正弦函数余弦函数的单调性
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正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
正弦、余弦函数的单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0： (1) sin(
) – sin( 18
10
)
解： 2 10 18 sin(
5
2
又 y=sinx 在[
)
10
) < sin(
18
即：sin( 18 ) – sin( 10 )>0
正弦、余弦函数的奇偶性
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ f(x)，则称f(x)为这一 定义域内的偶函数。
关于y轴对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性
+2k, +2k],kZ 上单调递减 2 2 3 [ +2k , +2k],kZ上单调递增 函数在 2 2
3 8 8 3 3 7 2k 2 x 2k k x k 2 4 2 8 8 3 所以：单调增区间为 [k , k ] 8 8 3 7 , k ] 单调减区间为 [k 8 8 k x k
1 2k x 2k 2 3 4 2
正弦、余弦函数的单调性
(5) y = -| sin(x+ )| 4 解： 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下： 4
y 1
y=|sinu|
2
2
3 2
正弦余弦函数的单调性
思考：如何找到余弦函数在整个定 义域R上的单调区间？
单调递增区间为：[ 2 k ,2 k ](k Z )
单调递减区间为：[2k,2k](k Z)
典例剖析
例1不通过求值，比较下列各组数大小
(1) sin( 18 ) ； sin( 10 )
23
(2) cos( 5
)；
17
cos( 4
)
例2、求下列函数的单调区间
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
y=cosx (xR) 是偶函数
2
3
4
5 6 x
新课讲授
一、正弦函数的单调性 y
1
x
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
3 2
2
5 2
3
7 2
4
-1
x
2
…
0
…
2
…
…
3 2
sinx -1
0
1
0
-1
ysinx,x[,3]
22
增区间为
[[
22
, ，2]
]
减区间为
[[
2
2
, ，33
2
]]
其值从-1增至1 其值从 1减至-1
思考：如何找到正弦函数在整个定 义域R上的单调区间？
单调递增区间：[2k,2k](kZ)
正、余弦函数的单调性与最值
比较三角函数值的大小 比较下列各组数的大小． (1)cos－253π与 cos－147π； (2)sin2 012°和 cos157°.
【思路探索】 利用诱导公式将异名三角函数转化为 同名三角函数，非同一单调区间的角，转化到同一单调区 间上，再利用函数的单调性比较．
【解】 (1)解法一： ∵cos－253π＝cos－6π＋75π＝cos75π， cos－147π＝cos－6π＋74π＝cos74π， ∵π<75π<74π<2π， 又 y＝cosx 在[π，2π]上单调递增， ∴cos75π<cos74π，
求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)或y＝Acos(ωx＋ φ)(A>0，ω≠0)的单调区间，一般将ωx＋φ视作整体，代入y ＝sinx或y＝cosx相关的单调区间所对应的不等式，解之即 得．这里实际上采用的是整体的思想，这是研究三角函数 性质的重要数学思想，一般地，ω<0时，y＝Asin(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，y＝Acos(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝Acos(－ωx－φ)，再求函数的单调区 间．所有的这些变形都是为了使x前面的系数为正值．同 时要注意A<0时单调区间的变化.
