指数函数及其性质

对应学生用书P 109

基础达标

一、选择题

1．函数y ＝0.22x 的图象是( )

答案：B

2．函数y ＝(1

7)x 的定义域和值域分别是( )

A ．R ，R

B ．(0，＋∞)，(0，＋∞)

C ．(0，＋∞)，R

D ．R ，(0，＋∞)

答案：D

3．若集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则( ) A ．A B B ．A ⊆B C ．A B D ．A ＝B

解析：由A ＝{y |y >0}，B ＝{y |y ≥0}得A B . 答案：A

4．(2010·福建厦门高三(上)质量检查)函数y ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2，x <0，

2x －1，x ≥0的图象大致是( )

解析：由于f (0)＝20－1＝0，所以函数图象过原点，排除A ；当x <0时，y ＝x 2，则函数f (x )图象在y 轴左侧是开口向上的抛物线的一部分，排除C 和D.

答案：B

5．设函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)，如果f (x 1＋x 2＋…＋x 2010)＝8，那么f (2x 1)·f (2x 2)·…·f (2x 2010)的值等于( )

A ．32

B ．64

C ．16

D ．8

解析：因为f (x 1＋x 2＋…＋x 2010)＝ax 1＋x 2＋…＋x 2010＝8， 所以f (2x 1)·f (2x 2)·…·f (2x 2010)

＝a 2x 1·a 2x 2·…·a 2x 2010＝a 2(x 1＋x 2＋…＋x 2010) ＝(ax 1＋x 2＋…＋x 2010)2＝82＝64. 答案：B

6．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝512－x

B ．y ＝(13)1－

x

C ．y ＝

(1

2

)x －1 D ．y ＝1－2x

解析：易知C 值域为[0，＋∞)，A 值域为{y |y >0且y ≠1}，D 值域为[0,1)，因此选B. 答案：B 二、填空题

7．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(2,4)，那么f (2)·f (4)＝________.

解析：由已知函数图象过(2,4)，令y ＝a x ，得a 2＝4，∴a ＝2，∴f (2)·f (4)＝22×24＝64. 答案：64

8．函数f (x )＝3·a 2x －

1＋4(a >0，且a ≠1)恒过定点P ，则点P 的坐标是________．

解析：令2x －1＝0，解得x ＝12，

则f (12)＝3＋4＝7，∴P (1

2，7)．

答案：(1

2，7)

9．已知a ＝5－1

2

，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．

解析：∵a ＝

5－1

2

∈(0,1)， ∴f (x )＝a x 在定义域上为减函数， 由f (m )>f (n )可知m

10．已知函数f (x )＝a x －

1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，其中a >0且a ≠1.

(1)求a 的值；

(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域． 解：(1)因为函数图象过点(2，1

2)，

所以a 2－

1＝12，则a ＝12

.

(2)f (x )＝(12)x －

1(x ≥0)，由x ≥0得，x －1≥－1，

于是0<(12)x －1≤(12)－

1＝2.

所以，所求的函数值域为(0,2]．

设u ＝x 2＋x ＋34＝(x ＋12)2＋1

2，

由于x ∈R ，则u ∈[1

2

，＋∞)，

∴4u ≥41

2

＝2.∴函数的值域是[2，＋∞)．

创新题型

12．若函数f (x )＝a x －1(a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值． 解：当a >1时，f (x )在[0,2]上递增，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝0f (2)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 0

－1＝0a 2－1＝2

，∴a ＝±3. 又∵a >1，∴a ＝3；

当0

∴⎩⎪⎨⎪⎧

f (0)＝2f (2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧

a 0－1＝2a 2－1＝0

，解得a ∈Ø. 综上所述，a ＝ 3.