四色猜想四色猜想四色定理
科技馆 四色定理
科技馆四色定理一、四色定理的背景与意义四色定理，又称四色猜想，是图论中一个著名的未解决的问题。
它表述的是：对于平面上的任何一个封闭图形，只需用四种颜色进行着色，就可以保证任意两个相邻的区域都有不同的颜色。
这个问题源于19世纪，引起了无数数学家的兴趣，最终在20世纪70年代由Kenneth Appel和Wolfgang Haken证明。
四色定理的证明不仅解决了图论中的一个重要问题，也推动了数学的发展。
同时，它在计算机科学、工程学、电子工程和其他领域都有着广泛的应用。
二、四色定理的起源与发展四色定理的起源可以追溯到19世纪。
当时，英国的一位年轻地图绘制员Francis Guthrie提出，为什么地图上从未出现过五个或更多颜色的地图。
这引发了他对四色定理的思考。
然而，这个问题在接下来的几十年里一直未能得到解决。
尽管有数学家尝试证明或反驳这个定理，但都没有成功。
直到20世纪70年代，Kenneth Appel 和Wolfgang Haken利用计算机和复杂的数学工具，完成了四色定理的证明。
三、四色定理的证明方法Kenneth Appel和Wolfgang Haken采用了计算机辅助证明的方法，利用了大量的组合数学和图论知识。
他们通过构造一个庞大的表格，记录了所有可能的情况，然后利用计算机对这些情况进行检查，最终证明了四色定理。
四、四色定理在地图绘制中的应用四色定理在地图绘制中有着广泛的应用。
它保证了可以用四种颜色对任意一个封闭的地图进行着色，从而避免了因颜色重复而产生的混淆。
这大大简化了地图绘制的过程，使得地图更加准确和易于理解。
五、四色定理在计算机图形学中的应用在计算机图形学中，四色定理也被广泛应用。
例如，在绘制复杂的图形或模拟自然现象（如气候模型）时，可以利用四色定理进行着色。
此外，在计算机图形学中，四色定理也常被用于检测和纠正几何形状的错误。
六、四色定理在电路板设计中的应用在电路板设计中，四色定理也有着重要的应用。
四色问题又称四色猜想,是世界近代三大数学难题之一
四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。
四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”（右图）这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。
”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家汉密尔顿爵士请教。
汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的”（左图）。
如为正规地图，否则为非正规地图（右图）。
一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。
四色定理
解决历程
1.猜想的诞生 2.问题的提出
3.问题的证明
猜想的诞生
地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英国大学生提出来 的。德· 摩尔根Augustus De Morgan180618711852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四 色定理来源的最原始的记载。四色问题又称四色猜想是世界近代三大数学难题之一。 四色猜想的提出来自英国。1852年毕业于伦敦大学的弗南西斯· 格思里来到一家科研单位搞地图 着色工作时，发现了一种有趣的现象“看来每幅地图都可以用四种颜色着色使得有共同边界的 国家都被着上不同的颜色。”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟 弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作 没有进展。 1852年10月23日他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德· 摩尔根。摩尔根 也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密顿爵士请教。汉 密尔顿接到摩尔根的信后对四色问题进行论证。但直到1865年汉密尔顿逝世为止问题也没有能 够解决。
如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立只要
证明不存在一张正规五色地图就足够了。
问题的证明
肯普是用归谬法来证明的。大意是如果有一张正规的五色地图就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图”。 如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个。就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的。这样一 来就不会有极小五色地图的国数也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是
