《电路分析》阶跃函数和阶跃响应
《电路基础》第16讲 阶跃函数和阶跃响应
例 1 f(t) 1
0 t0
f (t) (t) (t t0 )
例2
f(t)
t
1
例3 f(t) 1
01
t
f (t) t[ (t) (t 1)] (t 1)
0 -1
1
23
t
f (t) (t) 2 (t 1) (t 2)
例4 f(t) 2
1
f (t) (t) (t 1) (t 2) (t 3)
在t=0时接通电压值为1v或1A的直流源。因此单位阶 跃响应与直流激励的响应相同，求解方法与前面的
零状态响应相同，只要令输入为 (t)即可。反过来
，已知了单位阶跃响应，就能求得任意直流激励下 的零状态响应，只要把阶跃响应乘以该直流激励的 量值。
10
三. 任意激励作用下电路的零状态响应
1、线性电路的线性性质
1
用单位阶跃函数描述直流电源
单位阶跃函数可以用来描述1V或1A的直流电源在t=0时接 入电路的情况。
f (t) (t)
f(t) 1
t
0
2
用单位阶跃函数描述直流电源 如果在t0时刻接入B(V)或B(A)的直流电源
?
f (t) B (t t0 )
f(t) B
0 t0
t
3
用单位阶跃函数可组成复杂的信号
时间间隔取得越小， fˆ (t) 越接近f（t）。
(t) g(t)
延时不变性
[ f (k) f ((k 1))] (t k)
[ f (k) f ((k 1))]g(t k)
在 fˆ (t) 作用下的零状态响应为：
线性性质
yˆ f (t) f (0)g(t) [ f (k) f ((k 1))]g(t k) k 1
《电路分析》第单元精讲
t 0.5s,t 4s u( t ) u( t ) 1 t idξ t C 0.5s t 1s 如 ： 0.5s t 1s t 1s t 2s uc ( t ) uc ( 0.5 ) 2 10d 0.5 2s t 4s U 20t - 10 电压波形如图4-3(c)所示 15
线性电容的q~u 特性是过原点的直线 C= q/u
8
第四章 动态电路
2、线性电容的电压、电流关系： u, i 取关联参考方向 i + u – + – C
t u( t ) 1 i( ξ )dξ C
22:37:56
dq du i C dt dt
微分形式
积分形式
通常假设 t = t0 为计时起始时刻，上式可写为：
10A i ( t ) - 2.5A 0
0.5s t 1s 2s t 4s 其它
14
第四章 动态电路
10
is /A
10+U
22:37:56
uc /V
-2.5 0 1
2
3
4
U
2 0 1 ( c)
3
(b)
t/s
4 t/s
由积分形式的伏安关系可求得各时段的电压
U U 20t - 10 uc ( t ) U 10 U 20 - 5t
第四章 动态电路
3. 电容的储能
22:37:56
du p ui u C dt t t du 1 2 1 2 1 2 WC Cu dξ Cu (ξ ) Cu ( t ) Cu ( ) dξ 2 2 2 若u ( ) 0 1 2 1 2 Cu ( t ) q (t ) 0 2 2C
阶电路的阶跃响应
二阶电路的阶跃响应实例
总结词
二阶电路的阶跃响应具有三个阶段，分别是瞬态、过渡和稳态阶段。
详细描述
二阶电路在阶跃信号输入时，首先进入瞬态阶段，其输出会迅速变化。随后进入过渡阶段，此时输出 值开始趋近于稳态值，但会有一定的波动。最后达到稳态阶段，电路达到稳定状态，输出值与输入值 相等。
高阶电路的阶跃响应实例
阶跃响应的分析
03
通过分析解的性质来理解阶跃响应的特点和规律。
04 阶电路的阶跃响应分析
CHAPTER
阶跃响应的数学模型
01
阶跃响应的数学模型通常由微分方程或差分方程表示，描述了 电路在阶跃输入下的动态行为。
02
阶跃响应的数学模型中，通常包含电路的电阻、电容、电感等
参数，以及输入信号的幅度和时间常数等。
阶电路的阶跃响应
目录
CONTENTS
• 引言 • 阶电路的基本概念 • 阶电路的阶跃响应原理 • 阶电路的阶跃响应分析 • 阶电路的阶跃响应实例分析 • 结论与展望
01 引言
CHAPTER
主题简介
