表上作业法
表上作业法
调整：找到新的调运方案
方法：闭回路法
➢闭回路法
基本思想：确定换入、换出变量。在闭回路上 采用“奇加偶减”调整运量xij，闭回路以外xij
不变。
方法要点：
换入变量：最小负检验数对应的非基变量； 换出变量：以换入变量为起点找到相应的闭回路，回路 上其它顶点为基变量，偶数顶点上最小的xij所对应的基变 量就是换出变量，这个最小的xij的值就是调整量； 调整方法：闭回路上，奇数顶点上xij加上调整量，偶数顶 点上xij减去调整量；闭回路以外的点对应的xij不变。
产地 销 地 B 1
A1
-4
2
3
A2
13
A3
78
销量
3
B2 95
3 -1
43
8
B3 3 10 1 4
24 4
B4
产量
7 41 9
2 25 5
35
7
6
产地
销地
A1 A2 A3 销量
B1
23
1
8
3
B2 95 3
43
8
B3 10 4 24 4
B4
71
25
5
6
产量 9 5 7
4.2 表上作业法
▪算法思想
与单纯形法一样，最优解在基本可行解中产生。 但基于模型的特征，初始基本可行解是通过分析单位运价表， 首先满足局部最优，然后通过调整（迭代）使整体达到最优。
-------单纯形法的简化方法
▪算法流程及要点
初始调运方案
检验数ij0 ? N
Y 最优解
调整：找到新的调运方案
B3 3 10 24
24 4
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题是一种常见的工业应用问题,涉及到如何安排运输工具和货物,以最小化总成本或最大化利润。
表上作业法(Tableau Programming)是解决运输问题的一种有效方法,其解题思路和原理、具体步骤如下:1. 确定问题的状态在表上作业法中,我们需要先确定问题的状态。
状态是指某个特定时间段内,某个运输问题需要满足的条件。
例如,在一个例子中,我们可以将运输问题的状态定义为“需要从A城市运输货物到B城市,运输工具数量为3,运输距离为100公里”。
2. 定义状态转移方程接下来,我们需要定义状态转移方程,以描述在不同状态下可能采取的行动。
例如,在这个问题中,我们可以定义一个状态转移方程,表示当运输工具数量为2时,货物可以运输到B城市,而运输距离为80公里。
3. 确定最优解一旦我们定义了状态转移方程,我们就可以计算出在不同状态下的最优解。
例如,在这个问题中,当运输工具数量为2时,货物可以运输到B城市,运输距离为80公里,总成本为200元。
因此,该状态下的最优解是运输距离为80公里,运输工具数量为2,总成本为200元。
4. 确定边界条件最后,我们需要确定边界条件,以确保问题的状态不会无限制地变化。
例如,在这个问题中,当运输工具数量为3时,运输距离为120公里,超过了B城市的运输距离范围。
因此,我们需要设置一个限制条件,以确保运输工具数量不超过3,且运输距离不超过120公里。
表上作业法是一种简单有效的解决运输问题的方法,其原理和具体步骤如下。
通过定义状态转移方程、确定最优解、确定边界条件,我们可以计算出问题的最优解,从而实现最小化总成本和最大化利润的目标。
土石方调配_表上作业法
土石方调配--表上作业法一、土方调配原理土方调配是场地平整施工设计的一个重要容。
土方调配的目的是在使土方总运输量最小或土方运输成本最小的条件下，确定填挖方区土方的调配方向和数量，从而达到缩短工期和降低成本的目的。
（一）土方调配区的划分，平均运距和土方施工单价的确定1、调配区的划分原则进行土方调配时，首先要划分调配区。
划分调配区应注意下列几点：（1）调配区的划分应该与工程建（构）筑物的平面位置相协调，并考虑它们的开工顺序、工程的分期施工顺序；（2）调配区的大小应该满足土方施工主导机械（铲运机、挖土机等）的技术要求；（3）调配区的围应该和土方工程量计算用的方格网协调，通常可由若干方格组成一个调配区；（4）当土方运距较大或场地围土方不平衡时，可根据附近地形，考虑就近取土或就近弃土，这时一个取土区或弃土区都可作为一个独立的调配区。