缓慢的进展
当时由大数学家黎曼，康托尔，庞加莱等创立的拓扑学之发展可谓一日千里后来竟然盖过大数学家 高斯宠爱的数论成为雍荣华贵的数学女王。四色问题就是属于拓扑学范畴的一个大问题。拓扑学不 仅引进了全新的研究方式，对数学家来说他也是一场革命。回顾拓扑学的的历史就可以说明为什么 四色问题对于20世纪数学来说是重要的。通俗的说连续变换就是你可以捏，拉一个东西但不能将其 扯破也不能把原先不在一起的两个点黏在一起。比如26个大写英文字母一些拓扑学家就认为可将其 分为3类。
四色定理算法
四色定理算法四色定理（four color map theorem）是一个著名的数学定理[1]，即对任意的（平面上的）地图染色，要求相邻的国家颜色不同，四种颜色即可完成着色。
南非数学家法兰西斯·古德里在1852年提出“四色问题”或“四色猜想”。
证明宽松一点的“五色定理”（即“只用五种颜色就能为所有地图染色”）很容易，但是四色定理证明持续了很长时间。
四色定理不是地图学的定理，四色定理是第一个由计算机证明的数学定理。
1976年，哈肯及其学生在伊利诺伊大学（即现在UIUC）的IBM360电脑上编程，经过电脑1200小时的验证，他们终于在6月证明四色定理。
1976年6月22日，哈肯和阿佩尔在于多伦多大学召开的美国数学学会（A.M.S.）夏季会议公布他们的结果。
不久，伊利诺伊大学数学系的邮戳上加上了“四种颜色就够了”（FOUR COLORS SUFFICE）的一句话，以庆祝四色猜想得到解决。
1977年，哈肯和阿佩尔将结果写成名为《任何平面地图都能用四种颜色染色》（Every planar map is four colorable）的论文，分成上下两部分，发表在《伊利诺伊数学杂志》（Illinois Journal of Mathematics）上[2][3].这是现在伊利诺伊大学大学厄巴纳香槟分校数学系主楼（离我们CyberGIS办公楼大约2分钟步行距离）。
我和同事曾在午饭后参观过UIUC数学楼，学术氛围非常浓厚。
四色定理被证明后，经历了十几年争议、修正和改进的过程。
1986年，哈肯和阿佩尔应《数学情报》杂志的邀请，发表了1篇清晰易懂的证明总结文章，1989年的最终的定稿超过400页（貌似图论中的经典定理证明都比较长）。
四色定理不是地图学定理，但它是地图学的经典问题。
地图设计的专著中对四色定理描述很少。
四色定理在地图中的应用其实没有想象的那么广，其实原因比较多，第一个是地图着色中可能会有飞地，即两个不连通的区域属于同一个国家（例如美国的阿拉斯加州），而地图着色时仍需要这两个区域涂上同样颜色。
地图的“四色猜想”
地图的“四色猜想”任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字（右图）这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。
”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家汉密尔顿爵士请教。
汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的”（左图）。
如为正规地图，否则为非正规地图（右图）。
一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。
四色定理的证明范文
四色定理的证明范文一、四色问题的简介根据网络上的一些内容，可知：四色猜想是说，任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
也就是说，在不引起混淆的情况下，一张地图只需四种颜色来标记就行。
用数学语言来说就是，将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
简单来说也就是，给平面或球面上的任意一张地图上色，使得相邻国家异色，那么至少需要预备几种颜料几种颜色？是否可以只预备四种颜色？在长期的论证过程中，人们发现，大量的试涂表明，四种颜色够用。
人们证明，三种颜色是不够用的，五种颜色肯定够用，四种颜色也够用（计算机证明）。
人们还证明，二维平面内无法构造五个或五个以上两两相邻区域。
在四色问题中假设相邻关系是指两个国家有一段或多段共同边界，是指有邻边，不是指有邻点。
假设没有公地，所有国家都直接接壤（分别相邻），或者间接接壤（分别相连）。
假设没有飞地，国土连通。
飞地相当于任意指定一些他国属于国，则四色肯定不够用了。
假设国家的面积都足够大，不是一丁点、一个点。
假设国家的数量有限，不是无限多。
假设国家的形状任意。
这可以是五花八门，变化莫测，花样繁多，譬如像麋鹿的剪影：在四色问题中需要考虑任意地带的上下方面的相邻情况，左右方面的相邻情况，内外方面的相邻情况，首尾衔接（例如圆周中）的相邻情况，跨越跳跃（例如国形状像拱桥、麋鹿、藤蔓、交际花，与诸多位置的国家们接壤）着的相邻情况，等等。
