人教版初中八年级数学上册专题轴对称作图及实际应用习题及答案

轴对称作图及实际应用（习题）

例题示范

例1：如图，∠AOB =60°，点P 在∠AOB 的平分线上，OP =10cm ，点E ，F 分别是∠AOB 两边OA ，OB 上的动点，当△PEF 的周长最小时，点P 到EF 的距离是________． 【思路分析】

此题求解应分为两步：

① 找出△PEF 的周长最小时E ，F 的位置； ② 求出点P 到EF 的距离． 结合题目条件：

特征：有定点（点P ），有动点（点E ，F ），动点在定直线OA ，OB 上运动，满足△PEF 的周长最小，判断这是轴对称最值问题．

操作方法：作定点关于定直线的对称点，分别作点P 关于直线OA ，OB 的对称点P ′和P ′′，折转直，利用两点之间，线段最短，找到当△PEF 的周长最小时E ，F 的位置，进而求解． 如图1：

P''

P'

C

N M A

O

B E

F P

P

F E

B

O A

M

N C

P'

图1 图2 如图2，连接OP ′，OP ′′， ∵∠AOB =60°，OP 平分∠AOB ， ∴∠AOP =∠BOP =30°，

由轴对称性质可知OP =OP ′，OP =OP ′′，∠AOP ′=∠AOP =30°， ∠BOP ′′=∠BOP =30°，

∴OP ′=OP ′′，∠POP ′=∠POP ′′=60°， ∴OP 平分∠P ′OP ′′， ∴OP ⊥P ′P ′′

∴点P 到EF 的距离为线段PC 的长． 在△POP ′中，∠POP ′=60°，OP =OP ′

P F

E

B

A

∴△POP ′是等边三角形 又∵OP ⊥P ′P ′′，OP =10

∴1

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PC OP ==

巩固练习

1. 作已知线段的中点．

已知：线段MN ．

求作：MN 上一点O ，使OM =ON ．

N

M

作法：（1）分别以_______，_______为圆心，__________为

半径作弧，两弧相交于_______和________； （2）___________________________________． ___________________________．

2. 已知△ABC ，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（不写作法，保留作图痕

迹），并填空：

（1）作∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ；

（2）作线段BD 的垂直平分线交AB 于点E ，交BC 于点F ，

交BD 于点O ．

由（1），（2）可得：线段EF 与线段OE 的数量关系为______________，并证明．

3. 如图，已知∠AOB 的大小为α，P 是∠AOB 内部的一个定点，且OP =2，点

E ，

F 分别是OA ，OB 上的动点，若△PEF 周长的最小值等于2，则α=________．

A

B C

P F

E

B

O

A

4. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =120°，∠B =∠D =90°，在BC ，CD 上分

别找一点M ，N ．当△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM =_________°．

A

B

C D

N

M

D C B A

5. 如图，一牧童在A 处放牛，其家在B 处，A ，B 到河岸的距离分别为AC ，BD ，

且AC =BD ，已知A 到河岸CD 的中点的距离为500米．牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家，请作图说明牧童怎样走路程最短，并求出最短路程．

思考小结

1. 轴对称最值问题的特征及操作

D C B A

2.如图，在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和

AP+BP最小，并说明理由．

B

A

l

思路提示：

在l上任取一点P′（P′不与P重合），则AP+BP_____AP′+BP′（填“>”、“<”

或“=”）理由如下：

①由对称得：AP=_____，AP′=_____；

②AP+BP=________=________，AP′+BP′=________；

③由_______________________可得AP+BP_____AP′+BP′．

【参考答案】

1.图略

（1）点M，点N，大于1

2

MN长，点A，点B

（2）连接AB交MN于点O

点O即为所求

2.图略，EF=2OE；证明略

3. 30°

4. ∠AMN +∠ANM =120°

5. 图略，最短路程为1 000米 思考小结 1. 动点 动 和最小 定点，定直线 交点 2.＜

①'A P ，''A P

②'A P +BP =AB ；''A P +'BP ③三角形两边之和大于第三边，＜