正余弦函数的单调性
1.4.2第2课时 正、余弦函数的单调性与最值 课件
第一章 三角函数
(4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调性时， 要注意使用复杂函数的判断方法来判断． 2．解析正弦函数、余弦函数的最值 (1)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定 义域来决定． (3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利 用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的 形式求最值．
第一章 三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π＋2kπ，74π＋ 2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
【名师点评】 正弦、余弦函数单调区间的求解技巧： (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采 用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调 区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练
1．求函数 y＝sin(π3－12x)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间． 解：y＝sin(π3－12x)＝－sin(12x－π3)． 由 y＝sin x 与 y＝－sin x 的图象关于 x 轴对称可知，y＝sin x 的递增 区间就是 y＝－sin x 的递减区间．因此，要求 y＝－sin(12x－π3)的递 增区间，只要求出 y＝sin(12x－π3)的递减区间即可．
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
[k
4
(4) y log1 解： 定义域
2
1 1 [ cos( x )] 2 3 4
4 3 [k , k ] 4 4
, k
1 2k x 2k 2 3 4 2 9 3 6k x 6k ,k Z 4 4 9 3 1 当 2k x 2k 即 6k x 6k , k Z 为减区间。 4 4 2 3 4 x 9 3 当 2k 2k 即 6k x 6k , k Z 为增区间。 3 4 2 4 4
(2) y=3sin(2x-
+2k, +2k],kZ 上单调递减 2 2 3 [ +2k, +2k],kZ上单调递增 函数在 2 2
4
)
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(3) y= ( tan 9 )sin2x
解： 0 tan 9 1
8
8
单调减区间为 单调增区间为
3 4 2 8 8 3 3 7 2k 2 x 2k k x k 2 4 2 8 8 3 所以：单调增区间为 [k , k ] 8 8 3 7 单调减区间为 [k , k ] 8 8 k x k
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
正弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
正弦、余弦函数的单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0： (1) sin(
) – sin( 18
10
)
解： 2 10 18 sin(
5
2
又 y=sinx 在[
)
10
) < sin(
18
即：sin( 18 ) – sin( 10 )>0
正弦、余弦函数的奇偶性
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ f(x)，则称f(x)为这一 定义域内的偶函数。
关于y轴对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性
+2k, +2k],kZ 上单调递减 2 2 3 [ +2k , +2k],kZ上单调递增 函数在 2 2
3 8 8 3 3 7 2k 2 x 2k k x k 2 4 2 8 8 3 所以：单调增区间为 [k , k ] 8 8 3 7 , k ] 单调减区间为 [k 8 8 k x k
1 2k x 2k 2 3 4 2
正弦、余弦函数的单调性
(5) y = -| sin(x+ )| 4 解： 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下： 4
y 1
y=|sinu|
2
2
3 2
正、余弦函数的单调性与最值
比较三角函数值的大小 比较下列各组数的大小． (1)cos－253π与 cos－147π； (2)sin2 012°和 cos157°.
【思路探索】 利用诱导公式将异名三角函数转化为 同名三角函数，非同一单调区间的角，转化到同一单调区 间上，再利用函数的单调性比较．
【解】 (1)解法一： ∵cos－253π＝cos－6π＋75π＝cos75π， cos－147π＝cos－6π＋74π＝cos74π， ∵π<75π<74π<2π， 又 y＝cosx 在[π，2π]上单调递增， ∴cos75π<cos74π，
求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)或y＝Acos(ωx＋ φ)(A>0，ω≠0)的单调区间，一般将ωx＋φ视作整体，代入y ＝sinx或y＝cosx相关的单调区间所对应的不等式，解之即 得．这里实际上采用的是整体的思想，这是研究三角函数 性质的重要数学思想，一般地，ω<0时，y＝Asin(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，y＝Acos(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝Acos(－ωx－φ)，再求函数的单调区 间．所有的这些变形都是为了使x前面的系数为正值．同 时要注意A<0时单调区间的变化.
单调减区间为2kπ＋π6，2kπ＋76π. (2)函数 y＝2sinπ3－2x＝－2sin2x－3π，令 2kπ－2π≤2x －π3≤2kπ＋2π(k∈Z)，得 kπ－1π2≤x≤kπ＋152π(k∈Z)，∴函数 y＝2sin3π－2x的单调减区间为kπ－1π2，kπ＋152(k∈Z)．令π2 ＋2kπ≤2x－3π≤32π＋2kπ，k∈Z，解得152π＋kπ≤x≤1112π＋kπ， k∈Z，即原函数的单调递增区间为152π＋kπ，1112π＋kπ(k∈Z)．
正弦函数余弦函数的单调性
正弦函数和余弦函数是周期函数,它们的单调性极为重要,它们的单调性决定了函数的性质,也是函数图形及表示形式的基础.
正弦函数是关于直角坐标系x轴的周期函数,其表达式为y=sin x,它的定义域为[-π,π], x轴上的值是周期性变化的,当x=0时,y=0,当x=π/2时,y=1,当x=π时,y=-1,其余的点也是类似的,它的单调性是递增的.
余弦函数也是关于x轴的周期函数,其表达式为y=cos x,它的定义域也是[-π,π],其形状和正弦函数类似,只是它的单调性是递减的,当x=0时,y=1,当x=π/2时,y=0,当x=π时,y=-1,它的单调性是递减的.