01
阶电路的阶跃响应是电路理论中 的一个重要概念，主要研究电路 在输入阶跃函数时的动态响应。
02
它描述了电路从一个稳态过渡到 另一个稳态的过程，涉及到电路 的瞬态变化和时间延迟等特性。
支持和实践指导。
04
研究结果表明，不同类型和参数的阶电路具有不同的 阶跃响应特性，这些特性与电路的结构和元件参数密 切相关。
研究展望
01
02
03
04
05
虽然本文对阶电路的阶 跃响应进行了较为全面 的研究，但仍有许多方 面值得进一步探讨和深 入研究。
首先，可以进一步研究 不同类型和结构的复杂 电路系统，如含有多个 元件或反馈控制的电路 系统，以揭示其动态特 性和行为规律。
阶跃函数和阶跃响应
uC1 (0 + ) + uC 2 (0 + ) = 1V
上式说明电容电压的初始值要发生跃变。 上式说明电容电压的初始值要发生跃变。为了计算出 uC2(0+)，需要应用电荷守恒定律，即在跃变的瞬间一个结 电荷守恒定律， ，需要应用电荷守恒定律 点的各电容总电荷量保持恒定(此例中总电荷为零 此例中总电荷为零)， 点的各电容总电荷量保持恒定 此例中总电荷为零 ，由此 得到以下方程
§6－5 阶跃函数和阶跃响应 －
在上一节的讨论中， 在上一节的讨论中，我们看到直流一阶电路中的各种 开关， 开关，可以起到将直流电压源和电流源接入电路或脱离电 路的作用， 路的作用，这种作用可以描述为分段恒定信号对电路的激 励。 随着电路规模的增大和计算工作量增加， 随着电路规模的增大和计算工作量增加，有必要引入 阶跃函数来描述这些物理现象， 阶跃函数来描述这些物理现象，以便更好地建立电路的物 理模型和数学模型，也有利于用计算机分析和设计电路。 理模型和数学模型，也有利于用计算机分析和设计电路。
已知电路的阶跃响应， 已知电路的阶跃响应，利用叠加定理容易求得在任意 分段恒定信号激励下线性时不变电路的零状态响应， 分段恒定信号激励下线性时不变电路的零状态响应，例如 所示信号作用图6-36(a)所示 串联电路时，由于 所示RC串联电路时 图6-36(b)所示信号作用图 所示信号作用图 所示 串联电路时， 图(b)所示信号可以分解为下面所示的若干个延迟的阶跃信 所示信号可以分解为下面所示的若干个延迟的阶跃信 号的叠加。 号的叠加。
阶跃函数和阶跃响应
iL (t ) [0.5 (1)]e 200 t A 1A (1.5e 200 t 1)A (t 0)
此题说明如何用三要素法来计算含有阶跃电压源和阶
跃电流源的电路。
阶跃函数还可以用来表示时间上分段恒定的电压或电 流信号，例如图6-33(a)所示方波电压信号，可以用图(b)所 示两个阶跃电压源串联来表示；图(c)所示方波电流信号，
现在计算初始值uC2(0+)。在t<0时，(t)=0，电路处于
零状态，uC1(0-)=uC2(0-)=0。在t=0+时刻，两个电容电压应
该满足以下KVL方程
uC1 (0 ) uC2 (0 ) 1V
上式说明电容电压的初始值要发生跃变。为了计算出 uC2(0+)，需要应用电荷守恒定律，即在跃变的瞬间一个结
s (t t 3 ) (1 e
例6-16 图6-37(a)是RC分压器的电路模型，试求输出电压 uC2(t)的阶跃响应。
图6－37 RC分压器的电路模型
解：由于将图(a)所示电路中的电压源用短路代替后，电容 C1 和C2并联等效于一个电容，说明该电路是一阶电
路，其时间常数为
R1 R2 τ RoCo (C1 C2 ) R1 R2
t RC
) (t )
t t 2 RC t t 4 RC
s (t t1 ) (1 e ) (t t 2 ) ) (t t 4 )
t t1 RC t t3 RC
) (t t1 ) ) (t t 3 )
s (t t 2 ) (1 e s (t t 4 ) (1 e
C1可以得到三种情况：
阶跃函数和阶跃响应
一、阶跃函数
0 单位阶跃函数(t)的定义为 (t ) 1 t0 t 0 (8 26)
波形如图(a)所示。当t=0时，(t)从0跃变到1。当跃变量是k 个单位时，可以用阶跃函数k(t)来表示，其波形如图(b)所 示。当跃变发生在t=t0时刻，可以用延迟阶跃函数 (t-to) 表 示，其波形如图(c)所示。函数(-t)表示t<0时，(-t)=1，t>0
