幂函数、指数函数、对数函数比较大小
指数函数、幂函数、对数函数增长比较
4 3 2 1 o 1 2 x y=log2 x
3.482 4.959 6.063 3.24 4.84 6.67
10.556 … 11.56 1.766 … …
0.848 1.138 1.379 1.585
3.结合函数的图像找出其交点坐标 结合函数的图像找出其交点坐标. 结合函数的图像找出其交点坐标 x 从图像看出 y=log2 6 的图像 8 … 0 1 2 3 4 5 x的图像 7 与另外两函数的图像没有交点， 与另外两函数的图像没有交点 256 … y=2x 1 2 4 8 16 32 64 128， 且总在另外两函数图像的下方， 且总在另外两函数图像的下方， y=x2 2的图像与 y=2x 25 36 49 64 … y=x 0 1 4 9 16 的图像有两个 交点(2， 和 交点 ，4)和（4，16）. ， ） 4.根据图像 分别写出使不等式 根据图像,分别写出使不等式 根据图像 log2 x<2x<x2和 log2 x<x2<2x成立的自 变量x的取值范围 变量 的取值范围. 的取值范围 使不等式 log2 x<2x<x2 的x取值范围 取值范围 是(2，4); ， 使不等式 log2 x < x2< 2x的x取值范围 取值范围 是(0，2)∪(4,+∞); ， ∪ 5.由以上问题你能得出怎样的结论？ 由以上问题你能得出怎样的结论？ 由以上问题你能得出怎样的结论
250 200 150 100 50
o
50 100 150 200 250 300习了 （1）指数函数、对数函数、二次函数的增长差异. ）指数函数、对数函数、二次函数的增长差异 （2）幂函数、指数函数、对数函数的应用 ）幂函数、指数函数、对数函数的应用.
指数函数、对数函数、幂函数
指数函数、对数函数、幂函数作者：来源：《数学金刊·高考版》2013年第03期指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位. 从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题. 题目多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质. 若它们与其他知识点交汇命题，则难度会加大.■指数函数与对数函数互为反函数，运算可相互转化，性质可相互理解，方法可相互借鉴.（1）学会指数式与对数式的相互转化；（2）结合指数、对数的“互反”性质记忆有关的概念、图象和性质. （3）若底是参数时，则一定要区分底是大于1还是小于1的情况，与对数有关的问题还要紧扣对数函数的定义域.■■ 若已知函数f（x）=ax，xA. 0，■B. （0，1）C. ■，1D. （0，3）破解思路本题的考查意图：一是解决指数函数的相关问题时，要对底数a进行讨论；二是考虑分段函数的单调性问题，这是学习的一个难点，应紧扣定义理解.经典答案由条件知， f（x）在R上为减函数，则0■ 若已知函数f（x）=log■1-■，其中0（1）证明：f（x）是（a，+∞）上的减函数；（2）解不等式f（x）>1.破解思路证明函数单调性的常用方法有定义法：一般是作差、分解、判断；导数法：若f （x）在某个区间A内有导数，则f ′（x）≥0（x∈A）？圳f（x）在A内为增函数；f ′（x）≤0（x∈A）？圳f（x）在A内为减函数.经典答案（1）任取x1，x2∈（a，+∞），且x10，因此有f（x1）>f（x2），所以f（x）是（a，+∞）上的减函数.（2）由已知01可得log■1-■>logaa，则0■1. 设集合A={x0≤xA. log■■，1B. （log32，1）C. ■，1D. 0，■2. 已知函数f（x）=xlnx.（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数F（x）=■在[1，e]上的最小值为■，求a的值.。
指数函数 幂函数 对数函数比较大小
指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。
在本篇文章中，我们将深入探讨这三种函数的性质，以及它们之间的比较大小关系。
通过本文的阅读，你将能够更全面地理解这些函数的特点，并从中获得更深入的数学启发。
1. 指数函数指数函数是数学中常见的一种函数，其一般形式可表示为 y = a^x，其中a为常数且不等于1。
指数函数的特点是随着自变量x的增大，函数值y以指数方式增长或者下降。
指数函数在自然科学、工程技术以及金融领域都有着广泛的应用，例如放射性衰变、人口增长模型等都可以使用指数函数来描述。
在指数函数中，底数a的大小决定了函数的增长速度，当a大于1时，函数呈现增长趋势；当a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。
2. 幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其一般形式可以表示为y = x^a，其中a为常数。
幂函数的特点是自变量x的次幂影响了函数值y的大小，不同的a值会导致函数曲线的形状发生变化。
当a为正数时，幂函数呈现增长趋势；当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。
幂函数在物理学、生物学以及经济学中都有着重要的应用，例如牛顿定律中的物体受力情况、生物种群数量增长模型等都可以用幂函数来描述。
3. 对数函数对数函数是幂函数的逆运算，常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。
