高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3节圆的方程教学案含解析理

第三节圆的方程

[考纲传真] 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

1．圆的定义及方程

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：

(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.

(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.

(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.

[常用结论]

1．圆的三个性质

(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；

(2)圆心在任一弦的中垂线上；

(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．

2．两个圆系方程

具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程

(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b为定值，r是参数；

(2)半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中r为定值，a，b是参数．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )

(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．

( )

(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－

4AF >0.

( )

(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 2

0＋y 2

0＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.

( )

[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√

2．(教材改编)已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2

＋y 2

＝2 B ．x 2＋y 2

＝ 2 C ．x 2

＋y 2

＝1

D ．x 2

＋y 2

＝4

A [A

B 的中点坐标为(0,0)，|AB |＝[1－－2

＋－1－

2

＝22，所以圆的方

程为x 2

＋y 2

＝2.]

3．点(m 2,

5)与圆x 2

＋y 2

＝24的位置关系是( ) A ．点在圆外 B ．点在圆内 C ．点在圆上

D ．不能确定

A [将点(m 2,

5)代入圆方程，得m 4

＋25>24.故点在圆外，故选A.] 4．若x 2

＋y 2

－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．R B ．(－∞，1) C ．(－∞，1]

D ．[1，＋∞)

B [由方程x 2

＋y 2

－4x ＋2y ＋5k ＝0可得(x －2)2

＋(y ＋1)2

＝5－5k ，此方程表示圆，则5－5k >0，解得k <1.故实数k 的取值范围是(－∞，1)．故选B.]

5．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )

A ．(x －2)2

＋(y －1)2

＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2

＝1 C ．(x ＋2)2

＋(y －1)2

＝1

D ．(x －3)2

＋(y －1)2

＝1

A [由于圆心在第一象限且与x 轴相切，可设圆心为(a,1)(a >0)，又圆与直线4x －3y ＝0相切，∴|4a －3|5＝1，解得a ＝2或a ＝－1

2

(舍去)．

∴圆的标准方程为(x －2)2

＋(y －1)2

＝1.故选A.]

1. 过点A (1，－1)( ) A ．(x －3)2

＋(y ＋1)2

＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2

＝4 C ．(x －1)2

＋(y －1)2

＝4

D ．(x ＋1)2

＋(y ＋1)2

＝4

C [AB 的中垂线方程为y ＝x ，所以由y ＝x ，x ＋y －2＝0的交点得圆心(1,1)，半径为2，因此圆的方程是(x －1)2

＋(y －1)2

＝4，故选C.]

2．已知圆心在直线y ＝－4x 上，且圆与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的方程是________．

(x －1)2

＋(y ＋4)2

＝8 [过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝－

2

＋－2＋

2

＝22，故所求圆的方程

为(x －1)2

＋(y ＋4)2

＝8.]

3．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．

x 2＋y 2－2x ＝0 [法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪

⎧

F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，

4＋2D ＋F ＝0，

解得⎩⎪⎨⎪

⎧

D ＝－2，

E ＝0，

F ＝0.

∴圆的方程为x 2＋y 2

－2x ＝0.

法二：画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x －1)2

＋y 2

＝1，即x 2

＋y 2

－2x ＝0.]

直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程待定系数法①若已知条件与圆心a ，和半径②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于

►考法1 【例1】 已知实数x ，y 满足方程x 2

＋y 2

－4x ＋1＝0，则y

x

的最大值为________，最小值为________．

3 －3 [原方程可化为(x －2)2

＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.y x

的几

何意义是圆上一点与原点连线的斜率，