第七讲_+弹性本构关系

某个面上的剪切应力为零时，剪应变也为零，
因此应力的主方向与应变的主方向重合。
ij=kkij +2Gij 由上式反解应变，令
此式即为虎克定律的工程形式， 其中常数E，G，μ为熟知的杨氏模量、剪切模量和泊松比， 仅两个是独立的。 E G 2(1 )
• 应变用应力表示 kk=(3+2G)kk
第四讲 弹性力学基础
胡才博 中国科学院大学地球科学学院 中国科学院计算地球动力学重点实验室
本构关系
4.1 弹性应力应变关系
• • • • • •
4.1.1 一般表示 4.1.2 材料对称性 4.1.3 各向同性弹性体 4.1.4 弹性常数的测定 4.1.5 矩阵形式表达 4.1.6 弹性应变能

x 1 2 yx 1 zx 2
x 1 2 yx 1 zx 2
1 xy 2 y 1 zy 2
1 xz 2 1 yz 2 z

1 1 xy - xz 2 2 1 y - yz 2 1 - zy z 2
正交各向异性材料的广义虎克定律可表示为：
有9个独立的弹性参数， 正应变仅产生正应力； 剪应变仅产生剪应力。 工程中，一般用三个弹性模量（E1,E2,E3）， 三个泊松比（v1,v2,v3）， 三个剪切模量（Gxy,Gyz,Gzx） 表示。 煤、木材、增强纤维复合材料等可简化为正交各向异性弹性体。
• 3. 横观各向同性材料
x =c11x+ c12y+ c12z y =c12x+ c11y+ c12z z =c12x+ c12y+ c11z
xy =0.5(c11 c12) xy
yz =0.5(c11 c12) yz zx =0.5(c11 c12) zx
• 广义Hooke定律的张量形式 ij=kkij +2Gij ij =Cijklkl Cijkl=ijkl+G(ikjl+iljk)
各向同性弹性体
x =c11x+ c12y+ c12z y =c12x+ c11y+ c12z z =c12x+ c12y+ c11z xy =0.5(c11 c12) xy yz =0.5(c11 c12) yz zx =0.5(c11 c12) zx
令 c12=， 0.5(c11 c12) =G 、G称为Lame（拉梅）弹性常数 x=2Gx + y=2Gy + z=2Gz + =x + y + z 是体积应变 xy =Gxy yz = Gyz zx = Gzx
有13个独立的弹性常数。 正应变会产生切应力（ xy ） 剪应变会产生正应力（ x 、 y 、 z ）
单斜晶体（如正长石）可简化为横观各向异性弹性体。
• 2. 正交各向异性材料
具有三个相互正交的弹性对称面的材料称为正交各向异性材料。 将z轴反向，由横观各向异性材料的特点可知：
c15=c16=c25=c25=c35=c36=c45=c46=0
（3）应变能存在，则弹性张量关于ij和kl也应对称 Cijkl= Cklij 独立的弹性常数Cijkl共有21个。
• 弹性系数cmn也应具有对称性
cmn＝cnm
独立的弹性系数cmn共有21个。
4.1.2 材料对称性
• 弹性对称面
该面对称的两个方向具有相同的弹性关系
1. 横观各向异性材料
仅具有一个弹性对称面的材料称为横观各向异性材料。 设Oxy平面为材料的弹性对称面，z轴为弹性主轴。
ij 1 ij ij kk 2G 2G(3 2G)
• 体积应力与体积应变关系（体积虎克定律） 将等式对应相加，可得平均应力与体积应变的关系： 30=(2G+3) 式中0=(x+ y+z)/3是平均应力。 0=K 式中 K = (3+2G)/3 是体积变形模量。
• 张量形式表示
ij =Cijklkl
其中Cijkl称为四阶弹性张量，共81个分量。 同样也取
决于坐标系，服从四阶张量的坐标变换定律。
• 弹性张量的对称性
（1）根据应力张量的对称性
Cijkl= Cjikl （σij=σji）
（2）根据应变张量的对称性
Cijkl= Cijlk （εij=εji）
张量形式
ij Cijkl kl
cmn和Cijkl的下标关系：
m、n ij、kl 1 11 2 22 3 33 4 12
两种形式是完全等效的。
c22=C2222, c56=C2331
5 23 6 31
根据应力张量和应变张量的对称性，Cijkl也只有36个独立参 数：Cijkl= Cjikl，Cijkl= Cijlk
Baidu Nhomakorabea
zx= zx (x，y，z，xy，yz，zx)
呈线性单值连续关系的材料性质称为线弹性。
• 对于线性弹性材料，应力与应变是线性关系
x =c11x+ c12y+ c13z+ c14xy+ c15yz+ c16zx
y =c21x+ c22y+ c23z+ c24xy+ c25yz+ c26zx
z =c31x+ c32y+ c33z+ c34xy+ c35yz+ c36zx xy =c41x+ c42y+ c43z+ c44xy+ c45yz+ c46zx yz =c51x+ c52y+ c53z+ c54xy+ c55yz+ c56zx zx =c61x+ c62y+ c63z+ c64xy+ c65yz+ c66zx 系数cmn共36个，取决于材料弹性性质，与坐标系选取有关。 称为广义虎克定律的一般形式。
横观各向同性材料的广义虎克定律可表示为：
x =c11x+ c12y+ c13z y =c12x+ c11y+ c13z