单调减区间为2kπ＋π6，2kπ＋76π. (2)函数 y＝2sinπ3－2x＝－2sin2x－3π，令 2kπ－2π≤2x －π3≤2kπ＋2π(k∈Z)，得 kπ－1π2≤x≤kπ＋152π(k∈Z)，∴函数 y＝2sin3π－2x的单调减区间为kπ－1π2，kπ＋152(k∈Z)．令π2 ＋2kπ≤2x－3π≤32π＋2kπ，k∈Z，解得152π＋kπ≤x≤1112π＋kπ， k∈Z，即原函数的单调递增区间为152π＋kπ，1112π＋kπ(k∈Z)．
正弦,余弦函数的单调性和奇偶性
正弦, 正弦,余弦函数的性质
(奇偶性,单调性) 奇偶性,单调性)
X
正弦, 正弦,余弦函数的图象和性质
y
1 -4π -3π -2π -π
o
-1
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
y=sinx (x∈R) ∈
∈ 定义域 x∈R ∈ 值 域 y∈[ - 1, 1 ] π 周期性 T = 2π
1
y=cosx (x∈R) ∈
4
y 1
2π
3π 2
π
y=|sinu|
π
2
π
π
2
O
π
3π 2
2π
u
即: 增区间为 k π ≤ u ≤ k π , k ∈ Z 2 减区间为 k π ≤ u ≤ k π + π , k ∈ Z ∵
π
-1
y=sinu y=- |sinu|
2 3π π kπ ≤ x ≤ kπ , k ∈ Z y为增函数 为增函数 4 4 π π kπ ≤ x ≤ kπ + , k ∈ Z y为减函数 为减函数 4 4
正弦,余弦函数的奇偶性, 正弦,余弦函数的奇偶性,单调性
小 结:
函数 奇偶性 [ 正弦函数 奇函数 [
π
2
单调性(单调区间) 单调性(单调区间)
π
+2kπ, 2 +2kπ],k∈Z 单调递增 π π ∈ +2kπ, π
3π 2
π
2
+2kπ],k∈Z 单调递减 π ∈ 单调递增 单调递减
余弦函数
偶函数
4π
x
sinx
π
2
…
0 0
…
(奇偶性,单调性) 奇偶性,单调性)
X
正弦, 正弦,余弦函数的图象和性质
y
1 -4π -3π -2π -π
o
-1
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
y=sinx (x∈R) ∈
∈ 定义域 x∈R ∈ 值 域 y∈[ - 1, 1 ] π 周期性 T = 2π
1
y=cosx (x∈R) ∈
4
y 1
2π
3π 2
π
y=|sinu|
π
2
π
π
2
O
π
3π 2
2π
u
即: 增区间为 k π ≤ u ≤ k π , k ∈ Z 2 减区间为 k π ≤ u ≤ k π + π , k ∈ Z ∵
π
-1
y=sinu y=- |sinu|
2 3π π kπ ≤ x ≤ kπ , k ∈ Z y为增函数 为增函数 4 4 π π kπ ≤ x ≤ kπ + , k ∈ Z y为减函数 为减函数 4 4
正弦,余弦函数的奇偶性, 正弦,余弦函数的奇偶性,单调性
小 结:
函数 奇偶性 [ 正弦函数 奇函数 [
π
2
单调性(单调区间) 单调性(单调区间)
π
+2kπ, 2 +2kπ],k∈Z 单调递增 π π ∈ +2kπ, π
3π 2
π
2
+2kπ],k∈Z 单调递减 π ∈ 单调递增 单调递减
余弦函数
偶函数
4π
x
sinx
π
2
…
0 0
…
正弦函数余弦函数的单调性
正弦函数和余弦函数是周期函数,它们的单调性极为重要,它们的单调性决定了函数的性质,也是函数图形及表示形式的基础.
正弦函数是关于直角坐标系x轴的周期函数,其表达式为y=sin x,它的定义域为[-π,π], x轴上的值是周期性变化的,当x=0时,y=0,当x=π/2时,y=1,当x=π时,y=-1,其余的点也是类似的,它的单调性是递增的.
余弦函数也是关于x轴的周期函数,其表达式为y=cos x,它的定义域也是[-π,π],其形状和正弦函数类似,只是它的单调性是递减的,当x=0时,y=1,当x=π/2时,y=0,当x=π时,y=-1,它的单调性是递减的.
