三个二次及其关系
函数 三个二次”关系与恒成立问题、存在性问题专题
三个二次”关系与恒成立问题、存在性问题高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C 级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)含参的恒成立问题、存在性问题通常以不等式为载体，体现了转化与化归思想.真 题 感 悟1.(2017·江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________.解析 由6＋x －x 2≥0得－2≤x ≤3，则D 为[－2，3]. 故所求概率P ＝3－（－2）5－（－4）＝59.答案 592.(2015·江苏卷)不等式2x 2－x <4的解集为________. 解析 由2x 2－x<4，知x 2－x <2，解得－1<x <2，所以原不等式的解集为(－1，2).答案 (－1，2)3.(2014·江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意的x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________.解析 因为二次函数开口向上，在区间[m ，m ＋1]上始终满足f (x )<0， 所以只需⎩⎨⎧f （m ）<0，f （m ＋1）<0即可，由⎩⎨⎧m 2＋m 2－1<0，（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－22<m <22，－32<m <0，故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0考 点 整 合1.“三个二次”的关系解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向，再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号，有时还需要考虑其对称轴的位置，根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解. 2.解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：(1)对二次项系数与0的大小进行讨论；(2)在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；(3)当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论；(4)讨论根与定义域的关系. 3.四个常用结论(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎨⎧a ＞0，Δ＜0.(2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎨⎧a ＜0，Δ＜0.(3)a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ，a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min . (4)存在f (x )<a 成立⇔a >f (x )min ， 存在f (x )>a 成立⇔a <f (x )max .热点一 含参一元二次不等式的解法【例1】 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)>0.解 当a ＝0时，原不等式可化为x －2<0，所以x <2. 当a ≠0时，原不等式化为a (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －2a >0，①当a >1时，2a <2，原不等式化为(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a >0，所以x <2a 或x >2.②当a ＝1时，2a＝2，原不等式化为(x －2)2>0，所以x ∈R 且x ≠2.③当0<a <1时，2a >2，原不等式化为(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a >0，则x <2或x >2a .④当a <0时，2a <2，原不等式化为(x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －2a <0，所以2a <x <2.综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}； 当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a 或x >2；当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2或x >2a ； 当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a<x <2. 探究提高 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.【训练1】 (2017·上海十四校联考改编)已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2＋(2a ＋1)x ，g (x )＝ax .解关于x 的不等式：f (x )≤g (x ).解 由f (x )≤g (x )得x 2＋(2a ＋1)x ≤ax ， 即x 2＋(a ＋1)x ≤0.当a <－1时，解得0≤x ≤－a －1； 当a ＝－1时，解得x ＝0； 当a >－1时，解得－a －1≤x ≤0.所以，当a <－1时，不等式f (x )≤g (x )的解集为[0，－a －1]； 当a ＝－1时，不等式f (x )≤g (x )的解集为{0}； 当a >－1时，不等式f (x )≤g (x )的解集为[－a －1，0]. 热点二 “三个二次”之间的关系【例2】 (2017·苏州调研测试)已知函数f (x )＝x |x －a |，a ∈R ，g (x )＝x 2－1.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)记函数f (x )在区间[0，2]上的最大值为F (a )，求F (a )的表达式. 解 (1)由f (x )≥g (x )，当a ＝1时， 即解不等式x |x －1|≥x 2－1. 由x ≥1时，不等式为x 2－x ≥x 2－1， 解得x ≤1，所以x ＝1；当x <1时，不等式为x －x 2≥x 2－1， 解得－12≤x ≤1，所以－12≤x <1.综上，不等式f (x )≥g (x )的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.(2)因为x ∈[0，2]，当a ≤0时，f (x )＝x 2－ax ，则f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以F (a )＝f (2)＝4－2a .当0<a <2时，f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax ，0≤x <a ，x 2－ax ，a ≤x ≤2，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 2上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2，a 上是减函数，在区间[a ，2]上是增函数，所以F (a )＝max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，f （2），而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24，f (2)＝4－2a ，令f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<f (2)，即a 24<4－2a ，解得－4－42<a <－4＋42， 所以当0<a <42－4时，F (a )＝4－2a ；令f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≥f (2)，即a 24≥4－2a ，解得a ≤－4－42或a ≥－4＋42， 所以当42－4≤a <2时，F (a )＝a 24.当a ≥2时，f (x )＝－x 2＋ax ，当1≤a2<2，即2≤a <4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2，2上是减函数，则F (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24；当a2≥2，即a ≥4时，f (x )在区间[0，2]上是增函数， 则F (a )＝f (2)＝2a －4；综上，F (a )＝⎩⎨⎧4－2a ，a <42－4，a24，42－4≤a <4，2a －4，a ≥4.探究提高 “三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0的情况转化为a >0时的情形.【训练2】 (2017·苏北四市一调)已知函数f (x )＝2x －1＋a ，g (x )＝bf (1－x )，其中a ，b ∈R.若关于x 的不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2，则实数a 的取值范围是________.解析 因为g (x )＝b (2－x ＋a )，所以f (x )≥g (x )， 即2x －1＋a ≥b2x ＋ab ，即(2x )2－2a (b －1)2x －2b ≥0.由二次不等式与二次方程的根的关系知，关于2x 的方程(2x )2－2a (b －1)2x －2b ＝0的2x 的值分别为4，－b 2.因为2x 取正值，要想2x 最小为4，所以－b2≤0，即b ≥0.又因为4－b 2＝2a (b －1)，所以b ＝4（a ＋2）4a ＋1≥0，解得a ≤－2或a >－14.答案 (－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞热点三 恒成立问题与存在性问题 【例3】 已知函数f (x )＝x 2＋2ax －a ＋2.(1)若对于任意的x ∈R ，f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若对于任意的x ∈[－1，1]，f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围； (3)若对于任意的a ∈[－1，1]，x 2＋2ax －a ＋2>0恒成立，求实数x 的取值范围.解 (1)若对于任意的x ∈R ，f (x )≥0恒成立， 需满足Δ＝4a 2－4(－a ＋2)≤0，解得－2≤a ≤1. 故实数a 的取值范围是[－2，1]. (2)由题知对称轴方程为x ＝－a ，当－a <－1，即a >1时，f (x )min ＝f (－1)＝3－3a ≥0， 解得a ≤1，与已知矛盾，舍去；当－a >1，即a <－1时f (x )min ＝f (1)＝3＋a ≥0， 解得－3≤a <－1；当－1≤a ≤1时，f (x )min ＝f (－a )＝－a 2－a ＋2≥0， 解得－1≤a ≤1.综上，实数a 的取值范围是[－3，1].(3)对于任意的a ∈[－1，1]，x 2＋2ax －a ＋2>0恒成立，等价于g (a )＝(2x －1)a ＋x 2＋2>0， 所以⎩⎨⎧g （1）>0，g （－1）>0，即⎩⎨⎧x 2＋2x －1＋2>0，x 2－2x ＋1＋2>0，解得x ≠－1，所以x 的取值范围是{x |x ≠－1}.探究提高 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (1)(2017·江苏冲刺卷)若命题“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________.(2)(2017·盐城期中)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)由命题“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，得“任意x ∈R ，ax 2＋4x ＋a >0”为真命题.则⎩⎨⎧a >0，Δ＝16－4a 2<0，解得a >2， 故实数a 的取值范围是(2，＋∞).(2)由于x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4， 所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4. 答案 (1)(2，＋∞) (2)[－1，4]1.在解一元二次不等式时，通常先将二次项的系数化为正数，然后利用“三个二次”的关系进行求解；在求解含参数的不等式时，则要注意对二次项系数及根的大小关系分类讨论，分别写出解集.2.(1)在解决不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意.(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.一、填空题1.(2017·苏中四校联考)若“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋a ≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________.解析 由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋a ≤0”是假命题，可得其否定“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋a >0”是真命题，则Δ＝4－4a <0，解得a >1. 答案 (1，＋∞)2.若对任意实数x ∈[－1，1]，不等式x 2＋ax －3a <0恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 设f (x )＝x 2＋ax －3a .因为对任意实数x ∈[－1，1]，不等式x 2＋ax －3a <0恒成立，所以⎩⎨⎧f （－1）＝1－a －3a <0，f （1）＝1＋a －3a <0，解得a >12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞3.(2017·南师附中调研)若当x >－3时，不等式a ≤x ＋2x ＋3恒成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 设f (x )＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3，因为x >－3，所以x ＋3>0，故f (x )≥2（x ＋3）·2x ＋3－3＝22－3，当且仅当x ＝2－3时等号成立，所以a 的取值范围是(－∞，22－3]. 答案 (－∞，22－3]4.(2017·镇江模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集为________.解析 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，所以当x ≤0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x ，不等式f (x )>x ⇔⎩⎨⎧x >0，x 2－4x >x 或⎩⎨⎧x ≤0，－x 2－4x >x ，解得x >5或－5<x <0，则不等式f (x )>x 的解集为(－5，0)∪(5，＋∞).答案 (－5，0)∪(5，＋∞)5.当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________.解析 原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2.当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2. 答案 (－1，2)6.(2017·苏、锡、常、镇调研)已知f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若f (x )在区间(0，1]上恒为单调函数，则实数a 的取值范围为________.解析 由题意知f ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋ax ，因为f (x )在区间(0，1]上恒为单调函数，所以f ′(x )在区间(0，1]上恒大于等于0或恒小于等于0，所以2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在区间(0，1]上恒成立，即a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2＋2x )，而函数y ＝－2x 2－2x 在区间(0，1]上的值域为[－4，0)，所以a ≥0或a ≤－4.答案 (－∞，－4]∪[0，＋∞)7.若对任意实数x >1，y >12，不等式p ≤x 22y －1＋4y 2x －1恒成立，则实数p 的最大值为________.解析 令a ＝2y －1，b ＝x －1，则x 22y －1＋4y 2x －1＝（b ＋1）2a ＋（a ＋1）2b，问题转化为求（b ＋1）2a＋（a ＋1）2b (a >0，b >0)的最小值.又（b ＋1）2a＋（a ＋1）2b≥2×（a ＋1）（b ＋1）ab＝2×ab ＋（a ＋b ）＋1ab＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ＋a ＋b ab ≥2×(2＋2)＝8，当且仅当a ＝b ＝1，即x ＝2，y ＝1时取等号. 答案 88.(2017·徐州、宿迁、连云港模拟)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________.解析 令f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，则当Δ＝4(a －2)2－4a <0，即1<a <4时，f (x )>0在R 上恒成立，符合题意；当Δ≥0，即a ≤1或a ≥4时，函数f (x )的两个零点都在[1，5]上，则⎩⎨⎧a ≤1或a ≥4，1≤a －2≤5，f （1）＝1－2（a －2）＋a ≥0，f （5）＝25－10（a －2）＋a ≥0，解得4≤a ≤5.综上，故实数a 的取值范围是(1，5]. 答案 (1，5] 二、解答题9.(2017·南京、盐城调研)设函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3(a ≠0). (1)若不等式f (x )>0的解集为(－1，3)，求a ，b 的值； (2)若f (1)＝2，a >0，b >0，求1a ＋4b的最小值.解 (1)由题意得⎩⎨⎧f （－1）＝0，f （3）＝0，即⎩⎨⎧a －b ＋5＝0，9a ＋3b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4.(2)因为f (1)＝2，所以a ＋b ＝1， 所以1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋b a ＋4a b ≥9，当且仅当b ＝2a ＝12时取等号.10.已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (a ，c ∈N *)满足①f (1)＝5；②6<f (2)<11.(1)求函数f (x )的表达式；(2)若对任意的x ∈[1，2]，都有f (x )－2mx ≥0恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)由题知5＝a ＋c ＋2，即c ＝3－a .又6<4a ＋c ＋4<11，所以－13<a <43. 又a ∈N *，所以a ＝1，c ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋2.(2)由已知得2(m －1)≤x ＋2x在x ∈[1，2]上恒成立. 因为当x ∈[1，2]时，x ＋2x∈[22，3]， 所以2(m －1)≤22，即m ≤2＋1，所以实数m 的取值范围为(－∞，2＋1].11.(2015·浙江卷)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R).(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在区间[－1，1]上的最小值g (a )的表达式； (2)已知函数f (x )在区间[－1，1]上存在零点，且0≤b －2a ≤1，求实数b 的取值范围. 解 (1)当b ＝a 24＋1时，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1， 故其图象的对称轴为直线x ＝－a 2. 当a ≤－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2； 当－2<a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1； 当a >2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2<a ≤2，a 24－a ＋2，a >2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1， 则⎩⎨⎧s ＋t ＝－a ，st ＝b . 因为0≤b －2a ≤1，所以－2t t ＋2≤s ≤1－2t t ＋2(－1≤t ≤1). 当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2， 由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45， 所以－23≤b ≤9－4 5. 当－1≤t <0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t 2t ＋2， 由于－2≤－2t 2t ＋2<0和－3≤t －2t 2t ＋2<0， 所以－3≤b <0.故b 的取值范围是[－3，9－45].。
