利用阿波罗尼斯圆性质解决高考问题

利用阿波罗尼斯圆性质解题

1、课本呈现

（人教A 版124页B 组第3题）已知点M 与两个定点O(0,0),A(3,0)点距离的比

为 ，求点M 的轨迹方程 。

（人教A 版144页B 组第2题）已知点M 与两个定点 ， 距离的比是一个正

数m,求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图

形（考虑m=1和m 两种情形）。

2、定义：一般的平面内到两顶点A ，B 距离之比为常数 （ ）的点的轨迹 为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆

性质：①当1>λ时，点'A 在圆O 内，点A 在圆O 外；

当10<<λ时，点A 在圆O 内，点'A 在圆O 外。 ②所作出的阿波罗尼斯圆的半径为|AA'|1r λλ

=-，圆心为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⋅+0,1-122A A λλ ③'

OA r r OA ==

λ λ越大，圆越小. 例题1、满足条件AB = 2，AC = BC 的∆ABC 的面积的最大值是（ ）

变式1、在等腰 ABC 中，AB=AC ，D 为AC 的中点，BD=3，则 ABC 面积的

最大值为

2、在 ABC 中，AC=2，AB=mBC(m>1),恰好当B= 时 ABC 面积的最大，

m=

例2、 已知圆C: 定点 其中P 为圆C 上的动点，则 PO+PB 的最小值为

变式1、已知P 在边长为2的正三角形ABC 的内切圆上运动，则BP AP 2+的最小

值是_______

2、已知点P 在圆4:22=+y x O 上运动，)4,4(),0,4(B A ，求BP AP 2+的最小 值

例题3、在ABC ∆中，AD AC AB ,2=是A ∠的平分线，且.kAC AD =

①求k 的取值范围；

②若ABC ∆的面积为1，求k 为何值时，BC 最短.

4、在ABC ∆中，AD 、BE 分别为中线，

若b a 35=，则BE

AD 的取值范围 .

5、已知△ABC 的面积为1，∠A 的角平分线交对边BC 于D ，AB=2AC ，且AD=kAC ，

则当k=________时，边BC 的长度最短.

6、（2015湖北理科卷14题）如图，圆C 与x 轴相切与点()0,1T ，与y 轴正半轴

交于两点B A ,（B 在A 的上方），2=AB

①圆C 的标准方程为 .

②过点A 任作一条直线与圆1:22=+y x O 相较于N M ,两点，下列三个结论： 其中正确结论的序号是 。（写出所有正确结论的序号） ①

MB MA NB NA =;②2=-MB MA NA NB ;③22=+MB MA NA NB