，x满足的条件：x＝或5＜x≤6；故答案为：x＝或5＜x≤6．【知识点】直线与圆的位置关系、矩形的性质15.（2020•连江县期中）在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝45°，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，∵弦AB已确定，∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，∵CM⊥AB，CM过O，∴AM＝BM（垂径定理），∴AC＝BC，∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴OM＝AM＝AB＝×2＝1，∴OA＝＝，∴CM＝OC+OM＝+1，∴S△ABC＝AB•CM＝×2×（+1）＝+1．故答案为：+1．【知识点】垂径定理、三角形的外接圆与外心、勾股定理、圆周角定理16.（2020•杏花岭区校级三模）如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝AB2，E为射线BA上一动点，连接CE交以BE为直径的圆于点H，则线段DH长度的最小值为．【解答】解：取BC的中点G，连接BH，HG，DG．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝，BC＝AB2＝，∠DCG＝90°，∵CG＝BG＝，∴DG＝＝＝，∵BE是直径，∴∠BHE＝∠BHC＝90°，∵BG＝GC，∴HG＝BC＝，∵DH≥DG﹣HG，∴DH≥﹣＝，∴DH的最小值为．故答案为．【知识点】矩形的性质、圆周角定理、三角形三边关系、勾股定理17.（2020春•资中县期末）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为．【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝4，∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，∴在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝×＝，由垂径定理可知EF＝2EH＝，故答案为：．【知识点】垂线段最短、勾股定理、圆周角定理、垂径定理18.（2020•青羊区期末）△ABC中，AB＝CB，AC＝10，S△ABC＝60，E为AB上一动点，连结CE，过A作AF⊥CE于F，连结BF，则BF的最小值是．【解答】解：过B作BD⊥AC于D，∵AB＝BC，∴AD＝CD＝AC＝5，∵S△ABC＝60，∴，即，BD＝12，∵AF⊥CE，∴∠AFC＝90°，∴F在以AC为直径的圆上，∵BF+DF＞BD，且DF＝DF'，∴当F在BD上时，BF的值最小，此时BF'＝12﹣5＝7，则BF的最小值是7，故答案为：7．【知识点】点与圆的位置关系、等腰三角形的性质、圆周角定理19.（2020春•富阳区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是线段AD上的一动点，点E是AB边上一动点，连结PC，PE．（1）当E是边AB的中点时，是否存在点P，使∠EPC＝90°？若存在，求AP的长，若不存在，请说明理由；（2）设BE＝a，若存在点P，使∠EPC＝90°，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵PE⊥PC，∴∠APE+∠DPC＝90°，∵∠D＝90°，∴∠DCP+∠DPC＝90°，∴∠APE＝∠DCP，又∠A＝∠D＝90°，∴△APE∽△DCP，∴＝，设AP＝x，则DP＝6﹣x，又AE＝BE＝2，∴x（6﹣x）＝2×4，整理得x2﹣6x+8＝0，解得，x1＝2，x2＝4，∴P A＝2或4．（2）设AP＝x，AE＝y，∵△APE∽△DCP，∴＝，即x（6﹣x）＝4y，∴y＝x（6﹣x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣3）2+，∴当x＝3时，y的最大值为，∵AE＝y取最大值时，BE取最小值为4﹣＝，∴a的取值范围为≤BE＜4．【知识点】矩形的性质、圆周角定理20.（2020•常熟市期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C匀速运动，P、Q中有一点到达终点时，另一点随之停止运动．（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）几秒后，△DPQ是直角三角形；（3）在运动过程中，经过秒，以P为圆心，AP为半径的⊙P与对角线BD相切．【解答】解：（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，∴PD＝2PQ，∴PD2＝4 PQ2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴PD2＝AP2+AD2，PQ2＝BP2+BQ2，∵PD2＝4 PQ2，∴62+（2t）2＝4[（8﹣2t）2+t2]，解得：t1＝，t2＝；∵0≤t≤4，∴t＝，答：秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）∵△DPQ是直角三角形，∴∠DPQ＝90°或∠DQP＝90°．当∠DPQ＝90°时，∠ADP＝∠BPQ，∴tan∠ADP＝tan∠BPQ，∴＝，即＝，解得：t＝，或t＝0（舍去）；当∠DQP＝90°时，∠CDQ＝∠BQP，∴tan∠CDQ＝tan∠BQP，∴＝，即＝，解得：t＝11﹣，或t＝11+（舍去），综上所述，当运动时间为秒或（11﹣）秒时，△DPQ是直角三角形．（3）设经过x，秒以P为圆心，AP为半径的⊙P与对角线BD相切于点E，连接PE、PD，如图所示：则PE⊥BD，PE＝AP，在Rt△APD和Rt△EPD中，，∴Rt△APD≌Rt△EPD（HL），∴AD＝ED＝6，∵BD＝＝＝10，∴BE＝BD﹣ED＝4，∵PE＝P A＝2x，则BP＝8﹣2x，在Rt△BPE中，由勾股定理得：（2x）2+42＝（8﹣2x）2，解得：x＝，即经过秒，以P为圆心，AP为半径的⊙P与对角线BD相切，故答案为：．【知识点】一元二次方程的应用、切线的判定、勾股定理21.（2020•镇江期中）在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，P、Q两点在分别到达B、C两点时就停止移动，设两点移动的时间为秒，解答下列问题：（1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如图2，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵当运动时间为t秒时，P A＝t，BQ＝2t，∴PB＝5﹣t，BQ＝2t．∵△PBQ的面积等于4cm2，∴PB•BQ＝（5﹣t）•2t．∴（5﹣t）•2t＝4．解得：t1＝1，t2＝4．答：当t为1秒或4秒时，△PBQ的面积等于4cm2；（2）（Ⅰ）由题意可知圆Q与AB、BC不相切．（Ⅱ）如图1所示：当t＝0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合．∵∠DAB＝90°，∴∠DPQ＝90°．∴DP⊥PQ．∴DP为圆Q的切线．（Ⅲ）当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时，如图2所示．由题意可知：PB＝5﹣t，BQ＝2t，PQ＝CQ＝10﹣2t．在Rt△PQB中，由勾股定理可知：PQ2＝PB2+QB2，即（5﹣t）2+（2t）2＝（10﹣2t）2．解得：t1＝﹣15+10，t2＝﹣15﹣10（舍去）．综上所述可知当t＝0或t＝﹣15+10时，⊙Q与四边形DPQC的一边相切．【知识点】切线的判定、一元二次方程的应用22.（2020•润州区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，∠A＝30°，D是AB的中点，点O为AC上一点，以O为圆心，半径为lcm的圆与AB相切，点E为切点．（1）求线段CO的长；（2）若将⊙O以1cm/s的速度移动，移动中的圆心记为P，点P沿O→C→B→A的路径运动，设移动的时间为t（s），则当t为何值时，⊙P与直线CD相切？【解答】解：（1）∵BA切⊙O于E，∴∠OEA＝90°，∵OE＝1，∴AO＝2OE＝2，∵∠ACB＝90°，BC＝3，∠A＝30°，∴AC＝BC＝3，∴OC＝AC﹣OA＝3﹣2；（2）如图；①当P位于线段OC上时，设⊙P与CD的切点为G，则P1G⊥CD；由于D是AB的中点，所以CD＝DA，即∠DCA＝∠A，因此P1C＝OA＝2cm，OP1＝AC﹣2OA＝3﹣4，∴t＝（3﹣4）s；②当P位于线段CB上时，设⊙P与CD的切点为H，则P2H⊥CD；同①可得：P2C＝cm，因此P点运动的距离为：OC+P2C＝3﹣2+＝﹣2，即t＝（﹣2）s；③当P位于线段BD上时，P3M⊥CD，过B作BQ⊥CN于Q；易知：S△ABC＝，由于D是AB中点，则S△BCD＝；而CD＝AB＝3，可求得CD边上的高为：BQ＝cm；∵△PDM∽△BDQ，则＝，即＝，P3D＝；因此P3B+BC+OC＝3﹣+3+3﹣2＝+4，即t＝（+4）s；④当P位于线段AD上时，同③可求得t＝（+1）s；综上可知：当t分别为（3﹣4）s、（﹣2）s、（+4）s、（+1）s时，⊙P与直线CD相切．【知识点】含30度角的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、切线的判定与性质23.（2020•新吴区期中）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB＝60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动：与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动，当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts（1）当P异于A，C时，请说明PQ∥BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，⊙P与边BC公共点的个数有几种可能的情况？并求出相应的t所取的值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，∴AB＝BC＝2，∠BAC＝∠DAB，又∵∠DAB＝60°（已知），∴∠BAC＝∠BCA＝30°；当点P运动到点C，即t＝2时P与C重合，Q与B重合，也只有一个交点，此时，⊙P与边BC 有一个公共点，综上所述：当0≤t＜4﹣6或3﹣＜t＜2时，⊙P与边BC有0个公共点；当t＝4﹣6或1＜t≤3﹣或t＝2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；当4﹣6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点；【知识点】直线与圆的位置关系、菱形的性质附赠材料：怎样提高做题效率做题有方,考试才能游刃有余提到考试,映入我眼帘的就是一大批同学在题海里埋头苦干的情景。

最短路径专题含答案

最短路径专题含答案1. 某同学的茶杯是圆柱体，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从A处爬行到对面的中点B处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．解：如图1，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则A，B分别位于如图所示的位置，连接AB，即是这条最短路线图．问题：某正方形盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从A处爬行到侧棱GF上的中点M点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．2. 如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为16cm，BC是上底面的直径．一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求昆虫爬行的最短路程．3. 如图一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A爬一个顶点B，如果正方体棱是2，求最短的路线长．4. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长．5. 如图，有一半径为2cm，高为10cm的圆柱体，在棱AA1的P点上有一只蜘蛛，PA=3cm，在棱BB1的Q点上有一只苍蝇，QB2=2cm．蜘蛛沿圆柱爬到Q点吃苍蝇，请你算出蜘蛛爬行的最短路线长．（π取3.14；结果精确到0.01cm）6. 一只蜘蛛在一个正方体的顶点A处，一只蚊子在正方体的顶点B处，如图所示，假设蚊子不动，现在蜘蛛想尽快地捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的，在图上画出来，这样的最短路线有几条?7. 如图，圆柱的高为8cm，底面直径4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，它需要爬行的最短路程是多少厘米?(π≈3)8. 如图1，是一个长方体盒子，长AB=4，宽BC=2，高CG=1．（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，求它所行走的最短路线的长．（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为多少?9. 如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45∘，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=√2，求AD的长．10. 如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60∘，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点Dʹ处，折痕交CD边于点E．（1）求证：四边形BCEDʹ是菱形；（2）若点P时直线l上的一个动点，请计算PDʹ+PB的最小值．11. 已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE．（1）求证：AG与⊙O相切；（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长．12. 