二阶行列式
二阶行列式
二阶行列式1. 二阶行列式的概念问题例1 判断以下几项中哪些是二阶行列式，哪些不是二阶行列式？（1）111222a b c a b c（2）sin sin cos cos αββα（3）112233a b a b a b （4）611641723285439505----例2 将下列各式用行列式表示：（1）24b ac -；（2）152x y -；（3）242x x -+2.二阶行列式的算法问题例3 展开下列行列式，并化简：（1）97223--；（2）223486m mm m-++；（3）sin cos sincos sin cosαααααα-+例4 计算（1）2cos112111cos12ππ-；（2）27423831225---例5 若关于x的方程2123x xa-+=-有解，则实数a的取值范围是例6若已知函数cos()sinfθθθ==且[0,2]θπ∈，求θ的值3.二元一次方程组的行列式解法例7.利用行列式解下列关于x,y的方程组：（1）11603510x y x y --=⎧⎨++=⎩ （2）sin cos sin 3sin()cos()cos 22x y x y θθθππθθθ+=⎧⎪⎨++-=⎪⎩例8 判断m 取什么值时，下列关于s,t 的方程组有唯一解：（1）22(1)(1)1(1)1m s m t m m s m t m ⎧--+=+⎨-+=-⎩ （2）2(2)2711m s mt ms m t ++=⎧⎨+=⎩例9 用行列式的方法解关于x,y 的方程组 (31)(14)54(1)(12)3k x k y k k x k y k++-=+⎧⎨++-=⎩，并对所得的情况进行讨论例10 在ABC ∆中，如果2sin 11cos sin AC B =，试着判断ABC ∆的形状。
二阶行列式
写出所有的三阶排列.
例3.2
写出所有的四阶排列.
定义3.2
在一个n阶排列中，如果一个大数排列在一个 小数之前，就称这两个数组成一个逆序. 一个n阶排列中逆序的总数称为这个排列的逆 序数.
小数排在大数之前，就称这两个数组成一个 顺序.
例3.7
求4阶排列2413的逆序数.
例3.8
求 (n n 1 2 1)
a1 0 0 0 a2 0 0 0 an a1a2 an
下三角行列式
a11 a21 an1
0 a21 an 2
0 0 ann a11a22 ann
例
3.13 计算行列式
0 0 0 an
a1 0 0 0
0 a2 a3 0 0
0
0 .
an 1 0 0
一般的不同行不同列的 n 个元素的乘积
b1a22 b2 a12 x1 a11 a22 a12 a21
a11b2 a21b1 x2 a11 a22 a12 a21
D
a11 a 21
a12 a 22
a11 a 22 a12 a 21
D1
b1 b2
a12 a 22
b1 a22 b2 a12
D2
当 j1 j2 jn 是奇排列时，带负号.
a11 a21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
( j1 j2
(1)
jn )
( j1 j2
jn )
a1 j1 a2 j2
anjn
式(3.11)称为 n
(3.11) 阶行列式的展开式.
