(完整word版)近世代数期末考试题库(包括模拟卷和1套完整题)

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近世代数期末模拟试题练习与答案

近世代数期末模拟试题练习与答案

近世代数模拟试题一、单项选择题1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( )是子群。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,( )不是群A 、G 为整数集合,*为加法B 、G 为偶数集合,*为加法C 、G 为有理数集合,*为加法D 、G 为有理数集合,*为乘法3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( )A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( )A 、12σB 、1σ2σC 、22σD 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。

4、a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与-------同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。

6、若映射ϕ既是单射又是满射,则称ϕ为-----------------。

7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得10=+++n n a a a αα 。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x = ,则称a 为---------。

9、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群,如果满足G 对于乘法封闭;结合律成立、---------。

近世代数期末考试题库1

近世代数期末考试题库1

世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设A=B=R(实数集),如果A到B的映射:x→x+2,x∈R,则是从A到B的( c )A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有( d )个元素。

A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b, a,b∈G都有解,这个解是(b )乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数(c )A、不相等B、0C、相等D、不一定相等.5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的(d )A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合;,则有-1,0,1,-2,2。

2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae=ea=a,则e称为环R的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R的乘法交换,则称R是一个交换环.4、偶数环是整数环的子环。

5、一个集合A的若干个—-变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。

6、每一个有限群都有与一个置换群同构。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是1,元a 的逆元是a-1。

8、设和是环的理想且,如果是的最大理想,那么---—-—-—-。

9、一个除环的中心是一个—域---——.三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、设置换和分别为:,,判断和的奇偶性,并把和写成对换的乘积。

2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

奇1、解:把和写成不相杂轮换的乘积:可知为奇置换,为偶置换。

近世代数期末考试题库——2022年整理

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近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A =B =R(实数集),如果A 到B 的映射ϕ:x →x +2,∀x ∈R ,则ϕ是从A 到B 的( )A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,那么,A 与B 的积集合A ×B 中含有( )个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ,ya=b , a,b ∈G 都有解,这个解是( )乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数( )A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的( )A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,则有=⨯A B ---------。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ,都有ae=ea=a ,则e 称为环R 的--------。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换,则称R 是一个------。

4、偶数环是---------的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。

6、每一个有限群都有与一个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a 的逆元是-------。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 是R 的最大理想,那么---------。

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近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出得四个备选项中只有一个就就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A=B=R(实数集),如果A到B得映射:x→x+2,x∈R,则就就是从A到B得( )A、满射而非单射ﻩB、单射而非满射C、一一映射ﻩﻩﻩD、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B得积集合A×B中含有( )个元素。

A、2 ﻩﻩﻩB、5 C、7ﻩﻩﻩﻩD、103、在群G中方程ax=b,ya=b, a,b∈G都有解,这个解就就是( )乘法来说A、不就就是唯一 B、唯一得 C、不一定唯一得D、相同得(两方程解一样) 4、当G为有限群,子群H所含元得个数与任一左陪集aH所含元得个数( )A、不相等B、0 C、相等 D、不一定相等。

5、n阶有限群G得子群H得阶必须就就是n得( )A、倍数B、次数C、约数 D、指数二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合;,则有---------。

2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae=ea=a,则e称为环R得--------。

3、环得乘法一般不交换。

如果环R得乘法交换,则称R就就是一个------。

4、偶数环就就是---------得子环。

5、一个集合A得若干个--变换得乘法作成得群叫做A得一个--------。

6、每一个有限群都有与一个置换群--------。

7、全体不等于0得有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群得单位元就就是---,元a得逆元就就是-------。

8、设与就就是环得理想且,如果就就是得最大理想,那么---------。

9、一个除环得中心就就是一个-------。

三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、设置换与分别为:,,判断与得奇偶性,并把与写成对换得乘积。

近世代数期末考试试卷及答案(正)

近世代数期末考试试卷及答案(正)

近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集(C )是子群。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,( )不是群A 、G 为整数集合,*为加法B 、G 为偶数集合,*为加法C 、G 为有理数集合,*为加法D 、G 为有理数集合,*为乘法3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( )A 、a*b=a —bB 、a*b=max{a ,b}C 、 a*b=a+2bD 、a *b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说:任一个子群都同一个——--变换群—-————同构。