对数函数的一般形式可以表示为 y= loga(x)，其中a为底数。
对数函数的特点是能够将幂函数转化为线性函数，便于进行求解和分析。
对数函数在科学领域、信息论以及计算机科学中有着广泛的应用，例如信噪比的计算、数据压缩算法等都离不开对数函数的运算。
指数函数、幂函数和对数函数各自具有独特的特点和应用，它们在数学领域和现实生活中都扮演着重要的角色。
在比较大小方面，一般来说，指数函数增长速度最快，其次是幂函数，对数函数增长速度最慢。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的函数来进行建模和求解。
幂、指、对数的大小比较-高考数学复习
B.a<c<b
C.b<a<c
D.c<b<a
lg5
lg7
lg5lg9-lg2 7
解析 因为 log75-log97=lg7 − lg9 = lg7lg9 ,lg 7lg 9>0,
lg5+lg9 2 lg45 2 lg49 2
又因为 lg 5lg 9<( 2 ) =( 2 ) <( 2 ) =lg27,所以 log75-log97<0,即
1
3
例 5(1)(2024·山西晋中模拟)设 a=2 ,b= ,c=3 ,则( A )
A.a<c<b
B.a<b<c
C.b<a<c
D.c<b<a
1
1
1
解析 依题意 ln a=2ln 2,ln b=eln e,ln c=3ln 3,
1
1
1
因此只需比较 ln 2, ln e, ln 3 的大小.
2
e
3ln==源自32 ∈(5,6),n=b所以 n>m>p,故选 C.
5 2 25
5
=( ) = =6.25,p=logab=log2
2
4
2
a
∈(1,2),
(2)(2024·云南昆明模拟)已知实数a,b,c满足ln(ln b)=a=ln c,则a,b,c的大小关
系为( C )
A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>c>a
为( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<b<a
D.b<c<a
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(45张PPT)——高中数学必修第一册
一次函数y＝kx(k＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)和对数函数y＝logbx(b＞1)的增长有何差异？
一般地，无论k(k＞0)、a(a＞1)、b(b＞1)如何取值，三种函数在区间(0，＋∞)上都单调递增，但一次函数总是保持固定的增长速度；指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值；对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值．
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
【解析】(1)由于指数型函数的增长式为爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y=的增长速度最快，故选A.
(2)从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化.
x
y=2x
y=2x
0
1
0
2
4
4
4
16
8
6
64
12
8
256
16
10
1024
20
12
4096
24
…
…
…
可以看到，当自变量x越来越大时，y＝2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长；而函数y＝2x的增长速度依然保持不变，与函数y＝2x的增长速度相比几乎微不足道．
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
10.2 1 ，c＝23，则( a＝log1 3 ， b ＝ 2 3
)
A．a＜b＜c C．c＜a＜b
B．c＜b＜a D．b＜a＜c
§6
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1.指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)在什么条件下是增函数？y＝2x 与 y＝3x 哪个增 长的速度更快？指数函数增长速度的快慢由什么决定呢？ 2．幂函数 y＝xn，当 x>0，n>1 时是增函数吗？当 x>1 时，其增长的快慢与 n 有什么关系？
3．对数函数y＝logax，当a>1时是增函数，那么随着a的增大，函数值的增
1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 20 30 5.907 40 6.322 50 6.644 60 6.907
y4 2 4.322 5.322
关于 x 呈指数型函数变化的变量是________．
[思路探究] 利用表格中数据增长速度的快慢来判断，指数型函数增长速度是越来越快．
3．已知a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系为________．
4．比较y＝4x，y＝x4与y＝log4x增长情况．
三种函数图像的比较 四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如下表： x 1 y1 2 y2 2 y3 2 5 26 32 10 10 101 15 226 20 401 25 626 30 901