3.10
写出4阶行列式
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，通常用于计算矩阵的逆、解线性方程组等问题。
本文将介绍行列式的几种计算方法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
二阶行列式就是二阶矩阵的行列式，计算公式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{21}$、$a_{22}$ 分别表示矩阵的四个元素。
计算二阶行列式时，可以直接套用上面的公式进行计算。
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +a_{13}a_{21}a_{32} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{32}a_{23}a_{11} - a_{33}a_{21}a_{12} $$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{13}$、$a_{21}$、$a_{22}$、$a_{23}$、$a_{31}$、$a_{32}$、$a_{33}$ 分别表示矩阵的九个元素。
计算三阶行列式时，可以采用如下方法：（1）按照第一行、第一列、第二列的顺序计算，得到三个二阶行列式；（2）按照上述公式计算三个二阶行列式对应的乘积和。
3. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种通用的行列式计算方法。
它的基本思想是，将行列式按照一行或一列进行展开，转化为若干个小的行列式之和。
具体步骤如下：（1）选择一行或一列作为基准行（列）；（2）对于基准行（列）中的每个元素，求它所在子矩阵的行列式，乘以对应的余子式（代数余子式）；（3）将所有乘积相加。
二阶行列式
二阶行列式什么是行列式？在线性代数中，行列式是一个数字，它和一个给定的方阵相关联。
行列式可以用于解决许多线性代数的问题，例如求解线性方程组、计算矩阵的逆等。
二阶行列式的定义对于一个2x2的矩阵A = A，其行列式记为|A|或det(A)，其计算方式为：|A| = Determinant即A的左上元素乘以右下元素减去右上元素乘以左下元素。
二阶行列式的示例现在我们来求解一个具体的二阶行列式。
对于矩阵A = MatrixA，其行列式为：|A| = 2 * 5 - 3 * 4 = 10 - 12 = -2所以矩阵A的行列式为-2。
二阶行列式的性质1.行列式的值与矩阵的转置无关，即|A| = |A^T|。
2.当矩阵A中某两行或某两列互换位置时，行列式的值取相反数，即如果矩阵A的第i行与第j行互换位置得到矩阵B，则有|B| = -|A|。
3.行列式的值与矩阵的每一行（或每一列）成比例，即如果矩阵A的第i行（或第j列）的所有元素都乘以一个常数k，得到矩阵B，则有|B| = k * |A|。
二阶行列式的应用二阶行列式在线性代数中有许多重要的应用，以下列举几个常见的应用：1.解线性方程组：对于一个由两个线性方程组成的方程组，可以使用二阶行列式来判断方程组是否有解，以及求解方程组的解。
2.计算矩阵的逆：对于一个可逆的2x2矩阵A，可以使用二阶行列式计算其逆矩阵A^-1。
3.计算平面向量的面积：对于一个由两个非零向量构成的平面上的三角形，可以使用二阶行列式计算该三角形的面积。
总结二阶行列式是线性代数中的一个重要概念，用于解决许多与矩阵相关的问题。
我们可以通过简单的公式来计算二阶行列式，同时也可以利用行列式的性质进行计算和求解。
二阶行列式在解线性方程组、计算矩阵逆、计算平面向量面积等方面有着广泛的应用。
掌握二阶行列式的概念和计算方法对于理解线性代数和解决相关问题非常重要。
二、三阶行列式
则三元线性方程组的解为: 则三元线性方程组的解为
D1 x1 = , D
D2 x2 = , D
D3 x3 = . D
例
解线性方程组 x1 − 2 x2 + x3 = −2, 2 x1 + x2 + −3 x3 = 1, − x + x − x = 0. 1 2 3
由于方程组的系数行列式 1 −2 1 D= 2 1 − 3 = 1 × 1 × ( − 1) + ( − 2 ) × ( − 3 ) × ( − 1) −1 1 −1
f (1) = 0, f (2 ) = 3, f (− 3 ) = 28.
思考题解答
解 设所求的二次多项式为
1
2 3
D= 4 0 5 −1 0 6
= 1× 0 × 6 − 2× 4× 6
+ 2 × 5 × ( − 1)
+ 3 × 4 × 0 − 3 × 0 × ( −1) = −58
− 1× 5 × 0
例4
实数 a , b 满足什么条件时有
a
b 0
D= −b a 0 =0 1 0 1
a 1
b 0 0 1
a11 a12 D = a21 a22 a31 a32
三阶行列式的计算
a13 a23 .列标 a33 行标
对角线法则 a11 a12
a13 a23 a33
a21 a31
a22 a32
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32.
