四色猜想的证明
四色定理的证明范文
四色定理的证明范文一、四色问题的简介根据网络上的一些内容，可知：四色猜想是说，任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
也就是说，在不引起混淆的情况下，一张地图只需四种颜色来标记就行。
用数学语言来说就是，将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
简单来说也就是，给平面或球面上的任意一张地图上色，使得相邻国家异色，那么至少需要预备几种颜料几种颜色？是否可以只预备四种颜色？在长期的论证过程中，人们发现，大量的试涂表明，四种颜色够用。
人们证明，三种颜色是不够用的，五种颜色肯定够用，四种颜色也够用（计算机证明）。
人们还证明，二维平面内无法构造五个或五个以上两两相邻区域。
在四色问题中假设相邻关系是指两个国家有一段或多段共同边界，是指有邻边，不是指有邻点。
假设没有公地，所有国家都直接接壤（分别相邻），或者间接接壤（分别相连）。
假设没有飞地，国土连通。
飞地相当于任意指定一些他国属于国，则四色肯定不够用了。
假设国家的面积都足够大，不是一丁点、一个点。
假设国家的数量有限，不是无限多。
假设国家的形状任意。
这可以是五花八门，变化莫测，花样繁多，譬如像麋鹿的剪影：在四色问题中需要考虑任意地带的上下方面的相邻情况，左右方面的相邻情况，内外方面的相邻情况，首尾衔接（例如圆周中）的相邻情况，跨越跳跃（例如国形状像拱桥、麋鹿、藤蔓、交际花，与诸多位置的国家们接壤）着的相邻情况，等等。
需要考虑各国的排序，需要考虑上色的顺序。
因为许多国家相邻相连，交织交错，来来往往，层层叠叠，那么从多个方向来上色的话，齐头并进来上色的话，就会互相遭遇、碰头，在交汇点上可能发生冲突，难以协调、确定国的颜色，使得问题复杂，影响证明的进行。
二、四色定理的证明一个平面或球面上的点是无限小、无限多，或者是足够小、非常多。
令这些点各自随机选择红黄蓝三色的一种，再做布朗运动。
四色猜想四色猜想四色定理
四色猜想-四色猜想四色定理地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie 的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行发展历史不过情况也不是过分悲观。
数学家希奇早在1936年就认为讨论的情况是有限的不过非常之大大到可能有10000种。
对于巨大而有限的数，最好由谁去对付？今天的人都明白：计算机。
从1950年起希奇就与其学生丢莱研究怎样用计算机去验证各种类型的图形。
这时计算机才刚刚发明。
两人的思想可谓十分超前。
1972年起黑肯与阿佩尔开始对希奇的方法作重要改进。
到1976年他们认为问题已经压缩到可以用计算机证明的地步了。
于是从1月份起他们就在伊利诺伊大学的IBM360机上分1482种情况检查历时1200个小时，作了100亿个判断最终证明了四色定理。
在当地的信封上盖“Four colorssutfice”四色，足够了的邮戳就是他们想到的一种传播这一惊人消息的别致的方法。
人类破天荒运用计算机证明著名数学猜想应该说是十分轰动的。
赞赏者有之，怀疑者也不少，因为真正确性一时不能肯定。
后来也的确有人指出其错误。
1989年，黑肯与阿佩尔发表文章宣称错误已被修改。
1998年托马斯简化了黑肯与阿佩尔的计算程序但仍依赖于计算机。
无论如何四色问题的计算机解决给数学研究带来了许多重要的新思维。
问题影响一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。
四色定理的简短证明
四色定理的简短证明四色定理的简短证明虽然我们用计算机证明了四色定理，但正如汤米·R·延森和比雅尼·托夫特在《图染色问题》一书中问的：“是否存在四色定理的一个简短证明，……使得一个合格的数学家能在（比如说）两个星期里验证其正确性呢？”四色定理是一个著名的数学定理：如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；另一个通俗的说法是：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。
自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据20世纪80-90年代中国曾邦哲从系统论观点（结构论）将其命题转换为“四色定理”等价于“互邻面最大的多面体是四面体”的问题，也就是点之间相互的联线超过3的是立体，而每增加一个点或表面时必然分割一条线或一个面，也就使分割开的不互邻面或联线可以重复使用一种颜色；因此，增加一个面同时也增加一次可重复使用同一种颜色。
拓扑学的概念来定义拓扑学拓扑学如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
;x大于1为偶数的时候，y=2.四色定理成立的公式为，y定，表示所需的颜色总数，y表示任何一个国家与之接壤的国家个数x与需要颜色y的关系，y定=y+1.y最大值为3，所以y定最大值是4.以上如果正确，或许对于数学的进步也是一种阻碍。
以上的论证，我自己都感到过于简单，并且没有用到拓扑学，对于是否能够证明四色定理，欢迎大家的参与。
2013年12月31日16:59:41吴兴广参考文献:[1]四色定理百度百科【2】《数学公式1+1=1/2的成立》小马吃鱼。
简洁破解四色猜想——“1+3”证明与“3+1”充要条件模型证明——
简洁破解四色猜想——“1+3”证明与“3+1”充要条件模型证明——李传学四色猜想与费马猜想、哥德巴赫猜想，是数学界三大难题。
本文利用“1+3”、“3+1”链锁思维方式，并结合计算机逻辑判断方式，给予地球四色猜想的有、且只有数学方法与应用方法的两种证明。
并在实践中，使链锁着色，直至组成四色猜想的（△）网状平面整（总）体地图。
一、四色猜想简洁证明的提出。
随着计算机运算速度的加快、人机对话智能的出现，极大加快了对四色猜想研究、证明的步伐。
1976年6月，美国哈肯与阿佩尔编制程序，利用1200个小时，分别在两台计算机上，作了100亿次判断，终于完成了四色猜想的证明。
到目前为止，仍是世界上唯一被认可的证明方法。
但是，由于计算机证明方法过程深长，不符合人的逻辑思维判断过程，缺乏简洁性，无法令人信服。
二、“四色”是地球“四方八位”的客观存在。
“四方八位”是个动态概念，存在于“天、地、人合一”的地球万物运动的整个过程中。
