实数和二次根式的基本概念

实数和二次根式的基本

概念

Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

一．实数的基本概念

1．无理数的概念：

（1）定义：无限不循环小数叫做无理数.

（2）解读：

1）无理数的两个重要特征：①无限小数；②不循环.

2）无理数的常见类型：

①具有特定意义的数。如π等；

②……（每相邻两个1之间依次多一个2）等；

③开方开不尽的数，如2，34等. 那么，是否所有带根号的数都是无理数呢

3）有理数与无理数的区别：有理数总可以表示为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数和无限循环小数也必定是有理数；而无理数是无限不循环小数，无限不循环小数也必定是无理数. 2．实数的概念及分类：

（1）定义：有理数和无理数统称为实数.

（2）分类：

①按定义分：

⎧⎧

⎨

⎪

⎨⎩

⎪

⎩

整数

有理数

实数分数---有限小数或无限循环小数无理数-------无限不循环小数

知识点睛

实数、二次根式的基本概念

②按性质分：0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩

正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数

（3）实数的性质：

①相反数：a 与b 互为相反数0a b ⇔+=.

②绝对值：,00,0,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩或,0,0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或,0,0a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ （4）实数和数轴上的点是一一对应的.

π是一个超越数，用尺规作图的方法是不能在数轴上表示的；可以用物理方法来表示：用一个直径为1的圆形从数轴的零点开始转动，正好转一圈的那个点就是π，因为直径为1的圆的周长为π。

（5）实数的运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的。

（6）实数中非负数的四种形式及其性质： 形式：①0a ≥；②20a ≥

0≥（0a ≥

0a ≥.

性质：①非负数有最小值0；②有限个非负数之和仍然是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.

（7）实数中无理数的常见类型：

①所有开不尽的方根都是无理数，且不可认为带根号的数都是无理数；

②圆周率π及含有π的数是无理数，例如：21π+等；

③…….

（一）根据实数的定义解题：

【例1】下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数哪些是正实数

－ 131…， π，

， 23，

， ，

…（相邻两个2之间0的个数逐次加1

），

.

【例2

】在实数010.1235中无理数的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

【拓展】22π 3.140.614140.10010001000017，，，，这7个实数中，无理数的个数 是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【例3】下面有四个命题：

①有理数与无理数之和是无理数．

②有理数与无理数之积是无理数．

③无理数与无理数之和是无理数．

④无理数与无理数之积是无理数．

请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由。

【例4】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.

(1)无理数都是开方开不尽的数.( )

(2)无理数都是无限小数.( )

(3)无限小数都是无理数.( )

(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( )

(5)不带根号的数都是有理数.( )

(6)带根号的数都是无理数.( )

(7)有理数都是有限小数.( )

(8)实数包括有限小数和无限小数.( )

（二）实数的绝对值：

【例5】求下列各数的相反数及绝对值：

(1)364- (2)π-3

【例6】已知一个数的绝对值是3，求这个数.

【拓展】｜x ｜=｜－π｜，求x 的值。

【例7】若01<

这四个数有下列关系（ ） A. b b b b 21

<<< B. b b b b 21<<<

C. 12

b b b b <<< D. b b b b <<<12

【例8】比较下列各组数的大小：

(1)7和

二．二次根式的概念

1. a≥0）的式子叫做二次根式

2. 二次根式应满足两个条件：

第一，有二次根号。

第二，被开方数是正数或0。

第三，二次根式a（a≥0）表示非负数a的算术平方根。

3.性质

(1)2)

(a=a（a≥0）．

(0)

(0)

a a

a

a a

≥

⎧

==⎨

-<

⎩

a

a=

2（a≥0）a

a-

=

2（a＜0）

（a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）

a≥0，b>0）a≥0，b>0）

【例1】下列各式中哪些是二次根式，请作出判断。

【例2】当x在实数范围内有意义【拓展1】x为何值时，下列各式在实数范围内有意义

(1)；

【拓展2】x取何值时，下列各式有意义

；； (3) )12-

【拓展3】x取何值时，下列格式有意义：

；；

3.最简二次根式

a≥）中的a称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简

二次根式：

(1)被开方数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；

(3)分母中不含二次根式。

二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．

【例1】判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是

a＞b）

【例2】下列二次根式中，最简二次根式的个数是（）．

．

个个个个

【例3

中，最简