2、平均运距的确定调配区的大小和位置确定之后，便可计算各填、挖方调配区之间的平均运距。
当用铲运机或推土机平土时，挖土调配区和填方调配区土方重心之间的距离，通常就是该填、挖方调配区之间的平均运距。
当填、挖方调配区之伺距离较远，采用汽车、自行式铲运机或其他运土工具沿工地道路或规定线路运土时，其运距应按实际情况进行计算。
3、土方施工单价的确定如果采用汽车或其他专用运土工具运土时，调配区之间的运土单价，可根据预算定额确定。
当采用多种机械施工时，确定土方的施工单价就比较复杂，因为不仅是单机核算问题，还要考虑运、填配套机械的施工单价，确定一个综合单价。
（二）用“线性规划”方法进行土方调配时的数学模型表是土方平衡与施工运距（单价）表。
此表格说明了整个场地划分为个挖方区，，…，，其挖方量应为，，…，；有个填方区，，，…，，其填方量相应为，，…，；用表示由挖方区到填方区的土方调配数，由填挖方平衡，即：（1-1-6）若从到的价格系数（平均运距，或单位土方运价、或单位土方施工费用）为，一般地，从到的价格系数为，于是土方调配问题可以用下列数学模型表达：求一组的值、使目标函数：（1-l-7）为最小值，并满足下列约束条件：（=1，2，…，）（=1，2，…，）据约束条件知道，未知量有X个，而方程数为+个。
管理运筹学 第七章 运输问题之表上作业法
最优解的判断与调整
最优解的判断
比较目标函数值，如果当前基础可行解 的目标函数值最优，则该解为最优解。
VS
最优解的调整
如果当前基础可行解不是最优解，需要对 其进行调整。通过比较不同运输路线的运 输费用，对运输量进行优化分配，以降低 总运输费用。
最优解的验证与
要点一
最优解的验证
对求得的最优解进行检验，确保其满足所有约束条件且目 标函数值最优。
01
将智能优化算法（如遗传算法、模拟退火算法等）与表上作业
法相结合，以提高求解效率和精度。
发展混合算法
02
结合多种算法的优势，发展混合算法以处理更复杂的运输问题。
拓展应用范围
03
在保持简单易行的基础上，拓展表上作业法的应用范围，使其
能够处理更多类型的运筹问题。
THANKS FOR WATCHING
果达到最优解，则确定最优解；如果未达到最优解，则确定次优解。
表上作业法的应用范围
总结词
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。
详细描述
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。在这种情况下，可以通过在运输表 格上填入数字来求解最小运输成本。此外，表上作业法还可以用于解决其他类型的线性规划问题，如资源分配问 题、生产计划问题等。
03 表上作业法的求解过程
初始基础可行解的求解
确定初始基础可行解
根据已知的发货地和收货地的供需关系，以及运输能力限制，通 过试算和调整，求得初始的基础可行解。
初始解的检验
检查初始解是否满足非负约束条件，即所有出发地到收货地的运输 量不能为负数。
初始解的调整
如果初始解不满足非负约束条件，需要对运输量进行调整，直到满 足所有约束条件。
简述表上作业法的基本步骤
表上作业法的基本步骤1. 简介表上作业法（Tabletop Exercise，TTE）是一种用于组织和管理应急响应演练的方法。
它通过模拟真实情景来评估组织的应急计划、流程和资源准备情况，以提高应对突发事件的能力和效率。
本文将介绍表上作业法的基本步骤，并探讨如何有效地进行表上作业。
2. 基本步骤步骤一：确定目标和范围在进行表上作业之前，首先需要明确目标和范围。
目标是指希望通过此次演练达到什么样的效果，例如测试应急计划的可行性、评估团队协作能力等。
范围则是指演练涉及的主题、参与人员、时间限制等。
步骤二：制定剧本剧本是表上作业的核心部分，它描述了演练中所模拟的事件场景、参与者角色以及事件发展过程。
制定剧本时需要考虑真实性和复杂性，以使演练更具挑战性和可信度。
步骤三：确定参与者确定参与者是表上作业的重要一步。
参与者包括应急响应团队成员、管理层代表、外部合作伙伴等。
根据演练目标和剧本，确定参与者的角色和责任，并确保他们具备相应的知识和技能。