三个“二次”的关系问题
三个“二次”的关系问题（一）<一> 二次函数的图象与性质1、设,0>b 二次函数122-++=a bx ax y 的图象如下图所示之一，则a 的值为 ( )A 、1B 、1-C 、251-- D 、251+- 解：由0>b 知对称轴不是y 轴，排除①②，由③④知002<∴>-a ab，排除④，故)(x f 的图象必为③，)(11:,0)0(2舍去或得-==∴a f 选B2、设⎩⎨⎧++=2)(2c bx x x f 00>≤x x ，若)0()4(f f =-且2)2(-=-f ，则关于x 的方程x x f =)(的解的个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4解：由)0()4(f f =-且2)2(-=-f 易求得：⎩⎨⎧-+=22)2()(2x x f 00>≤x x作出)(x f 的图象如图，显然它与直线x y =有三个交点选C3、无论m 取任何实数，方程)23(232-⋅=+-x m x x 的实数个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、不确定解：易知⎪⎩⎪⎨⎧+--+-=+-=)23(2323)(222x x x x x x x f 2121<<≥≤x x x 或 作出)(x f 的图象如右图：直线23(-⋅=x m y ）为过点A )0,23(除l 外的任一直线，容易看出总是有2个交点4、如图，抛物线与直线)4(-=x k y 都经过坐标轴的正半轴上B A ,两点，该抛物线的对称轴1-=x与x 轴相交于点C ，且090=∠ABC ，（1）求直线AB 的解析式 （2）求抛物线的解析式解：（1）由已知得)0,1(),4,0(),0,4(--C k B A ，090=∠CBA且AC BO ⊥OA CO BO ⋅=∴2 41)4(1⨯=k 得21±=k y xOOy xxOy yOxOy xx y =2- 2 2-yx1 A 2Ol)23(-⋅=x m yABC O yx如图，0<k ，故21-=k ，∴直线AB 的方程为：221+-=x y 5、二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象如下所示，记b a c b a M +++-=2，b a c b a N -+++=2试比较N M ,的大小。
谈三个二次关系及及综合运用--
谈“三个二次”关系及其综合运用济钢高级中学 杨同才 2011年7月17日 12:29隋宇为于11-7-17 16:02推荐杨老师的文章从最基本的问题入手，通过数形结合的方法将“三个二次”的问题说的很清楚很全面，很有参考价值。
邵丽云于11-7-19 14:28推荐杨老师的“三个二次”关系及其综合运用这篇文章，以二次函数为主线充分论述三个二次间的关系，并对相关问题进行了总结归纳，可见杨老师平时教学的用心，值得学习。
一、”三个二次”的关系”三个二次”指一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和广泛的应用，在研究二次曲线与直线的位置关系、运用导数解决复杂函数性质等问题时，常常转化成二次方程、二次函数、二次不等式的问题。
”三个二次”将等与不等、数与形紧密的结合在一起，对数形结合思想、函数方程思想、等价转化思想有较高的要求。
因而在高考试题中将近占一半的试题与“三个二次”问题有关，作为教师进一步澄清三者的内在联系对提高学生数学思维水平有很大帮助！“三个二次”中，一元二次函数最为重要，在初中学生就专题学习了二次函数，研究了二次函数的定义、图像、性质和实际问题中的最值，往往作为中考试题的最后一个压轴题。
初中也学习了一元二次方程及其规范解法，如公式法、配方法、因式分解法等。
只有一元二次不等式及解法在初中仅是初步了解。
初中阶段对函数、方程、不等式的学习都是彼此独立的，对于“三个二次”的横向联系缺乏认识。
升入高中才真正揭开三者的内在联系，逐步形成用函数、方程、不等式“三位一体”的思考方式审视问题、解决问题。
在“三个二次”中一元二次函数2y=a +b +c x x 是重点，从它的配方形式22b 4ac-b y=a ++ 2a 4x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭中充分反映了函数值y 随自变量x 的变化而变化的规律，可以容易的观察出何时取最值，也能考查出自变量x 取关于2b a-对称值时函数值的取值特点。
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点（1）一元二次不等式的概念. （2）三个二次的关系. （3）一元二次不等式的解法. 知识点拓展:（4）分式不等式的解法. （5）高次不等式的解法. 二、本节题型（1）解不含参数的一元二次不等式. （2）解含参数的一元二次不等式. （3）三个二次之间的关系.（4）简单高次不等式、分式不等式的解法. （5）不等式恒成立问题. （6）一元二次不等式的应用. 三、知识点讲解.知识点 一元二次不等式的概念我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式.元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.注意 一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 知识点 三个二次的关系一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系.一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点;②当0=∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点（即抛物线的顶点）.（2）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点.具体关系见下页表（1）所示.一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围;（2）一元二次不等式02<++c bx ax （≤0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围.由表可知 一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是:（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=∆的值,并判断∆的符号; （3）当∆≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图;（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.注意 一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.其中,①当0>∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;②当0=∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅;③当0<∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为R ;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅.表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:一元二次不等式在R 上恒成立的问题（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402ac b a 或⎩⎨⎧>==00c b a ; （2）02<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a ;（3）一元二次不等式c bx ax ++2≥0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a ; （4）一元二次不等式c bx ax ++2≤0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆<0402ac b a . 补充概念 二次函数的零点我们把使一元二次方程02=++c bx ax 的实数x 叫做二次函数c bx ax y ++=2的零点. 对零点的理解（1）二次函数的零点即相应一元二次方程02=++c bx ax 的实数根;（2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标,且交点的个数等于零点的个数;（3）并非所有的二次函数都有零点.当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.知识点 分式不等式的解法 分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式: ①0)()(>x g x f ; ②)()(x g x f ≥0; ③0)()(<x g x f ; ④)()(x g x f ≤0. 分式不等式的解法解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式. 各标准形式的分式不等式的解法为: （1）0)()(>x g x f 与不等式组⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(>⋅x g x f 同解; （2）)()(x g x f ≥0与不等式组⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f 同解;（3）0)()(<x g x f 与不等式组⎩⎨⎧<>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧><0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(<⋅x g x f 同解;（4）)()(x g x f ≤0与不等式组⎩⎨⎧≠≤⋅0)(0)()(x g x g x f .由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.知识点 高次不等式的解法解高次不等式,一般用“数轴标根法”,也叫“穿根引线法”,其步骤如下:（1）把高次不等式化为左边是几个因式的乘积,右边是0的形式,注意每个因式最高次项的系数必须为正;（2）把不等号换成等号,求出所得方程的所有实数根; （3）标根: 把各个实数根在数轴上标出;（4）画穿根线: 从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,如此一上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过,即奇过偶不过;（5）写出解集: 若不等号为“ > ”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为“ < ”,则取数轴下方穿根线以内的范围.四、例题讲解例1. 解不等式0452>-+-x x .分析 先把不等式的二次项系数化为正数,再进行求解.注意不等式的解集要写成区间或集合的形式.解: 原不等式可化为:0452<+-x x .对于方程0452=+-x x ,∵()0941452>=⨯⨯--=∆∴该方程有两个不相等的实数根,解之得:4,121==x x . ∴不等式0452>-+-x x 的解集为{}41<<x x .点评 在求解一元二次不等式时,先观察二次项系数是否为正,若为负,则先把不等式的二次项系数化为正数（利用不等式的基本性质）.例2. 已知关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ,求不等式022>-+-a x cx 的解集.分析 先根据一元二次不等式与相应一元二次方程之间的关系,利用根与系数的关系定理,求出c a ,的值.注意 一元二次不等式的解集的端点值是对应一元二次方程的根. 解: 由题意可知:0<a .∵关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ∴21,3121=-=x x 是方程022=++c x ax 的两个实数根由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-213121312a c a ,解之得:⎩⎨⎧=-=212c a . ∴022>-+-a x cx 即012222>++-x x ∴062<--x x ,解之得:32<<-x .∴不等式022>-+-a x cx 的解集为{}32<<-x x .例3. 一元二次不等式()()052>-+x x 的解集为 【 】 （A ）{}52>-<x x x 或 （B ）{}25>-<x x x 或 （C ）{}52<<-x x （D ）{}25<<-x x分析 本题可用数轴标根法求解.使用该方法时,要把乘积中所有因式的最高次项的系数化为正数.解: 原不等式可化为:()()052<-+x x .∵方程()()052=-+x x 的根为5,221=-=x x .∴不等式()()052<-+x x 的解集为{}52<<-x x ,即原不等式的解集. ∴选择答案【 C 】.例4. 已知不等式042<++ax x 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）{}44≤≤-a a （B ）{}44<<-a a （C ）{}44≥-≤a a a 或 （D ）{}44>-<a a a 或分析 本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系,同时问题还可以转化为一元二次不等式恒成立的问题.不等式042<++ax x 的解集为空集,即相应的二次函数42++=ax x y 的图象位于x 轴上及其上方,或者不等式42++ax x ≥0在R 上恒成立.解: ∵不等式042<++ax x 的解集为空集∴162-=∆a ≤0,解之得:4-≤a ≤4. ∴实数a 的取值范围是{}44≤≤-a a . ∴选择答案【 A 】.例5. 若关于x 的不等式()()021>--x mx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）{}0>m m （B ）{}20<<m m（C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21m m （D ）{}0<m m分析 本题由题意可知:0<m . 解: ∵()()021>--x mx∴()02122>++-x m mx .∵其解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ∴0<m .∴实数m 的取值范围是{}0>m m . ∴选择答案【 D 】.例6. 已知函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-,则实数a 的值为_________,实数b 的值为_________.解: ∵函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-∴一元二次不等式182++bx ax ≥0的解集为[]6,3-. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-631863aab ,解之得:⎩⎨⎧=-=31b a . ∴实数a 的值为1-,实数b 的值为3. 例7. 已知函数m x x y +-=2.（1）当2-=m 时,求不等式0>y 的解集; （2）若0,0<>y m 的解集为{}b x a x <<,,求ba 41+的最小值. 解:（1）2-=m 时,22--=x x y .∵0>y ,∴()()02122>-+=--x x x x 解之得:1-<x 或2>x .∴不等式0>y 的解集为{}21>-<x x x 或;（2）∵02<+-=m x x y 的解集为{}21>-<x x x 或 ∴m ab b a ==+,1,且041>-=∆m ,解之得:41<m . ∵0>m ,∴0,0>>b a ,410<<m . ∴()a b b a b a b a b a ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+454141≥9425=⋅+a b b a . 当且仅当a b b a =4,即32,31==b a 时,等号成立.此时41923231<=⨯=m ,符合题意. ∴ba 41+的最小值为9. 例8. 解关于x 的不等式02>-x ax （0≠a ）.分析 本题考查含有参数的一元二次不等式的解法.当二次项系数含有参数时,要对二次项系数的正负进行讨论（一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有关）.解: ∵02>-x ax ,∴()01>-ax x∴01>⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x ax .∵0≠a ,∴分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或;②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x .另解: 解方程02=-x ax （0≠a ）得:ax x 1,121==. 分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或; ②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 点评 不等式02>-x ax （0≠a ）可化为01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x ax .当0>a 时,根据不等式的性质可知,原不等式同解于不等式01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x x ;当0<a 时,原不等式同解于不等式01<⎪⎭⎫⎝⎛-a x x .例9. 若对于0>∀x ,132++x x x≤a 恒成立,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥31a a （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>31a a （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>51a a （D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a . 