同样，数学界三大难题之一的四色猜想，也离不开这一客观规律。
地球，蕴育了万物。
天圆地方、“四方八位”、四面八方、东西南北、五湖四海是人类认识地球的思维方式。
远在史前人类整体文明时期，就有文物记载了地球上有关“四方八位”的许多概念。
如半坡人鱼盆、人网盆、含山玉版、澄湖陶罐、八角星陶豆、良渚陶璧、古埃及金字塔，以及其他图形、符号记载的伏羲八卦图、彝族八卦图、河图、洛书、五行属性，也都应用了“四方八位”概念。
四色绚丽的地球生生不息，是“天人合一”的赋予。
地球的天圆地（四）方是阴阳学说的核心和精髓，又是阴阳学说的具体体现，具有朴素的辩证法色彩，是古代人类认识世界的思维方式。
阴阳五行中的五色、四方位：即，木有青、东，金有白、西，火有红、南，水有黑、北，土有黄、中，以及罗盘定位、经纬仪、四季、纳米四大光波（红、蓝、绿、黄）、四色光谱仪都与地球上的“四方八位”寓意紧密相关。
当然，“四色猜想”也不例外，也只能有、且只有在地球图上的客观存在。
二、四色猜想与证明
四色猜想：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家填上不同的颜色。
”
数学语言表示：“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
1852年，毕业于伦敦大学的格斯里发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。
和其弟弟研究没成功。
1852年，格斯里的弟弟请教其老师著名数学家德·摩尔根但未能证明，摩尔根后向著名数学家哈密顿爵士请教，仍未证明。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题后，世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
电子计算机问世后，演算速度迅速提高，加快了对四色猜想证明的进程。
在1976年，美国伊利若斯大学的两台不同的电子计算机，用1200个小时，作100亿个判断，结果没有一张地图是需要五色的，最终证明了四色定理，轰动了世界。
这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发表的时，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了四色足够的特制邮戳，庆祝这一难题获得解决。
但证明并未止步，计算机证明无法给出令人信服的思考过程。
在长期的论证过程中，其他发现，人们证明，三种颜色是不够用的，五种颜色肯定够用，人们还证明，二维平面内无法构造五个或五个以上两两相邻区域。
关于四色猜想的数学证明
关于 四色猜想 的数学证 明
顾子杨 江 苏省 苏州 市 田家炳 实验 高级 中学
江 苏 苏州 ２ １ ５ ０ ０ ０
摘 要 ：从 包 围理 论 中选 出具 代 表 性 的 经 典 子 图 ，再从 图中 的连 通 性 ，奇 偶 性 ，对 称 性 ，和 唯 一 的 几何 位 置 ，概 括 出 图中各 点必定独 占一 色，因此四 色猜想获证 。 关键词 ： 色围理论 ：经典子 图 ；成对 理论 ；连通性 ：奇偶 性；对 称性 ；唯 一性 ：反证 法
根据着 色需要，有必要先设定一个具独特性和唯一性 的一个点 ，取名 “ 迷 点 ”，它 只在奇环上存在 。利用它可 以 避免着色矛盾 。它是奇环组份中的一员，位置独特 ，有唯一 性 ，它的着色数是常数 “ １ ”。 迷 点 的定 义 是 ：在 奇 环 上 ，介 于 奇 偶 点之 间 的 同 时可 和 奇偶点都能连通 的一个第三性 点称迷 点。发现了迷点，才 能 找到铁证 。 根据 点的性质 ，有 了迷点 ，使点的种类扩大了，任何奇 环上 ，必有迷 点存在 ，以供专 用。图一 （ ａ ）中，旋转倒反 ， 各色位置绝无变化 。奇 点一色 ，偶点一色 ，迷点一色，中心 点一色 ，共 四色 ，四色各有所归 ，分配科学合理。这 就证 明
了 四色 （ 分 配 ）定 理 。 偶 环 无 迷 点少 一色 。
Ｂ
（ 鑫）
Ｃ
图 一
现举下列数学证 明： （ １ ）以 连 通 性 证 明 设 中心 点被三员环包 围且连通 ，则有矩 阵可解读 。 每行和等于 ３ ，每列和 也等 ０ １ １ １ 于 ３ 。说 明每个 点与其它各 点间 １ ０ １ １ 无 不连通 ，但三点都相 互连通 ， ＡＤ ： １ １ Ｏ １ 各 点 间 无不 连通 ，但 每 个 点都 自 己 与 自己 不 连通 ，矩 阵 Ａ Ｄ中末 １ １ １ Ｏ 行 和、及末 列和 的 ３ ，还表 示中 心 点被三 员奇环包 围且连通 。从着色理论可知 ，连通 的两 点 必 异 色 。 因此 ，在 图一 （ ａ ） 中 ， 四分 配 ，Ａ点 着 第 一 色 、Ｂ 点着第二色 、ｃ点 （ 下称迷 点）为 了避开着色矛盾 ，着第三 色 ，中心点着第 四色 ，Ｄ点别无选择 ，只能着第 四色 。若 中 心 点被 四员偶环包 围且连 通，用矩 阵解 读为 第 四行和等 于 ３ ，第 四列和 也等 于 ３ ，而末行和 ，末列 和都等 于 ４ ，它表示 中心点和环上各 点都连通 ，即中心被四 员偶环包 围。 Ｏ １ Ｏ １ １ 图一 ｂ中 Ａ Ｃ间 不 连 通 ，Ｂ Ｄ １ Ｏ １ Ｏ １ 间也不连通 ， 根据着色理论可知 ， Ａ苣 ： ＝ ＝ Ｏ １ ０ １ １ 连通必异色、 不 连 通 可 同色 或 异 Ｃ同色 、Ｂ Ｄ同色 ，中 １ Ｏ １ Ｏ １ 色、允许 Ａ 那 么 Ａ和 Ｃ同选 １ １ １ １ Ｏ 心 点 独 占一 色 。 第一色、Ｂ和 Ｄ同选 第二色、中 心点可任选 第三或第 四色 中的一种 。 那么 图一 （ ｂ ）中可知 ， 中心点被四员偶环包围且连通时 ，环上增加 了一 点，比图一 （ ａ ）反 而 减 一 色 。这 是 因 为 图一 （ ａ ） 中 ，奇 环 上 Ｃ点 出现
四色猜想
COLORS SUFFICE)，加盖在当时的信件上。
拓展了人们对“证明”的理解
• 由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯
和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从
根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学
家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
•