步骤四：准备材料为了顺利进行表上作业，需要准备相关的材料，如演练手册、应急计划、流程图等。
这些材料可以帮助参与者了解演练的目标、规则和流程，提供必要的信息支持。
步骤五：组织演练在进行表上作业之前，需要确定演练的时间、地点和形式。
通常情况下，表上作业可以通过线下会议或在线视频会议进行。
组织方需要确保参与者按照预定时间和地点参加演练，并提供必要的技术支持。
步骤六：实施演练在实施演练时，可以按照事先设定的剧本逐步展开。
参与者根据自己的角色扮演，并在模拟事件发生后采取相应的行动。
组织方可以通过观察、记录或评估工具来监控演练的进展，并及时提供反馈和指导。
步骤七：总结评估演练结束后，需要进行总结评估。
参与者可以就演练过程中的问题、挑战和经验进行交流和讨论。
组织方可以收集参与者的反馈意见，并根据演练结果提出改进建议。
步骤八：改进计划根据总结评估的结果，制定改进计划以提升应急响应能力。
汉谷学习方法之二：表上作业法
汉谷学习方法之二：表上作业法
将汉字分解为字母后，需要确定每个字母所对应的数字代码（简称数码），我们才能按照汉谷输入规则，在电脑或手机的数字键盘上输入汉字。
最简单的方法是：准备一张汉字字母表（可从网上下载），将汉字的每个字母与汉字字母表上的所列字母相对照，从汉字字母表上找到相同字母，该字母所在列标示的数字，即是该字母的数码。
例如：
按照国家语言文字规范，提归为横，点归为捺。
在汉字字母表两画字母中，仅标示了横、竖、撇、捺。
如果两画字母中含有提或点，需将其对应为横
或捺，再按上述方法进行作业。
例如：
表上作业法只是初学者入门的一根拐棍，经过多次作业后，汉字字母表已经烂熟于心，您就完全可以甩掉这根拐棍。
很熟练后，只要一看到字母，您根本用不着思考，脑子里条件反射式地跳出相应数码。
到那时，汉谷输入法好似您与生俱来的本能，时刻为您所用，永远不会忘记。
运筹学。 表上作业法
销地 产地
B1
B2
B3 4+1
B4 3-1 +1 3
产量 7 4 9
A1 A2 A3 3 6
1-1
销量
销地 产地
3
B1 3
6
B2
5
B3
6
B4 产量
调整后的新调运方案如下表：
A1
A2 A3 销量 3 6 6
5
2
1 3
7
4 9
20
5
6
对调整后的调运方案再进行最优性检验
销地 产地
B1
3 (0) 1 (0) 7
的对偶变量为u1，u2，…， um;v1，v2，…，vn
ui v j cij s.t . ui , v j 无 约 束 决策变量 xij 的检验数
ij cij C B B 1 Pij
cij YPij cij ( u1 , , um , v1 , , v n ) Pij cij ( ui v j )
§2 表上作业法
• 表上作业法实质是单纯形法。可归纳为： • (1) 找出初始基可行解。即在(m×n)产销平衡表 上用西北角法或最小元素法或Vogel法给出 m+n-1 个数字，称为数字格。它们就是初始基变量的 取值。 • (2) 求各非基变量的检验数，即在表上计算空格 的检验数，判别是否达到最优解。如已是最优 解，则停止计算，否则转到下一步。 • (3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行 解。在表上用闭回路法调整。 • (4) 重复(2)，(3)直到得到最优解为止。 1
例3-1 某公司经销甲产品。它下设三个加工
厂。每日的产量分别是：A1为7吨，A2为4吨， A3为9吨。该公司把这些产品分别运往四个销 售点。各销售点每日销量为：B1为3吨，B2为6 吨，B3为5吨，B4为6吨。已知从各工厂到各销 售点的单位产品的运价为表3-3所示。问该公 司应如何调运产品，在满足各销点的需要量的
《运筹学》胡运权清华版-3-02表上作业法
最大元素法
总结词
与最小元素法相反，最大元素法选择运价表中的最大元素作为初始方案。
详细描述
最大元素法的基本思想是从运价表中寻找最大的元素，并将其确定为初始方案。在运价表中，最大的 元素可能是运输量最大的货物或运输距离最长的路线。这种方法可能会优先考虑大货物或长距离运输 ，但同样可能不是最优解，因为它没有考虑到整个运输网络的整体优化。