解: ∵132++x x x≤a 恒成立 ∴只需a ≥max213⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x 即可. ∵0>∀x ∴311132++=++x x x x x≤513121=+⋅xx . 当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴5113max 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∴a ≥51,即实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a .∴选择答案【 D 】.例10.（1）若关于x 的不等式0232>+-x ax （∈a R ）的解集为{}b x x x ><或1（∈b R ）,求b a ,的值;（2）解关于x 的不等式ax x ax ->+-5232（∈a R ）.解:（1）由题意可知:0>a .一元二次方程0232=+-x ax 的根为b x x ==21,1.由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=baba1213,解之得:⎩⎨⎧==21b a .∴a 的值为1,b 的值为2;（2）∵ax x ax ->+-5232（∈a R ） ∴()0332>--+x a ax .当0=a 时,原不等式为523>+-x ,解之得:1-<x . ∴原不等式的解集为{}1-<x x ;当0≠a 时,原不等式可化为()031>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x a . ①若0>a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或; ②若03<<-a 时,原不等式同解于()031<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x ,且13-<a ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; ③若3-=a ,原不等式为()0132<+x ,其解集为∅;④若3-<a ,则13->a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 综上所述,当0=a 时, 原不等式的解集为{}1-<x x ;当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或;当03<<-a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; 当3-=a 时,原不等式的解集为∅; 当3-<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 例11.已知关于x 的不等式08322<-+kx kx . （1）若不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-123x x ,求实数k 的值;（2）若不等式08322<-+kx kx 恒成立,求实数k 的取值范围. 解:（1）由题意可知:0>k .一元二次方程08322=-+kx kx 的根是1,2321=-=x x . 由根与系数的关系定理:123283⨯-=-k ,解之得:81=k .∴实数k 的值为81;（2）当0=k 时,083<-恒成立,符合题意;当0≠k 时,由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=∆<08324022k k k ,解之得:03<<-k . 综上所述,实数k 的取值范围为{}03≤<-k k .例12. 若∀1≤x ≤4,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.分析 本题考查一元二次不等式在给定闭区间上的恒成立问题,要把问题转化为相应二次函数在闭区间上的最值问题.解: ∵()422++-x a x ≥1--a∴()1-x a ≤522+-x x . ∵1≤x ≤4∴当1=x 时,显然0⨯a ≤4521=+-成立,∴∈a R ; 当x <1≤4时,01>-x∴a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.此时3=x []4,1∈,符合题意.∴a ≤4.综上所述,实数a 的取值范围是(]4,∞-. 例13. 已知不等式012<--mx mx .（1）当∈x R 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）当∈x {}31≤≤x x 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围.解:（1）当0=m 时,01<-恒成立,符合题意;当0≠m 时,则有⎩⎨⎧<+=∆<0402m m m ,解之得:04<<-m . 综上,实数m 的取值范围是(]0,4-;（2）当0=m 时,显然∈x {}31≤≤x x 时,01<-恒成立,符合题意; 当0≠m 时,()11<-x mx .若1=x ,显然10<恒成立,此时∈m R ; 若x <1≤3,则()01>-x x ∴()11-<x x m 恒成立,只需()min11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m 即可. ∵()4121111122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-x x x x x ≥614121312=-⎪⎭⎫ ⎝⎛- ∴()6111min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m . 综上所述,实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛∞-61,.例14. 解关于x 的不等式()m x m mx --+122≥0.解: 当0=m 时,x -≥0,解之得:x ≤0.∴原不等式的解集为{}0≤x x ;当0≠m 时,原不等式可化为()()m x mx +-1≥0∴()[]m x m x m --⎪⎭⎫⎝⎛-1≥0.方程()m x m mx --+122的两个实数根分别为m x mx -==21,1. 当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1; 当0<m 时,原不等式同解于()[]m x m x --⎪⎭⎫ ⎝⎛-1≤0,且m m -<1. ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 综上所述,当0=m 时,原不等式的解集为{}0≤x x ;当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1;当0<m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 例15. 已知关于x 的不等式222->-x kx kx . （1）当2=k 时,解不等式; （2）当∈k R 时,解不等式.解:（1）当2=k 时,2422->-x x x∴02522>+-x x ∴()()0212>--x x . 解之得:2>x 或21<x . ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>212x x x 或;（2）原不等式可化为()02122>++-x k kx . 当0=k 时,02>+-x ,解之得:2<x . ∴原不等式的解集为{}2<x x ;当0≠k 时,原不等式可化为()()012>--kx x∴()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x k .方程222->-x kx kx 的根为kx x 1,221==. 当0<k 时,原不等式同解于()012<⎪⎭⎫ ⎝⎛--k x x ,且21<k .∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当0>k 时,原不等式同解于()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x .①若21>k ,则21<k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或; ②若21=k ,则21=k,∴原不等式的解集为{}2≠x x ; ③若210<<k ,则21>k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或.综上所述,当0=k 时,原不等式的解集为{}2<x x ;当0<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当210<<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或;当21=k 时,原不等式的解集为{}2≠x x ; 当21>k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或.例16. 已知关于x 的不等式0622<+-k x kx .（1）若不等式的解集为{}23->-<x x x 或,求实数k 的取值; （2）若不等式的解集为R ,求实数k 的取值范围.解:（1）由题意可知:0<k .一元二次方程0622=+-k x kx 的两个实数根分别为2,321-=-=x x .由根与系数的关系定理可得:232--=--k ,解之得:52-=k . ∴实数k 的值为52-;（2）当0=k 时,原不等式的解集为{}0>x x ,不符合题意;当0≠k 时,则有:⎩⎨⎧<-=∆<024402k k ,解之得:66-<k . 综上所述,实数k 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<66k k .例17. 已知122++ax ax ≥0恒成立,解关于x 的不等式022<+--a a x x .解:∵122++ax ax ≥0恒成立∴当0=a 时,1≥0恒成立,符合题意;当0≠a 时,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>04402a a a ,解之得:a <0≤1. 综上,实数a 的取值范围是[]1,0. 对于不等式022<+--a a x x当0≤a ≤1时,原不等式可化为()()01<-+-a x a x∴()()[]01<---a x a x ,方程022=+--a a x x 的根为a x a x -==1,21.①若a <21≤1,则a a ->1,∴原不等式的解集为{}a x a x <<-1; ②若21=a ,则a a -=1,∴原不等式的解集为∅;③若210<<a ,则a a -<1,∴原不等式的解集为{}a x a x -<<1.综上所述,对于不等式022<+--a a x x :当a <21≤1时,不等式的解集为{}a x a x <<-1; 当21=a 时,不等式的解集为∅;当0≤21<a 时,不等式的解集为{}a x a x -<<1.例18. 不等式()()xa c xb x -++≤0的解集为{}321≥<≤-x x x 或,则=+c b 【 】（A ）5- （B ）2- （C ）1 （D ）3解: 原不等式可化为()()ax c x b x -++≥0,同解于()()()⎩⎨⎧≠-≥++-00a x c xb x a x .方程()()0=-++ax c x b x 的解为c x b x -=-=21,.∵该不等式的解集为{}321≥<≤-x x x 或∴2=a ,⎩⎨⎧=--=-31c b 或⎩⎨⎧-=-=-13c b ,∴⎩⎨⎧-==31c b 或⎩⎨⎧=-=13c b .∴2-=+c b . ∴选择答案【 B 】.例19. 已知函数b ax x y +=2（b a ,为常数）,且方程012=+-x y 的两个根为31=x ,42=x .（1）求b a ,的值;（2）设1>k ,解关于x 的不等式()xkx k y --+<21.解:（1）由题意可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+-+0124416012339b a b a ,整理得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+142131ba ba ,解之得:⎩⎨⎧=-=21b a . ∴a 的值为1-,b 的值为2;（2）由（1）可知:xx y -=22.∵()x kx k y --+<21,∴()xkx k x x --+<-2122. ∴()()()021212<---=-++-xk x x x k x k x . 原不等式同解于()()()021>---k x x x .∵1>k∴当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或; 当2=k 时,()()0212>--x x ,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.综上所述,当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或;当2=k 时,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.例20. 已知集合()()[]{}0132<+--=a x x x A ,()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=012a x a x x B . （1）当2=a 时,求B A ;（2）若A B ⊆,求实数a 的取值范围.解:（1）当2=a 时∵()(){}{}72072<<=<--=x x x x x A ,{}52052<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=x x x x x B∴{}52<<=x x B A ;（2）∵∈∀a R ,恒有a a >+12,()()()[]{}010122<+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=a x a x x a x a x x B ∴{}12+<<=a x a x B . 当213>+a ,即31>a 时,{}132+<<=a x x A . ∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧+≤+≥13122a a a ,解之得: 2≤a ≤3.∴实数a 的取值范围是[]3,2;当213=+a ,即31=a 时,(){}∅=<-=022x x A ,显然不符合题意; 当213<+a ,即31<a 时,{}213<<+=x a x A .∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧≤+≤+21132a aa ,解之得: 1-≤a ≤21-.∴实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1. 综上所述,实数a 的取值范围是[]3,221,1 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--. 例21. 已知不等式442-+>+m x mx x .（1）若对任意实数x 不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）若对于0≤m ≤4不等式恒成立,求实数x 的取值范围.解:（1）∵442-+>+m x mx x∴()0442>-+-+m x m x . ∵对任意实数x 不等式恒成立∴()()04442<---=∆m m ,解之得: 40<<m .∴实数m 的取值范围是()4,0; （2）∵442-+>+m x mx x ∴()04412>+-+-x x m x . ∵对[]4,0∈∀m ,不等式恒成立∴()()⎩⎨⎧>+-+⨯->+-+⨯-044410440122x x x x x x ,解之得:0≠x 且2≠x . ∴实数x 的取值范围是{}2200><<<x x x x 或或.点评 解决恒成立问题时一定要清楚谁是主元,谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数,构造以主元为变量的函数,根据主元的取值范围求解.例22. 设()12--=mx mx x f ,求使()0<x f ,且m ≤1恒成立的x 的取值范围.解: ∵()0<x f ,m ≤1,∴012<--mx mx ,[]1,1-∈m .∴()012<--m x x 对[]1,1-∈m 恒成立. 设()()12--=m x x m g ,则有:()()()()()⎩⎨⎧<-⨯-=<--⨯-=-0111011122x x g x x g ,解之得:251251+<<-x .∴实数x 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-251,251.重要结论 一次函数()b kx x f +=()0≠k 在区间[]n m ,上的恒成立问题:（1）若()0>x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧>>00n f m f ;（2）若()0<x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧<<0n f m f .例23. 设函数()12--=mx mx x f ()0≠m ,若对于[]3,1∈x ,()5+-<m x f 恒成立,求m 的取值范围.解: ∵()5+-<m x f 在[]3,1∈x 上恒成立∴062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立. 令()62-+-=m mx mx x g ,只需()0max <x g 即可. 函数()x g 图象的对称轴为直线212=--=m m x . 当0>m 时,()x g 在[]3,1上单调递增 ∴()()0673max <-==m g x g ,解之得:76<m . ∴760<<m ; 当0<m 时,()x g 在[]3,1上单调递减 ∴()()061max <-==m g x g ,解之得:0<m .综上所述,m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或.另解: ∵062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立∴()612<+-x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x ∴162+-<x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.只需761336162min 2=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<x x m 即可. ∵0≠m∴m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或. 例24. 已知集合{}042≤-=t t A ,对于任意的A t ∈,使不等式122->-+x t tx x 恒成立的x 的取值范围是_____________.解: {}{}22042≤≤-=≤-=t t t t A .∵当A t ∈时,不等式122->-+x t tx x 恒成立 ∴()01212>+-+-x x t x 恒成立. 设()()1212+-+-=x x t x t f ,则有:()()⎩⎨⎧>-=>+-=-012034222x f x x f ,解之得:1-<x 或3>x . ∴x 的取值范围是{}31>-<x x x 或.例25. 对一切实数x ,不等式12++x a x ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是_____________.