[自主练习] 1．当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( A．y＝100 x C．y＝x100 B．y＝100ln x D．y＝100· 2x )
2．我国工农业总产值从 1990 年到 2010 年的 20 年间翻两番，设平均每年的 增长率为 x，则有( A．(1＋x)19＝4 C．(1＋x)20＝2 ) B．(1＋x)20＝3 D．(1＋x)20＝4
指数对数幂函数比较大小
.指数对数幂函数比拟大小学校 :___________ 姓名： ___________班级： ___________考号： ___________一、单项选择题111．设 alog 11 1 2c1 3〕， b2， 3 ，那么 a, b, c 的大小关系是〔23A.a b cB. c b aC. b c aD. c a b12．设 a=lo g 1 3,b=1,c= 2 3 ,那么()23A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<a<c3．正数 a 、b 、c 满足 log 2 a log 3blog 5 c 0 ，那么〔〕A.a b cB. a c bC.c a bD. c b a4． 0 a b 1, pa b , q b a , r log b a , 那么p, q, r 的大小关系是A.p q rB.p r qC. r p qD. q p r5． m log 5 ， n 5.1 3 ， p，那么实数 m ， n ， p 的大小关系为 〔〕．A.m n pB. m p nC. n m pD. n p m2221，那么 a, b, c 的大小关系是〔6 ． alog 2 ,b, c log 〕3 3 21 3A.a b cB. b c aC. c a bD. c b a7． a 2 ， b 2 ， c2log 5 2 ，那么a,b,c 的大小关系为〔〕A. c b aB. c a bC. b a cD. b c a8．三个数 a 2， b log 2 0.3 ， c 2 之间的大小关系是〔〕A. a c bB. a b cC. b a cD. b c a19． 9． alog 2 3 ， b log 1 3 ， c 3 2 ，那么2A. c b aB. c a bC. a b cD. a c b110． alog 5 2, b log 2 3, c 42，那么〔〕A. a b cB. a c bC. c a bD. c b a'.11． a2 ,b3 , c log 1 3 , 那么 a,b, c 的大小为〔 〕2A.b c a B. a c b C. b a cD. a b c12．假设 a 210 , b log 3, clog 2sin，那么〔〕5A.a b cB. b a cC. c a bD. b c a1 1 11 313．设 a32〕2,b3 , cln，那么〔A.c a b B. c b a C. a b cD. b a c14．假设幂函数的图像过点1, 4 ，那么fx =()2A. 16xB. x 1C. x 2D. x 215． f xlog 2 4 ax 在区间1,3 上是增函数，那么 a 的取值范围〔 〕A.,0B.,0C.4,0D.4,016．函数 y log 1x 2 3x 2 的单调递增区间是〔〕3A.,1B.,3 D.3C. 2,,2217．函数 f xlog 1 x 2 4x 的单调递增区间为3A.,2B.2,C.,0D.4,18．函数 fxlog 1 x 1 ， afsin5， b f log 23 ， cf2log 2，36那么 a, b, c 的大小关系是〔 〕A.a b c B. b a c C. c b a D. a c b二、填空题19．假设幂函数ym 2 3m 3 x m 2 m 1 的图象不过原点，那么 m 是 __________．20．函数 f xlgx 2 2x 3 的单调递减区间是 __________ ．.参考答案1． B【解析】由对数函数的性质可知：11a log213log12 21，0 ，且： b6131 , c 6 21 ， 很明显 b0, c12839b 6c 6 , 0 c b 1 ，综上可得：c b a .此题选择 B 选项 .点睛：对于指数幂的大小的比拟， 我们通常都是运用指数函数的单调性， 但很多 时候，因幂的底数或指数不相同， 不能直接利用函数的单调性进行比拟． 这就必 须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比拟时，假设底数不同， 那么首先考虑将其转化成同底数， 然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比 较，利用图象法求解，既快捷，又准确．2． A1【解析】∵ alog 1 3 log 1 1 0 ， 0 b1 1 1 ，c23 2012233∴ a b c 应选 A点睛： 此题考查了指数函数的性质和对数函数的性质及其应用， 属于根底题， 解答此题的关键熟记指数函数与对数函数的图象与性质， 利用指数函数与对数函数的性质， 判定 a, b, c 的范围，不明确用中间量“ 1〞， “0〞进行传递比拟，从而得到a,b, c 的大小关系．3． C【解析】给定特殊值，不妨设 log 2 a log 3b log 5c 1 ，那么：a 2,b3,c1, cab .5此题选择 C 选项 .4． A【解析】ab1balogb a ，函数ya xba a， p a ， q b ， r 递减，那么a, 函数 y x b 递 增 ， 那么 a a b a 1 , 函 数 ylog b x 递 减 , 那么 log b a log b b 1 ， 故'.a b b a log b a ,即 p q r ，应选 A. 5． A【解析】∵ m log 5log 10 ，0n 5.1 3p ，∴ m n p ，应选 A．