正弦函数和余弦函数都是周期函数,它们的单调性分别是递增和递减.它们的单调性决定了函数的性质,也是函数图形及表示形式的基础.它们也提供了许多实用的应用,在物理、工程、数学等方面都有广泛的应用,从而为科学技术发展做出了重要的贡献.。
正余弦函数的单调性
．内容及解析（一）内容：本节课从正弦函数的图像出发研究正弦函数的单调区间，并在此基础上类比得出余弦函数的单调区间.内容还包含利用三角函数的单调性比较一组数的大小，以及求已知三角函数的单调区间.（二）解析：由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期上的单调性那么它在整个定义域内的单调性即可知道.二、目标及解析（一）教学目标1．掌握正弦函数、余弦函数的单调性；3.会利用三角函数的单调性判断一组数的大小，会求给出的三角函数单调区间.（二）解析1.根据《课程标准》提出本节内容的要求及本节课内容对今后学习的影响，提出了上述教学目标并给出了相应的要求定位.单调性是学习最值的基础.2.正、余弦函数的单调性与前面学习的函数的单调性的含义是一样的.3. 正、余弦函数的单调性，要求由图象观察，可以进一步学习的类比的思想方法，渗透数形结合思想.三、问题诊断分析同学在研究过程中对取区间来进行研究理解可能会遇到困难，此处需引导学生观察图像，强调由于三角函数的周期性，首先我们只用研究一个周期内的情况，其次这个区间上有且仅有一个单调增区间和一个单调减区间；第二个难点，将一个周期的单调区间推广到整个定义域范围内，教学过程中要给学生充分的时间思考，教师引导他们得出单调区间的一般形式.四、教学过程设计（一）教学基本流程正弦函数的单调区间单调性的引入余弦函数的单调区间课堂小结单调性的运用（二）教学情境1.单调性的复习引入上次课我们学习了正、余弦函数的周期性及其奇偶性，这节课我们将继续来研究三角函数的另一个重要性质-----单调性.问题1：什么是函数的单调性？设计意图：引导学生复习单调性的概念.师生活动：教师提问，学生回答.问题2：我们研究函数的单调性是在定义域范围内研究的，正、余弦函数的定义域是什么？设计意图：此内容在学习三角函数图像的时候已经提过，此处提出来一是帮助学生记忆，二为接下来的内容做铺垫.师生活动：定义域为.2.正弦函数的单调区间问题3：观察正弦函数图象，它在整个定义域上具有单调性吗？在区间上具有单调性吗？设计意图：正弦函数在整个定义域范围内并不具有单调性，但在区间上具有单调性，提出此问题帮助学生从图象整体转移到部分.师生活动：学生观察图像，回答问题.教师适当点拨.问题4：你能写出正弦函数的几个单调递增区间吗？设计意图：此问题有助于学生发现这些区间之间的关系.师生活动：学生看图动手写，教师提问.问题5：整个定义域范围内的所有的单调增、减区间该怎么表示呢？设计意图：提出问题，引导学生思考取哪个区间来作为出发点.在学习了周期性的基础上来思考此问题，首先有助于加强周期性的运用，其次能提高学生的归纳能力.师生活动：（1）学生观察函数图象说出自己的想法及理由；（2）师生得出应以为出发点，原因之一这个区间有且仅有一个单调增区间和一个单调减区间，其次这个区间在原点附近，便于研究.(3)正弦函数的周期是多少？得出单调递增区间：得出单调递减区间：（4）请同学们观察在区间内函数值的变化范围？在整个定义域范围内的函数值变化情况呢？3、余弦函数的单调区间问题6：类比正弦函数的单调区间的研究过程，你能得出余弦函数的单调区间吗？其函数值的变化情况又怎样呢？设计意图：同学用研究正弦函数的方法，类比研究余弦函数的增减区间，培养类比思维.师生活动：（1）同学类比研究正弦函数方法，根据余弦函数的图像，自主探究余弦函数的单调性，讨论得出余弦函数的单调区间，函数值的变化情况.（2）教师给学生足够的时间思考、讨论，并巡视课堂做个别点拨,最后提问：我们应该选择哪个周期来作为研究对象？在这个周期内的增减情况如何？函数值变化情况怎样？如何将本周期内的情况扩充到整个定义域范围内？其一般情况如何表示？4、单调性的运用例1：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：（1）与；（2）与.设计意图：本题么难点在于用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，大部分同学可能想不到.通过运用单调性解决问题，一能帮助同学记忆单调区间，其次帮助同学掌握利用单调性比较两个三角函数大小的基本方法.师生活动：教师用提问的方式提示同学将角转化到同一个单调区间内：（1）我们知道正、余弦函数具有周期性，利用单调性来比较已知角的三角函数值的大小，若已知角不在同一个单调区间内，怎么办？变式训练：利用三角函数的单调性，比较下列数的大小：与设计意图：及时巩固例1的解题方法.师生活动：学生自主完成，教师巡视进行个别辅导.例2：求函数的单调递增区间.设计意图：本题对同学来说可能会有一定难度，通过本题，进一步理解函数的单调性，掌握利用单调性解题的基本方法.师生活动：教师提示同学将分解，可提出问题：（1）的单调递增区间是什么？（2）的单调递增区间是什么？（3）的单调递增区间是什么？变式训练：你能求的单调递增区间吗？设计意图：通过解决本问题，使学生对求相对复杂函数的单调区间的问题有一个完整的认识.师生活动：同学先行试解，一定时间后教师将错误答案呈现出来，然后同学利用描点画图的方法将此函数图像画出来观察其单调增区间是否与答案一致.（1）我们发现与答案恰好相反，为什么？（2）同学们观察此函数与例1的函数有什么区别，为什么用例1的方法结果是错的？（3）能否将此函数转化为与例1类似的形式？5、目标检测：1．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：（1）与（2）与2.求函数的单调递增区间.6、小结（1）正、余弦函数的单调区间，函数值变化情况分别是什么？（2）利用三角函数的单调性比较一组数的大小需注意什么问题？（3）如何求一个已知三角函数的单调区间？。
1.4.2 正弦 余弦函数的性质(单调性、最值)
3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2
2
k ,0) k Z
1 例5:求函数 y sin( x ) 的单调递增区间: 2 3
解:
2
1 y sin x 3 2
y sin z
2k z
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
-
-1
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y cos x
3 5 2
2
y
1
任意两相邻对称轴 ( 或对称中心 ) 的间距为 3 2 O 5 x 3 半个周期；
2
2
1
2
2
3
2
对称轴与其相邻的对称中心的间距为
对称轴：x
,0, , 2
四分之一个周期.
(
x k , k Z
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)-高一数学上学期同步精讲课件(人教A版必修第一册2)
令−
2
则−
3
即−
6
)的单调区间和函数
6
+ 2 ≤ 2 − ≤ + 2， ∈ .
6
2
2
+ 2 ≤ 2 ≤ + 2， ∈ .
3
+ ≤ ≤ + ， ∈ .
3
所以函数的单调递减区间是[− + ， + ]， ∈ .
6
3
3
令 + 2 ≤ 2 − ≤ + 2��， ∈ .
调递增，其值从 − 增大到 ；在每一个闭区间 [, + ] ( ∈ )上都单调递减，
其值从减小到−.
新知探索
思考3：在前面函数的性质中，我们除了奇偶性、单调性外，还学习了函数的最
值.请结合着前面对正余弦函数单调性的研究，找出正余弦函数的最值及其取得
最值时对应的自变量的值.
= ， ∈ 取得最小值的的集合{| =
−
2
+ 2，得 =
−
4
−
2
+ 2, ∈ }.由2 = =
+ .所以，使函数 = −3 2, ∈ 取得最大值的的
4
集合是{| = − + , ∈ }.同理，使函数 = −3 2, ∈ 取得最小值的
[− , ]的单调增区间是[− , ]，且由−
3 3
2 2
2
≤
1
2
+
3
3
≤≤ .