解: 当0=x 时,显然对∈∀a R 成立;当0≠x 时,a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=--x x x x x x 1112,只需a ≥max 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 即可.∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 1≤212-=⋅-x x∴21max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ,∴a ≥2-.∴实数a 的取值范围是[)+∞-,2.例26. 已知0,0>>y x ,且()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立,则实数m 的取值范围是_____________.解: ∵0,0>>y x ,∴0>+y x .∵()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立∴15-m ≤()y x y x yx y x +++=+++1441442恒成立,只需15-m ≤min144⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x 即可. ∵y x y x +++144≥()241442=+⋅+yx y x （当且仅当12=+y x 时,等号成立） ∴24144min =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x ,∴15-m ≤24,解之得:m ≤5.∴实数m 的取值范围是(]5,∞-. 例27. 已知61>k ,对任意正实数y x ,,不等式ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy 2恒成立,求实数k 的取值范围.解: ∵61>k ,∴0213>-k . ∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy k k ky x k ⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-213221322.当且仅当ky x k =⎪⎭⎫⎝⎛-213,即x kk y 213-=时,等号成立.∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213的最小值为xy k k ⎪⎭⎫⎝⎛-21322∵不等式ky x k +⎪⎭⎫⎝⎛-213≥xy 2恒成立∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21322≥xy 2∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21342≥xy 2,解之得:k ≥21.∴实数k 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21.例28. 若关于x 的不等式()()0121122>+++-+-x x x k x k 的解集为R ,则实数k 的取值范围是_____________.解: ∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x 在R 上恒成立 ∴原不等式同解于不等式()()02112>+-+-x k x k ,其解集为R 当1=k 时,02> 在R 上恒成立,符合题意;当1≠k 时,则有:()()⎩⎨⎧<---=∆>-0181012k k k ,解之得:91<<k . 综上所述,实数k 的取值范围是[)9,1.例29.（1）解关于x 的不等式()422++-x a x ≤a 24-（∈a R ）;（2）若x <1≤4时,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.解:（1）∵()422++-x a x ≤a 24-∴()()a x x --2≤0.当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2; 当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x .综上所述,当当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2;当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x . （2）由题意可知,当(]4,1∈x 时,不等式()5212+---x x a x ≥0恒成立.∴当(]4,1∈x 时,a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵(]4,1∈x ,∴()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.∴4152min 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x .∴a ≤4,即实数a 的取值范围为(]4,∞-.例30.（1）已知命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0,命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x ,若p 为真命题,q 为假命题,求实数a 的取值范围;（2）已知a ≥21,二次函数c ax x a y ++-=22,其中c a ,均为实数,证明对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.解:（1）∵命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0为真命题∴()a a 44422-=--=∆≤0,解之得: a ≥1.∵命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x 为假命题 ∴⌝q :∈∀x R ,0122≠-++a x x 为真命题. ∴()01241<--=∆a ,解之得:85>a . ∴实数a 的取值范围是[)+∞,1;（2）证明: 二次函数c ax x a y ++-=22图象的对称轴为直线aa a x 2122=--=. ∵a ≥21,∴a210<≤1. ∵[]1,0∈∀x ,02<-a∴函数c ax x a y ++-=22的最大值在顶点处取得,即4144222max +=---=c a a c a y . 充分性: ∵c ≤43,∴41+c ≤14143=+,即max y ≤1. ∴y ≤1;必要性: ∵[]1,0∈∀x ,均有y ≤1成立. ∴max y ≤1,即41+c ≤1,解之得: c ≤43. 综上所述, 对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.例31.已知关于x 的不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M . （1）当M 为空集时,求m 的取值范围;（2）在（1）的条件下,求1522+++m m m 的最小值;（3）当M 不为空集,且{}41≤≤⊆x x M 时,求实数m 的取值范围.解:（1）∵不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M 为空集∴()()084424222<--=+--=∆m m m m ,解之得:21<<-m .∴m 的取值范围是{}21<<-m m ;（2）由（1）可知: 21<<-m ,∴310<+<m .∴()14114115222+++=+++=+++m m m m m m m ≥()41412=+⋅+m m . 当且仅当141+=+m m ,即1=m 时,等号成立. ∴1522+++m m m 的最小值为4;（3）由题意可知,方程0222=++-m mx x 的两个实数根均在[]4,1内 设()222++-=m mx x x f ,则有:()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-=≥++-=≥+--=∆42210281640221102422m m m f m m f m m ,解之得: 2≤m ≤718. ∴实数m 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡718,2. 例32. 当10<<x 时,若关于x 的二次方程m mx x 2122-=++有两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围.分析 本题考查的是一元二次方程的K 分布:两根均在()21,k k 内. 解: ∵m mx x 2122-=++∴01222=+++m mx x . 设()1222+++=m mx x x f .∵该方程在()1,0内有两个不相等的实数根∴()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+++=>+=<-<>+-=∆01221101201220012422m m f m f m m m ,解之得:2121-<<-m . ∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21.重要结论 一元二次方程的实数根的K 分布:一元二次方程02=++c bx ax （0>a ）的两个实数根分别为21,x x ,且21x x <.（1）若k x x <<21,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><->∆020k f k a b; （2）若21x x k <<,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->∆020k f k a b; （3）若21x k x <<,则有:()0<k f ;（4）若2211k x x k <<<,即两根21,x x 在()21,k k 内,则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆00202121k f k f k a b k（5）若11k x <,且22k x >（21k k <）,则有:()()⎩⎨⎧<<021k f k f ; （6）()()212211,,,k k x k k x ∈∈中只有一个成立,即方程只有一个实数根在()21,k k 内,则有:()()021<k f k f或⎪⎩⎪⎨⎧<-<=∆2120k ab k . 例33. 已知二次函数1222-+-=t tx x y （∈t R ）.（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点,解不等式1222-+-t tx x ≥0; （2）若关于x 的方程01222=-+-t tx x 的两个实数根均大于2-且小于4,求实数t 的取值范围.解:（1）∵二次函数1222-+-=t tx x y 有两个互为相反数的零点∴方程01222=-+-t tx x 有两个互为相反数的实数根,设为21,x x ,∴021=+x x . 由根与系数的关系定理可得:0221==+t x x ,解之得:0=t .∵1222-+-t tx x ≥0∴12-x ≥0,解之得:x ≥1或x ≤1-. ∴该不等式的解集为{}11-≤≥x x x 或;（2）∵()()044441422222>=+-=---=∆t t t t∴∈∀t R ,该方程总有两个不相等的实数根. ∵方程的两个实数根均大于2-且小于4∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-=>++=-<--<-015840342422222t t f t t f t ,解之得:31<<-t .∴实数t 的取值范围是()3,1-. 例34. 已知二次函数12+-=bx ax y .（1）是否存在实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ?若存在,求实数b a ,的值,若不存在,请说明理由;（2）若a 为整数,2+=a b ,且方程012=+-bx ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根,求a 的值.解:（1）假设存在这样的实数b a ,.∵不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ∴0<a ,方程012=+-bx ax 的两个实数根分别为2,1. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=--21121aa b ,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2321b a . ∵021>=a ,与0<a 矛盾 ∴不存在这样的实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ; （2）∵2+=a b ∴()0122=++-x a ax .∵()[]()0314242222>+-=+-=-+-=∆a a a a a∴方程()0122=++-x a ax 总有两个不相等的实数根.∵方程()0122=++-x a ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根 ∴()()[]()[]0121122222<+++-⨯⨯+++-⨯a a a a整理得:()()03256<++a a ,解之得:6523-<<-a . ∵a 为整数 ∴a 的值为1-.例35. 已知不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或. （1）求实数b a ,的值; （2）若10<<x ,()xbx a x f -+=1,求函数()x f 的最小值. 分析 （1）一元二次不等式的解的结构与二次项系数的符号有关,且一元二次不等式解集的端点值就是其对应的一元二次方程的两个实数根;（2）注意到()11=-+x x ,且01,10>-<<x x ,考虑利用基本不等式求函数()x f 的最小值.解:（1）∵不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或∴方程052=+-b ax x 的两个实数根分别4和1. 由根与系数的关系定理可得:⎩⎨⎧⨯=+=14145b a ,解之得:⎩⎨⎧==41b a . ∴a 的值为1,b 的值为4; （2）由（1）可知:4,1==b a . ∴()xx x f -+=141. ∵10<<x ,∴01>-x . ∴()()[]x x x x x x x x x x x f -+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+=11451411141 ≥911425=-⋅-+xxx x . 当且仅当x x x x -=-114,即31=x 时,等号成立. ∴函数()x f 的最小值为9.。
“三个二次”之间的关系(二次函数)
“三个二次”之间的关系注：上表中a>0,若a<0转化后再解不等式。
二次不等式的知识：1、概念：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2、一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其所有解的形成的范围，称为这个一元二次不等式的解集.3、解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．其他方法：十字相乘法（二次函数、不等式、方程）1. 解关于x 的不等式： x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0，．2．不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1＜0的解集为R ，求实数m 的取值范围．3．已知二次函数y ＝x 2＋px ＋q ，当y ＜0时，有－21＜x ＜31，解x 的不等式qx 2＋px ＋1＞0．4．若不等式012>++p qx x p的范围为42<<x ，求实数p 与q 的值．5. 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.6. 如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.7. 已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .（1）如果4221<<<x x ，设函数)(x f 的对称轴为0x x =，求证：10->x ；（2）如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围.8. 为何值时，关于的方程的两根：（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间。
三个“二次”及关系
三个“二次”及关系三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.●难点磁场已知对于x的所有实数值，二次函数f(x)=x2－4ax+2a+12(a∈R)x=|a－1|+2的根的取值范围. 的值都是非负的，求关于x的方程2a●案例探究［例1］已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★★★★★题目.知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合.错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”.技巧与方法：利用方程思想巧妙转化.(1)证明：由⎩⎨⎧-=++=bxy cbx ax y 2消去y 得ax 2+2bx +c =0Δ=4b 2－4ac =4(－a －c )2－4ac =4(a 2+ac +c 2)=4［(a +43)22+c c 2］∵a +b +c =0,a >b >c ,∴a >0,c <0∴43c 2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点.(2)解：设方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2,则x 1+x 2=－ab2,x 1x 2=a c.|A 1B 1|2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2]43)21[(4]1)[(44)(4444)2(2222222++=++=---=-=--=a c a c a c a ac c a a ac b a c a b∵a >b >c ,a +b +c =0,a >0,c <0 ∴a >－a －c >c ,解得ac ∈(－2,－21)∵]1)[(4)(2++=ac ac ac f 的对称轴方程是21-=ac .ac ∈(－2,－21)时，为减函数∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(32,3).［例2］已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题，属★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.错解分析：用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.解：(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m .(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或 (这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过) ●锦囊妙计1.二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法：y =ax 2+bx +c ;y =a (x －x 1)(x －x 2);y =a (x －x 0)2+n .(2)当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=21(p +q ).若－ab2<p ,则f (p )=m ,f (q )=M ; 若p ≤－a b 2<x 0,则f (－ab 2)=m ,f (q )=M ;若x 0≤－a b 2<q ,则f (p )=M ,f (－ab 2)=m ;若－ab 2≥q ,则f (p )=M ,f (q )=m .2.