100%
稳定性
最优解应该是相对稳定的，即在 微小扰动下不会发生大的变化。
80%
可行性
最优解必须满足实际操作的可行 性，如运输量不能超过供应量和 需求量。
迭代终止条件
达到最大迭代次数
可以设定一个最大迭代次数， 当达到该次数时终止迭代。
运输成本收敛
如果连续几次迭代的运输成本 变化很小，可以认为已经收敛 ，终止迭代。
03
方案的调整
闭回路法
要点一
总结词
通过检查闭回路来调整方案，以使运输费用最小化。
要点二
详细描述
闭回路法是一种常用的运输方案调整方法。在运输问题中 ，如果发现某个产地的供应量大于需求量，或者某个销地 的需求量大于供应量，就可以通过构建闭回路来调整运输 方案。具体来说，就是在供需不平衡的地点之间构建一个 闭回路，将多余的供应量或不足的需求量通过闭回路进行 调整，以使运输费用最小化。
适用于解决产销平衡和产销不平衡的运输问题，特别是当运输问 题规模较大时，使用表上作业法可以快速找到最优解。
表上作业法的应用场景
物流规划
在物流规划中，表上作业法可以用于解决货物运输 的最优路径、运输成本等问题。
资源配置
在资源分配问题中，表上作业法可以用于确定资源 的最优调配方案，以最小成本满足需求。
用表上作业法求解指派问题的方法
用表上作业法求解指派问题的方法指派问题是一类经典的优化问题，其目标是找到最佳的任务分配方案，使得总成本或总利益最小或最大化。
其中，指派问题的目标是将一系列任务分配给一组人员或资源，使得总成本最小化。
表上作业法（Hungarian algorithm）是解决指派问题的一种有效方法。
它的基本思想是利用矩阵的行和列的减法和加法运算，在保证每行每列至多只有一个0的条件下，找到最优的任务分配方案。
具体来说，表上作业法的步骤如下：1. 创建一个n x n的矩阵，其中n表示任务和人员或资源的数量。
矩阵的每个元素表示将某个任务分配给某个人员或资源的成本或利益。
2. 对矩阵进行行减法和列减法，使得每行和每列至少有一个0。
行减法和列减法的目的是找到一个初始解。
3. 在矩阵中找到一个0，标记该0为“*”。
如果该0位于独立的行或列中，则找到最优解，算法结束。
4. 如果该0位于非独立的行或列中，找到与该0同行或同列的其他0，并标记为“*”。
然后，以标记的0为新的起点，重复步骤3和4，直到找到最优解或无法找到更多的0。
5. 如果无法找到更多的0，则进行列减法和行加法，找到一个最小的非标记元素，并将其减去该行的最小非标记元素。
然后，将矩阵中所有的标记元素去除，回到步骤3。
通过重复执行步骤3至步骤5，直到找到最优解为止。
最优解是指在保证每行和每列至多只有一个0的条件下，使得总成本最小化或总利益最大化的任务分配方案。
表上作业法是解决指派问题的一种经典算法，其时间复杂度为O(n^3)，能够快速找到最优解。
因此，它在实际应用中被广泛使用，如任务分配、人员调度、作业调度等领域。
表上作业法
精品课程《运筹学》
.
一、初始基本可行解的确定
根据上面的讨论，要求得运输问 题的初始基本可行解，必须保证找 到 m + n – 1 个不构成闭回路的基 变量。
一般的方法步骤如下：
精品课程《运筹学》
.
(1)在运输问题求解作业数据表中任选一个单 元格 xij ( Ai 行 Bj 列交叉位置上的格),令
mn
考虑 i=1si >j=1dj 的运输问题，得到的数学模 型为
精品课程《运筹学》
.
min
mn
f = cij xij
i=1 j=1
n
s.t. xij si i = 1,2,…,m
j=1
m
xij =dj j = 1,2,…,n
i=1
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
精品课程《运筹学》
(3)若 ai = 0，则划去对应的行（已经把拥有 的量全部运走），若 bj = 0 则划去对应的 列（已经把需要的量全部运来），且每次 只划去一行或一列（即每次要去掉且只去 掉一个约束）；
精品课程《运筹学》
.
