四色定理的简单证明
“四色定理”简捷证明(完整版)
“四色定理”简捷证明王若仲（王洪）贵州省务川自治县实验学校贵州564300摘要：1852年，毕业于伦敦大学的格斯里（FrancisGuthrie）来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。
这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题，世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。
就在1976年6月，在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，结果没有一张地图是需要五色的，最终证明了四色定理。
我发现“四色定理”还有一种简捷的证明方法，就是利用球面几何的知识来证明“四色定理”。
关键词：四色定理；球面几何；线段；相交中图分类号：0156引言1852年，毕业于伦敦大学的格斯里（FrancisGuthrie）来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。
这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和他正在读大学的弟弟决心试一试，但是稿纸已经堆了一大叠，研究工作却是没有任何进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密顿爵士请教，但直到1865年哈密顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题，世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普(Alfred Kempe)和泰勒(Peter Guthrie Tait)两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。
四色定理的证明范文
四色定理的证明范文一、四色问题的简介根据网络上的一些内容，可知：四色猜想是说，任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
也就是说，在不引起混淆的情况下，一张地图只需四种颜色来标记就行。
用数学语言来说就是，将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
简单来说也就是，给平面或球面上的任意一张地图上色，使得相邻国家异色，那么至少需要预备几种颜料几种颜色？是否可以只预备四种颜色？在长期的论证过程中，人们发现，大量的试涂表明，四种颜色够用。
人们证明，三种颜色是不够用的，五种颜色肯定够用，四种颜色也够用（计算机证明）。
人们还证明，二维平面内无法构造五个或五个以上两两相邻区域。
在四色问题中假设相邻关系是指两个国家有一段或多段共同边界，是指有邻边，不是指有邻点。
假设没有公地，所有国家都直接接壤（分别相邻），或者间接接壤（分别相连）。
假设没有飞地，国土连通。
飞地相当于任意指定一些他国属于国，则四色肯定不够用了。
假设国家的面积都足够大，不是一丁点、一个点。
假设国家的数量有限，不是无限多。
假设国家的形状任意。
这可以是五花八门，变化莫测，花样繁多，譬如像麋鹿的剪影：在四色问题中需要考虑任意地带的上下方面的相邻情况，左右方面的相邻情况，内外方面的相邻情况，首尾衔接（例如圆周中）的相邻情况，跨越跳跃（例如国形状像拱桥、麋鹿、藤蔓、交际花，与诸多位置的国家们接壤）着的相邻情况，等等。
需要考虑各国的排序，需要考虑上色的顺序。
因为许多国家相邻相连，交织交错，来来往往，层层叠叠，那么从多个方向来上色的话，齐头并进来上色的话，就会互相遭遇、碰头，在交汇点上可能发生冲突，难以协调、确定国的颜色，使得问题复杂，影响证明的进行。
二、四色定理的证明一个平面或球面上的点是无限小、无限多，或者是足够小、非常多。
令这些点各自随机选择红黄蓝三色的一种，再做布朗运动。
四色定理的简短证明
四色定理的简短证明四色定理的简短证明虽然我们用计算机证明了四色定理，但正如汤米·R·延森和比雅尼·托夫特在《图染色问题》一书中问的：“是否存在四色定理的一个简短证明，……使得一个合格的数学家能在（比如说）两个星期里验证其正确性呢？”四色定理是一个著名的数学定理：如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；另一个通俗的说法是：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。
自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据20世纪80-90年代中国曾邦哲从系统论观点（结构论）将其命题转换为“四色定理”等价于“互邻面最大的多面体是四面体”的问题，也就是点之间相互的联线超过3的是立体，而每增加一个点或表面时必然分割一条线或一个面，也就使分割开的不互邻面或联线可以重复使用一种颜色；因此，增加一个面同时也增加一次可重复使用同一种颜色。
拓扑学的概念来定义拓扑学拓扑学如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
;x大于1为偶数的时候，y=2.四色定理成立的公式为，y定，表示所需的颜色总数，y表示任何一个国家与之接壤的国家个数x与需要颜色y的关系，y定=y+1.y最大值为3，所以y定最大值是4.以上如果正确，或许对于数学的进步也是一种阻碍。
以上的论证，我自己都感到过于简单，并且没有用到拓扑学，对于是否能够证明四色定理，欢迎大家的参与。