6． D【解析】试题分析：0 ，0 b 1，c 11，故c b a.a log 21log122考点：比拟大小. 7． B【解析】B.8． C【解析】∵a 2 1,b 2 22, c 2log5 2 log 5 4 1 ， b a c ，应选20.09 1 ， b log 2 0.3 log 21 0 ， c 2 201∴ b a c应选 C点睛：此题考查了指数函数的性质和对数函数的性质及其应用，属于根底题，解答此题的关键熟记指数函数与对数函数的图象与性质，利用指数函数与对数函数的性质，判定a, b, c的范围，不明确用中间量“1〞，“0〞进行传递比拟，从而得到a,b, c 的大小关系．9． D1【解析】由题意可得： a log2 3 1,b log1 3 0,c 3 20,1 ，2那么： a c b .此题选择 D 选项 .10． B1【解析】∵ a log 5 2, b log 2 3,c 4 21， log 2 31又∵log 51 log5 2 log 55log 2 2 1 ， 4 221 2.∴0 a1， b 1， c122∴ a c b应选 B 11． D【解析】 a20,b 30,c log 1 3 0 , a 22,b 30.6 5 33 5 32 2 .2所以 a b c .应选 D. 12． A【解析】∵ a 2100 πππ ＜ log 2 1=0 ，＞ 2 =1 ， 0=log 1＜ b=log 3＜log π =1， c log 2sin5∴a＞ b ＞c ． 应选 A ． 13． B【解析】由 3 1可得 c ln30 ，很明显 a 0, b 0 ，很明显函数 f xlnx 0, e 上单调递增，在区间x1 1ln1ln1故 f f ，即：23 ，231 1 231 1 1那么：11 1 ln 13 ln2 2，据此有：lnln33231 2，1 1131 2b ，结合对数函数的单调性有：3，即 a2综上可得：a b c .此题选择 B 选项 .点睛：对于指数幂的大小的比拟， 我们通常都是运用指数函数的单调性， 但很多时候，因幂的底数或指数不相同， 不能直接利用函数的单调性进行比拟． 这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比拟时，假设底数不同， 那么首先考虑将其转化成同底数， 然后再根据指数函数的单调性进行判断． 对于不同底而同指数的指数幂的大小的比拟，利用图象法求解，既快捷，又准确．14． D【解析】设幂函数f x x ,'.图像过点1 , 4 2所以f11 4 ，解得 2 .22所以 f x x 2.应选 D.15． D【解析】令 t4ax ，那么原函数由y f t和 t4ax 复合而成的复合函数，函数f x log24ax 在1,3 上是增函数，{a04 a 0， a 的取值a，解得40范围是4,0，应选 D.16． A【解析】函数的定义域为,12,令 t x23x 2 ，那么y log 1 t3t x23x2在,1上单调递减，在2,上单调递增，y log 1 t 为减函数，3根据“同增异减〞可知：函数 y log 1x2 3x 2 的单调递增区间是,13应选： A点睛：：复合函数的单调性的判断口诀为“同增异减〞，即内外层单调性一致为增函数，内外层单调性相反为减函数，易错点忽略了函数的定义域，单调区间必然是定义域的子集. 17． C【解析】函数的定义域为，04，令 t x24x ，那么y log 1t3t x24x 在，0上单调递减，在 4,上单调递增，又 y log 1 t 在定义域上单调递减，根据“同增异减〞可知：3.函数 fxlog 1 x 2 4x 的单调递增区间为,03应选： C点睛： 复合函数的单调性的判断口诀为“同增异减〞， 即内外层单调性一致为增函数，内外层单调性相反为减函数，易错点忽略了函数的定义域，单调区间必然是定义域的子集.18． A【解析】函数 fxlog 1 x 1 关于直线 x1 轴对称，且在,1 上单调递增， 在 1,3上单调递减，afsin5f1 = f3， bf log 23f log 2 3 ，622cf2log 2f π又3log 2 3 πf xlog 1 x 1在1,上单调递减，2，3∴ ab c应选： A19． 1【解析】幂函数ym23m 3 x m 2m 1 的图象不过原点，{ m 2m 1 0 ，解得m 23m 3 1m 1，故答案为 1.20． 1,3【解析】由 x 2 2x 30 ，解得 1 x 3又 x 2 2x 3x 124所以减区间是1,3'.。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
请问，你会选择哪种投资方案？
函数y=3 与y x 图像的交点为（）
x 3
A.1 C.3
答案：B
B.2 D.4
探 究
一般幂、指、对函数模型的衰减性
y
y=xn
y=ax
o 1 x
y=logax
在区间(0, ,+∞)上,尽管函数y=logax(0<a<1)， y=ax(0<a<1)与y=xn(n<0)都是减函数,但它们的 衰减速度不同,而且不在同一个“档次”上。随 着x的增大， y=logax(0<a<1)的衰减速度越来越 快,会超过并远远大于y=ax(0<a<1)的衰减速度,
答：单调递增
二 、指数函数、幂函数、对 数函数增长比较
探究（一）：特殊指、幂、对 函数模型的差异 对于函数模型 ：y=2x, y=x2, y=log2x其中x>0.