需要考虑各国的排序，需要考虑上色的顺序。
因为许多国家相邻相连，交织交错，来来往往，层层叠叠，那么从多个方向来上色的话，齐头并进来上色的话，就会互相遭遇、碰头，在交汇点上可能发生冲突，难以协调、确定国的颜色，使得问题复杂，影响证明的进行。
二、四色定理的证明一个平面或球面上的点是无限小、无限多，或者是足够小、非常多。
令这些点各自随机选择红黄蓝三色的一种，再做布朗运动。
选修课之四色问题课件
在学校或企业的时间表安排中，为避免同一时间段内的冲突，可以 将时间段视为节点，利用四色定理进行着色，从而合理安排各项活 动。
交通规划
在交通规划中，可以利用四色定理对交通网络进行划分和着色，以便 更有效地组织交通流，降低交通拥堵的风险。
05
课程总结与回顾
课程知识点总结
四色问题的提出与背景
四色学史上的一个著名 难题，其解决过程推动了数学理 论和方法的发展，尤其是图论和
组合数学领域。
实际应用
四色问题的解决方案在地图制作 、电路板设计、时间表安排等方 面有着广泛的应用，提高了这些
领域的效率和优化程度。
计算机科学价值
在证明四色问题的过程中，数学 家们开创了使用计算机辅助证明 数学定理的先河，对计算机科学
• 证明难点：四色问题的证明是数学史上的一个著名难题，难点在于如何找到一 种普遍适用的着色方法，以及如何严格证明该方法的正确性。
• 早期尝试：早期的研究者通过大量的实验和观察，提出了一些猜想和局部证明 ，但均未能给出完整的解决方案。
• 现代证明：借助计算机技术和高级数学理论，Appel和Haken在1976年提出 了一种基于计算机辅助的证明方法，被公认为是四色问题的首个完整证明。但 此方法涉及大量计算和复杂的数学理论，难以被一般人所理解。
相关定理与推论
介绍与四色问题相关的定理和推论， 如五色定理、六色定理等，拓展学生 的视野。
课程学习过程中的回顾与反思
1 2 3
学习方法的探索
回顾在学习过程中尝试的不同方法，如阅读教材 、听讲座、与同学讨论等，分析各种方法的优缺 点。
遇到的挑战与解决策略
反思在学习过程中遇到的挑战，如概念理解困难 、证明过程复杂等，并分享解决这些挑战的策略 。
四色猜想
COLORS SUFFICE)，加盖在当时的信件上。
拓展了人们对“证明”的理解
• 由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯
和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从
根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学
家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
•
德•摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少
要四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。
• 但德· 摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给了其他数
学家,其中包括著名数学家哈密顿。
• 但这个问题当时没有引起数学家的重视。 • 直到1878年,英国数学家凯莱对该问题进行了一番思考后， 认为这不是一个可以轻易解决的问题，并于当年在《伦敦数 学会文集》上发表了一篇《论地图着色》的文章,才引起了
更大的注意。
• 1879年，一位英国律师肯泊在《美国数学杂志》上 发表论文，宣布证明了“四色猜想”。
• 但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的 证明中有严重错误。
• 一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难，
这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。 • 实际上，对于地图着色来说,各个地区的形状和大小并不重 要,重要的是它们的相互位置。 • 下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从数学上看,
Hale Waihona Puke 四色问题的解决• 直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前
人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。
• 到1976年6月,他们终于获得成功。他们使用了3台
IBM360型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于证
明了四色猜想。
• 这是一个惊人之举。当这项成果在1977年发表时, 当地邮局特地制作了纪念邮戳"四色足够"(FOUR