德•摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少
要四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。
• 但德· 摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给了其他数
学家,其中包括著名数学家哈密顿。
• 但这个问题当时没有引起数学家的重视。 • 直到1878年,英国数学家凯莱对该问题进行了一番思考后， 认为这不是一个可以轻易解决的问题，并于当年在《伦敦数 学会文集》上发表了一篇《论地图着色》的文章,才引起了
更大的注意。
• 1879年，一位英国律师肯泊在《美国数学杂志》上 发表论文，宣布证明了“四色猜想”。
• 但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的 证明中有严重错误。
• 一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难，
这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。 • 实际上，对于地图着色来说,各个地区的形状和大小并不重 要,重要的是它们的相互位置。 • 下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从数学上看,
Hale Waihona Puke 四色问题的解决• 直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前
人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。
• 到1976年6月,他们终于获得成功。他们使用了3台
IBM360型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于证
明了四色猜想。
• 这是一个惊人之举。当这项成果在1977年发表时, 当地邮局特地制作了纪念邮戳"四色足够"(FOUR
四色猜想四色猜想四色定理
四色猜想 -四色猜想四色定理地图四色定理(Four color theorem) 最初是由一位叫古德里 Francis Guthrie 的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使拥有共同界限的国家着上不一样的颜色。
”用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的地区每一个地区总能够用 1234 这四个数字之一来标志而不会使相邻的两个地区获得相同的数字。
”这里所指的相邻地区是指有一整段界限是公共的。
假如两个地区只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
由于用相同的颜色给它们着色不会惹起混杂。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使拥有共同界限的国家着上不一样的颜色。
”也就是说在不惹起混杂的状况下一张地图只要四种颜色来标志就行发展历史可是状况也不是过分消极。
数学家希奇早在 1936年就以为议论的状况是有限的可是特别之大大到可能有 10000种。
关于巨大而有限的数，最好由谁去对付？今日的人都理解：计算机。
从 1950年起希奇就与其学生丢莱研究如何用计算机去考证各样种类的图形。
这时计算机才刚才发明。
两人的思想堪称十分超前。
1972 年起黑肯与阿佩尔开始对希奇的方法作重要改良。
到 1976 年他们以为问题已经压缩到能够用计算机证明的地步了。
于是从 1 月份起他们就在伊利诺伊大学的 IBM360 机上分 1482 种状况检查历时 1200 个小时，作了 100 亿个判断最后证了然四色定理。
在当地的信封上盖“Fourcolorssutfice 四色”，足够了的邮戳就是他们想到的一种流传这一惊人消息的新奇的方法。
人类破天荒运用计算机证明有名数学猜想应当说是十分惊动的。
欣赏者有之，思疑者也许多，由于真实确性一时不可以一定。
以后也确实有人指出其错误。
1989 年，黑肯与阿佩尔发布文章声称错误已被改正。
1998 年托马斯简化了黑肯与阿佩尔的计算程序但仍依靠于计算机。
不论如何四色问题的计算机解决给数学研究带来了很多重要的新思想。
四色猜想的证明
四色猜想的证明四色猜想的内容是：如果把地图上有共同边界的国家涂成不同颜色，那么只需要4种颜色就足够了。
要证明四色猜想，首先需要定义一些新的概念：1、国家的表示法——点由于该猜想的内容中不涉及与国家形状有关的问题，而只涉及国与国之间的相邻关系，因此任何一个国家都用点来表示。
2、相邻与不相邻在叙述时，用符号“=”表示相邻，用“#”表示不相邻，如果用图示法表示相邻与不相邻则要复杂一些，先看下图：(a)(b) (c)图1在图1（a）与（b）中，分别用了直线和曲线连接两个国家A和B，表示国家A与B相邻，为了简便起见，这里只用直线表示相邻，图1（c）中是已知A与B相邻，叫你判断C 与D能否相邻，连接CD、CD与AB相交，相交是否就是不相邻呢？我们先看一组图:图2图2是把图进行等分后的结果，从三等分开始，如果每一份代表一个国家，这表示等分后的所有国家相聚于一点，从四等分后的国家A 、B、C、D可知，如果国家之间点的接触算是相邻，则A与B，C与D都为相邻，显然这时的A与B，C与D是交叉相邻，与图1（c）中的情况相同,此时A与B，C与D的交点表示接触点。
若点的接触不算相邻，那么连接A与B的直线可以看作一道墙，在这中间不能有任何直线通过。
因此，由于C与D的连线与AB相交，据此判断出C与D不能相邻。
但是当相邻用曲线进行表示，C与D却能够相邻，这是否说明用直线表示相邻有问题呢？当然不是，仔细分析就可以发现，用曲线表示相邻同样不能有相交的情况出现，因此，用直线表示相邻时，适当移动C或D的位置就可以使C与D相邻。
3、完全相邻这是一个关键问题，可以这么说，没有这一概念的证明都是伪证明，现在给出完全相邻的定义：在一个面上（可以是平面也可以是曲面）给定N个国家，如果这N个国家两相邻，那么我们就称这N个国家完全相邻。
由于1个国家没有相邻关系，因此上面的N要求要大于1。
如果是3个国家完全相邻，它们的相邻关系为：（这三个国家分别设为1、2、3）1=2，1=3，2=3有了以上这些概念之后，就有了证明四色猜想的基础。
利用数学模型证明四色猜想
