南京市中考数学试题及答案解析
2021年江苏省南京市中考数学试卷及答案解析
2021年南京市中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.截至2021年6月8日，31个省(自治区、直辖市)和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过800000000剂次.用科学记数法表示800000000是()A. 8×108B. 0.8×109C. 8×109D. 0.8×10102.计算(a2)3⋅a−3的结果是()A. a2B. a3C. a5D. a93.下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是()A. 1，1，1B. 1，1，8C. 1，2，2D. 2，2，24.北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时间是8：00.小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：00～17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间()A. 10：00B. 12：00C. 15：00D. 18：005.一般地，如果x n=a(n为正整数，且n>1)，那么x叫做a的n次方根.下列结论中正确的是()A. 16的4次方根是2B. 32的5次方根是±2C. 当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小D. 当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大6.如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯(看作一个点)与这条对角线所确定的平面垂直于纸板.在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是()A. B. C. D.二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7.−(−2)=______ ；−|−2|=______ ．8.若式子√5x在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ ．9.计算√8−√9的结果是______ ．210.设x1，x2是关于x的方程x2−3x+k=0的两个根，且x1=2x2，则k=______ ．11.如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边AO，AB的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是______ ．12.如图，AB是⊙O的弦，C是AB⏜的中点，OC交AB于点D.若AB=8cm，CD=2cm，则⊙O的半径为______ cm．13.如图，正比例函数y=kx与函数y=6的图象交于A，B两点，BC//x轴，AC//y轴，x则S△ABC=______ ．14.如图，FA，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ=______ °.15.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=BD.设∠ABC=α，则∠ADC=______ (用含α的代数式表示)．16.如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱A′B′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E.若AB=3，BC=4，BB′=1，则CE的长为______ ．三、解答题（本大题共11小题，共88.0分）17.解不等式1+2(x−1)≤3，并在数轴上表示解集．18.解方程2x+1+1=xx−1．19.计算(ab2+ab −2a+b+ba2+ab)÷a−bab．20.如图，AC与BD交于点O，OA=OD，∠ABO=∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF//CD，交BD的延长线于点F．(1)求证△AOB≌△DOC；(2)若AB=2，BC=3，CE=1，求EF的长．21.某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查.通过简单随机抽样，获得了100个家庭去年的月均用水量数据，将这组数据按从小到大的顺序排列，其中部分数据如表：(1)求这组数据的中位数.已知这组数据的平均数为9.2t，你对它与中位数的差异有什么看法？(2)为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费.若要使75%的家庭水费支出不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？22.不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．(1)从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球.求两次摸出的球都是红球的概率．(2)从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球.两次摸出的球都是白球的概率是______ ．23.如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D.测得CD=80m，∠ACD=90°，∠BCD=45°，∠ADC=19°17′，∠BDC=56°19′.设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．(参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50.)24.甲、乙两人沿同一直道从A地去B地.甲比乙早1min出发，乙的速度是甲的2倍.在整个行程中，甲离A地的距离y1(单位：m)与时间x(单位：min)之间的函数关系如图所示．(1)在图中画出乙离A地的距离y2(单位：m)与时间x之间的函数图象；(2)若甲比乙晚5min到达B地，求甲整个行程所用的时间．25.如图，已知P是⊙O外一点.用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线．要求：(1)用直尺和圆规作图；(2)保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．26.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(−2,1)，(2,−3)两点．(1)求b的值；(2)当c>−1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是______ ．(3)设(m,0)是该函数的图象与x轴的一个公共点.当−1<m<3时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．27.在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？(1)如图①，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，AC⏜的长为4πcm.在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长(结果保留根号)．(2)图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成.O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为______ (用含l，h的代数式表示)．②设AD⏜的长为a，点B在母线OC上，OB=b.圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．答案解析1.【答案】A【解析】解：将800000000用科学记数法表示为：8×108．故选：A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.【答案】B【解析】解：(a2)3⋅a−3=a6⋅a−3=a6−3=a3．故选：B．分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及负整数指数幂的定义计算即可．本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．3.【答案】D【解析】解：A、∵1+1+1=3<5，∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；B、∵1+1+5=7<8，∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；C、∵1+2+2=5，∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；D、∵2+2+2=6>5，∴此三条线段与长度为5的线段能组成四边形，故符合题意；故选：D．根据三角形的三边关系逐项判定即可．本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：由题意得，北京时间比莫斯科时间晚5小时，当莫斯科时间为9：00，则北京时间为14：00；当北京时间为17：00，则莫斯科时间为14：00；所以这个时刻可以是14：00到17：00之间，所以这个时刻可以是北京时间15：00．故选：C ．根据北京时间比莫斯科时间晚5小时解答即可．本题考查了正数和负数，解此题的关键是根据题意写出算式，即把实际问题转化成数学问题．5.【答案】C【解析】解：A 、∵(±2)4=16，∴16的4次方根是±2，故A 不正确；B 、32的5次方根是2，故B 不正确；C 、设x =√23，y =√25，则x 15=25=32，y 15=23=8，∵x 15>y 15且x >1，y >1，∴x >y ，∴当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小，故C 选项正确；D 、当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小，故D 不选项正确；故选：C ．根据n 次方根的定义判定即可．本题考查了分数指数幂，熟练掌握分数指数幂的定义是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：根据正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯(看作一个点)与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，则光线与纸板垂直，∴在地面上的投影关于对角线对称，∵灯在纸板上方，∴上方投影比下方投影要长，故选：D ．根据正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯(看作一个点)与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，则光线与纸板垂直，则在地面上的投影关于对角线对称，因为灯在纸板上方，所以上方投影比下方投影要长．本题主要考查中心投影的知识，弄清题目中光源和纸板的相对位置是解题的关键．7.【答案】2 −2【解析】解：−(−2)=2；−|−2|=−2，故答案为：2；−2．根据求一个数的相反数和绝对值的意义化简求解．本题考查求一个数的相反数和绝对值，理解相关概念准确化简是解题关键．8.【答案】x≥0【解析】解：依题意有5x≥0，解得：x≥0．故答案为：x≥0．直接利用二次根式的定义分析得出答案．本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子√a(a≥0)叫二次根式．9.【答案】√22【解析】解：√8−√92=2√2√9√2=2√23√2=2√2−3√2 2=√22．故答案为：√22．直接利用二次根式的性质分别化简，再合并得出答案．此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．10.【答案】2【解析】解：根据题意，知x1+x2=3x2=3，则x2=1，将其代入关于x的方程x2−3x+k=0，得12−3×1+k=0．解得k=2．故答案是：2．根据根与系数的关系求得x2=1，将其代入已知方程，列出关于k的方程，解方程即可．此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．11.【答案】6【解析】解：∵边AO，AB的中点为点C、D，∴CD是△OAB的中位线，CD//OB，∵点C，D的横坐标分别是1，4，∴CD=3，∴OB=2CD=6，∴点B的横坐标为6．故答案为：6．由C、D的横坐标求出线段CD的长度，结合中位线的定义和性质，得出OB的长度，从而得到B点的横坐标．本题主要考查了中位线定义和性质应用，解题的关键是由点C、D的横坐标求出线段CD的长度．12.【答案】5【解析】解：如图，连接OA，∵C是AB⏜的中点，∴D是弦AB的中点，∴OC⊥AB，AD═BD═4，∵OA═OC，CD═2，∴OD═OC−CD═OA−CD，在Rt△OAD中，OA2═AD2+OD2，即OA2═16+(OA−2)2，解得OA═5，故答案为：5．先根据圆心角、弧、弦的关系和垂径定理得出各线段之间的关系，再利用勾股定理求解出半径即可．本题考查圆心角、弧、弦的关系及垂径定理的运用，做此类型题目通常需要结合圆心角、弦和三角形的相关知识来进行解答．13.【答案】12【解析】解：连接OC，设AC交x轴于点N，BC交y轴于M点，∵正比例函数y=kx与函数y=6x的图象交于A，B两点，∴点A与点B关于原点对称，∴S△AON=S△OBM，∵BC//x轴，AC//y轴，∴S△AON=S△CON，S△OBM=S△OCM，即S△ABC=4S△AON=4×12x A⋅y A=4×12×6=12，故答案为：12．根据反比例函数的性质可判断点A与点B关于原点对称，则S△AON=S△OBM，由BC//x轴，AC//y轴可得S△AON=S△CON，S△OBM=S△OCM，再根据S△AON=12x A⋅y A=3，即可得出三角形ABC的面积．本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求三角形面积等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．14.【答案】180【解析】解：如图，设圆心为O，连接OA，OB，OC，OD和OE，∵FA，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，∴∠OAF=∠OBG=∠OCH=∠ODI=∠OEJ=90°，即(∠BAF+∠OAB)+(∠CBG+∠OBC)+(∠DCH+∠OCD)+(∠EDI+∠ODE)+(∠AEJ+∠OEA)=90°×5=450°，∵OA=OB=OC=OD=OE，∴∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB，∠OCD=∠ODC，∠ODE=∠OED，OEA=∠OAE，∴∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA=12×五边形ABCDE内角和=12×(5−2)×180°=270°，∴∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ=(∠BAF+∠OAB)+(∠CBG+∠OBC)+ (∠DCH+∠OCD)+(∠EDI+∠ODE)+(∠AEJ+∠OEA)−(∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA)=450°−270°=180°，故答案为：180．设圆心为O，连接OA，OB，OC，OD和OE，根据切线的性质和等腰三角形的性质得出∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ=(∠BAF+∠OAB)+(∠CBG+∠OBC)+ (∠DCH+∠OCD)+(∠EDI+∠ODE)+(∠AEJ+∠OEA)−(∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA)即可求出．本题主要考查切线的性质，多边形内角和等知识，熟练掌握切线的性质和多边形内角和公式是解题的关键．15.【答案】180°−α2【解析】解：∵AB=BD=BC，∴∠BAD=∠BDA，∠BDC=∠BCD，∵四边形内角和为360°，∴∠ABD+∠BAD+∠BDA+∠DBC+∠BDC+∠BCD=360°，∴∠ABC+∠ADB+∠ADB+∠BDC+∠BDC=360°，即∠ABC+2∠ADB+2∠BDC=360°，∵∠ABC=α，∠ADB+∠BDC=∠ADC，∴2∠ADC=360°−α，∴∠ADC=180°−α2．故答案为：180°−α2．根据已知条件AB=BD=BC，可得∠BAD=∠BDA，∠BDC=∠BCD，根据三角形内角和定理可得∠ABD+∠BAD+∠BDA=180°，∠DBC+∠BDC+∠BCD=180°，根据四边形内角和为360°，可得∠ABD+∠BAD+∠BDA+∠DBC+∠BDC+∠BCD=360°，根据已知条件可得2∠ADC=360°−α，即可得出答案．本题主要考查了等腰三角形的性质及多边形内角和定理，熟练应用相关性质及定理进行求解是解决本题的关键．16.【答案】98【解析】解：如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，过点B 作BN ⊥AB′于点N ，过点E 作EG ⊥BC ，交BC 的延长线于点G ．由旋转可知，AB =AB′=3，∠ABB′=∠AB′C′， ∴∠ABB′=∠AB′B =∠AB′C′， ∵BB′=1，AM ⊥BB′， ∴BM =B′M =12， ∴AM =√AB 2−BM 2=√352， ∵S △ABB′=12⋅AM ⋅BB′=12⋅BN ⋅AB′， ∴12×√352×1=12⋅BN ×3，则BN =√356， ∴AN =√AB 2−BN 2=(√356)=176，∵AB//DC ， ∴∠ECG =∠ABC ， ∵∠AMB =∠EGC =90°， ∴△AMB∽△EGC ， ∴AMBM =EGCG =√35212=√35，设CG =a ，则EG =√35a ，∵∠ABB′+∠AB′B +∠BAB′=180°， ∠AB′B +∠AB′C′+∠C′B′C =180°， 又∵∠ABB′=∠AB′B =∠AB′C′， ∴∠BAB′=∠C′B′C ，∵∠ANB =∠EGC =90°， ∴△ANB∽△B′GE ， ∴AN BN=B′G EG=176√356=17√35，∵BC =4，BB′=1， ∴B′C =3，B′G =3+a ， ∴3+a √35a=17√35，解得a =316． ∴CG =316，EG =316√35，∴EC =√CG 2+EG 2=√(316)2+(316√35)2=98． 故答案为：98．过点A 作AM ⊥BC 于点M ，过点B 作BN ⊥AB′于点N ，过点E 作EG ⊥BC ，交BC 的延长线于点G.BM =B′M =12，由勾股定理可得，AM =√AB 2−BM 2=√352，由等面积法可得，BN =√356，由勾股定理可得，AN =√AB 2−BN 2=√32−(√356)2=176，由题可得，△AMB∽△EGC ，△ANB∽△B′GE ，则AMBM =EGCG =√35，ANBN =B′G EG=17√35，设CG =a ，则EG =√35a ，B′G =3+a ，则3+a√35a =17√35，解得a =316.最后由勾股定理可得，EC =√CG 2+EG 2=√(316)2+(316√35)2=98．本题主要考考查平行四边形的性质，等腰三角形三线合一，相似三角形的性质与判定，解直角三角形的应用等，构造正确的辅助线是解题关键．17.【答案】解：1+2(x −1)≤3，去括号，得1+2x −2≤3． 移项、合并同类项，得2x ≤4． 化系数为1，得x ≤2． 表示在数轴上为：．【解析】去括号后移项、合并同类项可得不等式解集，根据小于向左，包括该数用实心点在数轴上表示解集即可．本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点．18.【答案】解：方程两边同乘(x+1)(x−1)，得2(x−1)+x2−1=x(x+1)，解得x=3．经检验x=3是原方程的根，∴原方程的解x=3．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是忽视检验．19.【答案】解：(ab2+ab −2a+b+ba2+ab)÷a−bab=[ab(a+b)−2a+b+ba(a+b)]⋅aba−b =a2−2ab+b2ab(a+b)⋅aba−b=(a−b)2ab(a+b)⋅aba−b=a−ba+b．【解析】根据分式的加减法和除法可以解答本题．本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．20.【答案】(1)证明：在△AOB和△DOC中，{∠ABO=∠DCO AOB=∠DOC OA=OD，∴△AOB≌△DOC(AAS)；(2)解：由(1)得：△AOB≌△DOC，∴AB=DC=2，∵BC=3，CE=1，∴BE=BC+CE=4，∵EF//CD，∴△BCD∽△BEF，∴DCEF =BCBE，即2EF =34，解得：EF=83．【解析】(1)由AAS证明△AOB≌△DOC即可；(2)由全等三角形的性质得AB=DC=2，再证△BCD∽△BEF，得DCEF =BCBE，即可求解．本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．21.【答案】解：(1)共有100个数，按大小顺序排列后第50，51个数据分别是6.4，6.8，所以中位数为：(6.4+6.8)÷2=6.6；已知这组数据的平均数为9.2t，∴从平均数与中位数的差异可得大部分居民家庭去年的月均用水量小于平均数，有节约用水观念，少数家庭用水比较浪费，答：这组数据的中位数是6.6；(3)∵100×75%=75，第75个家庭去年的月均用水量为11t，所以为了鼓励节约用水，要使75%的家庭水费支出不受影响，即要使75户的家庭水费支出不受影响，故家庭月均用水量应该定为11t．答：这个标准应该定为11t．【解析】(1)利用所给数据，即可得这组数据的中位数，从平均数与中位数的差异可得大部分居民家庭去年的月均用水量小于平均数，有节约用水观念，少数家庭用水比较浪费；(2)由于100×75%=75，所以为了鼓励节约用水，要使75%的家庭水费支出不受影响，即要使75户的家庭水费支出不受影响，故家庭月均用水量应该定为11t．本题考查中位数，读频频数分布表的能力及利用统计表获取信息的能力；利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计表，才能作出正确的判断和解决问题．22.【答案】19【解析】解：(1)画树状图如图：共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种， ∴两次摸出的球都是红球的概率为49；(2)第一次摸出白球的概率为13，第二次摸出白球的概率也是13， ∴两次摸出的球都是白球的概率为13×13=19， 故答案为：19．(1)画树状图，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种，再由概率公式求解即可；(2)两次摸出的球都是白球的概率都是13，求解即可．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．23.【答案】解：过B 作BE ⊥CD 于E ，过A 作AF ⊥BE 于F ，如图：∵∠BCD =45°，∴△BCE 是等腰直角三角形， 设CE =x ，则BE =x ， ∵CD =80m ， ∴DE =(80−x)m ，Rt △BDE 中，∠BDC =56°19′， ∴tan56°19′=BEDE ，即x80−x =1.5， 解得x =48(m)，∴BE=CE=48m，Rt△ACD中，∠ADC=19°17′，CD=80m，∴tan19°17′=ACCD ，即AC80=0.35，解得AC=28m，∵∠ACD=90°，BE⊥CD于E，AF⊥BE，∴四边形ACEF是矩形，∴AF=CE=48m，EF=AC=28m，∴BF=BE−EF=20m，Rt△ABF中，AB=√AF2+BF2=√482+202=52(m)，答：A，B两点之间的距离是52m．【解析】过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于F，由已知△BCE是等腰直角三角形，设CE=x，则BE=x，DE=(80−x)m，在Rt△BDE中，可得x80−x=1.5，解得BE=CE= 48m，在Rt△ACD中，解得AC=28m，根据四边形ACEF是矩形，可得AF=CE=48m，EF=AC=28m，BF=20m，即可在Rt△ABF中，求出AB=√482+202=52(m)本题考查解直角三角形的应用，涉及勾股定理、矩形判定及性质等知识，解题的关键是适当添加辅助线，构造直角三角形．24.【答案】解：(1)如图：(2)设甲的速度是v m/min，乙整个行程所用的时间为t min，由题意得：2v⋅t=(t+1+5)v，解得：t=6，6+1+5=12(min)，答：甲整个行程所用的时间为12min．【解析】(1)由乙的速度是甲的2倍可得乙1min的路程=甲2min的路程，即可画出乙离A地的距离y2(单位：m)与时间x之间的函数图象；(2)设甲的速度是v m/min，乙整个行程所用的时间为t min，由行程相等列出方程即可求解．本题考查了一次函数的应用，能根据题意结合图象理解实际问题是解题的关键．25.【答案】解：方法一：如图1中，连接OP，以OP为直径作圆交⊙O于D，作直线PD，直线PD即为所求．方法二：如图，作射线PE，作OE⊥PE于E，作△POE的外接圆交⊙O于D，作直线PD，直线PD即为所求．【解析】方法一：直接以OP为直径作圆，利用直径所对的圆周角是直角，可得∠ADC= 90°，可证直线PD是切线．方法二：构造直角△POE，作△POE的外接圆，利用圆周角定理解决问题即可．本题考查专题−复杂作图，切线的判定，线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会利用圆周角定理构造直角，属于中考常考题型．26.【答案】1【解析】解：(1)把(−2,1)，(2,−3)代入y=ax2+bx+c中，得：{1=4a−2b+c①−3=4a+2b+c②，两式相减得−4=4b，∴b=−1；(2)把b=−1代入①得：1=4a+2+c，∴a=−1−c4，∴顶点的纵坐标4ac−b24a =c+1c+1=c+1+1c+1−1，∵c>−1，∴c+1>0，下面证明对于任意的正数，a，b，都有a+b≥2√ab，∵(√a−√b)2=a+b−2√ab≥0，∴a+b≥2√ab，当a=b时取等号，∴c+1+1c+1−1≥2√(c+1)⋅1c+1−1=1，∴该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是1．(3)由题意得：am2−m+c=0，且c=−1−4a，∴am2−m−1−4a=0，△=1−4a(−1−4a)=1+4a+16a2，若−1<m<2，此时有a<0，且1+√△2a<2，解得a<0，∴a<0，若2<m<3，此时有a>0，且1+√△2a<3，解得a>45，综上a<0或a>45．(1)把已知点代入解析式，两式联立即可求出b的值；(2)把a用c表示，然后写出顶点的纵坐标，根据c的取值即可求出最小值；(3)根据题意m是ax2+bx+c的一个根，将m用a表示出来，根据m的取值即可求出a的取值．本题主要考查二次函数的图象与性质，关键在于理解二次项系数a对函数图象的影响，包括开口方向和开口大小，都要熟记于心，不然第三问很难做出来．27.【答案】l+ℎ【解析】解：(1)如图②中连接AO，AC，AB.设∠AOC=n．∵AC⏜的长=4π，∴nπ⋅12=4π，180∴n=60°，∴∠COA=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∵OB=BC=6，∴AB⊥OC，∴AB=√OA2−OB2=√122−62=6√3．最短的路径是线段AB，最短路径的长为6√3．(2)①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为母线的长加圆柱的高，即为ℎ+l．故答案为：ℎ+l．④蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如图④，最短路径为AB，思路：Ⅰ、过点O作OF⊥AD于F，交AB与G，此⏜的弧长，时，点G在扇形的弧上，先求出C′G再求出∠BOG的度数，，Ⅱ、再过点B作BE⊥OF于E，用三角函数求出OE，BE，得出FH，即可求出AH，Ⅲ、求出EF，进而求出BH，Ⅳ、在Rt△ABH中，利用勾股定理求出AB．(1)先判断出△OAC为等边三角形，进而得出AB上等边三角形的高，即可得出结论；(2)①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为母线的长加圆柱的高，即可得出结论；②根据题意画出示意图，先求出BH，用勾股定理即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，勾股定理，圆柱和圆锥的侧面展开图，等边三角形的判定和性质，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．。
2021年江苏省南京市中考数学试卷(解析版)
江苏省南京市中考数学试卷-解析版一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分,在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1、（2011•南京）√9的值等于（）A、3B、﹣3C、±3D、√3考点：算术平方根。
分析：此题考查的是9的算术平方根，需注意的是算术平方根必为非负数．解答：解：∵√9=3，故选A．点评：此题主要考查了算术平方根的定义，一个正数只有一个算术平方根，0的算术平方根是0．2、（2011•南京）下列运算正确的是（）A、a2+a3=a5B、a2•a3=a6C、a3+a2=aD、（a2）3=a6考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法。
专题：计算题。
分析：根据合并同类项法则、积的乘方和幂的乘方的法则运算．解答：解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、a2•a3=a2+3=a5≠a6，故本选项错误；C、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；D、（a2）3=a2×3=a6，故本选项正确．故选D．点评：此题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项等知识，属于基本题型．3、（2011•南京）在第六次全国人口普查中，南京市常住人口约为800万人，其中65岁及以上人口占9.2%，则该市65岁及以上人口用科学记数法表示约为2%，则该市65岁及以上人口用科学记数法表示约为（）A、0.736×106人B、7.36×104人C、7.36×105人D、7.36×106人考点：科学记数法—表示较大的数。
专题：计算题。
分析：先计算出该市65岁及以上人口数，然后用科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：该市65岁及以上人口：8000000×9.2%=736000（人）将736 000人用科学记数法表示7.36×105人．故选C．点评：题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4、（2011•南京）为了了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查．下列抽取学生的方法最合适的是（）A、随机抽取该校一个班级的学生B、随机抽取该校一个年级的学生C、随机抽取该校一部分男生D、分别从该校初一、初二、初三年级中各随机抽取10%的学生考点：全面调查与抽样调查。
2020年江苏省南京市中考数学试卷原卷附解析