已知抛物线C1的函数解析式为y=ax2−2x−3a，若抛物线C1经过点(0,−3)．（参考公式：在平面直角坐标系中，若P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则P，Q两点间的距离为√(x2−x1)2+(y2−y1)2）（1）求抛物线C1的顶点坐标．（2）已知实数x>0，请证明x+1x ≥2，并说明x为何值时才会有x+1x=2．（3）若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A(m,y1)，B(n,y2)是C2上的两个不同点，且满足：∠AOB=90∘，m>0，n<0．请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式．13. 如图，已知：四边形ABCD中，E为AB的中点，连接CE，DE，CD=CE=BE，DE∥BC．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若BC=6，CE=5，求四边形ADCE的面积．14. 如图，一个正方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．（1）请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快达到目的地的可能路径；（2）当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．15. 如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF．（1）求证：CF与⊙O相切；（2）若AD=2，F为AE的中点，求AB的长．16. 已知圆锥的底面半径为r=20cm，高ℎ=20√15cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．17. 已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立?请画出图形并给予证明．18. 已知四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，∠DAB=45∘．（1）如图①，判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图②，E是⊙O上一点，且点E在AB的下方，若⊙O的半径为3cm，AE=5cm，求点E到AB的距离．19. 图①，图②为同一长方体房间的示意图，图③为该长方体的表面展开图．（1）已知蜘蛛在顶点Aʹ处；①苍蝇在顶点B处时，试在图①中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C处时，图②中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线AʹGC和往墙面BBʹCʹC爬行的最近路线AʹHC，试通过计算判断哪条路线更近；（2）在图③中，半径为10dm的⊙M与DʹCʹ相切，圆心M到边CCʹ的距离为15dm，蜘蛛P 在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线．若PQ与⊙M相切，试求PQ的长度的范围．20. 如图所示，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B与点C之间相距5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少?21. 如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，∠B=60∘，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE=时，四边形CEDF是矩形；②当AE=时，四边形CEDF是菱形．22. 葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿最短路线螺旋前进的．（1）如果树的周长为3m，绕一圈升高4m，则它爬行路程是多少?（2）如果树的周长为8m，绕一圈爬行10m，则爬行一圈升高多少m?如果爬行10圈到达树顶，则树干多高?23. 实践操作在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E，F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．（1）初步思考若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）．①当点P与点A重合时，∠DEF=∘，当点E与点A重合时，∠DEF=∘；②当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP=7时菱形EPFD的边长．（2）深入探究若点P落在矩形ABCD的内部（如图③），且点E，F分别在AD，DC边上，请直接写出AP的最小值．（3）拓展延伸若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一种情况，使得线段AM与线段DE的长度相等?若存在，请直接写出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．24. 如图，已知抛物线y=−x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）连接CD，BC，求∠DBC的余切值；（3）设点M在线段CA的延长线上，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．25. 如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1,1)，且与直线y=x−2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．26. 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45∘，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．他的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90∘得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90∘，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45∘．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足关系时，仍有EF= BE+DF；（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45∘，若BD=1，EC=2，求DE的长．27. 如图，在△MNQ中，MN=11，NQ=3√5，cosN=√5．在矩形ABCD中，BC=4，CD=3，5点A与点M重合，AD与MN重合，矩形ABCD沿着MQ方向平移，且平移速度为每秒5个单位，当点A与点Q重合时停止运动．（1）MQ的长度是；（2）运动秒，BC与MN重合；（3）设矩形ABCD与△MNQ重叠部分的面积为S，运动时间为t，求出S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围．的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)两点，抛物线与x轴的另一交点为28. 如图1，对称轴为直线x=12A .（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．29. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=2√3，将矩形沿对角线AC剪开，请解决以下问题：（1）将△ACD绕点C顺时针旋转90∘得到△AʹCDʹ，请在备用图中画出旋转后的△AʹCDʹ，连接AAʹ，并求线段AAʹ的长度；（2）在（1）的情况下，将△AʹCDʹ沿CB向左平移的长度为t(0<t<2√3)，设平移后的图形与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．30. 如图甲，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/ s．连接PQ，设运动时间为t(s)(0<t<4)，解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值?S的最大值是多少?（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQPʹC，当四边形PQPʹC为菱形时，求t的值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形?31. 如图，抛物线与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x1>x2，与y轴交于点C(0,4)，其中x1，x2是方程x2−2x−8=0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形?若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+1与y轴相交于点A，点B与点O关于点A4对称．（1）填空：点B的坐标是；（2）过点B的直线y=kx+b（其中k<0与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点Cʹ恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．33. 已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90∘，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)（0<t<2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC ?（2）设△AQP的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分?若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQPʹC，那么是否存在某一时刻，使四边形PQPʹC为菱形?若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．34. 如图，四边形ABCD，BEFG均为正方形，（1）如图1，连接AG，CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角(0∘<β<180∘)，如图2，连接AG，CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化?若不变化，求出∠EMB 的度数；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系：．35. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为(2m,m)，翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到折痕DE．设点B的对应点为F，折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C，F，D的抛物线为y=ax2+bx+c．（1）求点D的坐标（用含m的式子表示）；（2）若点G的坐标为(0,−3)，求该抛物线的解析式．（3）在（2）的条件下，设线段CD的中点为M，在线段CD上方的抛物线上是否存在点P，使EA ?若存在，直接写出P的坐标，若不存在，说明理由．PM=1236. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180∘，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1 中是否存在与AB相等的线段?若存在，请找出并加以证明．若不存在说明理由．（2）如图2，当DE=kDF（其中0<k<1）时，若∠A=90∘，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．37. 如图，顶点为C(−1,1)的抛物线经过点D(−5,−3)，且与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧）．（1）求抛物线的解析式；，求出点Q的坐标；（2）若抛物线上存在点Q，使得S△OAQ=32（3）点M在抛物线上，点N在x轴上，且∠MNA=∠OCD，是否存在点M，使得△AMN与△OCD相似?若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．38. 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．小明经探究发现，过点 A 作 AF ⊥BC ，垂足为 F ，得到 ∠AFB =∠BEA ，从而可证 △ABF ≌△BAE （如图 2），使问题得到解决．（1）根据阅读材料回答：△ABF 与 △BAE 全等的条件是（填" SSS "、 " SAS " 、" ASA" 、 " AAS “或”HL "中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（2）如图3，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90∘，D 为 BC 的中点，E 为 DC 的中点，点 F 在AC 的延长线上，且 ∠CDF =∠EAC ，若 CF =2，求 AB 的长；（3）如图 4，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120∘，点 D ，E 分别在 AB ，AC 边上，且 AD =kDB （其中 0<k <√33），∠AED =∠BCD ，求 AE EC 的值（用含 k 的式子表示）．39. 如图，已知二次函数 y =−x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象经过点 A (3,1)，点 C (0,4)，顶点为点 M ，过点 A 作 AB ∥x 轴，交 y 轴于点 D ，交该二次函数图象于点 B ，连接 BC ．