基于机器辅助的四色猜想数学证明

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少；另一方面，由于图 G • vi，v j 中仅 v0 唯一节点染第 5 色{E}，而 vi ,v j 与节点 v0 均不
相邻接，故 G • vi，v j 所含不可归约肯普链团的最高阶数不会因 vi 与 vj 重合而增加）
至此，图 G • vi，v j 仍是一个节点数为 k ，图 G • vi，v j 与 G • vi，v j - v0 的最 小节点度均小于等于 5（δ ≤ 5 ），含 4 阶不可归约肯普链团的简单连通图，根据归纳 假设条件知， χ( G • vi ,v j ) = 4 。
有鉴如此，本文提出一个将人类卓越的归纳推理能力与计算机高速的计算能力相结合的 证明四色猜想的新方法。基本思路是让机器证明一个规模相当小的染色特例问题（在个人电 脑上可以简单方便地验证），再运用数学归纳法，将机器证明的特例归纳推广到一般情形。
为证明严密起见，先定义几个相关概念。 定义 1.1 异色肯普链 Cij（Gxy，D）：图 G 的节点 Vi 与节点 Vj 处在 x 和 y 双色导出图 Gxy 的同一连通片中，且节点 Vi 与节点 Vj 着不同颜色，称节点 Vi 与节点 Vj 间有异色肯普链 Cij（Gxy，D），其中 D 表示节点 Vi 与节点 Vj 着双色。 定义 1.2 同色肯普链 Cij（Gxy，S）：图 G 的节点 Vi 与节点 Vj 处在 x 和 y 双色导出图 Gxy 的同一连通片中，且节点 Vi 与节点 Vj 着相同颜色，称节点 Vi 与节点 Vj 间有同色肯普链 Cij（Gxy，S），其中 S 表示节点 Vi 与节点 Vj 着单色。 以上定义中，若不关注具体颜色，则异、同色肯普链可简化表示为 Cij（D），Cij（S）。 定义 1.3 n 阶肯普链团 Kkn：以异色肯普链替代 n 阶完全图 Kn 中的邻接边构成 n 阶肯 普（Kempe）完全图 Kkn（本文称作 n 阶肯普链团）。显然，n 阶完全图 Kn 是结构最简的 n 阶肯普链团。 需要指出的是，简单连通图 G 是否包含 n 阶完全子图 Kn 完全取决于图 G 的连接结构， 但图 G 是否包含 n 阶肯普链团则一方面取决于图 G 的连接结构，另一方面还与染色及其优 化过程密切相关。与最优染色相对应的肯普链团称不可归约肯普链团，具体定义如下。
推论 1.3：不含 3 阶、4 阶不可归约肯普链团的简单平面图 G 是 2 可染色的。
参考文献
[1] Saaty T.L and Kainen P.C.,The Four-Colour Problem Assaults and Conquest,McGraw-Hill Inc.,1977. [2] 谢力同，刘桂真．关于 Whitney 和 Tutte 猜想，数学学报，第 38 卷第 3 期，1995.5。 [3] 殷剑宏，吴开亚．图论及其算法，中国科学技术大学出版社，2004 年，pp147~148。
图 1 引理 1.1 机器证明算法框图
基于机器辅助证明的上述引理，我们可以方便地得出下述定理。
定理 1.1 设图 G 是节点数为 n（n ≥ 11） , 含 4 阶不可归约肯普链团的简单连通图，且 图 G 与图 G' = ( G − v0 ) 的最小节点度均小于等于 5（δ ≤ 5 ， v0 是图 G 中最小度节点）， 则图 G 的色数： χ（G）= 4 。
1 本课题得到国家自然科学基金（70071043）的资助。
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定义 1.4 n 阶不可归约肯普链团 Ckn ：设简单连通图 G 的色数（chromatic number）为 χ（G） ，图 G 染 χ（G）色时所包含的最高阶（n 阶）肯普链团，称为 n 阶不可归约肯普链团 Ckn 。
证明：（用归纳法证明）
（i） 当 n = 11时，由引理 1.1 可知 χ（G）= 4 ；
（ii） 假设当 n=k 时定理仍成立（k.>11）,现证明 n=k+1 时也成立。
不妨设定为 v0 ，图 G 的节点数为 n=k+1，根据题设条件知: 图 G' = ( G − v0 ) 是节点数为 k，最小节点度小于等于 5 的简单连通图。 由于图 G 包含 4 阶不可归约肯普链团，G' ⊂ G ，所以，图 G' = ( G − v0 ) 所含 不可归约肯普链团的最高阶数小于等于 4。于是，根据归纳假设条件知， χ( G' ) ≤ 4 。 在考虑节点 v0 约束条件下，对图 G' = ( G − v0 ) 实现一个满足题设条件的 4 染 色{A，B，C，D}， v0 暂时染上第 5 色{E}。由于δ ≤ 5 ，图 G' 仅染 4 色，故在 G' 的 节点数大于 10 时，必存在均不与节点 v0 相邻接的同色节点（必有至少 3 点同色或至少 两对同色点。从中选取度数较大的同色节点 vi ,v j ，以保证 vi ,v j 合并后图 G' = ( G − v0 )
引理 1.1 如果图 G 是含 4 阶不可归约肯普链团 Ck4 的任意 11 节点简单连通图，则 χ（G ) = 4 。
