确定性建模

= C x0
n
− xj
⎪ ⎪⎩
∑ λi = 1
i =1
( j = 1,K, n)
当随机函数不满足二阶平稳,而满足内蕴（本征）假设时, 可用变差函数来表示克里金方程组如下:
∑ ( ) ( ) ⎧
⎪⎪ ⎨
n i =1
γ
xi − x j
λi + μ = γ
x0 − x j
n
⎪ ⎪⎩
∑ λi = 1
i =1
•原点处变差函数的切 线在变程的2/3处与 基台值相交。
h=0 h≤a
h≥a
指数模型：
γ
(h)
=
c
⋅
Exp⎜⎛ ⎝
h a
⎟⎞ ⎠
=
c
⋅
⎢⎣⎡1
−
exp⎜⎛ ⎝
−
3h a
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
•变差函数渐近地逼近 基台值。
•在实际变程处，变差 函数为0.95c。
•模型在原点处为直线。
高斯模型：
γ
(h)
=
c
⋅
∑ ( ) ( ) ⎧ n
⎪⎪ ⎨
i =1
C
xi
− xj
λi
−μ
= C x0
n
− xj
⎪ ⎪⎩
∑ λi = 1
i =1
∑ ( ) ( ) ⎧
⎪⎪ ⎨
n i =1
γ
xi − x j
λi + μ = γ
x0 − x j
n
⎪ ⎪⎩
∑ λi = 1
i =1
关键是变差函数
（协方差函数） (8-2)
( j = 1,K, n)
第四章
确定性建模
Deterministic Modeling
确定性建模概述 地质统计学克里金方法
三维地质建模
数据库
油藏数模
模型粗化
三维构造建模 三维相建模
三维储层参数建模
储层建模
三维网格赋值
（相控）
资料：井数据 和/或地震数据
属性：相 孔、渗、饱
• 确定性建模 • 随机建模
离散型地质变量 连续型地质变量
连续地震属性：速度、波阻抗、 振幅、频率等
离散地震属性：波形结构类型 （地震相）等
步骤：
提取地震属性
优选地震属性
泥岩
地震属性与地质参数的关系
地震属性的确定性转换
地震属性
速度、 波阻抗、 振幅、 频率等 波形结构类型
地质参数 Φ
地质相、 岩性、 孔隙度 流体（？）
砂岩
AI
AI
步骤：
提取地震属性 优选地震属性
为Z(x)在x轴方向上的变差函数，记为 γ (x, h)
γ
( x, h)
=
1 2
Var[Z(x)-Z(x+h)]
=
1 2
E[Z(x)-Z(x+h)]2-{E[Z(x)-Z(x+h)]}2
半变差函数(或半变异函数)
在二阶平稳假设，或作本征假设时：
E[Z(x)-Z(x+h)]=0 ∀ h
则：
γ
(x,
h)
常规插值与克里金插值
（插值方法）
（上述方法可综合应用）
一、储层地震学方法
（地震资料的确定性转换）
★ 应用地震资料研究储层的几何形态、岩性及储层 参数的分布。
确定性转换
地震属性
地质参数
注意：
地震资料不仅用于确定性建模， 也可以随机建模
步骤：
提取地震属性 优选地震属性
地震属性与地质参数的关系
地震属性的确定性转换
= min
应用拉格朗日乘数法求条件极值
[( ) ] ∑ ∂
∂λ j
⎢⎣⎡E
Z *(x0 ) − Z(x0 ) 2
−
2μ
n i =1
λ
j
⎤ ⎥⎦
=
0,
j = 1,K, n
Z*(x0)
进一步推导，可得到n+1阶的线性方程组, 即克里金方程组
∑ ( ) ( ) ⎧ n
⎪⎪ ⎨
i =1
C
xi
− xj
λi
−μ
x0
基本思路 变差函数 基本步骤 主要方法
一、基本思路
----以普通克里金为例
设 x1,K, xn 为区域上的一系列观测点，z(x1 ),K, z(xn )
为相应的观测值。区域化变量在 x0处的值 z* (x0 ) 可
采用一个线性组合来估计：
n
z*(x0 ) = ∑ λi z(xi ) i =1
无偏性和估计方差最小被作为 λi 选取的标准
−
Z
(x0
)⎥⎦⎤
∑ =
⎜⎛ ⎝
n i =1
λi
⎟⎞m ⎠
−
m
=
0
（在搜寻邻域内为 常数，不同邻域可 以有差别）
Z*(x0)
可得到关系式:
n
∑λi = 1
i =1
无偏条件限制
（2）估计方差最小
[ ] σ k 2 = E {(Z * (x0 )− Z (x0 ))− (E Z * (x0 )− Z (x0 ))}2 [ ] ( ) = E Z * (x0 )− Z (x0 ) 2
=
1 2