（1）求该二次函数的解析式及点 M 的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移 m (m >0) 个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在 △ABC 的内部（不包括 △ABC 的边界），求 m 的取值范围；（3）点 P 是直线 AC 上的动点，若点 P ，点 C ，点 M 所构成的三角形与 △BCD 相似，请直接写出所有点 P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．40. 在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是边BC上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线y=−1x+b交边OA2于点E．（1）如图（1），求点D和点E的坐标（用含b的式子表示）；（2）如图（2），若矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O1A1B1C1，试探究矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化?若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由；（3）矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形，请直接写出这个菱形的面积的最小值和最大值．41. 如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60∘得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC=√3AM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．（温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．）42. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．折叠纸片使点B落在AD上，落点为Bʹ．点Bʹ从点A开始沿AD移动，折痕所在直线l的位置也随之改变，当直线l经过点A时，点Bʹ停止移动，连接BBʹ．设直线l与AB相交于点E，与CD所在直线相交于点F，点Bʹ的移动距离为x，点F与点C的距离为y．（1）求证：∠BEF=∠ABʹB；（2）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．43. 如图1，△ABC中，∠C=90∘，线段DE在射线BC上，且DE=AC，线段DE沿射线BC运动，开始时，点D与点B重合，点D到达点C时运动停止，过点D作DF=DB，与射线BA相交于点F，过点E作BC的垂线，与射线BA相交于点G．设BD=x，四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图 2 所示（其中0<x≤m，1<x≤m，m<x≤3时，函数的解析式不同）（1）填空：BC的长是；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．x2+bx−2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(−1,0)．44. 如图，抛物线y=12（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．45. 定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做"友好三角形"．性质：如果两个三角形是"友好三角形"，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．（1）应用：如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．（i）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（ii）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．（2）探究：在△ABC中，∠A=30∘，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△AʹCD，若△AʹCD与△ABC 重合部分的面积等于△ABC面积的1，请直接写出△ABC的面积．446. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B的坐标为(60,0)，OA=AB，∠OAB=90∘，OC=50．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=40时，直线l恰好经过点C．（1）求点A和点C的坐标；（2）当0<t<30时，求m关于t的函数关系式；（3）当m=35时，请直接写出t的值；（4）直线l上有一点M，当∠PMB+∠POC=90∘，且△PMB的周长为60时，请直接写出满足条件的点M的坐标．47. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3,0)，与y轴的交点为B(0,3)，其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0<m<3)得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．48. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ(0∘<θ<90∘)，连接AC1，BD1，AC1与BD1交于点P．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．①求证：△AOC1≌△BOD1．②请直接写出AC1与BD1的位置关系．（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC1=kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值．（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD1，设AC1= kBD1．请直接写出k的值和AC12+(kDD1)2的值．49. 如图，四边形ABCD为一个矩形纸片．AB=3，BC=2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止．△ADP以直线AP为轴翻折，点D落到点D1的位置．设DP=x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y．（1）当x为何值时，直线AD1过点C?（2）当x为何值时，直线AD1过BC的中点E?（3）求出y与x的函数表达式．50. 如图，以点P(−1,0)为圆心的圆，交x轴于B，C两点（B在C的左侧），交y轴于A，D两点（A在D的下方），AD=2√3，将△ABC绕点P旋转180∘，得到△MCB．（1）求B，C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB，MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ，QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化?若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．51. 定义：当点P在射线OA上时，把OPOA的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为OPOA =13．（1）在△OAB中，①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形；其中真命题有．A．①②B．②③C．①③D．①②③（2）已知：点C是射线OA上一点，CA=OA=1，以O为圆心，OA长为半径画圆，点B是⊙O上任意一点．①如图2，若点B在射线OA上的射影值为12，求证：直线BC是⊙O的切线．②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式．x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是−2．52. 如图，已知一条直线过点(0,4)，且与抛物线y=14（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标；（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形?若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N(0,1)，当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大?最大值是多少?53. 已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cos∠AOC=4．设OP=x，△CPF的面积为y．5（1）求证：AP=OQ；（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的自变量x的取值范围；（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．x2+bx+c与x轴分别相交于点A(−2,0)，B(4,0)，与y轴交于点C，顶54. 如图，抛物线y=−12点为点P．（1）求抛物线的解析式；（2）动点M，N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB，OC上向点B，C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H．（i）当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；（ii）是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．55. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=5cm，∠BAC=60∘，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒√3cm 的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若BM=BN，求t的值；（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小?并求出最小值．56. 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1，图2，图3中，AM，BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．（1）【特例探究】如图1，当tan∠PAB=1，c=4√2时，a=，b=；如图2，当∠PAB=30∘，c=2时，a=，b=；（2）【归纳证明】请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．（3）【拓展证明】如图4，平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC= 3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3√5，AB=3，求AF的长．57. 在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O，B，C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r 的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里?（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60∘方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30∘方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里?（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20√2海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15∘的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A?58. 如图，在坐标系xOy中，已知D(−5,4)，B(−3,0)，过D点分别作DA，DC垂直于x轴、y轴，垂足分别为A，C两点．动点P从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PC∥DB；（2）当t为何值时，PC⊥BC；（3）以点P为圆心，PO的长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴59. 如图，抛物线y=−12交x轴于点D，已知A(−1,0)，C(0,2)．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．60. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，BC=6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE=∠B．（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，△OMN与△BCO相似?61. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B为小正方形边的中点，C，D为格点，E为BA，CD的延长线的交点．（1）CD的长等于；（2）若点N在线段BE上，点M在线段CE上，且满足AN=NM=MC，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段MN，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）．62. 如图，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A(−1,0)，B(4,0)，与y轴相交于点C．（1）求该函数的表达式；（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC．①求线段PQ的最大值；②若以点P，C，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．63. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点．点C的坐标是(8,4)，连接AC，BC．（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA?（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．64. 将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标是(8,6)，点P是边AB上的一个动点，将△OAP沿OP折叠，使点A落在点Q处．（1）如图①，当点Q恰好落在OB上时，求点P的坐标．。