2、一个有单位元的无零因子的—-交换环---称为整环.3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于—-25--——.4、a 的阶若是一个有限整数n,那么G 与-模n 乘余类加群-—-———同构。

5、A={1。

2.3} B={2。

5。

6} 那么A ∩B=—-{2}—--。

6、若映射ϕ既是单射又是满射,则称ϕ为--——一一映射—-—-————----—。

7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的——不都等于零的元-—-n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

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多所高校近世代数题库一、(2011年近世代数)判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

( )2、设A 、B 、D 都是非空集合,则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

( )3、只要f 是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f。

( )4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的,则G 与整数加群同构。

( )5、如果群G 的子群H 是循环群,那么G 也是循环群。

( )6、近世代数中,群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。

( )7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。

( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。

( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。

( ) 10、若域E 的特征是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 是整数环,()p 是由素数p 生成的主理想。

( )二、(2011年近世代数)单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。

答案选错或未作选择者,该题无分。

每小题1分,共10分)1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合,而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同;②n A A A ,,,21 的次序不能调换; ③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。

2、指出下列那些运算是二元运算( ) ①在整数集Z 上,abba b a +=; ②在有理数集Q 上,ab b a = ; ③在正实数集+R 上,b a b a ln = ;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -= 。

近世代数期末模拟试题与答案

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世代数模拟试题一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A =B =R(实数集),如果A 到B 的映射ϕ:x →x +2,∀x ∈R ,则ϕ是从A 到B 的( )A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,那么,A 与B 的积集合A ×B 中含有( )个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ,ya=b , a,b ∈G 都有解,这个解是( )乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数( )A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的( )A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,则有=⨯A B ---------。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ,都有ae=ea=a ,则e 称为环R 的--------。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换,则称R 是一个------。

4、偶数环是---------的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。

6、每一个有限群都有与一个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a 的逆元是-------。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 是R 的最大理想,那么---------。

9、一个除环的中心是一个-------。

近世代数期末考试题库45962

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近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A=B=R(实数集),如果A到 B 的映射:x→x+2,x∈R,则是从A到B的()A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有 5 个元素,集合 B 中含有 2 个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有()个元素。

A、2B、 5 C 、7 D、103、在群G中方程ax=b,ya=b,a,b ∈G都有解,这个解是()乘法来说A、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数()A、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G的子群H的阶必须是n 的()A、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数二、填空题(本大题共10 小题,每空 3 分,共30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合 A 1,0,1; B 1,2,则有 B A ------------------------ 。

2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae=ea=a,则 e 称为环R的。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R的乘法交换,则称R是一个。

4、偶数环是--- 的子环。

5、一个集合 A 的若干个-- 变换的乘法作成的群叫做 A 的一个。

6、每一个有限群都有与一个置换群-- 。

7、全体不等于0 的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是--- ,元a 的逆元是。

8、设I 和S是环R 的理想且I S R,如果I 是R的最大理想,那么----- 。

9、一个除环的中心是一个-- 。

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题10 分,共30 分)1、设置换和分别为:12345678,12345678,判断和的奇偶性,并把和64173528 23187654写成对换的乘积。

优秀的近世代数期末考试总复习

优秀的近世代数期末考试总复习

近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设A=B=R(实数集),如果A到B的映射:x→x+2,x∈R,则是从A 到B的()A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有()个元素.A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b,a,b∈G都有解,这个解是()乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数( )A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。

5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的()A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、设集合;,则有——-----—-.2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae=ea=a,则e称为环R的————--——.3、环的乘法一般不交换。

如果环R的乘法交换,则称R是一个———-——。

4、偶数环是—------—-的子环.5、一个集合A的若干个—-变换的乘法作成的群叫做A的一个-————-—-。

6、每一个有限群都有与一个置换群———-—-—-。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a的逆元是—--—-—-.8、设和是环的理想且,如果是的最大理想,那么-——————--。

9、一个除环的中心是一个--—-——-。

三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、设置换和分别为:,,判断和的奇偶性,并把和写成对换的乘积。