2013年12月31日16:59:41吴兴广参考文献:[1]四色定理百度百科【2】《数学公式1+1=1/2的成立》小马吃鱼。
四色定理的证明
四色定理的证明
王为民（四川南充龙门中学）
四色定理：每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
证明：
公理：平面地图上，只有一点相邻的区域不增加颜色的种类，至少有一边相互相邻才增加颜色的种类。
可以假设平面地图上的区域原来只有一个，后来分出了无数的区域，但是，证明只需要四种颜色就可以把它们区分出来就可以了。
1、地图上的一个区域。
2、在这个区域内部增加一条线（封闭的或不是封闭的）将其一分为二，就增加一个区域，变成两个相互相邻区域，也就增加一种颜色。
3、在它们的相互相邻边上增加一个区域，变成三个相互相邻的区域，又增加一种颜色。
4、选择在三个区域相邻的点再增加一个区域，变成四个相互相邻边的区域，又增加一种颜色，共有四种颜色。
5、在这样的情况下，无论在什么位置选择新增加一个新的的区域，都不能做到五个区域的边相互相邻。
也就不能增加区分区域颜色的种类。
在拓扑学中，一个结论就是平面上没有五个点可以用9条线互不相交而相连，但是，第10条一定画不出不相交的线。
这就是“本证明重点问题：在平面上画不出五个有边都相互相邻的区域。
”的原因。
6、我们无论在一个新的什么区域或地图的任意交界或不交界位置，无论怎样重复或2或3或4或5这些步骤，把平面上的一个区域分成无论怎样的形状，可得到任意形状的地图，我们都无法作出五个有相互相邻边的区域而再增加一种颜色。
所以，每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
证毕。
四色定理简要证明论文
四色定理的简要证明摘要：文章严格遵循数学归纳法步骤，利用数学归纳法和平面图的一个定理成功证明了世界近代三大数学难题之一的四色定理，并献疑于该定理的“计算机证明”。
关键词：数学归纳法；证明；平面图；四色定理中图分类号：g633.6文献标识码：a 文章编号：1002-7661（2011）11-045-01“画地图要求相邻两国不用同一色，一幅地图只需要四种颜色”（钱学森语），这就是著名的“四色定理”（或称“四色问题”）。
自1872年正式提出至1976年才被计算机证明，但这“机证”并非让所有人信服。
下面给出一种非“机证”的简洁的理论证明。
一、相关前提前提1任何平面地图的着色问题可以转化、归纳为对平面图的结点的着色问题。
其中的结点代表地图上的国家（或地区，下同），结点间的连线即边代表国家间的相邻关系。
前提2着色规则——平面图内有连线（即边，下同，为叙述方便会交替使用）的点（即结点，下同）必须用不同种的颜色着色，而没有连线的点则肯定可以用同一种颜色着色。
前提3“正常着色”是指遵守“前提2”所称着色规则的着色。
前提4设g是有v个结点e条边的连通简单平面图，若v>=3，则e=3），都适用e=5）时，定理成立，即可用4种色对图g(k)正常着色，亦即可用4色对k个结点正常着色。
那么，当n=k+1时，对这（k+1）个结点着色，必定可分两步进行：第一步，首先对其中的k个结点着色；第二步，才对剩下的“1”个结点（称为第n点，n=k+1）着色。
已知k个点可用4色正常着色，不难证明第n点也可以用这 4色中的某一色正常着色。
其理由是：当n=k时，图g(k)共有结点个数为：v(k)=k(a)；边数据“前提4”为：e(k)<=3v-6=3k-6(b)当n=k+1时，有图g(k+1),此时g(k+1)的结点个数为：v(k+1)=k+1(c);边数则为:e(k+1)<=3v-6=3(k+1)-6=(3k-6)+3 (d)因为：(c)-(a)=(k+1)-k=1,(d)-(b)<=(3k-6)+3-(3k-6)<=3所以可确知：图g(k+1)比图g(k)仅增加1个结点(即第n点)及最多增加3条边，所增加的3条边是增加的第n点所引致，两者具有对应关系。
十色定理 四色定理
十色定理四色定理四色定理的尝试证明0引言百度上是这么说的：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”目前只有通过计算机经过百亿次计算得以证明，还没有可信服的书面证明方式，下面我们来尝试书面证明。
1证明思路1.1证明范围及限制条件平面或球面地图，不考虑“飞地”。
1.2思路将平面任意地细分为不相重叠的区域，选取任一区域A0，如果我们能够证明与A0直接或间接相关联的所有区域及其所有相邻情况的集合均四色足够，则命题得证。
1.3证明步骤步骤一：将平面任意地细分为不相重叠的区域，选取任一区域A0及其相邻区域A1……An组成系统，证明此系统中任何相邻关系均四色足够。
步骤二：在A0及其相邻区域A1……An组成的系统中，加入任意数量区域并对其可能存在的所有相邻关系进行分析，证明依然四色足够。
2证明步骤一2.1建模第一种情况：当A0不处于有限平面边界时，则A0必然被均与A0相邻的n个区域所包围。
n=任意非0正整数。
第二种情况：当A0处于有限平面边界时，则A0必然被均与A0相邻的n个区域所半包围。
n=任意非0正整数。
显然，当处于第二种情况时，我们只需要在有限平面外增加任意数量区域与A0相邻并将其包围，就会变成第一种情况，所以第二种情况仅是第一种情况的特例；四色足够问题上，如果第一种情况成立，则第二种情况必然成立。
球面上仅存在第一种情况，所以下面我们仅针对第一种情况进行论证。
下面我们来建立模型，由于我们本着把问题从简单到复杂逐步演化来证明的原则，我们先加上两个限制条件，这两个限制条件我们后面会逐步去除。