2024年中考数学复习几何专项练习：动点运动路径之瓜豆原理(含答案解析)

2024年中考数学复习几何专项练习：动点运动路径之瓜豆原理（含答案解析）一、填空题1．如图，等边三角形ABC 中，AB =4，高线AHD 是线段AH 上一动点，以BD 为边向下作等边三角形BDE ，当点D 从点A 运动到点H 的过程中，点E 所经过的路径为线段CM ，则线段CM 的长为，当点D 运动到点H ，此时线段BE 的长为．【答案】2【分析】由“SAS ”可得△ABD ≌△CBE ，推出AD =EC ，可得结论，再由勾股定理求解2,BH =当,D H 重合时，2,BE BH ==从而可得答案.【详解】解：如图，连接EC ．∵△ABC ，△BDE 都是等边三角形，∴BA =BC ，BD =BE ，∠ABC =∠DBE =60°，∴∠ABD =∠CBE ，在△ABD 和△CBE 中，BA BC ABD CBE BD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CBE （SAS ），∴AD =EC ，∵点D 从点A 运动到点H ，∴点E的运动路径的长为CM AH ==，当,D H 重合，而BDE △（即BHE ）为等边三角形，,BE BH \=4,,AB AH AH BC ==^Q2,BH ==2,BE ∴=故答案为：．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，动点的轨迹等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且1BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边EFG∆，连接CG ，则CG 的最小值为．【答案】52【分析】由题意分析可知，点F 为主动点，G 为从动点，所以以点E 为旋转中心构造全等关系，得到点G 的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG 最小值．【详解】由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动将EFB ∆绕点E 旋转60︒，使EF 与EG 重合，得到EFB EHG ∆≅∆，从而可知EBH ∆为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上，作CM HN ⊥，则CM 即为CG 的最小值，作EP CM ⊥，可知四边形HEPM 为矩形，则1351222CM MP CP HE EC =+=+=+=.故答案为52．【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G 的运动轨迹，是本题的关键．3．如图，等边ABC 中，8AB =，O 是BC 上一点，且14BO BC =，点M 为AB 边上一动点，连接OM ，将线段OM 绕点O 按逆时针方向旋转60︒至ON ，连接BN CN 、，则BCN △周长的最小值为．【答案】8+8【分析】过点N 作ND BC ⊥于点D ，过点O 作OH BM ⊥于点H ，则90OHM ODN ∠=∠=︒，证明HOM DNO ≌，可得DN OH =，从而得到点N 的运动轨迹是直线，且该直线与直线BC 平行，在BC 的左侧，与BCC 关于该直线的对称点E ，连接BE 交该直线于N ，即当点B ，N ，E 三点共线时，BCN △的周长最小，连接CE 交该直线于G ，则22CE CG DN ===CE BC ⊥，求出BE ，即可求解．【详解】解：如图，过点N 作ND BC ⊥于点D ，过点O 作OH BM ⊥于点H ，则90OHM ODN ∠=∠=︒，∵ABC 为等边三角形，∴60ABC ∠=︒，8BC AB ==，∴120BMO BOM ∠+∠=︒，根据题意得：60MON ∠=︒，OM ON =，∴120NOD BOM ∠+∠=︒，∴NOD BMO ∠=∠，∴HOM DNO ≌，∴DN OH =，∵14BO BC =，∴2BO =，∵60ABC ∠=︒，∴30BOH ∠=︒，∴112BH OB ==，∴DN OH ==∴点N 的运动轨迹是直线，且该直线与直线BC 平行，在BC 的左侧，与BC作点C 关于该直线的对称点E ，连接BE 交该直线于N ，即当点B ，N ，E 三点共线时，BCN △的周长最小，连接CE 交该直线于G ，则22CE CG DN ===，CE BC ⊥，∴BE =∴△ACN 的周长的最小值为8+故答案为：8+．【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轴对称，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．4．如图，正方形ABCD 的边长为P 是CD 边上的一动点，连接AP ，将AP 绕点A 顺时针方旋转60︒后得到AQ ，连接CQ ，则点P 在整个运动过程中，线段CQ 所扫过的图形面积为．【答案】3-【分析】根据题意画出点P 在CD 上移动的过程，线段CQ 所扫过的面积就是COQ 的面积，根据正方形的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，得出线段CQ 所扫过的图形面积()12ACQ AOQ S S S =- ，再根据等边三角形，等腰直角三角形面积的计算方法进行计算即可．【详解】解：如图，当点P 在点D 时，相应的点Q 落在点O ，当点P 移动到点C 时，相应的点Q 在点Q ，CQ 扫过的面积就是COQ 的面积，由题意可知，AOD △、ACQ 都是等边三角形，AO DO AD ∴===AQ CQ AC ====，四边形ABCD 是正方形，AOD △是等边三角形，906030ODC ∴∠=︒-︒=︒，45ACD ∠=︒，OD CD = ，18030752DOC DCO ︒-︒∴∠=∠==︒，754530ACO ∴∠=︒-︒=︒，45607530QCO QCD DCO ∠=∠-∠=︒+︒-︒=︒，ACO QCO ∴∠=∠，AC QC = ，CO CO =，AOC ∴ ≌()SAS QOC ，AO QO ∴=，604515CQO CAO ∠=∠=︒-︒=︒，()3601801530290AOQ ∴∠=︒-︒-︒-︒⨯=︒，即AOQ △是等腰直角三角形，∴线段CQ 所扫过的图形面积()12ACQ AOQ S S S =- 111222⎛=⨯⨯⨯ ⎝3=，故答案为：3．【点睛】本题考查正方形、等边三角形，等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质，掌握正方形、等边三角形，等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质是正确解答的前提．5．如图，点D 是等边ABC 边AB 上的一动点(不与端点重合)，点D 绕点C 引顺时针方向旋转60 得点E ，所得的CDE 边DE 与BC 交于点F ，则CF DE的最小值为．【分析】由旋转的性质得CDE 为等边三角形，由CEF CAD ∽△△得到CF CE CD AC =，即CF CD DE AC =，从而得到当CD 最小时，比值最小，再由“垂线段最短”得到当CD AB ⊥时，CD 值最小，作出对应图形，利用“ACD 是含30︒角的直角三角形”求出CD AC，从而得解．【详解】解：由旋转的性质得：CD CE =，60DCE ∠=︒，CDE ∴ 为等边三角形，DE CD CE ∴==，60A DEC ∠=∠=︒60ACD DCB ∠+∠=︒60DCB ECF ∠+∠=︒ACD ECF∴∠=∠∵60A DEC ∠=∠= ，ACD ECF∠=∠CEF CAD∴ ∽CF CE CD AC ∴=，即CF CD DE AC=AC 为定值，∴当CD 最小时，比值最小．根据“垂线段最短”可知：当CD AB ⊥时，CD 值最小，过点C 作CD AB ⊥于D ，并补全图形如下：ABC 是等边三角形，CD AB ⊥，60ACB ∠=︒∴1302ACD ACB ∠=∠=︒设AC 2a =，则12AD AC a ==∴CD ==，∴此时CF CD DE AC ==即CF DE 的最小值为2．故答案为：2．【点睛】此题考查图形的旋转变化与性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，含30︒角的直角三角形的性质，垂线段最短，理解“垂线段最短”和利用相似三角形的性质将CF DE转化为CD AC 是解题的关键．6．如图，在ACB △中，60ACB ∠=︒，75BAC ∠=︒，12AC =，点D 是边BC 上的一动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 按逆时针方向旋转75︒得到线段AE ，连接CE ，则线段CE 长度的最小值是．【答案】/-【分析】过点A 作AF BC ⊥于点F ，在AB 上取点N ，使12AN AC ==，连接DN ，过点N 作点NM BD ⊥于点M ，证明()SAS NAD DAE ≌，求出CE DN =，得出当DN 最小时，CE 最小，根据垂线段最短，得出当点D 与点M 重合时，DN 最小，则CE 最小，求出最小结果即可．【详解】解：过点A 作AF BC ⊥于点F ，在AB 上取点N ，使12AN AC ==，连接DN ，过点N 作点NM BD ⊥于点M ，如图所示：根据旋转可知，AD AE =，75DAE ∠=︒，∵75BAC DAE ==︒∠∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即NAD CAE =∠∠，∵AN AC =，AD AE =，∴()SAS NAD CAE ≌，∴CE DN =，∴当DN 最小时，CE 最小，∵垂线段最短，∴当点D 与点M 重合时，DN 最小，则CE 最小，∵90AFC ∠=︒，60BCA ∠=︒，∴906030CAF ∠=︒-︒=︒，∴162CF AC ==，∴AF ==，∵45BAF BAC CAF =-=︒∠∠∠，90AFB ∠=︒，∴904545B ∠=︒-︒=︒，∴B BAF ∠=∠，∴BF AF ==∴AB ==∴12BN AB AN =-=-，∵90BMN ∠=︒，45B ∠=︒，∴904545BNM =︒-︒=︒∠，∴B BNM =∠∠，∴BM NM =，∵222BN NM BM =+，∴()22212NM =-，解得：NM =-，∴CE 的最小值为-．故答案为：【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判断和性质，直角三角形的性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明CE DN =．7．如图，点A 的坐标为3⎫⎪⎪⎝⎭，点B 是x 轴正半轴上的一点，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转60︒得到线段AC ．若点C 的坐标为(,4)k ，则k 的值为．【分析】连接BC ，过A 点作AF x ⊥轴于F ，C 作CD x ⊥轴于点D ，CE AF ⊥于点E ，则四边形DCEF 是矩形，根据将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转60︒得到线段AC ，可得ABC 是等边三角形，AB AC BC ==，由点A 的坐标为，(,4)C k ，有AC ==，而BD ==FB ==OF BF BD OD k ++==，可得k =，解方程可得答案．【详解】解：连接BC ，过A 点作AF x ⊥轴于F ，C 作CD x ⊥轴于点D ，CE AF ⊥于点E ，则四边形DCEF 是矩形，如图：∵将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转60︒得到线段AC ，∴AB AC =，60BAC ∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∴AB AC BC ==，∵点A 的坐标为，(,4)C k ，，∴3CE k FD =-=，4CD =，3AF =，∴1AE EF AF CD AF =-=-=，∴AC BC AB ====，在Rt BCD 中，BD =，在Rt AFB 中，FB =∵OF BF BD OD k ++==，∴3k =，设k x =x =，化简变形得：42346490x x -=-，解得21x =-（舍去）或2493x =，∴3x =或3x =-（不符合题意，舍去），∴k ，∴k =，．【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含k 的代数式表示相关线段的长度．8．如图，在边长为6的等边ABC 中，直线AD BC ⊥，E 是AD 上的一个动点连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针方向旋转60︒得到FC ，连接DF ，则点E 运动过程中，DF 的最小值是．【答案】32【分析】取线段AC 的中点G ，连接EG ，根据等边三角形的性质可得出CD CG =以及FCD ECG Ð=Ð，由旋转的性质可得出EC FC =，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS 证出FCD ≌ECG ，进而即可得出DF GE =，再根据点G 为AC 的中点，即可得出EG 的最小值，此题得解．【详解】解：取线段AC 的中点G ，连接EG ，如图所示．ABC 为等边三角形，6AC BC ==，且AD 为ABC 的对称轴，132CD CG AB ∴===，60ACD ∠=︒，60ECF =︒∠ ，FCD ECG \Ð=Ð．FCD ∴ ≌()ECG SAS ，DF GE ∴=．当EG BC ∥时，EG 最小，点G 为AC 的中点，∴此时1133222EG DF CD ===⨯=．故答案为：32．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF GE =．