分母有理化专项练习
分母有理化、二次根式化简 练习题
分母有理化、二次根式化简 班级： 姓名：一、选择题 1.计算631254129⨯÷之值为（ ）A 、123B 、63C 、33D 、4332.下列计算准确的是（ ）A 、=﹣3B 、（）2=3C 、=±3D 、+=3.. 对任意实数a ，则下列等式一定成立的是（ ）A 、a =aB 、2a =－aC 、2a =±aD 、2a ＝a4.下列何者是方程式（﹣1）x=12的解？（ ）A 、3B 、6C 、2﹣1D 、3+35. 实数a 在数轴上的位置如图所示，则24a-（）+211a-（）化简后为（ ） A ．7 B ．﹣7 C ．2a ﹣15 D ．无法确定 6. 下列计算准确的是（ ）A 、3)3(2-=-B 、91)31(2=- C 、（﹣a 2）3=a 6D 、a 6÷（21a 2）=2a 47. 计算122﹣613+8的结果是（ ）A 、32﹣23B 、5﹣2C 、5﹣3D 、228. 下列运算准确的是（ ） A ．525±= B ．12734=- C ．9218=÷D ．62324=⋅9. 下面计算准确的是( )．A ．3333+=B 、2733+=C ． 235⋅=D ．2(2)2-=-10. 下列等式不成立的是（ ）A.62366⋅=B.824÷=C.333= D.822-= 11. 下列计算准确的是（ ）A ． 822-=B ．235-=C ．236⨯= D ．824÷=二、填空题1. 计算（2+1）（2﹣2）= ；2. 分解因式：﹣x 3+2x 2﹣x= ；3. 计算：= ；4. 计算(508)2-÷的结果是 ；5. 计算：218⨯＝ ； 6. 182-＝ ； 7. 化简二次根式：1232127---= ；．三、解答题1.11181222-⎛⎫⎪⎝⎭2. 计算：（-3）0—27+21-+321+．3.已知a b 、为有理数，m n 、分别表示57-的整数部分和小数部分，且21amn bn +=，则2a b += .4.计算26)1(30--+-π．5.化简：6.先化简，再求值，其中x=．12. 化简求值：，其中a=。
二次根式的运算之分母有理化(人教版)(含答案)
算
9.已知 ， ， ，…，则 ( )
A.2011 B.2012
C.2013 D.2014
答案：B
解题思路：
故选B
试题难度：三颗星知识点：分母有理化
10.计算： ( )
A. B.16
C. D.1
答案：D
解题思路：
故选D
试题难度：三颗星知识点：二次根式的非负性
6.已知 的整数部分是a，小数部分是b，则 的值为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
故选B
试题难度：三颗星知识点：无理数的整数部分、小数部分
7.计算 的结果为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
故选D
试题难度：三颗星知识点：实数的运算
8.若 ，则a+b+ab的值为( )
A. B.
C.-5 D.5
二次根式的运算之分母有理化（人教版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.已知 ，则a和b的关系是( )
A.a=b B.ab=1
C.a=-b D.ab=-1
答案：A
解题思路：
故选A
试题难度：三颗星知识点：分母有理化
2.计算 的结果是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
故选C
试题难度：三颗星知识点：二次根式除法运算
3. 的倒数是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
故选B
试题难度：三颗星知识点：无理数的倒数
4.计算： ( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
故选C
分母有理化试题(优质参考)
分母有理化试题1．将它分母有理化：1————————-√￣2+√￣3+√￣6分两步做，第1步分子分母同乘√2+√3-√6，得原式=（√2+√3-√6）/（2√6-1），第1步分子分母同乘2√6+1，得原式=（√2+√3-√6）（2√6-1）/23=（7√2+5√3-√6-12）/23.2.化简:2/(√5-√3)解：原式=2（√5+√3)/(√5+√3)(√5-√3)=2(√5+√3)/[(√5)²-(√3)²]=2(√5+√3)/(5-3)=2(√5+√3)/2=√5+√3这里用了(a+b)(a-b)=a²-b²的公式，明白了吗？因为在2/根号5减根号3分母有理化的过程中，需分子、分母同乘根号5加根号3，原来分母为根号5减根号3根号5减根号3*根号5加根号3＝根号5平方-根号3平方＝5-3＝2。
这里应用的是平方差公式a^2-b^2=（a+b)*(a-b)分母有理化的一种巧解把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
分母有理化有如下两种基本类型：A ： a a b a a a b a b=•= 或 b a b a c b a b a b a c b a c ±±=±•±±•=±B ：b a b a c b a b a b a c b a c±=±•=±2)())(()( 或ba b a c b a b a b a c b a c-=±•=±)())(()( 举例：1.552555252=••= 2.b a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a -+=--•-=-•--•-=--)()()(222222 3.b a b a b a b a b a b a ba -=-•+-•-=+-)()()()( 法二：b a b a b a b a b a b a b a ba -=++-=+-=+-))(()()(22 4.5233631829318)223()223()223(6322363-=--=-•+-•=+上述1、2两道例题属于A 种基本类型，解题比较容易。