所以，函数 =
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
4
4
y 1
y=|sinu|
2
2
3 2
2
O -1
2
3 2
2
u
y=sinu y=|sinu|
, k ], k Z
即： 增区间为 减区间为
x [k x [k 3
u [k
u [k , k
2
], k Z
4
, k , k
10
10
)
2
18
又 y=sinx
)
在[
18
2
,
2
] 上是增函数
10
sin(
5
10
) < sin(
18
即：sin(
) – sin(
)>0
(2) cos( 解： cos(
23
) - cos(
17 4
)
3 5
23 5
)=cos
3 5
3 3
2
正余弦函数的性质(最值与单调性)
k = −1, k = 0, k = 1,
17π 11π − 3 , − 3 5π π − 3 , 3 7π 11π 3 , 3
√
变式二
• 求函数的单调增区间
π 1 y = sin − x + 3 2
增
y = sin z 减
上时，曲线逐渐下降， 上时，曲线逐渐下降， sinα的值由1减小到 −1 。 α
探究： 探究：正弦函数的单调性
y
1
−3 5 π π − 2
−2π −3π
2
−π
−
π
2
O
π
2
π
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
正弦函数在每个闭区间[− + 2kπ , + 2kπ ](k ∈ Z) 2 2 都是增函数，其值从－ 增大到 增大到1； 都是增函数，其值从－1增大到 ； π 3π 而在每个闭区间[ + 2kπ , + 2kπ ](k ∈ Z)上都是 2 2 减函数，其值从1减小到 减小到－ 。 减函数，其值从 减小到－1。
应
用
举
例
例2：利用三角函数的单调性பைடு நூலகம்比较下列各组数的大小： ：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
π π 23π 17π (1)sin − 与sin − ; (2)cos − 与cos − ; 18 10 5 4 23π 23π 3π 解：
y = cos z y = cos z
y = A sin(ω x + ϕ ) → y = A sin z
增 （1）化未知为已知 增
正弦、余弦函数的性质(奇偶性、单调性)
) <0
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例2 求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(-x ) 解：y=2sin(-x ) = -2sinx
函数在 [
函数在 [
2 2
+2k, +2k,
4
2 3 2
+2k],kZ 上单调递减 +2k],kZ上单调递增
2 k
(2) y=3sin(2x解：k 2
23 5
17 4
)
3 5
)=cos
3 5
23 5
=cos
cos(
3 5
17 4
)=cos
4
17 4
=cos
0
cos
3 5
4
又 y=cosx 在 [ 0 , ] 上是减函数
4
<cos
即： cos
17 4
– cos
<0
从而 cos( 235 ) - cos(
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(3) y= ( tan 7 )sinx 6
解：
(4) 当
0 tan
7 6
tan
6
3 3
1
单调减区间为 单调增区间为
y log
1 2 1 2 cos( x
[2k [2k
3 )
,2 k ,2 k
], ( k Z ) ], ( k Z )
2
函数
单调性（单调区间）
+2k, 2 +2k],kZ 单调递增
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
例1：判定下列函数的奇偶性
(1) y sin 3 x, (2) y sin x cos x (3) y 1 sin x
例2：已知函数f ( x) 2ax x sin x 3, 若f(2)=3,
3
1)求证：函数g(x)=f ( x) 3是奇函数； 2）求f(-2)的值
1 2k x 2k 2 3 4 2
正弦、余弦函数的单调性
(5) y = -| sin(x+ )| 4 解： 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下： 4
y 1
y=|sinu|
2
2
3 2
2
O -1
3 2
2
u
即： 增区间为 u [k , k ], k Z 2 减区间为 u [k , k ], k Z
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
234ຫໍສະໝຸດ 56xsin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ -f(x)，则称f(x)为这 一定义域内的奇函数。
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
专题52 高中数学正、余弦函数的单调性与最值专题(解析版)
专题52 正、余弦函数的单调性与最值一．正弦函数、余弦函数的图象和性质[－1，1][－1，1](1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论．(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型，可利用换元思想，设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定．题型一 正弦函数、余弦函数的单调性 类型一 求单调区间1．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋2x ＋1，求函数f (x )的单调递增区间． [解析]令u ＝π4＋2x ，函数y ＝2sin u 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ， 由－π2＋2k π≤π4＋2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z.所以函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋2x ＋1的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z. 2．已知函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，则它的单调减区间为________． [解析]y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，由2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)． 3．函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间．[解析]求函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间，转化为求函数y ＝sin 2x 的单调递减区间， 由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ， 即函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z)． 4．求函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间． [解析]∵y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3是增函数时，y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 是减函数． ∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上是增函数，∴－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π， 即－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z)．∴函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z). 5．求下列函数的单调区间．(1)y ＝cos2x ；(2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ；(3) y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3 [解析] (1)函数y ＝cos2x 的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定： 2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z,2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z. ∴k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z.∴函数y ＝cos2x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z ，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z. (2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递增、递减区间分别是函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减、递增区间． 令2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z.即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z ，即函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4，k ∈Z. 令2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z.即2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z.即函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π4，2k π＋3π4，k ∈Z. (3) 当2k π－π≤x 2＋π3≤2k π，k ∈Z 时，函数单调递增，故函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤4k π－8π3，4k π－2π3，k ∈Z. 当2k π≤x 2＋π3≤2k π＋π，k ∈Z 时，函数单调递减，故函数的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z. 6．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3的单调递减区间为________． [解析]由π2＋2k π≤3x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z)，得π9＋2k π3≤x ≤4π9＋2k π3(k ∈Z)．又x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，所以函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6， x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π3，－2π9，⎣⎡⎦⎤π9，π3 7．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3(x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6 B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0 D.⎣⎡⎦⎤－π6，0 [解析]解法一：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，其单调递增区间为－π2＋2k π≤x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 则－π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z.由于x ∈[－π，0]，所以其单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，0. 解法二：函数在5π6取得最大值，且其最小正周期为2π，则其单调递增区间为⎣⎡⎦⎤5π6－π，5π6， 即⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，又因为x ∈[－π，0]，所以其单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，0. 8．求函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调增区间． [解析]设x ＋π4＝u ，y ＝|sin u |的大致图象如图所示，函数的周期是π.当u ∈⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z)时，函数y ＝|sin u |递增． 函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)．9．