9．如图，在ABC ∆中，90ACB ︒∠=，点D 在BC 边上，5BC =，2CD =，点E 是边AC 所在直线上的一动点，连接DE ，将DE 绕点D 顺时针方向旋转60︒得到DF ，连接BF ，则BF 的最小值为．【答案】72【分析】当E 与点C 重合时，点F 与等边三角形CDG 的点G 重合，当点F 开始运动时，△ECD ≌△FGD ，故点F 在线段GF 上运动，根据垂线段最短原理，当BF ⊥GF 时，BF 有最小值，根据直角三角形的性质计算即可．【详解】当E与点C重合时，点F与等边三角形CDG的点G重合，∵DE绕点D顺时针方向旋转60 得到DF，∴△DEF是等边三角形，∴∠GDC=∠FDE=60°，ED=FD，∴∠GDC-∠GDE=∠FDE-∠GDE，∴∠EDC=∠FDG，∵△DEF是等边三角形，∴CD=GD，∴△ECD≌△FGD，∴EC=GF，∠ECD=∠FGD=90°，∴点F在线段GF上运动，根据垂线段最短原理，当BF⊥GF时，BF有最小值，如图，当旋转到BF∥DG 时,BF⊥GF，垂足为F，过点D作DH⊥BF，垂足为H，∵∠FGD=90°，∴四边形FGDH是矩形，∴∠GDH=90°，GD=FH=2，∵∠GDC=60°，∴∠BDH=30°，∵BD=BC-CD=5-2=3，∴BH=1232 BD=，∴BF=FH+BH=2+32=72，故答案为：7 2．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定，灵活运用直角的判定和直角三角形的性质是解题的关键．10．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且1BE=，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF 烧点E顺时什旋转60°得到EG，连接CG，则CG的最小值为．【答案】5 2【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G 的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EBH为等边三角形，△EBF≌△EHG，∴∠EHG=∠ABC=90°，HE=BE=1，∠BEH=60°，∴点G在垂直于HE的直线HN上．作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，∴∠CEP=180°-60°-90°=30°，∴CP=12CE=12×(4-1)=32，则CM=MP+CP=35122 HE PC+=+=，即CG的最小值为5 2．故答案为5 2．【点睛】本题考查了旋转的性质，线段最值问题，全等三角形的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，以及垂线段最短等知识，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．11．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AB上异于A，B的一动点，将△ACD绕点C逆时针旋转60°得△BCE，则旋转过程中△BDE周长的最小值【答案】．【分析】由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD ，由垂线段最短得到当CD ⊥AB 时，△BDE 的周长最小，于是得到结论．【详解】∵将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，∴∠DCE=60°，DC=EC ，∴△CDE 是等边三角形，由旋转的性质得，BE=AD ，∴C △DBE =BE+DB+DE=AB+DE=4+DE ，∵△CDE 是等边三角形，∴DE=CD ，∴C △DBE =CD+4，由垂线段最短可知，当CD ⊥AB 时，△BDE 的周长最小，此时，∴△BDE 的最小周长，故答案为．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．12．如图，在ABC 中，8AC BC ==，60BCA ∠= ，直线AD BC ⊥，E 是AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 按逆时针方向旋转60 得到FC ，连接DF ，则点E 运动过程中，DF 的最小值是．【答案】2【分析】根据题意取线段AC 的中点G ，连接EG ，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG 以及∠FCD=∠ECG ，由旋转的性质可得出EC=FC ，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS 证出△FCD ≌△ECG ，进而即可得出DF=GE ，再根据点G 为AC 的中点，即可得出EG 的最小值．【详解】取线段AC 的中点G ，连接EG，如图所示．8AC BC == ，60BCA ∠= ，ABC ∴为等边三角形，且AD 为ABC 的对称轴，142CD CG AB ∴===，60ACD ∠= ，60ECF ∠= ，FCD ECG ∴∠=∠．在FCD 和ECG 中，FC EC FCD ECG DC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，FCD ∴ ≌()ECG SAS ，DF GE ∴=．当//EG BC 时，EG 最小，点G 为AC 的中点，∴此时11224EG DF CD BC ====．故答案为2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出.DF GE =本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．13．如图，等边△AOB 的边长为4，点P 从点O 出发，沿OA 以每秒1个单位的速度向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得点C ，点C 随点P 的运动而运动，连接CP 、CA ．在点P 从O 向A 运动的过程中，当△PCA 为直角三角形时t 的值为.【答案】2或83【详解】如图（1）过点P 作PD ⊥OB 于点D ，过C 作CE ⊥OA 于E ，∴∠PDO=∠PEC=90°，∵∠O=60°，∴∠OPD=30°，∴OD=12t ，∴BD=4-12t ，，∵线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得点C ，∴∠BPC=60°，BP=2PC ，∵∠OPD=30°，∴∠BPD+∠CPE=90°，∴∠DBP=∠CPE ，∴△PCE ∽△BPD ，∴CE PE PC PD BD PB==，11242PE t ==-，∴，PE=2-14t ，OE=2+34t ，如图（2）当∠PCA=90度时，作CF ⊥PA ，∴△PCF ∽△ACF ，∴△PCF ∽△ACF ，∴PF CF CF AF =，∴CF 2=PF•AF ，∵PF=2-14t ，AF=4-OF=2-34t ，，）2=（2-14t ）（=2-34t ），∴t=2，这时P 是OA 的中点；如图（3）当∠CAP=90°时，此时OA=OE ，∴2+34t=4，∴t=83，故答案为2或83.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，等边三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质等，正确地添加辅助线，求出OE 的长是解题的关键.二、解答题14．在平面直角坐标系中，A （a ，0）、B （b ，0），且a ，b 满足26930a a b -+++=，C 、D 两点分别是y 轴正半轴、x 轴负半轴上的两个动点；（1）如图1，若C （0，4），求△ABC 的面积；（2）如图1，若C （0，4），BC =5，BD=AE ，且∠CBA=∠CDE ，求D 点的坐标；（3）如图2，若∠CBA =60°，以CD 为边，在CD 的右侧作等边△CDE ，连接OE ，当OE 最短时，求A ，E 两点之间的距离．【答案】（1）△ABC 的面积为12；（2）D 点的坐标为（-2，0）；（3）A ，E 两点之间的距离为32【分析】（1）利用完全平方式和绝对值的性质求出a ，b ，然后确定A 、B 两点坐标，从而利用三角形面积公式求解即可；（2）根据题意判断出CBD DAE △≌△，从而得到CB AD =，然后利用勾股定理求出CB ，及可求出结论；（3）首先根据“双等边”模型推出DCB ECA ≌，得到120DBC EAC ∠=∠=︒，进一步推出AE BC ∥，从而确定随着D 点的运动，点E 在过点A 且平行于BC 的直线PQ 上运动，再根据点到直线的最短距离为垂线段的长度，确定OE 最短时，各点的位置关系，最后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）∵26930a a b -+++=，∴()2330a b -++=，由非负性可知，3030a b -=⎧⎨+=⎩，解得：33a b =⎧⎨=-⎩，∴()3,0A ，()3,0B -，()336AB =--=，∵()0,4C ，∴4OC =，∴11641222ABC S AB OC ==⨯⨯= ；（2）由（1）知()3,0A ，()3,0B -，∴OA OB =，∵OC AB ⊥，∴90AOC BOC ∠=∠=︒，在AOC 和BOC 中，OA OB AOC BOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AOC BOC SAS △≌△，∴CBO CAO ∠=∠，∵CDA CDE ADE BCD CBA ∠=∠+∠=∠+∠，CBA CDE ∠=∠，∴ADE BCD ∠=∠，在BCD △和ADE V 中，BCD ADE CBD DAE BD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BCD ADE AAS ≌，∴CB AD =，∵()3,0B -，()0,4C ，∴3OB =，4OC =，∴5BC ==，∴5AD BC ==，∵()3,0A ，∴()2,0D -；（3）由（2）可知CB =CA ，∵∠CBA =60°，∴△ABC 为等边三角形，∠BCA =60°，∠DBC =120°，∵△CDE 为等边三角形，∴CD =CE ，∠DCE =60°，∵∠DCE =∠DCB +∠BCE ，∠BCA =∠BCE +∠ECA ，∴∠DCB =∠ECA ，在△DCB 和△ECA 中，CD CE DCB ECA CB CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()DCB ECA SAS ≌，∴120DBC EAC ∠=∠=︒，∵12060180EAC ACB ∠+∠=︒+︒=︒，∴AE BC ∥，即：随着D 点的运动，点E 在过点A 且平行于BC 的直线PQ 上运动，∵要使得OE 最短，∴如图所示，当OE ⊥PQ 时，满足OE 最短，此时∠OEA =90°，∵120DBC EAC ∠=∠=︒，60CAB ∠=︒，∴60OAE EAC CAB ∠=∠-∠=︒，30AOE ∠=︒，∵()3,0A ，∴3OA =，∴1322AE OA ==，∴当OE 最短时，A ，E 两点之间的距离为32．【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的判定与性质等，理解平面直角坐标系中点坐标的特征，掌握等腰或等边三角形的性质，熟练使用全等三角形的判定与性质是解题关键．15．在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6．点E'在BC边上且BE'＝4，将B E'绕点B逆时针旋转a°得到BE（0°＜a＜180°）．(1)如图1，当∠EBA＝90°时，求S△BCE；(2)如图2，在旋转过程中，连接CE，取CE中点F，作射线BF交直线AD于点G．①求线段BF的取值范围；②当∠EBF＝120°时，求证：BC﹣DG＝2BF；(3)如图3．当∠EBA＝90°时，点S为线段BE上一动点，过点E作EM⊥射线AS于点M，N为AM中点，直接写出BN的最大值与最小值．=6；【答案】(1)S△BCE(2)①1＜BF＜5；②证明见解答；(3)BNBN的最大值为【分析】（1）如图1，过点E 作EF ⊥BC 交CB 的延长线于点F ，根据题意求得∠EBF =180°-∠EBA -∠ABC =180°-90°-60°=30°，再根据特殊直角三角形的性质进而求得BC 上的高EF =2，代入面积公式算出结果；（2）①如图，在线段FG 上截取FK =BF ，连接EK 、CK ，可证得四边形BCKE 是平行四边形，得出：BE =CK =BE '=4，BC =6，再运用三角形三边关系即可求得答案；②可证△EKB ≌△BGA （AAS ），得出BK =AG ，由AG =AD -DG ，即可推出结论；（3）连接AE ，取AE 的中点P ，PA 的中点Q ，连接BP 、NP 、NQ 、BQ ，可证△ABE 是等腰直角三角形，得出：AE AB P 是AE 的中点，可得：BP ⊥AE ，且BP =AP =EP ，利用勾股定理得BQ，当B 、Q 、N 三点共线时，BN 的最小值=BQ -NQ，当点S 与点E 重合时，EM =0，PN =0，此时，BN 的最大值=BP 【详解】（1）解：如图1，过点E 作EH ⊥BC 交CB 的延长线于点H ，∴∠EHC =90°，∵∠ABC =60°，∠EBA =90°，∴∠EBH =180°-∠EBA -∠ABC =180°-90°-60°=30°，∵点E '在BC 边上且BE '=4，将B E '绕点B 逆时针旋转α°得到BE ，∴BE =B E '=4，∴EH =12BE =12×4=2，又∵BC =6，∴S △BCE =12BC •EH =12×6×2=6；（2）解：①如图，在线段FG 上截取FK =BF ，连接EK 、CK ，∵EF=FC，BF=FK，∴四边形BCKE是平行四边形，∴BE=CK=BE'=4，BC=6，在△BCK中，BC-CK＜BK＜BC+CK，∴6-4＜BK＜6+4，即2＜2BF＜10，∴1＜BF＜5；②证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC=60°，AB=4，∴∠A=180°-∠ABC=180°-60°=120°，AD∥BC，AD=BC，BE=AB，∵∠EBF=120°，即∠EBK=120°，∴∠EBK=∠A，∵EK∥BC，∴EK∥AD，∴∠EKB=∠BGA，在△EKB和△BGA中，EKB BGAEBK ABE AB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EKB≌△BGA（AAS），∴BK=AG，由①知：BK=2BF，又∵AG=AD-DG，∴2BF =BC -DG ；（3）解：连接AE ，取AE 的中点P ，PA 的中点Q ，连接BP 、NP 、NQ 、BQ ，∵∠ABE =90°，AB =BE =4，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE ，∵点P 是AE 的中点，∴BP ⊥AE ，且BP =AP =EP ，∵N 是AM 的中点，P 是AE 的中点，∴PN 是△AEM 的中位线，∴PN ∥EM ，∴∠ANP =∠AME =90°，∵点Q 是AP 的中点，∴QN =PQ =12AP在Rt △BPQ 中，BQ =当B 、Q 、N 三点共线时，BN 的最小值=BQ -NQ 当点S 与点E 重合时，EM =0，PN =0，此时，BN 的最大值=BP 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．