z =c13x+ c13y+ c33z
xy =0.5(c11 c12) xy yz = c55 yz
zx = c55 zx
有5个独立参数 正应变只产生正应力；剪应变只产生剪应力。 工程中， 常用两个杨氏模量(Exy,Ez)，两个泊松比（vxy,vz），一个剪切模量（Gz）
以最后一个方程为例
zx 反号，而x，y，z和xy不变，c61＝c62＝c63＝c64＝0
x =c11x+ c12y+ c13z+ c14xy y =c12x+ c22y+ c23z+ c24xy z =c13x+ c23y+ c33z+ c34xy xy =c14x+ c24y+ c34z+ c44xy yz = c55yz+ c56zx zx = c56yz+ c66zx
独立的分量也是36个。
线弹性本构关系的一般形式：
矩阵形式：
[ ] [C ][ ]
[σ]、[ε]分别为应力和应变列向量， [C]：弹性矩阵，其元素cmn为36个。
x =c11x+ c12y+ c13z+ c14xy+ c15yz+ c16zx y =c21x+ c22y+ c23z+ c24xy+ c25yz+ c26zx z =c31x+ c32y+ c33z+ c34xy+ c35yz+ c36zx xy =c41x+ c42y+ c43z+ c44xy+ c45yz+ c46zx yz =c51x+ c52y+ c53z+ c54xy+ c55yz+ c56zx zx =c61x+ c62y+ c63z+ c64xy+ c65yz+ c66zx
4.1.1 一般表示
弹性的数学表达：
ij f (ij )
如果材料σij=f(εij)呈单值连续关系（不一定线 性），则称为柯西弹性材料，即为一般意义下 的弹性。
• 应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关 x= x(x，y，z，xy，yz，zx) y= y (x，y，z，xy，yz，zx) …….
存在一个弹性对称轴（z轴），在垂直该轴的平面内材料各向同性（在此
平面内所有射线方向的弹性性质均相同）。
横观各向同性是正交各向异性的进一步特殊化。
取两个特殊的变换： 将x，y轴互换时，材料弹性关系不变 c11=c22， c13=c23， c55=c66 将坐标系绕z轴旋转450，剪切应力应变关系不变，得 c44=0.5(c11 c12)
• 偏应力与偏应变关系
x=2Gx + sx+0=2G(ex +
1 3
)+
将体应力与体应变关系代入： sx=2Gex 同理可得： sy=2Gey sz=2Gez
张量形式表示为 sij = 2Geij 在线弹性范围内，偏应力只产生偏应变，即只产生形状改 变，体积应力只产生体应变，即只产生体积改变。
体内一点P(x,y,z) 的应力和应变为[σ] [ε]，则有 [σ] =[C][ε] [C]为一般意义下的各向异性的弹性矩阵。
现将z轴反向，考察其在新坐标系下的本构关系。 由于弹性对称，应力应变关系应该保持不变。 [σ'] =[C][ε']， [σ] =[C][ε] 应力张量的坐标变换： [σ']=[σx σy σz σxy -σyz -σxz]T, [ε']=[εx εy εz εxy -εyz -εxz]T 联立以上各式，比较系数， x y z
广义虎克定律的偏量形式：
sij = 2Geij
0=K
此形式便于塑性分析。
4.1.4 弹性常数的测定
静水压缩实验
11 22
体积模量
1 33 kk 3
kk / 3 3 2G 2 K G kk 3 3
x 0 0 ij 0 0 0 0 0 0 使用物理关系，有弹性模量和泊松比：
地层、层状岩体、复合板材等可简化为横观各向同性弹性体。
4.1.3 各向同性弹性体
• 广义Hooke定律
在横观各向同性材料的基础上，
将x轴与z轴互换，或将y轴与z轴互换时，材料弹性关
系不变， 这种材料称为各向同性材料。
c11=c33， c12=c13， c55=c66=0.5(c11 c12)
于是，独立的弹性常数减少到2个。
x'
y' z'
1
0 0
0
1 0
0
0 -1
c15=c16=c25=c25=c35=c36=c45=c46=0
x xy xz yx y yz zx zy z
x xy - xz yx y - yz zy z zx
13个独立常数
横观各向异性材料的广义虎克定律可以表示为：
x =c11x+ c12y+ c13z+ c14xy y =c12x+ c22y+ c23z+ c24xy z =c13x+ c23y+ c33z+ c34xy xy =c14x+ c24y+ c34z+ c44xy yz = c55yz+ c56zx zx = c56yz+ c66zx
同理，将x轴反向， c14=c16=c24=c26=c34=c36=c46=c56=0 将y轴反向，不产生新的结果 x =c11x+ c12y+ c13z y =c12x+ c22y+ c23z z =c13x+ c23y+ c33z xy = c44xy yz = c55yz zx = c66zx
• 单轴拉伸实验

x G(2G 3 ) E x G
相反，有
y x 2(G )
E (1 )(1 2 )
E G 2(1 )
纯剪实验

0 xy 0 ij yx 0 0 0 0 0