2020年江苏省南京市中考数学试卷原卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．今年我市约有36000名学生参加初中毕业会考，为了了解这36000名学生的数学成绩，准备从中随机抽取1200 名学生的数学成绩进行统计分析，那么你的数学成绩被抽中的概率为（ ）A ．136000B ．11200C ．150D ．1302．若 3x=4y ，则x ：y 等于（ ）A ．3 : 4B ．4 : 3C ．11:34 D ．11:43 3．把长为8cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，展开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm 2，则打开后梯形的周长是（ ） A ．(10213)+ cm B ．(1013)+cm C ．22cmD ．18cm4．下列各组多项式中，没有公因式的一组是（ ）A ．ax bx -与by ay -B ．268xy y +与43y x --C ．ab ac -与ab bc -D ．3()a b y -与2()b a x - 5．一个晴箱里装有 10 个黑球，8 个白球， 12个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（ ）A ． 13B ．18C ．415D ．411 6．如图，直线AB 、CD 相交于点O ．OE 平分∠AOD ，若∠BOC ＝80°，则∠AOE 的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ． 100°7． m 箱橘子a （kg ），则 3箱橘子的重量是（ ）A ．3a m （kg ）B ．3m a （kg ）C ．3am （kg ）D ．3a m（kg ） 3cm 3cm二、填空题8．在 Rt △ABC 中，锐角α的邻边是3，对边是则4，则tan α= ． 9．己在同一直角坐标系中，函数11(0)y k x k =≠的图象与22(0)k y k x=≠的图象没有公共点，则12k k ．(填“>”、“=”或“<”)10．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，EF 过点O ，若OA=OC ，OB=OD ，则图中全等的三角形有_ _ _对．11．如图，AB ∥CD ，若∠ABE=120°，∠DCE=35°，则∠BEC= ．12．认真观察图中的 4个图中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征.特征 1： ；特征2： .13．请你从式子24a ，2()x y -，1，2b 中，任意选两个式子作差，并将得到的式子进行因式分解： . 14．三个同学对问题“若方程组111222a x b yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 解答题15．已知x+y=6，xy=4，则x 2y+xy 2的值为 ．16．甲、乙两人环绕长为 400 m 的环形跑道散步一如果两人从同一点背道而行，那么经过2 min 相遇；如果两人从同一点同向而行，那么经过 20 min 相遇，已知甲的速度比乙快，则甲、乙两人散步速度分别为 m/min ， m/min.17．如图所示的五家银行行标中，是轴对称图形的有 (填序号)．OEFB C A E D 18．上学期期末考试，60名学生中，数学成绩为优秀的有20人，良好的有30人，及格的有10人．如果将其制成扇形统计图，则三个圆心角的度数分别为 、 、 .19．如图是根据某市l999年至2003年工业生产总值绘制的折线统计图．观察统计图可得：增长幅度最大的年份是 年，比它的前一年增加 亿元．工业生产总值，亿元20．如果 -22 元表示亏损 22 元，那么 45 元表示 ．三、解答题21．如图，以直角三角形各边为直径的三个半圆围成的两个新月形( 阴影部分)的面积和，与直角三角形的面积有什么关系？为什么？22．已知: 如图, 在梯形ABCD 中, AD ∥BC, AB=CD, E 是底边BC 的中点, 连接AE 、DE. 求证: △ADE 是等腰三角形.23．如图，在□ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上的两点，且BE=DF.求证：（1）AE=CF ；（2）AE ∥CF ．FC D AEB24．把不等式组21x x ≥-⎧⎨<⎩的解集表示在下面的数轴上：25．某养鱼户搞池塘养鱼．放养鳝鱼苗20000尾，其成活率为70％．随意捞出l0尾鱼，称得每尾的重量(单位：千克)如下：0．8．0．9．1．2，1．3，0．8，1．1，1．0，1．2，0．8，0．9．根据样本平均数估计这塘鱼的总产量是多少千克？若将鱼全部卖出，每千克可获利润1．5元，预计该养鱼户将获利多少元?26．如图，已知AB ∥CD ，∠1 = 53°，∠2 = 67°，试求∠3 的度数．27．用分数或整数表示下列各负整数指数幂的值：(1)32-；(2)31-；(3)3(3)--；(4)20.0l -28．如图所示，已知线段a ，c ，求作Rt △ABC ，使BC=a ，AB=c ．29．据丽水市统计局关于经济和社会发展统计公报，丽水市2000～2003年全社会用电量的折线统计图如图所示：2000—2003年萧水市全社会用电量统计图(1)填写统计表：2000--2003年丽水市全社会用电量统计表年份2000200120022003全社会用电量(单位：亿千瓦13.33时)2003年比2001年的用电量增长百分率(保留2个有效数字)．30．制作适当的统计图表示下列数据：(1)1 年份195219621970198019902005国内生产总值(亿6791149.32252.74517.818547.9189404元)动物鸡鹅鸭鸽子天数(天)21303016【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．D2．B3．A4．C5．C6．A7．D二、填空题8．49．3< 010．611．12．都是轴对称图形；这些图形的面积都等于4个单位面积13．不唯一.如241(21)(21)a a a -=+- 14．510x y =⎧⎨=⎩15． 2416．110，9017．①②③18．120°, 180°,60°19．2003，4020．盈利 45 元三、解答题21．阴影部分面积之和=直角三角形面积，设直角三角形的斜边为c ，其余两条直角边分别为 a 、b ，则阴影部分面积之和2221111()2222a b c ab πππ=+-- 22211()22a b c ab π=+-+,∵222c a b =+,∴阴影部分面积之和=12ab ,12Rt S ab ∆=, ∴阴影部分面积之和=Rt S ∆．22．证: ∵ABCD 是等腰梯形 ,∴∠B=∠C, AB=CD∵E 是BC 中点 ,∴BE=CE ,∴△ABE ≌△DCE,∴AE=DE∴△AED 是等腰三角形23．利用△ABE ≌△CDF 即可略25．∵0.910x++=0.8+0.9=1.0(千克)，∴1.0×20000×70％=14000(千克)．∴l4000×1．5=21000(元)．∴估计这塘鱼的总产量是l4 000千克，预计该养鱼户将获利21 000元26．60°27．（1）18；(2) 1；(3)127-；(4) 1000028．提示：两种情况29．(1)14．73，17．05，21．92 (2)49％30．(1)可选用折线统计图(图略) (2)可选用条形统计图(图略)。
2020年江苏省南京市中考数学试卷及答案解析
2020年江苏省南京市中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）计算3﹣（﹣2）的结果是（）A．﹣5B．﹣1C．1D．52．（2分）3的平方根是（）A．9B．√3C．−√3D．±√33．（2分）计算（a3）2÷a2的结果是（）A．a3B．a4C．a7D．a84．（2分）党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置．根据国家统计局发布的数据，2012～2019年年末全国农村贫困人口的情况如图所示．根据图中提供的信息，下列说法错误的是（）A．2019年末，农村贫困人口比上年末减少551万人B．2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9000万人C．2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上D．为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村贫困人口的任务5．（2分）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）A．两个正根B．两个负根C．一个正根，一个负根D．无实数根6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴、y 轴都相切，且经过矩形AOBC 的顶点C ，与BC 相交于点D ．若⊙P 的半径为5，点A 的坐标是（0，8）．则点D 的坐标是（ ）A ．（9，2）B ．（9，3）C ．（10，2）D ．（10，3）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．（2分）写出一个负数，使这个数的绝对值小于3： ． 8．（2分）若式子1−1x−1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 9．（2分）纳秒（ns ）是非常小的时间单位，1ns ＝10﹣9s ．北斗全球导航系统的授时精度优于20ns ．用科学记数法表示20ns 是 s ． 10．（2分）计算√3√3+√12的结果是 ．11．（2分）已知x 、y 满足方程组{x +3y =−1，2x +y =3，，则x +y 的值为 ．12．（2分）方程x x−1=x−1x+2的解是 ．13．（2分）将一次函数y ＝﹣2x +4的图象绕原点O 逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是 ．14．（2分）如图，在边长为2cm 的正六边形ABCDEF 中，点P 在BC 上，则△PEF 的面积为 cm 2．15．（2分）如图，线段AB、BC的垂直平分线11、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC ＝．16．（2分）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算（a﹣1+1a+1）÷a2+2aa+1．18．（7分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．19．（8分）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．20．（8分）已知反比例函数y=kx的图象经过点（﹣2，﹣1）．（1）求k的值．（2）完成下面的解答．解不等式组{2−x＞1，①kx＞1．②解：解不等式①，得．根据函数y=kx的图象，得不等式②的解集．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集．21．（8分）为了了解某地居民用电量的情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量（单位：kW•h）进行调查，整理样本数据得到下面的频数分布表．组别用电量分组频数18≤x＜9350293≤x＜1781003178≤x＜263344263≤x＜348115348≤x＜43316433≤x＜51817518≤x＜60328603≤x＜6881根据抽样调查的结果，回答下列问题：（1）该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第组内；（2）估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW•h的大约有多少户．22．（8分）甲、乙两人分别从A、B、C这3个景点中随机选择2个景点游览．（1）求甲选择的2个景点是A、B的概率；（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是．23．（8分）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A 处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）24．（8分）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，D 是AB 上一点，⊙O 经过点A 、C 、D ，交BC 于点E ，过点D 作DF ∥BC ，交⊙O 于点F ． 求证：（1）四边形DBCF 是平行四边形； （2）AF ＝EF ．25．（8分）小明和小丽先后从A 地出发沿同一直道去B 地．设小丽出发第xmin 时，小丽、小明离B 地的距离分别为y 1m 、y 2m ．y 1与x 之间的函数表达式是y 1＝﹣180x +2250，y 2与x 之间的函数表达式是y 2＝﹣10x 2﹣100x +2000． （1）小丽出发时，小明离A 地的距离为 m ．（2）小丽出发至小明到达B 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？ 26．（9分）如图，在△ABC 和△A 'B 'C '中，D 、D '分别是AB 、A 'B '上一点，AD AB=A′D′A′B′．（1）当CD C′D′=AC A′C′=AB A′B′时，求证△ABC ∽△A 'B 'C ．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当CDC′D′=ACA′C′=BCB′C′时，判断△ABC与△A'B'C′是否相似，并说明理由．27．（9分）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜AC′+C'B．请完成这个证明．（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．2020年江苏省南京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）计算3﹣（﹣2）的结果是（）A．﹣5B．﹣1C．1D．5【解答】解：3﹣（﹣2）＝3+2＝5．故选：D．2．（2分）3的平方根是（）A．9B．√3C．−√3D．±√3【解答】解：∵（±√3）2＝3，∴3的平方根±√3．故选：D．3．（2分）计算（a3）2÷a2的结果是（）A．a3B．a4C．a7D．a8【解答】解：（a3）2÷a2＝a3×2÷a2＝a6﹣2＝a4，故选：B．4．（2分）党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置．根据国家统计局发布的数据，2012～2019年年末全国农村贫困人口的情况如图所示．根据图中提供的信息，下列说法错误的是（）A．2019年末，农村贫困人口比上年末减少551万人B．2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9000万人C．2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上D．为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村贫困人口的任务【解答】解：A．2019年末，农村贫困人口比上年末减少1660﹣551＝1109（万人），此选项错误；B．2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9899﹣551＝9348（万人），此选项正确；C．2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上，此选项正确；D．为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村贫困人口的任务，此选项正确；故选：A．5．（2分）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）A．两个正根B．两个负根C．一个正根，一个负根D．无实数根【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数），∴x2+x﹣2﹣p2＝0，∴△＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∵两个的积为﹣2﹣p2，∴一个正根，一个负根，故选：C．6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（）A．（9，2）B．（9，3）C．（10，2）D．（10，3）【解答】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP 与CD交于点G，则PE⊥y轴，PF⊥x轴，∵∠EOF＝90°，∴四边形PEOF是矩形，∵PE＝PF，PE∥OF，∴四边形PEOF为正方形，∴OE＝PF＝PE＝OF＝5，∵A（0，8），∴OA＝8，∴AE＝8﹣5＝3，∵四边形OACB为矩形，∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB，∴EG∥AC，∴四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形，∴CG＝AE＝3，EG＝OB，∵PE⊥AO，AO∥CB，∴PG⊥CD，∴CD＝2CG＝6，∴DB＝BC﹣CD＝8﹣6＝2，∵PD＝5，DG＝CG＝3，∴PG＝4，∴OB＝EG＝5+4＝9，∴D （9，2）．故选：A ．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．（2分）写出一个负数，使这个数的绝对值小于3： ﹣1（答案不唯一） ． 【解答】解：∵一个负数的绝对值小于3， ∴这个负数大于﹣3且小于0，∴这个负数可能是﹣2、﹣1.5、﹣1、…． 故答案为：﹣1（答案不唯一）． 8．（2分）若式子1−1x−1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 x ≠1 ． 【解答】解：若式子1−1x−1在实数范围内有意义， 则x ﹣1≠0， 解得：x ≠1． 故答案为：x ≠1．9．（2分）纳秒（ns ）是非常小的时间单位，1ns ＝10﹣9s ．北斗全球导航系统的授时精度优于20ns ．用科学记数法表示20ns 是 2×10﹣8 s ．【解答】解：20ns ＝20×10﹣9s ＝2×10﹣8s ，故答案为：2×10﹣8．10．（2分）计算√3√3+√12的结果是 13 ．【解答】解：原式=√3√3+2√3=√33√3=13．故答案为：13．11．（2分）已知x 、y 满足方程组{x +3y =−1，2x +y =3，，则x +y 的值为 1 ． 【解答】解：{x +3y =−1①2x +y =3②， ①×2﹣②得：5y ＝﹣5，解得：y ＝﹣1，①﹣②×3得：﹣5x ＝﹣10，解得：x ＝2，则x +y ＝2﹣1＝1，故答案为1．12．（2分）方程x x−1=x−1x+2的解是 x =14 ． 【解答】解：方程x x−1=x−1x+2，去分母得：x 2+2x ＝x 2﹣2x +1，解得：x =14，经检验x =14是分式方程的解．故答案为：x =14．13．（2分）将一次函数y ＝﹣2x +4的图象绕原点O 逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是 y =12x +2 ．【解答】解：在一次函数y ＝﹣2x +4中，令x ＝0，则y ＝4，∴直线y ＝﹣2x +4经过点（0，4），将一次函数y ＝﹣2x +4的图象绕原点O 逆时针旋转90°，则点（0，4）的对应点为（﹣4，0），旋转后得到的图象与原图象垂直，则对应的函数解析式为：y =12x +b ，将点（﹣4，0）代入得，12×(−4)+b ＝0， 解得b ＝2，∴旋转后对应的函数解析式为：y =12x +2，故答案为y =12x +2．14．（2分）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为2√3cm2．【解答】解：连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T∵ABCDEF是正六边形，∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，∴S△PEF＝S△BEF，∵AT⊥BE，AB＝AF，∴BT＝FT，∠BAT＝∠F AT＝60°，∴BT＝FT＝AB•sin60°=√3，∴BF＝2BT＝2√3，∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，∴∠BFE＝90°，∴S△PEF＝S△BEF=12•EF•BF=12×2×2√3=2√3，故答案为2√3．15．（2分）如图，线段AB、BC的垂直平分线11、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC ＝78°．【解答】解：过O作射线BP，∵线段AB、BC的垂直平分线11、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝39°，∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°，故答案为：78°．16．（2分）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是①②④．【解答】解：①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①正确；②∵在函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1中，令x ＝0，则y ＝﹣m 2+m 2+1＝1，∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；③∵y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝m ，当x ＞m 时，y 随x 的增大而减小，故结论③错误；④∵抛物线开口向下，当x ＝m 时，函数y 有最大值m 2+1，∴该函数的图象的顶点在函数y ＝x 2+1的图象上．故结论④正确，故答案为①②④．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算（a ﹣1+1a+1）÷a 2+2a a+1． 【解答】解：原式＝（a 2−1a+1+1a+1）÷a(a+2)a+1 =a 2a+1•a+1a(a+2) =a a+2．18．（7分）解方程：x 2﹣2x ﹣3＝0．【解答】解：原方程可以变形为（x ﹣3）（x +1）＝0x ﹣3＝0，x +1＝0∴x 1＝3，x 2＝﹣1．19．（8分）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，求证：BD ＝CE ．【解答】证明：在△ABE 与△ACD 中{∠A =∠AAB =AC ∠B =∠C，∴△ABE ≌△ACD ．∴AD ＝AE ．∴BD＝CE．20．（8分）已知反比例函数y=kx的图象经过点（﹣2，﹣1）．（1）求k的值．（2）完成下面的解答．解不等式组{2−x＞1，①kx＞1．②解：解不等式①，得x＜1．根据函数y=kx的图象，得不等式②的解集0＜x＜2．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集0＜x＜1．【解答】解：（1）∵反比例函数y=kx的图象经过点（﹣2，﹣1），∴k＝（﹣2）×（﹣1）＝2；（2）解不等式组{2−x＞1，①kx＞1．②解：解不等式①，得x＜1．根据函数y=kx的图象，得不等式②的解集0＜x＜2．把不等式①和②的解集在数轴上表示为：∴不等式组的解集为0＜x＜1，故答案为：x＜1，0＜x＜2，0＜x＜1．21．（8分）为了了解某地居民用电量的情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量（单位：kW•h）进行调查，整理样本数据得到下面的频数分布表．组别用电量分组频数18≤x＜9350293≤x＜1781003178≤x ＜263 34 4263≤x ＜348 11 5348≤x ＜433 1 6433≤x ＜518 1 7518≤x ＜603 2 8 603≤x ＜688 1根据抽样调查的结果，回答下列问题：（1）该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第 2 组内；（2）估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW •h 的大约有多少户．【解答】解：（1）∵有200个数据，∴六月份的用电量的中位数应该是第100个和第101个数的平均数，∴该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第2组内；故答案为：2；（2）50+100200×10000＝7500（户），答：估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW •h 的大约有7500户．22．（8分）甲、乙两人分别从A 、B 、C 这3个景点中随机选择2个景点游览．（1）求甲选择的2个景点是A 、B 的概率；（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是 13 ．【解答】解：甲选择的2个景点所有可能出现的结果如下：（1）共有6种可能出现的结果，其中选择A 、B 的有2种，∴P （A 、B ）=26=13；（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有9种可能出现的结果，其中选择景点相同的有3种，∴P （景点相同）=39=13． 故答案为：13．23．（8分）如图，在港口A 处的正东方向有两个相距6km 的观测点B 、C ．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D 处，在B 、C 处分别测得∠ABD ＝45°、∠C ＝37°．求轮船航行的距离AD ．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）【解答】解：如图，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，在Rt △DCH 中，∠C ＝37°，∴CH =DH tan37°，在Rt △DBH 中，∠DBH ＝45°，∴BH =DH tan45°，∵BC ＝CH ﹣BH ，∴DHtan37°−DHtan45°=6，解得DH≈18，在Rt△DAH中，∠ADH＝26°，∴AD=DHcos26°≈20．答：轮船航行的距离AD约为20km．24．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC 于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF＝EF．【解答】证明：（1）∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B，∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF，∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形；（2）连接AE ，∵∠ADF ＝∠B ，∠ADF ＝∠AEF ，∴∠AEF ＝∠B ，∵四边形AECF 是⊙O 的内接四边形，∴∠ECF +∠EAF ＝180°，∵BD ∥CF ，∴∠ECF +∠B ＝180°，∴∠EAF ＝∠B ，∴∠AEF ＝∠EAF ，∴AE ＝EF ． 25．（8分）小明和小丽先后从A 地出发沿同一直道去B 地．设小丽出发第xmin 时，小丽、小明离B 地的距离分别为y 1m 、y 2m ．y 1与x 之间的函数表达式是y 1＝﹣180x +2250，y 2与x 之间的函数表达式是y 2＝﹣10x 2﹣100x +2000．（1）小丽出发时，小明离A 地的距离为 250 m ．（2）小丽出发至小明到达B 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？【解答】解：（1）∵y 1＝﹣180x +2250，y 2＝﹣10x 2﹣100x +2000，∴当x ＝0时，y 1＝2250，y 2＝2000，∴小丽出发时，小明离A 地的距离为2250﹣2000＝250（m ），故答案为：250；（2）设小丽出发第xmin 时，两人相距sm ，则s ＝（﹣180x +2250）﹣（﹣10x 2﹣100x +2000）＝10x 2﹣80x +250＝10（x ﹣4）2+90， ∴当x ＝4时，s 取得最小值，此时s ＝90，答：小丽出发第4min 时，两人相距最近，最近距离是90m ．26．（9分）如图，在△ABC 和△A 'B 'C '中，D 、D '分别是AB 、A 'B '上一点，AD AB =A′D′A′B′．（1）当CD C′D′=AC A′C′=AB A′B′时，求证△ABC ∽△A 'B 'C ．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当CD C′D′=AC A′C′=BC B′C′时，判断△ABC 与△A 'B 'C ′是否相似，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵AD AB =A′D′A′B′， ∴AD A′D′=AB A′B′， ∵CD C′D′=AC A′C′=AB A′B′， ∴CD C′D′=AC A′C′=AD A′D′，∴△ADC ∽△A ′D ′C ，∴∠A ＝∠A ′，∵AC A′C′=AB A′B′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．故答案为：CD C′D′=AC A′C′=AD A′D′，∠A ＝∠A ′．（2）如图，过点D ，D ′分别作DE ∥BC ，D ′E ′∥B ′C ′，DE 交AC 于E ，D ′E ′交A ′C ′于E ′．∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB =DE BC =AE AC ， 同理，A′D′A′B′=D′E′B′C′=A′E′A′C′， ∵AD AB =A′D′A′B′， ∴DE BC =D′E′B′C′， ∴DE D′E′=BC B′C′，同理，AE AC =A′E′A′C′，∴AC−AE AC =A′C′−A′E′A′C′，即EC AC =E′C′A′C′， ∴EC E′C′=AC A′C′， ∵CD C′D′=AC A′C′=BC B′C′， ∴CD C′D′=DE D′E′=EC E′C′， ∴△DCE ∽△D ′C ′E ′，∴∠CED ＝∠C ′E ′D ′，∵DE ∥BC ，∴∠CED +∠ACB ＝90°，同理，∠C ′E ′D ′+∠A ′C ′B ′＝180°，∴∠ACB ＝∠A ′B ′C ′，∵AC A′C′=CB C′B′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．27．（9分）如图①，要在一条笔直的路边l 上建一个燃气站，向l 同侧的A 、B 两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜AC′+C'B．请完成这个证明．（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．【解答】证明：（1）如图②，连接A'C'，∵点A，点A'关于l对称，点C在l上，∴CA＝CA'，∴AC+BC＝A'C+BC＝A'B，同理可得AC'+C'B＝A'C'+BC'，∵A'B＜A'C'+C'B，∴AC+BC＜AC'+C'B；（2）如图③，在点C出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB，（其中点D是正方形的顶点）；如图④，̂+EB，（其中CD，BE都与圆相切）在点C出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACD+DE。
南京市中考数学试卷含详细解版