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的一个递减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[－π，0] C.⎣⎡⎦⎤－2π3，2π3 D.⎣⎡⎦⎤π2，2π3[解析]∵2k π＋π2≤x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，∴2k π＋π3≤x ≤2k π＋4π3，k ∈Z.令k ＝0得π3≤x ≤4π3.又∵⎣⎡⎦⎤π2，2π3⊆⎣⎡⎦⎤π3，4π3 ∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的一个递减区间为⎣⎡⎦⎤π2，2π3.故选D. 10．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在区间[0，π]的一个单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，5π12 B.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C.⎣⎡⎦⎤5π12，11π12D.⎣⎡⎦⎤π6，π2[解析]由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z)，取k ＝0，则一个单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12，7π12. 11．求下列函数的单调递增区间．(1)y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ，x ∈[0，π]；(2)y ＝log 12sin x . [解析] (1)由y ＝－13sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调性，得π2＋2k π≤x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 即2π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z.又x ∈[0，π]，故2π3≤x ≤π.即单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，π.(2)由sin x ＞0，得2k π＜x ＜2k π＋π，k ∈Z ，∴函数的定义域为(2k π，2k π＋π)(k ∈Z)．设u ＝sin x ，则0＜u ≤1，又y ＝log 12u 是减函数，∴函数的值域为(0，＋∞)．∵12＜1，∴函数y ＝log 12sin x 的递增区间即为u ＝sin x (sin x ＞0)的递减区间，故函数y ＝log 12sin x 的递增区间为2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z)．12．函数y ＝log 2⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的单调递增区间是________． [解析]由题意，得sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3>0，所以2k π<x ＋π3<π＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋2k π<x <2π3＋2k π，k ∈Z. 令－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z 可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－56π＋2k π，π6＋2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝log 2⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－π3＋2k π，π6＋2k π，k ∈Z. 13．求下列函数的单调递增区间(3)y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4； [解析]由对数函数的定义域和复合函数的单调性，可知⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4>0，2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得2k π＋π2≤2x ＋π4<2k π＋π(k ∈Z)，即k π＋π8≤x <k π＋3π8(k ∈Z)，故所求单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π＋π8，k π＋3π8(k ∈Z)． 14．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|cos x |在[－π，π]上的单调递减区间为( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，0 B.⎣⎡⎦⎤π2，πC.⎣⎡⎦⎤－π2，0及⎣⎡⎦⎤π2，π D.⎣⎡⎦⎤－π2，0∪⎣⎡⎦⎤π2，π [解析]在[－π，π]上，依据函数图象的对称性可知y ＝|cos x |的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2，0及⎣⎡⎦⎤π2，π， 而f (x )依|cos x |取值的递增而递减，故⎣⎡⎦⎤－π2，0及⎣⎡⎦⎤π2，π为f (x )的单调递减区间． 15．求函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4，x ∈[－4π，4π]的单调减区间． [解析] y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4＋1. 由2k π－π2≤12x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)．解得4k π－π2≤x ≤4k π＋32π(k ∈Z)．∴k ＝0时 ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2，k ＝1时，x ∈⎣⎡⎦⎤7π2，11π2，k ＝－1时，x ∈⎣⎡⎦⎤－9π2，－5π2. 又∵x ∈[－4π，4π]，∴函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调减区间为⎣⎡⎦⎤－4π，－5π2，⎣⎡⎦⎤－π2，3π2，⎣⎡⎦⎤7π2，4π. 16．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 [解析]对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是减函数． 17．下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos2x |B ．f (x )＝|sin2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |[解析] 作出y ＝sin|x |的图象如图1，知其不是周期函数，排除D ；因为y ＝cos|x |＝cos x ，周期为2π，排除C ；作出y ＝|cos2x |的图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2单调递增，A 正确；作出y ＝|sin2x |的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2单调递减，排除B ，故选A.图1图2图318．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )A ．y ＝cos|x |B ．y ＝cos|－x |C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 D ．y ＝－sin x2[解析] y ＝cos|x |在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，排除A ； y ＝cos|－x |＝cos|x |，排除B ；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意； y ＝－sin x2在(0，π)上是单调递减的．[答案] C19．下列函数在⎣⎡⎦⎤π2，π上是增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin2xD ．y ＝cos2x [解析] 因为y ＝sin x 与y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上都是减函数，所以排除A 、B.因为π2≤x ≤π， 所以π≤2x ≤2π.因为y ＝sin2x 在2x ∈[π，2π]内不具有单调性，所以排除C.故选D.20．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且是偶函数，则( ) A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递增 [解析]由条件知ω＝2.∵f (x )是偶函数且|φ|＜π2，∴φ＝π4，这时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x .∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减． 21．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z) [解析]周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－38π≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.[答案] C 22．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，且|φ|＜π.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，求f (x )的单调递增区间．[解析]由f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立知，2·π6＋φ＝2k π±π2(k ∈Z)．∴φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6(k ∈Z)． ∵|φ|＜π，得φ＝π6或φ＝－5π6，又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，∴φ＝－5π6， 由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)． 类型二 利用单调性求参1．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．[解析]因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π＜a ≤0时满足条件， 故a ∈(－π，0]．2．若函数f (x )＝sin ωx (0＜ω＜2)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于___． [解析]根据题意知f (x )在x ＝π3处取得最大值1，∴sin ωπ3＝1，∴ωπ3＝2k π＋π2，k ∈Z ，即ω＝6k ＋32，k ∈Z.又0＜ω＜2，∴ω＝32.3．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．[解析]依题意得T 2≥π2⇒T ≥π，又ω＞0，所以2πω≥π⇒0＜ω≤2.由π2＜x ＜π得ωπ2＋π3＜ωx ＋π3＜ωπ＋π3，由f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减得⎩⎨⎧ωπ2＋π3≥π2，ωπ＋π3≤3π2⇒13≤ω≤76.答案：⎣⎡⎦⎤13，76 4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程；(2)解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12≥32. [解析] (1)由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z)．所以函数图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z)．(2)由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝sin 2x ≥32，得2k π＋π3≤2x ≤2k π＋2π3，k ∈Z ，解得k π＋π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ， 故不等式的解集是{|x⎭⎬⎫k π＋π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .5．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)，且f (α)＝－2，f (β)＝0，|α－β|的最小值是π2，则f (x )的单调递增区间是() A.⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z ) [解析]由题意可知14T ＝π2，所以T ＝2π，所以ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )．故选A. 6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为R 上的偶函数，其图象关于点M (34π，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值．