2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

近世代数期末考试题库完整

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世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A=B=R(实数集),如果A至UB的映射中:x-x+2,Vx€R,则中是从A至UB的(c)A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合AXB中含有(d)个元素。

A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b,a,b6G都有解,这个解是(b)乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数(c)A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。

5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的(d)A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合A“T0」>;B=42},则有BMA=。

2、若有元素e6R使每a6A,都有ae=ea=a,则e称为环R的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R的乘法交换,则称R是一个交换环。

4、偶数环是整数环的子环。

5、一个集合A的若干个-变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。

6、每一个有限群都有与一个置换群同构。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是1,元a的逆元是a-1。

8、设I和S是环R的理想且1=S=R,如果I是R的最大理想,那么。

9、一个除环的中心是一个-域-----。

三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)[写成对换的乘积。

2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

奇1、解:把仃和工写成不相杂轮换的乘积:二三(1653)(247)(8).=(123)(48)(57)(6)可知仃为奇置换,七为偶置换。

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世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A =B =R(实数集),如果A 到B 的映射ϕ:x →x +2,∀x ∈R ,则ϕ是从A 到B 的( c ) A 、满射而非单射 B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,那么,A 与B 的积集合A ×B 中含有( d )个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ,ya=b , a,b ∈G 都有解,这个解是(b )乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数(c )A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的(d )A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,则有=⨯A B 。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ,都有ae=ea=a ,则e 称为环R 的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换,则称R 是一个交换环。

4、偶数环是整数环的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个变换全。

6、每一个有限群都有与一个置换群同构。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是1,元a 的逆元是a-1。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 是R 的最大理想,那么---------。

9、一个除环的中心是一个-域-----。

三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、设置换σ和τ分别为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ,判断σ和τ的奇偶性,并把σ和τ写成对换的乘积。

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世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A =B =R(实数集),如果A 到B 的映射ϕ:x →x +2,∀x ∈R ,则ϕ是从A 到B 的( c ) A 、满射而非单射 B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,那么,A 与B 的积集合A ×B 中含有( d )个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ,ya=b , a,b ∈G 都有解,这个解是(b )乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数(c )A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的(d )A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,则有=⨯A B 。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ,都有ae=ea=a ,则e 称为环R 的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换,则称R 是一个交换环。

4、偶数环是整数环的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个变换全。

6、每一个有限群都有与一个置换群同构。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是1,元a 的逆元是a-1。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 是R 的最大理想,那么---------。

9、一个除环的中心是一个-域-----。

三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、设置换σ和τ分别为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ,判断σ和τ的奇偶性,并把σ和τ写成对换的乘积。

近世代数期末考试试题库

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10.在3次对称群S3中,设H={(1),(123),(132)}是S3的一个不变子群,则商群G/H中的元素(12)H=___________。
2、设E是所有偶数做成的集合,“ ”是数的乘法,则“ ”是E中的运算,(E, )是一个代数系统,问(E, )是不是群,为什么?
1、解:H的3个右陪集为:{I,(1 2)},{(1 2 3 ),(1 3)},{(1 3 2 ),(2 3 )}
H的3个左陪集为:{I,(1 2)} ,{(1 2 3 ),(2 3)},{(1 3 2 ),(1 3 )}
A、(1),(123),(132)B、12),(13),(23)
C、(1),(123)D、S3中的所有元素
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、群的单位元是--------的,每个元素的逆元素是--------的。
2、如果 是 与 间的一一映射, 是 的一个元,则 ----a------。
D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”: m,n∈Z,m n=1
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.设“~”是集合A的一个关系,如果“~”满足___________,则称“~”是A的一个等价关系。
7.设(G,·)是一个群,那么,对于 a,b∈G,则ab∈G也是G中的可逆元,而且(ab)-1=
显然是R的一个商域 证毕。
近世代数模拟试题二
一、单项选择题
二、1、设G 有6个元素的循环群,a是生成元,则G的子集(c )是子群。
A、 B、 C、 D、
2、下面的代数系统(G,*)中,(d )不是群

优秀的近世代数期末考试总复习题

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近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A=B=R(实数集),如果A到B的映射ϕ:x→x+2,∀x∈R,则ϕ是从A 到B的()A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有()个元素。