− 1 × 1 × 4 − 2 × ( −2 ) × ( −2 ) − ( −4 ) × 2 × ( −3 )
常见行列式
常见行列式常见行列式是指在线性代数中常出现的一些具有特定形式的行列式。
行列式是一个矩阵的一个重要性质，它代表了该矩阵的某些特征。
接下来我将介绍一些常见的行列式，并解释它们的特点和应用。
首先，最常见的行列式就是二阶和三阶行列式。
二阶行列式是一个2×2的矩阵，记作|A|=ad-bc。
其中，a、b、c和d为矩阵A的元素。
二阶行列式的求解方法是将对角线上的乘积相加，并减去非对角线上的乘积。
二阶行列式常用于计算平面上两个向量的行列式，从而判断它们的线性相关性。
三阶行列式是一个3×3的矩阵，记作|A|=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)。
三阶行列式的求解方法是将每个元素与与其对应的代数余子式相乘，然后按正负号相加。
三阶行列式广泛应用于三维几何体的体积计算和解线性方程组等问题。
其次，特殊的行列式包括单位矩阵和零矩阵的行列式。
单位矩阵是一个n×n的矩阵，主对角线上的元素均为1，其他元素均为0。
单位矩阵的行列式为1，它表示了一个矩阵在相似变换下的不变性。
零矩阵是一个所有元素都为0的矩阵，它的行列式为0。
此外，对角矩阵和上三角矩阵的行列式也具有一定的特殊性质。
对角矩阵是一个所有非对角元素都为0的矩阵，对角元素可以相同也可以不同。
对角矩阵的行列式等于对角元素的乘积。
上三角矩阵是一个除了主对角线以下的元素都为0的矩阵，它的行列式等于主对角线上的元素的乘积。
对角矩阵和上三角矩阵的行列式的计算相对简单，这使得它们在实际问题中的应用更加方便。
另外，行列式的特征值和特征向量是线性代数中的重要概念。
特征值是一个矩阵的一个标量，特征向量是对应于特征值的一个向量。
行列式的特征值和特征向量有着丰富的几何意义和应用。
特征值和特征向量可以用于求解线性方程组、矩阵的对角化和求取矩阵的幂等等问题。
最后，通过行列式的定义和性质，我们可以推导出一些行列式的重要公式，如拉普拉斯展开公式和克拉默法则等。
二阶、三阶行列式
1 − 2 =
例5用三阶行列式解线性方程组ቐ2 − 3 = 的值。
1 + 3 =
解
由于
1
= 0
1
−1 0
1 −1 =1+1=2≠ 0
0
1
1
2 = 0
1
0
−1 =b−a+c
1
1 =
−1
1
0
1 −1
3 = 0 1
1 0
0
−1 =a+b+c
1
=c−b−a
定行列式等于零。
线 性 代 数
31 32 33
−1322131 −122133 −112332
11 12 13
= 21 22 23 称为三阶行列式，它由三行、三列共9个元素组成，
31 32 33
是6项的代数和，每一项都是三个元素的乘积并适当附上正号或负号，而且
这三个元素必须来自不同的行和不同的列。如图1-2所示，可用对角线法则
2
(1)当λ 为何值时，D=0;
解
λ
1
，问：
(2)当λ 为何值时，D≠0。
λ2 λ
因为 =
= λ2 − λ = λ(λ − 2)，所以
2 1
(1)当λ=0或λ=2时，D=0；
(2)当λ≠0且λ≠2时，D≠0。
3 − 42 = 2
例3用二阶行列式解线性方程组ቊ 1
1 + 22 = 4
解
=
表示a11a22-a12a21，称为
21 22
二阶行列式，即
a11
a12
D
a11a22 - a12 a21
二阶三阶行列式
二阶三阶行列式1.引言1.1 概述二阶行列式和三阶行列式是线性代数中常见的概念。
行列式是一个整数或实数的方阵，它具有很多重要的性质和应用。
二阶行列式是一个2×2的方阵，而三阶行列式是一个3×3的方阵。
在本文中，我们将介绍二阶行列式和三阶行列式的定义以及计算方法，并总结它们的特点和重要性。
在二阶行列式部分，我们将详细介绍二阶行列式的定义和计算方法。
二阶行列式的定义是由其中的四个元素按一定的规则相乘再相减得到的一个数值。
计算二阶行列式可以使用简单的公式，即将对角线上的两个元素相乘再相减。
我们将提供详细的计算示例，并讨论二阶行列式在几何学和线性方程组中的应用。
在三阶行列式部分，我们将进一步介绍三阶行列式的定义和计算方法。
三阶行列式的计算比较复杂，需要按一定的规则进行乘法和加减运算。
我们将解释这些规则，并提供实际的计算例子。
此外，我们还将探讨三阶行列式在向量空间和线性方程组中的应用，以及它们与二阶行列式之间的关系。
通过本文的学习，读者将能够理解二阶行列式和三阶行列式的概念和计算方法。
同时，他们还将认识到行列式在数学和实际应用中的重要性。
了解行列式可以帮助我们解决各种问题，包括求解线性方程组、计算向量的正交性和计算面积和体积等。
行列式是线性代数中的基础知识，对于进一步学习和应用线性代数的内容具有重要的意义。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍二阶行列式的概念和定义，详细阐述其计算方法。