利用三要素公式得到电感电流iL(t)的阶跃响应如下所示。
图8-35
s(t ) (1 e
t RC
) (t )
s(t ) (1 e
R t L
) (t )
以上两个式子可以用一个表达式表示如下：
s(t ) (1 e
t
) (t )
(8 27)
其中时间常数=RC或=L/R。
' iL (t ) 10(1 e 1000 t ) (t ) mA
2. 阶跃电流源-10(t-1ms)mA单独作用时，其响应为
" iL (t ) 10[1 e1000( t 1ms) ] (t 1ms) mA
3. 应用叠加定理求得10(t)和-10(t-1ms)共同作用的零 状态响应为
' " iL (t ) iL (t ) iL (t )
{10(1 e 1000 t ) (t ) 10[1 e 1000( t 1ms) ] (t 1ms)} mA
' " 分别画出 iL (t ) 和 iL (t ) 的波形，
如曲线1和2所示。然后它们相加得 到iL(t)波形曲线，如曲线3所示。
时，(-t)=0，如图(d)所示。
电路分析基础[第五章动态电路的分析]课程复习
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电路分析基础[第五章动态电路的分析]课程复习第五章动态电路的分析5．2．1 动态电路初始条件的确⽴⼀、初始条件动态电路中，⼀般将换路时刻记为t=0，换路前的⼀瞬间记为t=0_，换路后的⼀瞬间记为t=0+，则电路变量在t=0+的值，称为初始值，也称初始条件。
⼆、换路定则如果在换路前后，电容电流或电感电压为有限值，则换路时刻电容电压和电感电流不跃变，即uC (0_)=uC(0+)，iL(0_)=iL(0+)。
三、初始条件的计算(1)由换路前最终时刻即t=0_时的电路，求出电路的独⽴状态变量uC(0_)和iL (0_)。
从⽽根据换路定则得到uC(0+)和iL(0+)；(2)画出t=0+时的等效电路。
在这⼀等效电路中，将电容⽤电压为uC(0+)的直流电压源代替，将电感⽤电流为iL(0+)的直流电流源代替；(3)由上述等效电路，⽤直流电路分析⽅法，求其他⾮状态变量的各初始值。
5．2．2 动态电路的时域分析法5．2．2．1⼀阶电路的响应⼀阶电路是指只含有⼀个独⽴储能元件的动态电路。
⼀、⼀阶电路的零输⼊响应零输⼊响应是指动态电路⽆输⼊激励情况下，仅由动态元件初始储能所产⽣的响应，它取决于电路的初始状态和电路的特性。
因此在求解这⼀响应时，⾸先必须掌握电容电压或电感电流的初始值，⾄于电路的特性，对⼀阶电路来说，则是通过时间常数τ来体现的。
零输⼊响应都是随时间按指数规律衰减的，这是因为在没有外施激励的条件下，原有的储能总是要衰减到零的。
在RC电路中，电容电压总是从uC (0+)单调地衰减到零的，其时间常数τ=RC，即uC(t)=uC(0+)e-t/τ；在RL电路中电感电流总是从iL，(0+)单调地衰减到零的，其时间常数τ=L／R，即iL (t)=iL(0+)e-t/τ，掌握了uC(t)和iL(t)后，就可以⽤置换定理将电容⽤电压值为uC (t)的电压源置换，将电感⽤电流值为iL(t)的电流源置换，再求电路中其他⽀路的电压或电流即可。
电路分析基础(第四版)(张永瑞)课程基本要求与大纲
(6)
二
西端
安 电
口
子 科
电
技 大
路
学
(5 )
ZYR
基本要求
①熟练掌握端口的概念，二端口网络的Z、 Y、A、H参数方程，各种参数的计算。
②掌握端接的二端口电路分析。
③※了解二端口网络的连接。
学
制 作
时
重点、难点
重点：二端口网络的Z、Y、A、H参数方程，各 种参数的计算。
难点：端接的二端口电路分析。
可选内容 ⑩二端口网络的联接。
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课程基本要求与大纲
(5)
非
西正
安 电
弦
子
科
周
技 大
期
学电
流
ZYR
制 作
电
路
基本内容
①非正弦周期电压、电流及其有效值。 ②非正弦周期电流电路的计算。 ③非正弦周期电流电路的功率。