[解析]由f (x )是偶函数，得sin φ＝±1，所以φ＝k π＋π2，k ∈Z.因为0≤φ≤π，所以φ＝π2.由f (x )的图象关于点M (3π4，0)对称，得f (3π4)＝0.因为f (3π4)＝sin(3ωπ4＋π2)＝cos 3ωπ4，所以cos 3ωπ4＝0.又因为ω>0，所以3ωπ4＝π2＋k π，k ∈N ，即ω＝23＋43k ，k ∈N.当k ＝0时，ω＝23，此时f (x )＝sin(23x ＋π2)在[0，π2]上是减函数；当k ＝1时，ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋π2)在[0，π2]上是减函数；当k ≥2时，ω≥103，此时f (x )＝sin(ωx ＋π2)在[0，π2]上不是单调函数．综上，ω＝23或ω＝2.题型二 利用三角函数的单调性比较大小1．sin250°与sin260°；(2)cos 15π8与cos 14π9.[解析] (1)∵函数y ＝sin x 在[90°，270°]上单调递减，且90°<250°<260°<270°，∴sin250°>sin260°. (2)cos 15π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π8＝cos π8，cos 14π9＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9.2．比较下列各组数的大小．(1)cos ⎝⎛⎭⎫－π8与cos 13π7；(2)sin194°与cos160°；(3) cos ⎝⎛⎭⎫－7π8与cos 6π7 [解析] (1)∵cos ⎝⎛⎭⎫－π8＝cos π8，cos 13π7＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π7＝cos π7，而0<π8<π7<π2， 且y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减，∴cos π8>cos π7.即cos ⎝⎛⎭⎫－π8>cos 13π7. (2)∵sin194°＝sin(90°＋104°)＝cos104°，而0°<104°<160°<180°， 且y ＝cos x 在[0，π]上单调递减．∴cos104°>cos160°.即sin194°>cos160°. (3)cos ⎝⎛⎭⎫－7π8＝cos 7π8，因为0＜6π7＜7π8＜π，y ＝cos x 在(0，π)上是减函数， 所以cos7π8＜cos 6π7.所以cos ⎝⎛⎭⎫－7π8＜cos 6π7. 3．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－π18与sin ⎝⎛⎭⎫－π10；(2)sin 196°与cos 156°；(3)cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π. [解析] (1)∵－π2＜－π10＜－π18＜π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫－π18＞sin ⎝⎛⎭⎫－π10. (2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，∵0°＜16°＜66°＜90°，∴sin 16°＜sin 66°，从而－sin 16°＞－sin 66°，即sin 196°＞cos 156°. (3)cos ⎝⎛⎭⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋35π＝cos 35π， cos ⎝⎛⎭⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4.∵0＜π4＜35π＜π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π＜cos π4，即cos ⎝⎛⎭⎫－235π＜cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 4．比较下列各组数的大小：①cos 15π8，cos 14π9；②cos 1，sin 1.[解析]①cos 15π8＝cos π8，cos 14π9＝cos 4π9，因为0＜π8＜4π9＜π，而y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，所以cos π8＞cos 4π9，即cos 15π8＞cos 14π9.②因为cos 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－1，而0＜π2－1＜1＜π2且y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2－1＜sin 1， 即cos 1＜sin 1.5．比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π与sin ⎝⎛⎭⎫493π；(2)cos 870°与sin 980°. [解析] (1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6，sin ⎝⎛⎭⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎫16π＋π3＝sin π3， 因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，所以sin ⎝⎛⎭⎫－π6＜sin π3，即sin ⎝⎛⎭⎫－376π＜sin 493π. (2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°， 因为0°＜150°＜170°＜180°，且y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， 所以cos 150°＞cos 170°，即cos 870°＞sin 980°. 6．sin 2π7________sin ⎝⎛⎭⎫－15π8(填“＞”或“＜”)． [解析]sin ⎝⎛⎭⎫－15π8＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π8＝sin π8， 因为0＜π8＜2π7＜π2，y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，所以sin π8＜sin 2π7，即sin 2π7＞sin ⎝⎛⎭⎫－15π8. 7．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°[解析]由诱导公式，得cos 10°＝s i n 80°，s i n 168°＝s i n (180°－12°)＝s i n 12°，由正弦函数y ＝s i n x 在[0°，90°]上是单调递增的，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C. 8．sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为__________． [解析]∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin2，sin(π－3)＝sin3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2，∴sin(π－3)<sin1<sin(π－2)，即sin3<sin1<sin2. 9．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为_________．[解析]cos 150°＜0，s i n 470°＝s i n 110°＝cos 20°＞0，cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°， 所以cos 150°＜cos 760°＜s i n 470°. 10．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B ．sin 3>sin 2 C ．sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D ．sin 2>cos 1[解析]因为sin 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2，且0<2－π2<1<π，所以cos ⎝⎛⎭⎫2－π2>cos 1，即sin 2>cos 1.故选D. 11．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是( )A ．sin α＜sin βB ．cos α＜sin βC ．cos α＜cos βD ．cos α ＞cos β[解析]α，β为锐角三角形的两个内角，α＋β＞π2，α＞π2－β，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，π2－β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos α＜cos ⎝⎛⎭⎫π2－β＝sin β.12．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－4，－3]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，则f (sin α)与f (cos β)的大小关系是________． [解析]由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，所以函数f (x )是周期函数，且2是它的一个周期．因为函数f (x )是偶函数且在[－4，－3]上是增函数， 所以函数f (x )在[0,1]上是增函数．又α，β是锐角三角形的两个内角，则有α＋β＞π2，即π2＞α＞π2－β＞0，因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上为增函数，所以sin α＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－β＝cos β， 且sin α∈[0,1]，cos β∈[0,1]，所以f (sin α)＞f (cos β)．题型三 正弦函数、余弦函数的最值问题1．函数y ＝1－2cos π2x 的最小值，最大值分别是( )A ．－1,3B ．－1,1C ．0,3D ．0,1[解析]∵x ∈R ，∴π2x ∈R ，∴y ＝cos π2x 的值域[－1,1]．∴y ＝1－2cos π2x 的最大值为3，最小值－1.2．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值分别为( )A ．y max ＝3，x ＝π2B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)[解析]∵y ＝2－sin x ，∴当sin x ＝－1时，y max ＝3，此时x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)．[答案] C3．y ＝2cos x 2的值域是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．R[解析]因为x ∈R ，所以x 2≥0，所以y ＝2cos x 2∈[－2,2]． 4．y ＝a cos x ＋1的最大值为5，则a ＝________. [解析]∵|a |＋1＝5，∴|a |＝4，∴a ＝±4.5．设函数f (x )＝A ＋B sin x ，当B <0时，f (x )的最大值是32，最小值是－12，则A ＝________，B ＝________.[解析]根据题意，得⎩⎨⎧A －B ＝32A ＋B ＝－12.解得A ＝12，B ＝－1.6．函数f (x )＝sin(π6＋x )＋cos(π3－x )的最大值为( )A ．1 B.32C. 3 D ．2[解析]由π6＋x 与π3－x 互余得f (x )＝2sin(x ＋π6)．故f (x )的最大值为2，故选D.7．函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35 D.15[解析]∵⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋⎝⎛⎭⎫π6－x ＝π2， ∴f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤65. ∴f (x )max ＝65.故选A.8．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5[解析] ∵⎝⎛⎭⎫π3－x ＋⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝π2，∴y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，∴y min ＝－1. 9．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1D.⎣⎡⎦⎤12，1[解析]因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，所以y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，32. 10．求函数y ＝3－4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6的最大值、最小值及相应的x 值． [解析]因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，从而－12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1. 所以当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝0，x ＝－π6时，y min ＝3－4＝－1. 