然后，我们将进一步探讨三阶行列式的定义和计算方法。
在分析和比较二阶行列式与三阶行列式的异同之后，我们将总结这两者的特点和应用。
本文的主要目的是通过对二阶和三阶行列式的研究，帮助读者更好地理解和应用行列式的相关概念和计算方法。
具体来说，本文的内容安排如下：2. 正文2.1 二阶行列式2.1.1 定义在这一部分中，我们将引入二阶行列式的概念，并详细解释其定义。
通过具体的例子，我们将展示如何构建并计算二阶行列式。
二阶行列式的计算公式
二阶行列式的计算公式好的，以下是为您生成的关于“二阶行列式的计算公式”的文章：在数学的奇妙世界里，二阶行列式就像是一个藏着小秘密的宝盒，而打开这个宝盒的钥匙就是它独特的计算公式。
咱们先来说说二阶行列式是啥。
想象一下，有两行两列的数字，整整齐齐地排列着，就像操场上排列整齐的方队。
比如说，有这样一组数字：\[\begin{vmatrix}a &b \\c & d\end{vmatrix}\] 这就是一个二阶行列式。
那它的计算公式是啥呢？其实很简单，就是“主对角线元素之积减去副对角线元素之积”。
用公式写出来就是：\[ad - bc\] 。
我给您讲个事儿，您就更明白啦。
有一次我在课堂上讲二阶行列式，有个同学一直皱着眉头，一脸困惑。
我就走到他旁边问：“咋啦，没听懂？”他怯生生地点点头。
我就重新给他讲，拿了个具体的例子，比如\[\begin{vmatrix}3 & 2 \\1 & 4\end{vmatrix}\] ，按照公式一算，就是 \(3×4 - 2×1 = 12 - 2 = 10\) 。
我一边算一边给他解释每个步骤，看着他眼睛慢慢亮起来，最后恍然大悟的样子，我心里可高兴啦。
这二阶行列式的计算公式别看简单，用处可大着呢！在解线性方程组的时候，它能帮咱们快速判断方程组有没有解，解是唯一的还是无穷多的。
比如说，对于方程组 \(ax + by = m\) ， \(cx + dy = n\) ，咱们可以通过二阶行列式判断解的情况。
而且在几何里，二阶行列式也能派上用场。
比如计算两个向量的叉积的模长，就能用二阶行列式来帮忙。
再比如，咱们在研究图形的面积的时候，二阶行列式也能大展身手。
假如有两个点 \(A(x_1, y_1)\) 和 \(B(x_2, y_2)\) ，那以这两个点为顶点的三角形的面积，就可以用二阶行列式 \(S = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\x_2 & y_2\end{vmatrix}\) 来计算。
二阶行列式
a b a a ba 1 l ba b1 bm
除 a , b 外，其它元素的逆序数不改变.
当 a b 时，
经对换后 a 的逆序数增加1 ,
当 a b 时，
b 的逆序数不变;
b 的逆序数减少1. 经对换后 a 的逆序数不变 ，
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 a1 al ab1 bm bc1 cn 现来对换 a 与b .
四、n阶行列式的定义
三阶行列式
a11 D a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
中，6项的行下标全为123，而列下标分别为
123，231，312 132，213，321 此三项均为正号 此三项均为负号
为了给出n 阶行列式的定义，下面给出全排列及其逆序数的概念及性 质。
三、全排列及其逆序数
定义 由1，2，···，n 组成的有序数组称为一个n级 全排列。记为 j1 j2 ··· jn.
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列
的三个元素的下标排列．
例如
a13a21a32
列标排列的逆序数为
偶排列
正号
312 1 1 2
a11a23a32
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13
列标排列的逆序数为
说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 2、 n 阶行列式是n! 项的代数和;
§1 二阶与三阶行列式
说明: 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 说明 (1) 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． (2) 三阶行列式包括 项,每一项都是位于不同行 三阶行列式包括3!项 每一项都是位于不同行 每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正 三项为负 不同列的三个元素的乘积 其中三项为正,三项为负 其中三项为正 三项为负.
