高考理科第一轮复习课件(8.3圆的方程)

【规范解答】（1）选B.由题意可知，圆的圆心坐标是（1，
3），半径是 10.且点E（0，1）位于该圆内，
由图形的几何性质得，过点E（0，1）的最短弦是以该点为中
点的弦，
∴最短弦长 BD 2 10 12 22 ） 2 5， （
而过E（0，1）的最长弦长等于该圆的直径，即 AC 2 10， 且AC⊥BD， S四边形ABCD 1 AC BD 1 2 10 2 5 10 2. 2 2
【拓展提升】 1.求圆的方程的两种方法 （1）直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径， 进而写出方程. （2）待定系数法： ①若已知条件与圆心（a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，
依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的
值;
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程， 依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的 值.
（4）方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0， B=0，D2+E2-4AF＞0.( )
（5）若点M（x0,y0）在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则 x02+y02+Dx0+Ey0+F＞0.( )
【解析】（1）正确.圆由其圆心和半径两个要素就确定了.
（2）错误.当t≠0时，方程表示圆心为（-a,-b），半径为|t|

a 3 4a 2 ，
2 2
即a2-2a+1=0，解得a=1， ∴圆心C（1，-4），r=|PC|= 2 2， ∴圆的标准方程为（x-1）2+(y+4)2=8.
方法二：过切点P且与l垂直的直线是
y+2=x-3，即x-y-5=0.
x y 5 0， 由 得圆心（1 4）， ， y 4x 于是 r 2 2，
（3）先求过A，B，C三点的圆的方程，再验证点D与圆的位置
关系即可.
【规范解答】(1)选B.设圆C1圆心（-1，1）关于直线x-y-1=0
的对称点为C2(x1,y1),
y1 1 x 1 1, x1 2, 1 则有 解得 即C 2 2, 2 , y1 2, x1 1 y1 1 1 0, 2 2
又由对称性知圆C2的半径与圆C1的半径相等， 所以r2=1, 故圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.
（2）方法一：∵A（6，0），B（1，5），
5 ∴线段AB的中点坐标为 7 ， ），k AB 5 0 1 （ ， 2 2 1 6 ∴AB垂直平分线方程为 y 5 x 7 ， 2 2 即x-y-1=0.
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. （1）确定圆的几何要素是圆心与半径.( )
（2）方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b)，半径为 t的一个圆.( )
a （3）方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为 , a）， 半径 （ 2 为 1 3a 2 4a 4 的圆.( ) 2
2.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是( （A）（2，3），13 （C）（-2，-3）， 13 （B）（-2，3），13
)
（D）（2，-3）， 13
【解析】选D.由x2+y2-4x+6y=0得(x-2)2+(y+3)2=13，故圆心坐 标为（2，-3），半径为 13.
3.若点（2，3）在圆C:(x-1)2+(y-2)2=r2外，则(
（A）r 2 （C）r＜ 2 （B）r＞ 2 （D） 2＜r＜ 2且r 0
)
【解析】选D.由已知得 0＜ r ＜ 2 12 3 2 2， 即 0＜ r ＜ 2， 2＜r＜ 2 且r≠0.
4.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( ) 1 （A） ＜m＜ 1 （B）m＞1 4 1 1 （C）m＜ （D）m＜ 或m＞1 4 4 【解析】选D.由已知得充要条件为（4m）2+(-2)2-4×5m＞0，
∴所求圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=13.
方法三：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0），
36 6D F 0, 则 1 25 D 5E F 0, D E （ （ 2 ） 7 ） 8 0， 2 2 解得：D=-6,E=-4,F=0.
的圆.
（3）错误.当a2+(2a)2-4(2a2+a-1)＞0即-2＜a＜ 2 时才表示圆. 3 （4）正确.因为A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF＞0得方程Ax2+Bxy+ Cy2
+Dx+Ey+F=0表示圆，反之也成立.
（5）正确.因为点M（x0,y0）在圆外，
D 2 E 2 D 2 E 2 4F 所以 x ）（y ） （ 0 0 ＞ ， 2 2 4 即x02+y02+Dx0+Ey0+F ＞0.
答案：（1）√
（2）×
(3)×
(4)√
(5)√
1.圆心为点（0，1），半径为2的圆的标准方程为(
（A）(x-1)2+y2=4 （B）x2+(y-1)2=2
)
（C）x2+(y-1)2=4
（D）(x-1)2+y2=2
【解析】选C.由已知得圆的标准方程为（x-0）2+(y-1)2=22，
即x2+(y-1)2=4.
12 22 a 4 b 0， a 2, 所以 2 2 解得 2 1 2a 2 b 0, b 1.
方法二：易知圆心在y=x上， 1 a , 2 即a=-2.又∵点A(1,2)在圆x2+y2-2x-2y+b=0上， ∴12+22-2×1-2×2+b=0,∴b=1. 答案：-2 1
2x 7y 8 0， 由方程组 得圆心C的坐标为（3，2）. x y 1 0 又半径r=|AC|= 13，
∴所求圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=13.
