动态规划具体概念+例题

示例
贪心法
N=5 石子数分别为3 4 6 5 4 2。 用贪心法的合并过程如下： 第一次 3 4 6 5 4 2得分 5 第二次 5 4 6 5 4得分9 第三次 9 6 5 4得分9 第四次 9 6 9得分15 第五次 15 9得分24 第六次24 总分：62 然而仔细琢磨后，发现更好的方案： 第一次3 4 6 5 4 2得分 7 第二次7 6 5 4 2得分13 第三次13 5 4 2得分6 第四次13 5 6得分11 第五次 13 11得分24 第六次24 总分：61
三、适用的情况
能采用动态规划求解的问题一般要具有3个性质： (1) 最优子结构：如果问题的最优解所包 含的子问题的解也是最优的，就称该问题具 有最优子结构，即满足最优化原理。
(2) 无后效性：即某阶段状态一旦确定， 就不受这个状态以后决策的影响。也就是说， 某状态以后的过程不会影响以前的状态，只 与当前状态有关。
记忆化搜索
Opt[i, j] - 每产生一个f(i, j)， 将f(i, j)的值放入opt中，以后再 次调用到f(i, j)的时候，直接从 记忆化的功效 opt[i, j]来取就可以了。 于是动态规划的状态转移方程被直 观地表示出来了，这样节省了思维 的难度，减少了编程的技巧，而运 行时间只是相差常数的复杂度，而 且在相当多的情况下，递归算法能 更好地避免浪费，在比赛中是非常 实用的.
动态规划
什么是动态规划
在学习动态规划之前你一定学 过搜索.那么搜索与动态规划有 什么关系呢?我们来下面的一 个例子.
数字三角形
给你一个数字三角形, 形式如下 : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 找出从第一层到最后一层的一条 路,使得所经过的权值之和最小或 者最大.
数字三角形
无论对与新手还是老手，这都是再 熟悉不过的题了，很容易地，我们 写出状态转移方程：f(i, j)=a[i, j] + min{f(i-1, j)+f(i-1, j + 1)} 对于动态规划算法解决这个问题， 我们根据状态转移方程和状态转移 方向，比较容易地写出动态规划的 循环表示方法。但是，当状态和转 移非常复杂的时候，也许写出循环 式的动态规划就不是那么简单了。 解决方法：
显然，贪心法是错误的。
动态规划
用data[i,j]表示将从第i颗石子开始的接下来j颗石子合并所 得的分值， max[i,j]表示将从第i颗石子开始的接下来j颗石子合并可能 的最大值，那么： max[i,j] = max(max[i, k] + max[i + k, j – k] + data[i,k] + data[i+k, j–k]) (2<=k<=j) max[i,1] = 0 同样的，我们用min[i,j]表示将第从第i颗石子开始的接下来 j颗石子合并所得的最小值，可以得到类似的方程： min[i,j] = min(min[i, k] + min[i + k, j – k] + data[i,k] + data[i+k, j– k]) (0<=k<=j) min[i,0] = 0 这样，我们完美地解决了这道题。时间复杂度也是O(n2) 。
记忆化搜索
我们尝试从正面的思路去分析问题 ，如上例，不难得出一个非常简单 的递归过程 : f1:=f(i-1,j+1); f2:=f(i-1,j); if f1>f2 then f:=f1+a[i,j] else f:=f2+a[i,j]; 显而易见，这个算法就是最简单的 搜索算法。时间复杂度为2n，明显 是会超时的。分析一下搜索的过程 ，实际上，很多调用都是不必要的 ，也就是把产生过的最优状态，又 产生了一次。为了避免浪费，很显 然，我们存放一个opt数组：
初始状态→│决策１│→│决策２│→…→│决 策ｎ│→结束状态 (1)划分阶段：按照问题的时间或空间特 征，把问题分为若干个阶段。在划分阶段时， 注意划分后的阶段一定要是有序的或者是可 排序的，否则问题就无法求解。
(2)确定状态和状态变量：将问题发展到 各个阶段时所处于的各种客观情况用不同的 状态表示出来。当然，状态的选择要满足无 后效性。 (3)确定决策并写出状态转移方程：因为 决策和状态转移有着天然的联系，状态转移 就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶 段的状态。所以如果确定了决策，状态转移 方程也就可写出。但事实上常常是反过来做， 根据相邻两个阶段的状态之间的关系来确定 决策方法和状态转移方程。
动态规划的实质
可以看出动态规划的实质就是
这也就是为什么我们常说动态规划必须满 足重叠子问题的原因.记忆化,正符合了这个 要求.