四色猜想四色猜想四色定理
四色猜想 -四色猜想四色定理地图四色定理(Four color theorem) 最初是由一位叫古德里 Francis Guthrie 的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使拥有共同界限的国家着上不一样的颜色。
”用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的地区每一个地区总能够用 1234 这四个数字之一来标志而不会使相邻的两个地区获得相同的数字。
”这里所指的相邻地区是指有一整段界限是公共的。
假如两个地区只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
由于用相同的颜色给它们着色不会惹起混杂。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使拥有共同界限的国家着上不一样的颜色。
”也就是说在不惹起混杂的状况下一张地图只要四种颜色来标志就行发展历史可是状况也不是过分消极。
数学家希奇早在 1936年就以为议论的状况是有限的可是特别之大大到可能有 10000种。
关于巨大而有限的数，最好由谁去对付？今日的人都理解：计算机。
从 1950年起希奇就与其学生丢莱研究如何用计算机去考证各样种类的图形。
这时计算机才刚才发明。
两人的思想堪称十分超前。
1972 年起黑肯与阿佩尔开始对希奇的方法作重要改良。
到 1976 年他们以为问题已经压缩到能够用计算机证明的地步了。
于是从 1 月份起他们就在伊利诺伊大学的 IBM360 机上分 1482 种状况检查历时 1200 个小时，作了 100 亿个判断最后证了然四色定理。
在当地的信封上盖“Fourcolorssutfice 四色”，足够了的邮戳就是他们想到的一种流传这一惊人消息的新奇的方法。
人类破天荒运用计算机证明有名数学猜想应当说是十分惊动的。
欣赏者有之，思疑者也许多，由于真实确性一时不可以一定。
以后也确实有人指出其错误。
1989 年，黑肯与阿佩尔发布文章声称错误已被改正。
1998 年托马斯简化了黑肯与阿佩尔的计算程序但仍依靠于计算机。
不论如何四色问题的计算机解决给数学研究带来了很多重要的新思想。
四色定理
谢谢观看
不过，郝伍德没有彻底否定肯普论文的价值，运用肯普发明的方法，郝伍德证明了较弱的五色定理。一方面， 五种颜色已足够，另一方面，确实有例子表明三种颜色不够。
肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的“极小正规五色地 图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的， 这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问 题”，但是后来人们发现他错了。四色Βιβλιοθήκη 理世界近代三大数学难题之一
01 简史
目录
02 影响
四色定理（世界近代三大数学难题之一），又称四色猜想、四色问题，是世界三大数学猜想之一。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”也就是说在 不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行。
用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记 而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只 相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
人们发现四色问题出人意料地异常困难，曾经有许多人发表四色问题的证明或反例，但都被证实是错误的。 后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实 是一个可与费马猜想相媲美的难题。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。
1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫利用肯普的想法，结合自己新的设想；证明了某些大的构形 可约。后来美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。
四色猜想简介
四色猜想
四色问题，又称四色定理，是一个著名的图论问题，提出的问题是：是否可以使用四种颜色来给地图上的每两个相邻的国家着色，使得相邻的国家颜色不同？以下是对四色问题的详细介绍：
历史：四色问题最早可以追溯到19世纪，当时英国数学家弗朗西斯·格斯特提出了这个问题。
随后，数学家们开始尝试寻找问题的解决方法。
这个问题一直引发数学家和研究人员的兴趣，成为了数学领域中的一个经典问题。