面，便有了“1 面、3 线、3 点”（记作“1+3”或“3+1”）组成的
起始△ABC 单元区域特征。
单元，指△“1 面、3 线”起始位置；单元区域，指△“1 面、3
线”C43
组合位置；区域，指
C3 4
组合位置的整（总）体。
根据平面几何三角形定义与平面公理二，四色猜想使用的“1 面、
2
3 线”与“1 面、3 点”概念是一致的。
重组△角与起始△角共点，相对下一个△的出现，重组△则又被称为
起始△，可链锁产生。由“1 面、3 线（点）”组成的 图形，是相
似△或等价△。
根据平角定义，直线与平角可以互相转化。因此，线段上可以有
无数平角。平角的对顶角区域同样是个区域位置概念。
（1）根据三角形定义，点是其所在的线、面的共点。重组△与
起始△有、只有一个共点，且三个角的共点可以分别连锁产生另外的
“1 面”蓝 3：P32=(124，421，142，214，412，241）
“1 面”绿 2：P32=(143，341，134，413，314，431）
“1 面”黄 1：P32=(324，432，234，423，342，243）
（三）数学归纳。
1、任意 K 个△ABC 单元区域。
平面（1→ k 区域）=∑1k
起始△ABC
的“1
面、3
线”的
C3 4
四种单元区域组合，有三种标
识方式。
1、单元区域 C43=
2、C43=123④、12③4、1②34、①234。 3、区域内的“四方八位”位置，每个起始单
元区域
C3 4
则依照“1
单元、3
相邻”面（1+3）规则
进行“3+1”链锁重组，来实现区域四色猜想。
四色猜想的“1+3”链锁证明
四色猜想的“3+1”链锁证明李传学四色猜想是数学中费马猜想、四色猜想、哥德巴赫猜想难题之一。
本文根据计算机逻辑判断方式，利用“1+3”链锁反应法，对四色猜想的数学定义，可做出逐步趋向、直至平面整（总）体有、且只有的四色猜想简捷证明。
一、四色猜想简捷证明的提出。
随着计算机运算速度的加快、人机对话智能的出现，极大加快了对四色猜想研究、证明的步伐。
1976年6月，美国哈肯与阿佩尔编制程序，利用1200个小时，分别在两台计算机上，作了100亿次判断，终于完成了四色猜想的证明。
但是，计算机证明过程深长，无法令人信服，是因为缺乏适合人的逻辑思维判断过程。
二、四色猜想的数学语言定义。
任何一张平面地图，只要用四种不同颜色就能使具有共同边界的国家，着上不同颜色，称之为四色猜想。
四色猜想的数学语言定义：将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一区域总可以用1、2、3、4这四个数字之一来标记，且不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
这里的相邻区域，是指有一整段（非点）边界是公共的边界。
（注：来自网络“科普中国”）。
三、四色猜想的简捷证明。
（一）简捷证明的数学理论依据。
1、三角形定义。
由三条线段围成的封闭图形叫做三角形；三角形的每条线段叫做三角形的边。
2、平面公理。
公理一：如果一直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内。
（推论一：直线与直线外一点可确定一个平面；推论二：两条相交直线，可确定一个平面）。
公理二：不在一条直线上的三个，有、且只有一个平面。
公理三：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有、且只有一条过该点的公共直线。
3、拓扑等价。
对拓扑等价概念有多个解释。
如刻画微分方程解之间的关系；对连续流进行分类等。
在几何学是指：几个图形中，任意一个可以通过拓扑变换从其余图形得到，就称它们为拓扑等价；或称其中每一个可以从其余任意一个几何图形经扭转、弯曲、拉长或收缩得到，而不出现任何点的重叠与断开，它们就是拓扑等价。
四色定理
结论：
将平面图的不相连点使其相连（这样 增加着色难度），形成有许多三角形相连 的平面图，根据三角形的稳定性，利用数 学归纳法，平面图进行着色最多需４种颜 色。
在平面图中，不在同一直线上的三点决定一个平面， 那么三点构成的三角形是平面图中最基本、最简单、最 稳定、密闭的图形。 由于在对地图着色过程中不考虑图的具体形状只考 虑点是否相邻，将平面图的不相连点使其相连（这样增 加着色难度），形成有许多三角形相连的平面图（三点 以下肯定成立）。如图1：添加辅助线（不相邻的点使 其相邻，这样就增加了着色的色数，有利于证明），将 图1分解为４个△ABC。
四色定理
许多同学都知到排列组合把， 也应该应该都做过这个着色问题 吧： 用4种不同的顏色去涂右边这 个脸谱，每区域一色，同一种顏 色可重复使用，但相邻区域不可 同色，则有多少种涂法4× 3× 2× 1× 1× 3× 3
四色問題
任何一张平面地图， 如果相邻的两个国家， 必须涂上不同的顏色以 便划清边界，则至多只 要四种顏色就搞定了， 不管这张地图有多麼奇 特复杂。
公开徵答
1878年，英国数学家 将上述问题曝光取名為「四色猜想」， 公开徵求解答。 问题一传出后，马上就有了回应。1879年和1880年， 和 分 别发表论文证明了四色问题。轰动一时的热度终於平息。不料事 隔11年后，一个名叫 的年轻人指出了 证明中的错误，并利用 的 方法证明出若用5 种顏色就保证一定能区分出地图上相邻的区域。 虽然四色问题未被破解，但是至此算是迈出了一大步。而另一方 面， 的论文亦被陆陆续续发现多处错误，甚至最后一个错误是 一直到1946年才被发现的。从这裡我们可看出这些人的研究精 神是多麼可敬，被发现错误的东西并未被弃之如敝屣般丢在一旁， 仍旧不断有人去研究它，甚至是在事隔半个多世纪之后。 尽管如此，这篇论文仍然起着巨大的作用。
平面“五色定理”的五色无限点图“四色猜想”证明
1.图论五色定理证明成立，五色定理成立的点图为单元图1，2.五色单元图拼接无限点图，商掉一色，这样的点图四色完全填充，3.“四色猜想”的“二维平面四色最大填充密度”猜想，1、正三角形与四边形均可以单独密铺，2、正多边形只有正三角形、正四边形、正六边形可以单独密铺。