江苏省南京市初中毕业生学业考试数学试题一． 选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分) 1．计算︱－ 5＋3︱的结果是()A. － 2B. 2C. － 8D. 8考点：有理数的加法；绝对值． 分析：先计算﹣5+3，再求绝对值即可． 解答：解：原式=|﹣2| =2． 故选B ． 点评：本题考查了有理数的加法，以及绝对值的求法，负数的绝对值等于它的相反数． 2．计算(－xy ³)²的结果是( ) A. x ²y 6 B. －x ²y 6 C. x ²y 9 D. －x ²y 9 考点：幂的乘方与积的乘方． 分析：根据幂的乘方和积的乘方的运算方法：①（a m ）n =a mn （m ，n 是正整数）；②（ab ）n =a n b n （n 是正整数）；求出计算（﹣xy 3）2的结果是多少即可． 解答：解：（﹣xy 3）2 =（﹣x ）2•（y 3）2 =x 2y 6，即计算（﹣xy 3）2的结果是x 2y 6． 故选：A ． 点评：此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（a m ）n =a mn（m ，n 是正整数）；②（ab ）n =a n b n （n 是正整数）．3．如图，在△ABC 中，DE ∥ BC ，AD DB = 12，则下列结论中正确的是()A. AE EC = 12B.DE BC = 12C.△ADE 的周长△ABC 的周长 = 13D. △ADE 的面积△ABC 的面积 = 13考点：相似三角形的判定与性质． 分析：第3题图DA CE由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例可得，然后由=，即可判断A、B的正误，然后根据相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方即可判断C、D的正误．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵=，∵=，故A、B选项均错误；∵△ADE∽△ABC，∴==，=（）2=，故C选项正确，D选项错误．故选C．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的对应边之比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方．4．某市底机动车的数量是2×106辆，新增3×105辆．用科学记数法表示该市底机动车的数量是( )A. 2.3×105辆B. 3.2×105辆C. 2.3×106辆D. 3.2×106辆考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：底机动车的数量为：3×105+2×106=2.3×106．故选C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．估计5 -12介于( )A.0.4与0.5之间B. 0.5与0.6之间C. 0.6与0.7之间D. 0.7与0.8之间考点：第6题图MGFE O CD BA N估算无理数的大小． 分析：先估算的范围，再进一步估算，即可解答．解答： 解：∵ 2.235， ∴﹣1≈1.235， ∴≈0.617，∴介于0.6与0.7之间，故选：C ． 点评：本题考查了估算有理数的大小，解决本题的关键是估算的大小．6．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为() A. 133B. 92C.4313D.2 5考点：切线的性质；矩形的性质． 分析：连接OE ，OF ，ON ，OG ，在矩形ABCD 中，得到∠A=∠B=90°，CD=AB=4，由于AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，推出四边形AFOE ，FBGO 是正方形，得到AF=BF=AE=BG=2，由勾股定理列方程即可求出结果． 解答：解：连接OE ，OF ，ON ，OG ， 在矩形ABCD 中，∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点， ∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°， ∴四边形AFOE ，FBGO 是正方形， ∴AF=BF=AE=BG=2， ∴DE=3，∵DM 是⊙O 的切线， ∴DN=DE=3，MN=MG ， ∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN ，在R t △DMC 中，DM 2=CD 2+CM 2， ∴（3+NM ）2=（3﹣NM ）2+42，∴NM=，∴DM=3=，故选A．点评：本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．二．填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)7．4的平方根是；4的算术平方根是．考点：算术平方根；平方根．分析：如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．解答：解：4的平方根是±2；4的算术平方根是2．故答案为：±2；2．点评：此题主要考查了平方根和算术平方根的概念，算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误．8．若式子x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是．考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．解答：解：根据题意得：x+1≥0，解得x≥﹣1，故答案为：x≥﹣1．点评：主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．9．计算5×153的结果是．考点：二次根式的乘除法．分析：直接利用二次根式的性质化简求出即可．解答：解：=×=5．故答案为：5． 点评：此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 10．分解因式(a － b )(a － 4b )＋ab 的结果是 ．考点：因式分解-运用公式法． 分析：首先去括号，进而合并同类项，再利用完全平方公式分解因式得出即可． 解答：解：（a ﹣b ）（a ﹣4b ）+ab =a 2﹣5ab+4b 2+ab =a 2﹣4ab+4b 2 =（a ﹣2b ）2．故答案为：（a ﹣2b ）2． 点评：此题主要考查了多项式乘法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．11．不等式组⎩⎨⎧2x +1＞－12x +1 ＜ 3的解集是 ．考点：解一元一次不等式组． 分析：分别解每一个不等式，再求解集的公共部分． 解答：解：，解不等式①得：x ＞﹣1， 解不等式②得：x ＜1，所以不等式组的解集是﹣1＜x ＜1． 故答案为：﹣1＜x ＜1． 点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x ＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x 介于两数之间．12．已知方程x ²＋mx ＋3=0的一个根是1，则它的另一个根是 ，m 的值是 ． 考点：根与系数的关系；一元二次方程的解． 分析：利用一元二次方程的根与系数的关系，两根的和是﹣m ，两个根的积是3，即可求解． 解答：解：设方程的另一个解是a ，则1+a=﹣m ，1×a=3，解得：m=﹣4，a=3．故答案是：3，﹣4．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键．13．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，－3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A'，再作点A'关于y轴的对称点，得到点A''，则点A''的坐标是( ， )．考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：分别利用x轴、y轴对称点的性质，得出A′，A″的坐标进而得出答案．解答：解：∵点A的坐标是（2，﹣3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，∴A′的坐标为：（2，3），∵点A′关于y轴的对称点，得到点A″，∴点A″的坐标是：（﹣2，3）．故答案为：﹣2；3．点评：此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质．（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．14．某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示．工种人数每人每月工资元电工 5 7000木工 4 6000瓦工 5 50001名．与调整前相比，该工程队员工月工资的方差 (填“变小”，“不变”或“变大”)．考点：方差．分析：利用已知方差的定义得出每个数据减去平均数后平方和增大，进而得出方差变大．解答：解：∵减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，∴这组数据的平均数不变，但是每个数据减去平均数后平方和增大，则该工程队员工月工资的方差变大．故答案为：增大．点评：此题主要考查了方差的定义，正确把握方差中每个数据的意义是解题关键．15．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B＋∠E= °．1y=考点：圆内接四边形的性质． 分析：连接CE ，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD ，然后求解即可． 解答：解：如图，连接CE ，∵五边形ABCDE 是圆内接五边形， ∴四边形ABCE 是圆内接四边形， ∴∠B+∠AEC=180°， ∵∠CED=∠CAD=35°， ∴∠B+∠E=180°+35°=215°． 故答案为：215．点评：本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．16．如图，过原点O 的直线与反比例函数y 1、y 2的图像在第一象限内分别交于点A 、B ，且A 为OB 的中点．若函数y 1= 1x ，则y 2与x 的函数表达式是 ．考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 分析：过A 作AC ⊥x 轴于C ，过B 作BD ⊥x 轴于D ，由于点A 在反比例函数y 1=上，设A （a ，），求得点B 的坐标代入反比例函数的解析式即可求出结果． 解答：解：过A 作AC ⊥x 轴于C ，过B 作BD ⊥x 轴于D ， ∵点A 在反比例函数y 1=上， ∴设A （a ，），∴OC=a ，AC=， ∵AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴， ∴AC ∥BD ，∴△OAC ∽△OBD ， ∴，∵A 为OB 的中点， ∴=，∴BD=2AC=，OD=2OC=2a ， ∴B （2a ，）， 设y 2=， ∴k=2a •=4，∴y 2与x 的函数表达式是：y=． 故答案为：y=．点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数，相似三角形的判定和性质，反比例函数中k的几何意义要注意数形结合思想的运用． 三． 解答题(本大题共11小题，共88分)17．（6分）解不等式2(x ＋1) － 1 ≥ 3x ＋2，并把它的解集在数轴上表示出来．考点： 解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集． 分析：不等式去括号、移项合并、系数化为1即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 解答：第17题图–1–2–31230解：去括号，得2x+2﹣1≥3x+2， 移项，得2x ﹣3x ≥2﹣2+1， 合并同类项，得﹣x ≥1， 系数化为1，得x ≤﹣1，这个不等式的解集在数轴上表示为：点评：本题考查了一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 18．（7分）解方程2x －3 = 3x考点：解分式方程． 专题： 计算题． 分析：观察可得最简公分母是x （x ﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解答：解：方程两边同乘以x （x ﹣3），得2x=3（x ﹣3）． 解这个方程，得x=9．检验：将x=9代入x （x ﹣3）知，x （x ﹣3）≠0． 所以x=9是原方程的根． 点评：本题考查分式方程的解法，需要注意的是在解分式方程时需对得到的解进行检验．19．（7分）计算⎝⎛⎭⎫2a ²－b ² － 1a ² － ab ÷ aa +b考点：分式的混合运算． 分析：首先将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简求出即可． 解答：解：（﹣）÷=[﹣]×=[﹣]×=×=．点评：此题主要考查了分式的混合运算，正确进行通分运算是解题关键．20．（8分）如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CD = CD BD． (1) 求证：△ACD ∽ △CBD ； (2) 求∠ACB 的大小．考点：相似三角形的判定与性质． 分析：（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD ∽△CBD ；（2）由（1）知△ACD ∽△CBD ，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD ，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°． 解答：（1）证明：∵CD 是边AB 上的高， ∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD ∽△CBD ；（2）解：∵△ACD ∽△CBD ， ∴∠A=∠BCD ，在△ACD 中，∠ADC=90°， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴∠BCD+∠ACD=90°， 即∠ACB=90°． 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理．21．（8分）为了了解某地区10万名大、中、小学生50米跑成绩情况，教育部门从这三类学生群体中各抽取了10%的学生进行检测，整理样本数据，并结合抽样结果，得到下列统计图．第20题图A(1)本次检测抽取了大、中、小学生共名，其中小学生名；(2)根据抽样的结果，估计该地区10万名大、中、小学生中，50米跑成绩合格的中学生人数为名；(3)比较与抽样学生50米跑成绩合格率情况，写出一条正确的结论．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）根据“教育部门从这三类学生群体中各抽取了10%的学生进行检测”，可得100000×10%，即可得到本次检测抽取了大、中、小学生共多少名，再根据扇形图可得小学生所占45%，即可解答；（2）先计算出样本中50米跑成绩合格的中学生所占的百分比，再乘以10万，即可解答；（3）根据条形图，写出一条即可，答案不唯一．解答：解：（1）100000×10%=10000（人），10000×45%═4500（人）．故答案为：10000，4500；（2）100000×40%×90%=3600（人）．故答案为：3600；（3）例如：与相比，该市大学生50米跑成绩合格率下降了5%（答案不唯一）．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．22．（8分）某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张．从中随机取出2张纸币．(1)求取出纸币的总额是30元的概率；(2)求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：（1）先列表展示所有3种等可能的结果数，再找出总额是30元所占结果数，然后根据概率公式计算；（2）找出总额超过51元的结果数，然后根据概率公式计算．解答：解：（1）列表：共有3种等可能的结果数，其中总额是30元占1种，所以取出纸币的总额是30元的概率=；（2）共有3种等可能的结果数，其中总额超过51元的有2种，所以取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率为．点评：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，求出概率．23．（8分）如图，轮船甲位于码头O 的正西方向A 处，轮船乙位于码头O 的正北方向C 处，测得∠CAO=45°．轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km /h 和36km /h ．经过0.1h ，轮船甲行驶至B 处，轮船乙行驶至D 位，测得∠DBO=58°，此时B 处距离码头O 有多远？(参考数据：sin 58° ≈ 0.85，cos 58° ≈ 0.53，tan 58° ≈ 1.60)考点：解直角三角形的应用．分析：设B 处距离码头Oxkm ，分别在Rt △CAO 和Rt △DBO 中，根据三角函数求得CO 和DO ，再利用DC=DO ﹣CO ，得出x 的值即可．解答：解：设B 处距离码头Oxkm ，在Rt △CAO 中，∠CAO=45°， 东北O B A∴CO=AO •tan ∠CAO=（45×0.1+x ）•tan45°=4.5+x ，在Rt △DBO 中，∠DBO=58°，∵tan ∠DBO=，∴DO=BO •tan ∠DBO=x •tan58°，∵DC=DO ﹣CO ，∴36×0.1=x •tan58°﹣（4.5+x ），∴x=≈=13.5．因此，B 处距离码头O 大约13.5km ．点评：本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角形中的边角关系是解题的关键．24．（8分）如图，AB ∥ CD ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，连接EF ，∠AEF 、∠CFE 的平分线交于点G ，∠BEF 、∠DFE 的平分线交于点H ．(1) 求证：四边形EGFH 是矩形．(2) 小明在完成(1)的证明后继续进行了探索．过G 作MN ∥ EF ，分别交AB 、CD 于点M 、N ，过H 作PQ ∥ EF ，分别交AB 、CD 于点P 、Q ，得到四边形MNQP ．此时，他猜想四边形MNQP 是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．分析：（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠FEH+∠EFH=90°，进而得出∠GEH=90°，进而求出四边形EGFH 是矩形；（2）利用菱形的判定方法首先得出要证▱MNQP 是菱形，只要证MN=NQ ，再证∠MGE=∠QFH 得出即可．解答：（1）证明：∵EH 平分∠BEF ，∴∠FEH=∠BEF ，∵FH 平分∠DFE ，小明的证明思路 由AB ∥CD ，MN ∥EF ，PQ ∥EF ，易证四边形MNQP 是平行四边形．要证▱MNQP 是菱形, 只要证NM=NQ ．由已知条件 ， MN ∥ EF ，可证NG = NF ，故只要证 GM = FQ ，即证△MGE ≌△QFH ．易证 ， ， 故只要证 ∠MGE = ∠QFH ，∠QFH = ∠GEF ，∠QFH=∠EFH ， 第24题图P H G A D C∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°，∴∠FEH+∠EFH=（∠BEF+∠DFE）=×180°=90°，∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°，∴∠EHF=180°﹣（∠FEH+∠EFH）=180°﹣90°=90°，同理可得：∠EGF=90°，∵EG平分∠AEF，∴∠EFG=∠AEF，∵EH平分∠BEF，∴∠FEH=∠BEF，∵点A、E、B在同一条直线上，∴∠AEB=180°，即∠AEF+∠BEF=180°，∴∠FEG+∠FEH=（∠AEF+∠BEF）=×180°=90°，即∠GEH=90°，∴四边形EGFH是矩形；（2）解：答案不唯一：由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证▱MNQP是菱形，只要证MN=NQ，由已知条件：FG平分∠CFE，MN∥EF，故只要证GM=FQ，即证△MGE≌△QFH，易证 GE=FH、∠GME=∠FGH．故只要证∠MGE=∠QFH，易证∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得证．点评：此题主要考查了矩形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质，根据题意得出证明菱形的方法是解题关键．25．(10分)如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）DA考点：作图—应用与设计作图；等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质．分析：①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可；②连接AC，在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可；③以A 为端点在AB上截取3个单位，以截取的点为圆心，以3个单位为半径画弧，交BC一个点，连接即可；④连接AC，在AC上，以C为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交BC、DC两点，然后连接A与这两个点即可；⑤以A为端点在AB上截取3个单位，再作着个线段的垂直平分线交CD一点，连接即可．解答：解：满足条件的所有图形如图所示：点评：此题主要考查了作图﹣应用与设计作图，关键是掌握等腰三角形的判定方法．26．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．(1)求证：∠A=∠AEB．(2)连接OE，交CD于点F，OE ⊥ CD．求证：△ABE是等边三角形．考点：圆内接四边形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理．(第26题)EOCABD分析：（1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，根据邻补角互补可得∠DCE+∠BCD=180°，进而得到∠A=∠DCE ，然后利用等边对等角可得∠DCE=∠AEB ，进而可得∠A=∠AEB ；（2）首先证明△DCE 是等边三角形，进而可得∠AEB=60°，再根据∠A=∠AEB ，可得△ABE 是等腰三角形，进而可得△ABE 是等边三角形．解答：证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE ，∵DC=DE ，∴∠DCE=∠AEB ，∴∠A=∠AEB ；（2）∵∠A=∠AEB ，∴△ABE 是等腰三角形，∵EO ⊥CD ，∴CF=DF ，∴EO 是CD 的垂直平分线，∴ED=EC ，∵DC=DE ，∴DC=DE=EC ，∴△DCE 是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE 是等边三角形．点评：此题主要考查了等边三角形的判定和性质，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补．27．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1(单位：元)、销售价y 2(单位：元)与产量x (单位：kg )之间的函数关系．(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义．(2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式．(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？x /kgy /元D B120 C 60 A考点：二次函数的应用．分析：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（3）利用总利润=单位利润×产量列出有关x的二次函数，求得最值即可．解答：解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y=k1x+b1，∵y=k1x+b1的图象过点（0，60）与（90，42），∴∴，∴这个一次函数的表达式为；y=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；（3）设y2与x之间的函数关系式为y=k2x+b2，∵经过点（0，120）与（130，42），∴，解得：，∴这个一次函数的表达式为y2=﹣0.6x+120（0≤x≤130），设产量为xkg时，获得的利润为W元，当0≤x≤90时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]=﹣0.4（x﹣75）2+2250，∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；当90≤x130时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣42]=﹣0.6（x﹣65）2+2535，∴当x90时，W=﹣0.6（90﹣65）2+2535=2160，由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．点评：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度不大．。
2023年江苏省南京市中考数学试卷+答案解析
2023年江苏省南京市中考数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约3830000公顷．用科学记数法表示3830000是()A. B. C. D.2.整数a满足，则a的值为()A.3B.4C.5D.63.若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是()A.5B.10C.15D.204.甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间单位：与行驶速度单位：之间的函数图象是()A. B. C. D.5.我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在中，里，里，里，则的面积是()A.80平方里B.82平方里C.84平方里D.86平方里6.如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是()A.36cmB.40cmC.42cmD.45cm二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.计算：____；____.8.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______.9.计算的结果是_______________.10.分解因式的结果是___________.11.计算的结果是__________________.12.某校九年级有8个班级，人数分别为37，a，32，36，37，32，38，若这组数据的众数为32，则这组数据的中位数为______.13.甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程单位：与行驶的时间单位：之间的函数关系如图所示．甲车出发后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过追上甲车，则乙车的速度单位：的取值范围是___________________.14.在平面直角坐标系中，点O为原点，点A在第一象限，且若反比例函数的图象经过点A，则k的取值范围是___________________.15.如图，与正六边形ABCDEF的边CD，EF分别相切于点C，若，则的半径长为___________________.16.如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在处，，垂足为若，，则__________________三、解答题：本题共11小题，共88分。
江苏省南京市2021年中考数学试卷真题(word版,含答案解析)
江苏省南京市2021年中考数学试卷一、单选题（共6题；共12分）1.截至2021年6月8日，31个省（自治区，直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过800000000次，用科学记数法表示800000000是（）A. 8×108B. 0.8×109C. 8×109D. 0.8×1010【答案】A【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：800000000= 8×108；故答案为：A.【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.2.计算(a2)3⋅a−3的结果是（）A. a2B. a3C. a5D. a9【答案】B【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方【解析】【解答】解：原式= a6·a−3=a3；故答案为：B.【分析】利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，先算乘方运算，再利用同底数幂相乘的法则进行计算.3.下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）A. 1，1，1B. 1，1，8C. 1，2，2D. 2，2，2【答案】 D【考点】三角形三边关系【解析】【解答】A、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；B、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误；C、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；D、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确；故答案为：D.【分析】利用较小的三条线段之和大于最长的线段，再对各选项逐一判断即可.4.北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时间是8：00，小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：00~17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（）A. 10：00B. 12：00C. 15：00D. 18：00【答案】C【考点】正数和负数的认识及应用【解析】【解答】解：由北京与莫斯科的时差为5小时，二人通话时间是9：00~17：00，所以A. 当北京时间是10：00时，莫斯科时间是5:00，不合题意；B. 当北京时间是12：00时，莫斯科时间是7:00，不合题意；C. 当北京时间是15：00时，莫斯科时间是10:00，符合题意；D. 当北京时间是18：00时，不合题意.故答案为：C【分析】抓住已知条件：北京与莫斯科的时差为5小时，二人通话时间是9：00~17：00，再对各选项逐一判断.5.一般地，如果 x n =a （n 为正整数，且 n >1 ），那么x 叫做a 的n 次方根，下列结论中正确的是（ ）A. 16的4次方根是2B. 32的5次方根是 ±2C. 当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小D. 当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而增大【答案】 C【考点】有理数的乘方【解析】【解答】A. ∵24=16 (−2)4=16 ， ∴ 16的4次方根是 ±2 ，故不符合题意；B. ∵25=32 ， (−2)5=−32 ， ∴ 32的5次方根是2，故不符合题意；C.设 x =√23,y =√25,则 x 15=25=32,y 15=23=8,∴x 15>y 15, 且 x >1,y >1,∴x >y,∴ 当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小，故符合题意；D.由 C 的判断可得： D 错误，故不符合题意.故答案为：C.【分析】根据正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，可对A 作出判断；利用正数的奇次方根是正数，可对B 作出判断；根据当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小，可对C ，D 作出判断. 6.如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ）A. B. C. D.【答案】C【考点】正方形的性质，中心投影【解析】【解答】A.因为正方形纸板重直于地面，故不能产生正方形的投影，不符合题意B.因为正方形的对角线互相垂直，中心投影后，影子的对角线仍然互相垂直，不符合题意C.影子的对角线仍然互相垂直，故形状可以是CD.中心投影物体的高和影长成比例，正方形对边相等，故D选项不符合题意故答案为：C.【分析】观察图形，根据正方形纸板放置的位置，可知不能产生正方形的投影，可对A作出判断；中心投影后，影子的对角线仍然互相垂直，可对B，C作出判断；中心投影物体的高和影长成比例，正方形对边相等，可对D作出判断.二、填空题（共10题；共11分）7.−(−2)=________；−|−2|=________.【答案】2；-2【考点】相反数及有理数的相反数，绝对值及有理数的绝对值【解析】【解答】解：−(−2)=2；−|−2|=-2.故答案为2，-2.【分析】利用相反数的意义和绝对值的性质，进行计算即可.8.若式子√5x在实数范围内有意义，则x的取值范围是________.【答案】x≥0【考点】二次根式有意义的条件【解析】【解答】解：由题意得5x≥0，解得x≥0.