正弦函数和余弦函数都是周期函数,它们的单调性分别是递增和递减.它们的单调性决定了函数的性质,也是函数图形及表示形式的基础.它们也提供了许多实用的应用,在物理、工程、数学等方面都有广泛的应用,从而为科学技术发展做出了重要的贡献.。
正弦,余弦函数的单调性和奇偶性[优质ppt]
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x 内的任意一个 ，都有 f(x)f(x)则称 f (x) 为
这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于 y
轴对称。
定义：一般地，如果对于函数 f ( x)的定义
域内的任意一个 x都 f(x)f(x),则称 f (x)
为这一定义域内的奇函数。奇函数图像关于原 点对称。
x 注意：1、 是任意的
2.奇函数，偶函数的定义域必须关于原点对称
正弦、余弦函数的性质
（奇偶性、单调性）
X
知识回顾 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
y=sinx (xR) 定义域 xR
值 域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
3 5 2
x( , )
x( , )
且f(x)(x)si nx)(
且f(x)1si nx)(
xsinx
1sin x
f (x)
f(x)f(x)且 f(x)f(x)
函数 yxsinx是偶函数 y 1sinx是非奇非偶函数
判断下列函数的 （ 1）yxsinx
再观察正弦函数图像
y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
正弦函数 ysinx在
在每个闭区间 [2k,2k]k (Z)上是增函数，
22
其函数值从-1增大到1
在每个闭区间 [2k,32k](kZ)是减函数，
其关于原点的对称点 P'(x,sinx) ， 由诱导公式 sinx()sixn, 即 P'(x,sinx()) 故P '也在正弦函数的图像上。
这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于 y
轴对称。
定义：一般地，如果对于函数 f ( x)的定义
域内的任意一个 x都 f(x)f(x),则称 f (x)
为这一定义域内的奇函数。奇函数图像关于原 点对称。
x 注意：1、 是任意的
2.奇函数，偶函数的定义域必须关于原点对称
正弦、余弦函数的性质
（奇偶性、单调性）
X
知识回顾 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
y=sinx (xR) 定义域 xR
值 域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
3 5 2
x( , )
x( , )
且f(x)(x)si nx)(
且f(x)1si nx)(
xsinx
1sin x
f (x)
f(x)f(x)且 f(x)f(x)
函数 yxsinx是偶函数 y 1sinx是非奇非偶函数
判断下列函数的 （ 1）yxsinx
再观察正弦函数图像
y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
正弦函数 ysinx在
在每个闭区间 [2k,2k]k (Z)上是增函数，
22
其函数值从-1增大到1
在每个闭区间 [2k,32k](kZ)是减函数，
其关于原点的对称点 P'(x,sinx) ， 由诱导公式 sinx()sixn, 即 P'(x,sinx()) 故P '也在正弦函数的图像上。
6.1(5)正弦函数与余弦函数的性质---单调性剖析.
函数值从 1增加到 1；
(2) 在闭区间 [2k ，2k 3 ](k Z )上都是减函数，
2
2
函数值从 1 减少到 1.
y cos x , x R
y
1
3
2
2
3
2 3
O
2
-1
2
2
3
4 x
2、余弦函数 y cos x ,
6.1(5)正弦函数与余弦函数 的性质---单调性
单调性： y sin x , x R
y
1
3
2
2
3
2 3
O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
-1
2
2
3
4 x
1、正弦函数 y sin x ,
(1) 在闭区间[2k ，2k ](k Z )上都是增函数，
2
2
(1) 在闭区间[2k ，2k ] (k Z )上都是增函数，
函数值从 1 增加到 1；
(2) 在闭区间[2k，2k ] (k Z)上都是减函数，
函数值从 1 减少到 1.
利用单位圆解释并记住单调区间：
y
1
o
1
x
例1、利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
sin(
3x)
4
(2) y 3cos(1 2x)
4
单调递减区间:[k ，k 3 ](k Z )
(2) y cos(2x ) 4
4
12
单调递增区间:[k 11 ，k ](k Z )
24
24
三角函数w为负数算单调区间
三角函数w为负数算单调区间
当三角函数中的参数w为负数时，我们可以分别讨论正弦函数、余弦函数和正切函数的单调性。
首先，考虑正弦函数sin(w)。
当w为负数时，sin(w)也为负数。
正弦函数在区间(-π/2, 0)上是单调递增的，因为在这个区间上，w
逐渐从-π/2增加到0，而sin(w)也随之逐渐从-1增加到0。
因此，当w为负数时，sin(w)在区间(-π/2, 0)上是单调递增的。
其次，考虑余弦函数cos(w)。
当w为负数时，cos(w)也为正数。
余弦函数在区间(-π, -π/2)上是单调递减的，因为在这个区间上，w逐渐从-π增加到-π/2，而cos(w)随之逐渐从-1增加到0。
因此，当w为负数时，cos(w)在区间(-π, -π/2)上是单调递减的。
最后，考虑正切函数tan(w)。
当w为负数时，tan(w)也为负数。
正切函数在区间(-π/2, 0)上是单调递增的，因为在这个区间上，w
逐渐从-π/2增加到0，而tan(w)也随之逐渐从负无穷增加到0。
因此，当w为负数时，tan(w)在区间(-π/2, 0)上是单调递增的。
综上所述，当参数w为负数时，正弦函数在区间(-π/2, 0)上
是单调递增的，余弦函数在区间(-π, -π/2)上是单调递减的，而正切函数在区间(-π/2, 0)上是单调递增的。
这些都是三角函数在负数参数下的单调性。
1.4.2 正弦 余弦函数的性质(单调性、最值)
3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2
2
k ,0) k Z
1 例5:求函数 y sin( x ) 的单调递增区间: 2 3
解:
2
1 y sin x 3 2
y sin z
2k z
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
-
-1
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y cos x
3 5 2
2
y
1
任意两相邻对称轴 ( 或对称中心 ) 的间距为 3 2 O 5 x 3 半个周期；
2
2
1
2
2
3
2
对称轴与其相邻的对称中心的间距为
对称轴：x
,0, , 2
四分之一个周期.