(4)当最终的运输量选定时，其所在行、列 同时满足，此时要同时划去一行和一列。 这样，运输平衡表中所有的行与列均被划 去，则得到了一个初始基本可行解。
x32 = 6, x34 = 3, 其余 xij = 0 ;
最优值：
精品课程f《*运=筹3学×》5+10×2+1×3+.8×1+4×6+5×3 = 85
四、产销不平衡问题的处理
在实际中遇到的运输问题常常不是产销
平衡的，而是下列的一般运输问题模型
min
mn
f
土石方调配_表上作业法
土石方调配--表上作业法一、土方调配原理土方调配就是场地平整施工设计得一个重要内容。
土方调配得目得就是在使土方总运输量最小或土方运输成本最小得条件下,确定填挖方区土方得调配方向与数量,从而达到缩短工期与降低成本得目得。
(一)土方调配区得划分,平均运距与土方施工单价得确定1、调配区得划分原则进行土方调配时,首先要划分调配区。
划分调配区应注意下列几点:(1)调配区得划分应该与工程建(构)筑物得平面位置相协调,并考虑它们得开工顺序、工程得分期施工顺序;(2)调配区得大小应该满足土方施工主导机械(铲运机、挖土机等)得技术要求;(3)调配区得范围应该与土方工程量计算用得方格网协调,通常可由若干方格组成一个调配区;(4)当土方运距较大或场地范围内土方不平衡时,可根据附近地形,考虑就近取土或就近弃土,这时一个取土区或弃土区都可作为一个独立得调配区。
2、平均运距得确定调配区得大小与位置确定之后,便可计算各填、挖方调配区之间得平均运距。
当用铲运机或推土机平土时,挖土调配区与填方调配区土方重心之间得距离,通常就就是该填、挖方调配区之间得平均运距。
当填、挖方调配区之伺距离较远,采用汽车、自行式铲运机或其她运土工具沿工地道路或规定线路运土时,其运距应按实际情况进行计算。
3、土方施工单价得确定如果采用汽车或其她专用运土工具运土时,调配区之间得运土单价,可根据预算定额确定。
当采用多种机械施工时,确定土方得施工单价就比较复杂,因为不仅就是单机核算问题,还要考虑运、填配套机械得施工单价,确定一个综合单价。
(二)用“线性规划”方法进行土方调配时得数学模型表就是土方平衡与施工运距(单价)表。
此表格说明了整个场地划分为个挖方区,,…,,其挖方量应为,,…,;有个填方区,,,…,,其填方量相应为,,…,;用表示由挖方区到填方区得土方调配数,由填挖方平衡,即:(1-1-6)若从到得价格系数(平均运距,或单位土方运价、或单位土方施工费用)为,一般地,从到得价格系数为,于就是土方调配问题可以用下列数学模型表达:求一组得值、使目标函数:(1-l-7)为最小值,并满足下列约束条件:(=1,2,…,)(=1,2,…,)据约束条件知道,未知量有X个,而方程数为+个。
表上作业法名词解释
表上作业法名词解释
表上作业法（Kanban）是一种管理工具和方法，主要用于优化工作流程和提高生产效率。
它最初由日本汽车制造商丰田开发并应用于其生产线，后来被广泛应用于各个行业和组织。
表上作业法的核心概念是通过可视化工作流程，使团队成员能够清晰地了解任务的状态、进展和优先级。
这通常通过一个表格或面板来实现，其中包含列代表不同的任务状态，行代表不同的任务。
每个任务都被表示为卡片或贴纸，上面包含任务的相关信息，比如任务名称、负责人和截止日期等。
通过使用表上作业法，团队成员可以更好地协作和沟通。
他们可以直观地看到当前任务的状态，避免重复工作和资源浪费。
团队成员可以根据任务的优先级和工作量，自行决定接下来的工作，同时也能够更好地进行任务分配和调整。
此外，表上作业法还强调持续改进和反馈。
团队成员可以定期开会或站会，讨论任务的进展和遇到的问题，以及如何通过调整工作流程来提高效率。
这种持续的反馈和改进可以帮助团队不断优化工作流程，提高工作效率和质量。
总而言之，表上作业法是一种简单而有效的工作管理方法，通过可视化工作流程和任务状态，帮助团队成员更好地协作、沟通和优化工作流程，从而提高生产效率和质量。
它已经在各个行业和组织中得到广泛应用，并被证实是一种有效的管理工具。
表上作业法
闭回路：在给出的调运方案的运输表上，从一个空格（非基变量）出发，沿水平或垂直方向前进，只有碰到 代表基变量的数字格才能向左或向右转90°继续前进，直至最终回到初始空格而形成的一条回路。从每一空格出 发，一定可以找到一条且只存在唯一一条闭回路。
常见问题
1、无穷多最优解 产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的，则该问题有无穷多最优解。 2、退化 表格中一般要有(m+n-1)个数字格。但有时，在分配运量时则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个0， 以保证有(m+n-1)个数字格。一般可在划去的行和列的任意空格处加一个0即可。