故答案为：x≥0【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.9.计算√8−√92的结果是________.【答案】√22【考点】二次根式的加减法【解析】【解答】解：原式= 2√2−32√2=√22；故答案为：√22.【分析】先将各个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可.10.设x1,x2是关于x的方程x2−3x+k=0的两个根，且x1=2x2，则k=________.【答案】2【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解：由根与系数的关系可得：x1+x2=3，x1·x2=k，∵x1=2x2，∴3x2=3，∴x2=1，∴x1=2，∴k=1×2=2;故答案为：2.【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1·x2的值；再结合已知条件可求出k的值.11.如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边AO,AB的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是________.【答案】6【考点】坐标与图形性质，三角形的中位线定理【解析】【解答】设点A的横坐标为a，点B的横坐标是b；∵O点的横坐标是0，C的横坐标是1 ，C，D是AO,AB的中点(a+0)=1得a=2∴12(2+b)=4得b=6∴12∴点B的横坐标是6.故答案为6.【分析】设点A的横坐标为a，点B的横坐标是b；利用线段的中点坐标，可求出点a，b的值；或利用已知条件可得到CD是△AOB的中位线，由此可证得OB=2CD；再利用点C，D的横坐标可得到CD的长，由此可求出OB的长，即可得到点B的横坐标.⌢的中点，OC交AB于点D.若AB=8cm,CD=2cm，则⊙O 12.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的半径为________ cm.【答案】5【考点】勾股定理，垂径定理【解析】【解答】解：连接OA，∵C是AB⌢的中点，∴OC⊥AB∴AD=1AB=4cm2设⊙O的半径为R，∵CD=2cm∴OD=OC−CD=(R−2)cm在RtΔOAD中，OA2=AD2+OD2，即R2=42+(R−2)2，解得，R=5即⊙O的半径为5cm故答案为：5【分析】利用OA，利用垂径定理可证得OC⊥AB，同时可求出AD的长，设圆的半径为R，可表示出OD 的长；再利用勾股定理建立关于R的方程，解方程求出R的值.13.如图，正比例函数y=kx与函数y=6的图象交于A，B两点，BC//x轴，AC//y轴，则xS△ABC=________.【答案】12【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积【解析】【解答】解：设A（t，6t）,∵正比例函数y=kx与函数y=6x的图象交于A，B两点，∴B（-t，- 6t）,∵BC//x轴，AC//y轴，∴C（t，- 6t）,∴S△ABC=12BC⋅AC=12[t−(−t)][6t−(−6t)]=t⋅12t=12；故答案为：12.【分析】利用函数解析式设A（t，6t），再根据两函数图象交于点A，B，利用反比例函数的对称性，可表示出点B的坐标，从而可得到点C的坐标；然后利用三角形的面积公式，可求出△ABC的面积. 14.如图，FA,GB,HC,ID,JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ=________ °.【答案】180【考点】三角形内角和定理，切线的性质【解析】【解答】如图：过圆心连接五边形ABCDE的各顶点，则∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA=∠OBA+∠OCB+∠ODC+∠OED+∠OAE=12(5−2)×180°=270°∴∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ=5×90°−(∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA)=450°−270°=180°.故答案为：180°.【分析】过圆心连接五边形ABCDE的各顶点，利用三角形的内角和定理，可求出∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA；再利用切线的性质可求出∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ的值.15.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=BD.设∠ABC=α，则∠ADC=________（用含α的代数式表示）.【答案】180°−12α【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：在△ABD中，AB=BD∴∠A=∠ADB= 12(180°−∠ABD)=90°−12∠ABD在△BCD中，BC=BD∴∠C=∠BDC= 12(180°−∠CBD)=90°−12∠CBD∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=α∴∠ADC=∠ADB+∠CBD= 90°−12∠ABD+90°−12∠CBD= 180°−12(∠ABD+∠CBD)= 180°−12∠ABC= 180°−12α故答案为：180°−12α.【分析】在△ABD中，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可表示出∠ADB，在△BCD中，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可表示出∠BDC；再根据∠ADC=∠ADB+∠CBD，将其代入可表示出∠ADC.16.如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E，若AB=3,BC=4,BB′=1，则CE的长为________.【答案】98【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：过点C作CM// C′D′交B′C′于点M，∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形AB′C′D′∴AB=AB′，AD=AD′,∠B=∠AB′C′=∠D=∠D′，∠BAD=∠B′AD′∴∠BAB′=∠DAD′，∠B=∠D′∴ΔABB′∽ΔADD′∴BB′DD′=ABAD=ABBC=34,∵BB′=1∴DD′=43∴C′D=C′D′−DD′=CD−DD′=AB−DD′=3−4 3=5 3∵∠AB ′C =∠AB ′C ′+∠CB ′M =∠ABC +∠BAB ′∴∠ CB ′M =∠BAB ′∵ B ′C =BC −BB ′=4−1=3∴ B ′C =AB∵ AB =AB ′∴∠ ABB ′=∠AB ′B =∠AB ′C ′∵ AB ′//C ′D ′ ， C ′D ′//CM∴ AB ′//CM∴∠ AB ′C ′=∠B ′MC∴∠ AB ′B =∠B ′MC在 ΔABB ′ 和 ΔB ′MC 中，{∠BAB ′=∠CB ′M∠AB ′B =∠B ′MC AB =B ′C∴ ΔABB ′≅ΔB ′CM∴ BB ′=CM =1∵ CM//C ′D∴△ CME ∽ΔDC ′E∴ CM DC ′=CE DE =153=35 ∴ CE CD =38∴ CE =38CD =38AB =38×3=98故答案为： 98 .【分析】过点C 作CM// C ′D ′ 交 B ′C ′ 于点M ，利用旋转的性质可得AB=AB ＇，AD=AD ＇，同时可证得两平行四边形的对角相等，由此可推出∠BAB ＇=∠DAD ＇,∠B=∠D ＇，可推出△ABB ＇∽△ADD ＇，利用相似三角形的对应边成比例，可得出对应边的比；从而可求出DD ＇的值，即可求出CD ＇，B ＇C ；再证明△CME ∽△DC ＇E ，利用相似三角形的性质可求出CE 的长. 三、解答题（共11题；共87分）17.解不等式 1+2(x −1)≤3 ，并在数轴上表示解集.【答案】 解： 1+2(x −1)≤3去括号： 1+2x −2≤3移项： 2x ≤3−1+2合并同类项：2x≤4化系数为1：x≤2解集表示在数轴上：【考点】解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集【解析】【分析】利用去括号的法则，先去括号，在移项，合并同类项，然后将x的系数化为1，将其解集在数轴上表示出来.18.解方程2x+1+1=xx−1.【答案】解：2x+1+1=xx−1，2(x−1)+(x+1)(x−1)=x(x+1)，2x−2+x2−1=x2+x，x=3，检验：将x=3代入(x+1)(x−1)中得，(x+1)(x−1)≠0，∴x=3是该分式方程的解【考点】解分式方程【解析】【分析】方程两边同时乘以（x+1）（x-1），将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解；然后检验可得方程的根.19.计算(ab2+ab −2a+b+ba2+ab)÷a−bab.【答案】解：原式= (ab(a+b)−2a+b+ba(a+b))⋅aba−b= (a2ab(a+b)−2abab(a+b)+b2ab(a+b))⋅aba−b= a2−2ab+b2ab(a+b)⋅ab a−b= (a−b)2ab(a+b)⋅ab a−b= a−ba+b【考点】分式的混合运算【解析】【分析】将括号里的分式通分计算，再将分式除法转化为乘法运算，然后约分化简.20.如图，AC与BD交于点O，OA=OD,∠ABO=∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF//CD，交BD的延长线于点F.（1）求证△AOB≌△DOC；（2）若AB=2,BC=3,CE=1，求EF的长.【答案】（1）证明：∵OA=OD,∠ABO=∠DCO，又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△DOC(AAS)（2）解：∵△AOB≌△DOC(AAS)，AB=2,BC=3,CE=1∴AB=DC=2，BE=BC+CE=3+1=4，∵EF//CD，∴△BEF∽△BCD，∴EFCD =BEBC，∴EF2=43，∴EF=83，∴EF的长为83【考点】相似三角形的判定与性质，三角形全等的判定（AAS）【解析】【分析】（1）图形中隐含对顶角相等，因此利用AAS可证得结论.（2）利用全等三角形的对应边相等，可求出DC，BE的长；再由EF∥CD可证得△BEF∽△BCD，利用相似三角形的对应边成比例，可得比列式，代入计算求出EF的长.21.某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查，通过简单随机抽样，获得了100个家庭去年的月均用水量数据，将这组数据按从小到大的顺序排列，其中部分数据如下表：（1）求这组数据的中位数.已知这组数据的平均数为9.2t，你对它与中位数的差异有什么看法？（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使75%的家庭水费支出不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？【答案】（1）解：由表格数据可知，位于最中间的两个数分别是6.4和6.8，∴中位数为： 6.4+6.8=6.6（t），2而这组数据的平均数为9.2t，它们之间差异较大，主要是因为它们各自的特点决定的，主要原因如下：①因为平均数与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动；主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数，当出现偏大数时，平均数将会被抬高，当出现偏小数时，平均数会降低。
2023年江苏省南京市中考数学试卷甲卷附解析
2023年江苏省南京市中考数学试卷甲卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型. 若圆的半径为 r ，扇形的半径为 R ，扇形的圆心角等于120°，则r 与R 之间的关系是（ ） A ．R=2rB ．3R r =C ．R=3rD ．R =4r2．关于二次函数y ＝－12 x 2,下列说法不正确的是（ ） A ．图像是一条抛物线 B ．有最大值0 C ．图像的对称轴是y 轴 D ．图像都在x 轴的下方 3．下列命题为真命题的是（ ）A ．三角形的中位线把三角形的面积分成相等的两部分B ．对角线相等且相互平分的四边形是正方形C ．关于某直线对称的两个三角形是全等三角形D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形 4．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=60°，则∠1=（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．80° 5．一梯形两底为10和16，一腰长为8，则另一腰长a 的取值范围是（ ） A ．2<a<14 B ．2<a<26 C ．6<a<18 D ．6<a<26 6．在平面直角坐标系中，点（-2，m-2）在第三象限，则m 的取值范围是（ ）A ．m>2B ．m<2C ．m<-2D ．m ≤27． 小王身上只有 2元和 5元两种面值的人民币，他买一件学习用品要支付27元，则付款的（ ） A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种8．下列计算结果正确的是（ ） A ．4332222y x xy y x -=⋅-B ．2253xy y x -=y x 22-C ．xy y x y x 4728324=÷D ．49)23)(23(2-=---a a a9．如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能．．与其自身重合的是（ ） A ．72B ．108C ．144D ．21610．下列计算中，错误．．的是（ ） A ．33354a a a -=B ．236m n m n +⋅=C ．325()()()a b b a a b -⋅-=-D ．78a a a ⋅= 11．如图所示，△DEF 是由边长为2 cm 的等边△ABC 平移3cm 得到的，则AD 为（ ）A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．无法确定12．图（1）、图 （2）分别是2005~2008年我国某省初中在校生人数和初中学校数目统计图，由图可知，2005~2008年，该省初中（ ）A ．在校生人数逐年增加，学校数也逐年增加B ．在校生人数逐年增加，学校数逐年减少C ．在校生人数逐年减少，学校数也逐年减少D ．在校生人数逐华减少，学校数逐年增加 13．下列说法中，正确的是（ ） A ．a -是负数B ．a 一定是非负数C ．不论a 是什么数，都有11a a⋅=D ．7a一定是分数 二、填空题14． 如图，点0是△ABC 的内心，内切圆与各边相切于点 D ．E 、F ，则图中相等的线段(除半径外 )是： ， ， ．15．如图所示，在四边形ABCD 中．对角线AC ，BD 互相平分且交于点0，MN 经过点O ，若AB=8 cm ，AD=6 cm ，ON=4 cm ，则四边形BCMN 的周长是 cm ．16．一元二次方程29x =的跟是 ． 17．抛掷两枚硬币，出现一正一反的概率 ． 18．a 、b 是不同的有理数，若0ab =，则 ；若0ab=，则 ． 19．填一填：+ (-5) = +3；(-14)+ =-3；37+ =-1.三、解答题20．如图，△ADE ∽△ABC ，写出相等的对应角和对应边成比例的比例式．21．某中学图书馆将图书分为自然科学、文学艺术、社会百科、数学四类. 在“读书月”活动期间，为了解图书的借阅情况，图书管理员对本月各类图书的借阅量进行统计，图①和图②是图书管理员通过采集数据后，绘制的频数分布表和频数分布直方图的部分内容. 请你根据图表中提供的信息，解答以下问题：(1)请完成图①的频率分布表； (2)补全图②的频数分布直方图；(3)近期该学校准备采购 1 万册图书，如果要保持各类图书的频率不变，请你估算“数学”类图书应采购多少册较合适？22．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：（1）△ABC的面积；（2）△ABC的周长；（3）点C到AB边的距离．BCA23．一个包装盒的表面展开图如图．(1)描述这个包装盒的形状；(2)画出这个包装盒的三视图，并标注相应尺寸；(3)求这个包装盒的容积(纸板厚度忽略不计)．24．用总长为20 m 的篱笆围成一长方形场地．(1)写出长方形面积S(m 2)与一边x(m)之间的函数解析式和自变量X 的取值范围； (2)分别求当x=2，5，8时，函数S 的值．25．如图，方格中有一条美丽可爱的小金鱼．(1)若方格的边长为1，则小鱼的面积为 ； (2)画出小鱼向左平移3格后的图形．26．某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，这亩地产西瓜600个，在西瓜上市前该瓜农随机摘下了l0个成熟的西瓜，称重如下： 西瓜质量(kg) 5.4 5.3 5．O 4.8 4.4 4.0 西瓜数量(个)1232111个西瓜质量的众数和中位数分别是 和 ；(2)计算这10个西瓜的平均质量，并根据计算结果估计这亩地共可收获西瓜约为多少kg?27．有一道题“先化简，再求值：22241244x x x x x -+÷+--（），其中3x =-把“3x =3x =事？28．如图所示，图①，图②分别是6×6正方形网格上两个轴对称图形(阴影部分)，其面积分别为S A ,S B (网格中最小的正方形面积为l 平方单位)． 请观察图形并解答下列问题：(1)填空：S A:S B的值是．(2)请你在图③的网格上画出一个面积为8个平方单位的轴对称图形．29．互为余角的两个角的差为 40°，求较小角的补角的度数.30．某车间60名工人，生产某种由一个螺栓及两个螺母组成的配套产品，每人每天平均生产螺栓l4个或螺母20个，问怎样分配工人，才能使生产出的螺栓螺母恰好配套?【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．D3．C4．C5．A6．B7．C8．C9．B10．B11．C12．B13．B二、填空题 14．AD =AF ，BD =BE ，CE=CF.15．22 cm16．3x =±17．1218． a=0或b= 0，a=019．8，11，107-三、解答题 20．∠EAD 与∠CAB ，∠AED 与∠C ，∠ADE 与∠E 是对应角； 对应边的比例式是AD AE DEAB AC BC-=21．(1)0.25,100 (2)略 (3)500册22．（1）27，（2）13105++，（3）13137 23．(1)长方体(2)略(3)850cm 324．(1)210S x x =-+(0<x<10)；(2)16，25，1625．(1)16；(2)图略26．(1)5. 0 kg ，5.0 kg (2)4. 9 kg ，2940 kg27．222222241444(4)42444x x x x x x x x x x x --+++÷=⨯-=++---（），因为x =x =2x 的值均为3，原式的计算结果都是7，所以把“x =x =28．(1)9：11；(2)略29．设较小的角为x ，则这个角的余角为 90°-x .于是有90°-x =40°，∴x =25°，因此这个角的补角为 180°- 25°= 155°. 答：较小角的补角为 15530．安排25人生产螺栓，35人生产螺母，才能使生产出的螺栓、螺母刚好配套．。
2020年南京市中考数学试题、试卷(解析版)
2020年南京市中考数学试题、试卷（解析版）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）计算3﹣（﹣2）的结果是（）A．﹣5B．﹣1C．1D．52．（2分）3的平方根是（）A．9B．√3C．−√3D．±√33．（2分）计算（a3）2÷a2的结果是（）A．a3B．a4C．a7D．a84．（2分）党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置．根据国家统计局发布的数据，2012～2019年年末全国农村贫困人口的情况如图所示．根据图中提供的信息，下列说法错误的是（）A．2019年末，农村贫困人口比上年末减少551万人B．2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9000万人C．2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上D．为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村贫困人口的任务5．（2分）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）A．两个正根B．两个负根C．一个正根，一个负根D．无实数根6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴、y 轴都相切，且经过矩形AOBC 的顶点C ，与BC 相交于点D ．若⊙P 的半径为5，点A 的坐标是（0，8）．则点D 的坐标是（ ）A ．（9，2）B ．（9，3）C ．（10，2）D ．（10，3）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．（2分）写出一个负数，使这个数的绝对值小于3： ． 8．（2分）若式子1−1x−1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 9．（2分）纳秒（ns ）是非常小的时间单位，1ns ＝10﹣9s ．北斗全球导航系统的授时精度优于20ns ．用科学记数法表示20ns 是 s ． 10．（2分）计算√3√3+√12的结果是 ．11．（2分）已知x 、y 满足方程组{x +3y =−1，2x +y =3，，则x +y 的值为 ．12．（2分）方程x x−1=x−1x+2的解是 ．13．（2分）将一次函数y ＝﹣2x +4的图象绕原点O 逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是 ．14．（2分）如图，在边长为2cm 的正六边形ABCDEF 中，点P 在BC 上，则△PEF 的面积为 cm 2．15．（2分）如图，线段AB、BC的垂直平分线11、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC ＝．16．（2分）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算（a﹣1+1a+1）÷a2+2aa+1．18．（7分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．19．（8分）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．20．（8分）已知反比例函数y=kx的图象经过点（﹣2，﹣1）．（1）求k的值．（2）完成下面的解答．解不等式组{2−x＞1，①kx＞1．②解：解不等式①，得．根据函数y=kx的图象，得不等式②的解集．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集．21．（8分）为了了解某地居民用电量的情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量（单位：kW•h）进行调查，整理样本数据得到下面的频数分布表．组别用电量分组频数18≤x＜9350293≤x＜1781003178≤x＜263344263≤x＜348115348≤x＜43316433≤x＜51817518≤x＜60328603≤x＜6881根据抽样调查的结果，回答下列问题：（1）该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第组内；（2）估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW•h的大约有多少户．22．（8分）甲、乙两人分别从A、B、C这3个景点中随机选择2个景点游览．（1）求甲选择的2个景点是A、B的概率；（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是．23．（8分）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A 处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）24．（8分）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，D 是AB 上一点，⊙O 经过点A 、C 、D ，交BC 于点E ，过点D 作DF ∥BC ，交⊙O 于点F ． 求证：（1）四边形DBCF 是平行四边形； （2）AF ＝EF ．25．（8分）小明和小丽先后从A 地出发沿同一直道去B 地．设小丽出发第xmin 时，小丽、小明离B 地的距离分别为y 1m 、y 2m ．y 1与x 之间的函数表达式是y 1＝﹣180x +2250，y 2与x 之间的函数表达式是y 2＝﹣10x 2﹣100x +2000． （1）小丽出发时，小明离A 地的距离为 m ．（2）小丽出发至小明到达B 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？ 26．（9分）如图，在△ABC 和△A 'B 'C '中，D 、D '分别是AB 、A 'B '上一点，AD AB=A′D′A′B′．（1）当CD C′D′=AC A′C′=AB A′B′时，求证△ABC ∽△A 'B 'C ．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当CDC′D′=ACA′C′=BCB′C′时，判断△ABC与△A'B'C′是否相似，并说明理由．27．（9分）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜AC′+C'B．请完成这个证明．（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．2020年江苏省南京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）计算3﹣（﹣2）的结果是（）A．﹣5B．﹣1C．1D．5【解答】解：3﹣（﹣2）＝3+2＝5．故选：D．2．（2分）3的平方根是（）A．9B．√3C．−√3D．±√3【解答】解：∵（±√3）2＝3，∴3的平方根±√3．故选：D．3．（2分）计算（a3）2÷a2的结果是（）A．a3B．a4C．a7D．a8【解答】解：（a3）2÷a2＝a3×2÷a2＝a6﹣2＝a4，故选：B．4．（2分）党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置．根据国家统计局发布的数据，2012～2019年年末全国农村贫困人口的情况如图所示．根据图中提供的信息，下列说法错误的是（）A．2019年末，农村贫困人口比上年末减少551万人B．2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9000万人C．2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上D．为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村贫困人口的任务【解答】解：A．2019年末，农村贫困人口比上年末减少1660﹣551＝1109（万人），此选项错误；B．2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9899﹣551＝9348（万人），此选项正确；C．2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上，此选项正确；D．为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村贫困人口的任务，此选项正确；故选：A．5．（2分）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）A．两个正根B．两个负根C．一个正根，一个负根D．无实数根【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数），∴x2+x﹣2﹣p2＝0，∴△＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∵两个的积为﹣2﹣p2，∴一个正根，一个负根，故选：C．6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（）A．（9，2）B．（9，3）C．（10，2）D．（10，3）【解答】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP 与CD交于点G，则PE⊥y轴，PF⊥x轴，∵∠EOF＝90°，∴四边形PEOF是矩形，∵PE＝PF，PE∥OF，∴四边形PEOF为正方形，∴OE＝PF＝PE＝OF＝5，∵A（0，8），∴OA＝8，∴AE＝8﹣5＝3，∵四边形OACB为矩形，∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB，∴EG∥AC，∴四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形，∴CG＝AE＝3，EG＝OB，∵PE⊥AO，AO∥CB，∴PG⊥CD，∴CD＝2CG＝6，∴DB＝BC﹣CD＝8﹣6＝2，∵PD＝5，DG＝CG＝3，∴PG＝4，∴OB＝EG＝5+4＝9，∴D （9，2）．故选：A ．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．（2分）写出一个负数，使这个数的绝对值小于3： ﹣1（答案不唯一） ． 【解答】解：∵一个负数的绝对值小于3， ∴这个负数大于﹣3且小于0，∴这个负数可能是﹣2、﹣1.5、﹣1、…． 故答案为：﹣1（答案不唯一）． 8．（2分）若式子1−1x−1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 x ≠1 ． 【解答】解：若式子1−1x−1在实数范围内有意义， 则x ﹣1≠0， 解得：x ≠1． 故答案为：x ≠1．9．（2分）纳秒（ns ）是非常小的时间单位，1ns ＝10﹣9s ．北斗全球导航系统的授时精度优于20ns ．用科学记数法表示20ns 是 2×10﹣8 s ．【解答】解：20ns ＝20×10﹣9s ＝2×10﹣8s ，故答案为：2×10﹣8．10．（2分）计算√3√3+√12的结果是 13 ．【解答】解：原式=√3√3+2√3=√33√3=13．故答案为：13．11．（2分）已知x 、y 满足方程组{x +3y =−1，2x +y =3，，则x +y 的值为 1 ． 【解答】解：{x +3y =−1①2x +y =3②， ①×2﹣②得：5y ＝﹣5，解得：y ＝﹣1，①﹣②×3得：﹣5x ＝﹣10，解得：x ＝2，则x +y ＝2﹣1＝1，故答案为1．12．（2分）方程x x−1=x−1x+2的解是 x =14 ． 【解答】解：方程x x−1=x−1x+2，去分母得：x 2+2x ＝x 2﹣2x +1，解得：x =14，经检验x =14是分式方程的解．故答案为：x =14．13．（2分）将一次函数y ＝﹣2x +4的图象绕原点O 逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是 y =12x +2 ．【解答】解：在一次函数y ＝﹣2x +4中，令x ＝0，则y ＝4，∴直线y ＝﹣2x +4经过点（0，4），将一次函数y ＝﹣2x +4的图象绕原点O 逆时针旋转90°，则点（0，4）的对应点为（﹣4，0），旋转后得到的图象与原图象垂直，则对应的函数解析式为：y =12x +b ，将点（﹣4，0）代入得，12×(−4)+b ＝0， 解得b ＝2，∴旋转后对应的函数解析式为：y =12x +2，故答案为y =12x +2．14．（2分）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为2√3cm2．【解答】解：连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T∵ABCDEF是正六边形，∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，∴S△PEF＝S△BEF，∵AT⊥BE，AB＝AF，∴BT＝FT，∠BAT＝∠F AT＝60°，∴BT＝FT＝AB•sin60°=√3，∴BF＝2BT＝2√3，∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，∴∠BFE＝90°，∴S△PEF＝S△BEF=12•EF•BF=12×2×2√3=2√3，故答案为2√3．15．