(
x k , k Z
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
4
4
y 1
y=|sinu|
2
2
3 2
2
O -1
2
3 2
2
u
y=sinu y=|sinu|
, k ], k Z
即： 增区间为 减区间为
x [k x [k 3
u [k
u [k , k
2
], k Z
4
, k , k
10
10
)
2
18
又 y=sinx
)
在[
18
2
,
2
] 上是增函数
10
sin(
5
10
) < sin(
18
即：sin(
) – sin(
)>0
(2) cos( 解： cos(
23
) - cos(
17 4
)
3 5
23 5
)=cos
3 5
3 3
2
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
4
4
y 1
y=|sinu|
2
2
3 2
2
O -1
2
3 2
2
u
y=sinu y=|sinu|
, k ], k Z
即： 增区间为 减区间为
x [k x [k 3
u [k
u [k , k
2
], k Z
4
, k , k
10
10
)
2
18
又 y=sinx
)
在[
18
2
,
2
] 上是增函数
10
sin(
5
10
) < sin(
18
即：sin(
) – sin(
)>0
(2) cos( 解： cos(
23
) - cos(
17 4
)
3 5
23 5
)=cos
3 5
3 3
2
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）
正弦函数和余弦函数是我们在高中数学中常见的两个三角函数，它们具有很多有趣的性质。
在这里，我们来讨论正弦函数和余弦函数的单调性。
1. 正弦函数的单调性：
正弦函数表示为y = sin(x)，其中x是角度，y是对应的正弦值。
这个函数的定义域是所有实数，因此我们可以讨论它的单调性。
正弦函数的周期是2π，也就是说，当给定角度x时，sin(x)等于sin(x+2π)、
sin(x+4π)、sin(x+6π)等等。
这意味着对于任何给定的y值，我们可以找到无限个对应的角度x，使得sin(x)等于y。
所以，正弦函数是一种周期函数，它不具有单调性。
我们可以将正弦函数的定义域限制在一个周期内，例如[0, 2π]。
在这个区间上，正弦函数的单调性是可讨论的。
这个区间上，正弦函数是先增后减的，也就是说，当x在[0,π/2]时，sin(x)递增；当x在[π/2,π]时，sin(x)递减；当x在[π,3π/2]时，
sin(x)递增；当x在[3π/2,2π]时，sin(x)递减。
所以，在一个周期内，正弦函数是两个相邻极值点之间的区间里递增或递减的。
正弦函数和余弦函数分别在一个周期内具有先增后减和先减后增的单调性。
由于它们是周期函数，所以在整个定义域上它们并没有单调性。
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
]
9 3 1 当 2k x 2k 即 6k x 6k , k Z 为减区间 4 4 2 3 4 x 9 3 当 2k 2k 即 6k x 6k , k Z 为增区间 3 4 2 4 4
正弦、余弦函数的单调性
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
- -1
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
uyd79vau
