(培优)经典讲义菱形、矩形、正方形)

菱形的性质及判定

【知识梳理】

1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2．菱形的性质

菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：

①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等．

③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．

④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．

菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．

点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．

3．菱形的判定

判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

判定③：四边相等的四边形是菱形．

【例题精讲】

板块一、菱形的性质

【例1】⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为

⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是

【例2】如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．

求证：DE=BE．

【例3】如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．

【例3】如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．

（1）求证：BE=BF；

（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．

【例4】如图，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），连接DP 交对角线AC 于E 连接BE ．

（1）证明：∠APD=∠CBE ；

（2）若∠DAB=60°，试问P 点运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的，为什么？

【例5】如图所示，在矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm 、点P 从点D 出发向点A 运动，同时点Q 从点B 出发向点C 运动，点P 、Q 的速度都是1cm/s ． （1）在运动过程中，四边形AQCP 可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP 是菱形？ （2）分别求出菱形AQCP 的周长、面积．

【例6】 如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．

图2

O

D

A

【例7】已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．

F

E

D

C

B

A

【作业】

1.在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ）

A. 5cm

B. 15cm

C. 20cm

D. 25cm 2.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD 的周长是______

3.已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长度是6和8，则这个菱形的周长是（ ）

A 、20

B 、14

C 、28

D 、24

4.如图，菱形ABCD 的周长是16，∠A=60°，则对角线BD 的长度为（ ）

A ．2

B ．23

C ．4

D ．43

5.已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ）

A 、16错误!未找到引用源。

B 、16

C 、8错误!未找到引用源。

D 、8

6. 如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO 的顶点P 的坐标是（3，4），则顶点M 、N 的坐标分别是（ ） A 、M （5，0），N （8，4） B 、M （4，0），N （8，4）

C 、M （5，0），N （7，4）

D 、M （4，0），N （7，4）

二、填空题

7. 如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 的中点，且DE 丄AB ，则菱形ABCD 的面积为 错误!未找到引用源。cm 2

．

8. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，过点O 作OH 丄AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离

9.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD ，若AD=6cm ，∠ABC=60°，则四边形ABCD 的面积等于 cm 2

．

10. （2011河北，14，3分）如图，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC ＝ ． 第7题

第8题

第9题

11. 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD 的周长是 ．

三、解答题

12. 如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE=AF 。 求证：△ACE≌△ACF。

13.如图，四边形ABCD 为菱形，已知A （0，4），B （﹣3，0）．

（1）求点D 的坐标；

（2）求经过点C 的反比例函数解析式．

14.如图所示，在菱形ABCD 中，∠ABC＝ 60°，DE∥AC 交BC 的延长线于点E ．求证：

DE ＝12

BE ．

15. （2011•湘西州）如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，∠ACB=30°，AB=2． （1）求AC 的长． （2）求∠AOB 的度数． 第10题

第11题

A D

F

E B

C

E

D

C B

A