（2分）如图，线段AB、BC的垂直平分线11、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC ＝78°．【解答】解：过O作射线BP，∵线段AB、BC的垂直平分线11、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝39°，∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°，故答案为：78°．16．（2分）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是①②④．【解答】解：①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①正确；②∵在函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1中，令x ＝0，则y ＝﹣m 2+m 2+1＝1，∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；③∵y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝m ，当x ＞m 时，y 随x 的增大而减小，故结论③错误；④∵抛物线开口向下，当x ＝m 时，函数y 有最大值m 2+1，∴该函数的图象的顶点在函数y ＝x 2+1的图象上．故结论④正确，故答案为①②④．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算（a ﹣1+1a+1）÷a 2+2a a+1． 【解答】解：原式＝（a 2−1a+1+1a+1）÷a(a+2)a+1 =a 2a+1•a+1a(a+2) =a a+2．18．（7分）解方程：x 2﹣2x ﹣3＝0．【解答】解：原方程可以变形为（x ﹣3）（x +1）＝0x ﹣3＝0，x +1＝0∴x 1＝3，x 2＝﹣1．19．（8分）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，求证：BD ＝CE ．【解答】证明：在△ABE 与△ACD 中{∠A =∠AAB =AC ∠B =∠C，∴△ABE ≌△ACD ．∴AD ＝AE ．∴BD＝CE．20．（8分）已知反比例函数y=kx的图象经过点（﹣2，﹣1）．（1）求k的值．（2）完成下面的解答．解不等式组{2−x＞1，①kx＞1．②解：解不等式①，得x＜1．根据函数y=kx的图象，得不等式②的解集0＜x＜2．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集0＜x＜1．【解答】解：（1）∵反比例函数y=kx的图象经过点（﹣2，﹣1），∴k＝（﹣2）×（﹣1）＝2；（2）解不等式组{2−x＞1，①kx＞1．②解：解不等式①，得x＜1．根据函数y=kx的图象，得不等式②的解集0＜x＜2．把不等式①和②的解集在数轴上表示为：∴不等式组的解集为0＜x＜1，故答案为：x＜1，0＜x＜2，0＜x＜1．21．（8分）为了了解某地居民用电量的情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量（单位：kW•h）进行调查，整理样本数据得到下面的频数分布表．组别用电量分组频数18≤x＜9350293≤x＜1781003178≤x ＜263 34 4263≤x ＜348 11 5348≤x ＜433 1 6433≤x ＜518 1 7518≤x ＜603 2 8 603≤x ＜688 1根据抽样调查的结果，回答下列问题：（1）该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第 2 组内；（2）估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW •h 的大约有多少户．【解答】解：（1）∵有200个数据，∴六月份的用电量的中位数应该是第100个和第101个数的平均数，∴该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第2组内；故答案为：2；（2）50+100200×10000＝7500（户），答：估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW •h 的大约有7500户．22．（8分）甲、乙两人分别从A 、B 、C 这3个景点中随机选择2个景点游览．（1）求甲选择的2个景点是A 、B 的概率；（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是 13 ．【解答】解：甲选择的2个景点所有可能出现的结果如下：（1）共有6种可能出现的结果，其中选择A 、B 的有2种，∴P （A 、B ）=26=13；（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有9种可能出现的结果，其中选择景点相同的有3种，∴P （景点相同）=39=13． 故答案为：13．23．（8分）如图，在港口A 处的正东方向有两个相距6km 的观测点B 、C ．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D 处，在B 、C 处分别测得∠ABD ＝45°、∠C ＝37°．求轮船航行的距离AD ．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）【解答】解：如图，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，在Rt △DCH 中，∠C ＝37°，∴CH =DH tan37°，在Rt △DBH 中，∠DBH ＝45°，∴BH =DH tan45°，∵BC ＝CH ﹣BH ，∴DHtan37°−DHtan45°=6，解得DH≈18，在Rt△DAH中，∠ADH＝26°，∴AD=DHcos26°≈20．答：轮船航行的距离AD约为20km．24．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC 于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF＝EF．【解答】证明：（1）∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B，∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF，∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形；（2）连接AE ，∵∠ADF ＝∠B ，∠ADF ＝∠AEF ，∴∠AEF ＝∠B ，∵四边形AECF 是⊙O 的内接四边形，∴∠ECF +∠EAF ＝180°，∵BD ∥CF ，∴∠ECF +∠B ＝180°，∴∠EAF ＝∠B ，∴∠AEF ＝∠EAF ，∴AE ＝EF ． 25．（8分）小明和小丽先后从A 地出发沿同一直道去B 地．设小丽出发第xmin 时，小丽、小明离B 地的距离分别为y 1m 、y 2m ．y 1与x 之间的函数表达式是y 1＝﹣180x +2250，y 2与x 之间的函数表达式是y 2＝﹣10x 2﹣100x +2000．（1）小丽出发时，小明离A 地的距离为 250 m ．（2）小丽出发至小明到达B 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？【解答】解：（1）∵y 1＝﹣180x +2250，y 2＝﹣10x 2﹣100x +2000，∴当x ＝0时，y 1＝2250，y 2＝2000，∴小丽出发时，小明离A 地的距离为2250﹣2000＝250（m ），故答案为：250；（2）设小丽出发第xmin 时，两人相距sm ，则s ＝（﹣180x +2250）﹣（﹣10x 2﹣100x +2000）＝10x 2﹣80x +250＝10（x ﹣4）2+90， ∴当x ＝4时，s 取得最小值，此时s ＝90，答：小丽出发第4min 时，两人相距最近，最近距离是90m ．26．（9分）如图，在△ABC 和△A 'B 'C '中，D 、D '分别是AB 、A 'B '上一点，AD AB =A′D′A′B′．（1）当CD C′D′=AC A′C′=AB A′B′时，求证△ABC ∽△A 'B 'C ．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当CD C′D′=AC A′C′=BC B′C′时，判断△ABC 与△A 'B 'C ′是否相似，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵AD AB =A′D′A′B′， ∴AD A′D′=AB A′B′， ∵CD C′D′=AC A′C′=AB A′B′， ∴CD C′D′=AC A′C′=AD A′D′，∴△ADC ∽△A ′D ′C ，∴∠A ＝∠A ′，∵AC A′C′=AB A′B′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．故答案为：CD C′D′=AC A′C′=AD A′D′，∠A ＝∠A ′．（2）如图，过点D ，D ′分别作DE ∥BC ，D ′E ′∥B ′C ′，DE 交AC 于E ，D ′E ′交A ′C ′于E ′．∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB =DE BC =AE AC ， 同理，A′D′A′B′=D′E′B′C′=A′E′A′C′， ∵AD AB =A′D′A′B′， ∴DE BC =D′E′B′C′， ∴DE D′E′=BC B′C′，同理，AE AC =A′E′A′C′，∴AC−AE AC =A′C′−A′E′A′C′，即EC AC =E′C′A′C′， ∴EC E′C′=AC A′C′， ∵CD C′D′=AC A′C′=BC B′C′， ∴CD C′D′=DE D′E′=EC E′C′， ∴△DCE ∽△D ′C ′E ′，∴∠CED ＝∠C ′E ′D ′，∵DE ∥BC ，∴∠CED +∠ACB ＝90°，同理，∠C ′E ′D ′+∠A ′C ′B ′＝180°，∴∠ACB ＝∠A ′B ′C ′，∵AC A′C′=CB C′B′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．27．（9分）如图①，要在一条笔直的路边l 上建一个燃气站，向l 同侧的A 、B 两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜AC′+C'B．请完成这个证明．（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．【解答】证明：（1）如图②，连接A'C'，∵点A，点A'关于l对称，点C在l上，∴CA＝CA'，∴AC+BC＝A'C+BC＝A'B，同理可得AC'+C'B＝A'C'+BC'，∵A'B＜A'C'+C'B，∴AC+BC＜AC'+C'B；（2）如图③，在点C出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB，（其中点D是正方形的顶点）；如图④，̂+EB，（其中CD，BE都与圆相切）在点C出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACD+DE。
2021年江苏省南京市中考数学真题试卷附解析
2021年江苏省南京市中考数学真题试卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1． 如图所示，立方体图中灰色的面对着你，那么它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是（ ）A ．1B ．21C ．31D ．41 3．如图所示的两同心圆中，大圆的半径 OA 、OB 、OC 、OD 分别交小圆于E 、F 、G 、H ， ∠AOB =∠GOH ，则下列结论错误的是（ ）A ．EF=GHB ．⌒EF = ⌒GHC ．∠AOG=∠BOD D ． ⌒AB =⌒GH4．把抛物线y=x 2＋bx ＋c 的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x 2－3x ＋5,则有（ ）A ．b=3,c=7B ．b=-9,c=-15C ．b=3,c=3D ．b=-9,c=215．下列命题中，真命题是（ ）A ．一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形B ．顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是矩形C ．等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形D ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形6．在□ABCD 中∠A=50°，则∠A 的邻角∠D 的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．130°D ．不能确定7．若9x 2+kx+16是一个完全平方式，则k 的值等于（ ）A.12B.24C.-24D.±248．一块试验田的形状是三角形（设其为ABC △），管理员从BC 边上的一点D 出发，沿DC CA AB BD →→→的方向走了一圈回到D 处，则管理员从出发到回到原处在途中身体（ ）A ．转过90B ．转过180C ．转过270D ．转过360 9．当25x >时，分式|25|52x x --的值是（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2310．点A为直线l外一点，点B在直线l上，若AB=5 cm，则点A到直线l的距离为（）A．等于5cm B．大于5 cm C．小于5 cm D．最多为5 cm11．如图所示的螺丝可以看成是（）A．圆柱和圆锥的组合体B．圆柱和棱柱的组合体C．圆锥和棱柱的组合体D．棱柱和棱锥的组合体12．小红设计了一个计算程序，并按此程序进行了两次计算．在计算中输入了不同的x值，但一次没有结果，另一次输出的结果是42，则这两次输入的x值不可能是（）A． 0，2 B．－1，－2 C． 0，1 D．6，－313．下列运算中，结果为负数的是（）A．（-5）×（-3）B．（-8）×O×（-6）C．（-6）+（-8）D．（-6）-（-8）14．在数轴上，如果点A在原点的右边，那么下列各数中，有可能是点 A 所表示的数的相反数的是（）A．5 B．1 C．0 D．-1815．如图，用火柴棒按如图的方式搭三角形，搭一个三角形需 3根火柴棒，如图甲；搭两个三角形需 5根火柴棒，如图乙；搭三个三角形需 7根火柴棒，如图丙. 那么按此规律搭下去，搭10 个三角形需要多少根火柴棒（）A．21 B．30 C．111 D．119二、填空题16．由光线所形成的投影称为平行投影；由从一点发出的光线形成的投影叫．17．小明利用暑假旅游，增长见识，某旅游区的交通如图所示，小明从入口处进入，任选一条道路，往里走，碰到叉路，再任选一条路，往里走，则他进入 B 景点的概率为．18．Rt△ABC中, 4cos2A-3=0,那么∠A=________.19．如图，△ABC 内接于⊙O，A 所对弧的度数为 120°．∠ABG、∠ACB 的平分线分别交AC、AB 于点D、E，CE、BD 相交于点F，以下四个结论：①AC=12BC；②BC=BD；③EF=FD；④BF=2DF. 其中一定正确的结论的序号数是．20．方程2x2-x-2=0的二次项系数是________，一次项系数是________，•常数项是________．21．当a 时，二次根式3a---有意义．22．如图是我市2月份某天24小时内的气温变化图，则该天的最大温差是℃．23．把方程0.10.2x110.30.7x+--=中的分母化为整数，得 .24．星期天，小慧约了小红替居委会打一份资料，小慧单独打需6小时完成，小红单独打需4小时完成，小慧、小红一起干，小红中途有事离开1小时，则打完这份资料需小时．三、解答题25．已知抛物线y=3x2－2x- 53与直线y=2x有两个交点，如何平移直线y=2x，使得直线与抛物线只有一个交点.26．已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DFGE是平行四边形．27．如图是一组用正多边形拼成的平面图形．(1)它们分别是由何种正多边形拼成的?(2)围绕图中某一点的所有角的和是多少? 由此你想到了什么?28．某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示.(1)根据图象数据，求y与x之间的函数解析式；(2)旅客最多可免费携带的行李质量是多少 kg？29．如图，在△ABC 中，∠C = 40°，∠DEC =35°，∠A = 105°，那么DE 与 AB 是否平行？请说明理由.30．随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“-”，刚好50km的记为“0”．第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程（km）8-11-14-016-41+8+（2）若每行驶100km需用汽油8L，汽油每升4.74元，试求小明家一年（按12个月计）的汽油费用是多少元？（可用计算器计算）【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．A2．D3．D4．A5．D6．C7．D8．D9．C10．D11．BD13．C14．D15．A二、填空题16．平行，中心投影17．2318． 30°19．③20．2，-1，-221．3≤-22．1223．101210137x x +--=24． 3三、解答题25．ｙ＝2ｘ＋ｂｙ＝3ｘ2－2ｘ－53，Δ＝0得ｂ＝－3，即向下平移3个单位； 26．提示：DE //FG ．(1)①正方形，②正三角形和正方形，③正方形、正六边形和正十二边形；(2)和是360°．在同一顶点和为360°的正多边形能密铺．28．(1)165y x=- (2) 30 kg29．DE∥AB(同位角相等，两直线平行) 30．(1)1500km；（2）6825.6元略．。
2022年江苏省南京市中考数学真题试卷附解析
2022年江苏省南京市中考数学真题试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图1表示正六棱柱形状的高大建筑物，图2表示该建筑物的俯视图，P 、Q 、M 、N 表示小明在地面上的活动区域，小明想同时看到该建筑物的三个侧面，他应在（ ） A ．P 区域B ．Q 区域C ．M 区域D ．N 区域2．已知关于x 的一元二次方程221()04x R r x d -++=无实数根，其中 R 、r 分别是⊙O 1、⊙O 2的半径，d 为两圆的圆心距，则⊙O 1、⊙O 2的位置关系为（ ） A ．外切B ．内切C ．外离D ．外切或内切3．在拼图游戏中，从如图左边的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成如图右边的“小房子”的概率等于（ ） A ．1B ． 12C ．13D ．234．小明和五名女同学和另四名男同学玩丢手帕游戏，小明随意将手帕丢在一名同学的后面，那么这名同学是女生的概率是（ ） A ．59B ．49C ．12D ． 455．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF ＝AC ，则∠ABC 的大小是 （ ） A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°6．一个跳水运动员从10米高台上跳水，他每一时刻所在的高度（单位：米）与所用时间（单位：秒）的关系是h ＝－5（t －2）（t ＋1）．则运动员起跳到入水所用的时间（ ） A ．－5B ．－1C ．1D ． 27．下列说法中，正确的个数是（ ）①样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好；②一组数据的方差一定是正数；③一组数据的方差的单位与原数据的单位是一致的； ④一组数据的标准差越大，则这组数据的方差一定越大． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为 （ ） A ．5-B ．5C ．2-D ．29．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，•除颜色外其他全部相同，小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的概率为15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ） A ．6 B ．16C ．18D ．2410．如图，在△ABC 中，DE 是边AB 的垂直平分线，BC=8cm ，AC=5cm 则△ADC 的周长为（ ） A ．14 cm B ．13 cm C ．11 cm D ．9 cm11．下面的图表是护士统计的一位病人一天的体温变化情况：时间 6:00 10:00 14:00 18:00 22:00 体温/℃37.638.338.039.137.9通过图表，估计这个病人下午16:00时的体温是（ ） A ．38.0℃ B ．39.1℃ C ．37.6℃ D ．38.6℃ 12．16的平方根是±４，用算式表示正确的是（ ） A ．164=± B ．164±= C ．164±=± D ．164±=± 13．若a a ±=-时,a 是（ ）A ． 全体实数B ． 正实数C ．负实数D ．零 二、填空题14． 如图，在高为 2m ，坡角为 30°的楼梯上铺地毯，则地毯长度至少要 m ．15．如图，四边形BDEF 是RtΔABC 的内接正方形，若AB ＝6，BC ＝4，则DE ＝ ． 16．如图，用一个半径为R ，圆心角为90°的扇形做成一个圆锥的侧面，•设圆锥底面半径为r ，则R ：r=________．17．已知△ABC ，可以画△ABC 的外接圆且只能画 个；对于给定的⊙O ，可以画⊙O 的个内接三角形．18．如图，矩形纸片ABCD 中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，那么折痕EF 的长为________．19．如图，直线 DE 经过点 A ，且∠1 =∠B ，∠2=50°，则∠3= ．20．长、宽分别为a 、b 的矩形硬纸片拼成的一个“带孔”正方形如图所示．利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式 ． 21．如图，(1)能用一个大写字母表示的角是 ； (2)以A 为顶点的角是 ；(3)图中共有 个角(小于平角的角)，它们分别是 ．22．如果2x =-是方程10kx k +-=的解，那么k = ． 23．比较大小：３10.三、解答题24．如图，甲转盘被分成 3 个面积相等的扇形，乙转盘被分成 4 个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为x ，乙转盘中指针所指区域内的数字为y （当指针指在边界线上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止）.(1）请你用画树状图或列表格的方法，求出点(),x y 落在第二象限内的概率； (2）直接写出点(),x y 落在函数1y x=-图象上的概率.25．某科技馆座落在山坡M 处，从山脚A 处到科技馆的路线如图所示．已知A 处海拔高度 为103.4m ，斜坡AB 的坡角为30，40m AB =，斜坡BM 的坡角为18，60m BM =，那么科技馆M 处的海拔高度是多少？（精确到0.1m ）(参考数据：sin180.309= cos180.951= tan180.324=）26． 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点P ，若AB=2 , AC=3． 求：(1）∠A 的度数； (2) ⌒CD 的长； (3）弓形CBD 的面积．27． 四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，6，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张卡片(不放回)，再从桌子上剩下的5张中随机抽取第二张卡片.(1）用画状图的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况； (2）计算抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是多少？28．如图，AD 平分∠BAC ，AB ＝AC ，则BD ＝CD ，试说明理由．29．配套的桌椅高度之间存在着一定的数量关系. 现测得两套不同的标准桌椅，相应的高度为：桌高 75.0 cm，椅子高 40. 5 cm；桌高70.2cm，椅子高37.5 cm．已知配套的桌高 y(cm)与椅子高 x(cm)之间存在的关系为y ax b=+．现有一套办公桌椅，椅子高为 44 cm，办公桌高为 80. 5 cm ．请你判断一下这套办公桌椅是否配套.30．小惠的牡丹卡上还有余款 260 元，小惠想买一件衬衣和一件连衣裙，衬衣价格为 98 元/件，连衣裙价格为 180 元/件，小惠用牡丹卡购买这两件商品会透支吗？用有理数加法说明理由.【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．C3．D4．A5．B6．D7．B8．C9．B10．B11．D12．C13．D二、填空题 14．(2+15．12516． 417．1，无数18．10 19．50°20．ab b a b a 4)()(22=--+（答案不唯一）21．(1)∠C 、∠B (2)∠CAD 、∠DAB 、∠CAB (3)7；∠B 、∠C 、∠l 、∠2、∠CAD 、∠DAB 、∠CAB22．-l23．<三、解答题 24．解：由题意，画树状图：由上图可知，点P （x,y ）的坐标共有12种等可能的结果，其中点（x,y ）落在第二象限的共有2种，∴点P （点（x,y ）落在第二象限）=61． (2）点P （点（x,y ）落在xy 1-=图象上）=41123=．25．解：过B 向水平线AC 作垂线BC ，垂足为C ，过M 向水平线BD 作垂线MD ， 垂足为D ，则11402022BC AB ==⨯=． sin18MD BM =600.309=⨯18.54=．∴科技馆M 处的海拔高度是：103.42018.54141.94141.9(m)++=≈． 26．（1）30度；（2）π32；（3）4331-π．27．(1)略 (2)1528．△ABD ≌△ACD （SAS ），则BD=CD ．29．配套30．会透支。
江苏省南京市2021年中考数学试题(含答案解析)
ADE江苏省南京市中考数学试卷（满分 1２0 分，考试时间 120 分钟）一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，满分 12 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.计算5 3 的结果是A ．－2B ．2C ．－8D ．8【答案】B 【解析】5 3 2 22.计算(xy 3 )2 的结果是A ． x 2 y 6【答案】 AB ． x 2 y6C ． x 2 y9D ． x 2 y9【解析】由积的乘方公式可得3. 如图，在△ABC 中，DE∥BC， AD 1 ，则下列结论中正确的是 DB 2 A ．AE 1B ． DE1 AC 2BC 2ADE 的周长 1 ADE 的面积 1C ．ABC 的周长=3【答案】C【解析】由周长比等于相似比D ．ABC 的面积=3BC4.某市 2013 年底机动车的数量是2106 辆，2014 年新增3105 辆，用科学记数法表示该市 2014 年底机动车的数量是 A ． 2.3105【答案】CB ． 3.2 105C ． 2.3106D ． 3.2106【解析】210631052.31065.估计5 1 介于2A ．0.4 与 0.5 之间B ．0.5 与 0.6 之间C ．0.6 与 0.7 之间D ．0.7 与 0.8 之间【答案】C445 1535ONG M【解析】 2.236 ，则5 10.61826. 如图，在矩形 ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于 E 、F 、G 三点，过点 D 作⊙O的切线交 BC 于点 M ，则 DM 的长为A ．133 C ．4 133【答案】AB ． 92D ． 2 5AEDF【解析】由勾股定理得：设 GM=x ， (3 x )242 (3 x )2BC解得， x 4 ，所以 DM =13 ．33二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分.不需写出解答过程，请把答案直接填在答．题．卡．相．应．位． 置．上） 7. 4 的平方根是 ▲ ；4 的算术平方根是 ▲ ．【答案】2 ；2【解析】2 ， 28. jsc 若式子 【答案】 x 1在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ▲ ．【解析】 x 1 0, x 19.jsc计算的结果是 ▲ ．【答案】5【解析】5 510. 分解因式(a b )(a 4b ) ab 的结果是 ▲．【答案】(a 2b )2【解析】(a b )(a 4b )ab a 2 4ab ab 4b 2ab a 2 4ab 4b 2 (a 2b )22x 1 111. 不等式2x 1 3 的解集是 ▲．【答案】1x 15x 1 5153O C D【解析】2x 1 1, 2x 2, x 12x 1 3, 2x 2, x 11 x 112. 已知方程 x2mx 3 0 的一个根是 1，则它的另一个根是 ▲，m 的值是 ▲ ．【答案】3；-4 【解析】1m 3 0, m 4x 2 4x 3 0 (x 1)(x 3) 0x 1, x 313. 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（2，-3），作点 A 关于 x 轴的对称点得到点 A ’，再作点 A ’关于 y 轴的对称点，得到点 A ’ ，则点 A ’ 的坐标是（ ▲ ， ▲ ）．【答案】-2；3【解析】（2，-3）关于 x 轴对称（2，3），关于 y 轴对称（-2，3） 14.某工程队有 14 名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示．工种 人数 每人每月工资/元电工 5 7000 木工 4 6000 瓦工56000现该工程队进行了人员调整：减少木工 2 名，增加电工，瓦工各 1 名．与调整前相比，该工程队员工月工资的方差▲（填“变小”，“不变”或“变大”）．【答案】变大【解析】电工的工资高于瓦工工资。
2022年南京市中考数学原卷及解析
2022年南京市中考数学试题分析一、总体分析1、试卷难度2022年南京中考数学试卷整体难度中等，和2019年、2020年难度类似，比2021年难度略低（2021年有几题超纲），整体难度系数接近0.7,符合中考大纲对于中考难度系数0.7的要求．平时数学学得不错的同学正常发挥，考108分以上问题不大．2、试卷结构（1）试卷分值：满分120分（2）题型分布：选择题1-6、填空题7-16、解答题17-27（3）内容占比：数与代数62分、图形与几何42分、统计与概率16分，代数、几何、概率统计分别占52%、35%、13%,基本符合中考大纲对于代数：几何：概统＝45:40:15的要求。
二、命题分析1、难题分析从压轴题上看，难题主要集中在几何模块，主要有：（1）选择题第6题：考查空间想象能力；（2）填空题第16题：找规律问题；（3）解答题第25题考查一次函数；解答第26题考查相似计算；解答第27题依然延续南京中考一贯的几何探究题型，需要认真阅读材料并模仿运用，题目比较灵活创新，需要学生在平时注重类比迁移能力的培养。
2、易错题分析（1）填空题第13题二次函数图像应该是开口朝下，即a<0；（2）解答第23题考查三角函数，有一定计算量，一些同学可能会用错公式或者出现计算错误；（3）解答第25题最后一问需要列分式方程，解分式方程时需要检验增根，很多不重视过程的学生容易遗忘。
3、变化趋势（1）代数方面：有理数、代数式、一元一次方程、一元一次不等式变化不大，难度、题量保持稳定；二次函数难度和分值相比去年有所降低，一次函数难度相比去年有了提升；三角函数是初高中内容衔接紧密的一块，每年解答题中必考一道。
（2）几何方面：平行四边形的性质与判定证明题依然是常见题型，前两年均未出现，2022果不其然有所考察；圆中的证明计算是南京中考的热点题型，2022年在小题中考查有所减少，但在解答题中有所增加，是一道非常重要的拉分题型。
另需要注意的是，相似的计算和探究在2022年考查得更加灵活多变。
2024学年江苏省南京市高二上学期期中考数学试题及答案