专题09 分母有理化(原卷版)
专题09 分母有理化一、单选题 1）A ．3BC ．D ．2．如果a =，2b =，那么a 与b 的关系是（ ） A ．0a b +=B ．a b =C ．1a b=D ．a b <3．下列计算正确的是（ ）A =BC ．D=24．下列运算中，错误的是（ ）A =B2=C ．=D 3=-5．已知，a+b+ab 的值为（ ）A ．B ．1-C ．-5D ．36．下面计算中正确的是（ ）A =B ．（2=36C 1= D ．7．下列各组中互为有理化因式的是（ ）A B ．2-2CD8( )A 1.B 1C D9时，甲、乙两位同学的解答如下：()x y-==()()()22xy-=-22-===关于解答过程，下列说法正确的是（）.A．两人都对B．甲错乙对C．甲对乙错D．两人都错10．下列运算中错误的是( )AB2C．＋D＝4 11（）A．2B．C．12D127===；小娟：===．对于两位同学的解法，正确的判断是（）A．小燕、小娟的解法都正确B．小燕的解法正确，小娟的解法不正确C．小燕、小娟的解法都不正确D．小娟的解法正确，小燕的解法不正确13．若ab，则a和b互为（）A．倒数B．相反数C．负倒数D．有理化因式14．已知a=1+则a与b的关系是( )A．互为相反数B．互为倒数C．相等D．互为负倒数15．下列计算正确的是（））A =B =C ．(21-=D 1=16．下列式子中，与互为有理化因式的是（ ）A ．B ．C +D17的倒数是（ ）A ．B C ．12D ．218．若a 、b ，则a 和b 互为（ ） A ．倒数B ．相反数C ．负倒数D ．有理化因式19．某海防哨所O 发现在它的西南方向A 处有一艘船，向正东AC 方向航行，当船行驶到距离A 处400米的B 处时，测得船位于海防哨所的南偏东30°方向，则BO 的长为（ ）A ．200B ．400C ．200D ．40020．若x =，2y =，则x 与y 的关系是（ ） A ．x y >B ．x y =C ．x y <D ．1xy=21 ）A B CD22．已知a =+ ，b=，那么a 与b 的关系为( )A ．互为相反数B ．互为倒数C ．相等D ．a 是b 的平方根23．计算（1×+）﹣（1）×）A ．12B C D ．224．下列说法中，正确的是（ ）AB ．方程23x x =的解是x =C ．方程2(3)16x -=的解为7=±xD ．若方程20ax bx a -+=有两个实数根，则这两实数根互为倒数25))1111==)))1112⎡⎤=+=⎣⎦)))1113⎡⎤=++=⎣⎦从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：)···+的值为（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020260=，那么yx的值为（ ）A ．1B ．-1C ．5D ．5-27．下列二次根式的运算：=，=5=，2=-；其中运算正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个28．已知a =2b =a 与b 大小关系是（ ）A ．a b ≥B ．a b ≤C ．a b <D ．a b =29．已知，在ABC 中，D 是BC 边上一点，30,45ABC ADC ∠=∠=．若D 是BC 边的中点，则ACB ∠的度数为（ ）A ．95°B ．100°C ．105°D ．110°30．已知三个数24如果再添加一个数，使这四个数成比例，则添加的数是（ ）．A ．B ．C ．D ．或 31．下列运算正确的有（ ）个.）6-==7==2=）=）=5==A ．1B ．2C ．3D ．432．已知a =，b =，则a 与b 的大小关系是（ ）． A ．a b > B ．a b <C ．a b =D ．无法确定33．已知1a =，b =a 与b 的关系为（ ） A ．a b = B ．1ab =C ．=-a bD ．1ab =-34．若a =，2b =+a b 的值为（ ）A ．12B ．14CD 35．已知√3+√2<x <√5−√3，那么满足上述条件的整数x 的个数是（ ）.A ．4B ．5C ．6D ．736．“分母有理化”7==+x =>，故0x >，由22332x ==-=，解得x == ）A ．5+B ．5C ．5D ．5-37．若a ＝3235++，b ＝2+610-，则a b 的值为（ ）A ．12 B ．14C ．321+D38．下列计算或判断：（1）±3是27的立方根；（=±8））5））A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题39．化简：=______． 40=__________．41=______． 42=_______． 43=______．44=_______． 45．已知函数()f x =，那么()5f =______．46___________．47=_________．48．2-的一个有理化因式是__________．49．实数2_____． 50．已知x =a 是x 整数部分，b 是x 的小数部分，则ba=______． 51=______．52_____________．53．不等式(21x <的解集是____________．54．关于x >+_________．55．不等式1x ≤的解集是__________56．已知11,x y ==，则22232x xy y ++的值是_____．57．已知函数y ＝1xx -，当x y ＝_____． 58．已知a b ==，则223a ab b -+的值为__________．59__．60．已知a，则代数式a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____． 