3. 利用三阶行列式求解三元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , 三元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 a13 a23 a33
2. 二阶行列式的计算 二阶行列式的计算——对角线法则 对角线法则 主对角线 副对角线
a11 a21
a12 a22
= a 1 1a 2 2 − a 1 2 a 2 1 .
a11 x1 + a12 x2 = b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 = b2 . a11 a12 D= , 称为其系数行列式 称为其系数行列式 a21 a22
称为其系数行列式 称为其系数行列式
D = a21 a22 a31 a32
例1 解
x1 − 2 x2 + x3 = −2, 解线性方程组 2 x1 + x2 − 3 x3 = 1, − x + x − x = 0. 1 2 3
1
−2 1 D= 2 1 − 3 = −1 − 6 + 2 − ( −1) − 4 − ( −3) = −5 ≠ 0 , −1 1 −1
§1.1 二阶与三阶行列式
三、小结
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的. 程组引入的 二阶与三阶行列式的计算 对角线法则
a11 a21
a12 a22
= a11a22 − a12 a21 .
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31, a33
思考题
求一个二次多项式 f ( x ), 使
f (1) = 0, f (2 ) = 3, f (− 3 ) = 28.
思考题解答
f ( x ) = ax 2 + bx + c , 设所求的二次多项式为： 解 设所求的二次多项式为：
由题意得
f (1) = a + b + c = 0,
f (2 ) = 4a + 2b + c = 3, f (− 3 ) = 9a − 3b + c = 28,
的线性方程组, 得一个关于未知数 a , b, c 的线性方程组 又
D = −20 ≠ 0, D1 = −40, D2 = 60, D3 = −20. f ( x ) = 2 x 2 + − 3 x + 1.
得 a = D1 D = 2, b = D2 D = −3, c = D3 D = 1 故所求多项式为
分母都为原方程组的系数行列式. 分母都为原方程组的系数行列式
例1
6 −4 计算D = 5 7
D = 42 − (−20) = 62
解
例2 D =
λ2 λ
二阶行列式
Dx 0,or Dy 0
•
系数行列式 判别式。
D a1
b1
也为二元一次方程组解的
a2 b2
巩固练习 数学课本第91页，练习9.3 （1）
• 课堂小结 • ①二阶行列式的展开法则； • ②用二阶行列式来解二元一次方程组.
精品课件！
精品课件！
作业布置
数学练习部分第51页，习题9.3A 组，第1、2、3题．
• ③举例说明，当二元一次方程组的系数行 列式的值为零时，方程组的解会有怎样的 可能？
• 答：（1）当D≠0时，方程组(*) 的唯一解可以表示
成
x
DX D
y
Dy D
• （2）当D=0时, Dx Dy 0 方程组(*)有无穷组解；
• (3) 当D=0时,
方程组(*) 无解。
什么叫二阶行列式？
定义：
二阶行列式的展开满足：对角线法则
实线表示的对角线叫主对角 线，虚线表示的对角线叫副对角线。 二阶行列式是这样两项的代数和： 一个是从左上角到右下角的对角线 (又叫行列式的主对角线)上两个元素 的乘积，取正号；另一个是从右上 角到左下角的对角线(又叫次对角线) 上两个元素的乘积，取负号．
由于行列式D是由方程组（*）中未知数X、Y的系数组 成的，通常被叫做方程组（*）的系数行列式；行列式 DX和DY分别是用方程组（*）的常数项C1C2替换行列 式D中X的系数a1a2或Y的系数b1b2后得到的
例2用行列式解下列二元一次方程组：
1、54xx
11y 15 y
8 6
所以X = DX = 6, Y = DY = 2
例1．展开并化简下列行列式：
二阶行列式的计算方法
1、化成三角形行列式法。