3.共有17种密铺结构，开罗砖有8种不同的密铺结构4.“四色猜想”的多维度推广，色量子干涉归一开普勒猜想，四色猜想，图论填色的“波粒佯谬”，填色路径“波动”，填色区域（点）的围道积分，在一个球的周围，最多能摆放多少个相同尺寸的球？在平面上，如何最密集排放相同大小的圆？绘制的地图，图中相邻的两个区域具有不同的颜色，引进了图论，László Fejes Tóth 的区域猜想离散几何密切相关，Alfred Tarski 和 Henryk Moese 证明了用来覆盖圆面的条带（或木板）的宽度和至少等于圆的直径，Thøger Bang 证明了覆盖凸体的条带的总宽度至少是凸体本身的宽度，即单个能覆盖凸体的单个条带的最小宽度，填（色）充反填（色）充平衡y=sinx/x+x/sinx，正处于“填色”状态的佯谬薛定谔猫，颜色不确定，最终的填色结果既依赖于“波动性”又依赖于“粒子性”，这对于许多近期在化学、生物和计算机科学以及逻辑系统上的发展都至关重要，无法确定状态的“猫”走出薛定谔黑箱，或摇身为生机勃勃硕果累累牛顿苹果树，它是树上的果子，或者一棵芭蕉树，或者一个周身星光旋转的几何怪物，——非死非活的“变异态”的导数态，每一“态”都是“确定态”，薛定谔“猫态”，所有“态”的干涉“态”，四色猜想，图论填色的“波粒佯谬”，填色路径“波动”，填色区域（点）中心的围道积分，y=sinx/x自然填充y=sinx/x受空气动力学y=lnx作用y=sinxlnx/x 的导数，y'=((sinxlnx)'*x-sinxlnx*(x)')/x^2=(x(cosx*lnx+sinx/x)-sinxlnx)/x^2，化简一下就是y'=(xcosxlnx+sinx-sinxlnx)/x^2，维度填充成为一个点，函数的导数是sinx/x，sinx/x，1/LNX等函数都是没有初等函数下的原函数的，函数是积不出来的，它的积分是一个带有吉布斯（Gibbs）效应的阶越函数;x叫做取样函数或者内插函数，记为Sa(x)=sinx/x dx，F(x)=∫Sa(x)dx=∫sinx/x，台阶高度为派，图形就是一个“非理想的版高通滤波器”形状，1维量子填充力学计算y=sinx/x导数，y'=(cosx *x -sinx) /x^2，光子的“填色通道”，y=sinx/x 原函数二维色基数4，x=sin(2x)x=0.74x=sin(x/n)nx=sinxx/n=sinxx=sin(4x)x=0.3295290175...1/x=3.0346341198920365184531890275793... “四色定理”或可称为“ 色猜想”。
证明四色猜想
证明四色猜想本文用递推的方法，分别用点和线代替平面图形及平面图形相交，则三个平面图形两两相交时，构成一个三角形的封闭空间。
通过讨论第四个点与此三角形的关系，简明地证明了四色猜想。
四色猜想最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的。
高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问题”的研究。
就在1976年6月，哈肯和与阿佩尔合在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。
不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。
直到现在，仍有不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。
证明将平面图形抽象极限成成点或线，当然在这一点或线的基础上可以任意发出一些线（这些射线可以任意扩展为面）。
这些射线都属于这个点。
首先，A，B两个面相交看成点A发出的射线和点B发出的射线相遇于点Pab，如图1。
第三点C要和A，B两两相交，则构成一个三角形ABC的封闭空间，如图2。
这时点D要和A、B、C两两相交则有两种情况：（1）D在ABC之内和ABC相交当D和和A、B、C中任意两者相交都将构成新封闭三角形。
第五点E继续相交时就和D与A、B、C相交的情况一样。
假设D和A，B，C分别相交于Pad，Pbd和Pcd。
Pbd在P到B点间，Pad 在Pac到A点间，Pcd在Pac到C点间。
这样即使A，B，C内部还有剩余空间也被分成了3部分如图3。
尽管这三个图形不一定都是三角形但都是封闭的，都可以简化成三角形。
所以无论第五点E在哪部分都是点与三角形关系。
（见图3）（2）D在ABC之外和ABC相交D可以完全将ABC包围或者将ABC一部分包围。
但无论怎样ABC三者至少有一者完全在D的图形内。
若D将ABC一部分包围。
那么ABC至少有一点完全被D包围。
如图5若E在D外就不能和A、B同时相交。
若E在D内无论如何最多只能和三者相交。
要么和ABD、ACD、BCD，不可能和ABC相交。
四色猜想的逻辑证明
四色猜想的逻辑证明概要：平面或球面上两个区域相邻有且只有两种方式，按照这两种方式构成相邻关系，依次由2个、3个、4个直至足够多个不同区域，可以构成任意可能的地图。
本文提出增色定理，围绕该定理，给出四色猜想的证明。
四色定理的本质，是指在平面或者球面上最多只能构造四个两两相邻的区域。
证明这一点，只须例举出全部四个区域相邻的情形即可。
四色猜想的提出四色猜想是弗伦西斯·格斯里（FrancisGuthrie1831-1899）提出的，1852年他在给弟弟的信中写到：“每幅地图都可以只用四种颜色着色，使得有公共边界的相邻国家着上不同的颜色。
”四色猜想又称四色定理、四色问题。
格斯里的话中包含两个需要明确的概念：一个是相邻；另一个是国家，即平面或球面上的一个区域。
为此给出两个定义。
单连通：一个区域内的任何两点，如果可以在其内部（即不穿过其边界）用一条曲线相邻，则称这个区域是单连通的。
四色猜想中涉及到的区域均指的是单连通区域。
相邻：平面或球面上的两个区域，如果只有一条公共边界，就说这两个区域是相邻的。
两种基本相邻关系平面或球面上，A、B两个区域相邻有且只有两种方式：一种是，A区域的部分边界与B区域的部分边界相邻；另一种是，A区域的全部边界与B区域相邻，即A区域被B区域所包围（无需考虑A区域与B区域完全重合的情形，因为这在四色问题上没有意义）。
需要指出的是，图中的红色与绿色可以互换，即，当只有两个区域相邻时，下图中的区域A 与区域B是等价的：哪一个为红色，哪一个为绿色，意义是一样的（在下文的表述中同样的情形不再说明）。
按照这两种方式构成相邻关系，能够由最初的两个区域相邻，依次到由3个、4个直至足够多个不同区域，以任意可能的方式相邻构成全部可能的地图。
同时，该构成地图的过程是可逆的，即能够以与之相反的方式，将任意地图还原为最初两个区域构成的地图。
设想有一张由m+1个区域构成的地图，它显然可以视为由m个区域与某一个区域A以任意可能的方式相邻构成的。
四色猜想(全)
四色猜想几年前，我接触到了四色猜想，并被它的神奇深深吸引住。