思考1:观察三个函数的自变量与函 数值对应表, 这三个函数增长的快慢情 况如何？
自变量x
函数值
y=2x
·· · 1.149 1.516
1
1.96 3.24 4.84 6.76 9 11.56 16 25 49
0
0.485 0.848 1.138 1.379 1.585 1.766
·· ·
·· ·
·· ·
·· ·
比较函数y=2x, y=x2, y=log2x图像增长快慢
y y=2x
y=x2
y=log2x
1 o 1 2 4 x
对数函数 y=log2x增长最慢，幂函数 y=x2和指数函数y=2x快慢则交替进行 在(0,2)，幂函数比指数函数增长 快。 在(2,4),先幂函数比指数函数增长快， 然后指数函数比幂函数增长快。
浅谈高中数学的“大大,小小”——幂函数、指数函数、对数函数的数学口诀及其推广
例如 ： 在坐标 系内 ， 我们赋予 坐标轴 的正方 向为 “ 大”， 方 负
— —
一
向 为 “ ” 在 “ 函数 ” “ 数 函数 ” “ 数 函 数 ” ， 们 赋 予 小 ； 幂 、指 、对 中 我 些变量在一定 的范 围内为大 ， 而在另一些范 围内为小 ， 具体 的 有 了“ 大 、 小” 大 小 的这 样 的 特 殊 的含 义 我 们 可 以在 以 下 两
大 大 小 小 大
解 析 ： 知 数 Ｘ的系 数 为 １为 大 ； 有 Ｘ（２ ＋ ６ ＞０也 为 未 又 ｙ
口＞１
大
＞１
Байду номын сангаас
０＜ ＜１ 小 ａ ） ≠１ ＞１ 大
Ｏ＜ ｏ＜１ 小
大 ； 以根据 “ 所 大大为大 ” 易知道 ： 容 Ｘ（２ ＋ ６ ＞ ０所 表示 的 ｙ 平 面区域在直线 Ｘ（２ ｙ＋ ６ ＝０的右方 ； 未知数 Ｙ的系数 为 一 ２为小 ； 又有 ｘ（２ ＋６ ＞０也为大 ； ｙ 所 以根据“ 小大为小 ” 容易知道 ： Ｘ（２ ｙ＋ ６ ＞０所 表示 的平 面
团代 学 教
浅 谈 高 中数 学 的 “ 大 小 ＂ 大 ， 小
幂 函数 、 数 函数 、 数 函数 的数 学 口诀 及其 推广 指 对
广 东省湛江 市第一 中学 孟凡正
大 小 的 问题 是 中 学 数 学 中 的一 个 重 要 问题 ， 果 在 不 同 的 如
５ ４ ３ ２０８
解 析 ： 为 ０＜０＜１ 所 以 ０＜１一。＜１ １＜１＋ｎ＜２ 所 以 因 ， ， ，
是
— —
在 判 断 “ 函 数 ” “ 数 函数 ” “ 数 函数 ” 幂 、指 、对 的大小 中 。 我们 推 出 ： 大 大 为大 ” “ 小 为 小 ” “ 大 “ 、大 、小 为 小 ” “ 小为 大” 判 断方 法 ， 种 方 法 对 于我 们 判 、小 的 这 断“ ” “ 式” “ 数式 ” 幂 、根 、对 的符 号很 有 帮助
指数对数幂函数对比
指数函数概念：一般地，函数y=a^x(a＞0，且a≠1）叫做指数函数,其中x是自变量，函数的定义域是R.注意:⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义.指数函数的图像与性质：规律:1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2。
当a＞1时,底数越大,图像上升的越快，在y轴的右侧,图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧,图像越靠近y轴.在y轴右边“底大图高"；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀:“大增小减"。
即:当a＞1时,图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。
4。
指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法:1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较;4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数,图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x 在定义域(—∞,+∞)上是单调函数，所以它存在反函数,我们把指数函数y=a x （a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1）.因为指数函数y=a x 的定义域为（-∞,+∞）,值域为（0，+∞），所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为（-∞，+∞）。
2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数,因此它们的图像对称于直线y=x 。
据此即可以画出对数函数的图像,并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0,a ≠1）的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x,y=log 10x ，y=log 10x ，y=log 21x ，y=log101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x（a＞0，a≠1)的图像的特征和性质。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
比较函数y=2x, y=x2, y=log2x图像增长快慢
y=x2 y=2x
16 4
24
对数函数 y=log2x增长最慢; 幂函数 y=x2和指数函数y=2x快慢则交替进行;
在(0,2)，指数函数比幂函数增长快;
在(2,4)，幂函数比指数函数增长快;
在(4,+∞)，指数函数比幂函数增长快.