可选内容
无
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课程基本要求与大纲
(18 )
ZYR
西 安 电 子 科 技 大 学
制 作
(4) 正
弦
基本要求
稳
态
分
析
①掌握正弦信号的周期、频率、角频率、瞬时 值、振幅、有效值、相位和相位差，正弦信号的
三角函数、波形图、相量和相量图表示法。
②熟练掌握基尔霍夫定律的相量形式，元件电压电流关系的相量形式；阻抗和导纳。
③熟练掌握平均功率，功率因数，视在功率，无功 功率，复功率。 ④熟练掌握耦合电感的电压-电流关系，同名端，含 耦合电感电路的分析，耦合系数。
⑤熟练掌握理想变压器的电压-电流关系，阻抗变换 作用。全耦合变压器。
第十一讲_三要素法、阶跃响应和二阶电路
R C
uc (t ) = Ke + A
A=US K=uc(0+)-Us
t
-
t
由初始条件 又 uc(∞)=Us
K= uc(0+)- uc(∞)
uc (t ) uc (0 ) uc () e
uc ()
1
2013/5/16
三要素公式
uC ( t ) uC () uC (0 ) uC () e
5
2013/5/16
时间常数的求解
2Ω S 1 5V + 2 i(t) + 5V 3Ω + uC 3Ω 0.02F +
2Ω i(t) 5V
_
3Ω
+
uC 3Ω 0.02F
t>0
2Ω 3Ω 3Ω
方法 在 t>0 的电路中，求从动 方法 态元件C或L两端看进去的 戴维南或诺顿等效电路的 等效电阻R 根据不同电路求解相应 的时间常数 RC电路 τ＝RC RL电路 τ＝L/R
求独立初始值
U S1 9 1A R1 R2 6 3
i L ( 0 ) iL ( 0 )
s R2 L iL + u2 + Us2 -
求非独立初始值 R1 + Us1 -
u2 (0 ) R2iL (0 ) 3 1 3V
求稳态值 U 6 iL () S2 2A R2 3
如何得到?
换路后 t→∞时，电路进入直流稳态。 步骤：（1）换路后，电容开路，电感短路，画出 稳态等效电阻电路。 （2）稳态值f (∞) 。
电路分析阶跃响应 冲激响应
零状态电路对单位阶跃信号的响应称 为单位阶跃响应，用s(t)表示
如果电路的输入信号是幅度为A的阶跃 信号，电路的阶跃响应为： As(t)
在延时单位阶跃信号的作用下，电路的 零状态响应为：s(t－t0)
§6-3 阶跃响应 冲激响应
三、分段信号的描述
f(t)
1
f(t)
1
0
t0 2t0
t
0
t0 2t0
t
§6-3 阶跃响应 冲激响应
一、阶跃函数
t=0
＋R US
－
i(t)
＋
uC(t) C
－
零状态响应
i(t)
＋R
US
－
＋
uC(t) C
－
t 0 uc 0 0
如何用数学函数描述？
§6-3 阶跃响应 冲激响应
一、阶跃函数
单位阶跃函数
(t
)
0 1
t 0 t 0
t=0
i(t)
＋R
US
－
＋
uC(t) C
－
ε(t)
§6-3 阶跃响应 冲激响应
四、冲激函数与冲激响应
单位冲激函数： (t) d (t)
dt
(t) 0 t 0
t
( )d
1
(t t0 ) 0 t t0
t
(
t0 )d
1
f (t) (t) f (0) (t)
f (t) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
单位冲激响应：单位冲激下的零状态响应
t=0
I
R2 C
＋ －uC
＋ R3 u－R3
t=0-等效电路
i
+
+
电路分析基础重要考点
