谈三个二次关系及及综合运用--

谈“三个二次”关系及其综合运用
济钢高级中学 杨同才 2011年7月17日 12:29
隋宇为于11-7-17 16:02推荐杨老师的文章从最基本的问题入手，通过数形结合的方法将“三个二次”的问题说的很清楚很全面，很有参考价值。

邵丽云于11-7-19 14:28推荐杨老师的“三个二次”关系及其综合运用这篇文章，以二次函数为主线充分论述三个二次间的关系，并对相关问题进行了总结归纳，可见杨老师平时教学的用心，值得学习。

一、”三个二次”的关系
”三个二次”指一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和广泛的应用，在研究二次曲线与直线的位置关系、运用导数解决复杂函数性质等问题时，常常转化成二次方程、二次函数、二次不等式的问题。

”三个二次”将等与不等、数与形紧密的结合在一起，对数形结合思想、函数方程思想、等价转化思想有较高的要求。

因而在高考试题中将近占一半的试题与“三个二次”问题有关，作为教师进一步澄清三者的内在联系对提高学生数学思维水平有很大帮助！
“三个二次”中，一元二次函数最为重要，在初中学生就专题学习了二次函数，研究了二次函数的定义、图像、性质和实际问题中的最值，往往作为中考试题的最后一个压轴题。

初中也学习了一元二次方程及其规范解法，如公式法、配方法、因式分解法等。

只有一元二次不等式及解法在初中仅是初步了解。

初中阶段对函数、方程、不等式的学习都是彼此独立的，对于“三个二次”的横向联系缺乏认识。

升入高中才真正揭开三者的内在联系，逐步形成用函数、方程、不等式“三位一体”的思考方式审视问题、解决问题。

在“三个二次”中一元二次函数2
y=a +b +c x x 是重点，从它的配方形式2
2
b 4ac-b y=a ++ 2a 4x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
中充分反映了函数值y 随自变量x 的变化而变化的规律，可以容易的观察出何时取最值，也能考查出自变量x 取关于2b a
-
对称值时函数值的取值特点。

从它的因式分解形式12y=a(x-x )(x-x )可以考察出，
运用实数运算的符号法则，很容易看出函数值y 何时等于0、y 何时大于0、y 何时小于0等特点。

总之一元二次函数反映y 与x 对应关系的全貌：既包括了方程的根、又包括了不等式等式的解。

一元二次方程2a +b +c=0x x 的根12=,=x x x x 分别是对应函数2
y=a +b +c x x 图像与横轴交点的横坐标，也就是对应二次函数函数2
y=a +b +c x x 的零点，而方程2
a +
b +c=0x x 无根则对应函数
2
y=a +b +c x x 与横轴无交点，即对应二次函数函数2
y=a +b +c x x 与横轴相离。

一元二次方程2a +b +c=0x x 的根12=,=x x x x 是对应2a +b +c>0(<0)x x 解集的端点，这就说明解不等式2a +b +c>0(<0)x x 中必然需要求出2a +b +c=0x x 的根，借助方程的根表示2a +b +c>0(<0)x x 的解集。

函数的变号零点⇔函数图像与横轴交点的横坐标⇔方程的两个不等的实根
函数的不变号零点⇔函数图像与横轴切点的横坐标⇔方程的两个相等的实根
函数值的正值区间⇔函数图像在横轴上方各点横坐标的集合⇔不等式2a +b +c>0x x 的解集
函数值的负值区间⇔函数图像在横轴下方各点横坐标的集合⇔不等式2a +b +c<0x x 的解集
通过以上论述，可对“三个二次”的关系有一个较为全面的了解，在教学中，我们要不失时机的渗透“三个二次”三位一体的思维意识，实现“三个二次”之间的相互转换，使学生能自然规范的运用函数方程思想、数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想，提高学生数学思维水平。

二、”三个二次”关系应用举例
1、函数与方程
函数()y f x =的零点⇔方程()0f x =的根⇔函数()y f x =图象与X 轴公共点横坐标；函数零点分为变号零点、不变号零点，当函数()y f x =图象与X 轴相交时，交点的横坐标称为变号零点。