问题陈述：四色问题的陈述是，给定一个平面地图，可以使用四种颜色来着色地图上的每一个国家，使得任意相邻的两个国家使用的颜色不同。
研究和尝试：四色问题在长时间内没有得到解决。
许多数学家试图寻找解决方法，但都没有成功。
该问题被证明是非常复杂的，需要复杂的图论和计算方法。
定理证明：直到1976年，美国数学家肯尼斯·阿佩尔（Kenneth Appel）和沃夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）使用计算机辅助证明了四色问题的一个特殊情况，也就是每个地图都可以用四种颜色来着色。
这个证明引发了一些争议，因为它涉及到大规模的计算机搜索，不是传统的数学证明方法。
尽管如此，该证明被广泛接受，四色问题也被认为已经解决。
问题的一般化：尽管四色问题的一个特殊情况已经得到解决，但问题的一般化仍然是一个开放的数学问题。
研究人员继续探讨类似的问题，例如在三维空间中的着色问题。
总的来说，四色问题代表了数学中一个重要的解决问题的历程。
虽然该问题的证明涉及了计算机的使用，但它引导了图论和离散数学等领域的研究，对计算机科学和数学有着深远的影响。
四色问题的解决也是数学中的一个重要里程碑。
2。
四色定理
四色定理四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。
德·摩尔根（Augustus De Morgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。
四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。
基本介绍四色问题又称四色猜想、四色定理是世界近代三大数学难题之一。
地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里FrancisGuthrie的英国大学生提出来的。
德·摩尔根Augustus De Morgan180618711852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。
他在信中简述了自己证明四色定理的设想与感受。
一个多世纪以来数学家们为证明这条定理绞尽脑汁所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。
1976年美国数学家阿佩尔K.Appel与哈肯W.Haken宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明又为用计算机证明数学定理开拓了前景。
地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行发展历史：来自地图的启示相传四色问题是一名英国绘图员提出来的此人叫格思里。
轰动全球的四色问题
轰动全球的四色问题1、“四色猜想”的由来1852年，刚从大学毕业的学生弗南西斯·葛斯里，在对英国地图着色的时候，发现一个很有趣的现象。
对无论多么复杂的地图，只消用四种色调就足以将相邻区域分开。
弗南西斯感到这绝不是一个偶然现象，其中说不定隐藏着某种深刻的科学道理哩。
他把自己的想法告诉胞兄弗德雷克·葛斯里，请他解决。
后者是著名数学家德·摩根教授的学生。
他对弟弟提出的问题很感兴趣，并敏锐地感到，这个地图着色问题很可能是个数学问题，于是准备给出数学证明。
尽管他绞尽脑汁，却百思不得其解。
当年10月23日，弗德雷克第一次用数学的形式作为“四色定理”请求德·摩根给以证明。
摩根教授对自己的学生所提出的定理有着浓厚的兴趣，当即写信将这事告诉了他在三一学院时的学友、著名数学家和物理学家哈密尔顿爵士: “我的一个学生今天要我为他提供一个充分的理由，来说明一件我自己还无法判明究竟是对的还是错的事实。
他说，如果画一张图，图上任意分成许多部分，凡是有共同边界线的两部分要涂上不同的颜色。
那么，大概需要四种颜色，而不需要更多的颜色就可以了。
请问：难道不能够构造出一个需要五种或者更多种颜色的图么？图1摩根教授期望这位智慧超人的超复数的缔造者能够给出答案。
哈密尔顿爵士根本没有想到，一个学生提出的这样一个简简单单的问题，居然会如此意想不到的困难。
他经过长达13年的冥思苦索，直到1865年逝世为止，对此染色定理，始终一筹莫展，毫无结果。
哈氏死后13年，1878年6月13日，一位当时很有名望的数学家凯莱，在数学年会上宣读他曾在伦敦数学会会刊上发表过的一篇文章时，将上述问题归纳为“四色猜想”。
并在 1879年英国皇家地理会创办的第一期会刊上，再次提及这个“猜想”，征求对这一“猜想”的正确解答。
川凯莱的文章和讲话，引起了很大的反响，吸引了一大批很有才华的有志之士去探索这一难题的奥秘。
值得一提的是，在这群有志之士中，有的人并不是以数学为专业的，而仅仅是对“四色猜想”着了迷而改攻数学的。
四色问题 四色