二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件.(1)方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f (r )<0;(2)二次方程f (x )=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a bac b (3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ,q )内成立.(5)方程f (x )=0两根的一根大于p ,另一根小于q (p <q )⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)(0)(q f a p f a .3.二次不等式转化策略(1)二次不等式f (x )=ax 2+bx +c ≤0的解集是：(－∞,α])∪［β,+∞)⇔a <0且f (α)=f (β)=0;(2)当a >0时，f (α)<f (β)⇔ |α+a b2|<|β+ab 2|,当a <0时，f (α)<f (β)⇔|α+ab2|> |β+ab2|; (3)当a >0时，二次不等式f (x )>0在［p ,q ］恒成立⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔,0)(,2p f p ab或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;0)(;2,0)2(,2q f p ab a b f q a b p 或 (4)f (x )>0恒成立⎩⎨⎧<==⎩⎨⎧<∆<⇔<⎩⎨⎧>==⎩⎨⎧<∆>⇔.00,0,00)(;0,0,0,0c b a a x f c b a a 或恒成立或 ●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A.(－∞,2]B.[－2,2]C.(－2,2]D.(－∞,－2)2.(★★★★)设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值为( )A.正数B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能二、填空题3.(★★★★★)已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________.4.(★★★★★)二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)<f (1+2x －x 2),则x 的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★★)已知实数t 满足关系式33log log ay a t a a= (a >0且a≠1)(1)令t=a x ,求y =f (x )的表达式；(2)若x ∈(0,2]时，y 有最小值8，求a 和x 的值.6.(★★★★)如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.7.(★★★★★)二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足mrm q m p ++++12=0,其中m >0,求证：(1)pf (1+m m )<0;(2)方程f (x )=0在(0，1)内恒有解.8.(★★★★)一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160－2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元.(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？ (2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？参考答案难点磁场解：由条件知Δ≤0,即(－4a ）2－4(2a +12)≤0,∴－23≤a ≤2(1)当－23≤a ＜1时，原方程化为：x =－a 2+a +6,∵－a 2+a +6=－(a－21)2+425.∴a =－23时，x mi n =49,a =21时，x max =425.∴49≤x ≤425.(2)当1≤a ≤2时，x =a 2+3a +2=(a +23)2－41∴当a =1时，x mi n =6,当a =2时，x max =12,∴6≤x ≤12. 综上所述,49≤x ≤12.歼灭难点训练一、1.解析：当a －2=0即a =2时,不等式为－4＜0,恒成立.∴a =2,当a －2≠0时，则a 满足⎩⎨⎧<∆<-02a ,解得－2＜a ＜2,所以a 的范围是－2＜a ≤2.答案：C2.解析：∵f (x )=x 2－x +a 的对称轴为x =21,且f (1)>0,则f (0)>0,而f (m )＜0,∴m ∈(0,1),∴m －1＜0,∴f (m －1)>0. 答案：A二、3.解析：只需f (1)=－2p 2－3p +9>0或f (－1)=－2p 2+p +1>0即－3＜p ＜23或－21＜p ＜1.∴p ∈(－3, 23).答案：(－3，23）4.解析：由f (2+x )=f (2－x )知x =2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，∴|1－2x 2－2|＜|1+2x －x 2－2|,∴－2＜x ＜0. 答案：－2＜x ＜0 三、5.解：(1）由log a33log a y a t t =得log a t －3=log t y －3log t a由t =a x 知x =log a t ，代入上式得x －3=xxy a 3log -,∴log a y =x 2－3x +3，即y =a 332+-x x (x ≠0).(2)令u =x 2－3x +3=(x －23)2+43 (x ≠0),则y =a u①若0＜a ＜1,要使y =a u 有最小值8，则u =(x －23)2+43在(0，2]上应有最大值，但u 在(0，2]上不存在最大值.②若a >1,要使y =a u 有最小值8，则u =(x －23)2+43,x ∈(0,2]应有最小值∴当x =23时，u mi n =43,y mi n =43a 由43a =8得a =16.∴所求a =16,x =23.6.解：∵f (0)=1>0(1)当m ＜0时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意.(2）当m >0时，则⎪⎩⎪⎨⎧>-≥∆030mm解得0＜m ≤1综上所述，m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0}. 7.证明：(1)])1()1([)1(2r m m q m m p p m m pf ++++=+])2()1()1()2([]2)1([]1)1([22222+++-+=+-+=++++=m m m m m m p m pm pm pm m r m q m pm pm)2()1(122++-=m m pm ,由于f (x )是二次函数，故p ≠0,又m >0,所以，pf (1+m m)＜0. (2)由题意，得f (0)=r ,f (1)=p +q +r ①当p ＜0时，由(1）知f (1+m m)＜0 若r >0,则f (0)>0,又f (1+m m)＜0,所以f (x )=0在(0，1+m m)内有解;若r ≤0,则f (1)=p +q +r =p +(m +1)=(－mrm p -+2)+r =mrm p -+2>0,又f (1+m m)＜0,所以f (x )=0在(1+m m,1)内有解. ②当p ＜0时同理可证.8.解：(1）设该厂的月获利为y ,依题意得y =(160－2x )x －(500+30x )=－2x 2+130x －500由y ≥1300知－2x 2+130x －500≥1300∴x 2－65x +900≤0，∴(x －20)(x －45)≤0，解得20≤x ≤45 ∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元. (2）由(1）知y =－2x 2+130x －500=－2(x －265)2+1612.5∵x 为正整数，∴x =32或33时，y 取得最大值为1612元， ∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.。
活用“三个二次”的关系解题
所 以， 当 ｍ一 一÷ 时 ， 抛物 线 的对 称 轴 为
Ｙ轴 ．
是否有解 的过程 ； 一 元 二 次不 等 式 口 ｚ ＋ｂ ｘ４ － ｆ ＞０ （ 或 ＜０ ） （ ｎ ≠Ｏ ） 是 探 究 未 知数 ｚ满 足 条 件 的 范 围 的 过 程 ． 从 图像 上 看 ， 三 者实 际 上是 紧 密联 系 的 ， 还 可 以 相 互 转 化： 二 次 函 数 —ｎ ＋６ ＋ｃ （ ｎ ≠０ ） 研 究 的 某 一 变 化 过 程 的全
■ 例 ２ 当 ｋ取 何 值 时 ， 方 程 ＋ ４ ｘ ＋４ ｋ — 刘 ｋ 一０的 一 个 根 大 于 ３ ， 另一个根 小于 ３ ７ 其
分析 ： 如果 一元 二 次 方 程 ｎ ｚ ＋ｂ ｘ＋ ｆ 一０ 明 （ 。 ≠Ｏ ） 的两 个 实 根 ｚ 、 ｚ ， 满 足 条件 ｚ ＜３ ＜ ． ２ ， ２ ２ ， 则 相应 的 二 次 函 数 ＝ｎ ｚ 。 ＋６ ＋ｃ （ 口 ≠Ｏ ） 图
二次不等式ｎ ｚ ＋６ ｚ ＋ ｆ ＞ Ｏ （ 或＜Ｏ ） 中可以通过观察二次函 数 由图１ 可知： 当 一 ３ 时， ＜Ｏ ， 即一 。 ＋４ ＋２ １ ＜Ｏ ， 通过 掌 的图像来确定自变量 ３ ／ ＂ 的取值范围． 总之“ △ ” 可以说是用一条 二次函数 ：一 ４ － ４ ｋ ＋２ １ 的图像可得 ＜～３ 或ｋ ＞７ ． 饼
． ・ ． 当６ ＜ ／ 一
大于 ３ ． 例３ 如果一元 二 次不 等式 口 ｚ ＋ｎ ｂ 一 ｌ ＜ｘ ＜２ ， 试 求 。与 ｂ的值 ． 分析 ： 首先把不等式转化为二 次 函数 ， 设 ６ ， 因 为一 元 二 次不 等式 ｎ ｚ ｚ ＋。 ｂ ＋６ ＞ ０的ｉ 对二次函数来说 ， 就是 当 １ ＜ｚ ＜ ２时 ， ＞ Ｏ ． 一元二次方程 。 ｚ ＋ａ ｂ ｘ ４ － ｂ ＝０的 两 个 根 分 据 一 元 二 次 方 程 的跟 与 系数 关 系 ， 可 以确 定 ｃ 解： ‘ ． ‘ 一元二次不等式 ｎ ｚ ＋ｎ ｂ
三个“二次”之间的关系
一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.其中二次函数图象是连接三个“二次”的纽带，是理解和解决问题的关键，应认真研究、熟练掌握.本文主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.首先，我们来回顾一下三个“二次”的基本关系：接下来，我们一起来谈谈有关三个“二次”的四类重要题型：（一）解含参二次不等式例1 解关于x的不等式：ax2+（a-1）x-1>0（a∈R）分析当a=0时，此不等式为一次不等式，可直接求出不等式的解集；当a≠0时，要分a>0与a<0两种情况进行讨论，再看方程ax2+（a-1）x-1=0根的情况.解①当a=0时，得x<-1.②当a>0时，不等式可化为（x-1a）（x+1）>0，解得x1a.③当a<0时，不等式可化为（x-1a）（x+1）<0，若1a<-1，即-1 若1a=-1，即a=-1，则不等式解集为空集；若1a>-1，即a<-1，则-1<x<1a.综上所述，当a>0时，不等式的解集为{x|x1a}；当a=0时，不等式的解集为{x|x<-1}；当-1 当a=-1时，不等式解集为空集；当a<-1时，不等式解集为{x|-1<x<1a}.变式若关于x的不等式ax2+（a-1）x-1>0的解集为{x|x12}，求实数a的值.由一元二次不等式与二次方程的关系，借助根与系数的关系可得：a>0，12?（-1）=-1a，12+（-1）=-a-1a，解得a=2.解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）二次项系数若含有参数应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.注意：二次项系数中含有参数时，参数的符号影响着不等号的方向.（2）判断方程的根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系.（3）确定无根或有一根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集.（二）二次函数在给定区间上的最值问题例2 求函数f（x）=x2-2ax，x∈[0，4]的最小值与最大值.分析函数f（x）在区间[0，4]上的单调性不确定，因此需对对称轴与给定区间的关系进行分类讨论.解 f（x）的对称轴为x=a.当a≤0时，f（x）在[0，4]上单调递增，f（x）min=f（0）=0；当0 当a≥4时，f（x）在[0，4]上单调递减，f（x）min=f（4）=16-8a.所以f（x）min=0，-a2，16-8a， a≤0，0 a≥4.f（x）max=max{f（0），f（4）}=0，16-8a， a≥2，a<2.变式1 已知函数f（x）=-x2+8x，求f（x）在区间[t，t+1]上的最大值h（t）.解 f（x）的对称轴为x=4.当t+1≤4即t≤3时，h（t）=f（t+1）；当t<4<t+1即3<t<4时，h（t）=f（4）；当t≥4时，h（t）=f（t）.所以h（t）=-t2+6t+7，16，-t2+8t， t≤3，3<t<4，t≥4.变式2 已知函数y=-x2+ax-a4+12在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a的值.解令f（x）=-x2+ax-a4+12，函数的对称轴为x=a2，当a2≥1即a≥2时，ymax=f（1）=-12+34a=2.解得a=103∈[2，+∞）.当0 当a2≤0即a≤0时，ymax=f（0）=-a4+12=2，解得a=-6∈（-∞，0].所以a=103或a=-6.求解二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在给定区间[p，q]上的最值问题：实际上是研究函数在[p，q]上的单调性.常用方法是：（1）当a>0时求最小值或当a0时最大值为max{f（p），f（q）}，当a<0时最小值为min{f（p），f（q）}.（三）一元二次不等式恒成立问题例3 已知不等式mx2-2x-m+1<0.（1）若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；（2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围.分析（1）不等式mx2-2x-m+12，不等式不恒成立；当m≠0时，函数f（x）=mx2-2x-m+1为二次函数，需满足图象开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解，即m<0，Δ=4-4m（1-m）<0，则m无解.综上可知不存在这样的m.（2）从形式上看，这是一个关于x的一元二次不等式，由于已知m的取值范围，不妨换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式在m∈[-2，2]上恒成立，求参数x的范围.解设g（m）=（x2-1）m+（1-2x），则其为一个以m为自变量的一次函数（或常函数），其图象是线段，由题意知当-2≤m≤2时该线段在x轴下方，即g（m）max<0.所以g（-2）<0，g（2）<0，即-2x2-2x+3<0，2x2-2x-1<0.解得-1+72<x<1+32.所以x的取值范围为{x|-1+72<x<1+32}.变式1 定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）是减函数，如果当x∈[0，1]时不等式f（1-2x2+4a2）+f（4ax-3）≥0恒成立，求a的取值范围.解由题意得，f（x）是奇函数，所以f（1-2x2+4a2）≥f（3-4ax），又因为f（x）在R上是减函数，所以1-2x2+4a2≤3-4ax，即x2-2ax+1-2a2≥0对x∈[0，1]恒成立.下面转化为二次函数在给定区间上的最值问题：令g（x）=x2-2ax+1-2a，对称轴为x=a，当a≤0时，g（x）min=g（0）=1-2a2≥0，得-22≤a≤0；当0 当a≥1，g（x）min=g（1）=2-2a-2a2≥0，因为a≥1，所以无解.综上，{a|-22≤a≤33}.变式2 设函数f（x）=x2-1，对任意x∈[32，+∞），f（xm）-4m2f（x）≤f（x-1）+4f （m）恒成立，则实数m的取值范围是.解由题意得：（xm）-1-4m2（x2-1）≤（x-1）2-1+4（m2-1）恒成立，即（1m2-4m2-1）x2+2x+3≤0恒成立，即1m2-4m2-1≤-2x-3x2恒成立.因为g（x）=-2x-3x2=-3x2-22在[32，+∞）上是增函数，故当且仅当1m2-4m2-1≤g（32））即可.解得m≤-32或m≥32.解决一元二次不等式恒成立问题的方法：解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，就选谁做主元，求谁的范围，谁就是参数.对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.1.一元二次不等式在x∈R上恒成立：（用Δ法）ax2+bx+c>0（a≠0）a>0，Δ<0；ax2+bx+c<0（a≠0）a<0，Δ<0.注意：a=0的情况.2. 一元二次不等式在区间上恒成立：①化归为区间最值问题：f（x）>0f（x）min>0；f（x）<0f（x）max<0.②分离参数法：a≥f（x）恒成立a≥f（x）max；a≤f（x）恒成立a≤f（x）min.以上就是对三个“二次”之间关系的几种题型的处理. 综合起来，可以这样说：一元二次方程是寻找二次函数图象上的点；一元二次不等式是截取二次函数图象上的一段，而研究二次函数则是探索无数函数中的一类特殊的函数关系.。
三个二次的关系及应用
三个二次的关系及应用二次方程是一个重要的数学概念，在很多数学和科学领域都有广泛的应用。
在本文中，我将介绍三个与二次方程相关的关系及其应用。
第一个关系是二次函数的顶点与轴对称性。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数。
二次函数的图像是一个抛物线，它可以从顶点和轴对称性来描述。
二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，它的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
顶点是二次函数的特殊点，它具有很多有用的性质。
首先，根据二次函数的开口方向，顶点可以告诉我们最大值或最小值的位置。
如果a>0，即抛物线开口向上，那么顶点表示最低点的坐标。
相反，如果a<0，即抛物线开口向下，那么顶点表示最高点的坐标。
其次，通过顶点，我们可以了解二次函数的对称轴。
对称轴是通过顶点和抛物线的开口方向垂直的一条直线。
具体而言，对称轴的方程为x = -b/2a。
对称轴对于绘制二次函数的图像和解决与二次函数相关的问题是很有帮助的。
除了描述二次函数的形状，二次函数还有许多实际应用。
其中一个应用是在物理学中描述自由落体的运动。
自由落体是指只受重力作用下落的物体。
根据牛顿第二定律，自由落体的加速度是一个常数，即g ≈9.8 m/s^2。
通过观察自由落体的运动，可以建立它与时间的关系。
根据重力加速度的影响，自由落体的高度随时间变化的关系可以用二次函数来描述。
具体来说，自由落体的高度h可以表示为h = -0.5gt^2 + vt + h₀，其中g是重力加速度，t是时间，v是初始速度，h₀是初始高度。
这是一个二次函数形式的方程，其中最高点（顶点）对应于自由落体的最大高度。
通过求解二次方程，可以确定自由落体的最大高度、时间和速度等参数。
另一个与二次方程相关的重要关系是二次根式。
二次根式是指具有形式sqrt(ax^2 + bx + c)的表达式，其中a、b和c是常数。
二次根式在数学和物理学中有广泛的应用。
高中数学必修 第一册 知识点总结梳理