先把行列式的某一行（列）全部化为1,再利用该行（列）把行列式化为三角形行列式,从而求出它的值,这是因为所求行列式有如下特点：各行元素之和相等；各列元素除一个以外也相等。
充分利用行列式的特点化简行列式是很重要的。
2、降阶法。
根据行列式的特点,利用行列式性质把某行（列）化成只含一个非零元素,然后按该行（列）展开。
展开一次,行列式降低一阶,对于阶数不高的数字行列式本法有效。
3、拆成行列式之和（积），把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的。
4、利用范德蒙行列式。
根据行列式的特点，适当变形，利用行列式的性质——如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去；把所求行列式化成已知的或简单的形式。
其中范德蒙行列式就是一种。
这种变形法是计算行列式最常用的方法。
5、加边法。
要求：保持原行列式的值不变；新行列式的值容易计算。
根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。
加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外,也可用于其第列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。
6、综合法。
计算行列式的方法很多,也比较灵活,总的原则是：充分利用所求行列式的特点,运用行列式性质及上述常用的方法,有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多种方法求出行列式的值。
二阶三阶行列式 -回复
二阶三阶行列式-回复什么是二阶三阶行列式？在线性代数中，行列式是一种非常重要的运算工具，用于计算矩阵的性质和方程组的解等问题。
行列式常见的有一阶、二阶和三阶行列式等等。
在本文中，我们将重点讨论二阶和三阶行列式。
二阶行列式：二阶行列式是由2×2矩阵中的四个数值按特定的排列顺序相乘后相减而得到的一个数字。
设A是一个二阶矩阵，其行列式表示为det(A)，则有如下公式：det(A) = a*d - b*c其中，a、b、c和d分别表示二阶矩阵A的元素值。
在这个公式中，a 和d是主对角线上的元素，而b和c是次对角线上的元素。
三阶行列式：与二阶行列式类似，三阶行列式是由3×3矩阵中的元素按特定排列相乘后相加或相减而得到的一个数字。
设A是一个三阶矩阵，其行列式表示为det(A)，则有如下公式：det(A) = a*(e*i - f*h) - b*(d*i - f*g) + c*(d*h - e*g)在这个公式中，a、b、c、d、e、f、g、h和i分别表示三阶矩阵A的元素值。
其中，元素a用于计算第一行的元素和第一列的元素所组成的2×2矩阵的行列式值，元素b用于计算第一行元素和第二列元素所组成的2×2矩阵的行列式值，以此类推。
行列式的几何意义：行列式具有很重要的几何意义。
在二阶行列式中，行向量和列向量所构成的平行四边形的面积正好等于二阶行列式的值的绝对值。
对于三阶行列式，行向量和列向量所构成的平行六面体的有向体积正好等于三阶行列式的值。
行列式的性质：行列式具有一些重要的性质，包括：1. 行列式交换性：行列式的值不受元素交换所改变，即det(A) =det(B)，其中A和B是由互换两行（或两列）位置得到的矩阵。
2. 行列式相反性：行列式的值与其行（或列）成比例，符号相反，即对于矩阵A，有det(A) = -det(A')，其中A'是将A的两行（或两列）互换位置后得到的矩阵。
二阶行列式逆矩阵公式
二阶行列式逆矩阵公式二阶行列式逆矩阵公式是线性代数中的一个重要定理，它描述了二阶行列式的逆矩阵的计算方法。
在本文中，我们将详细介绍这个公式的含义和应用。
我们需要了解什么是行列式。
行列式是一个数学概念，它是一个方阵中各行（或各列）元素的乘积之和。
行列式的值可以用来判断一个矩阵是否可逆，以及计算矩阵的逆矩阵。
对于一个二阶矩阵，其行列式可以表示为：| a b || c d |行列式的值为 ad - bc。
如果行列式的值不为零，则该矩阵可逆，且其逆矩阵可以表示为：| d -b ||-c a |这个逆矩阵的计算方法就是二阶行列式逆矩阵公式。
二阶行列式逆矩阵公式的推导过程比较简单，我们可以通过代数运算来证明它的正确性。