61．已知x =，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，则a -b=_______ 三、解答题 62．计算（12|-；（225|2--．6311()(34--+6465．化简并求值：2256•32m m m m m m m -+⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，其中m =66(33)+；1016(3.5)2π-⎛⎫+- ⎪⎝⎭67．先化简，再求值：2321(2)236m m m m m -++-÷++，其中1m =. 68．计算：(1)(2)已知2x =-2y =，求22x xy y ++的值. 69．观察下列等式：第一个式：1a ==第二个式：2a ==第三个式：3a ==按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第四个等式：a 4=___________=_________ ； （2）利用以上规律计算：a 1+a 2+a 3+…+a 11；（3）求的值。
分母有理化专项练习题
分母有理化专项练习题
1、【知识链接】
（1）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；1-的有理化因式是
1+．
（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的．
【知识运用】
（1）填空：2的有理化因式是______ ；a+的有理化因式是______ ；--的有理化因式是______ ．
（2）把下列各式的分母有理化：
①；②．
2、阅读下列材料，然后解答问题：在化简二次根式时，有时会碰到形如、这一类式子，通常可以这样进行化简
方法一：==
===-1．这种化简步骤叫分母有理化．
方法二：还可以用下面方法化简====-1．
请用上面的两种方法化简．
3、观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：====-1．
例2：=-，=-，=-
利用以上结论解答以下问题：
（1）= ______
（2）应用上面的结论，求下列式子的值．+++…+
（3）拓展提高，求下列式子的值．+++…+．
4、观察下列运算
①由（）（）=1，得=；
②由（）（）=1，得=；
③由（）（）=1，得=；
④由（）（）=1，得=；
…
（1）通过观察，将你发现的规律用含有n的式子表示出来．
（2）利用你发现的规律，计算：
+…+．
5、观察下列等式：
①==-1；
②==；
③==-；…
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律：化简：= ______ ；
（2）计算：+++…+．。
分母有理化综合强化练习(3)
分母有理化综合强化练习（3）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如果a =，2b =，那么a 与b 的关系是（ ） A ．0a b +=B ．a b =C ．1a b =D ．a b <2．若2a b ==，则（ ） A ．a b =B ．a 、b 互为倒数C ．2ab =D ．a 、b 互为相反数3．化简：（2a ﹣3b ）A ．﹣1B ．1CD 4．下列关于二次根式化简的过程，其中错误的是（ ）A 2==B 2C 2==D 25．已知：5a b +=-，1ab = ） A ．5 B ．-5 C ．25 D ．5或-5 6．以下变形正确的是（ ）AB ．=C ．3=D =70,0)a b>>，分别作了如下变形：甲：()a b-====两种变形过程的说法正确的是（ ）A ．甲、乙都正确B ．甲、乙都不正确C ．只有甲正确D ．只有乙正确 8．若x =221x x -+=（ ）A B ．2 C ．2D 1 二、填空题912___．10．49的算术平方根是_______，－64的立方根是_______的倒数是_______．11．已知f （x ）＝21x -，则f ＝_____．12．化简：=______． 13．已知x1x x -的值等于____________． 14．阅读材料，然后作答：这一类式子，通常进行这样的化简：=211==，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还进行分母有理化：221111-==请仿照上述方法解决下面问题：（1_____． （2_____． （3分母有理化的结果是 _____． 三、解答题15．先化简，再求值：22213111-+⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭x x x x ，其中2x =．16．化简求值：22131369a a a a a a +-⎛⎫-+ ⎪--+⎝⎭，其中a =17．化简求值211a a a ---，其中1a =．18．先化简，再求值：[(x +3y )(x -3y )-(x -3y )2]÷6y ，其中x，y =16-．19．先化简，再求值：（21m -﹣1）÷2231m m m --，其中m ．20．计算1(2)((21-21这样的式子，其实我们还需要将其进一步1===。
专题01 分母有理化问题(解析版)
＝ ＝2 ，B 选项成立，不符合题意；
＝
＝ ，C 选项不成立，符合题意；
＝
＝ ﹣ ，D 选项成立，不符合题意。
2.计算： 2 ( 2 1)2 = . 2 1
【答案】-1.
【解】原式= 2( 2 1) ( 2 1)2 ( 2 1)( 2 1)
=2( 2 +1)-(2+2 2 +1)
=2 2 +2-2-2 2 -1
7－ 5
∴a＋b＝2 7，ab＝2，
2
2
∴a2－ab＋b2＝(a＋b ) －3ab＝(2 7) －3×2＝22.