Var[Z(x)-Z(x+h)]
1
= 2 E[Z(x)-Z(x+h)]2-{E[Z(x)-Z(x+h)]}2
γ (h)
1
= 2 E[Z(x)-Z(x+h)]2
地质统计学中最常用 的基本公式之一。
变程(Range) ：指区域化变量在空间上具有相关性的 范围。在变程范围之内，数据具有相关性；而在变 程之外，数据之间互不相关，即在变程以外的观测 值不对估计结果产生影响。
( j = 1,K, n)
Z*(x0)
最小的估计方差,即克里金方差,可用以下公式求解:
n
∑ σ
Hale Waihona Puke Baidu
2 k
=
C(x0
−
x0 )+
μ
−
λiC(xi − x0 )
i =1
n
∑ σ
2 k
=
λiγ (xi − x0 ) + μ − γ (x0 − x0 )
i =1
Z*(x0)
权系数可通过求解克里金方程组来获得:
u+h u
克里金插值
根据待估点周围的 若干已知信息，应用变 差函数的性质，对待估 点的未知值作出无偏、 最优的估计。
n
z * (x 0 ) = ∑ λ i z (xi ) i =1
[ ] 无偏 E Z (x0 ) − Z * (x0 ) = 0 [ ] 最优 Var Z (x0 ) − Z * (x0 ) = min
地质 测井 测试 地震
建模的核心是井间储层预测
横向预测的依据：
确定性转换
地震信息转换 随机转换
沉积规律
沉积单元对比
（线性趋势） 常规线性插值
模式认知 模式拟合
统计规律
克里金插值 随机模拟
第一节 确定性建模概述
对井间未知区给出确定性的预测结果。
储层地震学方法
（地震资料的确定性转换）
储层沉积学方法
（对比方法）
不仅考虑待估点位置与已 知数据位置的相互关系， 而且还考虑变量的空间相 关性。 因此，更能反映客观地质 规律，估值精度更高。
n
z * (x 0 ) = ∑ λ i z (xi ) i =1
第二节 克里金插值方法
克里金方法（Kriging）, 是以南非矿业 工程师D.G.Krige (克里格)名字命名的一项 空间估值技术，是地质统计学的核心。
地震属性与地质参数的关系
地震属性的确定性转换
确定性转换
地震属性
地质参数
速度、 波阻抗、 振幅、
频率、
波形结构类型
地质相、 岩性、 孔隙度 流体（？）
二、储层沉积学方法
通过井间砂体确定性对比， 建立储层结构模型
构型分析
构型建模
模式拟合
实际资料 定量模式
模式拟合
实际资料 定量模式
三维可视化储层构型分析 ★数字油藏技术
2N(h) i=1
γ *(1)
=
2
1 ×
7
[22+12+22+42+22+32+22]
=
42 14
试算 γ *(2) γ *(3) γ *(4) γ *(5)
= 1.67，2.80，3.5，1.0
•
••
•
•
h 3h 5h
h
∑ γ *(h) =
1
N(h)
[Z(xi) - Z(xi + h)]2
2N(h) i=1
☼3
☼1
☼1
几何各向异性：变差函数 在空间各个方向上的变程 不同，但基台值不变（即 变化程度相等）。
带状各向异性：不同方向 的变差函数具有不同的基 台值，其中变程可以不 同，也可以相同。
2. 区域化变量的结构分析
通过区域化变量的空间观测值来构建相应的变 差函数模型, 以表征该变量的主要结构特征。
(1)数据准备 区域化变量的选取、 数据质量检查及校正、 数据的变换
D.G. Krige (1951)
“根据样品空间位置不同、样品间相关程度不 同，对每个样品品位赋予不同的权，进行滑动 加权平均，以估计中心块段平均品位”
n
∑ z * (x0 ) =
λi z (xi )
i =1
Kriging方法
理论依据？
插值： 依据邻近点，推断待估点
n
∑ z * (x0 ) =
λi z (xi )
（普通克里金方程组）
( j = 1,K, n)
x0
n
z*(x0 ) = ∑ λi z(xi ) i =1
二、变差函数及其结构分析
1. 变差函数的概念与参数 变差函数(或叫变程方差函数，或变异函数)是 地质统计学所特有的基本工具。 描述：区域化变量的空间结构性及随机性
•？
一维情况下的定义：
假设空间点x只在一维的x轴上变化，则将区域化 变量Z(x)在x，x+h两点处的值之差的方差之半定义
三维储层构型模型
三、插值方法
1. 传统数学插值