相关关系
表上作业法
用列表的方法求解线性规划问题中运输模型的计算方法
01 定义
03 常见问题 05 举例
目录
02 作业法的步骤 04 相关关系
表上作业法是指用列表的方法求解线性规划问题中运输模型的计算方法。是线性规划一种求解方法，其实质 是单纯形法，故也称运输问题单纯形法。当某些线性规划问题采用图上作业法难以进行直观求解时，就可以将各 元素列成表格，作为初始方案，然后采用检验数来验证这个方案，否则就要采用闭合回路法、位势法等方法进行 调整，直至得到满意的结果。这种列表求解方法就是表上作业法。
（1）运输问题的求解采用表上作业法，即用列表的方法求解线性规划问题中的运输模型的计算方法，实质上 是单纯形法。表上作业法是一种特定形式的单纯形法，它与单纯形法有着完全相同的解题步骤，所不同的只是完 成各步采用的具体形式；
运输问题表上作业法
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250
A2
X21
X22
X23
100
150
200
销量
450
非基变量X12的检验数：
12 =（c12+c23）-（c13+c22）
=70+75-（100+65）=-20，
非基变量X21的检验数：
21 =（c21+c13）-（c11+c23）
=80+100-（90+75）=15。
得到初始调运方案为： x11=100,x13=100,x22=150,x23=100
总运价为： 9* 0 10 100 *100 60* 5 15 100 *100 3087
2西北角法
不是优先考虑具有最小单位运价的供销业 务,而是优先满足运输表中西北角左上角 上空格的供销要求
用西北角法确定初始调运方案
取
中ij最小0者对应的变量为换
入变量；
2、当迭代到运输问题的最优解时,如果 有某非基变量的检验数等于0,则说明该 运输问题有多重最优解；
3当运输问题某部分产地的产量和,与某部分销 地的销量和相等时,在迭代过程中间有可能有某 个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行 和一列,这时就出现了退化.为了使表上作业法 的迭代工作能顺利进行下去,退化时应在同时划 去的一行或一列中的某个格中填入0,表示这个 格中的变量是取值为0的基变量,使迭代过程中 基变量个数恰好为m+n-1个.
u 1 v1 c11 90
u u
1 2
v3 v2
c13 c 22
100 65
u 2 v 3 c 23 75
表上作业法
2 表上作业法表上作业法的思想和单纯形法类似，即首先确定一个初始方案，也就是找出一个基可行解，然后根据判别准则来检查这个初始方案是不是最优的，如果不是最优的，那么对该方案进行调整，直至求出最优方案止。
下面介绍它的计算步骤。
2.1 确定初始调运方案确定初始调运方案的方法很多，我们介绍两种：最小元素法和西北角法。
1.最小元素法这个方法的基本思想是就近供应，即从运价表中最小运价开始确定调运量，然后次小，一直到给出初始调运方案为止。
具体操作方法如下：1°找出运价表中最小元素，确定，若，则令，划掉运价表的第L行；反之，若，则令，划掉运价表的第K列。
2°在运价表剩余元素中重复1°，直至运价表中元素全被划掉止。
例1 某糖果公司下设三个工厂，每日产量分别为：A1—7吨，A2—4吨，A3—9吨。
该公司将这些产品运往四个门市部，各门市部每日销售量为：B1—3吨， B2—6吨， B3—5吨， B4—6吨。
各工厂到各门市部的单位运价见表3-1，试确定总运费最省的调运方案。
表3-1 单位运价表解：先用最小元素法确定初始调运方案。
画出产销平衡表：表3-2用最小元素法所得初始调运方案如表3-2红字所示。
称产销平衡表中填有数字的格为数字格，没填数字的格称为空格。
由最小元素法可知，在产销平衡表上每填一个数字，就划去一个行或列，表中共有m行n列，用m+n-1条线就可划去运价表所有元素，相应地在产销平衡表上就形成m+n-1个数字格。
前面已经论证了运输问题的约束系数矩阵A的秩恰为m+n-1，理论上可以证明，这些数字格所所对应的变量相当于基变量，而空格对应的变量相当于非基变量，用最小元素法得到的初始调运方案构成一个基可行解。
特别要注意的是：当最小运价对应的产量与销量相等时，在产销平衡表填上时，产销平衡表的第L行和第K列同时得到满足，为了保证基变量个数为m+n-1个，除了在表上填外，必须在表的第L行或第K列某空格（相应运价未被划掉）处填一个“0”，然后同时划去运价表的第L行与第K 列。