条件1：暂不考虑与A0不相邻的区域加入进来，也就是说我们只考虑A0与A1……An组成的系统，且A1……An均与A0相邻；当n=1、2、3时，图中最多4个区域，显然四色足够，不再累述;我们接下来继续证明n>3时的情况：因n只可能是偶数或奇数，那么在以上两个限制条件没有去除的情况下，我们以A0为中心的基本模型显然是遵循4色足够的。
四色定理的理论证明
个顶点看作一个顶点，得到与<b-ii>中讨论相
同的情形，因而这种情况下 G 是 4－可着色的。
因此我们剩下的问题是着相同颜色的二顶点
不挨着的情况。
不妨假设，按逆时针方向绕着 v 的顶点是
(图二)
v1 v2 v3 v4 v5，其中 v1 v3 着相同颜色 c1 ，v2 着 色 c2， v4 着色 c3，v5 着色 c4。（图二）
(3) 由图<4>知：v 1∈extC2，v 4∈intC2，圈 C2 由颜色 c2 c4 着其顶点（v 无 色除外）。因为 v1 v4 着色 c1 c 3，用 c1 c 3 着色的顶点产生子图 H9，所以 v1 v4 必然属于 H9 的不同分支。同样，v3∈intC2，v1 v3 属于 H9 的不同分支。 在 v1 所在的分支上交换颜色 c1 c3，而不影响 G－v 的正常着色。使 v1 着 色 c3。同样，v3∈extC1，v5∈intC1。用 c1 c4 着色的顶点产生子图 H10，H10 包含 v3 v5，因为圈 C1 由色 c2 c3 着其顶点（v 无色除外），所以 v3 v5 属于 H10 的不同分支，在 v3 所在的分支上交换色 c1 c4，而不影响 G－v 的正常 着色，使 v3 着色 c4。这样，我们使 v1 v4 着色 c3，v2 着色 c2，v3 v5 着色 c4， 余下的色 c1 给 v 着色。这样，对于情形<4>我们再次得到 G 的一个 4－着 色法。
着色，我们来证明存在 4－着色法，使得 G 可 4-着色。
a). 如果和 v 邻接的顶点上所使用的颜色少于 4 种，那么只要用余下的任一
种颜色给 v 着色，便可以得到 G 的一个 4-可着色法。
b). 与 v 邻接的顶点着满 4 种颜色，因为有 deg(v) ≤5，所以存在与 v 邻接
四色定理的最简单证明
四色定理，也被称为四色问题，是一个著名的图论问题，它提出了一个简洁而有趣的断言：任何平面地图都可以用不超过四种颜色进行着色，使得任意两个相邻的地区颜色不同。
尽管四色定理的最简单证明仍然非常复杂，需要使用高级数学工具，但我可以尝试为您提供一个基本的思路。
思路如下：
1. 假设存在一个需要五种或更多颜色才能正确着色的地图。
2. 选择其中一个地图并标记为A。
3. 找到A与其他地图相邻的地图，标记为B。
4. 找到A与B相邻的地图，标记为C。
5. 找到A、B和C都相邻的地图，标记为D。
6. 因为A、B、C和D都相邻，根据四色定理，它们应该可以用不超过四种颜色进行着色。
然而，根据假设，我们需要五种或更多颜色。
这导致了矛盾。
7. 因此，根据反证法，我们可以得出结论：任何平面地图都可以用不超过四种颜色进行着色。
需要注意的是，这只是一个简单的思路，而且四色定理的详细证明涉及复杂的图论和组合数学的技术。
数学家们在数十年的努力中最终证明了这个定理的正确性。
四色猜想的证明
四色猜想的证明四色猜想的内容是：如果把地图上有共同边界的国家涂成不同颜色，那么只需要4种颜色就足够了。
要证明四色猜想，首先需要定义一些新的概念：1、国家的表示法——点由于该猜想的内容中不涉及与国家形状有关的问题，而只涉及国与国之间的相邻关系，因此任何一个国家都用点来表示。
2、相邻与不相邻在叙述时，用符号“=”表示相邻，用“#”表示不相邻，如果用图示法表示相邻与不相邻则要复杂一些，先看下图：(a)(b) (c)图1在图1（a）与（b）中，分别用了直线和曲线连接两个国家A和B，表示国家A与B相邻，为了简便起见，这里只用直线表示相邻，图1（c）中是已知A与B相邻，叫你判断C 与D能否相邻，连接CD、CD与AB相交，相交是否就是不相邻呢？我们先看一组图:图2图2是把图进行等分后的结果，从三等分开始，如果每一份代表一个国家，这表示等分后的所有国家相聚于一点，从四等分后的国家A 、B、C、D可知，如果国家之间点的接触算是相邻，则A与B，C与D都为相邻，显然这时的A与B，C与D是交叉相邻，与图1（c）中的情况相同,此时A与B，C与D的交点表示接触点。
若点的接触不算相邻，那么连接A与B的直线可以看作一道墙，在这中间不能有任何直线通过。
因此，由于C与D的连线与AB相交，据此判断出C与D不能相邻。
但是当相邻用曲线进行表示，C与D却能够相邻，这是否说明用直线表示相邻有问题呢？当然不是，仔细分析就可以发现，用曲线表示相邻同样不能有相交的情况出现，因此，用直线表示相邻时，适当移动C或D的位置就可以使C与D相邻。
3、完全相邻这是一个关键问题，可以这么说，没有这一概念的证明都是伪证明，现在给出完全相邻的定义：在一个面上（可以是平面也可以是曲面）给定N个国家，如果这N个国家两相邻，那么我们就称这N个国家完全相邻。
由于1个国家没有相邻关系，因此上面的N要求要大于1。
如果是3个国家完全相邻，它们的相邻关系为：（这三个国家分别设为1、2、3）1=2，1=3，2=3有了以上这些概念之后，就有了证明四色猜想的基础。
四色定理证明
四色定理证明
四色定理的内容是:在平面内任意分割区块，只用四种颜色就能保证所有相邻的区块不同色。
证明：
设有五种不同的颜色，把它们看作5个点，连实线代表两颜色相邻，连虚线代表两颜色不相邻，所以不可能有两个实线交叉。
如果这五个点两两连实线并且无交叉（总假设），则四色定理不成立。
下面来证明这种情况不可能发生：
方法/步骤
1
我们先看三个点的情况：
2
此时，添加第四个点D有两个情况：三角里面或三角外面。
观察发现，两个图的本质是一样的。
3