必修第一册知识点总结第一章集合与常用逻辑用语集合知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}4.(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.[常用结论与微点提醒]1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n －2个.2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.3.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集，应时刻关注对于空集的讨论.4.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.5.∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).常用逻辑用语知识梳理1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒p2.(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示. (2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.3.全称命题和特称命题(命题p 的否定记为﹁p ，读作“非p ”)[1.区别A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒ A )，与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒B )两者的不同. 2.A 是B 的充分不必要条件⇔﹁B 是﹁A 的充分不必要条件. 3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.第二章 一元二次函数、方程和不等式等式与不等式性质 知识梳理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a <b . (2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1（a ∈R ，b >0）⇔a >b （a ∈R ，b >0），ab ＝1⇔a ＝b （a ，b ≠0），a b <1（a ∈R ，b >0）⇔a <b （a ∈R ，b >0）.2.等式的性质(1)对称性：若a ＝b ，则b ＝a . (2)传递性：若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c . (3)可加性：若a ＝b ，则a ＋c ＝b ＋c .(4)可乘性：若a ＝b ，则ac ＝bc ；若a ＝b ，c ＝d ，则ac ＝bd . 3.不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)；(6)可开方：a ＞b ＞0n ∈N ，n ≥2). [常用结论与微点提醒]1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变.2.有关分式的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m (b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b.基本不等式及其应用 知识梳理1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).[常用结论与微点提醒]1.b a ＋ab≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. 3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0). 4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.一元二次方程和一元二次不等式 知识梳理1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.2.三个“二次”间的关系3.(x －a4.分式不等式与整式不等式(1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0). (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. [常用结论与微点提醒]1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a ). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.2.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形.3.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.第三章 函数的概念与性质函数的概念 知识梳理1.函数的概念设A ，B 都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . 2.函数的定义域、值域(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.[常用结论与微点提醒]1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.2.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.3.注意以下几个特殊函数的定义域(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.函数的单调性与最值知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y＝f(x)的单调区间.2.函数的最值[常用结论与微点提醒]1.若f (x )，g (x )均为区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数.2.函数y ＝f (x )(f (x )>0或f (x )<0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反.3.“对勾函数”y ＝x ＋ax(a >0)的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].函数的奇偶性与周期性 知识梳理1.函数的奇偶性2.(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.[常用结论与微点提醒]1.(1)如果一个奇函数f (x )在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0. (2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |).2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0). (2)若f (x ＋a )＝1f （x ），则T ＝2a (a >0).(3)若f (x ＋a )＝－1f （x ），则T ＝2a (a >0).(4)若f (x ＋a )＋f (x )＝c ，则T ＝2a (a >0，c 为常数). 4.对称性的三个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称. (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b ，0)中心对称.第四章 指数函数与对数函数 指数与指数函数 知识梳理1.根式的概念及性质(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，na n＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质实数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈R . 4.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质R [1.画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . 2.指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a >1与0<a <1来研究. 3.在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象越高，底数越大.对数与对数函数 知识梳理1.对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①a log a N ＝N ； ②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算性质如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R ).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质定义域：(0，＋∞)4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. [常用结论与微点提醒] 1.换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝1log b a (a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1). (2)log a m b n ＝nm log a b (a >0，且a ≠1；b >0；m ，n ∈R ，且m ≠0).2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限. 幂函数与二次函数 知识梳理1.幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ).零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质R[1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0；当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.函数与方程 知识梳理1.函数的零点 (1)函数零点的概念对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点. (2)函数零点与方程根的关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点. (3)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )满足：①在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线；②f (a )·f (b )<0；则函数y ＝f (x )在(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根.2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴的交点 (x 1，0)，(x 2，0)(x 1，0) 无交点 零点个数21[常用结论与微点提醒]1.若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f (x )＝0的实根.2.由函数y ＝f (x )(图象是连续不断的)在闭区间[a ，b ]上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0，如图所示，所以f (a )·f (b )<0是y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点的充分不必要条件.3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.第五章 三角函数任意角和弧度制及任意角的三角函数 知识梳理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式角α的弧度数公式 |α|＝lr (弧长用l 表示)角度与弧度的换算1°＝π180rad ；1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2 3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.[常用结论与微点提醒]1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan α>α>sin α. 3.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用. 4.区分两个概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角. (2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等.同角三角函数的基本关系式与诱导公式 知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan__α.2.三角函数的诱导公式[1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.三角函数的图象与性质 知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0). (2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π[1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式.3.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.简单的三角恒等变换 知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin α cos β ± cos α sin β. cos(α∓β)＝cos α cos β ± sin α sin β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α. cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ab . [常用结论与微点提醒]1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 知识梳理1.函数y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用“五点法”画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)一个周期内的简图时，要找五个关键点x －φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 03.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种途径[常用结论与微点提醒]1.函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.三角函数的图象与性质参考答案例1. 解：⑴. x应满足()122log0tan02xxxx k k Zππ⎧+≥⎪⎪≥⎪⎨>⎪⎪≠+∈⎪⎩，即为()042xk x k k Zπππ<≤⎧⎪⎨≤<+∈⎪⎩所以所求定义域为[]0,,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭⑵. x应满足⎩⎨⎧≥->-cos212sin2xx，即2sin21cos2xx⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，利用单位圆中的三角函数线可得32234k x kππππ+≤<+，所以所求定义域为()32,234k k k zππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭。
《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。
课程目标1. 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2. 使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题．3. 渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养1.数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3.数学运算：解一元二次不等式；4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集; 难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、 预习课本，引入新课阅读课本50-52页，思考并完成以下问题1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.2.解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二 次方程的关系如下表：判别式Δ=b 2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c (a>0)的图象一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异 实根x 1,x 2 (x 1<x 2)有两相等实根 x 1=x 2没有实数根ax 2+bx+c>0 (a>0)的解集{x|x >x 2或x <x 1}{x|x ≠−2b a} Rax 2+bx+c<0 (a>0)的解集{x|x 1<x <x 2}∅∅ab 2-=2.一元二次不等式ax 2+bx+c>0 (a>0)的求解的算法.(1)解ax 2+bx+c=0；(2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x的结果.四、典例分析、举一反三题型一解不等式例1求下列不等式的解集（1）x2−5x+6>0（2）9x2−6x+1>0（3）−x2+2x−3>0【答案】（1）{x|x<2,或x>3}（2）{x|x≠13}（3）∅解题方法（解不等式）(1)解ax 2+bx+c=0；(2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x的结果；跟踪训练一1、求下列不等式的解集（1）(x+2)(x−3)>0；（2）3x2−7x≤10；（3）−x2+4x−4<0（4）x2−x+14≤0【答案】（1）{x|x<−2,或x>3}（2）{x|x≤−3,或x≥103}（3） {x|x ≠2} （4） {x|x =12}题型二 一元二次不等式恒成立问题 例2 (1). 如果方程20ax bx c ++=的两根为2-和3且0a <，那么不等式20ax bx c ++>的解集为____________．(2).已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．01k ≤≤ B ．01k <≤C ．k 0<或1k >D ．0k ≤或1k >【答案】（1）{}|23x x -<< （2）A【解析】（1）由韦达定理得231236bac a⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，6b a c a =-⎧∴⎨=-⎩，代入不等式20ax bx c ++>，得260ax ax a -->，0a <，消去a 得260x x --<，解该不等式得23x -<<，因此，不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23x x -<<，故答案为：{}|23x x -<<.（2）当0k =时，不等式为80≥恒成立，符合题意；当0k >时，若不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立， 则2364(8)0k k k ∆=-+≤，解得01k <≤；当k 0<时，不等式2680kx kx k -++≥不能对任意x ∈R 恒成立。