南京市2023－2024学年度第一学期期中调研测试高二数学2023.11注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第12题)、填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题)四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．若样本中A型号的产品有20件，则样本容量n为A．50B．80C．100D．2002．已知复数z0＝3＋i，其中i为虚数单位，复数z满足zz0＝3z＋z0，则z＝A．1－3i B．1＋3i C．3＋i D．3－i 3．已知圆C1：x2＋y2－x－ay＝0与圆C2：x2＋y2－2x－4y＋2＝0的公共弦所在直线与x轴垂直，则实数a的值为A．－4 B．－2 C．2 D．4 4．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数，即平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积．假令器形为圆台，盆口径(直径)一尺四寸，底径(直径)六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸(一尺等于十寸)，则平地降雨量为A．1 B．2 C．3 D．45．已知cos x＋sin x＝23，则sin2xcos(x－\f(π,4))＝A．－716B．－726C．－76D．－736．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F 2，A 为双曲线右支上一点，连接AF 1交y 轴于点B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线C 的离心率为A ．23B ．32C ．3D ．3327．在平面直角坐标系xOy 中，P 为直线3x ＋4y ＋1＝0上一点．若向量a ＝(3，4)，则向量OP→在向量a 上的投影向量为A ．－15B ．(－35，－45)C ．(－325，－425)D ．无法确定8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)．若 x ∈R ，f (x )≤f (π3)，且f (x )在(0，π)上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为A ．(0，32]B ．(34，32]C ．(34，94]D ．(32，94]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则A ．众数是22B ．80百分位数是28C ．平均数是30D ．前4个数据的方差比最后4个数据的方差小10．声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为y ＝A sin ωx ．设声音的函数为φ(x )，音的响度与φ(x )的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与φ(x )的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是f (x )＝sin x ＋12sin2x ，纯音乙的函数解析式是g (x )＝32sin ωx (ω＞0)，则下列说法正确的有A ．纯音乙的响度与ω无关B ．纯音乙的音调与ω无关C ．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则ω＞1D ．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)为抛物线C 上的任意三点(异于O 点)，FA → ＋FB → ＋FD →＝0，则下列说法正确的有A ．设A ，B 到直线x ＝－1的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2＜AB B ．FA ＋FB ＋FD ＝6C ．若FA ⊥FB ，则FD ＝ABD ．若直线AB ，AD ，BD 的斜率分别为k AB ，k AD ，k BD ，则1k AB ＋1k AD ＋1k BD ＝012．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ＝8，AD ＝6，点E 是正方形BCC 1B 1内部或边界上异于点C 的一点，则下列说法正确的有A ．若D 1E ∥平面ABB 1A 1，则E ∈C 1CB ．设直线D 1E 与平面BCC 1B 1所成角的最小值为θ，则tan θ＝223C ．存在E ∈BB 1，使得∠D 1EC ＞π2D ．若∠D 1EC ＝π2，则EB 的最小值为35－3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M (2，3)和N (4，0)，点Q 在x 轴上．若直线MQ 与直线MN 的夹角为90°，则点Q 的坐标为▲________．14．在△ABC 中，AB ＝36，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝75°，D 是射线BC 上一点，且CD ＝10，则AD ＝▲________．15．某商场为了促销，每天会在上午和下午各举办一场演出活动，两场演出活动相互独立．每个时段演出的概率分别如下：若某顾客打算第二天11：00抵达商场并逛3.5小时后离开，则他当天能观看到演出的概率为▲________．16．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(1，0)，|a －c |＝12，则向量b ，c 最大夹角的余弦值为▲________．上午演出时段9：00－9：3010：00－10：3011：00－11：30下午演出时段14：00－14：3015：00－15：3016：00－16：30相应的概率161213四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝sin x cos x－sin2x＋t(x∈R)的最大值为2 2．（1）求f(x)的解析式；（2）若 x∈[π12，π2]，f(x)－m≤0，求实数m的最小值．18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在l：x－2y＝0上，且圆C与x轴相切，直线l1：x－ay＝0(a∈R)，D(6，0)．（1）若直线l1与圆C相切，求a的值；（2）若直线l1与圆C相交于A，B两点，将圆C分成的两段弧的弧长之比为1∶3，且DA＝DB，求圆C的方程．19．(本小题满分12分)如图，一个质地均匀的正二十面体骰子的各面上标有数字0~9这10个数字(相对的两个面上的数字相同)，抛掷这个骰子，并记录下朝上一面(与地面或桌面平行)的数字．记事件A1为“抛两次，两次记录的数字之和大于16”，记事件A2为“抛两次，两次记录的数字之和为奇数”，事件A3为“抛两次，第一次记录的数字为奇数”．（1）求P(A1)，P(A2)；（2）判断事件A1A2与事件A3是否相互独立，并说明理由．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，AB → ·AC →＝b 2－12ab ．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的面积为32，且CM → ＝2MB → ，AN → ＝3NM → ，求|CN →|的最小值．21．(本小题满分12分)如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABB 1＝π2，∠B 1BC ＝π3．（1）证明：A 1C 1⊥B 1C ；（2）求直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为23，椭圆C 的上顶点为B ，且BF 1→ ·BF 2→＝－2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点A (2，－1)，且与椭圆C 交于M ，N 两点（不与B 重合），直线BM 与直线BN 分别交直线x ＝4于P ，Q 两点．判断是否存在定点G ，使得点P ，Q 关于点G 对称，并说明理由．（第21题图）南京市2023－2024学年度第一学期期中学情调研测试高二数学参考答案 2023.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．C2．A 3．D 4．B 5．D6．C7．C 8．B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分． 9．ACD10．AC11．BCD12．ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．(12，0)14．1415．4916．15－38四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）解：（1）f (x )＝sin x cos x －sin 2x ＋t ＝12sin2x －1－cos2x2＋t ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分＝12sin2x ＋12cos2x －12＋t ＝22sin(2x ＋π4)－12＋t ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为f (x )的最大值为22，所以22－12＋t ＝22，解得t ＝12，所以f (x )＝22sin(2x ＋π4)．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（2）由（1）可知f (x )＝22sin(2x ＋π4)，当x ∈[π12，π2]时，5π12≤2x ＋π4≤5π4，当2x ＋π4＝π2时，即x ＝π8时，f (x )max ＝22．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为f (x )－m ≤0恒成立，所以m ≥f (x )max 恒成立，即m ≥22恒成立，因此m 的最小值为22．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分18．（本小题满分12分）解：（1）因为圆心C 在直线l 上，可设C (2m ，m )，m ≠0．因为圆C 与x 轴相切，所以r ＝|m |．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分又因为直线l 1与圆C 相切，所以|m |＝|2m －am |a 2＋1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为m ≠0，解得a ＝34．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分（2）因为A ，B 把圆C 分成的两段弧长之比为1∶3，所以弦AB 所对劣弧圆心角为2π×14＝π2，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分所以圆心C 到l 1的距离d 等于圆C 半径的22倍，即22|m |＝|2m －am |a 2＋1，由（1）得m ≠0，解得a ＝1或a ＝7． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分又因为DA ＝DB ，所以AB 的垂直平分线经过D (6，0)和圆心C (2m ，m )，所以m2m －6＝－a ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分所以，当a ＝1时，m ＝2，圆C 方程为(x －4)2＋(y －2)2＝4，当a ＝7时，m ＝145，圆C 方程为(x －285)2＋(y －145)2＝19625．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分19．（本小题满分12分）解：若用(i ，j )表示第一次抛掷骰子数字为i ，用j 表示第二次抛掷骰子数字为j ，则样本空间Ω＝{(i ，j )|0≤i ≤9，0≤j ≤9，i ，j ∈Z }，共有100种等可能的样本点． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分（1）A 1＝{(8，9)，(9，8)，(9，9)}，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分所以P (A 1)＝3100．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为 A 2＝{(0，1)，(0，3)…(9，8)}共有50个样本点，所以P (A 2)＝50100＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（2）因为A 1A 2＝{(8，9)，(9，8)}，所以P (A 1A 2)＝2100＝150．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为A 3＝{(1，0)，(1，1)…(9，9)}，共有50个样本点，所以P (A 3)＝50100＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分因为A 1A 2A 3＝{(9，8)}，所以P (A 1A 2A 3)＝1100．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分因为P (A 1A 2)P (A 3)＝150×12＝P (A 1A 2A 3)，所以事件A 1A 2与事件A 3独立．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分20．（本小题满分12分）解：（1）方法1因为AB → ·AC → ＝b 2－12ab ，所以bc cos A ＝b 2－12ab ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分由余弦定理得bc ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2－12ab ，化简得b 2＋a 2－c 22ab ＝12，所以cos C ＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为C 为△ABC 内角，所以C ＝π3．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分方法2因为AB → ·AC →＝b 2－12ab ，所以bc cos A ＝b 2－12ab ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分由正弦定理得sin B sin C cos A ＝sin 2B －12sin A sin B ．因为B 为△ABC 内角，所以sin B ≠0，所以sin C cos A ＝sin B －12sin A ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C cos A ＝sin(A ＋C )－12sin A ，即sin C cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C －12sin A ，化简得sin A cos C ＝12sin A ．因为A 为△ABC 内角，所以sin A ≠0，所以cos C ＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为C 为△ABC 内角，所以C ＝π3．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分（2）因为S △ABC ＝12ab sin C ＝32，所以ab ＝2．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分因为CM → ＝2MB → ，AN → ＝3NM → ，所以CN → ＝CA → ＋AN → ＝CA → ＋34AM → ＝CA → ＋34(CM →－CA → )＝14CA → ＋34CM → ＝14CA → ＋12CB →，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分从而|C N → |2＝(14CA → ＋12CB → )2＝116b 2＋14a 2＋14CA → ·CB→＝116b 2＋14a 2＋14∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分≥2116b 2×14a 2＋14＝34．当且仅当116b 2＝14a 2，即a ＝1，b ＝2时取等号．所以|C N →|的最小值为32．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分21．（本小题满分12分）（1）证明：连接AB 1，在△ABB 1中，∠ABB 1＝π2，AB ＝BB 1＝1，所以AB 1＝2，在△BCB 1中，∠B 1BC ＝π3，BC ＝BB 1＝1，所以B 1C ＝1，所以在△ACB 1中，AB 1＝2，B 1C ＝1，AC ＝1，所以AB 12＝AC 2＋B 1C 2，所以AC ⊥B 1C ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分又因为在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，所以A 1C 1⊥B 1C ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分（2）方法1解：连接AB 1，A 1B ，交于点O ，连接BC 1，连接CO ．在边长都为1的正方形A 1ABB 1中，O 是AB 1的中点，又因为B 1C ＝AC ＝1，所以CO ⊥AB 1． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分因为四边形B 1BCC 1边长都为1，所以B 1C ⊥BC 1．由(1)知B 1C ⊥A 1C 1．又因为A 1C 1∩BC 1＝C 1，A 1C 1，BC 1⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥平面A 1BC 1．因为A 1B ⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥A 1B ．因为在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，A 1B ⊥AB 1．又因为AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1，B 1C ⊂平面AB 1C ，所以A 1B ⊥平面AB 1C ．因为CO ⊂平面AB 1C ，所以CO ⊥A 1B ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分又因为A 1B ∩AB 1＝O ，A 1B ，AB 1⊂平面A 1ABB 1，所以CO ⊥平面A 1ABB 1，所以∠CBO 即为直线BC 与平面ABB 1A 1所成的角． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，∠ABB 1＝π2，所以BO ＝22．因为BC ＝1，所以cos ∠CBO ＝22，所以∠CBO ＝π4，所以直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小为π4． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分方法2解：取AB 1中点O ，连接BO ，CO ．在△ACB 1中，AC ＝B 1C ＝1，所以CO ⊥AB 1， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分在边长都为1的正方形A 1ABB 1中，BO ＝22，A 1B ＝2．又因为AC 2＋B 1C 2＝A 1B 2，所以△ACB 1为直角三角形，所以CO ＝22．在△ACB 1中，CO 2＋BO 2＝BC 2，所以CO ⊥BO ．…………………………………………8分又因为AB 1∩BO ＝O ，AB 1，BO 平面A 1ABB 1，所以CO ⊥平面A 1ABB 1，所以∠CBO 即为直线BC 与平面ABB 1A 1所成的角．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，∠ABB 1＝π2，所以BO ＝22．因为BC ＝1，所以cos ∠CBO ＝22，所以∠CBO ＝π4，所以直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小为π4．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分22．（本小题满分12分）解：（1）因为BF 1→ ＝(－3，－b )，BF 2→＝(3，－b )，所以BF 1→ ·BF 2→＝b 2－3＝－2，所以b 2＝1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分因为c ＝3，所以a 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分（2）设直线MN 的方程为y ＝k (x －2)－1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立{x 2＋4y 2＝4，y ＝k (x －2)－1，消去y 得，(1＋4k 2)x 2－8k (1＋2k )x ＋16k 2＋16k ＝0，所以x 1＋x 2＝8k (1＋2k )1＋4k 2，x 1x 2＝16k 2＋16k 1＋4k 2，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分直线BM 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1，直线BN 的方程为y ＝y 2－1x 2x ＋1，设P ，Q 两点的纵坐标分别为y P ，y Q ，所以y P ＝4×y 1－1x 1＋1，y Q ＝4×y 2－1x 2＋1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为y P ＋y Q ＝4×(y 2－1x 2＋y 1－1x 1)＋2＝4×[k (x 2－2)－2x 2＋k (x 1－2)－2x 1]＋2＝4×(2k －2k ＋2x 2－2k ＋2x 1)＋2＝4×[2k －(2k ＋2)x 1＋x 2x 1x 2]＋2∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分＝4×[2k －(2k ＋2)8k (1＋2k )16(k ＋k 2)]＋2＝4×[2k －(2k ＋1)]＋2＝－2，所以y P ＋y Q 2＝－1，所以存在G (4，－1)，使得点P ，Q 关于点G 对称．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分。
江苏省南京市2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)
江苏省南京市2020年中考数学试卷一、选择题（共6题；共12分）1.计算3−(−2)的结果是（）A. -5B. -1C. 1D. 5【答案】 D【考点】有理数的减法【解析】【解答】解：3−(−2)=3+2=5.故答案为：D.【分析】利用有理数的减法法则转化为加法，再计算即可.2.3的平方根是（）A. 9B. √3C. −√3D. ±√3【答案】 D【考点】平方根【解析】【解答】∵(±√3)2=3∴3的平方根是±√3.故答案为：D.【分析】直接根据平方根的概念即可求解.3.计算(a3)2÷a2的结果是（）A. a3B. a4C. a7D. a8【答案】B【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方【解析】【解答】解：(a3)2÷a2=a6÷a2=a4.故答案为：B.【分析】先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法，从而可得答案.4.党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置，根据国家统计局发布的数据，2012−2019年年末全国农村贫困人口的情况如图所示，根据图中提供的信息，下列说法错误的是（）A. 2019年末，农村贫困人口比上年末减少551万人B. 2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9000万人C. 2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上D. 为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村人口的任务【答案】A【考点】条形统计图【解析】【解答】A、1660-551=1109，即2019年末，农村贫困人口比上年末减少1109万人，故本选项推断不合理，符合题意；B、2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少：9899-551=9348，所以超过9000万人，故本选项推断合理，不符合题意；C、9899-8249=1650，8249-7017=1232，7017-5575=1442，5575-4335=1240，4335-3046=1289，3046-1660=1386，1660-551=1109，所以连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上，故本选项推理合理，不符合题意；D、根据2012～2019年年末全国农村贫困发生率统计图，知：2019年末，还有551万农村人口的脱贫任务，故本选项推理合理，不符合题意；故答案为：A.【分析】用2018年年末全国农村贫困人口数减去2019年年末全国农村贫困人口数，即可判断A；用2012年年末全国农村贫困人口数减去2019年年末全国农村贫困人口数，即可判断B；根据2012～2019年年末全国农村贫困发生率统计图，通过计算即可判断C；根据2012～2019年年末全国农村贫困发生率统计图，即可判断D.5.关于x的方程(x−1)(x+2)=ρ2（ρ为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（）A. 两个正根B. 两个负根C. 一个正根，一个负根D. 无实数根【答案】C【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解：(x−1)(x+2)=ρ2，整理得：x2+x−3−ρ2=0，∴Δ=12−4(−3−ρ2)=4ρ2+13>0，∴方程有两个不等的实数根，设方程两个根为x1、x2，∵x1+x2=−1，x1x2=−3−p2∴两个异号，而且负根的绝对值大.故答案为：C.【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可.6.如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0,8)，则点D的坐标是（）A. (9,2)B. (9,3)C. (10,2)D. (10,3)【答案】A【考点】坐标与图形性质，矩形的性质，切线的性质【解析】【解答】设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形.∵OA=8，∴CF=8-5=3，∴PF=4，∴OB=EF=5+4=9.∵PF过圆心，∴DF=CF=3，∴BD=8-3-3=2，∴D(9，2).故答案为：A.【分析】在Rt△CPF中根据勾股定理求出PF的长，再根据垂径定理求出DF的长，进而求出OB，BD的长，从而求出点D的坐标.二、填空题（共10题；共10分）7.写出一个负数，使这个数的绝对值小于3________.【答案】-1【考点】绝对值及有理数的绝对值，有理数大小比较【解析】【解答】解：∵|-1|=1，1<3，∴这个负数可以是-1.故答案为：-1（答案不唯一）.【分析】根据绝对值的定义及有理数的大小比较方法求解即可.8.若式子1−1x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是________.【答案】x≠1【考点】分式有意义的条件【解析】【解答】解：由题意得：x−1≠0,∴x≠1,故答案为：x≠1【分析】由分式有意义的条件可得答案.9.纳秒(ns)是非常小的时间单位，1ns=10−9s，北斗全球导航系统的授时精度优于20ns，用科学记数法表示20ns是________.【答案】2×10−8s【考点】科学记数法—表示绝对值较小的数【解析】【解答】∵1ns=10−9s，∴20ns=20×10-9s，用科学记数法表示得2×10−8s，故答案为：2×10−8s.【分析】根据科学记数法的表示形式进行表示即可.10.计算√3√3+√12的结果是________.【答案】13【考点】二次根式的性质与化简【解析】【解答】√3√3+√12=√3√3+2√3 =√33√3=13， 故答案为： 13 .【分析】先化成最简二次根式，再根据二次根式的加减法法则计算出分母，最后约分即可.11.已知x 、y 满足方程组 {x +3y =−12x +y =3，则 x +y 的值为________. 【答案】 1【考点】解二元一次方程组【解析】【解答】解： {x +3y =−1①2x +y =3②① ×2 得： 2x +6y =−2 ③③－②得： 5y =−5,∴y =−1,把 y =−1 代入①：∴x −3=−1,∴x =2,所以方程组的解是： {x =2y =−1, ∴x +y =1.故答案为：1【分析】先解方程组求解 x,y ，从而可得答案.12.方程 x x−1=x−1x+2 的解是________.【答案】 x =14【考点】解分式方程【解析】【解答】解： ∵x x−1=x−1x+2∴(x −1)2=x(x +2),∴x 2−2x +1=x 2+2x,∴4x =1,∴x =14. 经检验： x =14 是原方程的根.故答案为： x =14 .【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可.13.将一次函数 y =−2x +4 的图象绕原点O 逆时针旋转 90∘ ，所得到的图像对应的函数表达式是________.x+2【答案】y=12【考点】一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数解析式【解析】【解答】∵一次函数的解析式为y=−2x+4，∴设与x轴、y轴的交点坐标为A(2,0)、B(0,4)，∵一次函数y=−2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90∘，∴旋转后得到的图象与原图象垂直，旋转后的点为A1(0,2)、B1(-4,0)，，b=2，令y=ax+b，代入点得a=12∴旋转后一次函数解析式为y=1x+2.2x+2.故答案为y=12【分析】根据一次函数互相垂直时系数之积等于-1，进而得出答案；14.如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为________.【答案】2√3【考点】圆内接正多边形【解析】【解答】解：如图，连接BF,过A作AG⊥BF于G，∵正六边形ABCDEF,∴AB=AF=FE=2,∠A=120°=∠ABC=∠AFE,∴∠ABF=∠AFB=30°,BG=FG,∴∠CBF=∠BFE=90°,AG=AB•sin30°=1,BG=AB•cos30°=√3,∴CB//EF,BF=2√3,∴S△PEF=1×2×2√3=2√3.2故答案为：2√3.【分析】如图，连接BF 过A作AG⊥BF于G，利用正六边形的性质求解BF的长，利用BF与EF 上的高相等，从而可得答案.15.如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1=39°，则∠AOC=________.【答案】78°【考点】垂线，三角形的外角性质，线段垂直平分线的性质【解析】【解答】如图，连接BO并延长，∵l1、l2分别是线段AB、BC的垂直平分线，∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90 °，∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，∴∠2=2∠A，∠3=2∠C，∠OGD=∠OFE=90 °-39 °=51 °，∴∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，∵∠OGD=∠A+∠AOG，∠OFE=∠C+∠COF，∴∠AOG =51 °-∠A，∠COF =51 °-∠C，而∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180 °，∴51 °-∠A+2∠A+2∠C+51 °-∠C+39 °=180 °，∴∠A+∠C=39 °，∴∠AOC=2(∠A+∠C)=78 °，故答案为：78 °.【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∠AOG =51 °-∠A，∠COF =51 °-∠C，利用平角的定义得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180 °，计算即可求解.16.