4.计算
5 2
7 3
1
( 2 3)( 3 5) ( 3 5)( 5 7 ) 5 7
【答案】见解析。
【解析】因为 5 2 ( 5 3) ( 3 2)
7 3 ( 7 5) ( 5 3)
5 3；
(2)原式
3
3
1
1 3
1
5
5
3
3 5
3
7
7
5
5 7
5 3
3 7
7 3
7
3 1 5 3 7 5 3 7
2
2
2
2
1．
【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，二次根式的加法运算，平方差公式等知识．解题的关键在于
正确的将分式中的分母有理化．
8．阅读并解答问题：
1
2 1
【详解】如图所示：取 AC 的中点 M，连接 EM，DM ，设 CD 2x,
∵点 E 是 DA 中点， ∴EM 是△ACD 的中位线， \ EM / /CD, EM 1 CD,
2 \ EM x,
分母有理化综合强化练习(1)
分母有理化综合强化练习（1）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题11＝++）A．﹣B．﹣1C．﹣D．﹣12．下列运算正确的有（）个.①6-==7=2=①①5==A．1B．2C．3D．43．已知三个数24如果再添加一个数，使这四个数成比例，则添加的数是（）．A．B．2C．D．2或4．下列运算中，错误的是（）A=BC．D3=-5．若a b==，则（）A．a b=B．a、b互为倒数C．2ab=D．a、b互为相反数6．已知aba、b的关系为（）A．a+b B．a-b=0C．ab=1D．ab=27．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A 、B，C都在格点上，若BD是ABC的高，则BD的长为（）试卷第1页，共3页试卷第2页，共3页 ABCD8） ABCD二、填空题9．计算：____________． 101===…，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：)112021=+_______________________．11910______． 12．化简下列各式；（1=_________； （2=_________； （3=_________；（4）= _________； （5=_________； （6=_________；（7）0)m >=______﹔ （8=_________； 13．写出n 的一个有理化因式：_______．142的有理化因式可以是___．三、解答题15．计算：21--16．先化简，再求值：22214244x x x x x x x x +-⎛⎫⋅- ⎪---+⎝⎭，其中3x =17．先化简，再求值：21111a a a ⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭，其中0πa =．试卷第3页，共3页18．先化简再求值：221212211x x x x ⎛⎫-⎛⎫-÷- ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭，其中1x =．19．化简求值：22131369a a a a a a +-⎛⎫-+ ⎪--+⎝⎭，其中a =20．先化简，再求值：222()111a a a a a ++÷+--，其中a21．化简求值：2224221211m m m m m m m --÷---++，其中m1．22．（1）计算：10202211)(1)3-⎛⎫--- ⎪⎝⎭； （2）先化简，再求值：22521244x x x x x x --⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中x =参考答案：1．C2．A3．D4．D5．A6．C7．C8．B9．10．202011．>2##212．（1）（2）42；（3）0.45；（4）-（5）；（6）（7）3（813．n14215．12．16．21(2)x-；3+17．11a+18．11x-19．43aa+-；6．20．31a+21．21m-+，22．（1）-3；（2）3x-，答案第1页，共1页。
分母有理化(人教版)(含答案)
A. B.
C. D.5
答案：B
解题思路：
故选B．
试题难度：三颗星知识点：实数的运算
7.计算 的结果为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
故选D．
试题难度：三颗星知识点：实数的运算
8.若 ，则a+b+ab的值为( )
A. B.
C.-5 D.5
答案：C
解题思路：∵
故选C．
分母有理化（人教版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1. 的结果是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
故选D．
试题难度：三颗星知识点：分母有理化
2.已知 ，则a和b的关系是( )
A.a=b B.ab=1
C.a=-b D.ab=-1
答案：A
解题思路：
∴a=b
故选A．
试题难度：三颗星知识点：分母有理化
试题难度：三颗星知识点：实数的运算
9.已知 ， ， ，……，则 ( )
A.2011 B.2012
C.2013 D.2014
答案：B
解题思路：
故选B．
试题难度：三颗星知识点：实数的运算
10.计算 的结果是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
故选A．
试题难度：三颗星知识点：分母有理化
3.计算 的结果是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
故选C．
试题难度：三颗星知识点：二次根式除法运算
4. 的倒数是( )