A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b,a,b∈G都有解,这个解是()乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数()A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。

5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的()A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合{}1,0,1-=A;{}2,1=B,则有=B---------。

⨯A2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae=ea=a,则e称为环R的--------。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R的乘法交换,则称R是一个------。

4、偶数环是---------的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。

6、每一个有限群都有与一个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a 的逆元是-------。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 是R 的最大理想,那么---------。

9、一个除环的中心是一个-------。

三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、设置换σ和τ分别为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ,判断σ和τ的奇偶性,并把σ和τ写成对换的乘积。

近世代数期末考试题库1

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世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A =B =R(实数集),如果A 到B 的映射ϕ:x →x +2,∀x ∈R ,则ϕ是从A 到B 的( c ) A 、满射而非单射 B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,那么,A 与B 的积集合A ×B 中含有( d )个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ,ya=b , a,b ∈G 都有解,这个解是(b )乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数(c )A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的(d )A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,则有=⨯A B -1,0,1,-2,2。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ,都有ae=ea=a ,则e 称为环R 的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换,则称R 是一个交换环。

4、偶数环是整数环的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个变换全。

6、每一个有限群都有与一个置换群同构。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是1,元a 的逆元是a-1。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 是R 的最大理想,那么---------。

9、一个除环的中心是一个-域-----。

三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、设置换σ和τ分别为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ,判断σ和τ的奇偶性,并把σ和τ写成对换的乘积。

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多所高校近世代数题库一、(2011年近世代数)判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分)1、设A 与B 都是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

( )2、设A 、B 、D 都是非空集合,则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

( )3、只要f 是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。

( )4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的,则G 与整数加群同构。

( )5、如果群G 的子群H 是循环群,那么G 也是循环群。

( )6、近世代数中,群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。

( )7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。

( )8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。

( )9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。

( )10、若域E 的特征是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 是整数环,()p 是由素数p 生成的主理想。

( )二、(2011年近世代数)单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。

答案选错或未作选择者,该题无分。

每小题1分,共10分)1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合,而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射,那么( )①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同;②n A A A ,,,21 的次序不能调换;③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同;④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。

2、指出下列那些运算是二元运算( ) ①在整数集Z 上,abb a b a +=; ②在有理数集Q 上,ab b a = ; ③在正实数集+R 上,b a b a ln = ;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -= 。

3、设 是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax = (即取a 与b 中的最大者),那么 在Z 中( )①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。

4、设() ,G 为群,其中G 是实数集,而乘法k b a b a ++= :,这里k 为G 中固定的常数。

那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是( )①0和x -; ②1和0; ③k 和k x 2-; ④k -和)2(k x +-。

5、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12,那么=x ( )①11--a bc ; ②11--a c ; ③11--bc a ; ④ca b 1-。

6、设H 是群G 的子群,且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。

如果6,那么G 的阶=G ( )①6; ②24; ③10; ④12。

7、设21:G G f →是一个群同态映射,那么下列错误的命题是( )①f 的同态核是1G 的不变子群; ②2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群;③1G 的子群的象是2G 的子群; ④1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。

8、设21:R R f →是环同态满射,b a f =)(,那么下列错误的结论为( )①若a 是零元,则b 是零元; ②若a 是单位元,则b 是单位元;③若a 不是零因子,则b 不是零因子;④若2R 是不交换的,则1R 不交换。

9、下列正确的命题是( )①欧氏环一定是唯一分解环; ②主理想环必是欧氏环;③唯一分解环必是主理想环; ④唯一分解环必是欧氏环。

10、若I 是域F 的有限扩域,E 是I 的有限扩域,那么( )①()()()F I I E I E :::=; ②()()()I E F I E F :::=;③()()()I F F E F I :::=; ④()()()F I I E F E :::=。