著名数学家奥古斯都·德·摩根也没有能找到解决这个问题的途径，著 名数学家威廉·哈密顿对四色问题进行论证。但直到1865年哈密顿逝世为 止，问题也没有能够解决。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交 了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从 此也就解决了。
“四色问题”的被证明仅解决了一个历时100多年 的难题，而且成为数学史上一系列新思维的起点。
在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理论随之产生， 也发展了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题化为图论 问题，丰富了图论的内容。
不仅如此，“四色问题”在有效地设 计航空班机日程表，设计计算机的编码 程序上都起到了推动作用。
数学语言：将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个 区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相 邻的两个区域得到相同的数字。 （相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域 只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。）
四色猜想的提出:
英国毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色 工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着 色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。他和在大学读书的弟弟 格里斯决心试一试,可是研究工作没有进展。
实际应用
虽然任何平面地图可以只用四个颜色着色， 但是这个定理的应用是有限的 现实中的地图常会出现飞地，即两个不连 通的区域属于同一个国家的情况（例如美国的 阿拉斯加州），而制作地图时我们仍会要求这 两个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下， 只用四种颜色将会造成诸多不便。 实际中用四种颜色着色的地图是不多见的， 而且这些地图往往最少只需要三种颜色来染色。 此外，即便地图能够只用四种颜色染色，为了 区分起见，也会采用更多的颜色，以提示不同 地区的差别。
四色定理
定理的提出
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学 会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。 世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。 1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普(Alfred Kempe) 和泰勒(Peter Guthrie Tait)两人分别提交了证明四色猜想的论文， 宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。 肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其 他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是 “正规的”（左图）。如为正规地图，否则为非正规地图（右 图）。一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起， 但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色， 如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五 色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地 图就足够了。
利用三角形和数学归纳法证明
利用三角形和数学归纳法证明
证明 在平面图中，不在同一直线上的三点决定一个平面，那么 三点构成的三角形是平面图中最基本、最简单、最稳定、密闭 的图形。 由于在对地图着色过程中不考虑图的具体形状只考虑点是 否相邻，将平面图的不相连点使其相连（这样增加着色难度）， 形成有许多三角形相连的平面图（三点以下肯定成立）。如图1： 添加辅助线（不相邻的点使其相邻，这样就增加了着色的色数， 有利于证明），将图1分解为４个△ABC。 在平面图中的无数点中，任取相邻三点构成各点相邻的 △ABC（见图2），则需3种颜色A B C,在平面图中再任取一点 D 与 A B C 三点相邻,同时D又与A B C三点相连后形成三角形。任取 一点E与 A、B、C、D四色相连，E必与四色之一色相同即E点在 △ABD中与C色相同、在△ACD中与B色相同、在△BCD中与A色相 同、在△ABC外与D色相同，E与另外三色相连形成新的三角形。 在三角形的三点之外任取一点只有在三角形的内部和外部 两种情况且这两种情况的点不会相邻，该点最多与三角形的三 点相连且又形成新的三角形。