三个二次的关系讲义-高一上学期初高中教材衔接课四
三个“二次”之间的关系一、知识梳理(1)二次函数的三种解析式： 一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c ；)0(≠a 顶点式：n m x a y +-=2)()0(≠a 两根式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2) )0(≠a(2)当a ＞0，二次函数)(x f 在区间［p ，q ］上的最大值M ，最小值m ， 令x 0＝21(p ＋q ). 若－ab 2＜p ，则)(p f ＝m ，)(q f ＝M ；若p ≤－a b 2＜x 0，则f (－a b2)＝m ，)(q f ＝M ；若x 0≤－a b 2＜q ，则)(p f ＝M ，f (－a b2)＝m ；若－ab 2≥q ，则)(p f ＝M ，)(q f ＝m ．)(x f ＝ax 2＋bx ＋c ＝0的实根分布及条件(1)方程)(x f ＝0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·)(r f ＜0；(2)二次方程)(x f ＝0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a bac b (3)二次方程)(x f ＝0在区间(p ，q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b (4)二次方程)(x f ＝0在区间(p ，q )内只有一根⇔)(p f ·)(q f ＜0，或)(p f ＝0(检验)或)(q f ＝0(检验),检验另一根在(p ，q )内成立.提 示提 示(5)方程)(x f ＝0两根的一根大于p 小于q ，另一根小于p (p ＜q )⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)(0)(q f a p f a .(1)二次不等式)(x f ＝ax 2＋bx ＋c ≤0的解集是 (－∞，α]∪［β，＋∞)⇔a ＜0且)(αf ＝)(βf ＝0； (2) 当a ＞0时，)(αf ＜)(βf ⇔ |α＋a b 2|＜|β＋a b2|， 当a ＜0时，)(αf ＜)(βf ⇔|α＋a b 2|＞|β＋ab2|；(3)当a ＞0时，二次不等式c bx ax ++2＞0在［p ，q ］恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>≤-⇔,0)(,2p f p a b或⎪⎩⎪⎨⎧>≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;0)(2,0)2(,2q f q a b a b f q ab p 或(4) 02>++c bx ax 恒成立⇔ ⎩⎨⎧<∆>00a 或 ⎩⎨⎧>==0c b a 02<++c bx ax恒成立 ⇔ ⎩⎨⎧<∆<00a 或 ⎩⎨⎧<==00c b a二、方法归纳1．数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及一元二次方程、一元二次不等式的时候常常结合图形寻找思路．2．含字母系数的二次函数、一元二次方程、一元二次不等式问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的最值与给定闭区间的关系，一元二次不等式解集与一元二次方程的根的关系．3．关于二次函数)(x f y =对称轴的判定方法：(1) 如果二次函数)(x f y =存在两个不相等的数1x 、2x ，有)()(21x f x f =，那么函数)(x f y =图象的对称轴方程为221x x x +=.(2)一般函数)(x f y =对定义域内所有x ，都有)()(x b f x a f -=+成立，那么函 数)(x f y =图象的对称轴方程为2ba x +=． 4． 二次方程的实根分布，也是二次函数的零点分布，是高考的一个热点问题．解决问题的关键在于作出二次函数的图象，运用数形结合的思想从判别式、对称轴的位置、特殊点的函数值这三个角度列出不等式组求解．三、典型例题精讲［例1］已知函数)(x f y =是开口向上的二次函数，)1()1(x f x f +=-，3)0(=f ，且)(x f 的最小值为2，求)(x f y =的解析式．［例2］若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A.(－∞，2]B.[－2，2]C.(－2，2]D.(－∞，－2)变式1：若不等式13642222<++++x x kkx x 对R x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. R B. ()3,1 C. ()1,∞- D. () 1,∞-()+∞,3［例3］二次函数)(x f 的二次项系数为正，且对任意实数x ，恒有)2(x f +＝)2(x f -，若)21(2x f -＜)21(2x x f -+，则x 的取值范围是_________.［例4］函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的范围是（ ）A ．)1(f ≥25B ．)1(f ＝25C ．)1(f ≤25D ．)1(f ＞25变式2：函数()m x mx x f ++=42，若R x ∈时恒有()3>x f ，则m 的取值范围是（ ）A. ()4,∞-B. ()+∞,4C. ()1,-∞-D. ()+∞-,1 ［例5］（1）二次方程0)1(2)12(2=-+-+m mx x m 有一正根和一负根，求实数m 的取值范围． （2）已知方程0)1(22=++-m x m x 有两个不等正实根，求实数m 的取值范围． ［例6］已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值．变式3：求二次函数32)(2+-=x x x f 在区间]2,2[-上的最大值与最小值． ［例7］求函数()122+-=ax x x f 在[]3,1∈x 上的最小值．变式4：求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值． 变式5：求函数243y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值．［例8］二次函数2()(21)1f x ax a x =+-+在区间3[,2]2-上的最大值为3，求实数a 的值．提 示。
三个二次的关系
“三个二次”的关系知识点：1．“三个二次”的关系2.(x －a 题型一 一元二次不等式的解法 例1 求下列不等式的解集： （1）－x 2＋8x －3>0；（2）不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．（3）ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13. 又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}． (2)(－12，1](3)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a .综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a <x <1}．练习：1．不等式x －3x －1≤0的解集为( )A ．{x |x <1或x ≥3}B ．{x |1≤x ≤3}C ．{x |1<x ≤3}D ．{x |1<x <3}答案 C题型二、根据条件解不等式1．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2 D ．3∶2∶1 答案 B解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0， ∴－b ＋c a <x <c －b a.∵不等式的解集为{x |－2<x <1}， ∴⎩⎨⎧ －b ＋ca＝－2，c －ba ＝1，∴⎩⎨⎧b ＝a 2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3.1、若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x <13，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集是________．答案： (－2,3)2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( ) A ．(2,3) B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 A题型二 一元二次不等式的恒成立问题 例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 练习：1．已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为______________． 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)(1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( A ) A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5](2)已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为(C ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)(3)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解．∵x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立．而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3. ∴实数a 的取值范围是{a |a >－3}． 练习：1．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2]B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2] 答案 A解析 原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0， ①当m ＝2时，对任意x 不等式都成立； ②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0， ∴－2<m <2，综合①②，得m ∈(－2,2]．2．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( ) A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4}答案 D解析 由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.3．若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1a )>0的解集是________________．答案 {x |a <x <1a}解析 原不等式即(x －a )(x －1a )<0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a .4．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a 、b 的值． 解 (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0， 即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， ∴⎩⎨⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.5．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A ．(－∞，－32)∪(12，＋∞)B ．(－32，12)C ．(－∞，－12)∪(32，＋∞)D ．(－12，32)答案 A解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0， 由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1， ∴x <－32或x >12.6．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.。
三个二次间关系(教师)
三个“二次”间的关系一．知识梳理一．二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系二．含参数的一元二次型的不等式：在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：1. 关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.2. 关于不等式对应的方程根的讨论：二根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．3. 关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2.三．不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题1. 恒成立问题若不等式f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)min>A；若不等式f(x)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)max<B.2. 能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，则等价于在区间D上f(x)max>A；若在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立，则等价于在区间D上f(x)min<B.3. 恰成立问题若不等式f(x)>A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的解集为D；若不等式f(x)<B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)<B的解集为D.四．二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的分布分布情况两根都小于即k k x k x <<21,两根都大于即 kk x k x >>21,一个根小于，一个大于k k即12x k x <<)0()(2>++=a c bx ax x f 大致图象得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()0<k f 分布情况两根都在内()n m ,两根有且仅有一根在内（有两种情况，()n m ,只画了一种）一根在内，另一根在()n m ,内，()q p ,q p n m <<<)0()(2>++=a c bx ax x f 大致图象得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f ()()()()0000f m f n f p fq ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩二．典例剖析题型一 一元二次不等式的解法【例1】1.（2013·重庆高考）关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A. B. C. D. 5272154152解: 法一：不等式x 2－2ax －8a 2<0的解集为(x 1,x 2)，∴x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根．由韦达定理知Error!∴x 2－x 1＝＝＝15，又∵a >0，∴a ＝，故选A.(x 1＋x 2)2－4x 1x 2(2a )2－4(－8a 2)52解法二：由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，∵a >0，∴不等式x 2－2ax －8a 2<0的解集为(－2a,4a )，又∵不等式x 2－2ax －8a 2<0的解集为kkk(x 1，x 2)，∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .∵x 2－x 1＝15，∴4a －(－2a )＝15，解得a ＝，故选A.522.（2013·江西高考）下列选项中，使不等式x <<x 2成立的x 的取值范围是( )1xA. (－∞,－1)B. (－1,0)C. (0,1)D. (1,＋∞)解析：当x >0时，原不等式可化为x 2<1<x 3，解得x ∈∅，当x <0时，原不等式可化为Error!解得x <－1，选A.【课堂练习1】(2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________.解析 (1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝2＋b －.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －＝0，即b ＝.∴f (x )(x ＋a 2)a 24a 24a 24＝2.又∵f (x )<c .∴2<c ，即－－<x <－＋.(x ＋a 2)(x ＋a 2)a 2c a2c ∴Error!②－①得2＝6，∴c ＝9.c 题型二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】 1. 解不等式042>++ax x 解：∵ ∴当即时，解集为；当即Δ＝0时，解集为162-=∆a ()4,4-∈a 0<∆R 4±=a ； ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且当或即,此时两根分别为，，显然,4>a 4-<a 0>∆21621-+-=a a x 21622---=a a x 21x x >∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或2. 解不等式)0(01)1(2≠<++-a x aa x 解：原不等式可化为：，令，可得：()0)1(<--a x a x aa 1=1±=a ∴当或时， ，故原不等式的解集为；1-<a 10<<a a a 1<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|当或时，,可得其解集为；当或时, ,解集为。
微难点1 三个“二次”关系
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学
微难点1 三个“二次”关系
(1) 已知 x2＋ax＋2＝0 的两个根都小于－1，求实数 a 的取值范围； 【思维引导】利用数形结合的方法，即利用一元二次方程和相应二次函数之间的 关系． 【解答】(1) 令 f(x)＝x2＋ax＋2， 因为 x2＋ax＋2＝0 的两个根都小于－1，
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微难点1 三个“二次”关系
【解答】方法一：由题知 f(x)＝(x－a)2＋2－a2， 所以 f(x)图象的对称轴为 x＝a. ①当 a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增， 所以 f(x)min＝f(－1)＝2a＋3. 要使 f(x)≥a 恒成立，只需 f(x)min≥a， 即 2a＋3≥a，解得 a≥－3，即－3≤a<－1. ②当 a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2. 要使 f(x)≥a 恒成立，只需 f(x)min≥a， 即 2－a2≥a，解得－2≤a≤1，即－1≤a≤1.