对于 11 节点任意简单连通图的色数研究，理论和机器均可证明引理 1.1 。本文采用机 器证明法，算法框图见图 1。由于节点规模不大，算法结构也不复杂，感兴趣的读者都不难 在个人电脑上编程验证。有关引理 1.1 的理论证明，将另文撰述。
的最小节点度依然小于等于 5），使 G • vi，v j （图 G 中节点 vi 与 vj 重合成 1 个节点， 与节点 vi ，vj 邻接的所有边均连接到重合节点上）仍然保持包含 4 阶不可归约肯普链 团特性。（显然，G • vi，v j 所含不可归约肯普链团的最高阶数不会因 vi 与 vj 重合而减
在机器证明方面，1976 年，在计算机专家 J. Koch 的支持下，美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了 1200 个小时，作了 200 亿次判断，终于完成了四色定理的证明。但这一证明并不被所有的数学家 接受，因为它一方面缺乏数学应有的规范，另一方面又不能由其他数学家直接方便地验证。
1878～1880 年两年间，著名的律师兼数学家肯普（Kempe）和泰勒（Tait）两人分别提 交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。1890 年，数学家赫伍德（Heawood）以 自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。尽管如此， 这两篇错误论文在数学上仍有其独特的贡献。
（2） 5 阶肯普链团是不可平面的。这一点可由下图清楚看出。
图 2 5 阶肯普链团不可平面
不失一般性，设节点V2 ,V4 间有红黄肯普链，V2 ,V0 间有红白肯普链，V0 ,V4 间有白黄 肯普链，则形成一肯普链圈，圈上的节点仅染红黄白三色，在平面上，V1 ,V3 间兰绿色 肯普链无法穿越红黄白三色肯普链圈。由此可见，5 阶肯普链团是不可平面的。
（3） ( G ) ≤ 4 。
（4） 而小于 11 节点的平面图都是某个 11 节点平面图的子图，故节点数 小于 11 的任意平面图也是 4 可染色的。
（5） 所以，任意简单平面图 G 都是 4 可染色的（即： χ( G ) ≤ 4 ）。
再分开节点 vi ,v j ，还原成 k+1 节点图 G。由于 χ( G • vi ,v j ) = 4 知图 G 存在 一个 vi ,v j 同色的 4 染色方案，据图论染色相关定理[3]可知 χ( G ) ≤ 4 。另一方面，因为 k+1 节点图 G 包含 4 阶不可归约肯普链团，所以 χ( G ) ≥ 4 。综合两方面情况可知： χ( G ) = 4 ，即在 n=k+1 时定理成立。
作者简介：陈贤富，1963 年生，安徽怀宁人，博士，副教授，中国神经网络学会委员。1978 年考入浙江大学，1996 年在中国科大获博士学位，获省科技进步二等奖一项。主要研究领 域：复杂性科学与计算智能。
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基于机器辅助的四色猜想数学证明1
陈贤富
中国科学技术大学信息科学学院，合肥(230027)
E-mail：xfchen@
摘 要：本文提出了“不可归约肯普链团”新概念。在此基础上，借助机器辅助计算，运用数 学归纳法，理论证明了著名的四色猜想。 关键词：肯普链团，不可归约性，机器证明，数学归纳法，四色猜想。 中图分类号：O15
由数学归纳法知，节点数 n 为大于等于 11 的任意整数时，定理 1.1 成立。 证毕。□ 基于定理 1.1,我们可以方便地证明著名的“四色猜想”。 定理 1.2 简单平面图 4 可染色定理：任意简单平面图 G 都是 4 可染色的（即：
χ( G ) ≤ 4 ）。
证明：
（1） 简单平面图 G 的任何子图也是简单平面图，由欧拉定理知：δ ≤ 5 。
Based on computer aided proving, the four-colour conjecture is proved theoretically by mathematical induction. Keywords: Kempe-chain Clique, Irreducibility, Machine Proving,, Four-Colour Conjecture, Mathematical Induction.
Machine Aided Mathematical Proving of Four-Colour Conjecture
Chen Xianfu
College of Information Science, University of Science and Technology of China, Hefei, PRC (230027) Abstract
1852 年，英国弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)提出了著名的四色猜想。150 多年来， 数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长与发 展。电子计算机问世以后，不少计算机专家也加入到四色问题的研究之中。数学与计算机学 科的交叉融合，滋生了机器证明等众多崭新思维和交叉研究方向，推动了数学和计算机等领 域相关学科的发展，但在理论上一直未能解决四色猜想的严格数学证明问题[1][2]。