A. B.
C. D.
答案：B
二次根式分母有理化 经典练习
分母有理化经典练习1．化简：=_________．2．分母有理化：=_________．3．计算：=_________．4．化简：=_________．5．（﹣2）0=_________；=_________．6．化简的结果是_________．7．已知函数，那么f（）=_________．8．已知函数，那么=_________．9．化简=_________．10．已知+++…++=﹣1，则a=_________．11已知实数a满足a2+2a﹣8=0，求的值．12、先化简，再求值：，其中．13．分母有理化：．14．已知x=，求代数式的值；15．已知长方体的长、宽、高分别为3cm、2cm、2cm．求这个长方体的体积．16．一个三角形的一条边长为，若它的这条边上的高为．求这个三角形的面积．17．设长方形的面积是S，相邻两边的长分别是a，b．（1）若S=16cm2，a=cm，求b；（2）若S=cm2，b=cm，求a．18．观察下列各等式：，，，…，请用含n的等式表示你所观察到的规律．19．已知a=，求代数式的值．20．计算﹣22+﹣（）﹣1×（π﹣）0；21先化简，再求值：÷（a+），其中a=﹣1，b=1．22．先化简，再求值：，其中x=+1．24．先简化，再求值：，其中x=+1．25．化简求值：，其中x=3﹣1，y=﹣2+1．26．已知x=2，y=，求的值．27．计算28．计算：（﹣1）2008﹣（π﹣3）0+；29．．30．计算：．答案1、解：==．故答案为：．2、解：==．3．解：原式=2+=2+﹣2=．故本题答案为：．4、解：==1﹣．5．解：（﹣2）0=1；==﹣1﹣．6．原式==﹣2．7．解：f （）===+1．故答案为：+1．8．解：∵，∴===3﹣2．故答案为3﹣2．9．解：==．故答案为：．化简=．10．解：+++…++=﹣1++2﹣+…+10﹣+=9+=﹣1，所以=，解得a=，故答案为：．11. 原式===，当时，原式===．12. 原式===，当时，原式===．13．解：原式==．14.===，当x=时，原式=；15．解：∵长方体的长、宽、高分别为3cm、2cm、2cm，∴这个长方体的体积为：3×2×2=3×2×2=72（cm3），答：这个长方体的体积为72cm3．已知长方体的长、宽、高分别为3cm、2cm、2cm．求这个长方体的体积．16．解：S=×2×=3，即这个三角形的面积是3．一个三角形的一条边长为，若它的这条边上的高为．求这个三角形的面积．17．解：（1）根据题意得：b===cm；（2）根据题意得：a===cm．18．解：根据题意归纳总结得：=×（n≥1，n为正整数）．19．解：原式=×=，当a=时，原式==．20．原式=﹣4﹣3﹣3=﹣10；21. 原式==；当a=﹣1，b=1时，原式=．22解：原式===；当x=+1时，原式==．24．解：原式===，将x=+1代入上式，得25．解：原式==（2分）=，当x=3﹣1，y=﹣2+1时，原式==．26．解：原式==；当x=2，时，原式==27.=；28. 原式==；29．解：+﹣=+﹣=﹣+﹣1﹣（﹣1）=0．30．解：原式=+2﹣|1﹣|+1=+2﹣+1+1=﹣．。
分母有理化组卷
分母有理化组卷(总17页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除2016年02月01日王俊燕的初中数学组卷一．选择题（共3小题）1．（2005春?涪陵区校级期中）把分母有理化得（）A．B．C．D．12．（2002?金华）把分母有理化的结果是（）A．B．C．1﹣D．﹣1﹣3．（1997?河北）化简的结果是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣二．填空题（共13小题）4．（2013秋?上海校级期中）分母有理化= ．5．（2013秋?新沂市期中）化去分母中的根号：= ．6．（2012秋?甘井子区期末）化简：= ．7．（2012?南京）计算的结果是．8．（2010秋?柳南区校级期中）计算：= ，= ，= ．9．（2010秋?建阳市校级月考）化简的结果是．10．（2007?厦门）计算= ．11．（2007秋?招远市期末）观察下列等式：；…请用含有自然数n（n≥1）的式子将你发现的规律表示出来．12．将分母中的根号去掉：（1）=，（2）=．13．计算：==；==；==．按照以上的规律，写出接下来的一个式子，并计算：．14．计算：=．15．写出一个无理数，使它与3的积是有理数．16．分母有理化：=；=（a＞0）．三．解答题（共14小题）17．（2015春?崆峒区期末）阅读下列解题过程：，，请回答下列回题：（1）观察上面的解答过程，请直接写出=；（2）根据上面的解法，请化简：．18．（2015春?泰兴市期末）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；．以上这种化简过程叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：．（1）请用其中一种方法化简；（2）化简：．19．（2015春?东城区期末）在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简：==．①==．②===﹣1．③以上化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1．④（Ⅰ）请用不同的方法化简（1）参照③式化简=（2）参照④式化简（Ⅱ）化简：+++…+．20．（2015春?新泰市期中）阅读下面的问题：==；==；==2﹣…（1）求的值；（2）已知m是正整数，求的值；（3）计算++…++．