电路分析基础重要考点电路分析基础重要考点第一章电路的基本规律电路变量关联参考方向功率计算基尔霍夫定律KCLKVL电路等效Y形与Δ形等效电压源模型与电流源模型的等效变换通常会将理想电流源作理想电压源处理运算放大器（重要但不常考）理想运算放大器重要性质第二章电阻电路分析电路分析方法2b法和支路法（不常用）回路法和网孔法步骤：特殊电路问题电路中含理想电流源支路将电流源以理想电压源情况处理电路中含受控源尽可能地选择已知或者待求的支路为连支电路中的受控源可看作理想电源一样进行处理已知电路选为连枝节点法步骤特殊电路问题电路中含受控源电路中的受控源可看作理想电源一样进行处理电路中的实际电压源可等效为实际电流源进行处理电路中两节点间含有理想电压源支路可等效为电流源进行处理选择无伴电压源的一端为参考点，另一端的节点电压等于该电源电压电路定理齐次定理和叠加定理实质：响应和激励的关系只适用于线性电路齐次定理叠加定理应用叠加定理求解电路的步骤替代定理实质：二端电路和激励的关系等效电源定理戴维南定理开路电压的计算根据电压定义网孔法、节点法（KVL/KCL) 等效电阻R的计算利用电阻串并联的等效关系（独立源置零，受控源保留）短路电流法外加电源法（求出电路端口的伏安关系）诺顿定理具体与戴维南定理类似最大功率传输特勒根定理&互易定理详见课本虽然不常考，但在此默默放上一道例题（期中...印象深刻）第三章动态电路基本动态原件电容电感定义&串并联关系一阶电路路分析（本章重点！）求解初始值换路定律方法步骤三要素公式法（重点）求解步骤确定初始值y(0+)——确定稳态值y(∞)——求时间常数τ全响应的分解全响应由电路的初始储能和t≥0时时外加激励共同作用而产生的响应，叫全响应电路特征零输入响应&零状态响应对于零输入和零状态响应可以统一用三要素公式求解，更容易记忆（@于跃老师补充）零输入响应当外加激励为零, 仅由动态元件初始储能所引起的响应（电流和电压）,称为动态电路的零输入响应求解步骤零状态响应电路的初始储能为零，仅由激励引起的响应叫零状态响应求解步骤暂态响应&稳态响应暂态响应式中第一项为齐次微分方程的通解，是按指数规律衰减的，最终将衰减为零变化的快慢取决于电路（动态元件）自身的结构和参数稳态响应式中第二项Us随时间的增长稳定存在，它是非齐次方程的特解，其解的函数形式一般与输入信号的函数形式相同受输入（电源）的制约阶跃函数和阶跃响应阶跃函数实质上起开关/起始的作用阶跃响应满足齐次定理和叠加定理第四章正弦稳态分析（期末重点）正弦量（了解概念）三要素振幅（峰值）角频率相位（角）周期&频率初相其他相位差任意两个同频率的正弦量间相位角之差称为相位差有效值一个周期量和一个直流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有效值等于这个直流量的大小正弦量的有效值相量法实质是利用正弦量和复数的关系，将微分方程化为代数方程有关复数运算正弦量与相量对应相量图（选填题很重要）参考相量如果画几个同频率正弦量的相量图时，可选择某一相量作为参考相量先画出，再根据其它正弦量与参考相量的相位差画出其它相量参考相量的位置可根据需要任意选择，习惯上常选初相为零度的相量作为参考相量一般：串联电路选电流，并联电路选电压注意同频率的正弦量才能表示在同一个相量图中反时针旋转为正幅角，顺时针旋转为负幅角电路定理、电路定理均适用做题时电流电压常用极坐标形式，阻抗（导纳）一般用代数形式阻抗&导纳阻抗定义容抗&感抗导纳定义容纳&感纳二者关系串并联与电阻&电导类似正弦稳态电路的功率瞬时功率第一项是瞬时功率的平均值，为电路中所有电阻元件消耗的和第二项是两倍于激励角频率而变化的正弦量，为电路中动态元件吸收与释放能量的瞬时速率有功功率&无功功率视在功率功率因素复功率最大功率传输共轭匹配条件模匹配条件耦合电感和变压器（不常考，建议了解）耦合电感概念自感系数&互感系数耦合系数kk=1即为全耦合耦合电感的伏安关系磁通相助耦合电感磁通相消耦合电感伏安关系中的正负号自感电压取正还是取负，取决于本电感的参考方向是否关联。
电路分析基础总复习串讲
W1
Ul U
Ia
I ab
Za
Il
3I
Ic
电动机接线端子 Y
W2
Δ
W2
Ib
U2
I ca
c
Zc Zb
I bc
b
U2
V2
V2
W1
U1
V1
U1
V1
关于零线的结论
负载不对称而又没有中线时，负载上可能得到大
小不等的电压，有的超过用电设备的额定电压，有的
达不到额定电压，都不能正常工作。比如，照明电路 中各相负载不能保证完全对称，所以绝对不能采用三 相三相制供电，而且必须保证零线可靠接通。 中线的作用：使星形连接的不对称负载得到相等 的相电压。为了确保零线在运行中不断开，零线上不