下列关于二次函数y=−(x−m)2+m2+1（m为常数）的结论，①该函数的图象与函数y=−x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0,1)；③当x>0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图像上，其中所有正确的结论序号是________.【答案】 ①②④【考点】二次函数图象的几何变换，二次函数y=ax^2+bx+c 的图象，二次函数y=ax^2+bx+c 的性质【解析】【解答】 ∵ 当 m >0 时，将二次函数 y =−x 2 的图象先向右平移m 个单位长度，再向上平移 m 2+1 个单位长度即可得到二次函数 y =−(x −m)2+m 2+1 的图象；当 m <0 时，将二次函数 y =−x 2 的图象先向左平移 −m 个单位长度，再向上平移 m 2+1 个单位长度即可得到二次函数 y =−(x −m)2+m 2+1 的图象∴ 该函数的图象与函数 y =−x 2 的图象形状相同，结论①正确对于 y =−(x −m)2+m 2+1当 x =0 时， y =−(0−m)2+m 2+1=1即该函数的图象一定经过点 (0,1) ，结论②正确由二次函数的性质可知，当 x ≤m 时，y 随x 的增大而增大；当 x >m 时，y 随x 的增大而减小 则结论③错误y =−(x −m)2+m 2+1 的顶点坐标为 (m,m 2+1)对于二次函数 y =x 2+1当 x =m 时， y =m 2+1即该函数的图象的顶点 (m,m 2+1) 在函数 y =x 2+1 的图象上，结论④正确综上，所有正确的结论序号是①②④故答案为：①②④.【分析】①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当 x =0 时，y 的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数 y =−(x −m)2+m 2+1 的顶点坐标，再代入函数 y =x 2+1 进行验证即可得.三、解答题（共11题；共71分）17.计算： (a −1+1a+1)÷a 2+2a a+1【答案】 解： (a −1+1a+1)÷a 2+2a a+1 =(a−1)(a+1)+1a+1⋅a+1a 2+2a =a 2a+1⋅a+1a(a+2)=a a+2 .【考点】分式的混合运算【解析】【分析】先把括号里通分，再把除法转化为乘法，然后约分化简即可.18.解方程： x 2−2x −3=0 .【答案】 解：因式分解得：（x+1）（x-3）=0，即x+1=0或x-3=0，解得：x 1=-1，x 2=3【考点】因式分解法解一元二次方程【解析】【分析】将方程的左边因式分解后即可求得方程的解19.如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ．求证：BD=CE.【答案】 解：在△ABE 与△ACD 中，{∠A ＝∠AAB ＝AC ∠B ＝∠C，∴△ACD ≌△ABE （ASA ），∴AD=AE （全等三角形的对应边相等）,∴AB-AD=AC-AE ，即：BD=CE.【考点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】首先利用ASA 判断出 △ACD ≌△ABE ，根据全等三角形的对应边相等得出 AD=AE ，然后根据等式的性质，由等量减去等量差相等得出 BD=CE.20.已知反比例函数 y =k x的图象经过点 (−2,−1) （1）求k 的值（2）完成下面的解答解不等式组 {2−x >1①k x >1② 解：解不等式①，得________.根据函数 y =k x 的图象，得不等式②得解集________.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来________从中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集________.【答案】 （1）解：因为点 (−2,−1) 在反比例函数 y =k x 的图像上，所以点 (−2,−1) 的坐标满足 y =k x ，即 −1=k −2 ，解得 k =2 ；（2）x ＜1；0＜x ＜2；；0＜x ＜1【考点】在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组，反比例函数的图象，待定系数法求反比例函数解析式【解析】【分析】（2）解： {2−x >1①k x>1② ， 解不等式①，得 x <1 ；∵y=1时，x=2，∴根据函数 y =k x 的图象，得不等式②得解集 0<x <2 .把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：从中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为 0<x <1 .【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据移项、合并同类项、系数化为1求出不等式①的解集；根据反比例函数的图像求出不等式②的解集，进而求出公共部分即可.21.为了了解某地居民的用电量情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量（单位： kW ⋅ℎ ）进行调查，整理样本数据得到下面的频数分布表：根据抽样调查的结果，回答下列问题：（1）该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第________组内.（2）估计该地1万户居民六月份的用电量低于 178kW ⋅ℎ 的大约有多少户.【答案】（1）2×10000=7500（户）（2）解：50+100200因此，估计该地1万户居民六月的用电量低于178kW⋅ℎ的大约有7500户.【考点】用样本估计总体，频数（率）分布表，中位数【解析】【解答】解：（1）将200个数据按大小顺序排列最中间两个数即第100和101个数，它们的平均数即为中位数，这两个数都落在第2组，故答案为：2；【分析】（1）将200个数据按大小顺序排列最中间两个数的平均数即为中位数，进而可解决问题；（2）求出用电量低于178kW⋅ℎ的户数的百分比，根据总户数求出答案..22.甲、乙两人分别从A、B、C这3个景点随机选择2个景点游览.（1）求甲选择的2个景点是A、B的概率.（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是________.【答案】（1）解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：（2）13【考点】列表法与树状图法，概率公式【解析】【解答】解：（2）共有9种可能出现的结果，其中选择A、B的有2种，∴P（A、B）= 2；9.故答案为：13【分析】（1）列举出所有可能出现的结果，利用概率公式求解即可；（2）根据树状图求得恰好只有两人选择相同的情况，再根据概率公式求解即可.23.如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C，一艘轮船从A处出发，北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD=45°，∠C=37°求轮船航行的距离AD (参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】解：如图，过点D作DH⊥AC，垂足为H在RtΔDCH中，∠C=37°∵tan37°=DHCH∴CH=DHtan37°在RtΔDBH中，∠DBH=45°∵tan45°=DHBH∴BH=DHtan45°∵BC=CH−BH∴DH tan37°−DHtan45°=6∴DH≈18在RtΔDAH中，∠ADH=26°∵cos26°=DHAD∴AD=DHcos26°≈20（km）因此，轮船航行的距离AD约为20km【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题和BH=【解析】【分析】过点D作DH⊥AC，垂足为H，通过解RtΔDCH和RtΔDBH得CH=DHtan37°DH，根据BC=CH−BH求得DH，再解RtΔDAH求得AD即可.tan45°24.如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF//BC，交⊙O于点F，求证：（1）四边形DBCF是平行四边形（2）AF=EF【答案】（1）证明：∵AC=BC，∴∠BAC=∠B，∵DF//BC，∴∠ADF=∠B，又∠BAC=∠CFD,∴∠ADF=∠CFD,∴BD//CF,四边形DBCF是平行四边形.（2）证明：如图，连接AE∵∠ADF=∠B，∠ADF=∠AEF∴∠AEF=∠B四边形AECF是⊙O的内接四边形∴∠ECF+∠EAF=180°∵BD//CF∴∠ECF+∠B=180°∴∠EAF=∠B∴∠AEF=∠EAF∴AF=EF【考点】平行线的性质，平行四边形的判定，圆内接四边形的性质【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAC=∠B，利用平行线证明∠ADF=∠B，利用圆的性质证明∠BAC=∠CFD，再证明BD//CF,即可得到结论；（2）如图，连接AE，利用平行线的性质及圆的基本性质∠AEF=∠B，再利用圆内接四边形的性质证明∠EAF=∠B，从而可得结论.25.小明和小丽先后从A地出发同一直道去B地，设小丽出发第xmin时，小丽、小明离地的距离分别为y m1、y m2，y1与x之间的数表达式y1=−180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2=−10x2−100x+2000.（1）小丽出发时，小明离A地的距离为________ m.（2）小丽发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？【答案】（1）250（2）解：设小丽出发第x min 时，两人相距Sm，则S=−180x+2250−(−10x2−100x+2000)即S=10x2−80x+250其中0≤x≤10因此，当x=−b2a =−−802×10=4时S有最小值，4ac−b24a =4×10×250−(−80)24×10=90也就是说，当小丽出发第4min时，两人相距最近，最近距离是90m【考点】二次函数的其他应用【解析】【解答】解：（1）当x=0时，y1=2250，y2=2000∴y1- y2=2250-2000=250（m）故答案为：250【分析】（1）由x=0时，根据y1- y2求得结果即可；（2）求出两人相距的函数表达式，求出最小值即可.26.如图，在△ABC和△A′B′C′中，D、D′分别是AB、A′B′上一点，ADAB =A′D′A′B′.（1）当CDC′D′=ACA′C′=ABA′B′时，求证：△ABC~△A′B′C′证明的途径可以用如框图表示，请填写其中的空格E′（2）当CDC′D′=ACA′C′=BCB′C′时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由【答案】（1）解：∵ADAB =A′D′A′B′，∴ABA′B′=ADA′D′，∵CDC′D′=ACA′C′=ABA′B′，∴CDC′D′=ACA′C′=ADA′D′，∴△ADC~△A′D′C′，∴∠A=∠A′，∵ACA′C′=ABA′B′，∴△ABC~△A′B′C′，故答案为：CDC′D′=ACA′C′=ADA′D′，∠A=∠A′；（2）解：如图，过点D、D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于点E，D′E′交A′C′于点E′，∵DE∥BC，∴△ADE~△ABC，∴ADAB =DEBC=AEAC，同理：A′D′A′B′=D′E′B′C′=A′E′A′C′，又ADAB =A′D′A′B′，∴DEBC =D′E′B′C′，∴DED′E′=BCB′C′，同理：AEAC =A′E′A′C′，∴AC−AEAC =A′C′−A′E′A′C′，即ECAC =E′C′A′C′，∴ECE′C′=ACA′C′，又CDC′D′=ACA′C′=BCB′C′，∴CDC′D′=DED′E′=ECE′C′，∴△DCE~△D′C′E′，∴∠CED=∠C′E′D′，∵DE∥BC，∴∠CED+∠ACB=180°，同理：∠CED′+∠A′CB′=180°，∴∠ACB=∠A′C′B′，又ACA′C′=BCB′C′，∴△ABC~△A′B′C′.【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）根据CDC′D′=ACA′C′=ABA′B′=ADA′D′证得△ADC~△A′D′C′，推出∠A=∠A′，再证明结论；（2）作DE∥BC，D′E′∥B′C′，利用三边对应成比例证得DCE~△D′C′E′，再推出∠ACB=∠A′C′B′，证得ACA′C′=BCB′C′，即可证明△ABC~△A′B′C′.27.如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短.（1）如图②，作出点A关于l的对称点A′，线A′B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C 处建气站，所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在l直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，证明AC+CB<AC′+C′B，请完成这个证明.（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由），①生市保护区是正方形区城，位置如图③所示②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示.【答案】（1）证明：如图，连接A′C∵点A、A′关于l对称，点C在l上∴A′C=CA，∴CA+CB=A′C+CB=A′B，同理AC′+C′B=A′C′+C′B，在ΔA′C′B中，有A′B<A′C′+C′B∴AC+CB<AC′+C′B；（2）解：①在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DB（如图，其中D是正方形的顶点）.⌢+EB（如图，其中CD、BE都与圆相切）.②在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DE【考点】轴对称的应用-最短距离问题【解析】【分析】（1）连接A′C，利用垂直平分线的性质，得到A′C=CA，利用三角形的三边关系，即可得到答案；（2）由（1）可知，在点C处建燃气站，铺设管道的路线最短.分别对①、②的道路进行设计分析，即可求出最短的路线图.。
2020年江苏省南京市中考数学试卷和答案解析
2020年江苏省南京市中考数学试卷和答案解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）计算3﹣（﹣2）的结果是（）A．﹣5B．﹣1C．1D．5解析：根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．参考答案：解：3﹣（﹣2）＝3+2＝5．故选：D．点拨：本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．2．（2分）3的平方根是（）A．9B．C．﹣D．±解析：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有正、负两个平方根，他们互相为相反数；零的平方根是零，负数没有平方根．参考答案：解：∵（）2＝3，∴3的平方根．故选：D．点拨：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．3．（2分）计算（a3）2÷a2的结果是（）A．a3B．a4C．a7D．a8解析：根据幂的乘方、同底数幂的除法的计算法则进行计算即可．参考答案：解：（a3）2÷a2＝a3×2÷a2＝a6﹣2＝a4，故选：B．点拨：本题考查幂的乘方、同底数幂除法的计算法则，掌握计算法则是正确计算的前提．4．（2分）党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置．根据国家统计局发布的数据，2012～2019年年末全国农村贫困人口的情况如图所示．根据图中提供的信息，下列说法错误的是（）A．2019年末，农村贫困人口比上年末减少551万人B．2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9000万人C．2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上D．为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村贫困人口的任务解析：根据条形统计图中每年末贫困人口的数量，结合各选项逐一分析判断可得答案．参考答案：解：A．2019年末，农村贫困人口比上年末减少1660﹣551＝1109（万人），此选项错误；B．2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9899﹣551＝9348（万人），此选项正确；C．2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上，此选项正确；D．为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村贫困人口的任务，此选项正确；故选：A．点拨：本题主要考查条形统计图，解题的关键是根据条形统计图得出解题所需的具体数据．5．（2分）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）A．两个正根B．两个负根C．一个正根，一个负根D．无实数根解析：先把方程（x﹣1）（x+2）＝p2化为x2+x﹣2﹣p2＝0，再根据方程有两个不相等的实数根可得△＝1+8+4p2＞0，由﹣2﹣p2＞0即可得出结论．参考答案：解：∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数），∴x2+x﹣2﹣p2＝0，∴△＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，∴方程有两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣2﹣p2＜0，∴一个正根，一个负根，故选：C．点拨：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x 轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（）A．（9，2）B．（9，3）C．（10，2）D．（10，3）解析：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标．参考答案：解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，则PE⊥y轴，PF⊥x轴，∵∠EOF＝90°，∴四边形PEOF是矩形，∵PE＝PF，PE∥OF，∴四边形PEOF为正方形，∴OE＝PF＝PE＝OF＝5，∵A（0，8），∴OA＝8，∴AE＝8﹣5＝3，∵四边形OACB为矩形，∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB，∴EG∥AC，∴四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形，∴CG＝AE＝3，EG＝OB，∵PE⊥AO，AO∥CB，∴PG⊥CD，∴CD＝2CG＝6，∴DB＝BC﹣CD＝8﹣6＝2，∵PD＝5，DG＝CG＝3，∴PG＝4，∴OB＝EG＝5+4＝9，∴D（9，2）．故选：A．点拨：本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，关键是求出CG的长度．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．（2分）写出一个负数，使这个数的绝对值小于3：﹣1（答案不唯一）．解析：首先根据一个负数的绝对值小于3，可得这个负数大于﹣3且小于0；然后根据绝对值的含义和求法，求出这个数是多少即可．参考答案：解：∵一个负数的绝对值小于3，∴这个负数大于﹣3且小于0，∴这个负数可能是﹣2、﹣1.5、﹣1、…．故答案为：﹣1（答案不唯一）．点拨：此题主要考查了绝对值的含义和运用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．8．（2分）若式子1﹣在实数范围内有意义，则x的取值范围是x ≠1．解析：直接利用分式有意义的条件分析得出答案．参考答案：解：若式子1﹣在实数范围内有意义，则x﹣1≠0，解得：x≠1．故答案为：x≠1．点拨：此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．9．（2分）纳秒（ns）是非常小的时间单位，1ns＝10﹣9s．北斗全球导航系统的授时精度优于20ns．用科学记数法表示20ns是2×10﹣8s．解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．参考答案：解：20ns＝20×10﹣9s＝2×10﹣8s，故答案为：2×10﹣8．点拨：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．（2分）计算的结果是．解析：直接利用二次根式的性质化简得出答案．参考答案：解：原式＝＝＝．故答案为：．点拨：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．11．（2分）已知x、y满足方程组，则x+y的值为1．解析：求出方程组的解，代入求解即可．参考答案：解：，①×2﹣②得：5y＝﹣5，解得：y＝﹣1，①﹣②×3得：﹣5x＝﹣10，解得：x＝2，则x+y＝2﹣1＝1，故答案为1．点拨：本题考查了解二元一次方程组，整式的求值的应用，求得x、y的值是解此题的关键．12．（2分）方程＝的解是x＝．解析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．参考答案：解：方程＝，去分母得：x2+2x＝x2﹣2x+1，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．故答案为：x＝．点拨：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．13．（2分）将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是y＝x+2．解析：利用直线与两坐标轴的交点坐标，求得旋转后的对应点坐标，然后根据待定系数法即可求得．参考答案：解：在一次函数y＝﹣2x+4中，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝2，∴直线y＝﹣2x+4经过点（0，4），（2，0）将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，则点（0，4）的对应点为（﹣4，0），（2，0）的对应点是（0，2）设对应的函数解析式为：y＝kx+b，将点（﹣4，0）、（0，2）代入得，解得，∴旋转后对应的函数解析式为：y＝x+2，故答案为y＝x+2．点拨：此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握互相垂直的两直线系数关系是解题关键．14．（2分）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为2cm2．解析：连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T，证明S△PEF＝S△BEF，求出△BEF的面积即可．参考答案：解：连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T∵ABCDEF是正六边形，∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，∴S△PEF＝S△BEF，∵AT⊥BE，AB＝AF，∴BT＝FT，∠BAT＝∠FAT＝60°，∴BT＝FT＝AB•sin60°＝，∴BF＝2BT＝2，∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，∴∠BFE＝90°，∴S △PEF＝S△BEF＝•EF•BF＝×2×＝2，故答案为2．点拨：本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．15．（2分）如图，线段AB、BC的垂直平分线11、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝78°．解析：解法一：过O作射线BP，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得结论．解法二：连接OB，同理得AO＝OB＝OC，由等腰三角形三线合一得∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，由平角的定义得∠BOD+∠BOE＝141°，最后由周角的定义可得结论．参考答案：解：解法一：过O作射线BP，∵线段AB、BC的垂直平分线11、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝39°，∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°；解法二：连接OB，∵线段AB、BC的垂直平分线11、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°，∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°，∴∠AOD+∠COE＝141°，∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°；故答案为：78°．点拨：本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16．（2分）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是①②④．解析：利用二次函数的性质一一判断即可．参考答案：解：①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①正确；②∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1，∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；③∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；④∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故结论④正确，故答案为①②④．点拨：本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算（a﹣1+）÷．解析：先计算括号内异分母分式的加法、将除式分子因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．参考答案：解：原式＝（+）÷＝•＝．点拨：本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．18．（7分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．解析：通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．参考答案：解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0x﹣3＝0，x+1＝0∴x1＝3，x2＝﹣1．点拨：熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数．19．（8分）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．解析：要证BD＝CE只要证明AD＝AE即可，而证明△ABE≌△ACD，则可得AD＝AE．参考答案：证明：在△ABE与△ACD中，∴△ABE≌△ACD（ASA）．∴AD＝AE．∴BD＝CE．点拨：考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题得出三角形全等后，再根据全等三角形的性质可得线段相等．20．（8分）已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，﹣1）．（1）求k的值．（2）完成下面的解答．解不等式组解：解不等式①，得x＜1．根据函数y＝的图象，得不等式②的解集0＜x＜2．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集0＜x＜1．解析：（1）把点（﹣2，﹣1）代入y＝即可得到结论；（2）解不等式组即可得到结论．参考答案：解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，﹣1），∴k＝（﹣2）×（﹣1）＝2；（2）解不等式组解：解不等式①，得x＜1．根据函数y＝的图象，得不等式②的解集0＜x＜2．把不等式①和②的解集在数轴上表示为：∴不等式组的解集为0＜x＜1，故答案为：x＜1，0＜x＜2，0＜x＜1．点拨：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确的理解题意是解题的关键．21．（8分）为了了解某地居民用电量的情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量（单位：kW•h）进行调查，整理样本数据得到下面的频数分布表．组别用电量分组频数18≤x＜9350293≤x＜1781003178≤x＜263344263≤x＜348115348≤x＜43316433≤x＜51817518≤x＜60328603≤x＜6881根据抽样调查的结果，回答下列问题：（1）该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第2组内；（2）估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW•h的大约有多少户．解析：（1）根据中位数的定义即可得到结论；（2）根据题意列式计算即可得到结论．参考答案：解：（1）∵有200个数据，∴六月份的用电量的中位数应该是第100个和第101个数的平均数，∴该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第2组内；故答案为：2；（2）×10000＝7500（户），答：估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW•h的大约有7500户．点拨：本题考查了中位数，用样本估计总体，频数（率）分布表，正确的理解题意是解题的关键．22．（8分）甲、乙两人分别从A、B、C这3个景点中随机选择2个景点游览．（1）求甲选择的2个景点是A、B的概率；（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是．解析：（1）列举出甲选择的2个景点所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率；（2）用列表法表示所有可能出现的结果，再求出两个景点相同的概率．参考答案：解：甲选择的2个景点所有可能出现的结果如下：（1）共有6种可能出现的结果，其中选择A、B的有2种，∴P（A、B）＝＝；（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有9种可能出现的结果，其中选择景点相同的有3种，∴P（景点相同）＝＝．故答案为：．点拨：本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提．23．（8分）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）解析：过点D作DH⊥AC于点H，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离AD．参考答案：解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，在Rt△DCH中，∠C＝37°，∴CH＝，在Rt△DBH中，∠DBH＝45°，∴BH＝，∵BC＝CH﹣BH，∴﹣＝6，解得DH≈18，在Rt△DAH中，∠ADH＝26°，∴AD＝≈20．答：轮船航行的距离AD约为20km．点拨：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．24．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF＝EF．