四色猜想的逻辑证明
四色猜想的逻辑证明概要：平面或球面上两个区域相邻有且只有两种方式，按照这两种方式构成相邻关系，依次由2个、3个、4个直至足够多个不同区域，可以构成任意可能的地图。
本文提出增色定理，围绕该定理，给出四色猜想的证明。
四色定理的本质，是指在平面或者球面上最多只能构造四个两两相邻的区域。
证明这一点，只须例举出全部四个区域相邻的情形即可。
四色猜想的提出四色猜想是弗伦西斯·格斯里（FrancisGuthrie1831-1899）提出的，1852年他在给弟弟的信中写到：“每幅地图都可以只用四种颜色着色，使得有公共边界的相邻国家着上不同的颜色。
”四色猜想又称四色定理、四色问题。
格斯里的话中包含两个需要明确的概念：一个是相邻；另一个是国家，即平面或球面上的一个区域。
为此给出两个定义。
单连通：一个区域内的任何两点，如果可以在其内部（即不穿过其边界）用一条曲线相邻，则称这个区域是单连通的。
四色猜想中涉及到的区域均指的是单连通区域。
相邻：平面或球面上的两个区域，如果只有一条公共边界，就说这两个区域是相邻的。
两种基本相邻关系平面或球面上，A、B两个区域相邻有且只有两种方式：一种是，A区域的部分边界与B区域的部分边界相邻；另一种是，A区域的全部边界与B区域相邻，即A区域被B区域所包围（无需考虑A区域与B区域完全重合的情形，因为这在四色问题上没有意义）。
需要指出的是，图中的红色与绿色可以互换，即，当只有两个区域相邻时，下图中的区域A 与区域B是等价的：哪一个为红色，哪一个为绿色，意义是一样的（在下文的表述中同样的情形不再说明）。
按照这两种方式构成相邻关系，能够由最初的两个区域相邻，依次到由3个、4个直至足够多个不同区域，以任意可能的方式相邻构成全部可能的地图。
同时，该构成地图的过程是可逆的，即能够以与之相反的方式，将任意地图还原为最初两个区域构成的地图。
设想有一张由m+1个区域构成的地图，它显然可以视为由m个区域与某一个区域A以任意可能的方式相邻构成的。
最终被计算机所证明的百年数学难题——四色定理
和费马大定理，庞加莱猜想一样， 四色定理 也是那种叙述起来非常简单，证明起来却极其困难的百年数学难题。
但四色定理非常特殊的一点在于，它的最终证明并不是传统的数学逻辑证明，而是借助计算机分析所有可能的情形后完成的。
这也就是说，四色定理的证明迄今为止仍非单独的人力所能及，我们仍然没有找到理论上的逻辑证明，但借助计算机强大的计算能力，的确又可以解决这个难题。
四色猜想四色猜想最早并不是由职业数学家提出的，而是由从事地图制作的 费兰西斯.古色利（Francis Gurthire）发现的。
在为不同的地图着色过程中，细心的古色列发现，对于相邻(具有公共边界)的地区，若它们着不同颜色，那么只要四种颜色就可以完成这张地图。
好奇心强烈的古色列对这个猜想的正确性非常感兴趣，但苦于自己不具备专业的数学知识，于是他将这个问题告诉了自己在伦敦大学学数学的弟弟 费雷德里克·古色利（Frederick Guthrie），但弟弟也无能为力，后来他又寻求老师，著名数学家 德·摩根(deMorgan,1806~1871，提出了集合论中著名的德·摩根定律) 的帮助。
但令兄弟二人震惊的是，即使是德·摩根这样出色的数学家也对这个问题无能为力。
德·摩根但德·摩根算得上是四色猜想的第一位先驱，实际上他证明了至少需要四种颜色，并且因此留下了关于四色猜想最早的正式文字记录。
同样，德·摩根向许多当时著名的数学家咨询过这个问题，但都一无所获，直到英国著名数学家 凯莱(ArthurCayley，1821～1895，矩阵论创始人) 在1878年向伦敦数学会提交这个问题后，四色猜想才开始广为人知，并吸引了众多数学家来研究这个问题。
凯莱在凯莱正式向数学界提出四色猜想后不到一年时间内，毕业于剑桥大学数学系的律师 肯普(Kempe)给出了一个看似正确的证明，但直到十一年后， 希伍德(Heawood) 才发现了肯普证明中的错误，由此证明四色猜想的努力再次破产。
四色猜想 四色定理
四色猜想四色定理地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
用数学语言表示即将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色问题的内容是任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行发展历史不过情况也不是过分悲观。
数学家希奇早在1936年就认为讨论的情况是有限的不过非常之大大到可能有10000种。
对于巨大而有限的数，最好由谁去对付？今天的人都明白：计算机。
从1950年起希奇就与其学生丢莱研究怎样用计算机去验证各种类型的图形。
这时计算机才刚刚发明。
两人的思想可谓十分超前。
1972年起黑肯与阿佩尔开始对希奇的方法作重要改进。
