三个二次问题

∴
4a(-2a-1)-a2 4a =8,
解得 a=-4 或 a=0(舍去).
故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-2)(x+1)=-4x2+4x+7.
2.已知函数 f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2 在区间[0, 2]上有最小值 3,
求实数 a 的值.
解:
由已知 f(x)=4(x -
a 2
)2
-
2a+2.
∵f(x) 在区间[0, 2]上的最小
值为 3, ∴可分情况讨论如下:
(1)当
a 2
≤0,
即 a≤0 时,
函数 f(x) 在[0, 2]上是增函数.
∴ f(x)min=f(0)=a2-2a+2. 由 a2-2a+2=3 得: a=1 2 .
∵a≤0, ∴a=1- 2.
(2)当
0<
a 2
二、二次函数的图象
有关知识: 图象形状; 对称轴; 顶点坐标; 与 x 轴交点坐标; 截 x 轴线段长.
三、二次函数的性质
1.当 a>0 时,
抛物线开口向上,
函数在(-∞,
-
b 2a
]上单调递
减,
在[-
b 2a
,
+∞)上单调递增,
当
x=
-
b 2a
时,
f(x) 取得最小值,
为 4ac-b2 .
4a
2.当 a<0 时,
<2,
由 -2a+2=3
即 得:
0<a<4 时,
a=-
1 2
(0,
f(x)min=f( 4), 舍去.
a 2
)=-2a+2.
(3)当
a 2
≥2,
即 a≥4 时,
函数 f(x) 在[0, 2]上是减函数.
∴ f(x)min=f(2)=a2-10a+18. 由 a2-10a+18=3 得: a=5 10.
o x1=x2 x
o
x
一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a>0) 的根
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 没有实根
x1=x2=
-
b 2a
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
{x | x<x1 或 x>x2}
{x | x≠- 2ba}
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x | x1<x<x2}
一、二次函数的解析式
1.一般式: y=ax2+bx+c(a≠0); 2.顶点式: y=a(x -m)2+n(其中(m, n)为抛物线的顶点坐标); 3.两根式: y=a(x -x1)(x -x2)(其中x1, x2为抛物线与 x 轴两交点
的横坐标); 注: 求二次函数的解析式, 一般都采用待定系数法. 做题时, 要根据题设条件, 合理地设出解析式.
故所求函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7.
解法二: 利用二次函数的顶点式.
设f(x)=a(x-m)2+n, ∵f(2)=f(-1)=-1,
∴抛物线的对称轴为直线
x=
1 2
,
∴m=
1 2

又 f(x) 的最大值是 8, ∴n=8.
∴f(x)=a(x -
1 2
)2+8,∵f(2)=-1,
∴a(2
-
1 2
)2+8=-1, ∴a=-4.
故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-
1 2
)2+8=-4x2+4x+7.
解法三: 利用二次函数的两根式. 由已知 f(x)+1=0 的两根为 2 和 -1,
故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1), 从而 f(x)=a(x-2)(x+1)-1.
即 f(x)=ax2-ax-2a-1. 又 f(x) 的最大值是 8,
抛物线开口向下,
函数在(-∞,
-
b 2a
]上单调递
增,
在[- b 2a
,
+∞)上单调递减,
当
x=
-
b 2a
时,
f(x) 取得最大值,
为 4ac-b2 .
4a
四、二次函数与方程、不等式的关系
判别式
△=b2-4ac 二次函数
△>0 y
△=0 y
△<0 y
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
x x1 o x2
∵a≥4, ∴a=5+ 10.
综上所述, a=1- 2 或 a=5+ 10.
3.已知函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab, 当 x(-3, 2)时, f(x)>0,
当x(-∞, -3)∪(2, +∞) 时, f(x)<0.
(1)求 f(x) 在[0, 1]上的值域;
(2) c 为何值时, ax2+bx+c≤0 的解 集为 R.
a=-3, b=5. [12, 18]; c≤- 1225.
五、典型例题
1.已知二次函数 f(x) 满足 f(2)=-1, f(-1)=-1, 且 f(x) 的最大值 是 8, 试确定此二次函数的解析式.
解法一: 利用二次函数的一般式. 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则
4a+2b+c=-1,
a-b+c=-1,
4ac-b2 4a
=8.
解得
a=-4, b=4, c=7.