再添加第五个点E，也是大三角形内外两种情况，但发现无论如何会有一条虚线，
所以，总假设不成立，即四色定理成立。
四色定理证明方法
四色定理证明方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：四色定理是数学上一个非常重要的定理，它指出任何一个地图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域彼此颜色不同。
这个定理虽然看似简单，但却是一个深奥的数学问题，其证明方法也非常复杂。
四色定理最早由英国数学家弗朗西斯·加思顿在1852年提出，并且在1976年由美国数学家凯尼思·阿普尔和沃夫冈·哈肯证明。
这个定理的证明方法主要是通过图论和逻辑推理来完成。
我们来介绍一下四色定理的一些基本概念。
在地图着色问题中，地图可以看作是由一些区域和它们之间的边界组成的。
而一个合法的地图着色方案就是给每个区域都分配一种颜色，使得相邻的区域颜色不同。
四色定理的证明方法涉及到很多复杂的数学理论，其中最主要的是图论。
图论是一门研究图和网络结构的数学学科，它在证明四色定理中起着至关重要的作用。
在证明四色定理时，数学家们首先将地图转化为一个特殊的图的形式，这个图被称为地图的双图。
地图的双图是在地图的基础上构造出来的一个图，在这个图中每个区域对应一个顶点，而边界对应一条连接这两个顶点的边。
这样一来，地图的问题就被转化为图的问题。
为了证明四色定理，数学家们需要证明对于任意一个地图的双图，我们都可以使用四种颜色进行着色。
证明的关键在于通过逻辑推理来排除一些特殊情况，使得我们只需要考虑一些简单的情况。
数学家们通过对图的结构和特性进行分析和归纳，最终找到了一种方法来证明四色定理的真实性。
除了图论，证明四色定理还涉及到概率论、逻辑推理和计算机算法等领域的知识。
数学家们通过将不同学科的知识相结合，从不同角度来审视这个问题，最终找到了证明四色定理的方法。
四色定理的证明方法是一个集合多种数学技巧和理论的综合性问题，它不仅考验数学家们的数学功底和逻辑思维能力，同时也展示了数学的复杂性和魅力。
四色定理虽然已经被证明，但它依然是数学领域中一个重要而且有趣的问题，相信在未来会有更多数学家对这个问题进行深入的研究和探索。
四色定理的简洁证明及其意义
第32 卷第6期佛山科学技术学院学报（社会科学版）No. 6 Vol. 322 0 1 4年11 月Journal of Foshan University （Social Science Edition ）Nov. 2 0 1 4四色定理的简洁证明及其意义收稿日期：2014-09-10作者简介：陈建国（1940-），男，河南荥阳人，江西省社会科学院研究员。
一、四色定理及其简洁证明四色定理是知名的数学难题，意思是说：一张地图上，不管要划分多少地理单元，只需要用四种颜色就可以将它们区隔开，不会在边界线两侧出现同一种颜色。
地图绘制实践说明这是正确的，但如何按数理逻辑的严格要求把它证明出来，就成了难题。
上世纪70年代中期，美国伊利诺斯州立大学的数学家阿佩尔和哈肯利用高速计算机对此题进行证明。
计算机作了两百亿个逻辑判定，经过1200小时的计算，在1976年6月证明了这个数学难题。
使延续了124年之久的四色问题得到证明，成为四色定理。
笔者认为，这反映了人类逻辑思维的不成熟，即定理成立的条件分析不到位。
如果坚持对于定理成立条件进行逻辑分析，用十分简洁的方法，即可证明四色定理成立。
一、四色定理的适用范围是：同一平面（包括能通过投影化为平面的封闭曲面，如地球仪）上的不同区域分割，与三维及更多维的立体图无关；平面面积有限，定理与无限大范围无关。
二、在由有限个地理单元组成的地图上，如果任何一个地理单元都能够不与周边单元颜色混淆；那么，由于要区分的地理单元是有限的，应承认地图上所有的地理单元都已经用颜色区分清楚，不会与周围地理单元颜色混淆。
所谓颜色混淆，是指两相邻地理单元使用同种颜色表示。
三、由以上论述推论出：只要证明对于随意选定的一个被任意多而有限个的地理单元包围的地理单元来说，要与周边地理单元区分开，最多只需要四种颜色就不会发生颜色混淆。
得出此结果即说明四色定理被证实。
四、当整个地图只有两个地理单元时（如梵蒂冈与意大利），只需要两种颜色；有三个单元时（如蒙古之夹在中国、俄罗斯之间），只需要三种颜色。
4色定理的证明
4色定理的证明：对（连通的简单）平面图（记为G）的结点数n进行归纳。
当n=1时，结论当然成立。
假设当n=k(k是自然数)时结论成立，当n=k+1时：根据（连通的简单）平面图的性质，必存在一个结点，设为v，其度（记为d(v)）<=5。
1、当d(v)<4时，图G除去结点v得到的子图，记为G-{v}，根据归纳法假定，结论成立。
而结点v可以用4种颜色中的某一种进行着色，故结论成立。
2、当d(v)=4时，图G除去结点v得到的子图，记为G-{v}，根据归纳法假定，结论成立。
设与结点v相联的结点依此为v1,v2,v3,v4，其着色各不相同，依此为c1,c2,c3,c4（着色若有相同，则结点v就可以用4种颜色中的某一种进行着色），如图1所示。
现在来证明结点v可以用4种颜色中的某一种进行着色。
从结点v1出发，构造可达结点集，其结点的着色只有2种，c1和c3交替出现，依此为c1,c3,c1,c3,c1,c3,c1,c3，……。
若该结点集不包含结点v3，则结点v3就可以用c1进行着色，而不影响其他结点的着色，那么，结点v就可以用c3进行着色。
若该结点集包含结点v3，则从结点v2出发，构造可达结点集，其结点的着色只有2种，c2和c4交替出现，依此为c2,c4,c2,c4,c2,c4,c2,c4，……。
则该结点集不可能包含结点v4（否则，就不是平面图了），那么，结点v4就可以用c2进行着色，那么，结点v就可以用c4进行着色。