y=log2x
比较1.mp4
比较y函 2数x , y x3, y lo图g2 像x 增长快慢
对数函数 y=log2x增长最慢;
幂函数 y x3 和指数函数 y 2x 快慢则交替进行;
在(0,1.37)，指数函数比幂函数增长快; 在(1.37,9.94)，幂函数比指数函数增长快; 在(9.94,+∞)，指数函数比幂函数增长快.
试比较函数 y x200, y ex , y lg x 的增长情况？
谢谢各位的倾听
THANK YOU FOR YOUR ATTENTION
对数函数.mp4
幂函数 y xn
当x＞0，n＞1时，幂函数y=xn是增函数，并且对 于x＞1，当n越大时，其函数值的增长就越快。
在同一坐标系内做出下列函数的图像:
(1) y x2
(2) y x3 (3) y x4
幂函数.mp4
思考？
对于上述三种增加的函数,它们的函数值的增 长快慢有何差别呢?
(1) y 2x
(2) y 3x (3) y 4x
指数函数.mp4
对数函数 y loga x(a 0且a 1)
当a＞1时，对数函数y=logax是增函数，并且对 于x＞1，当a越小时，其函数值的增长就越快。
在同一坐标系内做出下列函数的图像:
3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
[读教材·填要点]1．三种函数的增长特点(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．2．三种函数的增长比较在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝x n(n＞0)，指数函数y＝a x(a ＞1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有a x＞x n＞log a x.[小问题·大思维]1．2x＞log2x，x2＞log2x，在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：结合图像知一定成立．2．2x＞x2在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2.[研一题][例1]四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x呈指数型函数变化的变量是________．[自主解答]以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．[答案]y2[悟一法]解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．[通一类]1．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表：试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大；(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小.[研一题][例2]假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？[自主解答]设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一，二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三．[悟一法](1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．(2)一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．[通一类]2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． 解：(1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c . 解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252； (2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， ∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.若x 2＜log m x 在x ∈(0，12)内恒成立，求实数m 的取值范围．[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在(0，12)内的上下位置关系，再构建不等式求解．[妙解] 设y 1＝x 2，y 2＝log m x ，作出符合题意的两函数的大致图像(如图)，可知0＜m ＜1.当x ＝12时，y 1＝14，若两函数在x ＝12处相交，则y 2＝14.由14＝log m 12得m ＝116，又x 2＜log m x 在x ∈(0，12)内恒成立，因此，实数m 的取值范围为116≤m ＜1.1．下面对函数f (x )＝log 1x 与g (x )＝(12)x 在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )A ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越快B ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越慢C ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越慢D ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越快解析：在同一坐标下分别作出函数y ＝log 12x 和y ＝(12)x 的图像，由图像知C 正确．答案：C2．下列所给函数，增长最快的是( )A ．y ＝5xB ．y ＝x 5C ．y ＝log 5xD ．y ＝5x 答案：D3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y 关于年数x 的函数关系较为近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C ．y ＝2x10D ．