函数()y f x =图象与X 轴相切，切点的横坐标即为不变号零点。

所以函数()f x 有零点⇔方程
()0f x =有实根⇔()y f x =图象与X 轴有公共点。

所以时刻将函数与方程结合在一起来思考问题，
解决问题，体现函数方程思想的运用。

例1、已知函数2
()=21f x x ex m -++-，2
()(0)e
g x x x x
=+>
(1)若g(x)=m 有零点，求m 的取值范围；
(2)确定m 的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
分析：（1）法1：g(x)=m 有零点⇔方程2
()e
g x x x
=+
在()0,+∞内有实根⇔函数220
x mx e -+=在()0,+∞有实数根，进而将问题转化为二次方程根的分布问题；
法2：g(x)=m 有零点⇔方程2
e
x m x
+
=有根⇔函数2
(),()e
g x x h x m x
=+
=的图像有公共点，
⇔2
e m y y x x ⎧⎫
∈=+⎨⎬⎩
⎭，即可转化为求函数2()e g x x x =+的值域问题； （2）方程g(x)-f(x)=0在()0,+∞内有两个相异实根⇔2
2
(21)10e
x e x m x
--+
+-=在()0,+∞内
有两个相异实根⇔函数2
2
()(21)(0),()1e
h x x e x x x m x
φ=--+>=-有两个不同的交点。

通过构
造函数，借助图形思考实现问题的转化。

例2、求实数m 的取值范围，使关于x 的方程22(1)260x m x m +-++=： （1）有两个实根，且一个比2大，一个比2小； （2）有两个实根，且都比1大；
（3）有两个实根,,014αβαβ<<<<且满足。

分析：二次方程根的分布问题有两个基本解法：法1、构造对应的二次函数把方程根的分布要求转化为对二次函数图像位置特征的要求，然后在将图像的特征翻译成数学表达式（或关系组）进而解决问题。

采用这种方法注意二次系数的讨论，按照定函数类型、定图像的位置、刻画函数图像，最后从数角度完成问题的解决，其中运用数形结合、方程与函数的对应关系、分类讨论等。

方法2、采用韦达大定理实现转化。

详解略。

2、函数与不等式
在解不等式、证明不等式、或运用不等式恒成立（能成立）条件中，往往通过构造相应的函数 运用函数理论解决不等式问题。

其中如何巧妙地构造函数和等价的问题转化是成功解决不等式问题的关键。

例3、若不等式)1(122
->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。

分析：此类问题的模型],[,)(n m x b kx x f ∈+=，⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨
⎧>>⇔>0
)(0
)(0)(,0)(0
)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立
解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，对原不等式变形：
221(1)x m x ->-⇔0)12()1(2
<---x x m ，
令)12()1()(2---=x x m m f ，22≤≤-m ，
所以x 的范围是)2
31,
2
71(
+
+
-∈x 。

本题中把关于x 的不等式转化为以m 为自变量的一次函数，借助线性函数的特点实现问题转化，充分运用了数形结合思想、等价转化思想，又一次体现“三位一体”的思维意识。

例4、若不等式x 2
-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。

分析：不等式恒成立问题往往通过构造相应函数，使原来恒成立问题转化为函数最值问题。

期间注意运用分类讨论思想和数形结合思想。

解：设f(x)=x 2-2mx+2m+1
本题等价于函数f(x)在0≤x ≤1上的最小值大于0，求m 的取值范围。

(1)当m<0时，f(x)在[0,1]上是增函数，因此f(0)是最小值，
解 ⎩⎨⎧>+=<0
12m f(0)0m 得 2
1-
<m<0
(2)当0≤m ≤1时，f(x)在x=m 时取得最小值 解 ⎩⎨⎧>++=≤≤0
12m -m f(m)1m 02
得 0≤m ≤1 (3)当m>1时，f(x)在[0,1] 上是减函数，因此f(1)是最小值
解 ⎩
⎨⎧>=>02f (1) 1m 得 m>1
综合(1)(2)(3) 得 2
1m -
>
注意：在将参二次不等式问题转化为二次函数的问题时，若原问题中限制自变量x 在某个指定范围内取值，最好先采用分离变量，然后构造二次函数，解决起来较为简便，否则运用二次函数理论解决问题时较繁琐。

例5：已知a>0且a ≠1,当x ∈(-1，1)时，不等式x 2
-a x
<
2
1恒成立，则a 的取值范围
2
2
x <<
2
2
2(1)(21)02(1)(21)0
x x x x ⎧----<⎪⎨
---<⎪⎩(2)0(2)0f f -<⎧⇔⇔⎨<⎩()0f m <恒成立
分析：将不等式x 2-a x
<
2
1变形为 a x > x 2
-2
1，左右两边分别构造基本函数：y 1= a x ,y 2= x 2
-
2
1， “当
x ∈(-1，1)时，不等式x 2-a x <2
1恒成立”在图形上理解是：不管 a>1，还是0<a<1,对自变量x 取区间
(-1，1)内每一个值时，函数y 1= a x 的对应点时刻都比y 2= x 2-2
1的对应点高。