PL max U S 4 RS
2
2.负载ＺL的模均可变，幅角不变 当|ＺL | ＝ |Ｚs* | （模匹配）时，可获得最大功率
一、耦合电感
a L1 b
第10章
c L2 d b a L1 M L2 d c
M
di1 di2 u1 L1 M dt dt di2 di1 u 2 L2 M dt dt
复功率 (V.A)：
S U I UIe
功率守恒 ：
j ( u i )
= UIcosφ+jUIsinφ=P+jQ
上式表明：电路中的有功功率、无功功 率和复功率分别守恒，但电路中的视在功 率不守恒。
七.正弦稳态最大功率传输条件
1.负载ＺL的实部和虚部均可变， 当ＺL ＝Ｚs*＝Ｒs - jＸs （共轭匹配）时， 可获得最大功率为：
电路分析路基础一阶电路的三要素法
打开开关S，求ux ( t ) , i x ( t ) , t 0 。
1
12V S
2
4F
R
ux
3
ix
X
例题3 已知下图桥型电路中的电容电压和电感电流的
2L t 0 时合上开关，设 R1 R2 初始值都为零， , 电压 C
表的内阻无限大，求开关闭合后： 1）流过开关的电流 i ( t ); 2）电压表读数达到最大 值的时间； t 0 3）电压表的最大读数。 Us
60V
24k
uR (0 )
-
6V
X
解（续）
24 uR ( ) 60 40V 稳态值： 12 24
t
uR ( t ) uR ( ) [uR (0 ) uR ( )]e
40 (26.4 40)e100 t 40 13.6e100 t V, t 0
2.求稳态值 y( )
画 等效电路， 求出 y()。 注意：此时电容开路，电感短路。
X
2.三要素法解题步骤
3. 求时间常数 求 t 0时除去动态元件后的含源单口网络的
L ReqC 或 Req 4. 写出所求变量的函数表达式 t y(t ) y() [ y(0 ) y()] e
t 4
3.2 A, t 0
i t
3 .5 3 .2
o
t
X
例题2 电路在 t 0 时已达到稳态，于 t 0 时突然
解: uC (0 ) 8V ux (0 ) 11V i x (0 ) 1A ux () 12V i x () 0A RC 16s
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在上一节的讨论中，我们看到直流一阶电路中的各种 开关，可以起到将直流电压源和电流源接入电路或脱离电 路的作用，这种作用可以描述为分段恒定信号对电路的激 励。
随着电路规模的增大和计算工作量增加，有必要引入 阶跃函数来描述这些物理现象，以便更好地建立电路的物 理模型和数学模型，也有利于用计算机分析和设计电路。
一、阶跃函数
单位阶跃函数(t)的定义为
(t)
0 1
t0 t 0
(8 26)
波形如图(a)所示。当t=0时，(t)从0跃变到1。当跃变量是k
个单位时，可以用阶跃函数k(t)来表示，其波形如图(b)所
示。当跃变发生在t=t0时刻，可以用延迟阶跃函数 (t-to) 表 示，其波形如图(c)所示。函数(-t)表示t<0时，(-t)=1，t>0
时，(-t)=0，如图(d)所示。
图8－30 阶跃函数
当直流电压源或直流电流源通过一个开关的作用施加 到某个电路时，有时可以表示为一个阶跃电压或阶跃电流 作用于该电路。
例如图 (a)所示开关电路，就其端口所产生的电压波形
u(t)来说，等效于图(b)所示的阶跃电压源U0(t)。
图(c)所示开关电路，就其端口所产生的电流波形i(t)来
图8-33
例8-15 用阶跃电流源表示图8-33(b)所示的方波电流，再次 求解电路中电感电流的响应，并画出波形曲线。
图8-33
解：图(b)所示的方波电流，可以用两个阶跃函数
iS(t)=[10 (t)-10 (t-1ms)]mA 表示。
由于该电路是线性电路，根据动态电路的叠加定理，
其零状态响应等于10(t)和-10 (t-1ms)两个阶跃电源单独作
值iL()=1，时间常数为=L/R。
利用三要素公式得到电感电流iL(t)的阶跃响应如下所示。
图8-35
t
s(t) (1 e RC ) (t)
Rt