又 f(x)图象的对称轴为 x＝2，且开口向下， 所以当 x＝2∈[－1,5]时，f(x)取得最大值－4a，所以－4a＝12，解得 a＝－3， 所以 f(x)的解析式为 f(x)＝－3(x－2)2＋12.
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微难点1 三个“二次”关系
已知函数 f(x)＝x2－2ax＋2，当 x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a 恒成立，求 a 的取值范围．
综上，实数 a 的取值范围为[－3,1]．
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微难点1 三个“二次”关系
一元二次不等式及其解法
当 a＝0 时，原不等式的解集为(－∞，－1]；
而g
a
是一次函数，所以
g g
(1) (1)
x
x2 2
5x 3x
2
6
0
0，
解得x 1或x 3.所以x的取值范围是{x | x 1或x 3}．
5.已知函数y＝lg[(a2－4)x2＋2(a＋2)x＋a－1]的定 义域为R，求实数a的取值范围．
a的取值范围是(4，＋∞)．
解关于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0.
【自主解答】 不等式 x2－2ax－8a2<0 可化为(x＋2a)·(x－ 4a)<0，
(1)当－2a＝4a，即 a＝0 时，不等式即为 x2<0，解集为∅； (2)当－2a>4a，即 a<0 时，则 4a<x<－2a； (3)当－2a<4a，即 a>0 时，则－2a<x<4a. 综上所述：当 a＝0 时，原不等式的解集为∅； 当 a<0 时，原不等式解集为{x|4a<x<－2a}； 当 a>0 时，原不等式解集为{x|－2a&式恒成立问题
(1)不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是全体实数(或恒成立)的等价条
件是
a＝0 b＝0 c>0
或a>0 Δ<0
；
(2)不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集是全体实数(或恒成立)的等价条
三个二次及其关系
二次函数、二次方程及二次不等式的关系三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的 内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具 高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关 本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方 法 重难点归纳1二次函数的基本性质 2(1)二次函数的三种表示法y=ax +bx+c;卄 b右— <p,则 f(p)=m,f(q)=M;2abb右 x °≤—<q,则 f(p)=M,f( —)=m;2a 2a(4)f(x)>0恒成立a =b = 0c ：： 0.⑵当a>O,f(x)在区间［p,q ］上的最大值 2y=a(x — X 1)(x — x 2); y=a(x — x 0) +n1最小值m,令X 0=(p+q)2若 P ≤ ------- <X 0,则 f( -------- )=m,f(q)=M;2a 2a2(1)方程∆=bb-4ac 0, (2)二次方程 f(x)=0的两根都大于rr,2aa f(r) 0(3)二次方程 f(x)=0在区间(p,q)内有两根 =«厂2.■: = b -4ac 0,b P C q, 2aa f (q) 0, a f (p) 0;(4)二次方程 在(p,q)内成立f(x)=0在区间(p,q)内只有一根 U f(p) ∙ f(q)<0,或 f(p)=0(检验)或 f(q)=0(检验)检验另一根若 (5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于 q(p<q)=a f (p) 0 a f(q) 03二次不等式转化策略(1)二次不等式f(x)=ax 2+ bx+c ≤ 0的解集是 ⑵当 a>0 时，f( α )<f( β )= I a + ∣<∣β+2a当 a<0 时，f(α )<f(β )=|a + —|>|e +巴|;∞ ,α ]) U[ β ,+ ∞ ) ：= a<0 且 f( α )=f( β )=0;2a|, ⑶当a>0时，二次不等式f(x)>0在［p,q ］恒成立b .「2a * p 或* I f(P)RW b r J b ' 2a"或卜存$f (叮)0, f(q) -0;典型题例示范讲解例 1 已知二次函数f(x)=ax+bx+c和一次函数g(x)= —bx,其中a、b、C满足a>b>c,a+b+c=O,(a,b,c∈R) (1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B;⑵求线段AB在X轴上的射影A i B i的长的取值范围例2已知关于X的二次方程X+2mx+2m+仁0(1) 若方程有两根，其中一根在区间(一1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围(2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围巩固练习21若不等式(a —2)x+2(a —2)x—4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是()A( —∞ ,2] B [ —2,2] C( —2,2] D( —∞ , —2)22.已知函数y = 8-2x-x和y=kx+k(k为常数)则不论k为何值，这两个函数的图像( )A •只有一个交点B •只有二个交点C.只有三个交点 D •只有四个交点3.设A(xι ,m), B(x>,m)是y =aχ2∙bx ∙ c(a = 0)图上两点,当x = Xι ∙χ?时，二次函数的值(-b2B∙ C C4a5.若二次函数y = ax2∙bx ∙ c(a = 0)图象的顶点在第一象限，且图象经过两点A(0,1),B(-1,0),则^a b C的变化范围是( )A∙0<S<2 B∙0<S<3 C. 1<S<2 D.—1<S<16 设二次函数f(x)=x2—x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m —1)的值为()A正数B负数C非负数D正数、负数和零都有可能7已知二次函数f(x)=4x2—2(p —2)x—2p2—p+1,若在区间[—1 , 1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0, 则实数P的取值范围是 __________ >8二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数X恒有f(2+x)=f(2 —x),若f(1 —2x2)<f(1+2x —x2),则X 的取值范围是___________D. C=ax :2 bx a2-1,图象是下列四个图象之一,若b 0,则a=( )4.二次函数y1 239.二次函数y=?x ~2mx-2m交X轴于A(xι,O), B(X2,O),交y轴于C点,X i ：：0 .. X2, AB2=12CO 1(O 为原点).(1)求m( 2)在X轴下方是否存在抛物线上的点P。
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二次函数、二次方程及二次不等式的关系三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法 重难点归纳 1 二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法 y =ax 2+bx +c ; y =a (x －x 1)(x －x 2); y =a (x －x 0)2+n(2)当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=21 (p +q ) 若－a b 2<p ,则f (p )=m ,f (q )=M ; 若p ≤－a b 2<x 0,则f (－ab 2)=m ,f (q )=M ; 若x 0≤－a b 2<q ,则f (p )=M ,f (－a b 2)=m ; 若－ab 2≥q ,则f (p )=M ,f (q )=m 2 二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件(1)方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f (r )<0; (2)二次方程f (x )=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a b ac b (3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q a b p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ,q )内成立(5)方程f (x )=0两根的一根大于p ,另一根小于q (p <q )⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)(0)(q f a p f a 3 二次不等式转化策略(1)二次不等式f (x )=ax 2+bx +c ≤0的解集是 (－∞,α])∪［β,+∞)⇔a <0且f (α)=f (β)=0;(2)当a >0时，f (α)<f (β)⇔ |α+a b 2|<|β+ab 2|, 当a <0时，f (α)<f (β)⇔|α+a b 2|>|β+a b 2|; (3)当a >0时，二次不等式f (x )>0在［p ,q ］恒成立⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔,0)(,2p f p a b 或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;0)(;2,0)2(,2q f p a b a b f q a b p 或 (4)f (x )>0恒成立⎩⎨⎧<==⎩⎨⎧<∆<⇔<⎩⎨⎧>==⎩⎨⎧<∆>⇔.00,0,00)(;0,0,0,0c b a a x f c b a a 或恒成立或典型题例示范讲解例1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R)(1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围例2已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围巩固练习 1 若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A (－∞,2]B [－2,2]C (－2,2]D (－∞,－2)2.已知函数282y x x =--和(y kx k k =+为常数）则不论k 为何值，这两个函数的图像（ ）A ．只有一个交点B ．只有二个交点C ．只有三个交点D ．只有四个交点3.设21212(,),(,)(0),A x m B x m y ax bx c a x x x =++≠=+是图上两点当时，二次函数的值（ ）A ．22b c a+ B ．24b c a -+ C ．m D ．c4.二次函数221,,0,y ax bx a b a =++->图象是下列四个图象之一若则=（ ）A ．152-+ B ．—1 C ．152-- D ．15.若二次函数2(0),(0,1),y ax bx c a A =++≠图象的顶点在第一象限且图象经过两点 (1,0),B S a b c -=++则的变化范围是（ ）A ．0<S<2B ．0<S<3C ．1<S<2D ．—1<S<16 设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值为( )A 正数B 负数C 非负数D 正数、负数和零都有可能7 已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________8 二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)<f (1+2x －x 2),则x 的取值范围是_________9.二次函数21212132(,0),(,0),,0,22y x mx m x A x B x y C x x =--<<交轴于交轴于点 2121().AB CO O =+为原点（1）求m （2）在x 轴下方是否存在抛物线上的点P 。
使ΔABP 面积等于5？若存在，则求出P 点坐标；若不存在，说明理由。
10 二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足mr m q m p ++++12=0,其中m >0,求证 (1)pf (1+m m )<0; (2)方程f (x )=0在(0，1)内恒有解参考答案 1 解析 当a －2=0即a =2时,不等式为－4＜0,恒成立∴a =2,当a －2≠0时，则a 满足⎩⎨⎧<∆<-002a ,解得－2＜a ＜2,所以a 的范围是－2＜a ≤2答案 C2.B3.D4.D 5A6解析∵f (x )=x 2－x +a 的对称轴为x =21,且f (1)>0,则f (0)>0,而f (m )＜0,∴m ∈(0,1), ∴m －1＜0,∴f (m －1)>0答案A7 解析 只需f (1)=－2p 2－3p +9>0或f (－1)=－2p 2+p +1>0即－3＜p ＜23或－21＜p ＜1∴p ∈(－3, 23) 答案 (－3，23） 8 解析 由f (2+x )=f (2－x )知x =2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，∴|1－2x 2－2|＜|1+2x －x 2－2|,∴－2＜x ＜0答案－2＜x ＜0 9解：(1)(0,2)|2|C m CO m =-= （1分）由y=0 知2340x mx m --= ∴1212340x x m x x m +=⎧⎪=-⎨⎪∆>⎩（3分） ∴()2212124916AB x x x x m m =+-=+（2分） 又x 1x 1<0 ∴m>0 由AB 2=12CO+1 得 9m 2+16m=24m+1解之得m=1（2分） (2)213222y x x =-- (1,0)(4,0)(,)(0)A B P x y y -<设由S=5 知y= —2（2分） ∴2322022x x x --=-=解之得或3 ∴(0,2)(3,2)P P --或 （2分）10 证明 (1)])1()1([)1(2r m m q m m p p m m pf ++++=+ ])2()1()1()2([]2)1([]1)1([22222+++-+=+-+=++++=m m m m m m p m p m pm pm m r m q m pm pm )2()1(122++-=m m pm ,由于f (x )是二次函数，故p ≠0,又m >0,所以，pf (1+m m )＜0 (2)由题意，得f (0)=r ,f (1)=p +q +r①当p ＜0时，由(1）知f (1+m m )＜0 若r >0,则f (0)>0,又f (1+m m )＜0,所以f (x )=0在(0，1+m m )内有解; 若r ≤0,则f (1)=p +q +r =p +(m +1)=(－m r m p -+2)+r =mr m p -+2>0, 又f (1+m m )＜0,所以f (x )=0在(1+m m ,1)内有解 ②当p ＜0时同理可证学生练习：例1．关于x 的方程022=+-a ax x 有一根在0与1之间，另一根大于2，求实数a 的取值范围． 例2．已知方程k x x =-232在)1,1(-上有实根，求实数k 的取值范围． 例3．求实数m 的取值范围使026)1(22+++-+m x m x 至少有一个正根．例4．关于x 的方程022=++ax x 至少有一个小于1-的实数根，求实数a 的取值范围．答案：1. 43a >2. 25169<≤-k3. 1-≤m4. 22≥a ．。