3、当d(v)=5时，图G除去结点v得到的子图，记为G-{v}，根据归纳法假定，结论成立。
设与结点v相联的结点依此为v1,v2,v3,v4,v5，且只有2个结点的着色相同（若有2个以上结点的着色相同，则结点v就可以用4种颜色中的某一种进行着色），着色相同的结点对的物理位置有相邻和相隔2种情况：（1）相邻。
与结点v相联的结点的着色依此为c1,c1,c2,c3,c4，如图2所示。
现在来证明结点v可以用4种颜色中的某一种进行着色。
四色问题的证明
四色问题的简单证明一共识1证明任意地图能不能只用四种颜色就可以填满整个地图，我们可以转换为另一个同等的命题：就是地图上不存在有五个区域相互接触，最多可能有四块区域相互接触。
2地图分为有空白地图和无空白地图。
有空白地图意思是地图的一些区域不需要填色，而无空白地图就是指地图的每一个区域都要求上色。
二先证明以下三点命题1一区域要与另一区域接触，那么这一区域的周边要留下空白。
（定理一）证：如下若A要与另一个区域接触的话，那么A的周边必须留有空白。
若A周边没有空白，而又能与另一块区域接触，这是不可能的。
2一张无空白地图存在M块区域，对于原有n块无间隙区域，必然有在原有区域的基础上有n+1块区域（n-1<=M）它们之间无间隙。
（定理二）证；地图上有k块区域无间隙，那么必然有k+1块区域无间隙。
若有k块区域无间隙，不存在k+1块区域无间隙，除了原来的k块区域外，每一个区域都与这k块区域所组成的图形有间隙。
就是说每一块图形与k块图形有间隙，那么k块区域的周边必然存在间隙，就是地图有间隙（有空白区域）。
矛盾。
所以命题成立。
3若无空白的地图的四色问题成立，那么有空白的地图的四色问题也成立。
（定理三）证：对于任意的有空白的地图，我们可以对应地建立无空白的地图，然后把无空白的地图填满颜色，再根据原地图除去相应区域的颜色即可。
三主体证明。
（1）首先我们在无空白地图上选取一个区域为研究对象。
如下图（2）由定理二得一定存在一个B 与A 无间隙接触，并为了A B 都能与另一区域接触依据定理一AB 周边要留有空白，所以有：这是两区域依照定理一二得到AB的唯一的关系即至少需要两种颜色（3）依据定理二我们在AB 的基础上处在C 使得ABC 之间无间隙， 又因为定理一要ABC 周边留下空白。
舍去c 只与A 或B 接触的即得这是在定理一二下的ABC 互相接触的唯一一种关系（4）在（3）的基础上研究由定理二我们是知道必然存在D 与ABC 无间隙的接触因为要得到四色，那么必须D 与ABC 同时接触，不然没有意义。
四色定理的简便证明
同地 区 ） 可 以 需 要 使 用 ｎ ｂ两 种 不 同 的 颜 色 即 可 区 别 开 ， ，
来 ， 图 ５所 示 ． 如
Ａ
口 Ｄ Ｂ （ （ ａ ） ｂ ）
从 上 面 的分 析 来 看 ： 个 点 只 使 用 一 种 颜 色 ； 条 线 段 一 一 有 两 个 端 点 ， 端 点 需要 使用 两 种 不 同 的颜 色 ； 个 三 角 形 该 一
有 三个 顶 点 ， 顶 点 需 要 使 用 三种 不 同 的颜 色． 该 设 存 在 有 三 个 不 同 的 地 区 两 两 彼 此 有 公 共 边 界 ， 存 即 在 不 共 线 的 三个 点 Ａ， ， Ｂ ｃ连 接 成 一 个 三 角 形 ， 图 ６所 示 ， 如 在 这个 平 面上 增 加 一 个 点 Ｄ， 如 下情 况 ： 有
数 学 学 习与 研 究
２ １ ． ０２７
专 题 研 究
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Ｉ ・
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三 、 三 角 形 的 基础 上 ， 加 一 个 点 所 构 成 的 图 形 在 增
线段 Ｄ Ｂ与 线 段 Ａ Ｃ有 可 能 “ 交 ” 则 所 有 顶 点 （ 端 点 ） 相 ， 或 所
来 ， 图 ４所 示． 如
Ａ∽
曰
条 边 界 线 （ 用 连 接 点 除 外 ） 也 就 是 说 ， 点 之 间 用 且 只 共 ， 两
用 一 条 线 段 来 连 接．
规 定 ２： 接 的 所 有 线 段 除 端 点 外 ， 不 能 重 合 ， 不 能 连 既 也
相 交．
四色定理简便证明论文
四色定理的简便证明在每一张地图上，不论行政区域多么复杂，最多使用四种颜色，就能够给所有有公共边界的不同地区着有不同的颜色加以区别开来，这就是著名的四色定理.下面，我们给出四色定理的一种简便证法.一、没有公共边界的不同地区没有公共边界的不同地区，只需要使用同一种颜色就可以区别开来.例如，山东省与黑龙江省没有公共边界，这两个省可以使用同一种颜色；再如，海南省、台湾省以及海域中的诸岛等也可以使用同一种颜色.二、含有公共边界的不同地区含有公共边界的不同地区，着有颜色的种数多少与不同地区两两彼此有公共边界的多少有关，两两彼此有公共边界的不同地区越多，着有颜色的种数就越多.两两彼此有公共边界的含义是指每两个地区都含有公共边界.例如，甲、乙、丙三个不同的地区两两彼此有公共边界，就是说，甲地与乙地有公共边界，甲地与丙地有公共边界，乙地与丙地有公共边界；甲、乙、丙、丁四个不同的地区两两彼此有公共边界，就是说，甲地与乙地有公共边界，甲地与丙地有公共边界，甲地与丁地有公共边界，乙地与丙地有公共边界，乙地与丁地有公共边界，丙地与丁地有公共边界.地图上的不同地区，我们可以分别用点a，b，c，d，e…来表示；不同地区所着用的不同的颜色分别用a，b，c，d…来表示；相邻不同地区的公共边界，用连接两点（表示该相邻的地区）之间的一条线段来表示，并且每条线段的两个端点所表示不同的地区所使用的颜色是不同的，这样，不同地区的着色问题可以看做是不同点的着色问题.