当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12，即2x ＋π3＝2π3，x ＝π6时，y max ＝3－4×⎝⎛⎭⎫－12＝5. 综上所述，当x ＝－π6时，y min ＝－1；当x ＝π6时，y max ＝5.11．求下列函数的最大值和最小值． f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2 [解析]当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，由函数图象(略)知，－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1， 所以，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12. 12．求下列函数的值域：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2； [解析] 因为0≤x ≤π2，所以0≤2x ≤π，所以－π3≤2x －π3≤2π3.令2x －π3＝t ，则原式转化为y ＝sin t ，t ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，由y ＝sin t 的图象知－32≤y ≤1， 所以所求函数的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1. 13．求函数y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最值． [解析]因为－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，所以当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1. 14．已知函数y ＝a －b cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(b >0)的最大值为32，最小值为－12. (1)求a ，b 的值；(2)求函数g (x )＝－4a sin ⎝⎛⎭⎫bx －π3的最小值并求出对应x 的集合． [解析] (1)cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－1，1]，因为b >0，所以－b <0，⎩⎨⎧ymax ＝b ＋a ＝32，ymin＝－b ＋a ＝－12，所以a ＝12，b ＝1.(2)由(1)知：g (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，因为sin ⎝⎛⎭⎫x －π3∈[－1，1]，所以g (x )∈[－2，2]， 所以g (x )的最小值为－2，对应x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋56π，k ∈Z . 15．已知函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b (a ＞0)．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为3，最小值是－2，求a 和b 的值．[解析]∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，∴f (x )max ＝a ＋b ＝3， f (x )min ＝－32a ＋b ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2＋ 3.16．求下列函数的最值y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54.[解析]y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54＝－(sin x －32)2＋2.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝32时，函数取得最大值，y max ＝2； 当sin x ＝－1时，函数取得最小值，y min ＝14－ 3.17．函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域为________． [解析] y ＝cos 2x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2. 因为－1≤sin x ≤1，所以－4≤y ≤0，所以函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域为[－4,0]．18．求下列函数的最大值和最小值． y ＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6. [解析]y ＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3＝2sin 2x ＋2sin x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫sin x ＋122＋12. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1.当sin x ＝1时，y max ＝5；当sin x ＝12时，y min ＝52. 19．求函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值． [解析]y ＝cos 2x －sin x ＝1－sin 2x －sin x ＝－⎝⎛⎭⎫sin x ＋122＋54.因为－π4≤x ≤π4，－22≤sin x ≤22， 所以当x ＝－π6，即sin x ＝－12时，函数取得最大值，y max ＝54；当x ＝π4，即sin x ＝22时，函数取得最小值，y min ＝12－22.20．求函数y ＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的值域． [解析]令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，所以12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1.所以y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝⎛⎭⎫t ＋122－1， ∵以t 为自变量的二次函数在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增，∴1≤y ≤72，所以原函数的值域为⎣⎡⎦⎤1，72. 21．求下列函数的值域：y ＝cos 2x －4cos x ＋5.[解析]令t ＝cos x ，则－1≤t ≤1.∴y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1， ∴t ＝－1时，y 取得最大值10，t ＝1时，y 取得最小值2. 所以y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为[2,10]．22．求函数y ＝cos 2x ＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的x 的集合． [解析]y ＝cos 2x ＋4sin x ＝1－sin 2x ＋4sin x ＝－sin 2x ＋4sin x ＋1＝－(sin x －2)2＋5.所以当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝4；当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y min ＝－4.所以y max ＝4，此时x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z ；y min ＝－4，此时x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π2，k ∈Z .23．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________. [解析] ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1，∴0≤ωx ≤ωπ3<π3.∵f (x )max ＝2sin ωπ3＝2， ∴sinωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34. 24．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5.若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D ．12[解析]依题意得f (x 1)是f (x )的最小值，f (x 2)是f (x )的最大值．因此|x 1－x 2|＝⎝⎛⎭⎫k ＋12T (k ∈Z )． ∴当k ＝0时，|x 1－x 2|min ＝12T ＝12×2ππ2＝2.故选B.25．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是________．[解析]因为T ＝2ππ3＝6.所以在[0，＋∞)第一次出现最大值x ＝64＝32，第二次出现最大值x ＝152，所以t ≥152.又因为t ∈Z ，所以t 的最小值为8.26．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的最大值是________． [解析]因为函数y ＝s i n x ，x ∈[a ，b ]的最小值和最大值分别为－1和12.不妨在一个区间[0,2π]内研究，可知sin π6＝sin 5π6＝12，sin 3π2＝－1，结合图象(略)可知(b －a )min ＝3π2－5π6＝2π3，(b －a )max ＝13π6－5π6＝4π3. 27．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋b 的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域是[－5,1]，求a ，b 的值． [解析] 因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. 所以a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－53a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－5.a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝13a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1.因此a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.。
2 第2课时 正、余弦函数的单调性与最值
第2课时 正、余弦函数的单调性与最值问题导学预习教材P204－P207，并思考以下问题：1．正、余弦函数的单调区间相同吗？它们分别是什么？ 2．正、余弦函数的最值分别是多少？正弦、余弦函数的图象和性质正、余弦函数不是定义域上的单调函数，如说“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为在第一象限的单调递增区间有无穷多个，在每个单调增区间上，y ＝sin x 都是从0增加到1，但不能看作一个单调区间．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝12sin x 的最大值为1.( )(2)∃x 0∈[0，2π]，满足cos x 0＝ 2.( )(3)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×在下列区间中，使函数y ＝sin x 为增函数的是( ) A ．[0，π] B.⎣⎡⎦⎤π2，3π2C.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 D ．[π，2π]答案：C函数y ＝1－2cos π2x 的最小值、最大值分别是( )A ．－1，3B ．－1，1C ．0，3D ．0，1 答案：A函数y ＝sin x (π3≤x ≤2π3)的值域为________．答案：[32，1]函数y ＝－cos x 的单调递减区间是____________； 单调递增区间是____________． 答案：[－π＋2k π，2k π](k ∈Z ) [2k π，2k π＋π](k ∈Z )正、余弦函数的单调性求下列函数的单调递减区间：(1)y ＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x .【解】 (1)令z ＝2x ＋π3，而函数y ＝cos z 的单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )．所以当原函数单调递减时，可得2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以原函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z ，求y ＝－2sin z 的单调递减区间，即求sin z 的单调递增区间．所以－π2＋2k π≤z ≤π2＋2k π，k ∈Z .即－π2＋2k π≤x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z .所以－π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z .