16．如图，线段AB ＝10cm ，C 是线段AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），在AB 上方分别以AC 、BC 为边作正△ACD 和正△BCE ，连接AE ，交CD 于M ，连接BD ，交CE 于N ，AE 、BD 交于H ，连接CH .(1)求sin ∠AHC ；(2)连接DE ，设AD ＝x ，DE ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式；(3)把正△BCE 绕C 顺时针旋转一个小于60°的角，在旋转过程中H 到△DCE 的三个顶点距离和最小，即HC +HD +HE 的值最小，HC +HD +HE 的值总等于线段BD 的长.若AC ＝，旋转过程中某一时刻2AH ＝3DH ，此刻△ADH 内有一点P ，求PA +PD +PH 的最小值.【答案】(1)2；(2)y0＜x ＜10）；【分析】（1）过点C 作CT ⊥AE 于点T ，CR ⊥BD 于点R ，先证△ACE ≌△DCB 得∠CAM ＝∠HDM ，由直角三角函数可得sin sin ＝CT CA CAM CD HDM CR ∠=∠= ，从而得CH 平分∠AHB ，进而求得∠AHC ＝∠BHC ＝60°即可求解；（2）如图2中，如图，过点D 作DP ⊥CE 于点P ，先由三角函数求得CP ＝12CD ＝12x ，DP ＝2x ，又由AB ＝10cm ，得CE ＝CB ＝（10﹣x ）cm ，进而得PE ＝|10﹣x ﹣12x |＝|10﹣32x |，最后由勾股定理即可求得y 与x 之间的函数关系式；（3）如图3中，以AD 为边向外作等边△ADW ，连接WH ，由题意WH 是PA +PD +PH ．过点D 作DS ⊥AH 于H ，过点W 作WG ⊥AD 于点G ，过点H 作HK ⊥AD 于K ，过点W 作WQ ⊥HK 于点Q ．假设AH ＝3k ，DH ＝2k ，由勾股定理得AH ＝6，DH ＝4，DSHKDKWQ ＝KGGW ＝KWHQWH 的长即PA +PD +PH 的最小值．【详解】（1）解：过点C 作CT ⊥AE 于点T ，CR ⊥BD 于点R．∵△ADC ，△ECB 都是等边三角形，∴CA ＝CD ，CE ＝CB ，∠ACD ＝∠ECB ＝60°，∴∠ACE ＝∠DCB ，在△ACE 和△DCB 中，CA CD ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴∠CAM ＝∠HDM ，∵CT ⊥AE ，CR ⊥BD ，∴sin sin ＝CT CA CAM CD HDM CR ∠=∠= ，∴CH 平分∠AHB ，∵∠AMC ＝∠DMH ，∴∠AHM ＝∠ACM ＝60°，∴∠AHC ＝∠BHC ＝60°，∴sin ∠AHC ＝2；（2）解：如图2中，如图，过点D 作DP ⊥CE 于点P ．∵AC ＝CD ＝x （cm ），∠DCE ＝60°，∴CP ＝12CD ＝12x ，DP ，∵AB ＝10cm ，∴BC ＝AB ﹣AC ＝（10﹣x ）cm ，∴CE ＝CB ＝（10﹣x ）cm ，∴PE ＝|10﹣x ﹣12x |＝|10﹣32x |，∴y ＝DE （0＜x ＜10）；（3）解：如图3中，以AD 为边向外作等边△ADW ，连接WH ，由题意WH 是PA +PD +PH ．过点D 作DS ⊥AH 于H ，过点W 作WG ⊥AD 于点G ，过点H 作HK ⊥AD 于K ，过点W 作WQ ⊥HK 于点Q ．∵2AH ＝3DH ，∴可以假设AH ＝3k ，DH ＝2k ，∵∠DHS ＝60°，DS ⊥AH ，∴SH ＝12DH ＝k ，DS ，AM ＝2k ，∵AD 2＝AS 2+DS 2，∴（）2＝（2k ）2+）2，∴k ＝2（负根已经舍弃），∴AH ＝6，DH ＝4，DS∵12•AH •DS ＝12•AD •HK ，∴HK ＝7，DK 7，∵AG ＝DG WQKG 是矩形，∴WQ ＝KG GW ＝KW∴HQ ＝KH +KQ ＝7，∴WH ＝∴PA +PD +PH 的最小值为【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题是解本题的关键．17．在学习了图形的旋转知识后，某数学兴趣小组对教材中有关图形旋转的问题进行了进一步探究．（1）问题梳理，问题呈现：如图1，点D 在等边ABC 的边BC 上，过点C 画AB 的平行线l ，在l 上取CE BD =，连接AE ，则在图1中会产生一对旋转图形．请结合问题中的条件，证明：ABD ACE ≌△△；（2）初步尝试：如图2，在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，且BD DC <，将ABD △沿某条直线翻折，使得AB 与AC 重合，点D 与BC 边上点F 重合，再将ACF △沿AC 所在直线翻折，得到ACE △，则在图2中会产生一对旋转图形．若30BAC ∠=︒，6AD =，连接DE ，求ADE V 的面积；（3）深入探究：如图3，在ABC 中，60ACB ∠=︒，75BAC ∠=︒，6AC =，点D 是边BC 上的任意一点，连接AD ，将线段AD 绕点A 按逆时针方向旋转75°，得到线段AE ，连接CE ，求线段CE 长度的最小值．【答案】（1）见解析；（2）9；（3）【分析】（1）根据△ABC 是等边三角形，可得AB ＝AC ，∠BAC ＝∠B ＝60°，进而利用SAS 可证明△ABD ≌△ACE ．（2）如图2，过点E 作EH ⊥AD 于H ，由翻折可得△ACE ≌△ABD ≌△ACF ，可得AE ＝AD ＝6，EH ＝3，再运用S △ADE ＝12×AD ×EH ，即可求得答案．（3）如图3中，在AB 上截取AN ＝AC ，连接DN ，作NH ⊥BC 于H ，作AM ⊥BC 于M ．利用SAS 证明△EAC ≌△DAN ，推出当DN 的值最小时，EC 的值最小，求出HN 的值即可解决问题．【详解】（1）如图1，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠B ＝60°，∵CE ∥AB ，∴∠ACE ＝∠BAC ＝60°，∴∠B ＝∠ACE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC B ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；（2）如图2，过点E 作EH ⊥AD 于H，∵由翻折可得：△ACF ≌△ABD ，△ACE ≌△ACF ，∴△ACE ≌△ABD ≌△ACF ，∴AE ＝AD ＝6，∠CAE ＝∠BAD ，∴∠DAE ＝∠BAC ＝30°，∵EH ⊥AD ，∴EH ＝12AE ＝3，∴S △ADE ＝12×AD ×EH ＝12×6×3＝9；（3）如图3中，在AB 上截取AN ＝AC ，连接DN ，作NH ⊥BC 于H ，作AM ⊥BC 于M．∵∠CAB ＝∠DAE ，∴∠EAC ＝∠DAN ，∵AE ＝AD ，AC ＝AN ，∴△EAC ≌△DAN （SAS ），∴CE ＝DN ，∴当DN 的值最小时，EC 的值最小，在Rt △ACM 中，∵∠ACM ＝60°，AC ＝6，∴30CAM ∠=︒,∴132CM AC ==,∴AM∵∠MAB ＝∠BAC −∠CAM ＝75°−30°＝45°，∴AMB 为等腰直角三角形，∴AB=，∴NB ＝AB −AN ＝−6，在Rt △NHB 中，∵∠B ＝45°，∴NBH △为等腰直角三角形，∴NH根据垂线段最短可知，当点D 与H 重合时，DN 的值最小，∴CE 的最小值为．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．18．（一）发现探究在△ABC中AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ；【发现】如图1如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是；【探究】如图2，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；（二）拓展应用【应用】如图3，在△DEF中，DE＝6，∠EDF＝60°，∠DEF＝90°，P是线段EF上的任意一点连接DP，将线段DP绕点D顺时针方向旋转60°，得到线段DQ，连接EQ请求出线段EQ长度的最小值．【答案】【发现】BQ＝PC；【探究】BQ＝PC仍然成立，证明见解析；【应用】线段EQ长度的最小值为3．【分析】[发现]先判断出∠BAQ＝∠CAP，进而用SAS判断出△BAQ≌△CAP，即可得出结论；[探究]结论BQ＝PC仍然成立，理由同【发现】的方法；[应用]在DF上取一点H，使DH＝DE，连接PH，过点H作HM⊥EF于M，构造出△DEQ≌△DHP，得出EQ＝HP，当HP⊥EF（点P和点M重合）时，EQ最小，求HM即可．【详解】[发现]由旋转知，AQ＝AP，∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，∴∠BAQ＝∠CAP，∵AB＝AC，∴△BAQ≌△CAP（SAS），∴BQ＝CP，故答案为：BQ＝PC；【探究】结论：BQ＝PC仍然成立，理由：由旋转知，AQ＝AP，∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，∴∠BAQ＝∠CAP，∵AB＝AC，∴△BAQ≌△CAP（SAS），∴BQ＝CP，【应用】如图3，在DF上取一点H，使DH＝DE，连接PH，过点H作HM⊥EF于M，由旋转知，DQ＝DP，∠PDQ＝60°，∵∠EDF＝60°，∴∠PDQ＝∠EDF，∴∠EDQ＝∠HDP，∴△DEQ≌△DHP（SAS），∴EQ＝HP，求EQ最小，就是求HP最小，当HP⊥EF（点P和点M重合）时，HP最小，最小值为HM，∵∠EDF＝60°，∠DEF＝90°，∴∠F＝30°，∵DE＝6，∴DF＝2DE＝12，∵DH＝DE=6，∴FH＝6，∵∠F＝30°，∴HM=3．线段EQ长度的最小值为3．．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，恰当的作辅助线，把所求线段转化为与动点P有关的线段，根据垂线段最短确定线段位置是解本题的关键．。

排列组合中的最短路径问题

两个计数原理的应用一、选择题1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为【答案】B（A）24 （B）18 （C）12 （D）9【解析】试题分析：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6，再从F处到G⨯=，故处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6318选B.【考点】计数原理、组合【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．2．如图，一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点，再由点沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点，则它可以爬行的不同的最短路径有（ B ）条A. 40B. 60C. 80D. 120【解析】试题分析：蚂蚁从到需要走五段路，其中三纵二竖，共有条路径，从到共有条路径，根据分步计数乘法原理可知，蚂蚁从到可以爬行的不同的最短路径有条，故选B.考点：分步计数乘法原理.二、解答题3．某城市有连接8个小区A、B、C、D、E、F、G、H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往H.(1)列出此人从小区A到H的所有最短路径(自A至H依次用所经过的小区的字母表示)；(2)求他经过市中心O的概率．【答案】(1)见解析（2）2 3【解析】解：(1)此人从小区A前往H的所有最短路径为：A→B →C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H 共6条．(2)记“此人经过市中心O”为事件M ，则M 包含的基本事件为：A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H 共4个，∴P(M)＝46＝23，即他经过市中心O 的概率为23. 【考点定位】概率、统计4．如图，在某城市中，Ｍ，Ｎ两地之间有整齐的方格形道路网，1A 、2A 、3A 、4A 是道路网中位于一条对角线上的４个交汇处，今在道路网Ｍ、Ｎ处的甲、乙两人分别要到Ｍ，Ｎ处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，同时以每10分钟一格的速度分别向Ｎ，Ｍ处行走，直到到达Ｎ，Ｍ为止。

高二物理位移与路程试题

高二物理位移与路程试题1.下列物理量中，属于标量的是（）A．速度B．加速度C．路程D．力【答案】C【解析】速度、加速度和力都是即有大小又有方向，相加时遵循平行四边形定则的物理量，都是矢量，只有路程是只有大小，没有方向的物理量，是标量，C符合题意故选C【考点】矢量和标量点评：即有大小又有方向，相加时遵循平行四边形定则的物理量是矢量,只有大小，没有方向的物理量是标量。

2.所示，一物体沿三条不同的路径由 A 到 B ，关于它们的位移，下列说法中正确的是A．一样大B．沿Ⅰ较大C．沿Ⅱ较大D．沿Ⅲ较大【答案】A【解析】位移是起点到终点的有向线段，决定于起点和终点的位置．物体沿三条不同的路径由A运动到B，起点和终点的位置都相同，则位移一定相同．故选A【考点】位移与路程．点评：位移是描述运动常用物理量，抓住概念和方向性．比较简单．3.在边长100m的正方形广场边缘，一同学沿如图所示路径顺时针散步。

在由a点运动到b点的过程中，该同学（）A．通过的路程是50mB．通过的路程是400mC．位移大小是50mD．位移大小是400m【答案】C【解析】路程是运动路径的长度，位移为由初位置指向末位置的有向线段，由图可知路程为350m，位移为50m，C对；ABD均错；【考点】考查路程与位移点评：难度较小，路程为标量，位移为矢量4.某人沿着半径为 R的圆形跑道跑了1圈时，他的A．路程和位移的大小均为2πRB．路程为2 πR、位移的大小为0C．路程和位移的大小均为RD．路程为0.5 πR、位移的大小为R【答案】B【解析】路程是物体实际运动轨迹的长度，位移是物体由初位置指向末位置的有向线段，所以这个人跑了一圈后的位移为零，路程为2 πR、所以选B。