规定1：每两个有公共边界的不同地区，有且只有一条公共边界线，即不存在有三个或三个以上的不同地区共有一条边界线（共用连接点除外），也就是说，两点之间用且只用一条线段来连接.规定2：连接的所有线段除端点外，既不能重合，也不能相交.这样我们将上述四色问题可以转化为：在同一个平面上有m个不同的点，从中任取一个点pi（i=1，2，…，m）与其余（m-1）个点连接，并且连接任意两点之间的线段除端点外，既不能重合，也不能相交，则在这m个不同的点中，能够两两彼此相连接的点最多有4个.下面我们给出证明.证明：一个点或多个孤立（互不相连接）的点均可以使用同一种颜色；一条线段有两个端点，这两个端点表示不同的两个地区，该线段表示有公共边界，这样的两个地区，只需要两种不同的颜色即可区别开来.现在，我们来研究由线段组成的图形.1n（n为正整数）条线段组成的一条或多条没有封闭的图形我们知道，每一个端点（或拐点）表示不同的地区，两个相邻的不同地区的公共边界用一条线段来表示，由n（n为正整数）条线段组成的一条或多条没有封闭的图形，其所有端点（所表示的不同地区），可以需要使用a和b两种不同的颜色即可区别开来.如图1和图2所示.需要特别指出的是在同一条线段（或直线）上的点，如图3所示，当a，b，c三点在同一条线段上时，线段ac与线段ab，bc重合，这意味着它们有两条公共边界线，这与“不同地区有且只有一条公共边界线”矛盾，因此，我们说“连接ab，bc”，此时不能说“连接ac”.不能说“连接ac”的意思是说地区a和c没有公共边界，它们可以取同一种颜色.2.由n（n≥3）条线段组成的一条封闭的图形（1）当n为奇数时，该图形中的所有顶点（所表示的不同地区），可以需要使用a，b，c三种不同的颜色即可区别开来，如图4所示.图4（2）当n为偶数时，该图形中的所有顶点（所表示的不同地区），可以需要使用a，b两种不同的颜色即可区别开来，如图5所示.图5三、在三角形的基础上，增加一个点所构成的图形从上面的分析来看：一个点只使用一种颜色；一条线段有两个端点，该端点需要使用两种不同的颜色；一个三角形有三个顶点，该顶点需要使用三种不同的颜色.设存在有三个不同的地区两两彼此有公共边界，即存在不共线的三个点a，b，c连接成一个三角形，如图6所示，在这个平面上增加一个点d，有如下情况：图6图7由于不同的点表示不同的地区，所以点d与三角形的顶点不能重合，即点d不能在三角形的顶点处；当点d在△abc的任一条边上时，不妨假设点d在边ac上，如图7所示，由于线段ac与线段ad，cd重合，这与规定“所有线段不能重合”矛盾，所以点d不能在△abc的任一条边上.显然，如果有4个不同的点，其中有三个点a，b，d两两彼此相连接（即a，b，d三点所表示的地区两两彼此有公共边界），也就是说点b与a连接、点b与d连接、点d与a连接；第4个点c 与点b连接，与点d连接，而点c与a不连接（此时，点a，c所表示的两个不同地区没有公共边界线），且a，d，c三点共线，此时，点a与c可以取同一种颜色（我们可以看做点c在△abd的外部如图7所示），那么这样的4个点所表示的不同地区，可以使用a，b，c三种不同的颜色就可以区别开来.这样，我们只研究点在三角形的内部和外部两种情况就可以了.1.当点d在△abc内部时，如果第4个点d与三角形的三个顶点a，b，c两两彼此相连接，如图8所示，那么所有顶点所表示的不同地区，需要使用a，b，c，d四种不同的颜色就可以区别开来.图8图92.当点d在△abc外部时，（1）不妨假设点d在线段ac所在的直线上，即点d，a，c三点共线，如果能够连接db，da，那么所有顶点或端点所表示的不同地区，需要使用a，b，c三种不同的颜色就可以区别开来，如图9所示.（2）不妨假设点d不在线段ac所在的直线上，且点d与b在线段ac所在直线的两侧，如果能够连接da，db，dc，且线段db与线段ac不相交，那么所有顶点（或端点）所表示的不同地区，需要使用a，b，c，d四种不同的颜色即可区别开来，如图10所示；若能够连接da，dc，当连接db时，线段db与线段ac有可能“相交”，则所有顶点（或端点）所表示的不同地区，需要使用a，b，c 三种不同的颜色即可区别开来，如图11所示.图10图11（3）不妨假设点d不在线段ac所在的直线上，且点d与b在线段ac所在直线的同侧，如图12和图13所示，此时，结果与②类似，不必赘述.图12图13由上述所知，如果每4个点满足两两彼此相连接，且连接的所有线段除端点外，既不能重合，也不能相交，那么这样的4个点所表示的不同地区，只需要使用a，b，c，d四种不同的颜色即可区别开来.四、在如图8所示的基础上，增加一个点所构成的图形我们从上面的分析可以得到一般结论：在同一个平面上，存在3个点，如果满足两两彼此相连接，且连接的所有线段除端点外，既不能重合，也不能相交，那么这样的3个点所表示的不同地区，需要使用三种不同的颜色；在同一个平面上，存在4个点，如果满足两两彼此相连接，且连接的所有线段除端点外，既不能重合，也不能相交，那么这样的4个点所表示的不同地区，需要使用四种不同的颜色.我们自然要问：在同一个平面上，存在5个点或5个以上的点，如果满足两两彼此相连接，且连接的所有线段除端点外，既不能重合，也不能相交，那么这样的5个点或5个以上的点所表示的不同地区，就需要使用五种或更多种不同的颜色吗？回答是不可能的.这是因为，在同一个平面上，有5个点或5个以上的不同点是不可能存在两两彼此相连接，且连接的所有线段除端点外，既不能重合，也不能相交的，从而说明，在同一个平面上，不存在超过四种不同的颜色.我们给出如下推理：在如图8所示的基础上，再增加一个点e，共计5个点，有如下几种情况：（1）如果第5个点e落在△abc的外部，那么点e与△abc内部的点d不能够连接.