解析：（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠B，根据平行线的性质得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF＝∠CFD，根据平行线的判定得出BD∥CF，根据平行四边形的判定得出即可；（2）求出∠AEF＝∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠ECF+∠EAF ＝180°，根据平行线的性质得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根据等腰三角形的判定得出即可．参考答案：证明：（1）∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B，∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF，∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形；（2）连接AE，∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B，∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，∴∠ECF+∠EAF＝180°，∵BD∥CF，∴∠ECF+∠B＝180°，∴∠EAF＝∠B，∴∠AEF＝∠EAF，∴AF＝EF．点拨：本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，圆内接四边形，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．25．（8分）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m、y2m．y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．（1）小丽出发时，小明离A地的距离为250m．（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？解析：（1）根据题意和函数解析式，可以计算出小丽出发时，小明离A地的距离；（2）根据题目中的函数解析式和题意，利用二次函数的性质，可以得到小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近，最近距离是多少．参考答案：解：（1）∵y1＝﹣180x+2250，y2＝﹣10x2﹣100x+2000，∴当x＝0时，y1＝2250，y2＝2000，∴小丽出发时，小明离A地的距离为2250﹣2000＝250（m），故答案为：250；（2）设小丽出发第xmin时，两人相距sm，则s＝（﹣180x+2250）﹣（﹣10x2﹣100x+2000）＝10x2﹣80x+250＝10（x﹣4）2+90，∴当x＝4时，s取得最小值，此时s＝90，答：小丽出发第4min时，两人相距最近，最近距离是90m．点拨：本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．26．（9分）如图，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，＝．（1）当＝＝时，求证△ABC∽△A'B'C．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当＝＝时，判断△ABC与△A'B'C′是否相似，并说明理由．解析：（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．（2）过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于E，D′E′交A′C′于E′．首先证明△CED∽△C′E′D′，推出∠CED＝∠C′E′D′，再证明∠ACB＝∠A′C′B′即可解决问题．参考答案：（1）证明：∵＝，∴＝，∵＝＝，∴＝＝，∴△ADC∽△A′D′C，∴∠A＝∠A′，∵＝，∴△ABC∽△A′B′C′．故答案为：＝＝，∠A＝∠A′．（2）如图，过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC 于E，D′E′交A′C′于E′．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，同理，＝＝，∵＝，∴＝，∴＝，同理，＝，∴＝，即＝，∴＝，∵＝＝，∴＝＝，∴△DCE∽△D′C′E′，∴∠CED＝∠C′E′D′，∵DE∥BC，∴∠CED+∠ACB＝90°，同理，∠C′E′D′+∠A′C′B′＝180°，∴∠ACB＝∠A′B′C′，∵＝，∴△ABC∽△A′B′C′．点拨：本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．27．（9分）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l 同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜AC′+C'B．请完成这个证明．（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．解析：（1）由轴对称的性质可得CA＝CA'，可得AC+BC＝A'C+BC ＝A'B，AC'+C'B＝A'C'+BC'，由三角形的三边关系可得A'B＜A'C'+C'B，可得结论；（2）①由（1）的结论可求；②由（1）的结论可求解．参考答案：证明：（1）如图②，连接A'C'，∵点A，点A'关于l对称，点C在l上，∴CA＝CA'，∴AC+BC＝A'C+BC＝A'B，同理可得AC'+C'B＝A'C'+BC'，∵A'B＜A'C'+C'B，∴AC+BC＜AC'+C'B；（2）如图③，在点C出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB，（其中点D是正方形的顶点）；如图④，在点C出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACD++EB，（其中CD，BE都与圆相切）点拨：本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，圆的有关知识，轴对称的性质，三角形的三边关系，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．。
2022年江苏省南京市中考数学(word版有解析)
2022年江苏省南京市中考数学试卷一、选择题〔本大题共6小题，每题2分，共12分。
在每题所给出的四个选项中，恰有一项为哪一项符合题目要求的〕1．计算12+〔﹣18〕÷〔﹣6〕﹣〔﹣3〕×2的结果是〔〕A．7B．8C．21D．36【解析】原式=12+3+6=21，应选C.2．计算106×〔102〕3÷104的结果是〔〕A．103B．107C．108D．109【解析】106×〔102〕3÷104=106×106÷104=106+6﹣4=108．应选C．3．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是〔〕A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥【解析】四棱锥的底面是四边形，侧面是四个三角形，底面有四条棱，侧面有4条棱，应选D．4．假设＜a＜，那么以下结论中正确的选项是〔〕A．1＜a＜3B．1＜a＜4C．2＜a＜3D．2＜a＜4【解析】∵1＜2，3＜4，又∵＜a＜，∴1＜a＜4，应选B．5．假设方程〔x﹣5〕2=19的两根为a和b，且a＞b，那么以下结论中正确的选项是〔〕A．a是19的算术平方根B．b是19的平方根C．a﹣5是19的算术平方根D．b+5是19的平方根【解析】∵方程〔x﹣5〕2=19的两根为a和b，∴a﹣5和b﹣5是19的两个平方根，且互为相反数，∵a＞b，∴a﹣5是19的算术平方根，应选C．6．过三点A〔2，2〕，B〔6，2〕，C〔4，5〕的圆的圆心坐标为〔〕A．〔4，〕B．〔4，3〕C．〔5，〕D．〔5，3〕【解析】A〔2，2〕，B〔6，2〕，C〔4，5〕，∴AB的垂直平分线是x==4，设直线BC的解析式为y=kx+b，把B〔6，2〕，C〔4，5〕代入上式得，解得，∴y=﹣x+11，设BC的垂直平分线为y=x+m，把线段BC的中点坐标〔5，〕代入得m=，∴BC的垂直平分线是y=x+，当x=4时，y=，∴过A、B、C三点的圆的圆心坐标为〔4，〕．应选A．二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕7．计算：|﹣3|=3；=3．【解析】|﹣3|=3，==3，故答案为：3，3．8．2022年南京实现GDP约10500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示10500是 1.05×104．【解析】10500=1.05×104．故答案为：1.05×104．9．假设分式在实数范围内有意义，那么x的取值范围是x≠1．【解析】由题意得x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．10．计算+×的结果是6．【解析】原式=2+=2+4=6．故答案为6．11．方程﹣=0的解是x=2．【解析】﹣=0，方程两边都乘以x〔x+2〕得：2x﹣〔x+2〕=0，解得：x=2，检验：当x=2时，x〔x+2〕≠0，所以x=2是原方程的解，故答案为：x=2．12．关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，那么p=4，q=3．【解析】∵关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，∴﹣3+〔﹣1〕=﹣p，〔﹣3〕×〔﹣1〕=q，∴p=4，q=3．故答案为：4；3．13．如图是某市2022﹣2022年私人汽车拥有量和年增长率的统计图．该市私人汽车拥有量年净增量最多的是2022年，私人汽车拥有量年增长率最大的是2022年．【解析】由条形统计图可得：该市私人汽车拥有量年净增量最多的是2022年，净增183﹣150=33〔万辆〕，由折线统计图可得，私人汽车拥有量年增长率最大的是：2022年．故答案为：2022，2022．14．如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，假设∠1=65°，那么∠A+∠B+∠C+∠D=425°．【解析】∵∠1=65°，∴∠AED=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D=540°﹣∠AED=425°，故答案为：425．15．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．假设∠D=78°，那么∠EAC=27°．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠D=78°，∴∠ACB=∠DCB=〔180°﹣∠D〕=51°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB=∠D=78°，∴∠EAC=∠AEB﹣∠ACE=27°，故答案为：27．16．函数y1=x与y2=的图象如下列图，以下关于函数y=y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是〔2，4〕，其中所有正确结论的序号是①③．【解析】①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；②在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；③结合图象的2个分支可以看出，当x=2时，y=2+=4，即在第一象限内，最低点的坐标为〔2，4〕，故正确；∴正确的有①③．故答案为：①③．三、解答题〔本大题共11小题，共88分〕17．〔7分〕计算〔a+2+〕÷〔a﹣〕．【解】〔a+2+〕÷〔a﹣〕===．18．〔7分〕解不等式组请结合题意，完成此题的解答．〔1〕解不等式①，得x≥﹣3，依据是：不等式的根本性质．〔2〕解不等式③，得x＜2．〔3〕把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．〔4〕从图中可以找出三个不等式解集的公共局部，得不等式组的解集﹣2＜x＜2．【解】〔1〕解不等式①，得x≥﹣3，依据是：不等式的根本性质．〔2〕解不等式③，得x＜2．〔3〕把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．〔4〕从图中可以找出三个不等式解集的公共局部，得不等式组的解集为：﹣2＜x＜2，故答案为：〔1〕x≥﹣3、不等式的性质3；〔2〕x＜2；〔3〕﹣2＜x＜2．19．〔7分〕如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，EF、BD相交于点O，求证：OE=OF．【解】证明：方法1，连接BE、DF，如下列图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴OF=OE．方法2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵∠ODE=∠OBF，AE=CF，∴DE=BF，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF〔AAS〕，∴OE=OF．月收入/元45000 18001000550480340300220人数 1 1 1 3 6 1 11 1〔1〕该公司员工月收入的中位数是3400元，众数是3000元．〔2〕根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元．你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为适宜？说明理由．【解】〔1〕共有25个员工，中位数是第13个数，那么中位数是3400元；3000出现了11次，出现的次数最多，那么众数是3000．故答案为3400；3000；〔2〕用中位数或众数来描述更为恰当．理由：平均数受极端值45000元的影响，只有3个人的工资到达了6276元，不恰当；21．〔8分〕全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，答复以下问题：〔1〕甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，那么第二个孩子是女孩的概率是；〔2〕乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．【解】〔1〕第二个孩子是女孩的概率=；故答案为；〔2〕画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，所以至少有一个孩子是女孩的概率=．22．〔8分〕“直角〞在初中几何学习中无处不在．如图，∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角〔仅限用直尺和圆规〕．【解析】〔1〕如图1，在OA，OB上分别，截取OC=4，OD=3，假设CD的长为5，那么∠AOB=90°〔2〕如图2，在OA，OB上分别取点C，D，以CD为直径画圆，假设点O在圆上，那么∠AOB=90°．23．〔8分〕张老师方案到超市购置甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择．如果调整文具的购置品种，每减少购置1个甲种文具，需增加购置2个乙种文具．设购置x个甲种文具时，需购置y个乙种文具．〔1〕①当减少购置1个甲种文具时，x=99，y=2；②求y与x之间的函数表达式．〔2〕甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购置这两种文具共用去540元．甲、乙两种文具各购置了多少个？【解】〔1〕①∵100﹣1=99，∴x=99，y=2，故答案为99，2．②由题意y=2〔100﹣x〕=﹣2x+200，∴y与x之间的函数表达式为y=﹣2x+200．〔2〕由题意，解得，答：甲、乙两种文具各购置了60个和80个．24．〔8分〕如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．〔1〕求证：PO平分∠APC；〔2〕连接DB，假设∠C=30°，求证：DB∥AC．【证明】〔1〕如图，连接OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，又OA=OB，∴PO平分∠APC；〔2〕∵OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠CAP=∠OBP=90°，∵∠C=30°，∴∠APC=90°﹣∠C=90°﹣30°=60°，∵PO平分∠APC，∴∠OPC=∠APC==30°，∴∠POB=90°﹣∠OPC=90°﹣30°=60°，又OD=OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠OBD=60°，∴∠DBP=∠OBP﹣∠OBD=90°﹣60°=30°，∴∠DBP=∠C，∴DB∥AC．25．〔8分〕如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？〔参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75〕【解】如图作CH⊥AD于H．设CH=xkm，在Rt△ACH中，∠A=37°，∵tan37°=，∴AH==，在Rt△CEH中，∵∠CEH=45°，∴CH=EH=x，∵CH⊥AD，BD⊥AD，∴CH∥BD，∴=，∵AC=CB，∴AH=HD，∴=x+5，∴x=≈15，∴AE=AH+HE=+15≈35km，∴E处距离港口A有35km．26．〔8分〕函数y=﹣x2+〔m﹣1〕x+m〔m为常数〕．〔1〕该函数的图象与x轴公共点的个数是D．A.0B.1C.2D.1或2〔2〕求证：不管m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=〔x+1〕2的图象上．〔3〕当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．【解】〔1〕∵函数y=﹣x2+〔m﹣1〕x+m〔m为常数〕，∴△=〔m﹣1〕2+4m=〔m+1〕2≥0，那么该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2，应选D；〔2〕证明：y=﹣x2+〔m﹣1〕x+m=﹣〔x﹣〕2+，把x=代入y=〔x+1〕2得：y=〔+1〕2=，那么不管m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=〔x+1〕2的图象上；〔3〕设函数z=，当m=﹣1时，z有最小值为0；当m＜﹣1时，z随m的增大而减小；当m＞﹣1时，z随m的增大而增大，当m=﹣2时，z=；当m=3时，z=4，那么当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z≤4．27．〔11分〕折纸的思考．【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD〔AB＞BC〕〔图①〕，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平〔图②〕．第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB、PC，得到△PBC．〔1〕说明△PBC是等边三角形．【数学思考】〔2〕如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．〔3〕矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．【问题解决】〔4〕用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为cm．【解】〔1〕证明：由折叠的性质得：EF是BC的垂直平分线，BG是PC的垂直平分线，∴PB=PC，PB=CB，∴PB=PC=CB，∴△PBC是等边三角形．〔2〕解：以点B为中心，在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度，得到△P1BC1；再以点B为位似中心，将△P1BC1放大，使点C1的对称点C2落在CD上，得到△P2BC2；如图⑤所示；〔3〕解：此题答案不唯一，举例如图⑥所示；〔4〕解：如图⑦所示：△CEF是直角三角形，∠CEF=90°，CE=4，EF=1，∴∠AEF+∠CED=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，AD=CD，∴∠DCE+∠CED=90°，∴∠AEF=∠DCE，∴△AEF∽△DCE，∴=，设AE=x，那么AD=CD=4x，∴DE=AD﹣AE=3x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：〔3x〕2+〔4x〕2=42，解得：x=，∴AD=4×=．故答案为：．。
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第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 计算12+（-18）÷（-6）-（-3）×2的结果是（）A． 7 B． 8 C． 21 D．36【答案】C考点：有理数的混合运算2. 计算的结果是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：根据乘方的意义及幂的乘方，可知=.故选：C考点：同底数幂相乘除3. 不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征.甲同学：它有4个面是三角形；乙间学：它有8条棱.该模型的形状对应的立体图形可能是（）A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥【答案】D【解析】试题分析：根据有四个三角形的面，且有8条棱，可知是四棱锥.而三棱柱有两个三角形的面，四棱柱没有三角形的面，三棱锥有四个三角形的面，但是只有6条棱.故选：D考点：几何体的形状4. 若，则下列结论中正确的是（）A． B． C. D．【答案】B【解析】试题分析：根据二次根式的近似值可知，而，可得1＜a＜4.故选：B考点：二次根式的近似值5. 若方程的两根为和，且，则下列结论中正确的是（）A．是19的算术平方根 B．是19的平方根 C.是19的算术平方根 D．是19的平方根【答案】C考点：平方根6. 过三点（2，2），（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（）A．（4，） B．（4，3） C.（5，） D．（5，3）【答案】A【解析】试题分析：根据题意，可知线段AB的线段垂直平分线为x=4，然后由C点的坐标可求得圆心的横坐标为x=4，然后设圆的半径为r，则根据勾股定理可知，解得r=，因此圆心的纵坐标为，因此圆心的坐标为（4，）.故选：A考点：1、线段垂直平分线，2、三角形的外接圆，3、勾股定理第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）7. 计算：；．【答案】3，3【解析】试题分析：根据绝对值的性质，可知|-3|=3，根据二次根式的性质，可知.故答案为：3，3.考点：1、绝对值，2、二次根式的性质8. 2016年南京实现约10500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示10500是．【答案】×104考点：科学记数法的表示较大的数9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是．【答案】x≠1【解析】试题分析：根据分式有意义的条件，分母不为0，可知x-1≠0，解得x≠1.故答案为：x≠1.考点：分式有意义的条件10. 计算的结果是．【答案】6【解析】试题分析：根据二次根式的性质化简后合并同类二次根式可得==.故答案为：.考点：合并同类二次根式11. 方程的解是．【答案】x=2考点：解分式方程12. 已知关于的方程的两根为-3和-1，则；．【答案】4，3【解析】试题分析：根据一元二次方程的根与系数的关系，可知p=-（-3-1）=4，q=（-3）×（-1）=3.故答案为：4，3.考点：一元二次方程的根与系数的关系13. 下面是某市2013~2016年私人汽车拥有量和年增长率的统计图，该市私人汽车拥有量年净增量最多的是年，私人汽车拥有量年增长率最大的是年．【答案】2016，2015【解析】试题分析：根据条形统计图可知私家车拥有最多的年份为2016年，由折线统计图可知2015年的私家车的拥有量增长率最高.故答案为：2016，2015.考点：1、条形统计图，2、折线统计图14. 如图，是五边形的一个外角，若，则．【答案】425考点：1、多边形的内角和，2、多边形的外角15. 如图，四边形是菱形，⊙经过点，与相交于点，连接，若，则．【答案】27【解析】试题分析：根据菱形的性质可知AD=DC，AD∥BC，因此可知∠DAC=∠DCA，，然后根据三角形的内角和为180°，可知∠DAC=51°，即∠ACE=51°，然后根据等弧所对的圆周角可知∠DAE=∠D=78°，因此可求得∠EAC=78°-51°=27°.故答案为：27.考点：1、菱形的性质，2、圆周角的性质，3、三角形的内角和16. 函数与的图像如图所示，下列关于函数的结论：①函数的图像关于原点中心对称；②当时，y随x的增大而减小；③当时，函数的图像最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是．【答案】①③考点：一次函数与反比例函数三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 计算.【答案】【解析】试题分析：根据分式的混合运算的法则，可先算括号里面的（通分后相加减），然后把除法转化为乘法，再约分化简即可.试题解析：.考点：分式的混合运算18. 解不等式组请结合题意，完成本题的解答.（1）解不等式①，得，依据是______.（2）解不等式③，得 .（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来.（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 .【答案】【解析】试题分析：分别求解两个不等式，系数化为1时可用性质2或性质3，然后画数轴，确定其公共部分，得到不等式组的解集.考点：解不等式19. 如图，在中，点分别在上，且相交于点.求证.【答案】证明见解析试题解析：∵四边形是平行四边形，∴.∴.∵，∴，即.∴.∴.考点：1、平行四边形的性质，2、全等三角形的判定与性质20. 某公司共25名员工，下标是他们月收入的资料.（1）该公司员工月收入的中位数是元，众数是元.（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元.你认为用平均数，中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由.【答案】（1）3400，3000. （2）利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势【解析】试题分析：（1）根据大小排列确定中间一个或两个的平均数，得到中位数，然后找到出现最多的为众数；（2）根据表格信息，结合中位数、平均数、众数说明即可.试题解析：（1）3400，3000.（2）本题答案不惟一，下列解法供参考，例如，用中位数反映该公司全体员工月收入水平较为合适，在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大.该公司员工月收入的中位数是3400元，这说明除去收入为3400元的员工，一半员工收入高于3400元，另一半员工收入低于3400元.因此，利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势.考点：1、中位数，2、众数21. 全面两孩政策实施后，甲，乙两个家庭有了各自的规划.假定生男生女的概率相同，回答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是；（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率.【答案】（1）（2）考点：概率22. “直角”在初中几何学习中无处不在.如图，已知，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断是否为直角（仅限用直尺和圆规）.【答案】作图见解析【解析】试题分析：方法一是根据勾股定理作图，方法二是根据直径所对的圆周角为直角画图.方法2：如图②，在上分别取点，以为直径画圆.若点在圆上，则.考点：基本作图——作直角23. 张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择.如果调整文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具.设购买个甲种文具时，需购买个乙种文具.（1）①当减少购买一个甲种文具时，，；②求与之间的函数表达式.（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元.甲，乙两种文具各购买了多少个？【答案】（1）①99，2②（2）甲、乙两种文具各购买了60个和80个【解析】试题分析：（1）①根据“每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具”可直接求解；②根据①的结论直接列式即可求出函数的解析式；（2）根据题意列出二元一次方程组求解即可.考点：1、一次函数，2、二元一次方程组24. 如图，是⊙的切线，为切点.连接并延长，交的延长线于点，连接，交⊙于点.（1）求证：平分.（2）连结，若，求证.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）连接OB，根据切线的性质和角平分线的概念可证明；（2）根据角平分线的性质可证明△ODB是等边三角形，然后根据平行线的判定得证.试题解析：（1）如图，连接.∵是⊙的切线，∴，又，∴平分.又，∴是等边三角形.∴.∴.∴.∴.考点：1、圆的切线，2、角平分线的性质与判定，3、平行线的判定25. 如图，港口位于港口的南偏东方向，灯塔恰好在的中点处，一艘海轮位于港口的正南方向，港口的正西方向的处，它沿正北方向航行5，到达处，测得灯塔在北偏东方向上.这时，处距离港口有多远？（参考数据：）【答案】35km【解析】试题分析：过点作，垂足为.构造直角三角形的模型，然后解直角三角形和平行线分线段成比例的定理列方程求解即可.∵，∴.∴.∴.又为的中点，∴.∴.∴.∴.∴.因此，处距离港口大约为35.考点：解直角三角形26. 已知函数（为常数）（1）该函数的图像与轴公共点的个数是（）或2（2）求证：不论为何值，该函数的图像的顶点都在函数的图像上.（3）当时，求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围.【答案】（1）D（2）证明见解析（3）试题解析：（1）.（2），所以该函数的图像的顶点坐标为.把代入，得.因此，不论为何值，该函数的图像的顶点都在函数的图像上.（3）设函数.当时，有最小值0.当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大.又当时，；当时，.因此，当时，该函数的的图像的顶点纵坐标的取值范围是.考点：二次函数的图像与性质27. 折纸的思考.【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形.第一步，对折矩形纸片（图①），使与重合，得到折痕，把纸片展平（图②）.第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点落在上的处，并使折痕经过点，得到折痕，折出，得到.（1）说明是等边三角形.【数学思考】（2）如图④.小明画出了图③的矩形和等边三角形.他发现，在矩形中把经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程.（3）已知矩形一边长为3，另一边长为.对于每一个确定的的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图，并写出对应的的取值范围.【问题解决】（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4和1的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为 .【答案】（1）是等边三角形（2）答案见解析（3），，；（4）试题解析：（1）由折叠，，因此，是等边三角形.（2）本题答案不惟一，下列解法供参考.例如，如图，以点为中心，在矩形中把逆时针方向旋转适当的角度，得到；再以点为位似中心，将放大，使点的对应点落在上，得到.（3）本题答案不惟一，下列解法供参考，例如，（4）.考点：1、规律探索，2、矩形的性质，3、正方形的性质，4、等边三角形。