5.小球从离地板5m高处自由落下，又被地板竖直弹起，在离地板2m高处被接住，则关于小球通过的位移和路程的说法中正确的是（）A．位移大小为3m，方向向下；路程为3mB．位移大小为2m，方向向上；路程为7mC．位移大小为3m，方向向下；路程为7mD．位移大小为7m，方向向下；路程为7m【答案】C【解析】位移为初位置到末位置的有向线段，路程为运动轨迹的总长度。

中考专题名校优选训练-倍长中线法和路径问题(解答题第2部分)

中考专题名校优选训练-倍长中线法和路径问题（解答题第二部分）29．如图，在等边ABC ∆中，6AB =．点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿边AB 向终点B 运动，过点P 作PD AC ⊥于点D ，过点P 向上作//PF AC ，且3PF PD =，以PF 、PD 为边作矩形PDEF ．设点P 的运动时间为x （秒)，矩形PDEF 与ABC ∆的重叠部分图形的面积为y ．（1）用含x 的式子表示线段PD 的长；（2）求出当点F 落在边BC 上时x 的值；（3）求在运动过程中y 与x 之间的函数关系式．30．（1）如图1，若ABC ∆是直角三角形，90BAC ∠=︒，点D 是BC 的中点，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接CE ，可以得到ABD ECD ∆≅∆，这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”．求证：ACE ∆是直角三角形（2）如图2，ABC ∆是直角三角形，90BAC ∠=︒，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE DF ⊥．试说明222BE CF EF +=；（3）如图3，在（2）的条件下，若AB AC =，12BE =，5CF =，求DEF ∆的面积．31．小明在学习中遇到了如下的问题：如图1，在ABC ∆中，6AB =，10AC =，D 为BC 边上的中点，求AD 的取值范围．感知方法：他思索了很久，但没有思路，老师提示他要添加适当的辅助线，如图2，方法一：延长AD 至点E ，使得DE AD =，连接CE ；方法二：过点C 作//CE AB ，交AD 的延长线于点E ；添加辅助线后，小明恍然大悟，易得ABD ECD ∆≅∆，再利用三角形的三边关系可以解决问题．（1）在老师的提示下，小明求得AD 长度的范围是大于且小于；知识迁移：（2）如图3，已知ABC ∆和ADE ∆为两个等腰直角三角形，其中AC AB =，AD AE =，90CAB DAE ∠=∠=︒，F 为CD 中点．请根据上述条件，回答以下问题． ①CAD BAE ∠+∠的度数为．②试探究线段AF 与BE 的数量关系，并写出解答过程．结论应用：（3）在（2）的条件下，若17AB =，10AD =，21BE =，四边形BCDE 的面积为7252．则点D 到线段AF 的距离为．（直接写出答案，不需要解答过程）32．【问题情境】如图①，在ABC ∆中，若10AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．（1）【问题解决】延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE （或将ACD ∆绕着点D 逆时针旋转180︒得到)EBD ∆，把AB 、AC 、2AD 集中在ABE ∆中，利用三角形三边的关系即可判断出中线AD 的取值范围是．【反思感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑构造以该中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同个三角形中，从而解决问题．（2）【尝试应用】如图②，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是BC 边上的中线，试猜想线段AB ，AC ，AD 之间的数量关系，并说明理由．（3）【拓展延伸】如图③，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，DM DN ⊥，DM 交AB 于点M ，DN 交AC 于点N ，连接MN ．当4BM =，5MN =，6AC =时，请直接写出中线AD 的长．33．阅读下面材料：小明遇到这样两个问题：（1）如图1，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，OD AC ⊥，垂足为D ，6BC =，求OD 的长；（2）如图2ABC ∆中，6AB =，4AC =，点D 为BC 的中点，求AD 的取值范围．对于问题（1），小明发现根据垂径定理，可以得出点D 是AC 的中点，利用三角形中位线定理可以解决；对于问题（2），小明发现延长AD 到E ，使DE AD =，连接BE ，可以得到全等三角形，通过计算可以解决．请回答：问题（1）中OD 长为；问题（2）中AD 的取值范围是；参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：（3）如图3，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BE 与CD 相交于点F ，AC mEC =，2AB mEC =，AD nDB =．①当1n =时，如图4，在图中找出与CE 相等的线段，并加以证明；②直接写出CEEF的值（用含m 、n 的代数式表示）． 34．如图，在ABC ∆中，点D 是边BC 的中点，连接AD 并延长到点E ，使DE AD =，连接CE ．（1）求证：ABD ECD ∆≅∆；（2）若ABD ∆的面积为5，求ACE ∆的面积．35．如图1，在ABC ∆中，点D 是BC 的中点，延长AD 到点G ，使DG AD =，连接CG ，可以得到ABD GCD ∆≅∆，这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”．如图2，在ABC ∆中，点D 是BC 的中点，点E 是AB 上一点，连接ED ，小明由图1中作辅助线的方法想到：延长ED 到点G ，使DG ED =，连接CG ．（1）请直接写出线段BE 和CG 的关系：；（2）如图3，若90A ∠=︒，过点D 作DF DE ⊥交AC 于点F ，连接EF ，已知3BE =，25CF =，其它条件不变，求EF 的长．36．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC ∆中，若5AB =，3AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使得DE AD =，再连接BE （或将ACD ∆绕点D 逆时针旋转180︒得到)EBD ∆，把AB 、AC 、2AD 集中在ABE ∆中，利用三角形的三边关系可得28AE <<，则14AD <<．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（1）问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在ABC ∆中，D 是BC 边上的中点，DE DF ⊥，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ．①求证：BE CF EF +>；②若90A ∠=︒，探索线段BE 、CF 、EF 之间的等量关系，并加以证明；（2）问题拓展：如图3，在平行四边形ABCD 中，2AD AB =，F 是AD 的中点，作CE AB ⊥，垂足E 在线段AB 上，联结EF 、CF ，那么下列结论①12DCF BCD ∠=∠；②EF CF =；③2BEC CEF S S ∆∆=；④3DFE AEF ∠=∠．其中一定成立是（填序号）．37．（一)阅读理解如图（1），ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 、E 在BC 边上，且45DAE ∠=︒．为探究BD 、DE 、EC 之间的数量关系，现将ABD ∆绕点A 逆时针方向旋转90︒得到ACD ∆'，连接ED '，如图（2），因为90ECD BCA ACD BCA B ∠'=∠+∠'=∠+∠=︒，所以222CD CE ED '+='．因为90DAD BAC ∠'=∠=︒，45DAE ∠=︒，所以904545EAD EAD ∠'=︒-︒=︒=∠，因为AD AD ='，AE AE ='，所以ADE ∆≅△()AD E SAS '，所以D E D E ='．又CD BD '=，从而可推导出BD 、DE 、EC 之间的数量关系是．（二)拓展探究如图（3），ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 在BC 边上，E 在BC 延长线上，且45DAE ∠=︒，则BD 、DE 、EC 之间的数量关系是，请证明你的结论．证明：（三)问题解决如图（4），正方形ABCD 中，E 在BC 延长线上，将ABE ∆沿AE 翻折至△AB E '，B E '交直线CD 于H ，直线AE 、AH 分别交直线BD 于F 、G ．若62AB =，:4:5BF FG =，试求BF 的长．38．如图1，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点D 是BC 上一点，将ABD ∆沿AD 翻折得到AED ∆，连接CE ．（1）如图2，当点D 是BC 的中点时， ①AD = ； ②求CE 的长；（2）当点D 从点B 运动到点C 时，①CE 的最小值是；②点E 运动的路径长是．39．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，ABC ∆是等边三角形，点D 是边BC 下方一点，120BDC ∠=︒，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系．解题思路：延长DC 到点E ，使CE BD =，根据180BAC BDC ∠+∠=︒，可证ABD ACE ∠=∠，易证ABD ACE ∆≅∆，得出ADE ∆是等边三角形，所以AD DE =，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA 、DB 、DC 之间的等量关系是；（直接写出结果）（2）如图2，Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =．点D 是边BC 下方一点，90BDC ∠=︒，探索三条线段DA 、DB 、DC 之间的等量关系，并证明你的结论．40．已知，在等腰直角三角形ABC 中，BA AC =，90BAC ∠=︒，点D 为BC 边上一动点，点E ，F 分别为AB 、BC 边上的动点，且BE AF =．（1）如图1，当点D 为BC 中点时，试说明DE 和DF 的关系，并说明理由；（2）在（1）的条件下，如图2，当点E 为AB 中点时，判断四边形AEDF 的形状，并说明理由；（3）如图3，过点A 作BC 的平行线，交DF 的延长线于点G ，且满足4AG BC ==．若D 点从B 点出发，以1个单位长度每秒的速度向终点C 运动，连接AD ．设点D 的运动时间为t 秒(04)t ，在点D 的运动过程中，图中能否出现全等三角形？若能，请直接写出整数t 的值和对应全等三角形的对数；若不能，请说明理由．参考答案与试题解析29．【解答】解：（1）等边ABC ∆中，6AB =． 60A ∴∠=︒， 2AP x =， 3sin 22PD PD A AP x ∴∠===， 3PD x ∴=；（2）当点F 落在BC 边上时，如图1，ABC ∆为等边三角形，四边形PDEF 是矩形， //PF AC ∴，60FPB A B ∴∠=∠=∠=︒， PBF ∴∆为等边三角形， PF PB ∴=，2AP x =，3PD x =，3PF PD =，6AB =．3PF x ∴=，62PB x =-， 362x x ∴=-，65x ∴=；（3）当点E 和点C 重合时，如图2，由（2）知，PGF ∆为等边三角形，62PG PB x ∴==-，60PGB CGF ∠=∠=︒，四边形PDEF 是矩形，PD CF ∴=，90PDA F ∠=∠=︒， 60A ∠=︒， CGF A ∴∠=∠， PDA CFG ∴∆≅∆， GF AD x ∴==，32PG PF GF x x x ∴=-=-=， 622x x ∴-=，32x ∴=；点P 到终点B 时，如图3，ABC ∆为等边三角形，6AB =． 26AP x ∴==， 3x ∴=，①当605x<时：（如图4)23333y PD PF x x x =⋅=⋅=； ②当6352x<时：（如图5)22211933[3(62)]3330318322y x x x x x =---⋅=-+-；③当332x <时：（如图6)2133(626)332y x x x x =-+-=+．综上：222633(0)519633303183()25233363(3)22x x y x x x x x x ⎧<⎪⎪⎪=-+-<⎨⎪⎪-+<⎪⎩． 30．【解答】解：（1）ABD ECD ∆≅∆ECD B ∴∠=∠， 90BAC ∠=︒90ACB B ∴∠+∠=︒ 90ACB ECD ∴∠+∠=︒90ACE ∴∠=︒， ACE ∴∆是直角三角形（2）延长ED 至点G ，使得DG DE =，连接FG ，CG ，DE DG =，DF DE ⊥，DF ∴垂直平分DE ， EF FG ∴=， D 是BC 中点， BD CD ∴=，在BDE ∆和CDG ∆中，BD CD BDE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BDE CDG SAS ∴∆≅∆，BE CG ∴=，DCG DBE ∠=∠， 90ACB DBE ∠+∠=︒，90ACB DCG ∴∠+∠=︒，即90FCG ∠=︒，222CG CF FG +=， 222BE CF EF ∴+=；（3）连接AD ，AB AC =，D 是BC 中点，45BAD C ∴∠=∠=︒，AD BD CD ==， 90ADE ADF ∠+∠=︒，90ADF CDF ∠+∠=︒， ADE CDF ∴∠=∠，在ADE ∆和CDF ∆中， BAD C AD CDADE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ADE CDF ASA ∴∆≅∆，AE CF ∴=，BE AF =，17AB AC ==，12ABC AEDF S S ∆∴=四边形，1512302AEF S ∆∴=⨯⨯=，DEF ∴∆的面积116924ABC AEF S S ∆∆=-=． 