首先，我们可以将逆矩阵表示为：| x y || z w |然后，我们可以通过矩阵乘法的定义来计算矩阵乘积：| a b | | x y | | 1 0 || c d | x | z w | = | 0 1 |根据矩阵乘积的定义，我们可以得到以下方程组：ax + bz = 1ay + bw = 0cx + dz = 0cy + dw = 1通过解这个方程组，我们可以得到逆矩阵的值：x = d / (ad - bc)y = -b / (ad - bc)z = -c / (ad - bc)w = a / (ad - bc)这个结果就是二阶行列式逆矩阵公式。
二阶行列式逆矩阵公式的应用非常广泛，它可以用来计算矩阵的逆矩阵，从而解决线性方程组的问题。
此外，它还可以用来计算矩阵的行列式，从而判断矩阵是否可逆。
在实际应用中，二阶行列式逆矩阵公式是非常重要的工具，它可以帮助我们解决许多复杂的数学问题。
二阶行列式逆矩阵公式是线性代数中的一个重要定理，它描述了二阶行列式的逆矩阵的计算方法。
通过学习这个公式，我们可以更好地理解矩阵的性质和应用，从而更好地应用线性代数的知识。
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a2 a3
a15
a16
18
2.解不等式
x
0
x 0, 1
x2 3.求函数的最值 y 2
x 1
y min 1,无最大值
探索研究：
一、1)计算行列式 9 的值； 2）你能否从1）中的结果得出一个一般的结论？ 并证明你的结论。
3
5 11 12 ， 10 22
4
7 28 ， 2 8
基本步骤：
1）把方程变为标准形式，即
a1x b1y c1 , a2x b2y c2 .
形式；
2）正确写出行列式
Dx x D 3）当 D 0 时，写出二元一次方程组的解为 y D y D
D、D x、D y ；
巩固练习：
1.展开并化简下列行列式：
D
Dx
5 11 4 15
8
5 15 4 11 31 0,
11
6 15
186 ,
Dy
5
8
4 6
62,
Dx 186 x 6, D 31
Dy y D
62 2. 31
所以，原方程组的解为
x 6 y 2
行列式应用于解二元一次方程组
德国数学家莱布尼兹是与牛顿齐 名的微积分的创始人，同时他又是 数学史上最伟大的符号学者之一， 堪称符号大师，他曾说：“要发明， 就要挑选恰当的符号，要做到这一 点，就要用含义简明的少量符号来 表达和比较忠实地描绘事物内在本 质，从而最大限度地减少人的思维 劳动”．他创造的数学符号有商 “ a”、比“a:b”、相似“∽”、 b ”、交“ ” 全等“≌”、并“ 等，最有名的 要算积分和微分符号了．
行列式应用于解二元一次方程组
例1
求解二元线性方程组 3 x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1. 3 2 3 ( 4) 7 0, D 2 1
Dy
3 12 2 1
解
12 2 14, Dx 1 1 D x 14 x1 2, D 7
若记
系数行列式
a1 b1 D , a 2 b2
类似地，方程组的求解公式中的分子 c1b2 c2b1、a1c2 a2c1 也可分别用二阶行列式
Dx c1 c2 b1 b2
,
Dy
a1 a2
c1 c2
表示。
当 D 0时，二元一次方程组的解为：
c1 c2 Dx x D a 1 a2 a1 y D y a2 D a1 a2
5 1 （1） 8 2
=2
1 5 （2） 8 2 =-38
cos （ 3） sin
sin cos
=-1
a 1 1 （4） 1 a2 a 1
a
3
2：将下列各式用二阶行列式表示： （1）
ab mn
（2）sin cos cos sin
解： 1ab mn ab (mn)
b1 b2 b1 b2 c1 c2 b1 b2
注意: 分母都为原方程组的系数行列式，行列式D x 和 D y 分别是用方程组的常数项 c1、c2 替换行列式 D 中 的 x 的系数 a1、a2 或 y 的系数 b1、b2 后得到的。
既然加减消元法可以解一元二次方程组，为什么还要 引入行列式呢？
理由如下： 1）行列式简化了一元二次方程组解的表达形式； 2）行列式给出了线性方程组有唯一解的判别准则； 3）随着学习的深入，同学们可以看到行列式与函 数、不等式、几何、三角都有密切关系。
3
观察发现，解的分子分母都是两数乘积的差。如分母：由方程 组的四个系数确定.