所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z )．求正、余弦函数的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)在求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx ＋φ”看作一个整体“z ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间同上．1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，x ∈R 在( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数 B ．[0，π]上是减函数 C ．[－π，0]上是减函数 D ．[－π，π]上是减函数解析：选B.因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数． 2．求函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调增区间．解：设x ＋π4＝u ，y ＝|sin u |的大致图象如图所示，函数的周期是π.当u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝|sin u |递增．函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．比较三角函数值的大小比较下列各组数的大小． (1)sin1017π与sin 1117π； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－7π8与cos 6π7；(3)sin 194°与cos 160°.【解】 (1)因为函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，且π2＜1017π＜1117π＜π，所以sin 1017π＞sin 1117π. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8＝cos 7π8，因为0＜6π7＜7π8＜π，y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以cos7π8＜cos 6π7. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8＜cos 6π7.(3)由于sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°， 又0°＜14°＜70°＜90°，而y ＝sin x 在[]0°，90°上单调递增， 所以sin 14°＜sin 70°，－sin 14°＞－sin 70°， 即sin 194°＞cos 160°.比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上； (3)利用函数的单调性比较大小．1．sin 470°________cos 760°(填“＞”“＜”或“＝”)．解析：sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0且cos 20°>cos 40°， 所以cos 760°<sin 470°. 答案：＞2．比较下列各组数的大小． (1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π与sin ⎝⎛⎭⎫493π； (2)cos 870°与sin 980°. 解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin ⎝⎛⎭⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3， 因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＜sin π3，即sin ⎝⎛⎭⎫－376π＜sin 493π. (2)cos 870°＝cos(720°＋150°) ＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°) ＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°， 因为0°＜150°＜170°＜180°， 且y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，所以cos 150°＞cos 170°，即cos 870°＞sin 980°.正、余弦函数的最值(值域)求下列函数的最值． (1)y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54.【解】 (1)因为－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1.(2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54＝－(sin x －32)2＋2.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝32时，函数取得最大值，y max ＝2；当sin x ＝－1时，函数取得最小值，y min ＝14－ 3.(变条件)在本例(1)中，若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π12，则函数y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最大、最小值分别是多少？解：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12，所以0≤2x ＋π3≤π2，所以0≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0时，y min ＝3.所以函数y ＝3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12的最大值为5，最小值为3.三角函数最值问题的求解方法(1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论．(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型，可利用换元思想，设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定．1．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( )A ．(－32，12) B ．[－12，32]C ．[32，1] D ．[12，1]解析：选B.由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π3，所以－12≤cos(x ＋π6)≤32，故选B.2．求函数y ＝cos 2x ＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的x 的集合．解：y ＝cos 2x ＋4sin x ＝1－sin 2x ＋4sin x ＝－sin 2x ＋4sin x ＋1 ＝－(sin x －2)2＋5.所以当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝4；当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y min ＝－4.所以y max ＝4，此时x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z ； y min ＝－4，此时x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π－π2，k ∈Z .1．下列函数中，在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上恒正且是增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝－sin xD ．y ＝－cos x解析：选D.作出四个函数的图象，知y ＝sin x ，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，不符合；而y ＝－sin x 的图象虽满足在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增但其值为负，所以只有D 符合，故选D.2．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫12x －π4在x ＝________时，y 取最大值．解析：当函数取最大值时，12x －π4＝2k π(k ∈Z )，x ＝4k π＋π2(k ∈Z )．答案：4k π＋π2(k ∈Z )3．sin 21π5________sin 425π(填“>”或“<”)．解析：sin 215π＝sin(4π＋π5)＝sin π5，。
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）
正弦函数和余弦函数是我们在高中数学中常见的两个三角函数，它们具有很多有趣的性质。
在这里，我们来讨论正弦函数和余弦函数的单调性。
1. 正弦函数的单调性：
正弦函数表示为y = sin(x)，其中x是角度，y是对应的正弦值。
这个函数的定义域是所有实数，因此我们可以讨论它的单调性。
正弦函数的周期是2π，也就是说，当给定角度x时，sin(x)等于sin(x+2π)、
sin(x+4π)、sin(x+6π)等等。
这意味着对于任何给定的y值，我们可以找到无限个对应的角度x，使得sin(x)等于y。
所以，正弦函数是一种周期函数，它不具有单调性。
我们可以将正弦函数的定义域限制在一个周期内，例如[0, 2π]。
在这个区间上，正弦函数的单调性是可讨论的。
这个区间上，正弦函数是先增后减的，也就是说，当x在[0,π/2]时，sin(x)递增；当x在[π/2,π]时，sin(x)递减；当x在[π,3π/2]时，
sin(x)递增；当x在[3π/2,2π]时，sin(x)递减。
所以，在一个周期内，正弦函数是两个相邻极值点之间的区间里递增或递减的。
正弦函数和余弦函数分别在一个周期内具有先增后减和先减后增的单调性。
由于它们是周期函数，所以在整个定义域上它们并没有单调性。
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
]
9 3 1 当 2k x 2k 即 6k x 6k , k Z 为减区间 4 4 2 3 4 x 9 3 当 2k 2k 即 6k x 6k , k Z 为增区间 3 4 2 4 4
正弦、余弦函数的单调性
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
- -1
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
uyd79vau
接。乔氏母女俩和耿老爹父子们去江边做完“尽七”祭奠返回时，船老大亲自将五佰两纹银送到白家来。并且说：“以后，白兄弟的 “百日”祭和“周年”祭，我还会派马车接送。”乔氏母女一再谢绝，说：“千万不要再费心了。路不远，我们自己走去就行！”船老 大说：“这没有什么费心的，反正我和我那帮兄弟们也要祭奠的。”临走时，这位实在够意思的船老大还一再叮嘱乔氏，娘儿俩以后的 生活如果有什么困难，一定告诉他。他中肯地说：“白兄弟的家眷，我会负责一辈子的！”进入腊月后，新鲜蔬菜相对少了不少，因此 贩卖蔬菜的生意就有些惨淡了。不过，水果零售的生意倒还不错。耿老爹决定，让耿正兄妹仨继续每天批发一些水果，多多少少倒卖一 些，自己抽这个时间，动手割制新屋的顶棚架和门窗。这样，等到明年开春后，就可以为新屋装顶棚和安门窗了。等到做完这些以后， 再进行一次屋内石灰泥上面，也就是俗话说的“亮家”，五间新屋基本上就大功告成了。至于石灰泥干透后的屋内全面刷白处理，已经 是相对简单的事情了。得知了耿老爹的想法后，乔氏又去一个曾经帮助盖房的木匠老师傅那里，借回来一套木匠工具。做这些木工活计 之前，耿老爹专门渡江去汉口镇上跑了一趟。他估摸着，张老乡一家倘若顺利过了黄河继续往南进发的话，这个时候应该已经来到了， 但结果却令耿老爹大失所望。那天上午，当他寻找到张老乡曾经与人合伙开店的地方时，眼前看到的依然还是一片狼藉，而且整个汉口 镇街面上的行人都很少。耿老爹向遇到的每一个人反反复复地打听着：“请问，您是否看到和听到过有姓张的一家四口从北边过来了？” 每一个人都摇头，说既没有看到，也没有听说。这样，从上午一直打听到过午了，耿老爹感觉又饥又渴，便向一户人家讨了一碗水，就 着水啃了一个从武昌镇烧饼铺买了带过来的烧饼，然后继续沿着不同的街道打听。直到日头西斜，汉口镇上几乎所有的大街小巷都问遍 了，仍然没有任何结果。看来，张老乡一家确实没有来到这里。事已至此，耿老爹只能寄希望于张老乡在动身南下之前就听说了这里的 水灾，压根儿就没有动身来这里。或者说，他在刚出发到达省城或者什么地方的时候听说了，就转身返回去了。至于那个可怕的梦，耿 老爹当时虽然感觉有些蹊跷，也曾经伤心得泪流满面胸口发紧，但他现在宁愿不相信了。他一遍又一遍地对自己说：“什么呀，张大哥 根本就没有南下，根本就没有走到黄河边儿！”抬头看看，日头还有半杆子高。耿老爹又来到原先自家开的粮油零售店前，看到店铺门 上的大铁锁已经锈迹斑斑的了。再看门上贴的那一纸留言，虽然字迹有些模糊了，但依然还在。而那个没有了院墙的小后院儿，到现在 还是那样敞着
1.4.2 第2课时正弦余弦函数的单调性
第一章 三角函数
抓基础·新知探究
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提知能·高效测评
解析： (1)∵函数 f(x)＝sin x－1 与 g(x)＝sin x 的单调区间相同， ∴f(x)＝sin x－1 的增区间为 2kπ－π2 ，2kπ＋π2 (k∈Z). 减区间为2kπ＋π2 ，2kπ＋32π(k∈Z).