土石方调配-表上作业法
土石方调配--表上作业法一、土方调配原理土方调配是场地平整施工设计的一个重要内容。
土方调配的目的是在使土方总运输量最小或土方运输成本最小的条件下，确定填挖方区土方的调配方向和数量，从而达到缩短工期和降低成本的目的。
（一）土方调配区的划分，平均运距和土方施工单价的确定1、调配区的划分原则进行土方调配时，首先要划分调配区。
划分调配区应注意下列几点：（1）调配区的划分应该与工程建（构）筑物的平面位置相协调，并考虑它们的开工顺序、工程的分期施工顺序；（2）调配区的大小应该满足土方施工主导机械（铲运机、挖土机等）的技术要求；（3）调配区的范围应该和土方工程量计算用的方格网协调，通常可由若干方格组成一个调配区；（4）当土方运距较大或场地范围内土方不平衡时，可根据附近地形，考虑就近取土或就近弃土，这时一个取土区或弃土区都可作为一个独立的调配区。
2、平均运距的确定调配区的大小和位置确定之后，便可计算各填、挖方调配区之间的平均运距。
当用铲运机或推土机平土时，挖土调配区和填方调配区土方重心之间的距离，通常就是该填、挖方调配区之间的平均运距。
当填、挖方调配区之伺距离较远，采用汽车、自行式铲运机或其他运土工具沿工地道路或规定线路运土时，其运距应按实际情况进行计算。
3、土方施工单价的确定如果采用汽车或其他专用运土工具运土时，调配区之间的运土单价，可根据预算定额确定。
当采用多种机械施工时，确定土方的施工单价就比较复杂，因为不仅是单机核算问题，还要考虑运、填配套机械的施工单价，确定一个综合单价。
（二）用“线性规划”方法进行土方调配时的数学模型表是土方平衡与施工运距（单价）表。
此表格说明了整个场地划分为个挖方区，，…，，其挖方量应为，，…，；有个填方区，，，…，，其填方量相应为，，…，；用表示由挖方区到填方区的土方调配数，由填挖方平衡，即：（1-1-6）若从到的价格系数（平均运距，或单位土方运价、或单位土方施工费用）为，一般地，从到的价格系数为，于是土方调配问题可以用下列数学模型表达：求一组的值、使目标函数：（1-l-7）为最小值，并满足下列约束条件：（=1，2，…，）（=1，2，…，）据约束条件知道，未知量有X个，而方程数为+个。
表上作业法闭回路法
表上作业法闭回路法
表上作业法和闭回路法是电路分析中常用的两种方法。
它们可以帮助我们求解电路中的电压、电流等信息。
表上作业法是通过将电路图绘制在纸上，逐步计算电路中每个部分的电阻、电流、电压等参数，最终求解出整个电路的特性。
使用这种方法需要准确的计算和演算技巧，但是比较直观易懂，适合初学者进行学习和练习。
闭回路法是通过在电路中选择一个闭合回路，在该回路中应用基尔霍夫定律（电流定律和电压定律），求解电路中各个元件的电流、电压等信息。
使用闭回路法可以简化计算，减少计算次数，适合处理比较复杂的电路。
两种方法都有其优缺点，根据电路的不同特性选择适合的方法进行分析。
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运输问题的求解方法
——表上作业法
产销平衡表与单位运价表
表上作业法
一、产销平衡表与单位运价表
运输问题还可用产销平衡表与单位运价表进行描述。
假设某种物资有m个生产地点Ai（i=1，2，…，m），其产量（供应量）分别为ai（i=1，2，…，m），有n个销地Bj（j=1，2，…，n），其销量（需求量）分别为bj（j=1，2，…，n）。
从Ai到Bj运输单位物资的运价（单价）为Cij。
将这些数据汇总可以得到产销平衡表和单位运价表5.3.1。
表5.3.1 产销平衡表与单位运价表
二、表上作业法
运输这一类特殊问题可用更加简便的求解方法———表上作业法求解，实质仍是单纯形法，步骤如下：
（1）确定初始调运方案，即找出初始基可行解,在产销平衡表上给出m+n-1个数字格。
（2）求非基变量的检验数，即在表上计算空格的检验数，判别是否达到最优解：是否存在负的检验数？如果存在负的检验数，则初始调运方案不是最优方案；如果所有检验数都非负，则初始调运方案已经是最优方案了。
如果已经得到最优调运方案，则停止计算，否则转入下一步。
（3）确定换入变量和换出变量，找出新的调运方案（新的基可行解），即在表上用闭回路法进行调整。
(4）重复（1）～（2），直到求出最优解为止。
（一）确定初始可行基的方法
⏹最小元素法
从单位运价表中最小的运价开始确定供销关系，然后考虑运价次小的，一直到给出初始基可行解为止。
⏹伏格尔法