21．（2015秋?泗县期中）观察下列一组等式的化简．然后解答后面的问题：==；==；==2﹣…（1）在计算结果中找出规律=（n表示大于0的自然数）（2）通过上述化简过程，可知（天“＞”、“＜”或“=”）；（3）利用你发现的规律计算下列式子的值：（…+）（）22．（2013秋?古田县校级期末）先阅读，后解答：像上述解题过程中，相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化，（1）的有理化因式是；的有理化因式是．（2）将下列式子进行分母有理化：（1）=；（2）=．（3）已知，比较a与b的大小关系．23．（2014春?袁州区校级期中）先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b=m，ab=n，这样（）2+（）2=m，=，那么便有==±（a＞b）例如：化简解：首先把化为，这里m=7，n=12；由于4+3=7，4×3=12，即（）2+（）2=7，=，∴===2+由上述例题的方法化简：（1）；（2）；（3）．24．（2013秋?涉县校级月考）学完“二次根式”这一章后，老师给茗茗布置了一道题，你帮帮茗茗做一下．（1）根据以前学过的知识我们知道，两个有理数的积是1，则你这两个有理数互为倒数．同样，当两个实数a+与a﹣的积是1时，我们仍然称这两个实验数互为倒数．计算下列各式，并判断哪些式中的实数是互为倒数的．①（2+）（2﹣）；②（2+）（2﹣）；③（3+2）（3﹣2）④（4+）（4﹣）⑤（5+）（5﹣）（2）根据（1）中的计算和判断，请你用发现的规律，写出当实数a+与a﹣互为倒数时，a与b之间的数量关系；（3）若x=8+3，y=8﹣3，则（xy）2003的值是多少？25．（2014春?赵县期末）（1）（2）（3）．26．（2014春?孝义市期末）（1）计算：（÷）；（2）已知实数x、y满足：+（y﹣）2=0，求的值．27．（2012春?西城区校级期中）①②．28．（2010秋?浦东新区期中）计算：÷×（a＞0）．29．（2010秋?宿豫区期中）计算：．30．（2009秋?信州区校级期中）计算：①（+）×②（4﹣3）÷2③（+）（﹣）④（5+2）2．2016年02月01日王俊燕的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）【点评】本题考查的是分母有理化的计算方法，解法的关键是准确判断分母的有理化因式．【点评】此题主要考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．【点评】本题考查了分母有理化的知识，一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．二．填空题（共13小题）4．（2013秋?上海校级期中）分母有理化=．【考点】分母有理化．【分析】根据分母有理化的定义先分子、分母同乘以，去掉分母中的根号，从而得出答案．【解答】解：==；故答案为：．【点评】此题考查了分母有理化，分母有理化就是指通过分子分母同时乘以同一个数，来消去分母中的根号，从而使分母变为有理数．完成分母有理化，常要用到平方差公式．5．（2013秋?新沂市期中）化去分母中的根号：=．【考点】分母有理化．【分析】分子分母同时乘以即可得出结论．【解答】解：原式==．故答案为：．【点评】本题考查的是分母有理化，熟知分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式是解答此题的关键．6．（2012秋?甘井子区期末）化简：=．【考点】分母有理化．【分析】分子、分母同乘，计算即可求出结果．【解答】解：==．故答案为．【点评】本题考查了二次根式的分母有理化，一般地，将分子、分母同乘分母的有理化因式，可将分母中的根号化去．本题还可将分子写成（）2，再约分即可．7．（2012?南京）计算的结果是+1．【考点】分母有理化．【专题】计算题．【分析】分子分母同时乘以即可进行分母有理化．【解答】解：原式===+1．故答案为：+1．【点评】此题考查了分母有理化的知识，属于基础题，注意掌握分母有理化的法则．8．（2010秋?柳南区校级期中）计算：=2，=，=||．【考点】分母有理化．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：===2，=，=||．故答案为：2，，||．【点评】考查了分母有理化和二次根式的性质，是基础题型，比较简单．9．（2010秋?建阳市校级月考）化简的结果是﹣．【考点】分母有理化．【专题】常规题型．【分析】分子、分母同乘以有理化因式，即可分母有理化使式子最简．【解答】解；=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查分母有理化，关键是确定有理化因式．10．（2007?厦门）计算=．【考点】分母有理化．【专题】计算题．【分析】运用二次根式的乘法法则，将分子的二次根式化为积的形式，约分，比较简便．【解答】解：原式==．故答案为：．【点评】主要考查了二次根式的化简和二次根式的运算法则．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式．【点评】本题考查了分母有理化的知识，发现规律是解题的关键．12．将分母中的根号去掉：（1）=，（2）=．【考点】分母有理化．【分析】（1）分子分母都乘以，可分母有理化；（2）分子分母都乘以，可分母有理化．【解答】解：（1）原式==；（2）原式===2，故答案为：，2．【点评】本题考查了分母有理化，利用了二次根式的乘法．13．计算：==﹣；==2﹣；==﹣2．按照以上的规律，写出接下来的一个式子，并计算：﹣3．