状态 阶段 决策
或许有一种对动态规划的简单 称法,叫分阶段决策.其实我认为 这个称法并不是很能让人理解. 那么下面我们来看看阶段,状态, 决策这三者间得关系吧.
dp[i][j]=max(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+a[i][j];
如果看到这里，相信你一定给这篇演 示文稿看完了，预祝你在NOIP2006里取 得好的成绩！ ——ljf or BraveHeart （其实是ljfhe和BraveHeart做的PPT ）
由于动态规划解决的问题多数有重叠子问 题这个特点，为减少重复计算，对每一个 子问题只解一次，将其不同阶段的不同状 态保存在一个二维数组中。
与分治法最大的差别是：适合于用动态规 划法求解的问题，经分解后得到的子问题 往往不是互相独立的（即下一个子阶段的 求解是建立在上一个子阶段的解的基础上， 进行进一步的求解）。
要点小结
动态规划方程要点：变量定义，方程递归 形式，参数范围，初始条件。 程序模型要点： 初始条件->变量初始化|递归终止条件 参数范围->循环变量范围&判断条件 方程递归形式->赋值语句
01背包
若01背包问题中，背包容量上限为 T(<=100)。求解。
动态规划方程
变量的定义： Vi ::= 第i件物品的体积 Pi ::= 第i件物品的价值 fi j ::= 用容量为j的背包去装前i个物品所能 获得的最大总价值 方程： fi j = max{fi-1 j, fi-1 j-vi+Pi} 1<=i<=j f0 j = 0 Answer = fn T
(4)寻找边界条件：给出的状态转移方程 是一个递推式，需要一个递推的终止条件或 边界条件。
一般，只要解决问题的阶段、状态和状 态转移决策确定了，就可以写出状态转移方 程（包括边界条件）。
五、算法实现的说明
（1）问题的阶段 （2）每个阶段的状态 （3）从前一个阶段转化到后一个阶段之间 的递推关系。 递推关系必须是从次小的问题开始到较大 的问题之间的转化，从这个角度来说，动 态规划往往可以用递归程序来实现，不过 因为递推可以充分利用前面保存的子问题 的解来减少重复计算，所以对于大规模问 题来说，有递归不可比拟的优势，这也是 动态规划算法的核心之处。
平面型动态规划
特征：问题模型为一个平面 通常的子结构划分方式：逐行扫描
宝藏三角
一个宝藏如下所示： 3 4 5 9 7 2 6 8 7 4 从顶端出发，每次可以向左下或者右下走。 求一条从顶端到底边的路径，使得路径上 所有宝藏之和最大。
动态规划方程
状态转移方程：
无后效性
最短路径：当前选择任何一条边都不会影 响以后选择其他边。 有费用的最短路径：设经过任何一条边时 都要耗费一定的费用，总费用一定的情况 下，当前选择某一条特定的边可能导致某 些其他的边无法被选择。
四、求解的基本步骤
动态规划所处理的问题是一个多阶段决策 问题，一般由初始状态开始，通过对中间 阶段决策的选择，达到结束状态。这些决 策形成了一个决策序列，同时确定了完成 整个过程的一条活动路线(通常是求最优的 活动路线)。如图所示。动态规划的设计都 有着一定的模式，一般要经历以下几个步 骤。
决策

显然,从上图可以看出,当前状态通 过决策,回到了以前状态.可见决策 其实就是状态之间的桥梁。而以前 状态也就决定了当前状态的情况。
数字三角形的决策就是选择相邻的两 个以前状态的最优值。
动规的要诀－状态
我们一般在动规的时候所用到的一 些数组，也就是用来存储每个状态 的最优值的。 我们就从动态规划的要诀，也就是 核心部分“状态”开始，来逐步了 解动态规划。
线型动态规划
特征：问题的数学模型表现为线型。 通常的子结构划分方式：顺序、中分
最长不下降序列
设 有 整 数 序 列 b1,b2,b3,…,bm ， 若 存 在 下 标 i1<i2<i3< …<in，且bi1<bi2<bi3< …<bin，则称 b1,b2,b3,…,bm中有长度为n的不下降序列bi1 , bi2 ,bi3 ,…,bin 。 求序列 b1,b2,b3,…,bm 中所有长度 (n) 最大不下降 子序列 输入：整数序列。 输出：最大长度n和所有长度为n的序列个数。
状态 阶段 决策
状态是表现出动态规划核心思想的一个东西.而分 阶段决策这个东西有似乎没有提到状态,这是不科 学的. 阶段,有些题目并不一定表现出一定的阶段性.数字 三角形的阶段就是每一层.这里我们引入一个概念 ---以前状态.但阶段不是以前状态,状态是阶段的表 现形式.数字三角形的以前状态就是当前层的前一 层. 那什么是决策呢?我们看看下面一张图就知道了.
一、基本概念
动态规划过程是：每次决策依赖于当前状 态，又随即引起状态的转移。一个决策序 列就是在变化的状态中产生出来的，所以， 这种多阶段最优化决策解决问题的过程就 称为动态规划。
二、基本思想与策略
基本思想与分治法类似，也是将待求解的 问题分解为若干个子问题（阶段），按顺 序求解子阶段，前一子问题的解，为后一 子问题的求解提供了有用的信息。在求解 任一子问题时，列出各种可能的局部解， 通过决策保留那些有可能达到最优的局部 解，丢弃其他局部解。依次解决各子问题， 最后一个子问题就是初始问题的解。