三、(2011年近世代数)填空题(将正确的内容填在各题干预备的横线上,内容填错或未填者,该空无分。

每空1分,共10分)1、设集合{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,则有=⨯A B 。

2、如果f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则()[]=-a f f1 。

3、设集合A 有一个分类,其中i A 与j A 是A 的两个类,如果j i A A ≠,那么=j i A A 。

4、设群G 中元素a 的阶为m ,如果e a n =,那么m 与n 存在整除关系为 。

5、凯莱定理说:任一个子群都同一个 同构。

6、给出一个5-循环置换)31425(=π,那么=-1π 。

7、若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主理想,那么I 中的元素可以表达为 。

8、若R 是一个有单位元的交换环,I 是R 的一个理想,那么IR 是一个域当且仅当I 是 。

9、整环I 的一个元p 叫做一个素元,如果 。

10、若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域,如果 。

四、(2011年近世代数)改错题(请在下列命题中你认为错误的地方划线,并将正确的内容写在预备的横线上面。

指出错误1分,更正错误2分。

每小题3分,共15分)1、如果一个集合A 的代数运算 同时适合消去律和分配律,那么在n a a a 21里,元的次序可以掉换。

2、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群,如果满足G 对于乘法封闭;结合律成立、交换律成立。

3、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 是R 的最大理想,那么0≠S 。

4、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子,若d 和'd 都是a 和b 的最大公因子,那么必有'd d =。

5、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

五、(2011年近世代数)计算题(共15分,每小题分标在小题后)1、给出下列四个四元置换⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=34124321,43124321,34214321,432143214321ππππ 组成的群G ,试写出G 的乘法表,并且求出G 的单位元及14131211,,,----ππππ和G 的所有子群。

2、设[][][][][][]{}5,4,3,2,1,06=Z 是模6的剩余类环,且[]x Z x g x f 6)(),(∈。

如果[][][]253)(3++=x x x f 、[][][]354)(2++=x x x g ,计算)()(x g x f +、)()(x g x f -和)()(x g x f 以及它们的次数。

3、群G=(a),|a|=7,求出群G 的所有子群。

六、(2011年近世代数)证明题(每小题10分,共40分)1、设a 和b 是一个群G 的两个元且ba ab =,又设a 的阶m a =,b 的阶n b =,并且1),(=n m ,证明:ab 的阶mn ab =。

2、设R 为实数集,0,,≠∈∀a R b a ,令R x b ax x R R f b a ∈∀+→,,:),( ,将R 的所有这样的变换构成一个集合{}0,,),(≠∈∀=a R b a f G b a ,试证明:对于变换普通的乘法,G 作成一个群。

3、设1I 和2I 为环R 的两个理想,试证21I I 和{}2121,I b I a b a I I ∈∈+=+都是R 的理想。

4、设R 是有限可交换的环且含有单位元1,证明:R 中的非零元不是可逆元就是零因子。

5、整数环Z 中,证明(3,7)=(1)6、证明:域是欧式环。

7、证明群同态定理第一条。

8、R[x]条件下,做映射:f :g(x)=g(0),求证:在f 映射下R[x]与R 同构,并求其核。

多所高校近世代数题库答案一、(近世代数)判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10× × √ √ × √ √ √ × ×二、(近世代数)单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10② ④ ③ ④ ① ② ④ ③ ① ④三、(近世代数)填空题1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--。

2、a 。

3、φ。

4、n m 。

5、变换群。

6、()13524。

7、R y x ay x i i i i ∈∑,,。

8、一个最大理想。

9、p 既不是零元,也不是单位,且q 只有平凡因子。

10、E 的每一个元都是F 上的一个代数元。

四、(近世代数)改错题1、如果一个集合A 的代数运算 同时适合消去律和分配律,那么在n a a a 21里,元的次序可以掉换。

结合律与交换律2、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群,如果满足G 对于乘法封闭;结合律成立、交换律成立。

消去律成立3、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 是R 的最大理想,那么0≠S 。

S=I 或S=R4、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子,若d 和'd 都是a 和b 的最大公因子,那么必有d=d ′。

一定有最大公因子;d 和d ′只能差一个单位因子5、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

不都等于零的元近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A =B =R(实数集),如果A 到B 的映射ϕ:x →x +2,∀x ∈R ,则ϕ是从A 到B 的( )A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,那么,A 与B 的积集合A ×B 中含有( )个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ,ya=b , a,b ∈G 都有解,这个解是( )乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数( )A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的( )A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

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