接。乔氏母女俩和耿老爹父子们去江边做完“尽七”祭奠返回时，船老大亲自将五佰两纹银送到白家来。并且说：“以后，白兄弟的 “百日”祭和“周年”祭，我还会派马车接送。”乔氏母女一再谢绝，说：“千万不要再费心了。路不远，我们自己走去就行！”船老 大说：“这没有什么费心的，反正我和我那帮兄弟们也要祭奠的。”临走时，这位实在够意思的船老大还一再叮嘱乔氏，娘儿俩以后的 生活如果有什么困难，一定告诉他。他中肯地说：“白兄弟的家眷，我会负责一辈子的！”进入腊月后，新鲜蔬菜相对少了不少，因此 贩卖蔬菜的生意就有些惨淡了。不过，水果零售的生意倒还不错。耿老爹决定，让耿正兄妹仨继续每天批发一些水果，多多少少倒卖一 些，自己抽这个时间，动手割制新屋的顶棚架和门窗。这样，等到明年开春后，就可以为新屋装顶棚和安门窗了。等到做完这些以后， 再进行一次屋内石灰泥上面，也就是俗话说的“亮家”，五间新屋基本上就大功告成了。至于石灰泥干透后的屋内全面刷白处理，已经 是相对简单的事情了。得知了耿老爹的想法后，乔氏又去一个曾经帮助盖房的木匠老师傅那里，借回来一套木匠工具。做这些木工活计 之前，耿老爹专门渡江去汉口镇上跑了一趟。他估摸着，张老乡一家倘若顺利过了黄河继续往南进发的话，这个时候应该已经来到了， 但结果却令耿老爹大失所望。那天上午，当他寻找到张老乡曾经与人合伙开店的地方时，眼前看到的依然还是一片狼藉，而且整个汉口 镇街面上的行人都很少。耿老爹向遇到的每一个人反反复复地打听着：“请问，您是否看到和听到过有姓张的一家四口从北边过来了？” 每一个人都摇头，说既没有看到，也没有听说。这样，从上午一直打听到过午了，耿老爹感觉又饥又渴，便向一户人家讨了一碗水，就 着水啃了一个从武昌镇烧饼铺买了带过来的烧饼，然后继续沿着不同的街道打听。直到日头西斜，汉口镇上几乎所有的大街小巷都问遍 了，仍然没有任何结果。看来，张老乡一家确实没有来到这里。事已至此，耿老爹只能寄希望于张老乡在动身南下之前就听说了这里的 水灾，压根儿就没有动身来这里。或者说，他在刚出发到达省城或者什么地方的时候听说了，就转身返回去了。至于那个可怕的梦，耿 老爹当时虽然感觉有些蹊跷，也曾经伤心得泪流满面胸口发紧，但他现在宁愿不相信了。他一遍又一遍地对自己说：“什么呀，张大哥 根本就没有南下，根本就没有走到黄河边儿！”抬头看看，日头还有半杆子高。耿老爹又来到原先自家开的粮油零售店前，看到店铺门 上的大铁锁已经锈迹斑斑的了。再看门上贴的那一纸留言，虽然字迹有些模糊了，但依然还在。而那个没有了院墙的小后院儿，到现在 还是那样敞着
第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值
易错提醒:求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,把 ωx+φ 看作一个整体,借助 y=sin x 的单调区间来解决.当 A<0 或 ω<0 时,要注意原函数的单调性与函数 y=sin x 的单调性的关系.
【跟踪训练】 1.变式练将本例(2)变为:求函数 y=2cos( -x)的单调递 增区间. 解:y=2cos( -x)=2cos(x- ), 由 2kπ+π≤x- ≤2kπ+2π,k∈Z, 得 2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 所以原函数的单调递增区间是[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z).
解析:当 sin x=-1,即 x=- +2kπ,k∈Z 时, 函数 y=2-sin x 取得最大值 3.
4.函数 y=3-2cos( x+ )的最大值为 5 , 此时自变量 x 的 取值是 3kπ+π,k∈Z .
解析:当 cos( x+ )=-1 时,ymax=3-2×(-1)=5.此时自变量 x=3kπ+π,k∈Z.
所以 ≤ω≤ ,故选 C. 答案:C
探索点二 比较三角函数值大小问题 【例 2】 比较下列各组数的大小:
(1)cos(- )与 cos(- );(2)sin 194°与 cos 160°.
【解题模型示范】
【跟踪训练】 4.cos 1,cos 2,cos 3 的大小关系是cos 1>cos 2>cos 3.(用 “>”连接)
课堂建构
解:(1)因为-1≤sin 2x≤1, 所以-2≤-2sin 2x≤2,所以 1≤3-2sin 2x≤5, 所以函数 y=3-2sin 2x 的值域是[1,5].