采用最小元素法可能造成其他处的更多浪费，伏格尔法考虑最小运费与次小运费之间的差额，差额越大，就按次小运费调运。
（二）最优解的判别
计算非基变量（空格）的检验数,当所有的检验数时，为最优解。
求空格检验数的方法有：
⏹闭回路法
以某一空格为起点找一条闭回路，用水平或垂直线向前划，每碰到一数字格转900后，继续前进，直到回到起始空格为止。
闭回路如图5.3.1的（a）、（b）、（c）等所示。
从每一个空格出发一定存在并且可以找到唯一的闭回路。
因为，m+n-1个数字格（基变量）对应的系数向量是一个基，任一空格（非基变量）对应的系数向量是这个基的线性组合。
⏹位势法
一种较为简便的求检验数的方法。
设是对应运输问题的m+n个约束条件的对偶变量。
B是含有一个人工变量X a的初始基矩阵。
X a在目标函数中的系数Ca ，由线性规划的对偶理论可知
而每一个决策变量Xij的系数向量，所以
由单纯形法可知，所有基变量的检验数等于0，即
下面用具体例子说明表上作业法的计算步骤。
例1：假设某种物资共有3个产地，其日产量分别是：A1为7 t，A2为4 t，A3为9 t；该种物资的4个销售地，其日销量分别：B1为3 t，B2为6 t，B3为5 t，B4为6 t；各产地到销售地的单位物资的运价如表5.3.2所示。
在满足各销售点需要量的前提下，如何调运该种物资，才能使总运费达到最小？
表5.3.2
解：首先列出这一问题的产销平衡表，见表5.3.3。
表5.3.3 某物资运输的产销平衡表
⑴用最小元素法求解：
第1步，从表5.3.4中找出最小运价为1，表示应先将A2 的产品供应B1 。
在表5.3.3中（A2 B1 ）的交叉格处填上3，得表5.3.4。
将表5.3.4中的B1 列运价划去，得表5.3.5。
表5.3.4
表5.3.5
第2步，在表5.3.5未划去的元素中再找出最小运价为2，确定A2多余的1 t物资供应B3 。
得表5.3.6。
将表5.3.5的行运价划去，得表5.3.7
表5.3.6
表5.3.7
第3步，按照上述方法直到单位运价表上的所有元素被划去为止。
最后在产销平衡表上得到一个调运方案，即初始基可行解，见表5.3.8。
表5.3.8
⑵伏格尔法的步骤是：
第1步：在表5.3.2中分别计算出各行、各列的最小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行，见表5.3.9。
表5.3.9
第2步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列中的最小元素。
在表5.3.9中，可确定A3的产品应首先供应B2，得表5.3. 10。
将单位运价表中的列的数字划去，得表5.3.11。
表5.3. 10
表5.3.11
第3步,对表5.3.11中余下的元素再分别计算出各行、各列的最小运费和次最小运费的差额，重复第1、第2步，直到给出初始基可行解为止。
初始基可行解列于表5.3.12。
表5.3.12
伏格尔法给出的初始基可行解更接近最优解。
本例中用伏格尔法给出的初始基可行解就是最优解。
⑶用闭回路法判别检验：闭回路法计算检验数的经济解释为,在已给出初始基可行解的表中，可从任一空格出发，如（A1, B1），若让A1的产品调运1 t给B1，为了保持产销平衡，就要依次进行调整,就构成了以（A1, B1）空格为起点，其他为数字格的闭回路，如表5.3.13中的虚线所示。
闭回路各顶点所在格的右上角数字是单位运价。
表5.3.13
调整的方案使运费增加
将“1”填（A1, B1）格中，这就是检验数。
按上述办法，可找出所有空格的检验数，见表5.3.14。
当检验数还有负数时，需要对原方案进行改造。
表5.3.14
⑷用位势法检验:
第1步,按最小元素法给出表5.3.8的初始基可行解，作表5.3.15。
在对应表5.3.8的数字格处填入单位运价。
表5.3.15
第2步,在上表增加一行一列，在列中填入，在行中填入，得表5.3.16。
表5.3.16
首先令u1=0,然后按可确定所有和的数值。
第3步,按计算所有空格的检验数，特设计计算表5.3.17。
表5.3.17
⑸改进的方法——闭回路调整法: 在表5.3.17中，(A2, B4)为调入格，以此格为出发点，作一闭回路,得表5.3.18。
表5.3.18
格的调入量是选择闭回路上具有（-1）的数字格中的最小者即
，然后，按闭回路上的正、负号，加、减此值得到调整方案，如表5.3.19所示。
再用闭回路法或位势法求各空格的检验数，得表5.3.20。
在表5.3.20中，因为所有检验数都非负，故得最优解，这时，得到最小运费为85（元）。
表5.3.19
表5.3.20。