s(t) (1 e L ) (t)
以上两个式子可以用一个表达式表示如下：
t
s(t) (1 e ) (t)
(8 27)
其中时间常数=RC或=L/R。
开关，使电路的分析研究更加方便，下面举例加以说明。
例8-14 电路如图8－32(a)所示，求t0时电感电流iL(t)。
图8-32
解：图(a)电路中的阶跃电压源10(-t)V，等效于开关S1将 10V电压源接入电路；阶跃电流源2(t)A，等效于开关
S2将2A电流源接入电路，如图(b)所示。就电感电流来 说，图(a)和(b)是等效的。 根据图(b)电路，用三要素法容易求得电感电流iL(t)。
单位阶跃信号作用下电路的零状态响应，称为电路的 阶跃响应，用符号s(t)表示。
它可以利用三要素法计算出来。对于图(a)所示RC串联 电路，其初始值uC(0+)=0，稳态值uC()=1，时间常数为
=RC。用三要素公式得到电容电压uC(t)的阶跃响应如下所
示。对于图(b)所示RL并联电路，其初始值iL(0+)=0，稳态
用引起零状态响应之和。
1. 阶跃电流源10(t)mA单独作用时，其响应为
iL' (t) 10(1 e 1000t ) (t) mA
2. 阶跃电流源-10(t-1ms)mA单独作用时，其响应为 iL" (t) 10[1 e1000(t1ms) ] (t 1ms ) mA
3. 应用叠加定理求得10(t)和-10(t-1ms)共同作用的零
已知电路的阶跃响应，利用叠加定理容易求得在任意 分段恒定信号激励下线性时不变电路的零状态响应，例如 图8-36(b)所示信号作用图8-36(a)所示RC串联电路时，由于 图(b)所示信号可以分解为下面所示的若干个延迟的阶跃信 号的叠加。
图8-36
图8－36 RC串联电路在分段恒定信号激励下的零状态响应
状态响应为
iL (t) iL' (t) iL" (t)
{10(1 e1000t ) (t) 10[1 e1000(t1ms) ] (t 1ms)} mA
分别画出 iL' (t) 和 iL" (t)的波形， 如曲线1和2所示。然后它们相加得 到iL(t)波形曲线，如曲线3所示。
图8-34ຫໍສະໝຸດ 二、阶跃响应iL (t) [0.5 (1)]e200tA 1A
(1.5e200t 1)A
(t 0)
此题说明如何用三要素法来计算含有阶跃电压源和阶跃
电流源的电路。
阶跃函数还可以用来表示时间上分段恒定的电压或电 流信号，例如图8-33(a)所示方波电压信号，可以用图(b)所 示两个阶跃电压源串联来表示；图(c)所示方波电流信号， 可以用图(d)所示两个阶跃电流源并联来表示。对于线性电 路来说，这种表示方法的好处在于可以应用叠加定理来计 算电路的零状态响应，在此基础上，采用积分的方法还可 以求出电路在任意波形激励时的零状态响应
图8-32
1. 计算电感电流的初始值iL(0+)
iL
(0
)
iL
(0
)
10V (10 10)
0.5A
2. 计算电感电流的稳态值iL()
iL
()
10 10 10
2A
1A
图8-32
3. 计算电路的时间常数
L 0.1H 0.005s 5ms
Ro (10 10)
4. 根据三要素公式写出电感电流的表达式
uS (t) (t) 2 (t t1 ) 4 (t t2 ) 3 (t t3 ) 2 (t t4 )
其电容电压uC(t)的零状态响应可以表示为
uC (t) s(t) 2s(t t1 ) 4s(t t2 ) 3s(t t3 ) 2s(t t4 )
其中s (t )
(1
e
t RC
)
(t )
t t1
s(t t1 ) (1 e RC ) (t t1 )
t t2
s(t t2 ) (1 e RC ) (t t2 )
t t3
s(t t3 ) (1 e RC ) (t t3 )
说，等效于图(d)所示的阶跃电流源I0(t)。
图8－31 用阶跃电源来表示开关的作用
图8－31 用阶跃电源来表示开关的作用
与此相似，图(e) 所示电路等效于图(f) 所示阶跃电压源
U0 (-t)；图(g) 所示电路等效于图8－31(h) 所示阶跃电流源 I0(-t)；引入阶跃电压源和阶跃电流源，可以省去电路中的