假设点e与d能够连接，由于△abc是一个封闭的图形，一个点e在△abc的外部，一个点d在△abc的内部，当连接ed时，必然与△abc中的某一条边相交，这与规定（所有的线段不相交）矛盾，所以说尽管点e能够与点a，b，c两两彼此相连接，但点e与点d不能够连接，因此，5个不同的点两两彼此不能够相连接.此时，点e和点d可以使用同一种颜色着色，这样的5个不同点所表示的不同地区，可以需要使用a，b，c，d四种不同的颜色就可以区别开来，如图14所示.图14图15（2）如果第5个点e落在△abc的内部，那么点e必然会落在△abc内部中△abd，△bcd和△acd三个三角形中的某一个三角形的内部.不妨假设点e落在△abd的内部，如图15所示，此时，点c在△abd的外部，由（1）知点e与c不能够连接，因此，5个不同的点两两彼此不能够连接.此时，点e与c可以使用同一种颜色着色，这样的5个不同的点所表示的不同地区，可以需要使用a，b，c，d四种不同的颜色就可以区别开来.由上述所知，5个不同的点两两彼此不能够连接，这就是说，在同一个平面上，尽管由原来不同的4个点增加到5个点，多了一个点，但颜色的种数并没有增加，这是因为有一对点不能连接，该两点所表示的不同地区可以取同一种颜色，即存在有1对点着色相同，此时，仍然需要使用a，b，c，d四种不同的颜色就可以区别开来.五、在如图15所示的基础上，增加一个点所构成的图形在如图15所示的基础上，再增加一个点f，共计6个点.1.如果第6个点f在△abc的外部，那么点f与△abc内部的点e或d不能够连接，也就是说，6个不同的点两两彼此不能够连接，如图16所示.新增加的点f的着色可以取与点d的颜色相同（新增加一对着色点），点e的着色可以取与点c的颜色相同（原有的一对着色点），这样共有2对相同的着色点，这说明颜色的种数并没有增加，仍然需要使用a，b，c，d四种不同的颜色就可以区别开来.图16图172.如果第6个点f在△abc的内部，那么点f必然会落在△abe，△bed，△aed，△bcd，△acd这5个三角形中的某一个三角形的内部.不妨假设点f落在△bdc的内部，如图17所示.显然，新增加的点f与a不能够连接，它们可以取相同的颜色（新增加一对着色点）；点e与c不能够连接，它们可以取相同的颜色（原有的一对着色点），这样存在2对相同的着色点，因此，6个不同的点两两彼此不能够连接.也就是说，尽管由5个不同的点增加到6个不同的点，又多了一个点，但颜色的种数并没有增加，这是因为有2对点着色相同，此时，仍然需要使用a，b，c，d四种不同的颜色就可以区别开来.类似地，第k（5≤k≤m）个点落在如图8所示的图形中，（1）如果第k个点落在△abc的外部，那么第k个点与△abc的内部的某一点不能够连接，因此，有k个点两两彼此不能够连接，同时可以看出，第k个点可以取与△abc的内部的某一对应点（不能连接）的着色的颜色相同，这样颜色的种数没有增加，第k个点的情形与第（k-1）个点的情形的着色相同；（2）如果第k个点落在△abc的内部，那么必然会落在且只能落在△abc被分割成（2k-5）个不重叠三角形中的某一个三角形的内部，此时，该点与该三角形的外部的点不能够连接，且有（k-4）对点（不能连接的）着有对应相同的颜色，这说明颜色的种数并没有增加.综上所述，在同一个平面上，超过4个不同的点，两两彼此不能够连接，这就是说能够两两彼此连接的点最多有4个，所以，在一张地图上的所有有公共边界的不同地区，最多使用四种不同的颜色就可以加以区别开来，四色定理成立.证毕.我们根据上述判定方法来诠释中国政区地图，为何最多使用四种不同的颜色.在《中华人民共和国地图》（人民交通出版社，2003年8月第3版）上，因为最多有4个不同地区两两彼此有公共边界，这4个省两两彼此有公共边界的地区分别是宁夏回族自治区、内蒙古自治区、甘肃省和陕西省，即甘肃省与内蒙古自治区有公共边界，甘肃省与陕西省有公共边界，甘肃省与宁夏回族自治区有公共边界；内蒙古自治区与陕西省有公共边界，内蒙古自治区与宁夏回族自治区有公共边界；陕西省与宁夏回族自治区有公共边界.换句话说，如果把这4个不同地区分别看成a，b，c，d四个不同的点，由于它们两两彼此有公共边界，也就是说这4个不同点能够两两彼此相连接.如图8所示，甘肃省相当于点b，内蒙古自治区相当于点a，陕西省相当于点c，该三点a，b，c能连接成一个三角形，宁夏回族自治区相当于△abc的内部的一个点d，根据上面得到的结论，可以判断这张《中华人民共和国地图》的着色，最多使用a，b，c，d 四种不同的颜色就可以绘制而成.见附件一：《中国政区四色地图》着色分布图.再如，在《世界地图》（人民交通出版社，2003年8月第3版）上，我们看到有公共边界的国家，最多有巴拉圭、巴西、玻利维亚及阿根廷这4个国家两两彼此有公共边界（还有坦桑尼亚、莫桑比克、赞比亚和马拉维4个国家两两彼此有公共边界），它们分别用4个不同的点来表示，则这4个点之间两两彼此相连接，根据上面得到的结论，可以判断这张《世界地图》也需要使用a，b，c，d四种不同的颜色，就能够保证相邻国家着有不同的颜色加以区别开来（图形略）.附件一：方案不唯一，仅供参考.我们如果用a，b，c，d分别表示四种不同的颜色，那么不同地区的着色可以分别记成：着有a色的地区有新疆、陕西、安徽、湖南、云南以及海洋；着有b色的地区有黑龙江、辽宁、山东、山西、浙江、广东、贵州、甘肃、西藏；着有c色的地区有宁夏、吉林、河北、福建、江苏、湖北、四川、广西；着有d色的地区有内蒙古、青海、重庆、河南、江西；没有公共边界的海南和台湾及其海洋中的诸岛均可取同一种颜色（可以取不同于a色绘制），如选d色；上海市可以取d色；北京市可以取a色；天津市可以取d色；香港或澳门可以取d或c色.。
四色定理证明