31．【解答】解：（1）延长AD 至点E ，使得DE AD =，连接CE ；如图2所示： D 为BC 边上的中点， BD CD ∴=，在ABD ∆和ECD ∆中，BD CD ADB EDC AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ECD SAS ∴∆≅∆，6AB EC ∴==，在ACE ∆中，由三角形的三边关系得：AC EC AE AC EC -<<+，即106106AE -<<+， 4216AD ∴<<， 28AD ∴<<；故答案为：2，8；（2）①90CAB DAE ∠=∠=︒，3609090180CAD BAE ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒；故答案为：180︒；②2BE AF =，理由如下：延长AF 至G ，使GF AF =，如图3所示： F 为CD 的中点， DF CF ∴=，在GDF ∆和ACF ∆中，GF AF GFD AFC DF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()GDF ACF SAS ∴∆≅∆，DGF CAF ∴∠=∠，GD AC =， //DG AC ∴，180CAD GDA ∴∠+∠=︒，由①得：180CAD BAE ∠+∠=︒， GDA BAE ∴∠=∠， AC AB =， GD AB ∴=，在ADG ∆和EAB ∆中，DG AB GDA BAE AD EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADG EAB SAS ∴∆≅∆，AG BE ∴=， 2AG AF =，2BE AF ∴=．（3）作D H AF ⊥于H ，如图4所示：由（2）得：ADG EAB ∆≅∆，21AG BE ∴==，ADG ∆的面积EAB =∆的面积，DF CF =，12122GF AF AG ===，ACF ∴∆的面积ADF =∆的面积GDF =∆的面积，ACD ∴∆的面积2ADF =∆的面积ADG =∆的面积EAB =∆的面积，ABC ∆和ADE ∆为两个等腰直角三角形，17AC AB ==，10AD AE ==，ABC ∴∆的面积1289171722=⨯⨯=，ADE ∆的面积11010502=⨯⨯=，四边形BCDE 的面积为7252．ACD ∴∆的面积1725289(50)84222=⨯--=，ADF ∴∆的面积1116822AF DH =⨯=⨯，即112184222DH ⨯=⨯⨯，解得：8DH =，即点D 到线段AF 的距离为8；故答案为：8．32．【解答】解：（1）延长AD 至E ，使DE AD =，连接BE ，如图①所示， AD 是BC 边上的中线，BD CD ∴=，在BDE ∆和CDA ∆中，BD CD BDE CDA DE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BDE CDA SAS ∴∆≅∆，6BE AC ∴==，在ABE ∆中，由三角形的三边关系得：AB BE AE AB BE -<<+， 106106AE ∴-<<+，即416AE <<，28AD ∴<<；故答案为：28AD <<；（2）结论：2224AB AC AD +=．理由：延长AD 至E ，使DE AD =，连接BE ，如图②所示，由（1）可知：BDE CDA ∆≅∆，BA AC ∴=，E CAD ∠=∠，90BAC ∠=︒，90E BAE BAE CAD BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，90ABE ∴∠=︒，222AB BE AE ∴+=，2224AB AC AD ∴+=．（3）如图，延长ND 到E ，使得DN DE =，连接BE 、EM ．BD DC =，BDE CDN ∠=∠，DE DN =，BDE CDN ∴∆≅∆，BE CM ∴=．EBD C ∠=∠，90ABC C ∠+∠=︒，90ABD DBE ∴∠+∠=︒，MD EN ⊥，DE DN =，5ME MN ∴==，在Rt BEM ∆中，223BE EM ME =-=，3CN BE ∴==， 6AC =，AN NC ∴=，90BAC ∠=︒，BD DC =，AD DC BD ∴==，DN AC ∴⊥，在Rt AMN ∆中，224AM MN AN =-=，AM BM ∴=，DA DB =，D M AB ∴⊥，90AMD AND MAN ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AMDN 是矩形，5AD MN ∴==．33．【解答】解：（1）如图1中，OD AC ⊥，AD DC ∴=，AO OB =，6BC =，132OD BC ∴==．（2）如图2中，延长AD 到M ，使得D M AD =，连接BM ，CM ．AD D M =，BD CD =，∴四边形ABMC 是平行四边形，4BM AC ∴==，6AB =，6464AM ∴-<<+，即2210AD <<，15AD ∴<<．（3）①结论：EF CE =．理由：如图4中，延长CD 到M 使得DM CD =，连接BM ．AD DB =，ADC BDM ∠=∠，ADC BDM ∴∆≅∆，BM AC ∴=，M ACD ∠=∠，//BM AC ∴，CEF MBF ∴∆∆∽，∴EF CE BF BM=， ∴1EF CE BF AC m ==， BF mEF ∴=， (1)BE m EF ∴=+，在Rt BAE ∆中，2222(2)[(1)](1)BE AB AE mEC m EC m EC =++++， (1)(1)m EC m EF ∴+=+，EF CE ∴=．②结论：(1)CE m n EF n m +=+．理由：如图3中，作//BM AC 交CD 的延长线于M ．由ADC BDM∆∆∽，可得AD ACn BD MB==，AC BMn∴=，EC EFBM BF=，∴EC EFAC BFn=，AC mEC=，mBF EFn∴=，(1)mBE EFn∴=+，在Rt BAE∆中，2222(2)[(1)](1)BE AB AE mEC m EC m EC=++++，(1)(1)mm EC EFn∴+=+，∴(1)EC m nEF n m+=+．34．【解答】证明：（1）D是BC中点，BD CD∴=，在ABD∆与CED∆中BD CDADB CDEAD ED=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ECD SAS∴∆≅∆；（2）在ABC∆中，D是边BC的中点，ABD ADCS S∆∆∴=，ABD ECD∆≅∆，ABD ECDS S∆∆∴=，5ABDS∆=，5510ACE ACD ECDS S S∆∆∆∴=+=+=，答：ACE∆的面积为10．35．【解答】解：（1）点D是BC的中点，BD CD∴=，在EBD∆和GCD∆中，BD CDBDE CDGDE DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EBD GCD SAS∴∆≅∆，BE CG∴=，B DCG∠=∠，//BE CG∴，故答案为：BE CG=且//BE CG；（2）如图，连接GF，由（1）知EBD GCD∆≅∆，B GCD∴∠=∠，3BE CG==，又90A∠=︒，90B BCA∴∠+∠=︒，90GCD BCA∴∠+∠=︒，即90GCF∠=︒，3CG =，25CF=，2229FG CG CF∴=+=，DF DE⊥，且DE DG=，29EF FG∴==．36．【解答】解：（1）①延长FD到G，使得DG DF=，连接BG、EG．（或把CFD∆绕点D逆时针旋转180︒得到)BGD∆，CF BG∴=，DF DG=，DE DF⊥，EF EG∴=．在BEG∆中，BE BG EG+>，即BE CF EF+>．②若90A∠=︒，则90EBC FCB∠+∠=︒，由①知FCD DBG ∠=∠，EF EG =，90EBC DBG ∴∠+∠=︒，即90EBG ∠=︒，∴在Rt EBG ∆中，222BE BG EG +=，222BE CF EF ∴+=；（2）：①F 是AD 的中点，AF FD ∴=，在ABCD 中，2AD AB =，AF FD CD ∴==，DFC DCF ∴∠=∠，//AD BC ，DFC FCB ∴∠=∠，DCF BCF ∴∠=∠， 12DCF BCD ∴∠=∠，故此选项正确；②延长EF ，交CD 延长线于M ，四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，A M DF ∴∠=∠，F 为AD 中点，AF FD ∴=，在AEF ∆和DFM ∆中，A FDMAF DF AFE DFM∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()AEF DMF ASA ∴∆≅∆，FE MF ∴=，AEF M ∠=∠，CE AB ⊥，90AEC ∴∠=︒，90AEC ECD ∴∠=∠=︒，FM EF =，FC EF FM ∴==，故②正确；③EF FM =，EFC CFM S S ∆∆∴=，MC BE >，2BEC EFC S S ∆∆∴<故2BEC CEF S S ∆∆=错误；④设FEC x ∠=，则FCE x ∠=，90DCF DFC x ∴∠=∠=︒-，1802EFC x ∴∠=︒-，9018022703EFD x x x ∴∠=︒-+︒-=︒-，90AEF x ∠=︒-，3DFE AEF ∴∠=∠，故此选项正确．故答案为①②④．37．【解答】解：（一222)CD CE ED '+='，CD BD '=，D E D E ='， 222BD EC DE ∴+=．故答案为：222BD EC DE +=．（二222)BD EC DE +=．证明：如图3，将ABD ∆绕点A 逆时针方向旋转90︒得到ACD ∆'，连接ED '． 90BCD BCA ACD BCA B ∠'=∠+∠'=∠+∠=︒，222CD CE ED ∴'+=．90DAD BAC ∠'=∠=︒，45DAE ∠=︒，45D AE ∴∠'=︒，EAD EAD ∴∠'=∠．在ADE ∆和△AD E '中，AD AD EAD EAD AE AE ='⎧⎪∠=∠'⎨⎪=⎩，AD E ∴∆≅△()AD E SAS '，D E D E ∴='．又CD BD '=，222BD EC DE ∴+=．（三)正方形ABCD中，AB =，12BD ∴=．由翻折可知：90B ABC ADH ∠'=∠=︒=∠，AB AB AD '==．在ADH ∆和△AB H '中，AD AB AH AH ='⎧⎨=⎩， ADH ∴∆≅△()AB H HL '，12∴∠=∠．BAE B AE ∠=∠'，111145222EAG EAB BAB DAB BAD ∴∠=∠'-∠=∠'-∠'=∠=︒．由（二)可得：222BF GD FG +=．:4:5BF FG =，设4BF x =，5FG x ∴=，222(4)(5)x GD x +=，3DG x ∴=，4536BD BG DG x x x x ∴=-=+-=，2x ∴=，8BF ∴=．38．【解答】解：（1）①90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =， 229165BC AC AB ∴=+=+=，点D 是BC 的中点，90BAC ∠=︒，1522AD CD BD BC ∴====，故答案为：52； ②如图2，连接BE 交AD 于O ，将ABD ∆沿AD 翻折得到AED ∆，AE AB ∴=，DE DB =，AD ∴垂直平分BE ，OE BO ∴=，AD BE ⊥，1134622ABC S AC AB ∆=⨯⨯=⨯⨯=，且CD BD =， 132ADB ABC S S ∆∆∴==， ∴132AD OB ⨯=，125OB ∴=， 245BE ∴=， DE DB =，CD DB =，DE CD ∴=，ECD CED ∴∠=∠，DEB DBE ∠=∠，180ECD CED DEB DBE ∠+∠+∠+∠=︒， 90CEB ∴∠=︒，22576725255CE BC BE ∴=-=-=；（2）①将ABD ∆沿AD 翻折得到AED ∆，3AB AE ∴==，∴点E 在以A 为圆心，3为半径的圆上，∴点E 在AC 时，CE 有最小值，CE ∴的最小值431AC AE =-=-=，故答案为：1；②如图3，点D 从点B 运动到点C ，∴点E 运动轨迹是以A 为圆心，AB 为半径的半圆， ∴点E 运动的路径长31803180ππ⨯︒==︒，故答案为：3π．39．【解答】解：（1）结论：DA DB DC =+．理由：如图1，延长DC 到点E ，使CE BD =，连接AE ，ABC ∆是等边三角形，AB AC ∴=，60BAC ∠=︒，120BDC ∠=︒，180ABD ACD ∴∠+∠=︒，又180ACE ACD ∠+∠=︒，ABD ACE ∴∠=∠，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，AD AE ∴=，BAD CAE ∠=∠，60ABC ∠=︒，即60BAD DAC ∠+∠=︒，60DAC CAE ∴∠+∠==︒，即60DAE ∠=︒，ADE ∴∆是等边三角形，DA DE DC CE DC DB ∴==+=+，即DA DC DB =+，（2）结论：2DA DB DC =+，理由：如图2，延长DC 到点E ，使CE BD =，连接AE ，90BAC ∠=︒，90BDC ∠=︒，180ABD ACD ∴∠+∠=︒，180ACE ACD ∠+∠=︒，ABD ACE ∴∠=∠，AB AC =，CE BD =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，AD AE ∴=，BAD CAE ∠=∠，90DAE BAC ∴∠=∠=︒，222DA AE DE ∴+=，222()DA DB DC ∴=+，2DA DB DC =+；40．【解答】解：（1）DE DF =，DE DF ⊥，理由如下：如图1，连接AD ，ABC ∆为等腰直角三角形，点D 为BC 中点，AD BC ∴⊥，AD DB =，45B BAD DAC C ∠=∠=∠=∠=︒，在BDE ∆和ADF ∆中，BE AF B DAF BD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，21 ()BDE ADF SAS ∴∆≅∆DE DF ∴=，BD E AD F ∠=∠，90ADB ∠=︒，90BDE ADE ∴∠+∠=︒，90ADF ADE ∴∠+∠=︒，即90EDF ∠=︒，DE DF ∴⊥，综上所述，DE DF =，DE DF ⊥；（2）四边形AEDF 为正方形，理由如下：DA DB =，点E 为AB 中点，DE AB ∴⊥，DE AB ⊥，90BAC ∠=︒，DE DF ⊥，∴四边形AEDF 为矩形，DE DF =，∴四边形AEDF 为正方形；（3）当0t =时，CBF AGF ∆≅∆，共1对，当2t =时，ADE CDF ∆≅∆，BED AFD ∆≅∆，ABD ACD ∆≅∆，共3对，当4t =时，AGC CBA ∆≅∆，共1对．。