解析：不等式x 2
-a x
<21
可化为 a x > x 2
-
2
1
画出y 1= a x
,y 2= x 2-2
1的图像。

由图可看出
2
1≤a<1或1<a ≤2
所以，a 的取值范围为
(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭
例6、设3
2
()ln ,()3a f x x x g x x x x
=+=--
（1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；
（2）如果存在[]12,0,2x x ∈使得12()()g x g x M -≤成立，求满足上述条件的最大整数M ； （3）如果对任意的1,,22
s t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
，都有()()f s f t ≥成立，求实数a 的取值范围。

解析:(1)当2=a 时, 1ln 2)(2
/
++-
=x x
x f ,所以1)1(/
-=f ,2)1(=f
所以曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为3+-=x y (2) 存在]2,0[,21∈x x 使得M x g x g ≥-)()(21等价于M x g x g ≥-最大值)]()([21.
因为)
2(323)(2
/
-
=-=x x x x x g
由上表可知：)3
()(g x g =最小值 25
-=，1)2()(==g x g 最大值
27
112)(-)()]()([21=
=-最小最大最大值x g x g x g x g ，所以满足条件的最大整数是4
(3)对任意的]2,2
1
[,∈t s ，都有)()(t g s f ≥成立，等价于在]2,2
1
[上，函数)(x f 的最小值不小于)
(x g
的最大值。

由（2）知道，1)2()(==g x g 最大值，所以在]2,21
[上，函数1ln )(≥+=
x x x
a x f 恒成立，
等价于x x x a ln 2-≥恒成立。

记x x x x h ln )(2-=，则x x x x h --=ln 21)(/， 0)1(/=h . 当21<<x 时，0ln 21)(/<--=x x x x h ； 当
12
1<<x 时，0ln 21)(/
>--=x x x x h ，
即函数x x x x h ln )(2-=在]1,2
1
[上递增，在]2,1[上递减， 所以)(x h 最小值为1)1(=h ，
故1≥a
对例6延伸思考:本题是2011年济南市高三备考模拟题，该题较好的考察学生的函数、方程、不等式知识综合运用的能力和数学思想运用能力，意犹未尽请老师在以下给出的角度在进一步体验函数与不等式关系运用。

(1) 对任意的1
,,22
s t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
，都有()()f s f t ≥成立， min max ()()f s g t ⇔≥
max 1,2,()()2s f s g t ⎡⎤
⇔∀∈≥⎢⎥⎣⎦
恒成立min 1,2,()()2t f s g t ⎡⎤
⇔∀∈
≥⎢⎥⎣⎦
恒成立
（2）11,2,,222s t ⎡⎤⎡⎤
∀∈∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，都有()()f s g t ≥成立， min min ()()f s g t ⇔≥
（3）11,2,,222s t ⎡⎤⎡⎤
∃∈∀∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，都有()()f s g t ≥成立， max m ()()ax f s g t ⇔≥
（4）11,2,,222s t ⎡⎤⎡⎤
∃∈∀∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，都有()()f s g t =成立， ()()f s t ⇔⊆令值域为A ，g 值域为B,则B A;
（5）11,2,,222s t ⎡⎤⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，都有()()f s g t =成立， ()()f s t ⇔⊆令值域为A ，g 值域为B,则A B;
3、不等式与方程
特别是在解决不等式的选择填空问题时，我们往往采用直接解法获得答案，犯“小题大做”的毛病。

其实弄懂不等式与方程之间的内在联系，采用取特值检验排除的方法可轻而易举的解决问题。

例7、（1）不等式052>+-b x ax 的解集是{}23-<<-x x ，则不等式052
>+-a x bx 的解是（ ）
（A ）3-<x 或2->x (B)2
1-
<x 或3
1-
>x （C ）3
12
1-
<<-
x （D ）23-<<-x
（2）关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}2
1
2|{->-<x x x 或，求关于x 的不等式
02
>+-c bx ax
的解集．
分析：（1）已知不等式052>+-b x ax 的解集是{}23-<<-x x ，相当于已知方程250bx x a -+= 的两个根：13x =-，22x =-，然后采用韦达定理即可求出,a b 的取值。

（2）解法同（1）略。

从以上例题中对函数、方程、不等式密不可分的关系可窥一斑。

在分析和解决函数、方程、不等式的问题时，不要孤立围绕一个方面思考，应当有意识的向其余两个方面想想，时刻保持“三位一体”的思维意识，并从数与形两个角度审视问题、转化问题必将出现柳暗花明又一村感觉！。