y ＝0.2＋log 16x解析：当x ＝1时，否定B ；当x ＝2时，否定D ；当x ＝3时，否定A. 答案：C4．已知函数f (x )＝3x ，g (x )＝2x ，当x ∈R 时，f (x )与g (x )的大小关系为________． 解析：在同一直角坐标系中画出函数f (x )＝3x ，g (x )＝2x 的图像，如图所示，由于函数f (x )＝3x 的图像在函数g (x )＝2x 图像的上方，则f (x )＞g (x )． 答案：f (x )＞g (x )5．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m ，从2013年起，过x 年后湖水量y 与x 的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q %，则(q %)50＝0.9，∴q%＝0.9150，∴x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.9x50.答案：y＝0.9x50·m6．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x；(2)当x＜x1时，g(x)＞f(x)；当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；当x＞x2时，g(x)＞f(x)．一、选择题1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()A．y＝10x B．y＝lg xC．y＝x10D．y＝10x解析：由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝10x的增长速度最快．答案：D2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数y＝f(x)的大致图像为()解析：y＝f(x)＝(1＋10.4%)x＝1.104x是指数型函数，定义域为{0，1，2，3，4…}，由单调性，结合图像知选D.答案：D3．函数y＝2x－x2的图像大致是()解析：由图像可知，y ＝2x 与y ＝x 2的交点有3个，说明函数y ＝2x －x 2与x 轴的交点有3个，故排除B 、C 选项，当x <x 0时，有x 2>2x 成立，即y <0，故排除D.答案：A4．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( )A ．h (x )＜g (x )＜f (x )B ．h (x )＜f (x )＜g (x )C ．g (x )＜h (x )＜f (x )D ．f (x )＜g (x )＜h (x )解析：在同一坐标下作出函数f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的图像，由图像知，D 正确．答案：D 二、填空题5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2004年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2014年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________．解析：1年后，y ＝15(1＋x )；2年后，y ＝15(1＋x )2；3年后，y ＝15(1＋x )3，…，10年后，y ＝15(1＋x )10.答案：y ＝15(1＋x )106．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y ＝f (x )的图像恰好经过k 个格点，则称函数y ＝f (x )为k 阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．①y ＝x 2；②y ＝x －1；③y ＝e x －1；④y ＝log 2x .解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点(1，1)，(－1，－1)；而③y ＝e x －1除了(0，0)外，其余点的坐标都与e 有关，所以不是整点，故③符合．答案：③7．若a ＝(35)x ，b ＝x 3，c ＝log 35x ，则当x ＞1时，a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵x ＞1，∴a ＝(35)x ∈(0，1)，b ＝x 3∈(1，＋∞)，c ＝log 35x ∈(－∞，0)．∴c ＜a ＜b .答案：c ＜a ＜b8．已知a ＞0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，作出函数y 1＝x 2，y 2＝a x 的图像：要使x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，只要当x ＝－1时，有(－1)2－a －1≤12，解得a ≤2，∴1＜a ≤2.当0＜a ＜1时，同理，只需12－a 1≤12，即a ≥12.∴12≤a ＜1. 综上所述，a 的取值范围是[12，1)∪(1，2]．答案：[12，1)∪(1，2]三、解答题9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同． 试通过计算说明，谁将在合同中获利？解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310(万元)．而吉米，第一天得到1分， 第二天得到2分， 第三天得到4分， 第四天得到8分，第20天得到219分， ……第31天得到230分，使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2 147 483 647分≈214 7.48(万元)． 所以在这份合同中吉米纯获利2 147.48－310＝1 837.48(万元)．所以吉米将在合同中获利．10．某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x ，其中哪个模型能符合公司的要求？