二、定义概念 ：二阶行列式
将未知数的四个系数 排成如下二行二列（横排 a b 1 1 称行、竖排称列）的数表： a2 b2
我们用记号： 表示算式
a1
b1
a2 b2
4
即
a1b2 a2b1 ,
a1 a2
b1 b2
2 a
1
1 a2 ,
得 (a1b2 a2b1 ) y a1c2 a2c1.
方程组有唯一解为 当 a1b2 a2b1 0 时，
c1b2 c2b1 x a b a b 1 2 2 1 y a1c2 a2c1 a1b2 a2b 1
a1b2 a2b1
5
记号 4 叫做行列式，因为它有两行两列，所以称之为二阶行列式。 其中 a1b2
a2b1 叫做行列式的展开式，其计算结果叫做行列式的值； a1 , a2 , b1 , b2 叫做行列式的元素
*实质：二阶行列式就是表示四个数或式子的特定算式的一种记号
二阶行列式的运算规则 我们把 a , b （主对角线）和 a , b （副对角线）分别用 两条对角线连接，用主对角线上的两个数的乘积减去副对角 线上的两个数的乘积即为行列式的值。 利用对角线可把二阶行列式写成它的展开式，这种方法叫做 二阶行列式展开的对角线法则。
1）
1 3
2 4
2）
m
2 1
2
3）
x y y y x y
2：将下列各式用行列式表示： （1）b 2 4ac
2
（2）x 2 4 x 1
b 4a 解： (1)b 4ac b b 4a c c b
x 4x 1 (2) x 4 x 1 x x (4 x 1) (1) 1 x
所以，原方程组的解为
21,
x 1 2 x 2 3
D y 21 x2 3. D 7
5 x 11y 8 0 （2） 4 x 15 y 6 0
解
把方程组写成标准形式：
5 x 11y 8 4 x 15 y 6
二阶行列式
行列式的历史背景：
行列式出现于线性方程组的求解，它最早是 一种速记的表达式,现在已经是数学中一种非常有 用的工具. 行列式概念第一次在西方出现，是1693年在 莱布尼兹给洛必达的一系列信中出现的，他对于 行列式的贡献和影响比其他人要大一些，因此莱 布尼兹得到了发明行列式的荣誉．然而，就写作 时间而论，日本数学家关孝和受中国天元术的影 响（被誉为“算圣”、“日本的牛顿”），在1683年 著作《解伏题元法》中就有了行列式的概念．
1 2
2 1
主对角线
a11
a12
此我们得到： （1）由二阶行列式的计算法则，任何一个二阶行列式都可 以表示成乘积差的形式，进而计算出它的值； （2）由二阶行列式的计算法则，任何两个乘积差的形式都 可以表示成一个二阶行列式。
练习
1：展开并化简下列行列式：
结论：如果一个二阶行列式的两行（或两列）的元素对应成 a b 比例，即行列式可以表示为 （或 a ka ）， ka kb b kb 则该行列式的值为零。 证明：
a b kab kab 0 ka kb
课堂小结
（1）理解二阶行列式的意义，行列式表示一个特定算式下的一 个数或式子； （2）明确二阶行列式展开的对角线法则； （3）掌握二阶行列式的计算及把一个式子表示成二阶行列式的 形式； （4）用行列式求系数行列式不为零的二元一次方程组的解。
2
3.解下列二元一次方程组
1）
x 2y 3 2x y 1
x 1 y 1
2）
1.5x 0.7y 0.5 0 2x y 9 0
x 2 y 5
拓展提高：
1.若
an
为等比数列，且 a9 3 ，则
1x 0 1
a
n
sin cos
m b
sin 2sin cos cosa sin cos
讨论：你还能有哪些不同的写法？
结论：式子的分解不唯一，即使分解成相同的形式， 行列式的写法也可以有不同的组合。
二阶行列式的表示符号：一般用大写字母表示
a1x b1y c1 , 对于二元一次方程组 a2x b2y c2 .
一、二阶行列式的引入
设二元一次方程组:
a1x b1y c1 , 1 () a2x b2y c2 . 2 (其中x ,y是未知数，a1、a2、b1、b2是未知数的系数
且不全为零，c1、c2是常数项)
用加减消元法解方程组 :
1 b
2
2 b1,
得 (a1b2 a2b1 ) x c1b2 c2b1,