(2)由 y=cos(x+ ),x∈[0, ],得 x+ ∈[ , ].
【跟踪训练】 1.变式练将本例(2)变为:求函数 y=2cos( -x)的单调递 增区间. 解:y=2cos( -x)=2cos(x- ), 由 2kπ+π≤x- ≤2kπ+2π,k∈Z, 得 2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 所以原函数的单调递增区间是[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z).
解析:当 sin x=-1,即 x=- +2kπ,k∈Z 时, 函数 y=2-sin x 取得最大值 3.
4.函数 y=3-2cos( x+ )的最大值为 5 , 此时自变量 x 的 取值是 3kπ+π,k∈Z .
解析:当 cos( x+ )=-1 时,ymax=3-2×(-1)=5.此时自变量 x=3kπ+π,k∈Z.
所以 ≤ω≤ ,故选 C. 答案:C
探索点二 比较三角函数值大小问题 【例 2】 比较下列各组数的大小:
(1)cos(- )与 cos(- );(2)sin 194°与 cos 160°.
【解题模型示范】
【跟踪训练】 4.cos 1,cos 2,cos 3 的大小关系是cos 1>cos 2>cos 3.(用 “>”连接)
课堂建构
解:(1)因为-1≤sin 2x≤1, 所以-2≤-2sin 2x≤2,所以 1≤3-2sin 2x≤5, 所以函数 y=3-2sin 2x 的值域是[1,5].
(2)由 y=cos(x+ ),x∈[0, ],得 x+ ∈[ , ].
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即： 0 A B 2
复习：函数单调性的定义
一般地,设函数 f ( x) 的定义域为 I 如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 , 当 x1
x2
,
x2时,都有 f ( x ) f ( x )
1 2
那么就说 f ( x) 在这个区间上是增函数。这个区间为单调增区间。 一般地,设函数 f ( x) 的定义域为 I
5 3Байду номын сангаас 函数f ( x)的增区间是(2k ,2k ] k Z 6 2
3．已知定义域是 (,3] 上的单调减函数 f ( x) ， 若
f (a sin x) f (a 1 cos x)
2 2
对一切实数
x均
成立，求 a的取值范围。
课堂小结：
1、 复合函数的单调性问题要通过换元，转化为基本
解：
1 2 sin x 0 1 sin x 2
令t 1 2 sin x 0
定义域 是前提
5 11 x (2k ,2k ) 6 6
kZ
y log 2 t是定义域内的增函数
3 x [2k ,2k ] 2 2
kZ
是y sin x的减区间
如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 ,
当 x1
x2
,
x2时,都有 f ( x ) f ( x )
1 2
那么就说 f ( x) 在这个区间上是减函数。这个区间为单调减区间。
1．求下列函数的单调递减区间：
①
y sin(
4
3x)
2
②
y 1 cos x
①
函数的单调性问题来求解。
2、在求单调区间时，一定要先求定义域。
； / 电竞竞猜论坛
；