解：借助计算器或计算机作出函数y ＝5，y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x 的图像(如图)，观察图像发现，在区间[10，1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x 的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10，1 000]上单调递增，当x ∈(20，1 000)时，y ＞5，因此该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x ，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10，1 000]上单调递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，因此该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10，1 000]时，是否有y x ＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10，1 000]． 利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(如图)，由图像可知它是单调递减的，因此f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0，log7x＋1＜0.25x.所以，当x∈[10，1 000]时，log7x＋1x＜0.25.说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润的25%.综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求．更多资源下载地址：/。
指数函数·幂函数·对数函数增长快慢的比较（案例）
指数函数·幂函数·对数函数增长快慢的比较（案例）一．背景：时间：2009年5月地点：西安市远东第一中学参与人员：王军红老师 高一（7）班学生起因：在高一第一学期学完幂函数，指数函数，对数函数后，课本有一节研究性学习课，《指数函数，幂函数，对数函数增长的比较》，本课涉及到画函数图象，比较函数值的大小，但因局部图形的对比难以体现基本关系，且数据计算量很大所以，准备以惠普计算器辅助教学。
我准备用不同的方式对两个班级分别进行教学。
在高一（7）班利用惠普计算器指导学生进行探究，在高一（5）班用常规方法教学，想从学生兴趣，学习效果，学生体会异同几个方面进行教学效果对比。
二．主题：本案例是教师指导学生利用惠普计算器，通过画函数图象，列出函数值表，观察指数函数，幂函数，对数函数增长的快慢，发现，体会“指数爆炸”这一函数值极速增长的现象，培养数形结合的数学思想，激发学生主动探究问题的兴趣，提高自主学习能力，并鼓励学生尝试写出研究小论文。
三．教学过程：提出问题：当a>1时,指数函数y=xa 为增函数；当n>0,x>0时,幂数函数y=n x 为增函数；当a>1时,对数函数y=log a x 为增函数；它们那个增长的较快？ 实验一：比较函数212322,,log x y y x y x ===（只考虑x>0的情况）增长的快慢 。
输入函数解析式，画图。
（指导学生动手操作，学生参与积极，并能与他人合作交流。
）引导学生观察图像，发现，对数函数增长显然先快后慢，而幂函数和指数函数增长的快慢则交替出现。
求得2122,x y y x ==的第一个交点是（2，4）。
利用光标跟踪，发现当x>2时，22y x =的图像在12x y =图像的上方，总是如此吗？ 引导学生改变坐标单位倍数，求得2122,x y y x ==的第二个交点是（4，16）。
适当对坐标进行缩放：当x>4时，图像观察不是很方便，光标跟踪效果不好，指导学生利用数据表进行比较：观察数据表，学生好奇而惊讶的发现：当x>4时，12x y =的函数值比22y x =的函数值增长的越来越快，直至呈“爆炸”性增长。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
一 指数函数、幂函数、对数函数图像回顾 二 指数函数、幂函数、对数函数增长比较
一 指数函数y=ax (a>1)图像及a对图像影响
ay
y=ax
b
y=bx
O1
x
a>1时，y=ax是增函数，
底数a越大，其函数值增长 就越快.
二 对数函数y=logax (a>1)图像及a对图像 影响
y y=logax y=logbx
4 24
函数y=2x, y=x2, y=log2x图像 增长快慢比较
对数函数 y=log2x增长最慢，幂函数 y=x2和指数函数y=2x快慢则交替进行
在(0,2)，幂函数比指数函数增长快 在(4,+∞)，指数函数比幂函数增长快
规律总结
(1)对数函数增长最慢 (2)当自变量x大于某一个特定值时， 指数函数比幂函数增长快
1
O
aБайду номын сангаас
bx
a>1时，y=logax是增函数，
底数a越小，其函数值增长就 越快.
三 幂函数y=xn (n>1)图像及n对图像影响
y
y=x2
y=x3
O
x
n>1时，y=xn是增函数，
且x>1时，n越大其函数值增 长就越快.
比较函数y=2x, y=x2, y=log2x图像增长快慢
y=2x
y=x2
16
y=log2x
由于指数函数增长非常快，人们 常称这种现象为“指数爆炸”
本节内容
一 指数函数、幂函数、对数函数图像回顾 二 指数函数、幂函数、对数函数增长比较
指数函数对数函数比较大小攻略
指数函数、对数函数比较大小
指数函数对数函数的比较大小问题，在教材上有大量的直接考察习题，而且考点层次要求高，因而高考中已经多次直接进行考察，这一点内容可以不合其他知识点发生关联的情况下直接进行命题，足以可见其重要性。
一般来说，指数、对数比较大小我们采取的思路是：
首先，尽量将不同底数的指数、对数或幂函数，通过公式化成同一底数的，底数相同的指数函数或者对数函数，然后根据底数相同情况下的单调性，进行比较大小；
其次，对于确实不能化成同一底数的，我们尽量将真数或指数化成相同的，然后我们做出图像，也就是说同取一个x值，看不同指数式或者对数式所对应的函数值的大小，主要依据是：
根据指数函数在第一象限内底数越大图像越高；
对数函数在第一象限内绕（1，0）点顺时针排序底数增大（水平向右底数增大）；
最后，如果全都不能化成相同的，我们一般先做出图像，观察图像，判断大小，如果图像仍然不能解决问题，那么我们就应该考虑找中间值进行比较，中间值一般取0，-1,1，比如能否确定所要进行比较的数的正负、与1或-1的大小关系。
通过上述方式一般能解决所有比较大小问题。