【考点】分母有理化．【分析】根据分子分母同乘以有理化因式进行分析整理．【解答】解：===﹣；===2﹣；===﹣2．===﹣3．故答案是：﹣；2﹣；﹣2；﹣3．【点评】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．14．计算：=．【考点】分母有理化．【分析】分子分母同乘以，再化简即可．【解答】解：==．故答案为：．【点评】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化是解题的关键．15．写出一个无理数，使它与3的积是有理数．【考点】分母有理化．【专题】开放型．【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合条件的数即可．【解答】解：如：，∵×3=6，∴故答案为：．【点评】本题考查了分母有理数的应用，注意：3的有理化因式是n（n为非零整数）．16．分母有理化：=；=（a＞0）．【考点】分母有理化．【分析】利用二次根式的性质，即可将各二次根式化简，注意分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．【解答】解：==；=．故答案为：，．【点评】此题考查了分母有理化的知识．此题比较简单，注意将各二次根式化为最简二次根式是解此题的关键．三．解答题（共14小题）17．（2015春?崆峒区期末）阅读下列解题过程：，，请回答下列回题：（1）观察上面的解答过程，请直接写出=﹣；（2）根据上面的解法，请化简：．【考点】分母有理化．【专题】计算题．【分析】（1）根据题目提供的信息，最后结果等于分母的有理化因式；（2）先把每一项都分母有理化，然后相加减即可得解．【解答】解：（1）=﹣；（2）+++…++，=﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣，=﹣1，=10﹣1，=9．故答案为：（1）﹣，（2）9．【点评】本题考查了分母有理化，读懂题目信息，得出每一个分式化简的最后结果等于分母的有理化因式是解题的关键．18．（2015春?泰兴市期末）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；．以上这种化简过程叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：．（1）请用其中一种方法化简；（2）化简：．【考点】分母有理化．【专题】阅读型．【分析】（1）运用第二种方法求解，（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律后面的第二项和前面的第一项抵消，得出答案，【解答】解：（1）原式==；（2）原式=+++…=﹣1+﹣+﹣+…﹣=﹣1=3﹣1【点评】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式．19．（2015春?东城区期末）在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简：==．①==．②===﹣1．③以上化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1．④（Ⅰ）请用不同的方法化简（1）参照③式化简=﹣（2）参照④式化简=﹣（Ⅱ）化简：+++…+．【考点】分母有理化．【专题】阅读型．【分析】（Ⅰ）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；（Ⅱ）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．【解答】解：（1）参照③式化简==﹣．故答案是：﹣．（2）参照④式化简====﹣．故答案是：=﹣．（Ⅱ）原式=（+++…+）=[（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（﹣1）．【点评】本题考查了分母有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．【点评】本题主要考查了利用分母有理化，利用平方差公式，找出有理化因式是解答此题的关键．21．（2015秋?泗县期中）观察下列一组等式的化简．然后解答后面的问题：==；==；==2﹣…（1）在计算结果中找出规律=﹣（n表示大于0的自然数）（2）通过上述化简过程，可知＞（天“＞”、“＜”或“=”）；（3）利用你发现的规律计算下列式子的值：（…+）（）【考点】分母有理化．【专题】阅读型．【分析】（1）根据平方差公式，可得答案；（2）根据分母有理化，可得答案；（3）根据分母有理化，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．【解答】解：（1）=﹣；（2）﹣=，﹣=，﹣＞﹣；（3）原式=（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）（+1）=（﹣1）（+1）=2016﹣1=2015．【点评】本题考查了分母有理化，利用平方差公式是分母有理化的关键．22．（2013秋?古田县校级期末）先阅读，后解答：像上述解题过程中，相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化，（1）的有理化因式是；的有理化因式是﹣2．（2）将下列式子进行分母有理化：（1）=；（2）=3﹣．（3）已知，比较a与b的大小关系．【考点】分母有理化．【专题】计算题．【分析】（1）的有理化因式是它本身，的有理化因式符合平方差公式的特点的式子．