到1976年他们认为问题已经压缩到可以用计算机证明的地步了。
于是从1月份起他们就在伊利诺伊大学的IBM360机上分1482种情况检查历时1200个小时，作了100亿个判断最终证明了四色定理。
在当地的信封上盖Four colorssutfice四色，足够了的邮戳就是他们想到的一种传播这一惊人消息的别致的方法。
人类破天荒运用计算机证明著名数学猜想应该说是十分轰动的。
赞赏者有之，怀疑者也不少，因为真正确性一时不能肯定。
后来也的确有人指出其错误。
1989年，黑肯与阿佩尔发表文章宣称错误已被修改。
1998年托马斯简化了黑肯与阿佩尔的计算程序但仍依赖于计算机。
无论如何四色问题的计算机解决给数学研究带来了许多重要的新思维。
问题影响一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四色猜想-四色猜想四色定理
地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie 的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜
色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行发展历史
不过情况也不是过分悲观。
数学家希奇早在1936年就认为讨论的情况是有限的不过非常之大大到可能有10000种。
对于巨大而有限的数，最好由谁去对付？今天的人都明白：计算机。
从1950年起希奇就与其学生丢莱研究怎样用计算机去验证各种类型的图形。
这时计算机才刚刚发明。
两人的思想可谓十分超前。
1972年起黑肯与阿佩尔开始对希奇的方法作重要改进。
到1976年他们认为问题已经压缩到可以用计算机证明的地步了。
于是从1月份起他们就在伊利诺伊大学的IBM360机上分1482种情况检查历时1200个小时，作了100亿个判断最终证明了四色定理。
在当地的信封上盖“Four colorssutfice”四色，足够了的邮戳就是他们想到的一种传播这一惊人消
息的别致的方法。
人类破天荒运用计算机证明著名数学猜想应该说是十分轰动的。
赞赏者有之，怀疑者也不少，因为真正确性一时不能肯定。
后来也的确有人指出其错误。
1989年，黑肯与阿佩尔发表文章宣称错误已被修改。
1998年托马斯简化了黑肯与阿佩尔的计算程序但仍依赖于计算机。
无论如何四色问题的计算机解决给数学研究带来了许多重要的新思维。
问题影响
一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。
在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。
如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。
四色猜想不仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。
实际应用
虽然任何平面地图可以只用四个颜色着色，但是这个定理的应用却相当有限，因为现实中的地图常会出现飞地，即两个不连通的区域属于同一个国家的情况，而制作地图时我们仍会要求这两个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下，只用四种颜色将会造成诸多不便。
实际中用四种颜色着色的地图是不多见的，而且这些地图往往最少只需要三种颜色来染色。
此外，即便地图能够只用四种颜色染色，为了区分起见，也会采用更多的颜色，以提示不同地区的差别。
四色原理的一种逻辑证明
地图上任何一个区域必将存在邻域，且又通过邻域与其他非邻域发生间接联系，我们可以将任何一个地图以图论图形的表示出来。
假设存在一张至少需要m种着色的地图，那么决定该地图必须要用m种着色的条件有且只有一个，即该地图至少存在这样一个区域Q，与该区域相邻的
所有区域必须满足m-1着色。
首先满足这个条件后，Q只能用第m种颜色，其次如果这个推论一是错误的，对于m着色地图不存在这样的区域，那么地图上任何一个区域的邻域只能满足少于m-1的着色，那么整个地图势必不需要m中颜色，这与假设相矛盾，所以这是一个充分必要条件。
假设随意取一张任意结构的至少m 着色的地图M，其上满足上述条件的区域有n个，那么将图论图形中的这n个区域及其与邻域的关系线我们可以全部去掉，这样我们就将构建一个至少m着色地图M的问题转化成了一个在至少需要m-1着色地图上添加n个满足推论一条件的区域问题。
如果五着色地图存在且能构建成功，那么必然存在构建这样五着色的四着色模型图，而要存在这样的四着色模型图必然存在构建该四着色的三着色模型图，同理要存在这样的三着色模型图必然要存在构建它的二着色模型图，那
么我们来构建一下五色图是否存在：二着色地图是由一着色而来的一种简单的着色地图模型，我们很容易得到满足二着色的地图仅有的两种类型的结构，一种是不闭合的链状结构，如图一；另一种是由第一种衍生出来的闭合的环状结构且环所联系的区域为偶数个，称为偶数环，如图二。