二次函数及三个二次之间的关系

二次函数及三个二次之间的关系

一、二次函数：

例1 已知函数)(x f y =是开口向上的二次函数，)1()1(x f x f +=-，3)0(=f ，且)(x f 的最小值为2，求)(x f y =的解析式．

变式1：已知函数)(x f y =是开口向上的二次函数，)1()1(x f x f +=-，证明：)(x f y =在（1，+∞）上是增函数．

变式2：函数)0()(2>++=a c bx ax x f 在（a b 2-，+∞）上是增函数，在（-∞，a

b 2-）上是减函数．

变式3：已知函数)0()(2>++=a c bx ax x f ，R x x ∈21,，则2

)

()()2(2121x f x f x x f +≤+．

变式4：已知函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称，则)()(x a f x a f +=-．

变式5：已知函数)(x f y =的图像关于点),(b a 成中心对称，则b x a f x a f 2)()(=++-．

知识归纳：

1、二次函数的三种形式：

2、二次函数的性质：

3、根与系数的关系：

浙师大附中2014届数学第一轮复习学案（理科）

二、一元二次方程根的分布：

例2 方程0422

=+-ax x 的两根均大于1，求实数a 的取值范围．

变式1：．方程022

=+-a ax x 有一个正根，一个负根，则实数a 的取值范围是 ．

变式2：方程022=+-a ax x 的一个根在)1,0(内，另一个根大于1，则实数a 的取值范围是 ． 变式3：方程022=+-a ax x 的两根x 1、x 2 满足0

变式5：已知抛物线C ：12-+-=ax x y ，点A(0,3),B(3,0)，试确定a 的取值范围，使抛物线C 恒与线段AB 有两个交点．

知识归纳：

三、二次函数在闭区间上的最值：

例3 求二次函数32)(2+-=x x x f 在区间]2,2[-上的最大值与最小值．

变式1：将区间改为],2[a -，2->a ，求函数的最大值和最小值．

变式2：将区间改为]1,[+a a ，求函数的最大值和最小值．

变式3：已知函数．032)(2≥+-=x x x f 在区间]1,[+a a 上恒成立，求实数a 的取值范围．

变式4：求二次函数32)(2+-=ax x x f 在区间]2,2[-上的最大值与最小值．

变式5：求二次函数)0(32)(2≠+-=a ax ax x f 在区间]2,2[-上的最大值与最小值．

方法点拨

闭区间上二次函数的最值问题可分以下几种类型：

（1） 定区间、定对称轴；——配方、判定对称轴与区间的位置关系、确定最值．

（2） 定区间、动对称轴；——分对称轴在区间左、区间中、区间右（或区间中点左、区间中

点右）讨论．

（3） 动区间、定对称轴；——分对称轴在区间左、区间中、区间右（或区间中点左、区间中

点右）讨论．

四、三个二次之间的关系：

例4．函数b abx ax x f ++=2)(，0≠a ．

（1）若0)(>x f 的解集为区间)2,1(，求实数b a ,的值；

（2）若0>a ，0)(=x f 的两根x 1、x 2 满足1,121>

知识归纳：

五、高考题探寻：

1、设a 为实数，函数∈+-+=x a x x x f ,1||)(2R ，（1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）求)(x f 的最小值．

2、设c bx ax x f ++=23)(2

，若0=++c b a ，f(0)＞0，f(1)＞0，求证：

（1）0>a 且12-<<-b

a

； （2）方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根． 3、已知

3

1

≤a ≤1，若函数()221f x ax x =-+在区间[1，3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-．

（1）求()g a 的函数表达式；（2）判断函数()g a 在区间[3

1

，1]上的单调性，并求出()g a 的最小值．