是落神山主人设定の,自己这点实力根本不能躲开！ 一秒！ 没事? 两秒！三秒！ 白重炙狂笑起来,运气还算不错,没有踩中"地雷".不过如果几多之一の机会给他碰上了,那他就是真实运气很差了,事实证明,他来到炽火大陆,运气一向非常の好,这次也没有例外. 掏出青龙****,白重炙对 着石头狠狠劈下. "咔嚓！" 石头应声破裂,白重炙睁眼看去,再次傻眼了……石头是空心の,下方一些硕大の红色"二"字红得耀眼. "妈の,运气真の逆天了,周围八个石头,有几个有"地雷"靠！俺这是什么眼神,选了这个石头！"白重炙哭丧着脸,怒骂起来. 附近八个石头,有几个有剑气,那 么表明他就有百分之二十五の就会踩中地雷,激发里面の剑气,然后魂归天界,飘然西去…… "死就死吧！" 白重炙怒了,不管三七二十一,直接踏出一只脚随便找了个附近の石头踏了上去.是福不是祸,是祸躲不过,上天如果要他死,他怎能独活? 一秒,两秒,三秒！ 呀哈！运气还真の不错！ 又没中奖. "一定不要有数字,零！一定要是零！" 白重炙连忙拿其起****,一边祈祷着,对着那块石头快速劈下. "咔嚓！" 石头破了,里面空空无也,什么也没有！"哇靠,成了！"白重炙大喜,只要有一些石头提示附近没有剑气の话,那么他就是绝对安全了.作为一些排雷高手,他有信心,在 几个月内,全部排雷成功！命运之石,他很有希望要破了…… 当前 第2伍壹章 俺要去 2伍壹章俺要去 时候如流水,眨眼半年又过去了. 白重炙却趴在大厅の乱石堆中呼呼大睡着,大厅内原本密密麻麻の石柱子,此刻已经被他劈裂了大半,但是却还是有一不咋大的部分完好如初の安静屹立 着. 白重炙还开始以为只要自己能找到切入点,那么他就快要一路势如破竹一样,快速の破开这命运之石关卡. 原本他预计最多几个月时候就可以完全找出没有剑气の石柱子.只是现在半年过去了,他却还只是排除了三分之二. の确,这"扫雷"游戏摸到了窍门,其实是可以快速の计算出没有 剑气の石柱子,从而快速の破解.但是真正开始行动の时候,白重炙却悲剧の发现.这其实不是游戏,并且最重要の他不能失误.因为一旦失误の话,赔上の可能是他の命.并且他还发现,这个棋盘实在太大了,石柱子实在太多了,他却任何可以标记の物体,也没用外挂.所以……他只能非常不咋 大的心翼翼の计算着,并且每次动手前都要再三确认,才敢下手. 这样下来,他破关の速度就变得相当の慢了起来,并且他由于满溢可以标记の工具,他只能完全开心算,靠脑子记.这样他不仅脑袋要飞快の运转,同时还要不断の记忆附近那个石柱子一定是有剑气,那些石柱子非常值得怀疑 …… 所以他精神相当の疲惫,每次排除一部分,他就不得不停下来,呼呼大睡一场,恢复精力心神. "哎……"许久之后白重炙苏醒过来,揉了揉隐隐作痛の脑门,准备又开始新一轮の"扫雷"行动,望着附近还有数万根石柱子,已经破碎の几万个石柱子,他不禁感慨万分.前世の工兵此时看来该 有多么の辛苦啊…… "不咋大的子,俺可是提醒你呀,你呀已经一、花费了半年时候了,如果你呀还不加快速度の话,半年后天路可要开启了,后面可是还有两不咋大的关！当然,你呀要在确定安全の情况下提速！"鹿希一些角落盘坐着,见白重炙醒了过来,提醒道. "额！谢前辈提醒,俺会注 意の！"白重炙点了点头,又揉了揉太阳穴,眯着眼睛,弯着身子继续开始他の工兵生涯. 白家堡后山. 夜天龙很窝火,他两只眼睛睁得滚圆,下巴并不浓密の几根白须气得飘飞.身为白家の族长,他已经不少年没有这么生气了,上一次生气の时候还是几年前白重炙大闹醉心园の时候.只是这一 刻,他不仅几多生气,并且还不能发泄他の怒气,所以他很窝火. 在白家,让他怒了却不敢发の人唯一只有夜若水,当然白重炙大闹醉心园以后,也有了这个资格,现在却多了一人,夜轻语. 不错,这次把夜天龙气得差点暴走の正是夜轻语. 事情の起因其实还在前几天白家の一些集合令开始.白 重炙陷入落神山,已经四年半了,还有半年落神山天路即将开启.不说噬大人の传音说,这次落神山至宝将会现世.就是因为白重炙至今还在里面生死未卜,夜天龙也对这次の落神山之旅列入了白家现在头等大事. 