四色定理的证明一、四色定理的介绍地图四色定理最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
1976年美国数学家阿佩尔与哈肯宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了前景。
二、四色定理的证明通过四色定理的介绍，我们可以知道如果两个图形相邻，则需要用不同的颜色将它们区分。
反之，若两个图形不相邻则可以用一种颜色。
由此得出，如果一张地图不能用四种颜色将它们分开，则必然存在五个两两相邻的图形。
所以，只需证明是否存在五个两两相邻的图形即可。
1.把一个图形X 分成2个小图形的情况共有两种。
分别如下：图 2说明：a.图形X 的选取是任意的(在这里举的是一个圆）。
b.将图1的分法叫线切法，点M,N 为交点，其特点是两个图形都只共用自己的一部分边界。
将图2的分法叫内取法，其特点是其中一个图形所有边界与另一个图形共用。
内取法的性质是里面的图形B 只能与图形A 相邻，称图形B 为内取图形。
2.将一个图形X 分成3个小图形的情况共有6种，方法是先把一个图形分成两个，再把其中一个分成两个。
对图1因其分成的两个图形是等价的所以共有2种（如图3和图4），对图2的继续分共有4种（如图5到图8）。
分别如下：图5图6 图8从中我们可以看出，只有图3、图5和图7是满足两两相邻的。
3.将一个图形X 分成4个小图形两两相邻的情况。
方法是先把图形X 分成2个小图形A 和B ，再把B 分成3个小图形B1、B2和B3。
又因为分成3个图形满足两两相邻的只有图3、图5和图7三种分法，图5和图7有内取图形无法与图形A 相邻，故要想满足4个图形两两相邻只能采取图3这种分法。
四色定理—张明升
四色定理的尝试证明
关于四色定理的证明：
1、容易知道：如果能用四种颜色填充一个平面图（相邻区域颜色不同），则一定能用五种颜色填充。
2、突破口：由此，要证明四色定理，只需证明平面图中的五个区域，不能两两相邻。
如果两两相邻，显然四种颜色是不够的，即此时至少需要五种颜色。
3、欧拉公式：V-E+F=2
V:顶点个数E：弧个数F：区域个数
4、绘图（直观的绘图，五个区域不能两两相邻；然而要得出五个区域不能两两相邻的结论，还需要证明。
）
对图—1的说明：上图分为五个区域，分别对五个区域着色（相邻区
域着不同的颜色）；显然在图—1中，各区域间的关系如下表：
相邻区域A B C D E
A sＹＹＹＹ
BＹsＹＹＹ
CＹＹsＹN
DＹＹＹsＹ
EＹＹＹs
概率法：
假设平面上有五个两两相邻的区域，面积相等；现在向该这五个区域随机地投掷两颗豆子，则：
【1】事件A:每个区域落入豆子的概率为1/5
【2】事件B:两颗豆子落在同一区域的概率为1/5
【3】事件C:两颗豆子落在相邻区域的概率为4/5（这是个假命题）【4】如何发现矛盾呢？————突破口：相邻区域落入豆子的概率不是4/5
不妨设五个区域分别为A、B、C、D、E。
由假设，每个区域必与其他四个区域相邻，那么两颗豆子分别落在A和B上的概率为2/25
‘已知’二维平面中五个不同区域不能两两相邻，而在三维区域中这是
可以实现的；因此，四色定理的证明，可以以非整数维空间来探讨。
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四色定理的简单证明
虽然现在已经有不少人用不同方法证明出了四色定理，但我认为四色定理的证明还是有点复杂,所以给出以下证明。
（注：图形与图形的位置关系可分为相离、包含、内向接、内向切、外向接、外向切，在此文中由于题意关系不妨重新分为以下关系：1 把包含、内向接、内向切，统一划分为包含关系。
2 把外向接单独划分为相接关系。
3把相离、外相切统一划分为相离关系。
）
此证明过程中把图的组合形式按照其位置关系而抽离出了以下四种基本有效模式：
1 若要存在只需用一种颜色便能彼此区分开来的地图，则该图中所有图形必定满足彼此相离。
如下图：
图（1）
分析：这是最简单的一种图形关系模式暂且称为模式a。
2 若要存在只需用两种颜色便能彼此区分开来的地图，则该图中的所有图形必定满足最多只存在两个图形的两两相交的图形。
各种有效图形关系如下图：
图（2）
分析：两个图形的两两相交的所有图形关系均可变形而得出等价的以上两种图形关系模式之一。
由于图（1）存在包含关系，被包含的图形是对外部无影响的，所以图（1）仍属于模式a。
所以两个图形的两两相交只有图（2）的相交关系模式的图形有效的，我们暂且称之为模式b。
3 若要存在只需用三种颜色便能彼此区分开来的地图，则给图中所有图形必定满足最多只存在三个图形的两两相交图形。
各种有效图形关系如下图：
图（3）
分析：三个图形的两两相交的所有图形关系均可变形而得出等价的以上两种图形关系模式之一。
由于图（2）属于存在包含关系，同理整体回归于模式a。
所以三个图形的两两相交只有图（1）的相接关系模式的图形是有效图形模式，我们暂且称之为模式c。
4 若要存在只需用四种颜色便能彼此区分开来的地图，则给图中所有图形必定满足最多只存在四个图形的两两相交图形。
各种有效图形关系如下图：
图（4）
分析：四个图形的两两相交的所有图形关系均可变形而得出等价的以上两种图形关系。
由于图（2）属于存在包含关系，同理可得出整体也就回归于图形模式a。
同样我们暂且称图（1）的图形关系模式为模式d。
观察易得，已经拥有四个有效图形的模式d有一个图形是被包围的，所以在此基础上在球面或是平面上是不可能诞生有五个图形两两相交而组成的模式e 了，由于以上的四种基本的有效模式均可由四种以内的颜色彼此分开。
所以在平面或球面上四种颜色已足以把它们彼此区分。
另外至于在环形体或丁形体上，则可用此方法得出五色定理和六色定理。