传统方法 克里金方法
如：三角剖分法（三角网方法）、 距离反比加权法等
趋势分析 将变量视为纯随机变量， 未考虑变量的空间结构性
仅考虑待估点位置与已知数 据位置的相互关系。
n
z * (x 0 ) = ∑ λ i z (xi ) i =1
2. 克里金插值
具不同变程 的克里金插 值图象
块金值(Nugget) ：变差函数如果在原点间断，在地质统计学中称 为“块金效应”，表现为在很短的距离内有较大的空间变异性，无 论h多小，两个随机变量都不相关 。它可以由测量误差引起，也 可以来自矿化现象的微观变异性。在数学上，块金值c0相当于变 量纯随机性的部分。
平稳假设
二阶平稳
① 在研究区内有Z(u)的数学期望存在， 且等于常数，即：E[Z(u)] = E[Z(u+h)] = m(常数)
② 在研究区内，Z(u)的协方差函数 Cov{Z(u),Z(u+h)}存在且平稳 (即只依赖于滞后h，而与u无关)
本征假设
①在研究区内有E[Z(u)-Z(u+h)] = 0 ②变差函数存在且平稳 (即不依赖于u)
（如对渗透率进行对数变换）、
数据的统计（如分相对储层参数
计算平均值、方差，作直方图、 相关散点图等）、
丛聚数据的解串等。
(2)实验变差函数的计算 实验变差函数是指应用观测值计
算的变差函数。对于不同的滞后距h， 可算出相应的实验变差函数。
γ (h) = 1 E[Z(x)-Z(x+h)]2
2
一维实验变差函数的计算公式:
球状模型 指数模型 高斯模型 幂函数模型 空洞效应模型
球状模型：
⎧0
γ
(h)
=
c
⋅
Sph⎜⎛ ⎝
h a
⎟⎞ ⎠
=
⎪ ⎪ ⎨c ⎪
⋅
⎡ ⎢ ⎢⎣
3 2
h a
−
1 2
⎜⎛ ⎝
h a
⎟⎞3 ⎠
⎤ ⎥, ⎥⎦
⎪⎩ c,
c为基台值，a为变程， h为滞后距。
•接近原点处，变差函 数呈线性形状，在变 程处达到基台值。
⎡ ⎢1 − ⎢⎣
exp⎜⎜⎝⎛
−
(3h)2
a2
⎟⎟⎠⎞⎥⎥⎦⎤
γ *(1)
=
2
1 ×
7
[22+12+22+42+22+32+22]
=
42 14
= 3.00
2D情况
1）分不同方向，进行1D变差函数计算
四方向试算
h 3h 5h
h
角度容限 步长容限
2）确定主变程方向和次变程方向及大小
☼1
☼3
☼3
☼3
☼1
☼2
☼3
☼1
☼1
3D情况：
增加垂向方向
（同时,考虑主变程方向的 走向、倾向和倾角）
i =1
（？）
•？
区域化变量 （G. Materon，1962)
能用其空间分布来表征一个自然现象的变量。
（将空间位置作为随机函数的自变量）
•空间一点处的观测值可解释为一个随机变量在该点
处的一个随机实现。
• 空间各点处随机变量的集合构成一个随机函数。
P
（应用随机函 数理论解决插 值问题） φ 相关性（结构性） 随机性
γ (h) = C(0) – C(h)
基台值(Sill)：代表变量在空间上的总变异性大小。即为变 差函数在h大于变程时的值，为块金值c0和拱高cc之和。 拱高为在取得有效数据的尺度上，可观测得到的变异性幅 度大小。当块金值等于0时，基台值即为拱高。
地质变量相关性的各向异性
☼1
☼3
☼3
☼3
☼1
☼2
(3)理论变差函数的最优拟合与结构套合 选择合适的理论变差函数模型，对实验变差
函数进行拟合，同时还需进行结构套合，从而 得到一条反映不同层次（或不同空间规模）结 构的、统一的、最优的变差函数曲线。
变差函数的理论模型
(曲线方程)
设Z(x)为满足本征假设的区域化变量，则常 见的理论变差函数有以下几类：
∑ γ *(h) =
1
N(h)
[Z(xi) - Z(xi + h)]2
2N(h) i=1
(i=1,…,N(h))
[Z(xi)-Z(xi+h)]2的算术 平均值一半即为一个h的 变差函数值
对不同的滞后h，进行计算，得出各个h的变差函数值
∑ γ *(h) =
1
N(h)
[Z(xi) - Z(xi + h)]2
[ ] 无偏 E Z (x0 ) − Z * (x0 ) = 0 [ ] 最优 Var Z (x0 ) − Z * (x0 ) = min
Z*(x0)
（1）无偏条件
从平稳假设出发, 可知 E[Z(x)]为常数,有
E[Z * (x0 ) − Z (x0 )]
∑ =
E
⎡ ⎢⎣
n i =1
λi
Z
(xi
)