通过很长一段时间的思考，否定，再思考，再否定，我终于找到了一个自认为满意的答案。
当然，说她绝对无懈可击我还是没有把握的，我只希望通过这个文章能拓展一下思维，特别是续文中的证明方式，可能也算是开创先河吧。
此证明过程分两步进行，并用两个命题引入最后的结论。
命题一：出现第五种颜色国家的充要条件是这个国家与四个两两相邻的国家都相邻。
（这是一个伪命题，不过对于理解以后的证明有帮助）地图很复杂，国家形状各异，研究起来很困难，所以第一个工作是将地图简化。
先引入一个概念：连线。
在地图上每个国家上选一个中心点（为理解方便选国家首都），每两个相临的国家都用一根柔线把它们的中心点连起来，并且这些线都只在这两个相邻国家的国土上经过（因此不一定是直线），现在将所有的国家都忽视掉，地图上只剩下很多中心点和很多的柔线。
点就代表国家，线就代表相邻关系。
连线有一个重要特性：可以不相交。
这个不难理解。
四个国家两两相邻，用四个点和六条连线可以很清楚的表示出来，如下图：上图是四点两两相连的最简情况之一，还有一种最简情况是正方行的四边和两条对角线，不过上文所书连线可以不相交，因此否决了后者。
想在上图中添加第五个点和以上四点都相连且连线不相交，显然是不可能的。
换言之，一个平面内不可能出现五个点两两相连且连线不相交。
所以得证，不可能出现第五个国家与四个两两相邻的国家都相邻。
也就是说不可能出现五个国家两两相邻。
以上的证明过程没有错误，而推论的局限在于只考虑了相邻不同色的情况，如果国家不相邻也不同色，上面的推论就不适用了。
命题二：出现第五种颜色国家的充要条件是这个国家与四个必不同色的国家都相邻。
引入一个新概念——影响线(影响线很难理解,所以后面会有一个续文专就影响线做介绍。
)影响线——若A，B两国必不同色，它们中心点之间必然存在着一些连线，这些线起到影响双方的作用，若A，B相邻，它们的连线就是影响线。
四色猜想的简单证明
四色猜想的简单证明我们知道，四色猜想其实就是：一个平面或球面上最多只有四个图形的边互相接触。
【点不算】而在这里，我仅对球面上的四色猜想进行证明。
【考虑平面时仅需稍加说明，便可与球面一样考虑】
为简化问题，先强调以下两点：
1．所有图形需互相接触，故将球面分割为多个区域是毫无意义的，只需保留一个空白区域。
2．所有图形需互相接触，故所作图形不能与原来存在的任一图形相离，必须与所有原来存在的图形共边。
遵循以上两点，我们会发现，尽管作图方法任意，但情况均可看作一种【如下所示】。
首先，如图1所示是一个任意图形A ；为便于描述，我们挖去A所占区域，根据球面性质，空白区域可看作以A的边为界的有限且有界的面，如图2。
截取A边的一部分作图形B，如图3；抹去无效边【即重合边】，在A,B上各截取一段边，作图形C,如图4；继续分别截取A，B，C的一段边,此时无论如何【在遵循点1，2的情况下】，总有一个图形的边被完全覆盖。
【证明较简单，在此不赘述】故在任意一个非图形区域内，不可能同时出现四种不同边，即第五图形不必要使用第五色。
四色问题猜想成立。
李世豪。
四色猜想 四色定理
四色猜想四色定理地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
用数学语言表示即将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色问题的内容是任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行发展历史不过情况也不是过分悲观。
数学家希奇早在1936年就认为讨论的情况是有限的不过非常之大大到可能有10000种。
对于巨大而有限的数，最好由谁去对付？今天的人都明白：计算机。
从1950年起希奇就与其学生丢莱研究怎样用计算机去验证各种类型的图形。
这时计算机才刚刚发明。
两人的思想可谓十分超前。
1972年起黑肯与阿佩尔开始对希奇的方法作重要改进。
到1976年他们认为问题已经压缩到可以用计算机证明的地步了。
于是从1月份起他们就在伊利诺伊大学的IBM360机上分1482种情况检查历时1200个小时，作了100亿个判断最终证明了四色定理。
在当地的信封上盖Four colorssutfice四色，足够了的邮戳就是他们想到的一种传播这一惊人消息的别致的方法。
人类破天荒运用计算机证明著名数学猜想应该说是十分轰动的。
赞赏者有之，怀疑者也不少，因为真正确性一时不能肯定。
后来也的确有人指出其错误。
1989年，黑肯与阿佩尔发表文章宣称错误已被修改。
1998年托马斯简化了黑肯与阿佩尔的计算程序但仍依赖于计算机。
无论如何四色问题的计算机解决给数学研究带来了许多重要的新思维。
问题影响一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。
四色猜想的证明
四色猜想的证明把每个区域看成一个点，相邻的区域（点）用线连起来，则不可能存在连线交叉穿过的情况。
现存在一张地图（a ）需用上4种颜色才可区分相邻区域（点）。
下面证明是否存在必须用上第5种颜色的地图：假设存在这样的地图，则在必须染上第5种颜色的点的周围一定存在染有其它4种颜色的点与之相连（如图b ）。
由于E 是必须用上第5种颜色的点，所以无论从哪点开始按何种顺序染色最终都得使ABCDE5点两两异色。
而且在染色时颜色的选取只受之前染过颜色的点的限制，无需考虑其它未染色的点的颜色。
记5种颜色分别为“1”“2”“3”“4”“5”，则这5种颜色地位是平等的。
下面从上面那5点染起：不妨先将E 染为“1”，再染B 时要使它不能选E 的颜色，则BE 必相邻，不妨染为“2”，再染C 时要使它不能选ＥＢ的颜色则ＥＣ，ＢＣ必相连，不妨染为“３”，再染Ｄ时要使它不能选ＥＢＣ的颜色则ED，BD,CD必相连，不妨染为“4”，再染A时要使它不能选EBCD的颜色则EA，BA，ＣＡ，ＤＡ必相连，但Ａ与Ｃ由于ＢＤ相连而无法相连，这样Ａ的颜色只需选Ｃ的颜色而无需用上第５种颜色。
因此不存在必须用上第５种颜色才可区分相邻区域的地图。
综上所述：无论多么复杂的地图，只需４种颜色就可以将所有相邻区域分开，即四色定理得证。
关于四色定理证明过程中的详细说明一：对“不可能存在连线交叉穿过的情况”的证明：先谈区域间的交界线的定义问题：当区域间仅交于一点时，若把它看作交界线，则当有n个区域交于一点时，这n个点两两相邻，需用n种颜色才可区分，这样讨论“只需用几种颜色就可以将相邻区域分开”就毫无意义了，故点不能看作时交界线，交界线应该具有一定线度。
所以当区域M和N相邻后其它区域不可能通过MN的交界线而相邻。