方法二：设所求圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2. 由已知，得
6 a 2 0 b 2 r 2， a 3, 2 2 2 （1 a）（5 b） r ，解得 b 2, 2a 7b 8 0， r 2 13，
（2）①原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心 ，3 为
y 半径的圆 ， 的几何意义为点(x,y)与原点连线的斜率. x 所以设 y k， 即y=kx,当直线与圆相切时，斜率k取最大值或最 x 2k 0 小值，此时 3, 解得 k 3. 所以 y 的最大值为 3, x k2 1 最小值为 3.
（2）（2013·巢湖模拟）过点A（6，0），B（1，5），且圆 心C在直线l：2x-7y+8=0上的圆的方程为____. （3）已知A（0，1），B（2，1），C（3，4），D（-1，2）， 问这四点能否在同一个圆上？为什么？
【思路点拨】（1）先求出圆C1圆心（-1，1）关于直线x-y1=0的对称点圆C2的圆心的坐标，半径不变，即可求出圆的方 程. （2）可根据圆的圆心在弦AB的垂直平分线上，先由直线l的方 程与弦AB的垂直平分线的方程求其圆心C的坐标，再求圆的半 径r=|AC|，从而求得圆的方程；也可用待定系数法，设出圆的 标准方程或一般方程，依据已知条件构建关于a,b,r或D,E,F的 方程组求解.
2.确定圆心位置的方法
（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上.
（2）圆心在圆的任意弦的垂直平分线上.
（3）两圆相切时，切点与两圆圆心共线.
【变式备选】求圆心在直线y=-4x上，并且与直线l:x+y-1=0 相切于点P（3，-2）的圆的方程. 【解析】方法一：设圆心C（a,-4a），
a 4a 1 由题意得： 2
y 的最大值和最小值； x ②求y-x的最大值和最小值；
①求
③求x2+y2的最大值和最小值.
【思路点拨】（1）由图形的几何性质判断并求得最长弦AC 和最短弦BD是关键. （2）充分利用所求代数式的几何意义，运用几何法求解. ① y 为点(x,y)与原点连线的斜率. x ②y-x表示动直线y=x+b在y轴上的截距； ③x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方，也可以消去一个 元，转化为在函数定义域内求最值.
即4m2-5m+1＞0，解得： ＜ 1 或m＞1. m 4
5.已知点A(1,2)在圆：x2+y2+ax-2y+b=0上，且点A关于直线 x-y=0的对称点B也在圆上，则a=_____,b=_____.
【解析】方法一：点A(1,2)关于直线x-y=0的对称点为
B(2,1)，又因为A，B两点都在圆上，
∴所求圆的方程为x2+y2-6x-4y=0， 即(x-3)2+(y-2)2=13.
答案：（x-3）2+(y-2)2=13
（3）设经过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D2+E2-4F＞0），
1 E F 0, D 2， 则 4 1 2D E F 0, 解得 E 6, 9 16 3D 4E F 0, F 5. 故经过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2-2x-6y+5=0.
【解析】依题设可知，圆心在过切点B（1，5）且与l垂直的直
3 3 线上，其斜率为 ， 所以方程为 y 5 （x 1）， 即3x+2y2 2 13=0.
又圆心在AB的垂直平分线x-y-1=0上， 3x 2y 13 0， 由 得圆心 3， . 2 x y 1 0 半径 r 3 12 2 52 13. 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=13.
考向 1Fra Baidu bibliotek
确定圆的方程
【典例1】（1）（2013·南昌模拟）已知圆C1：(x+1)2+(y1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为( （A）(x+2)2+(y-2)2=1 （B）(x-2)2+(y+2)2=1 （C）(x+2)2+(y+2)2=1 （D）(x-2)2+(y-2)2=1 )
∴圆的方程为（x-1）2+（y+4）2=8.
考向 2
与圆有关的最值问题
【典例2】（1）（2013·宝鸡模拟）在圆x2+y2-2x-6y=0内， 过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形 ABCD的面积为( )
（A） 2 5
（B） 2 10
（C） 2 15
（D） 2 20
（2）已知实数x，y满足方程x2+y2-4x+1=0.
第三节 圆 的 方 程
1.圆的定义、方程 定义 标 准
定点 定长 平面内到_____的距离等于_____的点的集合叫作圆
(x-a)2+(y-b)2 =r2(r＞0)
（a,b） 圆心C________
半径为r
方 程 一 般
x2+y2+Dx+ Ey+F=0
充要条件： D2+E2-4F＞0 ___________ D E （ ， ） 2 2 圆心坐标_____________ 1 D 2 E 2 4F 2 半径r=_______________
2.点与圆的位置关系 点 圆心 (1)确定方法：比较___与_____的距离与半径的大小关系. (2)三种关系： 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0,y0).
(x0-a)2+(y0-b)2=r2 ①_________________⇔点在圆上；
(x0-a)2+(y0-b)2＞r2 ②__________________⇔点在圆外； (x0-a)2+(y0-b)2＜r2 ③__________________⇔点在圆内.
即（x-1）2+(y-3)2=5. 把点D的坐标（-1，2）代入上面方程的左边，得（-1-1）2+ （2-3）2=5.所以点D在经过A，B，C三点的圆上，故A，B，C， D四点在同一个圆上.
【互动探究】本例题（2）中条件变为“经过点A（6，0），且 与直线l:2x-3y+13=0相切于点B（1，5）的圆”，结果如何？