于是一条召集令从白家堡发出,白家要召回,白家所有帝王境の强者,并且广发 名帖,花费大代价召集破仙府の帝王境巅峰练家子.准备半年之后,极其强大の阵容,前去迎接或者解救白重炙. 他问过夜若水,夜若水告诉他白重炙现在有很大の希望还活着,所以他没有犹豫,准备组织白家能组织の最大力量,前往落神山营救白重炙. 笔记白重炙可是白家中兴の希望,夜若 水可是说如果白重炙成长起来,对白家の作用可是能强过他の…… 召集令是秘密发出の,但是没想到の是,还是给夜轻舞知道了.结果夜轻舞大闹着一定要去落神山,虽然她实力只是达到了诸侯境二重,但是他天天缠着夜青牛说一定要去,就算不能进去,她也要在落神山外面等着结果. 好吧, 夜轻舞吵,夜天龙忍着.可是为什么夜轻舞和夜青牛争执の时候,刚好被夜轻语听到了? 夜天龙看着眼前这个神情楚楚,但是眼神异常坚定の少女,恶狠狠の朝旁边の夜青牛和夜轻舞瞪了一眼,很是坚决の摆手道："没得商量,你呀不能去落神山,怎么求俺也没用！夜轻舞,你呀给俺回屋子呆 着." "俺要去！"四年多时候夜轻语长高了,也变得更加成熟漂亮了,但是脸上一股自热而然发出の楚楚气息却是非常明显.此刻她盯着夜天龙,轻启贝唇,语气很平淡,但是期间の坚决溢于言表. "是,大爷爷！"夜轻舞几年过去了,却还是老样子,一张脸似乎永远不会老一样,翘了翘不咋大的 嘴巴,不敢多言,转身离去. "不咋大的姑奶奶,俺求求你呀了,你呀别跟着闹啊?世家已经组织了近六十名帝王境强者,前去迎接不咋大的寒子,你呀去能干什么?"夜青牛一见夜天龙已经到了发飙の极限了,连忙准备将功赎罪,过来劝解道："你呀去非但不能帮忙,并且俺们还得分出忍受照顾你 呀,这样下去会连累他们の." 夜白虎也匆匆赶来跟着劝解起来："对啊,丫头,别闹了,你呀要知道,你呀の身份现在是个秘密,如果去了落神山,很有可能引起妖族蛮族那边の注意,从而不惜代价の暗杀你呀！" "俺不需要他们照顾,俺能自保！"夜轻语摇了摇头,依旧淡淡说道.似乎并不是和 他们商量,而是通告他们一声般. 夜天龙一听见重重哼了一声,转头过来,毫不客气の怒斥起来："你呀能自保?你呀别以为你呀现在达到了帝王境二重就很厉害?俺告诉你呀这次落神山厉害の人海里去了,随便一些都能击杀你呀,不说其他の,光白家俺们这次就派出帝王境巅峰の强者十多名, 这些人随便可以击杀你呀！" 夜轻语修炼の速度几多惊人,两年前她才是诸侯境巅峰の实力.夜天龙还以为,这次夜轻语の速度肯定会慢下来吧.毕竟帝王境界可是要感悟天地法则の,这东西可不是光靠修炼就能炼出来の,这需要感悟和摸索. 而就在夜天龙他们准备给夜轻语讲解教导启发一 些相关の知识资料什么の时候.夜轻语却过了没有几个月,直接突破了帝王境,似乎她都不需要感悟,直接练着练着就懂了一样…… 而到了现在,夜轻语の实力已经到达了帝王境二重.虽然这次去落神山,白家几乎派出了所以の帝王境练家子,但是夜轻语他们当然不会让她去.夜轻语虽然境界 高,但是她们几多怀疑夜轻语到底有没有与之境界对应の实力.毕竟夜轻语从来没有修炼过武技和实战过. "俺能自保,不相信……你呀们可以试试！"夜轻语还是非常の执著の淡淡说道,并且看样子她对她の实力相当の自信,居然开口挑衅了起来. 当前 第2伍2章 ２４３章 蓝色忧郁 2伍2 章蓝色忧郁 "恩?" 这回夜天龙和夜青牛夜白虎诧异了,看这样子,这丫头还真是很有自信啊?像那么一回事啊！看来不给她试一试她还真の不知
正弦函数、余弦函数的单调性
（复习课）
每 课 一 练
已知：ABC是锐角三角形，
函数f ( x)在[0,1]上是增函数，那么有 （
A f (sin B) f (cos A) ．
f (sin B) f (sin A) Ｃ．
）
Ｂ．f (sin B) f (cos A)
f (cosB) f (cos A) Ｄ．