二：对“染A时A无法与C相连”的证明：在E周围的四点定具有如图（c1）的相对位置关系，由于ＢＣＤＡ４点的地位是平等的，不妨将其按如图（c2）位置关系排列（即将它们的位置关系固定）。
四色猜想证明
四色问题证明刘国瑞1，刘国华（重庆汽车研究所，重庆 400039）E-mail：lgr0902@摘要：全文共分两部分。
第一部分先证特殊情形，再证一般情形，两相对照，揭示四色问题的本质。
第二部分通过GR图对希伍德（Heawood）反例进行了深入的探讨，指出该类型的平面图自身有破绽并给出新的反例类型以取代原反例。
最后，通过剖析动态平衡现象，阐明用肯普（Kempe）的方法证明四色问题不可能成功。
文中第一部分，由刘国瑞、刘国华二人合作完成。
第二部分，由刘国瑞单独完成。
关键词：四色问题；希伍德反例；GR图；动态平衡MR（2000）主题分类号：05C15证明题：平面上任何一幅地图，都可以用四种颜色正常着色1 引 言四色问题自1852年提出以来，已困扰数学界150余年。
在这期间，尽管人们已想到了把国家化归为一个结点，也知道任意两个必须着不同色的结点之间必有一条着这两种色的结点交替出现的双色路[1-2]，然而纵览这150多年间各种各样的解法，我们发现，这些解法未能揭示这一问题的本质，对该问题的要害也缺乏深入的探索，致使这一问题变得异常复杂，1976年还不得不借助计算机花费1260小时来加以证明。
实际上，四色问题成立的充要条件是“存在四色地图实例且不能用两两不相交的曲线把同一平面上任意五个点里每两个都连结起来”，这就是我们约四十年前曾向中科院数学研究所指出的该问题的本质。
四色问题的要害是希伍德反例，对该类型的平面图我们将借助GR 图剖析其内在机制及自身存在的漏洞，并给出新的反例类型取代原反例。
最后，通过剖析动态平衡现象，指出用肯普的方法不可能彻底解决四色问题。
本文曾征询并采纳苏州大学施武杰（博士导师）、重庆师范大学谢安国、西南大学王佳等数学教授及西南大学李明、清华大学周喆等数学研究生的意见，在此致以衷心的感谢！2 基本概念给定平面图G=＜V，E＞，其中，V是非空结点集，E是连接结点的边集[1]。
G具有面F1，F2，…，F n，这些面中，不受边界约束的面称作无限面（也可称外部区域），所有的面除称作面外也可称作国家。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四色猜想的证明吴道凌（广东省广州市，510620）摘要：四色猜想至今未得到书面证明。
根据其定义的国家概念和着色要求，揭示了无限平面或球面上任意国家及其邻国的构成和着色规律，从而给四色猜想一个书面证明。
关键词：四色；猜想；证明；国家；着色中图分类号：O157.5 文献标识码：A1852年，英国学者弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)提出，“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色”，这就是后来数学上著名的四色猜想。
对此猜想，一百多年来曾有无数学者予以研究，但人工验证均无功而返。
1976年，美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)和哈肯(Wolfgang Haken)利用电子计算机，作了大量判断，对四色猜想进行了机器证明，但这一证明不能由人工直接验证，人们必须对计算机编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任，因此并不被人们普遍接受。
本文拟根据四色猜想定义的国家概念和着色要求，研究无限平面或球面上国家的构成及其着色规律，寻找对四色猜想的书面证明。
1 四色猜想相关定义及表述方法四色猜想所指的国家，是指连续的区域，可为单连通区域，也可为多连通区域，不连续的区域不属一个国家。
共同边界指相邻国家有无数个共同点，四个或四个以上的国家不交于一点，或者说，这种交点不认为是共同边界，只有这种交点的国家不需区分着色。
四色猜想并未限制地图范围，地图可定义在球面或无限平面上。
在球面上的任何国家，将存在一个外边界，由一条简单闭曲线构成，在无限平面上的国家，一般也由一条简单闭曲线构成外边界，个别国家也许在某些区间不存在边界（即区域无限延伸），其外边界将由若干段曲线构成，对于这种情况，我们可在其无限远处虚拟若干个国家若干段边界，与实在的若干段边界构成一条简单闭曲线边界，这种做法实际上提高了这些国家的着色要求，因此不影响本命题的论证。
如为单连通区域，国家里边将不存在内边界，如为多连通区域，国家里边将存在若干由简单闭曲线构成的内边界。
因此，为使命题具有普遍性，把国家定义为具有一个外边界和若干内边界的区域，每一边界均为该国与若干邻国的共同边界构成的简单闭曲线，如图1示。
下面把构成一条这种共同边界闭曲线的若干邻国称为一个邻国圈。
用小圆圈表示邻国，两国相邻时，用线条连接两个小圆圈，一个邻国在共同边界多处出现时，各处分别用小圆圈表示，并用线条连接各处表示连通。
把一个国家表示为由其若干邻国圈构成的闭合圈围闭的区域，如图2示。
其中，外闭合圈之外，一些邻国可能跨越闭合圈上的一个或多个邻国与其它一个或多个邻国相邻，一些邻国也可能多处出现在闭合圈上，这些情况将使闭合圈外存在若干邻国之间的连线，同理，每个内闭合圈之内也将可能存在若干邻国之间的连线。
另外，邻国里边也许包含若干小区域，两国连邻时，共有边界也许不只一段，多段共有边界之间将存在若干小区域，相当于圆圈及连线里边可能包含若干小区域，各小区域分别由若干国家组成，这些小区域并不影响对所需研究的国家及其邻国的着色讨论，因此，暂不予考虑。
除了若干闭合圈围闭的阴影部分区域为所需研究的一收稿日期：2009-3-26作者简介：吴道凌，高级工程师，硕士个国家外，其它圈线围闭的若干区域可以不存在其它国家，也可以存在若干国家。
这里未反映国家外可能存在的不属于任何国家的区域情况，对于这种情况，我们可把这种区域也当作国家，只是，如果这种区域有不相连通的多个时，为不与本猜想命题相左，这种区域的着色可不统一。
根据国家及共同边界定义，这种表示两国相邻或一国连通的连线总是不相交的。
2 一个国家及其邻国圈构色2.1 国链及三色圈的构色及链接规律若干个国家以某种方式连接而成的构造形式简称构形，使构形相邻国家着上不同颜色的过程简称构色，最多只需三种颜色的构形简称三色构形。
由若干个国家一个连接一个形成的一条区域链简称国链（用L表示），除首尾两国仅与一国连接外，其余各国均与另两国连接，当构成国链的国家个数为奇数个（包括一个）时，称为奇链，为偶数个时，称为偶链。