数学 必修4
数学 必修4
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题型三 求正弦、余弦函数的最值(值域) 已知函数 f(x)＝sin x－1.
(1)写出 f(x)的单调区间； (2)求 f(x)的最大值和最小值及取得最值时 x 的集合； (3)比较 f－π 18与 f－π 12的大小.
数学 必修4
答案： B
数学 必修4
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2.函数 y＝sinx＋π2 ，x∈R 在(
)
A.－π2 ，π2 上是增函数
B.[0，π]上是减函数
C.[－π，0]上是减函数
D.[－π，π]上是减函数
数学 必修4
第一章 三角函数
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(2)∵函数 g(x)＝sin x，
π 当 x＝2kπ＋ 2 (k∈Z)时，取最大值 1，
当 x＝2kπ＋32π(k∈Z)时，取最小值为－1.
∴函数
f(x)＝sin
x－1，当
π x＝2kπ＋ 2 (k∈Z)时，取最大值
0，当
x＝2kπ＋32
∴sin－π 12＜sin －π 18， ∴g－π 12＜g－π 18， ∴f－π 18＞f－π 12.
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8
8
4. 不查表比较下列各组数的大小
(1) sin( )与sin( )
18
10
解: 因为
2 10 18 2
且函数y=sinx,
x [ ， ]
22
是增函数
所以 sin( ) sin( )
18
10
(2) cos( 23 )与cos(17 )
5
4
解： cos( 23 ) cos 23 cos3
[ , ] 22
sin 320 sin 430 sin1370
不查表比较下列各组数的大小 (6) cos(133 0 )与cos(220 0 )
余弦函数单调区间有
[ ,0] [0, ] [ ,2 ] [2 ,3 ] [3 ,4 ] [4 ,5 ]
1330与2200不在任何一个单调区间
cos 220 0 cos(360 0 220 0 ) cos140 0
cos(
17
5 )
c
os17
5
c
os
1
5
因为
0
41
3
4
4
，且函数
45
y cosx，x [0， ] 是减函数，所以
cos3 cos1 即 cos( 23 ) cos(17 )
5
4
5
4
二层练习
3.求下列各函数的单调递减区间
(1) y 2sin(1 x )
26
解: 因为函数y=sinx的单调递减区间是 [ 2k，3 2k ]
22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
[ , 3 ]
22
0.9 1.3 sin 0.9 sin1.3
不查表比较下列各组数的大小
(3) cos0.9与cos0.3
余弦函数单调区间有
[ ,0] [0, ] [ ,2 ] [2 ,3 ] [3 ,4 ] [4 ,5 ]
[0, ]
0.9 0.3
cos0.9 cos0.3
kZ
[2k， 2k ]
(k Z)
一层练习
2.判断下列命题的对错： 错
（1）函数y=sinx在第一象限是增函数
(2) 函数y=cosx在 [0， ]上是增函数
2
对
(3) 函数 y sin x 在 [， ]上是增函数
不查表比较下列各组数的大小
(1) sin 310与sin 460
正弦函数的单调区间有
比较 cos1330与cos140 0 1330 1400
[0, ]
cos1330 cos1400 cos2200
练习 不查表比较下列各组数的大小
(1) sin123 0与sin177 0
(2) cos 218 0与cos 269 0
(3) sin 2110与sin 320 0
(4) cos 480与cos(310 0 )
由
2k
1
x
2 62
得 4 4k x 10 4k
3
3
所以该函数的单调递减区间是:
[
4
4k，10
4k ]
3
3
(k Z)
(2) y 1 cos(2x )
4
解: 由 2k 2x 2k，
得
5
k
x
4
k，
8
8
所以该函数的单调递减区间是:
[ 5 k， k ]，k Z
不查表比较下列各组数的大小
(4) cos( )与cos( )
5
7
余弦函数单调区间有
[ ,0] [0, ] [ ,2 ] [2 ,3 ] [3 ,4 ] [4 ,5 ]
[ ,0]
57
cos( ) cos( )
5
7
不查表比较下列各组数的大小
(5) sin 320与sin137 0
正弦函数的单调区间有
观察正弦函数和余弦函数的图象
正弦函数
y 1
-2 - o
x
2 3 4
单调区间有
-1
[
2
,
2
]
[ 2
, 3 ] [3
22
, 5
2
]
[ 5
2
, 7 ]
2
[ 7
2
, 9 ]
2
[ 9
2
,11 ]
2
单调区间的特点
1、端点是二分之个
2、区间长度为
余弦函数
y
1
-2 - o
x
2 3 4
-1
单调区间有
[ ,0] [0, ] [ ,2 ] [2 ,3 ] [3 ,4 ] [4 ,5 ]
[ , ] [ , 3 ] [3 , 5 ] [5 , 7 ] [7 , 9 ] [9 ,11 ]
22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
320与1370不在任何一个单调区间
sin137 0 sin(180 0 137 0 ) sin 430
比较 sin 320与sin 430
320 430
[ , ] [ , 3 ] [3 , 5 ] [5 , 7 ] [7 , 9 ] [9 ,11 ]
22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
[ , ]
22
310 460 sin 310 sin 460
不查表比较下列各组数的大小
(2)sin 0.9与sin1.3
正弦函数的单调区间有
[ , ] [ , 3 ] [3 , 5 ] [5 , 7 ] [7 , 9 ] [9 ,11 ]
单调区间的特点
1、端点是整数个
2、区间长度为
3、区间起点为奇数个 的区间为增区间 4、区间起点为偶数个 的区间为减区间
函数 奇偶性 单调增区间 单调减区间
y=sinx
奇函数
[ 2k， 2k ] [ 2k，3 2k ]
2
2
2
2
(k Z)
(k Z)
y=cosx
偶函数
[ 2k，2 2k ]