据此作答；（2）①分子、分母同乘以最简公分母即可；②分子、分母同乘以最简公分母3﹣，再化简即可；（3）把a的值通过分母有理化化简，再比较．【解答】解：（1）的有理化因式是；的有理化因式是﹣2．（2）（1）==；（2）==3﹣；（3）∵a=，b=2﹣，∴a=b．【点评】此题考查二次根式的分母有理化，确定最简公分母是关键．23．（2014春?袁州区校级期中）先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b=m，ab=n，这样（）2+（）2=m，=，那么便有==±（a＞b）例如：化简解：首先把化为，这里m=7，n=12；由于4+3=7，4×3=12，即（）2+（）2=7，=，∴===2+由上述例题的方法化简：（1）；（2）；（3）．【考点】分母有理化．【专题】计算题．【分析】先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．【解答】解：（1）==﹣；（2）===﹣；（3）==．【点评】主要考查二次根式根号内含有根号的式子化简．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子．24．（2013秋?涉县校级月考）学完“二次根式”这一章后，老师给茗茗布置了一道题，你帮帮茗茗做一下．（1）根据以前学过的知识我们知道，两个有理数的积是1，则你这两个有理数互为倒数．同样，当两个实数a+与a﹣的积是1时，我们仍然称这两个实验数互为倒数．计算下列各式，并判断哪些式中的实数是互为倒数的．①（2+）（2﹣）；②（2+）（2﹣）；③（3+2）（3﹣2）④（4+）（4﹣）⑤（5+）（5﹣）（2）根据（1）中的计算和判断，请你用发现的规律，写出当实数a+与a﹣互为倒数时，a与b之间的数量关系；（3）若x=8+3，y=8﹣3，则（xy）2003的值是多少？【考点】分母有理化．【专题】阅读型．【分析】（1）先计算，再根据定义判定哪些式中的实数是互为倒数，（2）由实数是互为倒数的定义求解即可，（3）先求出xy，再求（xy）2003的值即可．【解答】解：（1）①（2+）（2﹣）=1；②（2+）（2﹣）=﹣1；③（3+2）（3﹣2）=1；④（4+）（4﹣）=1；⑤（5+）（5﹣）=﹣1；所以①③④中的实数是互为倒数的．（2）由（a+）（a﹣）=a2﹣b，可得a2﹣b=1时，实数a+与a﹣互为倒数．（3）∵x=8+3，y=8﹣3，∴xy=1∴（xy）2003=1．【点评】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是理解题中的概念．25．（2014春?赵县期末）（1）（2）（3）．【考点】二次根式的乘除法；完全平方公式．【专题】计算题．【分析】（1）先将各二次根式化为最简，再运用乘法分配律进行运算，然后再进行二次根式的加减．（2）运用平方差公式进行计算即可．（3）直接进行开方运算即可得出答案．【解答】解：（1）原式=6×（3﹣5﹣2）=18﹣60﹣12，=6﹣60，=12﹣60；（2）原式=﹣，=18﹣75，=﹣57；（3）==．【点评】本题考查二次根式的乘除运算，难度不大，注意在运算时公式的运用，更要细心．26．（2014春?孝义市期末）（1）计算：（÷）；（2）已知实数x、y满足：+（y﹣）2=0，求的值．【考点】二次根式的乘除法；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【专题】计算题．【分析】（1）利用二次根式的乘除法法则求解；（2）利用算术平方根和一个数的平方等于0求出x，y，再求的值．【解答】解：（1）（÷）====；（2）由+（y﹣）2=0，可知，=0且（y﹣）2=0，即，解得．所以==．【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，非负数的性质及算术平方根，解题的关键是利用算术平方根和一个数的平方等于0求解．27．（2012春?西城区校级期中）①②．【考点】二次根式的乘除法．【分析】①把根号外的因式和被开方数分别相乘、相除，再求出即可；②把被开方数相乘，再求出即可．【解答】解：①原式=（×4×）=2×=3；②原式==．【点评】本题考查了二次根式的乘除法的应用，主要考查学生的计算能力．28．（2010秋?浦东新区期中）计算：÷×（a＞0）．【考点】二次根式的乘除法．【分析】首先利用二次根式除法以及乘法法则转化成一个二次根式，然后对二次根式进行化简即可．【解答】解：原式=…（2分）=…（2分）=…（1分）【点评】本题考查了二次根式的乘除运算，正确理解法则，正确化简二次根式是关键．29．（2010秋?宿豫区期中）计算：．【考点】二次根式的乘除法．【专题】计算题．【分析】先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘除运算．【解答】解：原式===．【点评】本题考查二次根式的乘除法运算，难度不大，注意先将二次根式化为最简．30．（2009秋?信州区校级期中）计算：①（+）×②（4﹣3）÷2③（+）（﹣）④（5+2）2．【考点】二次根式的乘除法．【专题】计算题．【分析】①运用乘法分配律进行计算，然后将二次根式化为最简即可．②先将括号里面的各项分别除以2，然后在合并同类二次根式即可．③运用平方差公式进行计算．④根据完全平方公式进行展开运算，然后合并即可．【解答】解：①原式=+=4+3；②原式=2﹣；③原式=﹣=5﹣3=2．④原式=75+20+20=95+20．【点评】此题考查了二次根式的乘除法，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的乘除法则及二次根式的化简．。