现为国链构色，自左至右，当第一个国家着色A时，第二个国家可着色B，以后逢单着色A，逢双着色B，最后一个国家，奇链可着色A，偶链可着色B。
由此可见，国链可以两种颜色构色。
将上述国链的首尾相接即构成闭合国链，简称国圈，国圈上各国家之间，每一国仅与另两国连接。
对国圈进行构色时，两色偶链首尾着色不同，首尾相接时原来的着色即能满足要求；两色奇链首尾着色相同，不能满足国圈着色要求，但只要将首尾中的一个国家改变为第三种着色，国圈即可构色。
因此，最多采用三种颜色即可对国圈进行构色。
以后将最多只有三种构色的国圈称为三色圈（用S表示）。
国链及国圈构色示意图如图3示。
将一条国链的两端国分别与一个构形的一个国家连接，或与同一个国家连接，称为链接。
如果链接的是一个三色构形，国链构色时在涵盖构形可能有的三色范围内选择颜色，自国链一端开始，受与之连接的构形一个国家的一个约束，首个国家只剩余两种选择，依此类推，倒数第二个也有两种选择，但最后一个多了一个来自构形的约束，如果这个约束与倒数第二个一致，那最后一个仍有两种选择，如果这个约束与倒数第二个不一致，那最后一个仍有一种选择。
因此，一条国链链接一个三色构形而成的新构形仍为三色构形，链接不需增加三色或三色以上构形的构色。
图4示意了国链与一个三色圈的链接情况。
三色圈链接一条国链后，新构形仍为三色构形，继续链接其它国链，构形仍保持为三色构形。
将构造一个构形后剩余的区域叫余域（用Y表示）。
可以看到，在一个无限平面或球面上，构造一个三色圈后，一般出现两个不相连通或相邻的余域，每个余域均由该三色圈围闭。
一条国链链接三色圈后，根据定义，两个被链接国将把三色圈分为两段（当只有一个被链接国时，认为其中一段只有这一个国），分别与国链构成一个新三色圈，国链所在区域构造国链后将再出现两个余域，分别被两个新三色圈围闭。
在新构形的余域中再继续构造链接的国链，将可能再出现新三色圈围闭的新余域。
当然，上述将区域一分为二的提法是不定的，如果三色圈或国链扩大到充满一个或两个余域，余域将只有一个或不存在，如果某些国家或连接线里面还有余域，余域将可以更多，但无论如何，每个余域均由三色圈围闭，且互不连通或相邻。
2.2 邻国圈构色考察一个国家的外邻国圈。
当邻国圈各国之间每国仅与另两国相接，邻国圈将是一个国圈，最多只需三种构色。
但如上所述，一般邻国圈构成的闭合圈外，各邻国之间还可能存在其它连线，这些连线将不可能相交，可能的情况是多条连线层层包围，其中，最外围的一条连线将包围若干个邻国和连线，其外再也不存在邻国之间的连线。
把被最外围连线包围的邻国称近邻，一条最外围连线两端的邻国称被链接国，不存在这种跨邻国连线的邻国称邻国链，则一般邻国圈将由若干段近邻、被链接国和若干段邻国链连接而成，如图5（1）示， J1、J2、J3等为各段近邻（各段近邻内各邻国包括被链接国之间的可能连线未示），L1、L2、L3等为邻国链。
在不改变各国构形的情况下，将图5（1）等效表示为图5（2），由于各被链接国与各邻国链等最外层邻国（统称远邻）之间每国均与另两国连接，因此，它们将共同构成一个三色圈（图中外圈），简称远邻圈，一般邻国圈可看作各近邻通过被链接国与一个远邻圈连接而成。
其中，某段近邻（假设图中J1）对应的两个被链接国如果同属一个邻国，则将其合并为一个表示。
处于一条最外围连线范围内的一段近邻，各邻国之间的连线及与被链接国的连线同样不可能交叉，因此，一段近邻与三色圈的连接总可这样构成：自被链接国开始，逐一链接由部分邻国组成的国链。
如图6示的一段近邻，就可参照图4与三色圈连接，连接后的构形仍为三色构形，各近邻和被链接国将构成若干三色圈围闭可能存在的各余域。
依此类推构造其它近邻，最终形成的一个邻国圈将仍为三色构形，若干邻国围闭的可能存在的各个余域，包括先前暂未考虑的可能存在于各邻国或连线里边的余域，均由三色圈围闭。
把若干近邻和被链接国构成的若干三色圈统称为近邻圈。
同理可构造任一可能存在的内邻国圈，同样，把其最内层邻国构成的三色圈称为远邻圈，其它邻国构成的三色圈称为近邻圈。
因此，可得结论：推论一：任一国家，其所有邻国构成的邻国圈，将由最内和最外层邻国组成的若干远邻圈及其它邻国组成的若干近邻圈构成，所有邻国最多只需三种构色，可能存在的各个余域均由若干邻国组成的三色圈围闭。
2.3 一个国家构色如上所述，将一个国家着上有别于其邻国圈的最多第四种颜色，将可满足着色要求。
此时，该国家及其所有邻国总共最多只需四种构色，各余域由若干邻国构成的三色圈围闭。
3 双圈构形及其构色在上述任一由三色圈S1围闭的余域中对另一可能国家及其邻国继续构色，同理，该国家的所有邻国将构成若干三色圈，围闭余域中剩余的区域，其中，最外层邻国构成的三色圈S2将与S1共同围闭新余域，其它新余域全部由其自身邻国围闭，如图7示（其它可能三色圈未示）。
S1、S2之间，各国家可能存在各种连接情况，部分或全部国家可能是两个三色圈的共同国家（简称共域），因此，S1、S2的着色不一定能够统一，S1、S2的组合构形不一定是三色构形，其中的新余域不一定由三色圈围闭。
当S1、S2完全重叠时，全部国家均为共域，S1、S2为同一三色圈；当S1、S2之间各国完全不连接时，它们互不影响，各自可以统一的最多三种颜色构色，其中的新余域仍由三色圈围闭。
而一般的组合构形，构色则比较复杂。
由两个国圈及两圈之间各国的不同连接组合而成的构形称为双圈。
下面对各种可能的双圈构形及其构色予以研究。
3.1 不可变构形及其连接如图8示，上下两条国链L1、L2，自左至右构造各链的国家及它们之间的连接。
首先连接它们左端第一个国家组成基本链，而后在其右边每增加L1或L2一个国家时，该国总与L2或L1现有右端国连接，两条国链这种连接的构形称为不可变构形。
不可变构形中不可能再添加国链之间的连接线，构形的这种连接称为充分连接。
当所构造国家为L1、L2共域时，不可变构形终结，该共域为其单端域；或者当所构造国家不充分连接（即不与另一国链现有右端国连接）时，不可变构形也终结，构造该国前L1、L2各一个端国为其双端域。
不可变构形两端不断构造国家，如果L1、L2闭合成圈前两端分别出现上述终结情况之一，不可变构形将不闭合。
本节讨论的就是这种不可变构形，其端部按国家个数不同（即具有单端域或双端域）分两种形式，端部部分国家的一般构造形式如图9示。
由图8可见，用A、B、C三种颜色对不可变构形构色时，选定相邻两国构色后，以后连接的每国因总是受到前面两国的约束，在三色中能且只能有一种选择，因此，不可变构形是三色构形，且确定其中相邻两国构色后，在三色范围内每国的着色将不可变。